Trang 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
ĐỀ 1
Bài 1: (1 điểm) Tìm s
xyz
biết:
25
z
9
y
4
x
222
==
, và x y + z = 4
Bài 2: (1 điểm) Biết
25
3
b
aba
2
2
=++
;
9
3
b
c
2
2
=+
;
16caca
22
=++
và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chng minh rng:
.
Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá tr của m để đa thức sau là đa thức bc 3 theo biến x:
f (x) = (m
2
- 25) x
4
+ (20 + 4m) x
3
+ 7 x
2
- 9
b/ Tìm giá tr nh nht của đa thức g(x) = 16 x
4
- 72 x
2
+ 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm s chia và s dư biết rng s b chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhn, AB < AC < BC. Các tia phân giác ca
góc A góc C ct nhau ti O. Gi F hình chiếu ca O trên BC; H hình chiếu ca O
trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm ca FH và AI.
a/ Chng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thng hàng.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 1
Bài 1: (1điểm)
25
z
9
y
4
x
222
==
và x, y, z
N, x ≠ 0
5
z
3
y
2
x
==
1
4
4
532
zyx
5
z
3
y
2
x
==
+
+
===
x = 2; y = 3; z = 5. Vy
xyz
= 235
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm)
Ta có:
=++++
22
2
2
caca
3
b
c
3
b
aba
2
2
++
(vì 9 + 16 = 25)
Suy ra: 2c
2
= a(b c)
c
cb
a
c2
=
(vì a ≠ 0; c ≠ 0)
ca
cb
ca
cbc2
c
cb
a
c2
+
+
=
+
+
=
=
(vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Trang 2
Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m
2
- 25)x
4
+ (20 + 4m)x
3
+ 7x
2
- 9 là đa thức bc 3
biến x khi: m
2
- 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
m =
5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bc 3 biến x.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x
4
- 72 x
2
+ 90 =(4x
2
)
2
- 2.4 x
2
.9 + 9
2
+ 9
g(x) = (4x
2
9)
2
+ 9
Vi mi giá tr ca x ta có: = (4x
2
9)
2
≥ 0 g(x) = (4x
2
9)
2
+ 9 ≥ 9.
Giá tr nh nht ca g(x) là 9
Khi và ch khi (4x
2
9)
2
= 0
4x
2
- 9 = 0 4x
2
= 9 x
2
=
4
9
x =
2
3
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 4: (2 điểm)
Gi s chia là a và s dư là r (a, r N*; a > r)
Ta có: * 112 = 5a + r
5a < 112 a 22 (1)
*a > r 5a + r < 5a + a
112 < 6a
a > 112 : 6
a ≥ 19 (2)
T (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22
lp bng s:
a
19
20
21
22
r = 112 5a
17
12
7
2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chng minh CHO = CFO (cnh huyn góc nhn)
suy ra: CH = CF. Kết lun FCH cân ti C.
-V IG //AC (G FH). Chng minh FIG cân ti I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chng minh AHK = IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm)
V OE AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF th t cân ti A, B. Suy ra: BE =
BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân ti B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến ca ABI nên: B, O, K là ba
điểm thng hàng.
A
E H
K
O G
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 3
B F I C
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
ĐỀ 2
Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a-
b-
Câu 2: ( 2 điểm)
a- Tìm số nguyên a để là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
Câu 3: ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số ba chsố
giống nhau .
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
0
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5: ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
- 2y
2
=1
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1
.6
2
+
( )
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2
1
3
2
+
++
a
aa
d
c
b
a
=
Trang 4
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 2
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
a số nguyên nên số nguyên khi số
nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với a thì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
x,y các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) các số nguyên
do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , 37 số nguyên tố và
0,25
1
3
2
+
++
a
aa
1
3
1
3)1(
+
+=
+
++
a
a
a
aa
1
3
2
+
++
a
aa
1
3
+a
2,0,2,4
1
3
2
+
++
a
aa
=
=
=
=
0
0
112
121
y
x
x
y
=
=
=
=
1
1
112
121
y
x
x
y
d
c
b
a
=
aaa
aa
nn
.37.3111
2
)1(
==
+
Trang 5
n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH = CH = BC
Tam giác BCH cân tại C CBH = 30
0
ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB =
45
0
+30
0
=75
0
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x
2
-2y
2
=1suy ra x
2
-1=2y
2
Nếu x chia hết cho 3 x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2
nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x
2
-1 chia hết cho 3 do đó 2y
2
chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x
2
=19
không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu
bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
703
2
)1(
=
+nn
666
2
)1(
=
+nn
B C
D
H
A
2
CD
Trang 6
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
ĐỀ 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thc hin phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
−−
=−
+
+
b) Chng minh rng : Vi mi s nguyên dương n thì :
22
3 2 3 2
n n n n++
+
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x + = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
xx
xx
++
=
Bài 3: (4 điểm)
a) S A được chia thành 3 s t l theo
2 3 1
::
5 4 6
. Biết rng tổng các bình phương của ba
s đó bằng 24309. Tìm s A.
b) Cho
ac
cb
=
. Chng minh rng:
22
22
a c a
b c b
+
=
+
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối ca ca tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chng minh rng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gi I là một điểm trên AC ; K là mt điểm trên EB sao cho AI = EK . Chng
minh ba điểm I , M , K thng hàng
c) T E k
EH BC
( )
H BC
. Biết
HBE
= 50
o
;
MEB
=25
o
.
