Bài giảng đại số tuyến tính | Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Bài giảng đại số tuyến tính | Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 50 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H CHƯƠNG 1.
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1. Ma trận 1.1.1. Định nghĩa
- Một ma trận cỡ m n trên K là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng:
với a K là phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận A. ij
Ta gọi a a ... a là dòng thứ i của ma trận A. i1 i 2 in
Để chỉ A là ma trận cỡ m n mà phần tử nằm ở hàng i cột j là a người ta còn viết ij A a
. Tập các ma trận cỡ m n trên K ký hiệu là Mat ( ,
m n) hoặc Mat(m n, K ) . ij m n K
Nếu m = n thì A gọi là ma trận vuông cấp n.
Trong ma trận vuông A cấp n, đường nối các phần tử a , a ,..., a được gọi là đường chéo 11 22 nn chính của ma trận A.
1.1.2. Các dạng ma trận
- Ma trận không: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không. Ma trận không
thường được ký hiệu là .
- Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang là ma trận có các tính chất:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 1 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
(i) Các hàng bằng 0 (nếu có) nằm dưới các hàng khác 0.
(ii) Dưới phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ bên trái) của mỗi dòng khác 0 là các phần tử 0.
- Ma trận chuyển vị: Ma trận có được từ ma trận A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột
tương ứng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là AT. - Ma trận tam giác:
+ Ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận tam giác trên.
+ Ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận tam giác dưới.
- Ma trận chéo: Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 gọi là ma trận
chéo (Hay còn gọi là ma trận đường chéo).
- Ma trận đơn vị: Ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được gọi là ma trận
đơn vị. Ta thường ký hiệu ma trận đơn vị cấp n là I . n
1.1.3. Các phép toán trên ma trận
a) Hai ma trận bằng nhau: Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cỡ và
các phần tử ở cùng vị trí của chúng bằng nhau. Tức là cho A a , B (b )Mat (m,n), ij ij K
A B a b ij ij.
b) Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận cùng cỡ A a , B (b )Mat (m,n) . Tổng hai ij ij K
ma trận A và B là một ma trận cùng cỡ m n , kí hiệu là A + B và được xác định như sau:
Phép cộng có các tính chất
A + B = B + A (Tính chất giáo hoán)
A + (B + C) = (A + B) + C (Tính chất kết hợp).
c) Phép nhân ma trận với một số
Tích của ma trận A cỡ m n với một số là một ma trận cỡ m n ký hiệu A và được xác định như sau:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 2 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Phép nhân ma trận với một số có các tính chất sau 1.A ; A 0.A ;
(A B) A B;
( )A A ; A
( A) ( ) . A
d) Phép nhân ma trận với ma trận
Tích của ma trận A a Mat ( , m )
p với ma trận B (b ) Mat ( , p n) là ma trận ik K kj K p
C cỡ m n ký hiệu là .
A B mà phần tử ở hàng i cột j được tính theo công thức c a b . ij ik kj k1
Nghĩa là để có phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận tích, ta phải lấy lần lượt từng phần tử
đứng ở hàng i trong ma trận A nhân với từng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại.
Chú ý: Tích của hai ma trận không có tính giao hoán.
- Chỉ khi số cột của ma trận A bằng số hàng ma trận B thì mới được nhân ma trận A với ma trận B.
- Ma trận tích A.B có số hàng bằng số hàng của A và số cột bằng số cột ma trận B.
- Khi A là ma trận vuông, ta dùng ký hiệu An để chỉ tích n lần ma trận A.
Phép nhân có các tính chất:
A.(B.C) = (A.B).C (tính chất kết hợp)
A(B + C) = A.B + A.C (tính chất phân phối) (A + B)C = A.C + B.C
k(A.B) = (kA).B = A(kB) với k K
A.I = A; I.B = B (I là ma trận đơn vị). (A.B)T = BT.AT.
e) Phép biến đổi sơ cấp theo hàng (dòng) của ma trận
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 3 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Có 3 phép biến đổi ma trận sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng (dòng) của ma trận: * Đổi chỗ hai hàng;
* Nhân một hàng với một số k khác 0;
* Nhân một hàng với một số k rồi cộng tương ứng vào hàng khác.
Khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đối với ma trận A ta nhận được ma trận
B, ta viết A B.
Nếu ma trận B có được từ ma trận A qua hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng thì ta
nói A và B là hai ma trận tương đương. 1.2. Định thức 1.2.1. Định nghĩa
Định thức của một ma trận vuông A (
a ) cấp n (gọi tắt là định thức cấp n) là một số, ký ij
hiệu là | A | hoặc det A, có được bằng cách như sau:
- Nếu n 1 thì det(a ) a ; ij 11
- Nếu n 2 thì ta có định thức cấp 2 a a 11 12 det A
a a a a ; 11 22 12 21 a a 21 22
- Nếu n 3 thì ta có định thức cấp 3
Tổng quát, giả sử định thức của các ma trận vuông cấp (n - 1) đã được định nghĩa. Ta gọi
ma trận con A của ma trận A (cấp n) ứng với phần tử a là ma trận nhận được từ A bằng cách ij ij
xóa đi dòng i, cột j (A là ma trận vuông cấp n – 1). Ký hiệu M det(A ) . ij ij ij
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 4 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Ta định nghĩa định thức của ma trận A như sau:
Công thức trên gọi là công thức tính định thức bằng cách khai triển theo hàng 1. Trong công thức trên ( 1
)i j M gọi là phần bù đại số của phần tử đứng ở dòng i, cột j ij
trong định thức cúa A .
1.2.2. Các tính chất của định thức
a) Nhóm định thức không đổi
Tính chất 1: Định thức của một ma trận vuông cấp n bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó.
Tính chất 2: Nếu trong định thức có cột C bằng tổng của hai cột C ' và C ' , khi đó j j j | A| |
A | | A |, trong đó | A | là định thức thu được từ bằng cách thay cột C bằng cột C ' , còn 1 2 i j j
các cột khác giữ nguyên.
Tính chất 3: Trong một định thức, nếu ta nhân 1 hàng (1 cột) với 1 số k rồi cộng vào hàng (cột)
khác thì định thức không đổi.
b) Nhóm định thức thay đổi
Tính chất 4: Khi nhân một hàng (một cột) của định thức với một số k thì cả định thức được nhân lên số k đó.
Tính chất 5: Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 hàng (2 cột) còn các hàng (cột) khác giữ nguyên vị
trí thì định thức đổi dấu.
c) Nhóm định thức bằng 0
Tính chất 6: Nếu tất cả các phần tử của một hàng (cột) nào đó trong định thức đều bằng không
thì định thức bằng không.
Tính chất 7: Nếu định thức có hai hàng (hoặc hai cột) bằng nhau thì định thức bằng 0.
Tính chất 8: Nếu định thức có 2 hàng (2 cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.
1.2.3. Cách tính định thức
a) Khai triển theo hàng i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 5 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
b) Khai triển theo cột j
Chú ý: Ta thường chọn các hàng (cột) có nhiều số 0 nhất để khai triển.
c) Dùng tính chất của định thức: Để tính các định thức cấp cao người ta hay dùng các tính chất
của định thức để biến đổi định thức đưa về dạng tam giác rồi lấy tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ: Tính các định thức sau
1.2.4. Hạng của ma trận
a) Định nghĩa (Định thức con). Cho A là ma trận cỡ m n và p là một số nguyên dương, p min( , m )
n . Ma trận vuông có p hàng, p cột thu được từ A bằng cách bỏ đi (m - p) hàng bất
kỳ, bỏ đi (n - p) cột bất kỳ được gọi là ma trận con cấp p của A.
Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp p của A.
b) Định nghĩa (Hạng của ma trận). Cấp cao nhất của định thức con khác không của A được gọi
là hạng của ma trận A. Ký hiệu r(A). c) Định lý.
Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận.
Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác không của nó.
d) Cách tính hạng của ma trận
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 6 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
- Dùng định nghĩa : Tính các định thức con khác 0 (thường bắt đầu từ góc trên bên trái). Cấp cao
nhất của các định thức con khác 0 là hạng ma trận.
- Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa
ma trận về dạng bậc thang rồi đếm số hàng khác 0 (hàng khác 0 là hàng có ít nhất một phần tử
khác 0), số đếm được sẽ là hạng ma trận.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau theo 1 1 2 A 2 1 5 . 1 10 6 1
1.3. Ma trận khả nghịch 1.3.1. Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cùng cấp sao cho . A B . B A I .
Nhận xét: Ma trận vuông A là khả nghịch khi và chỉ khi det( ) A 0.
1.3.2. Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho . A B .
B A I . Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu 1 A .
b) Cách tìm ma trận nghịch đảo 1
*) Sử dụng công thức 1 T A
A , trong đó A a với a (1)ij M là phần bù đại số ij detA ij ij của phần tử a . ij
*) Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n:
Bước 1: Lập ma trận B gồm n dòng 2n cột gồm nửa trái là ma trận A, nửa phải là ma trận
đơn vị I cấp n A |I . n
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận B về ma trận có dạng I A n | ' .
Bước 3: Kết luận ma trận nghịch đảo của ma trận A là A'.
c) Tính chất của ma trận nghịch đảo + 1 1
(A ) A .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 7 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
+ Nếu A, B đều khả nghịch và cùng cấp thì: 1 1 1 ( . A B) B .A . + T 1 1 ( ) ( )T A A .
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận 1 1 1 1 2 5 7 1 1 1 1 a) 6 3 4 b) 1 1 1 1 5 2 3 1 1 1 1
1.4. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
1.4.1. Các định nghĩa
- Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số là hệ có dạng: a
x a x ... a x b 11 1 12 2 1 n n 1 a x a x .
.. a x b 21 1 22 2 2 n n 2 .... a
x a x a x b m 1 1 m 2 2 ... mn n m trong đó: x j n là các ẩn số. j ( 1, 2,..., ) a (i 1, ;
m j 1,n) là hệ số của ẩn x trong phương trình thứ i. ij j
b , i 1,m là hệ số tự do của phương trình thứ i. i
- Một bộ số (a ,..., a ) được gọi là nghiệm của hệ phương trình nếu khi ta thay 1 n
x a ,..., x a vào hệ thì ta thấy tất cả m đẳng thức đều thỏa mãn. 1 1 n n a a ... a 11 12 1n a a ... a Ta gọi 21 22 2n A
là ma trận các hệ số của hệ. ... ... a a a m1 m 2 ... mn x b 1 1 x b
Lấy các ẩn lập thành ma trận cột 2 x
, lấy các hệ số tự do lập thành ma trận cột 2 b . . .. . .. x b n m
Áp dụng các phép toán ma trận, ta có thể viết hệ phương trình tuyến tính ở dạng ma trận . A x B .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 8 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Ngoài ra, ta có thể lập ma trận hệ số bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ, ký hiệu là bs A
là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thêm vào A cột hệ số tự do.
1.4.2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer
a) Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là hệ Cramer nếu có số phương trình bằng
số ẩn số và định thức ma trận hệ số của hệ khác không. b) Quy tắc Cramer. | A |
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức j x , trong đó Aj là định j | A |
thức thu được từ định thức A bằng cách thay cột thứ j của A bằng cột hệ số tự do, các cột khác giữ nguyên.
c) Chú ý. Trong quá trình giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính, khi xảy ra trường hợp | A | | A | 0, j
, ta không có kết luận “Hệ vô số nghiệm”, để có kết luận chính xác thì ta phải j
giải hệ bằng phương pháp Gauss. Còn nếu xảy ra trường hợp | A | 0 và có ít nhất một | A | 0 j
thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:
mx y z 1
x my z m . 2
x y mz m
1.4.3. Định lý tồn tại nghiệm
Định lý Cronecker-Capelli. Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là
hạng ma trận hệ số của hệ bằng hạng ma trận hệ số bổ sung của hệ.
