AMA302_Final

AMA302 — BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Tính các giới hạn sau: x2 − 9 x2 − 4 x2 − 16 (a) lim . (b) lim . (c) lim √ .
x→3 ln(x − 2)
x→−2 sin(x + 2) x→4 tan( x − 2)
2. Tính các giới hạn sau: ( ) ( ) ( ) 3x 2x + 5 4x 2x (a) lim 1 − 2 . (b) lim . (c) lim 1 − 3 . x→∞ x x→∞ 2x + 1 x→∞ 2x + 5
3. Tính các giới hạn sau: x2 − 9 x + 7 (a) lim . (b) lim √ .
x→+∞ x ln(x + 2) x→−∞ x x + 2 cos(x) [ ] [ √ ] 1 √ √
(c) lim x 1 − cos . (d) lim
x − 2 sin(x) − x + x . x→+∞ x x→+∞ 
x2 − 4x + 4, x ̸= 2,
4. Cho f (x) = Tìm  ln(x − 1)
m để f (x) liên tục tại x = 2. m, x = 2. 
x2 − 2x + 1, x ̸= 1,
5. Cho f (x) = Tìm  ln(x)
m để f (x) liên tục tại x = 1. m, x = 1. √
 7 5 + 2x + 1, x ̸= −3,
6. Cho f (x) = Tìm  x + 3
m để f (x) liên tục tại x = −3. m + 2, x = −3.
7. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x = 0: 
sin(ax), x ̸= 0,
(a) f (x) =  x2 − x 5 − 3a, x = 0. 
1 − cos 5x, x ̸= 0, (b) f (x) =  x a, x = 0. 
e3x − cos(2x), x ̸= 0,
(c) f (x) =  x2 + ax a2 − 5, x = 0.
8. Tính f ′(0) của các hàm số sau (nếu tồn tại):
{x2 sin 1, x ̸= 0, (a) f (x) = x 0, x = 0.
{x2 − 2x, x ̸= 0, (b) f (x) = 1, x = 0.
{x3 − 7|x|, x ̸= 0, (c) f (x) = 0, x = 0.
9. Viết khai triển Maclaurin đến bậc 3 cho các hàm sau:
(a) f (x) = e−x.
(b) f (x) = ln(1 − 5x).
(c) f (x) = sin(4x).
10. Viết khai triển Taylor đến bậc ba tại x = 1 cho các hàm sau:
(a) f (x) = e−x.
(b) f (x) = ln(1 + 2x).
(c) f (x) = sin(3x).
11. Xác định các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau: x − 1 x + 2 (a) y = . (b) y = .
(c) y = ln(1 + x2). x + 1 x − 1 1 √
12. Tính gần đúng ln(e2 + 0, 1) và 5 32, 01.
13. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số trên đoạn cho trước:
1. f (x) = x3 − 3x2 trên đoạn [1, 5].
2. f (x) = x3 − 6x2 + 9x trên đoạn [0, 4].
3. f (x) = −x3 + 6x2 − 9x trên đoạn [0, 5].
14. Hãy tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt tối đa khi biết giá (P ) của một sản
phẩm phụ thuộc sản lượng (Q) và hàm chi phí như sau.
1. P (Q) = 120 − 4Q,
C(Q) = Q3 − 6Q2 + 120Q.
2. P (Q) = 150 − 3Q,
C(Q) = Q3 − 4Q2 + 90Q.
3. P (Q) = 180 − 5Q,
C(Q) = Q3 − 5Q2 + 110Q.
15. Giả sử hàm cầu có dạng tuyến tính Q = a − bP với P là giá. Tính hệ số co giãn
của cầu theo giá tại mức giá đã cho:
1. Q = 20 − 2P , tại P = 4.
2. Q = 30 − 3P , tại P = 5.
3. Q = 40 − 4P , tại P = 3.
16. Tìm thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng khi biết hàm
cung và hàm cầu của một loại sản phẩm như sau:
1. Qd = 100 − 2P ,
Qs = −10 + 3P ;
2. Qd = 110 − 2P ,
Qs = −33 + P 2; √
3. Qd = 27 − P ,
Qs = −9 + 5 P .
17. Xét các tích phân suy rộng sau. Hãy cho biết từng tích phân hội tụ hay phân kì: ∫ ∫ +∞ dx +∞ dx 1. và . x2 + 5 x1/2 + 2 1 1 ∫ ∫ +∞ dx +∞ dx 2. và . x(ln x) x(ln x)2 2 2 ∫ − ∫ 1 dx +∞ x + 1 3. √ và √ dx. 3
−∞ 1 − 3 x 0 x7 + 9 ∫ − ∫ 1 dx +∞ x + 7 4. và √ dx. 3
−∞ 2 − x4/3 0 x5 + 8
18. Tính các tích phân sau: ∫ +∞ 1. xe−x2 dx. 0 2 ∫ +∞ 2.
x3e−x2 dx. 0 ∫ +∞ 3.
x sin(2x) dx . 0 ∫ +∞ x + 3 4. dx . 2x + 2 0 ∫ +∞ 1 5. dx .