Tính
HEM
BME
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân ti A có
0
A 20=
, v tam giác đều DBC (D nm trong tam giác
ABC). Tia phân giác ca góc ABD ct AC ti M. Chng minh:
Trang 7
a) Tia AD là phân giác ca góc BAC
b) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 3
Bài 1:(4 đim):
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
63
12 6 12 5 9 3 9 3 3
93
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
= =
++
+
+
−−
=−
+
+
=−
= =
b) (2 điểm)
3
n + 2
- Vi mi s nguyên dương n ta có:
22
3 2 3 2
n n n n++
+
=
22
3 3 2 2
n n n n++
+
=
22
3 (3 1) 2 (2 1)
nn
+ +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n
=
= 10( 3
n
-2
n
)
Vy
22
3 2 3 2
n n n n++
+
10 vi mi n là s nguyên dương.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2:(4 đim)
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
Trang 8
( )
1
2
3
1
2
3
17
2
33
15
2
33
1 4 2 1 4 16 2
3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x
xx
x
x
−=
=−
= + =
=− + =
+ = + + = +
+ =
=
b) (2 điểm)
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
xx
x
xx
xx
++
+
=

=

( )
( )
( )
1 10
1
10
70
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x
x
xx
xx
xx
+



+
−=
=
= =
= =

=

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
a) (2,5 điểm)
Gi a, b, c là ba s đưc chia ra t s A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
::
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
T (1)
2 3 1
5 4 6
a b c
==
= k
23
;;
5 4 6
k
a k b k c= = =
Do đó (2)
2
4 9 1
( ) 24309
25 16 36
k + + =
k = 180 và k =
180
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Vi k =
180
, ta được: a =
72
; b =
135
; c =
30
Khi đó ta có só A =
72
+(
135
) + (
30
) =
237
.
b) (1,5 điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Trang 9
T
ac
cb
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
++
=
++
=
()
()
a a b a
b a b b
+
=
+
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
V hình
0,5 điểm
a/ (1điểm) Xét
AMC
EMB
có :
AM = EM (gt )
AMC
=
EMB
ối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên :
AMC
=
EMB
(c.g.c ) 0,5 điểm
AC = EB
AMC
=
EMB
MAC
=
MEB
(2 góc có v trí so le trong được to bởi đường thng AC và EB cắt đường thng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét
AMI
EMK
có :
AM = EM (gt )
MAI
=
MEK
( vì
AMC EMB =
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK =
( c.g.c ) 0,5 điểm
Suy ra
AMI
=
EMK
AMI
+
IME
= 180
o
( tính cht hai góc k bù )
EMK
+
IME
= 180
o
Ba điểm I;M;K thng hàng 0,5 điểm
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
H
= 90
o
) có
HBE
= 50
o
HBE
= 90
o
-
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o
0,5 điểm
HEM
=
HEB
-
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o
0,5 điểm
K
H
E
M
B
A
C
I
Trang 10
BME
là góc ngoài tại đỉnh M ca
HEM
Nên
BME
=
HEM
+
MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
( định lý góc ngoài ca tam giác ) 0,5 điểm
Bài 5: (4 điểm)
-V hình
a) Chng minh
ADB =
ADC (c.c.c) 1 điểm
suy ra
DAB DAC=
0,5 điểm
Do đó
00
20 : 2 10DAB ==
0,5 điểm
b)
ABC cân ti A, mà
0
20A =
(gt) nên
0 0 0
(180 20 ): 2 80ABC = =
ABC đều nên
0
60DBC =
0,5 điểm
Tia BD nm gia hai tia BA và BC suy ra
0 0 0
80 60 20ABD = =
.
Tia BM là phân giác ca góc ABD
nên
0
10ABM =
0,5 điểm
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cnh chung ;
00
20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = =
Vy:
ABM =
BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vn đt đim ti đa.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
20
0
M
A
B
C
D
Trang 11
ĐỀ 4
Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a.
b.
Câu 2: ( 2 điểm)
a. Tìm số nguyên a để là số nguyên
b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0
Câu 3 : ( 2 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác 0
b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 +… để được một số có ba chữ
số giống nhau .
