Bài giảng Chương 5: Lý thuyết tối ưu môn Xử lý tín hiệu số | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Chương 5: Lý thuyết tối ưu Phạm Thị Đan Ngọc 1
Nội dung Lý thuyết tối ưu
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết 5.3 Bộ lọc phối hợp 2
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản 
Xét trường hợp kênh truyền không nhiễu. Tín hiệu nhận được từ máy thu có dạng sau:
𝑢 𝑡 = 𝜇𝑆𝑖 𝑡 − 𝜏 + 𝑛 𝑡 trong đó:
• 𝜇: hệ số kênh truyền (<<1), giả sử là hằng số. • 𝑛 𝑡 : nhiễu cộng
• Trường bit ngõ vào 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚.
• 𝑆𝑖 𝑡 : là các tín hiệu phát tương ứng với các tin 𝛼𝑖.
 Ta có u(t) là quá trình ngẫu nhiên (vì n(t) là hàm QTNN), giả sử rằng:
(1) Truyền 𝑆1 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆1 𝑡 𝛼1 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆1 𝑡 − 𝜏 . (2)
Truyền 𝑆2 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆2 𝑡 𝛼2 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆2 𝑡 − 𝜏 . ...
(m) Truyền 𝑆𝑚 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆𝑚 𝑡 𝛼𝑚 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆𝑚 𝑡 − 𝜏 . 3
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản
 Ta có u(t) là quá trình ngẫu nhiên (vì n(t) là hàm QTNN), giả sử rằng:
(1) Truyền 𝑆1 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆1 𝑡 𝛼1 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆1 𝑡 − 𝜏 . (2)
Truyền 𝑆2 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆2 𝑡 𝛼2 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆2 𝑡 − 𝜏 . ...
(m) Truyền 𝑆𝑚 𝑡 : tín hiệu phát là 𝑆𝑚 𝑡 𝛼𝑚 , nhiễu là 𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝜇𝑆𝑚 𝑡 − 𝜏 .
Nhiệm vụ của bộ thu là chọn một trong m giả thuyết nêu trên  mỗi giả thuyết có một xác
suất sai tương ứng, nên máy thu phải chọn một lời giải trong điều kiện bất định  chính là bài toán thống kê.
 Sơ đồ giải tối ưu: chọn lời giải (giải đúng), một sơ đồ có xác suất nhận đúng là lớn nhất,
xác suaast sai là nhỏ nhất.
 Máy thu tối ưu: là máy thu được xây dựng theo sơ đồ giải tối ưu. 4
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản 
Thế chống nhiễu: là máy thu tối ưu có tính chống nhiễu lớn nhất với cùng một mức nhiễu. 
Sai lầm khi chọn giải thuyết:
 Sai lầm loại 1: bỏ sót tin đã phát
 Sai lầm loại 2: cảnh báo sai (khi không có tin nào được phát)  Tiêu chuẩn Kachennhicov
 Trong cùng điều kiện hai hay nhiều sơ đồ giải, sơ đồ nào đảm bảo xác suất giải đứng lớn
nhất  tối ưu (còn được gọi là tiêu chuẩn người quan sát lý tưởng)
 Nhược điểm: bỏ qua sai lầm.
 Ưu điểm: đơn giản, dễ tính toán, dễ thực hiện. 
Xử lý thu tối ưu các tín hiệu
Trong quá trình xử lý tín hiệu, thường phải thực hiện các phép toán tuyến tính hoặc phi tuyến
(biến tần, tách sóng, bộ lọc, bộ nhân, bộ chia, ...). Quá trình xử lý tín hiệu trong máy thu tối ưu
gọi là xử lý tối ưu tín hiệu. 5
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản
 Xác suất giải sai và quy tắc giải tối ưu  Phía phát:
• Tín hiệu phát 𝛼𝑖 với xác suất là 𝑝 𝛼𝑖 (còn gọi là xác suất tiên nghiệm).
• Giả thuyết 𝑆𝑖 𝑡 có thời hạn là T.  Phía thu:
• Tín hiệu nhận 𝑢 𝑡 .
• Qua sơ đồ giải  có lời giải 𝛽𝑖 nào đó.
