BÀI 4. ÔN TẬP SỐ MŨ ĐÚNG Yêu cầu:
+Ghi lại hệ thống lý thuyết và chứng minh
+Hoàn thiện phần bài tập chi tiết. 1. Số mũ đúng
2. Số mũ đúng ( tổng, hiệu lũy thừa bậc cao).
3. Số mũ đúng của giai thừa 4. Một số ví dụ n
Bài 4.1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n để n | 2 1 2q 2q
Bài 4. 2. Cho q là số nguyên tố lẻ, đặt A  (2q)  (2q)! ((2q)!) . Chứng minh A có
một ước nguyên tố p  2q . a b c    
Bài 4.3. (Gặp gỡ Toán học) Cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho b c a
. Chứng minh rằng abc là lập phương đúng.
5. Một số dạng toán sử dụng định lý về số mũ đúng.
Bài 5.1. Tìm bộ ba số nguyên dương ( ; n ;
p k) , p là số nguyên tố sao cho 1990x y   2021x p n
Bài 5.2. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn 4 1 9  1 n  2021 n
Bài 5.3.Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: 2 | 2021 1 Bài 5.4.Cho ( ; n ;
p a) nguyên dương, p số nguyên tố: 2p  3p n
 a . Chứng minh n  1 Bài 5.5.
a.Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại , : p p   .(( 1)!) p x y x y p p
Hướng dẫn: v (VP)  1,v (VT ) 1 p p  p p y 1
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p không tồn tại x, y  : 2 3 x     n n k
c. Cho các số nguyên dương thỏa mãn a  b  p . Chứng minh rằng n  1 là số lẻ và
p là số nguyên tố lẻ thì n là lũy thừa của p .
Bài 5.6. Một số nguyên dương n được gọi là số “tốt” nếu tồn tại một số nguyên
dương x thỏa mãn xn 1 2n x  
a. Chứng minh rằng 2021 là số đẹp và số 2022 không phải là số đẹp. ky k
b. Nếu k là số đẹp, hãy xác định số nguyên dương y nhỏ nhất sao cho y 1 2  . x x
Bài 5.7. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 3  2 .y 1 Bài 5.8. n
a. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n thỏa mãn: n | 3 1 k n
b. Cho số nguyên dương k . Tìm mọi số nguyên dương n thỏa mãn 3 | 2 1 Bài 5.9. n 1 v (n!)  [ ] p a. Chứng minh rằng p 1
b. Cho a, n là các số nguyên dương và tất cả các ước của a đều lớn hơn n . Chứng 2 n 1
minh rằng (a 1)(a 1)...(a    1) n  ! Bài 5.10. 44 44 44 2021
a. Cho các số nguyên a | b ,b | c ,c | a . CMR: abc | (a  b  c) 2
b. Cho các số nguyên dương thỏa mãn: c(ac 1)  (2c  b)(3c  b) . Chứng minh rằng
c không phải là số chính phương.
c.Tích tất cả các số từ 2010 2 1 đến 2020 2
1 có phải là số chính phương không ?