Câu 4 : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
0
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 : ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
- 2y
2
= 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 4
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1
.6
2
+
( )
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2
1
3
2
+
++
a
aa
d
c
b
a
=
Trang 12
2.a
Ta có : =
a số nguyên nên số nguyên khi số
nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với a thì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x- 2xy + y = 0
Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1
x,y các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) các số nguyên
do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d)
Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n + 1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , 37 số nguyên tố n + 1 <
74
( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37
Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó không thoả mãn
Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
1
3
2
+
++
a
aa
1
3
1
3)1(
+
+=
+
++
a
a
a
aa
1
3
2
+
++
a
aa
1
3
+a
2,0,2,4
1
3
2
+
++
a
aa
=
=
=
=
0
0
112
121
y
x
x
y
=
=
=
=
1
1
112
121
y
x
x
y
d
c
b
a
=
aaa
aa
nn
.37.3111
2
)1(
==
+
703
2
)1(
=
+nn
666
2
)1(
=
+nn
Trang 13
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH = CH = BC
Tam giác BCH cân tại C CBH = 30
0
ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45
0
+ 30
0
=75
0
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x
2
- 2y
2
=1suy ra x
2
- 1 = 2y
2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2
nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x
2
-1 chia hết cho 3 do đó 2y
2
chia
hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x
2
=19 không
thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là
(2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
ĐỀ 5
Câu 1: (1,5 điểm)
a. Thc hin phép tính:
33
0,375 0,3
1,5 1 0,75
11 12
5 5 5
0,265 0,5 2,5 1,25
11 12 3
+ +
+−
+
+ +
B C
D
H
A
2
CD
Trang 14
b. So sánh:
50 26 1++
168
.
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Tìm
x
biết:
2 3 2 2 1x x x + = +
b. Tìm
;x y Z
biết:
25xy x y+ =
c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
Câu 3: (1,5 điểm)
a. Tìm đa thức bc hai biết f(x) - f(x-1) = x. T đó áp dụng tính tng S =
1+2+3+ ....+ n.
b. Cho
2 3 3 2
23
bz cy cx az ay bx
a b c
==
Chng minh:
23
x y z
a b c
==
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC (
90
o
BAC
), đường cao AH. Gi E; F lần lượt điểm đối xng
của H qua AB; AC, đường thng EF ct AB; AC lần lượt ti M và N. Chng minh rng:
a. AE = AF;
b. HA là phân giác ca
MHN
;
c. CM // EH; BN // FH.
Hết./.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 5
Câu
Ý
Ni dung
Đim
Câu 1
1,5
đim
a. 0,5
điểm
A =
+ + +
+
+ +
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4
53 5 5 5 5 5 5
100 10 11 12 2 3 4
A=
+ +
+ + +
+ = +
+ +
+ + +
= + = + = + =
1 1 1 1 1 1 1
165 132 120 110
33
3( )
3
8 10 11 12 2 3 4
1320
53 66 60 55
53 1 1 1 1 1 1
5
5( )
55
100 660
100 10 11 12 2 3 4
263 263
3. 3.
3 3 3945 3 1881
1320 1320
53 49 1749 1225
5 5 5948 5 2
5.
100 660 3300
9740
0.25
0.25
b. 1
điểm
Ta có:
50
>
49
= 4;
26
>
25
= 5
Vy:
50 26 1 7 5 1 13 169 168+ + + + = =
0.5
0,5
Câu 2
4 điểm
a. 1
điểm
Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1
x = 6
Nếu
3
2
2
x
ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1
x = - 2 loi
Nếu x<
3
2
ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1
x =
4
5
0.25
0.25
0.25
Trang 15
Vy: x = 6 ; x =
4
5
0.25
b. 1.5
điểm
Ta có: xy + 2x - y = 5
x(y+2) - (y+2) = 3
(y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1)
y + 2
3
1
-1
-3
x - 1
1
3
-3
-1
X
2
4
-2
0
Y
1
-1
-3
-5
0. 5
0. 5
0.5
c. 1.5
điểm
T: 2x= 3y; 4y = 5z
8x = 12y = 15z
4 3 5
1 1 1 1 1 1
8 12 15 2 4 3
x y z x y z
= = = = =
=
4 3 5 7
12
1 1 1 7
2 4 3 12
xyz−+
==
−+
x = 12.
1
8
=
3
2
; y = 12.
1
12
= 1; z = 12.
14
15 5
=
0. 5
0.5
0. 5
Câu 3
1.5
đim
a. 0.5
điểm
Đa thức bc hai cn tìm có dng:
( )
2
f x ax bx c= + +
(a
0).
Ta có :
( ) ( ) ( )
2
1 1 1f x a x b x c = + +
.
( ) ( )
12f x f x ax a b x = + =
21
0
a
ba
=
−=
1
2
1
2
a
b
=
=
Vậy đa thức cn tìm là:
( )
2
11
22
f x x x c= + +
(c là hng s tùy ý).
Áp dng:
+ Vi x = 1 ta có :
( ) ( )
1 1 0 .ff=−
+ Vi x = 2 ta có :
( ) ( )
1 2 1 .ff=−
………………………………….
+ Vi x = n ta có :
( ) ( )
1.n f n f n=
S = 1+2+3+…+n =
( ) ( )
0f n f
=
( )
2
1
2 2 2
nn
nn
cc
+
+ + =
.
0.25
0.25
b. 1
điểm
2 3 3 2
23
bz cy cx az ay bx
a b c
==
2 2 2
2 2 2
2 3 6 2 3 6
49
2 3 6 2 3 6
0
49
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
==
+ +
==
++
2bz - 3cy = 0
32
zy
cb
=
(1)
3cx - az = 0
3
xz
ac
=
(2); T (1) và (2) suy ra:
23
x y z
a b c
==
0.5
0.25
0.25
Trang 16
Câu 4
3 điểm
Hình
v 0.