 Nếu: nhận được 𝛽𝑙 thì phía thu xem tín hiệu đã phát là 𝛼𝑙  𝛼𝑙 được phát với xác suất 𝑝 𝛼
𝑙 𝑢 (còn gọi là xác suất hậu nghiệm)
 Xác suất giải sai: 𝑝 𝑠𝑎 𝑖 𝑢 , 𝛽𝑙 = 1 − 𝑝 𝛼 𝑙 𝑢
 Quy tắc giải tối ưu: 6
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản
 Xác suất giải sai và quy tắc giải tối ưu
 Quy tắc giải tối ưu: xét hai sơ đồ giải:
• Tín hiệu 𝑢 𝑡 cho ra 𝛽1
• Tín hiệu 𝑢 𝑙 cho ra 𝛽2
Nếu 𝑝 𝑠𝑎 𝑖 𝑢 , 𝛽1 < 𝑝 𝑠𝑎 𝑖 𝑢 , 𝛽2  sơ đồ giải thứ nhất tối ưu hơn thứ hai
Xét m sơ đồ giải, ta có (m – 1) hệ như sau: 𝑝 𝛼 𝑙 𝑢 > 𝑝 𝛼 𝑖 𝑢 , 𝑖 = 1, 𝑚. 𝑖 ≠ 1
Quy tắc giải tối ưu: sơ đồ giải chọn lời giải đảm bảo xác suất giải sai là nhỏ nhất.  Hàm hợp lý
𝑝 𝛼𝑗 𝑤 𝑢 𝛼𝑗 Áp dụng Bayes: 𝑝 𝛼 𝑗 𝑢 = 𝑤 𝑢 7
5.1 Đặt bài toán và các khái niệm cơ bản  Hàm hợp lý
 Quy tắc hợp lý tối đa
• Thay công thức Bayes vào xác suất giải sai:
Khi các tín hiệu được phát đi với cùng giá trị xác suất: 𝑝 𝛼 𝑝 𝛼𝑙 = 𝑙 𝑤 𝑢 𝛼𝑙
> 𝑝 𝛼𝑖 𝑤 𝑢 𝛼𝑖 , 1 • Ta có Hàm hợp lý:
𝑝 𝛼𝑖 = , ∀𝑖, 𝑙 = 1, 𝑚, thì hàm 𝑚
hợp lý trở thành quy tắc hợp lý tối 𝑤 𝑢 𝛼 𝑝 𝛼 𝜆 𝑙 𝑖 𝑙 𝑖 ≜ > đa. 𝑤 𝑢 𝛼𝑖 𝑝 𝛼𝑙
𝜆𝑙 𝑖 𝑢 > 1, ∀𝑖 ≠ 𝑙
Trong đó, 𝜆𝑙 𝑖: hàm hợp lý, đặc trưng cho mức độ
hợp lý của giả thuyết 𝛼𝑙 đã được phát.
 Quy tắc giải tối ưu viết dưới dạng hàm hợp lý: 𝑝 𝛼 𝜆 𝑖 𝑙 𝑖 ≜ , 𝑖 = 1, 𝑚 𝑝 𝛼 𝑖 ≠ 1 8 𝑙
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết  Đặt vấn đề
Tín hiệu được phát trên kênh truyền có nhiễu Gaussian cộng với mật độ xác suất như sau: 1 𝑛2 𝑊 𝑛 = 𝑒−2𝜎2 𝜎 2𝜋
Tìm biểu thức của quy tắc giải tối ưu theo quy tắc hợp tối đa? Biết rằng, 𝜎2 là
phương sai và kỳ vọng bằng 0. 9
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết  Giải quyết vấn đề
 Tìm hàm hợp lý 𝜆𝑙 0 𝑢 :
Ta có: 𝑢 𝑡 = 𝜇𝑆𝑗 𝑡 − 𝜏 + 𝑛 𝑡
Trong đó, 𝜇, 𝜏 = const. : các tham số kênh truyền;
𝑆𝑗 𝑡 ∶ tín hiệu phát
 Để tìm 𝜆𝑙 0 𝑢 , giả sử 𝑢 𝑡 có phổ hữu hạn 𝐹𝑐  rời rạc hóa 𝑢 𝑡 thành n
số: 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 = 2𝐹𝑐𝑇.