−∞ x2 − 6x + 18 ∫ +∞ 1 6. dx .
x2 − 8x + 16 5 ∫ +∞ 1 7. dx . x2 − 1 2
19. Cho các hàm nhiều biến sau, tính vi phân toàn phần df tại điểm đã cho: x2 + y 1. f (x, y) = tại (1, 1). x + y x2 + y2 2. f (x, y) = tại (1, −2). x + 2y xy + x 3. f (x, y) = tại (−3, 1). y + 1
4. f (x, y) = ln(3x − y2) tại (1, 0).
5. f (x, y) = ex2−xy tại (−1, −2). z 6. f (x, y, z) = tại (2, 0, 1). x2 + 5yz
20. Cho các hàm hai biến z = f (x, y) sau. Hãy viết vi phân toàn phần dz:
1. z = xy ex+y.
2. z = x2y + ln(xy) (với x > 0, y > 0).
3. z = ex + sin(xy).
4. z = (x − 2y) exy2. √
5. z = x2y + 4x − y3.
6. z = ln(x2 + y4 + 1) + sin(x − 5y). ∂u ∂u
21. Cho các biến đổi toạ độ sau, hãy tính và
theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: ∂s ∂t
1. u = x3 + y3,
x = t + s, y = t − s.
2. u = x2y, x = s2,
y = t + s. 3
3. u = ex + y2, x = t − s, y = st. Hướng dẫn: ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ; = + . ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
22. Giả sử các điều kiện về sự tồn tại của hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn y = y(x)
đều thỏa mãn. Tìm y′ nếu y được xác định bởi:
1. y = 2x + 3 ln y.
2. y = x2 + 2ey.
3. y = 3xy − y2.
4. y = 5x − 3 sin(x + 3y). √ 5. y = x3 + 2 y2 + x2.
6. y = x − ln(x2 + y2 + 1).
23. Tìm các điểm cực trị (nếu có) của các hàm số hai biến sau:
1. f (x, y) = x2 + xy + y2 − 3x − 6y.
2. f (x, y) = 2x2 + xy + 2y2 − 4x − 8y.
3. f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x − 2y.
4. f (x, y) = x3 + 2xy + y2 − 3x2 − 5.
5. f (x, y) = x2 − 4xy + 2y3 − 7y + 25.
6. f (x, y) = x4 − 4xy + 2y2 − 6x2.
24. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để khảo sát cực trị của các hàm số dưới
điều kiện ràng buộc cho trước, và kết luận về tính chất của điểm đã nêu:
1. f (x, y) = x2 + y2 với điều kiện x + 2y = 10. Xét điểm (2, 4).
2. f (x, y) = xy với điều kiện x2 + y2 = 25. Xét điểm (3, 4).
3. f (x, y) = x2 + 3y2 với điều kiện x + y = 6. Xét điểm (9/2; 3/2).
25. Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B để bán trong thị trường
cạnh tranh hoàn hảo. Hàm tổng chi phí cho hai loại sản phẩm là:
T C = Q2 + Q2 + 2Q 1 2
1Q2 + 10Q1 + 8Q2 + 50,
trong đó Q1, Q2 lần lượt là sản lượng của sản phẩm A và B. Biết rằng giá của sản phẩm A và B lần lượt là:
1. P1 = 160, P2 = 120.
2. P1 = 150, P2 = 110. 4
3. P1 = 140, P2 = 130.
Với mỗi cặp (P1, P2), hãy xác định mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) để doanh nghiệp thu
được lợi nhuận tối đa.
26. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm, biết mối quan hệ giữa đơn giá (P1, P2)
và sản lượng (Q1, Q2) như sau (với Q1, Q2 ≥ 0):
1. Q1 = 50 − 1P1, Q2 = 80 − P2, 2
T C = 3Q2 + 2Q + 55. 1 1Q2 + 2Q2 2
2. Q1 = 60 − 1P1, Q2 = 90 − P2, 2
T C = 2Q2 + Q + 60. 1 1Q2 + 3Q2 2
3. Q1 = 40 − 1P1, Q2 = 70 − P2, 3
T C = Q2 + 2Q + 50. 1 1Q2 + 3Q2 2
Trong mỗi trường hợp, hãy xác định sản lượng (Q1, Q2) để lợi nhuận tối đa.
27. Tìm số lượng đơn vị lao động L cần sử dụng để tối đa hoá lợi nhuận khi biết
hàm sản xuất ngắn hạn Q(L), tiền công w và giá sản phẩm P trong các trường hợp sau:
1. Q(L) = 20L − L2, w = 40, P = 10; √
2. Q(L) = 20 L, w = 50, P = 15;
3. Q(L) = 5L2/3, w = 10, P = 12. 5