5 đ
0.25
a. 1
đim
Vì AB là trung trc ca EH nên ta có: AE = AH (1)
Vì AC là trung trc ca HF nên ta có: AH = AF (2)
T (1) và (2) suy ra: AE = AF
0.25
0.25
0. 5
b. 1
đim
Vì M
AB nên MB là phân giác
EMH
MB là phân giác
ngoài góc M ca tam giác MNH
Vì N
AC nên NC là phân giác
FNH
NC là phân giác
ngoài góc N ca tam giác MNH
Do MB; NC ct nhau ti A nên HA là phân giác trong góc H
ca tam giác HMN hay HA là phân giác ca
MHN
.
0.25
0.25
0.25
0.25
c. 1
đim
Ta có AH
BC (gt) mà HM là phân giác
MHN
HB là phân
giác ngoài góc H ca tam giác HMN
MB là phân giác ngoài góc M ca tam giác HMN (cmt)
NB
là phân giác trong góc N ca tam giác HMN
BN
AC ( Hai đường phân giác ca hai góc k bù thì vuông
góc vi nhau).
BN // HF ( cùng vuông góc vi AC)
Chứng minh tương tự ta có: EH // CM
0.25
0.25
0.25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Hc sinh không v hình hoc v hình sai thì không chm bài hình.
N
M
F
E
H
A
B
C
Trang 17
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
ĐỀ 6
Bài 1: Thc hiện phép tính (6 điểm).
a.
.
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+
;
b.
1
1
1
4
1
3
1
2
1
19
45
++
;
c.
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
.
Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) 3(2x+2) 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3
12:
2
1
x
=
22
21
c. Tìm x, y, z biết:
15
23
5
2 zyyx
=
và x + z = 2y.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho t l thc
d
c
b
a
=
.
Chng minh rng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K trung đim của BC. Trên tia đi
ca tia KA ly D , sao cho KD = KA.
a. Chng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm ca AC; BH ct AD ti M; DH ct BC ti N .
Chng minh rng: ABH = CDH.
c. Chng minh:
HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chng minh rng s có dng
abcabc
luôn chia hết cho 11.
Hết
H và tên hc sinh:.............................................................; SBD:............................
Học sinh trường:.........................................................................................................
Trang 18
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHO SÁT HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Môn: Toán Lp 7
Thi gian làm bài: 120 phút (Không k thời gian giao đề)
NG DN CHM Đ 6
Bài 1: Thc hiện phép tính (6 điểm).
Gii:
a.
.
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+
4
9
9
1
:
4
3
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+=+
0,75đ
=
9
4
36
4
9
1
9
.
4
3
==+
0,75đ
b.
1
1
1
4
1
3
1
2
1
19
45
++
4
3
1
1
2
1
1
19
45
4
1
3
1
2
1
19
45
1
1
1
+
+
=
++
1,0đ
=
1
19
19
19
26
19
45
==
1,0đ
c.
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
=
6.329191910
9.32029.215.2
3.2.73.2.2.5
2.3.23.2.5
01đ
( )
( )
73.53.2
32.53.2
1829
21829
=
01đ
=
8
1
715
910
=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Gii:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) 3(2x+2) 4(2x+3) = 16.
2x 2 6x 6 8x 12 = 16
0,25đ
-12x 20 = 16
0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ
x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tìm x, biết: 3
12:
2
1
x
=
22
21
Nếu
2
1
x
. Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x 1 = 0)
0,25đ
Trang 19
3
12:
2
1
x
=
22
21
2
7
: (2x 1) =
22
21
0,25đ
2x 1 =
2
7
:
22
21
=
3
11
21
22
.
2
7
=
0,25đ
2x =
3
11
+ 1 =
3
14
0,25đ
x =
3
14
: 2 =
3
7
>
2
1
0,25đ
Nếu
2
1
x
. Ta có:
0,25đ
3
12:
2
1
x
=
22
21
2
7
: (1 - 2x) =
22
21
0,25đ
-2x =
3
11
- 1 =
3
8
0,25đ
x =
3
8
: (-2) =
2
1
3
4
0,25đ
Vy x =
3
7
hoc x =
3
4
0,25đ
c. Tìm x, y, z biết :
15
23
5
2 zyyx
=
và x + z = 2y
T x + z = 2y ta có:
x 2y + z = 0 hay 2x 4y + 2z = 0 hay 2x y 3y + 2z = 0
0,25đ
hay 2x y = 3y 2z
0,25đ
Vy nếu:
15
23
5
2 zyyx
=
thì: 2x y = 3y 2z = 0 (vì 5 15).
0,25đ
T 2x y = 0 suy ra: x =
y
2
1
0,25đ
T 3y 2z = 0 và x + z = 2y. x + z + y 2z = 0 hay
y
2
1
+ y z = 0
0,25đ
hay
y
2
3
- z = 0 hay y =
3
2
z. suy ra: x =
3
1
z.
0,25đ
Vy các giá tr x, y, z cn tìm là: {x =
3
1
z; y =
3
2
z ; vi z R }
hoc {x =
2
1
y; y R; z =
2
3
y} hoc {x R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho t l thc
d
c
b
a
=
.