 Cần tìm 𝜆𝑙 0 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛
𝑊𝑛 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢 𝑛 𝛼j
𝜆𝑙 0 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 = 𝑊𝑛 𝑢1,𝑢2,...,𝑢 𝑛 0 10
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết  Giải quyết vấn đề
Trong đó, 𝑊𝑛 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢
𝑛 0 : mật độ phân bố n chiều của nhiễu Gauss và: 2𝐹 2𝐹 𝑐𝑇 𝑐𝑇 2 1 𝑢𝑘
𝑊𝑛 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢 𝑛 0 = 𝑊1 𝑢𝑘 = 𝑒−2𝜎2 𝜎 2𝜋 𝑘=1 𝑘=1 2𝐹𝑐𝑇 1 𝑢2 = exp − 𝑘 2𝐹 𝜎 2𝜋 𝑐𝑇 2𝜎2 𝑘=1 11
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết  Giải quyết vấn đề
Đối với 𝑊𝑛 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢
𝑛 𝛼j , còn có thành phần nhiễu khi phát 𝛼𝑗, ta nhận được:
𝑢𝑘 = 𝑐𝑗𝑘 + 𝑛𝑘 , với 𝑐𝑗 𝑡 = 𝜇𝑆𝑗 𝑡 − 𝜏 . Tính tương tự, ta có: 2𝐹𝑐𝑇 2 1 𝑢𝑘 − 𝑐𝑗𝑘
𝑊𝑛 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢 𝑛 𝛼𝑗 = exp − 2𝐹 𝜎 2𝜋 𝑐𝑇 2𝜎2 𝑘=1 2𝐹𝑐𝑇 2𝐹𝑐𝑇 2 𝑢2 𝑢𝑘 − 𝑐𝑗𝑘 𝜆 𝑘
𝑗 0 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 = exp − 2𝜎2 2𝜎2 𝑘=1 12 𝑘=1
5.2 Thu tối ưu các tín hiệu có tham số đã biết 𝑇  Giải quyết vấn đề • 𝐸 2 𝑗 = 𝑐
𝑡 𝑑𝑡: năng lượng của 𝑐 0 𝑗 𝑗 𝑡
Trong đó, các thông số như sau:
• 𝑐𝑗 𝑡 : 𝑡í𝑛 hiệu mang tin ở ngõ ra kênh truyền • Phương sai: 𝜎2 = 𝐺 ; 𝑇 0𝐹𝑐 • 1 𝑍𝑗 𝑢 = 𝑢 𝑡 𝑐 𝑇 0 𝑗 𝑡 𝑑𝑡 • 𝐹𝑐 = 1 2 𝛥𝑡 2𝐹 2𝐹 1 𝑐𝑇 1 𝑐𝑇 2 𝜆 2
𝑗 0 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 = exp 𝑢 𝛥𝑡 − 𝑢 𝛥𝑡 𝐺 𝑘 𝑘 − 𝑐𝑗𝑘 0 𝐺0 𝑘=1 𝑘=1 • Khi 𝐹𝑐 → ∞, thì 𝐸𝑗 2𝑇
𝜆𝑗 0 𝑢 = lim 𝜆𝑗 0 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 = exp exp 𝑍𝑗 𝑢 𝑛→∞ 𝐺0 𝐺0 13 5.3 Bộ lọc phối hợp Định nghĩa
Đối với một tín hiệu xác định, một mạch tuyến tính thụ động đảm bảo tỷ số tín
hiệu trên nhiễu ở ngõ ra cực đại ở một thời điểm quan sát nào đó sẽ được gọi là
mạch lọc phối hợp tuyến tính thụ động của tín hiệu đó (còn gọi là mạch lọc phối hợp).
5.3.1 Đặt vấn đề
 Ngõ vào mạch tuyến tính thụ động có dạng: 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑖 𝑡 + 𝑛 𝑡 trong đó:
• 𝐶𝑖 𝑡 : tín hiệu phát
• 𝑛 𝑡 : nhiễu cộng AWGN 14 5.3 Bộ lọc phối hợp
5.3.1 Đặt vấn đề
 Ngõ vào mạch tuyến tính thụ động có dạng: 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑖 𝑡 + 𝑛 𝑡 trong đó:
• 𝐶𝑖 𝑡 : tín hiệu phát
• 𝑛 𝑡 : nhiễu cộng AWGN  Giải bài toán
 Đặt 𝑆𝑖𝑣 𝜔 : mật độ phổ (biên độ) phức của tín hiệu ở ngõ vào.