Chng minh rng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ
cb = ad suy ra:
d
c
b
a
=
0,75đ
Trang 20
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối
ca tia KA ly D , sao cho KD = KA.
a. Chng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm ca AC; BH ct AD ti M; DH ct BC ti N .
Chng minh rng: ABH = CDH.
c. Chng minh:
HMN cân.
Gii:
a/ Chng minh CD song song vi AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
0,25đ
BK = CK (gt)
DK
ˆ
CAK
ˆ
B =
ối đỉnh)
0,25đ
AK = DK (gt)
0,25đ
ABK = DCK (c-g-c)
0,25đ
KB
ˆ
DKC
ˆ
D =
; mà
0
90BC
ˆ
ACB
ˆ
A =+
0
90DC
ˆ
BBC
ˆ
ADC
ˆ
A =+=
0,25đ
CA
ˆ
B90DC
ˆ
A
0
==
AB // CD (AB AC và CD AC).
0,25đ
b. Chng minh rng:
ABH =
CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
0,25đ
BA = CD (do ABK = DCK)
AH = CH (gt)
0,25đ
ABH = CDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chng minh:
HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
0,25đ
AB = CD;
CA
ˆ
B90DC
ˆ
A
0
==
; AC cnh chung: ABC = CDA (c-g-c)
DA
ˆ
CBC
ˆ
A =
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và
CH
ˆ
NAH
ˆ
M =
(vì ABH = CDH)
0,50đ
AMH = CNH (g-c-g)
0,50đ
MH = NH. Vy HMN cân ti H
0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chng minh rng s có dng
abcabc
luôn chia hết cho 11.
Gii:
Ta có:
abcabc
= a.10
5
+ b.10
4
+ c.10
3
+ a.10
2
+ b.10 + c
0,25đ
= a.10
2
(10
3
+ 1) + b.10(10
3
+ 1) + c(10
3
+ 1)
0,50đ
= (10
3
+ 1)( a.10
2
+ b.10 + c)
0,50đ
A
B
D
M
N
K
C
H

Preview text:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 2 2 2
Bài 1: (1 điểm) Tìm số x y z xyz biết: = = , và x – y + z = 4 4 9 25 2 2
Bài 2: (1 điểm) Biết 2 b 2 b a + ab + = 25 ;c + = 9 ; a2 + ac + c2 = 16 3 3
và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: c 2 b + c = . a a + c Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của
góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O
trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Bài 1: (1điểm) x2 y2 z2 0,5đ = = x y z
và x, y, z  N, x ≠ 0  = = 4 9 25 2 3 5 0,25đ 0,25đ  x y z x − y + z 4 = = = = = 1 2 3 5 2 − 3 + 5 4
x = 2; y = 3; z = 5. Vậy xyz = 235 Bài 2: (1,5 điểm) 2 b 0,5đ 2 b2 Ta có: 2 c + + 2 a + ac + 2 c = a + ab + (vì 9 + 16 = 25) 3 3 0,25đ Suy ra: 2c2= a(b – c) 0,25đ  c 2 b − c = (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ a c  c 2 b − c c 2 + b − c b + c = = =
(vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) a c a + c a + c Trang 1 Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ
biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 0,25đ  m =  5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9 0,25đ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 0,25đ
Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0  g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9.
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 0,25đ
Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0 0,25đ  9 3
4x2 - 9 = 0  4x2 = 9 x2 =  x =  . 4 2 0,5đ Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ  5a < 112  a 22 (1)
*a > r  5a + r < 5a + a 112 < 6a 0,5đ a > 112 : 6 a ≥ 19 (2)
Từ (1) và (2)  a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25đ
suy ra: CH = CF. Kết luận  FCH cân tại C. 0,25đ
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh  FIG cân tại I. 0,25đ
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ
- Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI.. 0,25đ b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ⊥ AB tại E. Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra:  ABI cân tại B. 0,5đ
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của  ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K O G Trang 2 B F I C
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 2 Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính : 2   a-  1   1  1
6.−  − 3.−  +1 : (− −1 )   3   3    3  3 2  2   3 
  .−  (.− )2003 1 b-  3   4  2 3  2   5    .−   5   12  Câu 2: ( 2 điểm) 2 a + a + a- Tìm số nguyên a để 3 là số nguyên a +1
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3: ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì a c = với b,d khác 0 b d
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5: ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 Trang 3
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a 2 a + a + 3 a(a + ) 1 + 3 3 0,25 Ta có : = = a + a +1 a +1 a +1 2 a + a + 3 3 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số a +1 a +1
nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 2 a + a + Vậy với a− 3 , 4 − , 2 , 0  2 thì là số nguyên a +1 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên
do đó ta có các trường hợp sau : 1− 2y = 1 x = 0    2x −1 = −1 y = 0 0,25  1− 2y = −1 x = 1 Hoặc    0,25 2x −1 = 1 y = 1
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) 0,5 Hay ad=bc Suy ra a c = ( ĐPCM) b d 0,5 3.b
Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n + ) 1 = a 111 = a . 37 . 3 Hay n(n+1) =2.3.37.a 2 0,25
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và Trang 4
n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n+1 = 37 0,25 n n +
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó ( ) 1 = 703 không thoả mãn 2 n n +
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó ( ) 1 = 666 thoả mãn 2
Vậy số số hạng của tổng là 36 0,5 4 A H B C D
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 0,5
Nên CH = CD CH = BC 2
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300  ABH = 150 0,5
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 1,0 450+300=750 1,0 5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 0,25
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 0,25 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2
chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn 0,25
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 Trang 5
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 − 4 .9 5 .7 − 25 .49 A = ( − 2 2 .3)6 4 5 + 8 .3 (125.7)3 9 3 + 5 .14
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : n+2 n+2 3
− 2 + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x − + = ( 3 − ,2) + 3 5 5 x 1 + x 1 + 1 b. ( x − 7) − (x − 7) = 0 Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của ba 5 4 6
số đó bằng 24309. Tìm số A. 2 2 b) Cho a c +
= . Chứng minh rằng: a c a = c b 2 2 b + c b Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC (H BC) . Biết HBE = 50o ; MEB =25o .
Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có 0
A = 20 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Trang 6
a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3 Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 2 .3 − 4 .9 5 .7 − 25 .49 2 .3 − 2 .3 5 .7 − 5 .7 A = 0,5 điểm ( − = − 2 2 .3)6 4 5 + 8 .3 (125.7)3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 + 5 .14 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 12 4 2 .3 .(3 − ) 10 3 1 5 .7 .(1− 7) 0,5 điểm = − 12 5 2 .3 .(3 + ) 9 3 1 5 .7 .( 3 1+ 2 ) 0,5 điểm 12 4 10 3 2 .3 .2 5 .7 .( 6 − ) = − 12 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 0,5 điểm 1 10 − 7 = − = 6 3 2 b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 0,5 điểm n+2 n+2 3
− 2 + 3n − 2n = n+2 n n+2 3 + 3 − 2 − 2n 1 điểm = n 2 n 2 3 (3 +1) − 2 (2 +1) 0,5 điểm = n n n n 1 3 10 2 5 3 10 2 −  −  =  − 10 = 10( 3n -2n) Vậy n+2 n+2 3
− 2 + 3n − 2n 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm Trang 7 1 4 − 0,5 điểm x − + = (− ) 2 1 4 16 2 3, 2 +  x − + = + 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14  x − + = 0,5 điểm 3 5 5  1 x− =2 1  3  x − = 2   1 3 x− = 2 −  0,5 điểm  3  1 7 0,5 điểm x=2+ =  3 3   1 5 x 2 − =− + =   3 3 0,5 điểm b) (2 điểm)
(x − 7)x 1+ − (x − 7)x 11 + = 0  ( x − 7)x 1+ 1
 − (x − 7)10 = 0 0,5 điểm  
 (x − 7)(x+ )1 1
 − (x − 7)10 = 0   x 1 +  x 7  −  0 =     10 1 ( − x 7 − ) 0 =   x 7 − 0 = x 7 =   10 (x 7 − ) 1 = x 8 =  Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm
Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c k Từ (1)  = = = k  2 3
a = k;b = k;c = 2 3 1 5 4 6 5 4 6 0,5 điểm Do đó (2)  2 4 9 1 k ( + + ) = 24309 25 16 36  k = 180 và k = −180
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. 0,5 điểm
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 0,5 điểm
Khi đó ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 . b) (1,5 điểm) Trang 8 a c 0,5 điểm Từ = suy ra 2 c = . a b c b 2 2 2 a + c a + . a b 0,5 điểm khi đó = 2 2 2 b + c b + . a b 0,5 điểm a(a + b) a = = b(a + b) b Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I M B C H K E
a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm  AC = EB
Vì AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm )
Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt )
MAI = MEK ( vì AMC = EMB ) AI = EK (gt )
Nên AMI = EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm
Suy ra AMI = EMK
AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )  EMK + IME = 180o
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm
HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm Trang 9
BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình
a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) 1 điểm
suy ra DAB = DAC 0,5 điểm Do đó 0 0 DAB = 20 : 2 = 10 0,5 điểm b)  ABC cân tại A, mà 0 A = 20 (gt) nên 0 0 0
ABC = (180 − 20 ) : 2 = 80  ABC đều nên 0 DBC = 60 0,5 điểm
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 ABD = 80 − 60 = 20 .
Tia BM là phân giác của góc ABD nên 0 ABM = 10 0,5 điểm
Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; 0 0
BAM = ABD = 20 ; ABM = DAB = 10
Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Trang 10 ĐỀ 4 Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính : 2   a.  1   1  1
6.−  − 3.−  +1 : (− −1 )   3   3    3  3 2  2   3 
  .−  (.− )2003 1 b.  3   4  2 3  2   5    .−   5   12  Câu 2: ( 2 điểm) 2
a. Tìm số nguyên a để a + a + 3 là số nguyên a +1
b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0 Câu 3 : ( 2 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì a c = với b, d khác 0 b d
b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 +… để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 : ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm Trang 11 2.a 2 a + a + 3 a(a + ) 1 + 3 3 0,25 Ta có : = = a + a +1 a +1 a +1 2 a + a + 3 3 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số a +1 a +1
nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 2 Vậy với a− a + a + 3 , 4 − , 2 , 0  2 thì là số nguyên a +1 0,25 2.b Từ : x- 2xy + y = 0 Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25
Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên
do đó ta có các trường hợp sau : 1− 2y = 1 x = 0    2x −1 = −1 y = 0 0,25  1− 2y = −1 x = 1 Hoặc    0,25 2x −1 = 1 y = 1
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a
Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) 0,5 Hay ad = bc Suy ra a c = ( ĐPCM) b d 0,5 3.b
Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n + ) 1 = a 111 = a . 37 . 3 Hay n(n + 1) =2.3.37.a 2 0,25
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74
( Nếu n = 74 không thoả mãn ) 0,25
Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37 n n +
Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó ( ) 1 = 703 không thoả mãn 2 n n +
Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó ( ) 1 = 666 thoả mãn 2 0,5
Vậy số số hạng của tổng là 36 4 Trang 12 A 0,5 H 0,5 B C D 1,0
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CD CH = BC 1,0 2
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300  ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750 5
Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2 0,25
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 0,25 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia
hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn 0,25
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 5 Câu 1: (1,5 điểm) 3 3 0,375 − 0,3 + + a. Thực hiện phép tính: 1,5 + 1− 0,75 11 12 + 5 5 5 0 − ,265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 3 Trang 13
b. So sánh: 50 + 26 +1 và 168 . Câu 2: (4,0 điểm)
a. Tìm x biết: x − 2 + 3 − 2x = 2x +1
b. Tìm x; y Z biết: xy + 2x y = 5
c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 Câu 3: (1,5 điểm)
a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ ....+ n.
b. Cho 2bz −3cy 3cx az ay − 2bx = = Chứng minh: x y z = = . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC ( 90o BAC
), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng
của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF;
b. HA là phân giác của MHN ; c. CM // EH; BN // FH. Hết./.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 5 Câu Ý Nội dung Điểm a. 0,5 3 3 3 3 3 3 3 0.25 điểm − + + + − A = 8 10 11 12 + 2 3 4 − 53 + 5 − 5 − 5 5 + 5 − 5 100 10 11 12 2 3 4 A=  1 1 1 1   1 1 1  165−132 +120 + − + + 3 + − 110 3    3( ) 8 10 11 12 2 3 4 3 Câu 1     + = 1320 + 1,5 −53  1 1 1   1 1 1  −53 −66+ 60+ 55 − 5 − + + 5 + − − 5 0.25     5( ) điểm 100  10 11 12   2 3 4  100 660 263 263 3. 3. 3 3 3945 3 − = + = + = + = 1881 1320 1320 −53 49 5 −1749 −1225 5 − − 5948 5 2 5. 9740 100 660 3300 b. 1
Ta có: 50 > 49 = 4; 26 > 25 = 5 0.5 điểm Vậy: 0,5
50 + 26 +1  7 + 5 +1 = 13 = 169  168 a. 1
Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1  x = 6 0.25 điểm 0.25 Câu 2
Nếu 3  x  2 ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1  x = - 2 loại 4 điểm 2 0.25
Nếu x< 3 ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1  x = 4 2 5 Trang 14 Vậy: x = 6 ; x = 4 0.25 5 b. 1.5
Ta có: xy + 2x - y = 5  x(y+2) - (y+2) = 3 0. 5 điểm
 (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) 0. 5 y + 2 3 1 -1 -3 x - 1 1 3 -3 -1 0.5 X 2 4 -2 0 Y 1 -1 -3 -5
c. 1.5 Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z 0. 5 điểm x y z 4x 3y 5z − + = = = = =
= 4x 3y 5z 7 = = 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0.5 − + 8 12 15 2 4 3 2 4 3 12 0. 5
x = 12. 1 = 3 ; y = 12. 1 = 1; z = 12. 1 4 = 8 2 12 15 5
a. 0.5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: ( ) 2
f x = ax + bx + c (a  0). điểm
Ta có : f (x − ) = a(x − )2 1 1 + b( x − ) 1 + c . 0.25 2a =1  1 a = 
f ( x) − f (x − )
1 = 2ax a + b = x   2   b  − a = 0 1 b  =  2
Vậy đa thức cần tìm là: f (x) 1 2 1
= x + x + c (c là hằng số tùy ý). 2 2 Áp dụng:
+ Với x = 1 ta có : 1 = f ( ) 1 − f (0). 0.25
+ Với x = 2 ta có : 1 = f (2) − f ( ) 1 . Câu 3
…………………………………. 1.5
+ Với x = n ta có : n = f (n) − f (n − ) 1 . điểm 2 n n n(n + ) 1
S = 1+2+3+…+n = f (n) − f (0) = + + c c = . 2 2 2 b. 1 2bz − 3cy 3cx az ay − 2bx = =  điểm a 2b 3c 2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx 0.5 = = 2 2 2 a 4b 9c
2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx = = 0 2 2 2
a + 4b + 9c 0.25 2bz - 3cy = 0  z y = (1) 3c 2b 0.25 3cx - az = 0  x z =
(2); Từ (1) và (2) suy ra: x y z = = a 3c a 2b 3c Trang 15 Câu 4 Hình 0.25 F 3 điểm vẽ 0. 5 đ A N M E B C H a. 1
Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1) 0.25
điểm Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2) 0.25
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF 0. 5 b. 1
Vì MAB nên MB là phân giác EMH MB là phân giác 0.25
điểm ngoài góc M của tam giác MNH 0.25
Vì NAC nên NC là phân giác FNH NC là phân giác
ngoài góc N của tam giác MNH 0.25
Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H 0.25
của tam giác HMN hay HA là phân giác của MHN . c. 1
Ta có AH ⊥ BC (gt) mà HM là phân giác MHN HB là phân 0.25
điểm giác ngoài góc H của tam giác HMN
MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) 0.25 NB
là phân giác trong góc N của tam giác HMN 0.25
BN ⊥ AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông
góc với nhau). BN // HF ( cùng vuông góc với AC)
Chứng minh tương tự ta có: EH // CM
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình. Trang 16
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 6
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). a. 3  2 5  9 :  −  + .; 4  3 9  4 1 1 −  1 − −    b. 45  1 1  1   − +  +    ; 19  2  3  4        15 9 20 9 c. 4 . 5 9 . − 3 . 4 8 . . 10 19 29 6 2 . 5 6 . − 2 . 7 27 . Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; b. Tìm x, biết: 3 1 21 : 2x −1 = 2 22
c. Tìm x, y, z biết: 2x y 3y − 2z = và x + z = 2y. 5 15
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c = . b d
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối
của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Hết
Họ và tên học sinh:.............................................................; SBD:............................