 Đặt 𝑆𝑖out 𝜔 : mật độ phổ phức của tín hiệu ở ngõ ra  Theo F-1, ta có: ∞ ∞ 1 𝐶𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑆 𝑆 2𝜋
𝑖𝑜𝑢𝑡 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
𝑖𝑜𝑢𝑡 2𝜋𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 15 −∞ −∞ 5.3 Bộ lọc phối hợp 5.3.1 Đặt vấn đề
 Giải bài toán ∞ ∞ 1
 Theo F-1, ta có: 𝐶𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑆 𝑆 2𝜋
𝑖𝑜𝑢𝑡 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
𝑖𝑜𝑢𝑡 2𝜋𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 −∞ −∞ ∞
= 𝑆𝑖𝑣 2𝜋𝑓 𝐾𝑖 2𝜋𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 −∞
 Công suất đỉnh của tín hiệu ở ngõ ra: ∞ 2 𝑃 2 𝑐 = 𝐶 = 𝑆 𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑡0
𝑖𝑣 2𝜋𝑓 𝐾𝑖 2𝜋𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡0𝑑𝑓 −∞
với: 𝑆𝑖𝑜𝑢𝑡 2𝜋𝑓 = 𝑆𝑖𝑣 2𝜋𝑓 𝐾𝑖 2𝜋𝑓 ; 𝐶𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑡0 : giá trị đỉnh của tín hiệu 16 5.3 Bộ lọc phối hợp 5.3.1 Đặt vấn đề
 Giải bài toán
Vì n(t) là AWGN, nên mật độ phổ công suất (𝑁0) là hằng số và bằng ½ mật độ phổ
công suất thực tế  công suất trung bình của n(t): ∞ ∞ 𝑃𝑛 = 𝛿2 = 𝑁 𝐾 𝑜𝑢𝑡 0 𝐾𝑖 2𝜋𝑓
2𝑑𝑓 = 𝑁0 𝑖 2𝜋𝑓 2𝑑𝑓 −∞ −∞
Áp dụng định lý Pareval: ∞ 1 ∞ 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑆 𝜔 𝑑𝜔 −∞ 2𝜋 −∞
 Xét tỷ số công suất tín hiệu trên công suất nhiễu:
𝑆𝑁𝑅 = 𝛾𝑜𝑢𝑡 = 𝑃 𝑐 𝑃 𝑖𝑜𝑢𝑡 𝑛𝑜𝑢𝑡 17 5.3 Bộ lọc phối hợp 5.3.1 Đặt vấn đề
 Giải bài toán
 Xét tỷ số công suất tín hiệu trên công suất nhiễu: ∞ 2
𝑆𝑖𝑣 2𝜋𝑓 𝐾𝑖 2𝜋𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡0 𝑑𝑓 𝑆𝑁𝑅 = 𝛾 −∞ 𝑜𝑢𝑡 = ∞ (*) 𝑁0 𝐾 −∞ 𝑖 2𝜋𝑓 2𝑑𝑓
 Cần tìm 𝐾𝑖 2𝜋𝑓 để 𝑆𝑁𝑅 đạt cực đại?
 Khi 𝜑 𝑥 = 𝑘𝐹∗ 𝑥 , ta có: ∞ 2 ∞ ∞ 𝐹 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥
≤ 𝐹 𝑥 2𝑑𝑥 𝜑 𝑥 2𝑑𝑥 (Byhakobckuu – Schwartz) −∞ −∞ −∞ 18 5.3 Bộ lọc phối hợp 5.3.1 Đặt vấn đề
 Giải bài toán
trong đó: 𝜑 𝑥 , 𝐹 𝑥 : các hàm phức biến thực; k là hệ số tỷ lệ. •
𝑆𝑖𝑣 2𝜋𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡  𝐹 𝑥 •
𝐾𝑖 2𝜋𝑓  𝜑 𝑥 ∞ 1 𝐸𝑖
Sau vài thao tác tính toán, ta có: 𝑆𝑁𝑅 = 𝛾𝑜𝑢𝑡 ≤ 𝑆 𝑁 𝑖𝑣 2𝜋𝑓 2𝑑𝑓 = 0 𝑁0 −∞ 𝐸
 Tỷ số cực đại: 𝑆𝑁𝑅 𝑖 ∗ max = 𝐾
2𝜋𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑁
𝑖 2𝜋𝑓 = 𝑘𝑆𝑖𝑣 0 (**) 0
trong đó: 𝐸𝑖 là năng lượng của tín hiệu phát
 SNRout chỉ phụ thuộc năng lượng tín hiệu 19 5.3 Bộ lọc phối hợp
5.3.2 Đặc tính biên độ và đặc tính pha tần số của bộ lọc phối hợp
 Đặc tính biên tần của bộ lọc phối hợp:
Từ công thức (**), ta có: |𝐾 ∗ 𝑖 2𝜋𝑓
= 𝑘 𝑆𝑖𝑣 2𝜋𝑓 |
 Quan sát thấy rằng, đặc tính biên tần có
hình dạng giống module của mật độ phổ tín hiệu.
 đặc tính của mạch tuyến tính do mật độ
phổ phức của tín hiệu quyết định.
 Bộ lọc làm giảm thành phần phổ tín hiệu
và nhiễu (tại những phần có cường độ
nhỏ). Những khoảng có cường độ tần số
càng nhỏ thì sự suy giảm càng lớn. 20