Học sinh trường:......................................................................................................... Trang 17
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 6
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: a. 3  2 5  9 :  −  + . 4  3 9  4 3  2 5  9 3 1 9 :  −  + = : + 0,75đ 4  3 9  4 4 9 4 = 3 9 9 36 . + = = 9 0,75đ 4 1 4 4 1 1 −  1 − −    b. 45  1 1  1   − +  +    19  2  3  4        1 1 − − 45  1  1  1 1−     45 1 − +  +    = − 19  2  3  4    19 1 1     + 1,0đ 2 1 + 4 3 45 26 19 = − = = 1 1,0đ 19 19 19 15 9 20 9 c. 4 . 5 9 . − 3 . 4 8 . 10 19 29 6 2 . 5 6 . − 2 . 7 27 . 15 9 20 9 − 15 . 2 9 . 2 2 20 9 . 3 − 4 . 5 9 . 3 . 4 8 . = 2 . 5 3 . 2 3 . 2 . 01đ 10 19 29 6 2 . 5 6 . − 2 . 7 27 . 10 19 19 29 6 . 3 2 . 5 2 . 3 . − 2 . 7 3 . 229 3 . 18( 2 . 5 − 32 ) = 01đ 229 3 . 18( 3 . 5 − 7) 10 − 9 1 = = − 0,5đ 15 − 7 8 Bài 2: (6 điểm) Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ -12x – 20 = 16 0,25đ -12x = 16 + 20 = 36 0,50đ x = 36 : (-12) = -3 0,50đ b. Tìm x, biết: 3 1 21 : 2x −1 = 2 22 1
Nếu x  . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ 2 Trang 18 1 21 3 : 2x −1 = 2 22 7 21 : (2x – 1) = 0,25đ 2 22 7 21 7 22 11 2x – 1 = : = . = 0,25đ 2 22 2 21 3 11 14 2x = + 1 = 0,25đ 3 3 14 7 1 x = : 2 = > 0,25đ 3 3 2 1 Nếu x  . Ta có: 0,25đ 2 1 21 3 : 2x −1 = 2 22 7 21 : (1 - 2x) = 0,25đ 2 22 11 8 -2x = - 1 = 0,25đ 3 3 8 4 1 x = : (-2) = −  0,25đ 3 3 2 7 4 Vậy x = hoặc x = − 0,25đ 3 3
c. Tìm x, y, z biết : 2x y 3y − 2z = và x + z = 2y 5 15 Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ 2x y 3y − 2z Vậy nếu: =
thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15). 0,25đ 5 15 1
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y 0,25đ 2 1
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay y + y – z = 0 0,25đ 2 3 2 1
hay y - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z. 0,25đ 2 3 3
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = 1 z; y = 2 z ; với z  R } 3 3 0,5đ
hoặc {x = 1 y; y  R; z = 3 y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x} 2 2
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c = . b d
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ a c cb = ad suy ra: = 0,75đ b d Trang 19
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối
của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân. Giải: B D K M N A C H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: 0,25đ BK = CK (gt) A Kˆ B = D Kˆ C (đối đỉnh) 0,25đ AK = DK (gt) 0,25đ  ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ  Cˆ D K = K Bˆ D ; mà 0 C Bˆ A + Cˆ A B = 90  0 Cˆ A D = Cˆ A B + Cˆ B D = 90 0,25đ  Cˆ A D = 900 = C Aˆ B
 AB // CD (AB ⊥ AC và CD ⊥ AC). 0,25đ
b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,25đ  ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ
c. Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,25đ AB = CD; Cˆ A D = 900 = C Aˆ B
; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)  Cˆ A B = D Aˆ C 0,25đ mà: AH = CH (gt) và Hˆ M A = Hˆ N C (vì ABH = CDH) 0,50đ  AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ
 MH = NH. Vậy HMN cân tại H 0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Giải:
Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) 0,50đ Trang 20