1.4.4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận đưa ma trận bổ sung về dạng bậc
thang. Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ bậc thang. Hệ bậc thang này giải dễ dàng từ dưới lên.
Sơ đồ giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss Jordan như sau:
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 9 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H Nhận xét. - Nếu ( ) ( bs r A
r A ) số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất. - Nếu ( ) ( bs r A
r A ) số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm. - Nếu ( ) ( bs r A
r A ) thì hệ phương trình tuyến tính đã cho vô nghiệm.
1.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1.5.1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn số có dạng: a
x a x ... a x n n 0 11 1 12 2 1 a
x a x ... a x 0 21 1 22 2 2 n n .... a
x a x ... a x 0 m 1 1 m 2 2 mn n
Dễ thấy hệ phương trình luôn có nghiệm x x ... x 0 , nghiệm này gọi là nghiệm 1 2 n
tầm thường. Như vậy, với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ, hệ luôn có nghiệm.
Điều này cũng có nghĩa là hệ có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không) khi và
chỉ khi hệ có vô số nghiệm.
Từ nhận xét rút ra từ định lý Cronecker-Capelli, ta có thể thấy ngay định lý sau:
Định lý. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma
trận của hệ có hạng nhỏ hơn số ẩn số: r (A ) r n .
Như vậy: Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn số thì hệ sẽ
có nghiệm không tầm thường khi định thức ma trận hệ số của hệ bằng 0.
1.5.2. Không gian các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Giả sử hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax 0 có nghiệm không tầm thường, thấy
ngay tập nghiệm của hệ có (n - r) ẩn tự do (n là số ẩn trong phương trình, còn r r (A)) .
Giả sử ta chọn một ẩn tự do nào đó là 1 và (n – r - 1) ẩn tự do còn lại là 0, sau đó thế vào
giải được r ẩn khác thì ta được một nghiệm cụ thể. Bằng cách gán lần lượt các ẩn tự do giá trị 1,
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 10 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
còn các ẩn tự do còn lại chọn bằng 0, ta tìm được một tập nghiệm gồm (n - r) nghiệm, tập nghiệm
đó gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ta xem mỗi nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất như một phần tử
của Kn, ký hiệu là (i 1, n r). Khi đó tập t t ... t | t K được gọi là 1 1 2 2 n r n r i i
một không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Nghiệm
t t ... t
được gọi là nghiệm tổng quát của hệ PTTT thuần nhất. 1 1 2 2 n r n r
Ví dụ: Tìm hệ nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của hệ PTTT
1.5.3. Sự liên hệ giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất n
Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát a x b k m thì hệ phương trình ki i k , 1,..., i 1 n a x k m
được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của hệ trên. ki i 0, 1,..., i 1
Ta có sự liên hệ giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất như sau
Định lý. Giả sử là một nghiệm nào đó của hệ PTTT tổng quát và (i 1,n r) là hệ nghiệm i
cơ bản của hệ PTTT thuần nhất tương ứng. Khi đó nghiệm của hệ PTTT tổng quát có dạng
t t ... t
, t K . Nghiệm này gọi là nghiệm tổng quát của hệ, còn gọi là 1 1 2 2 n r n r i
nghiệm riêng của hệ.
Tóm lại: Nghiệm tổng quát của một hệ PTTT tổng quát bằng tổng của một nghiệm riêng của nó
với nghiệm tổng quát của của hệ PTTT thuần nhất tương ứng.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của hệ PTTT sau:
======================================== BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1. Cho các ma trận
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 11 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bài 2. Tính các định thức
Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình
Bài 4. Tìm hạng của ma trận
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 12 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bài 5. Không khai triển định thức, chứng minh rằng
Bài 6. Tính các định thức cấp n
Bài 7. Cho A (a ) là một ma trận vuông với các hệ số phức sao cho a a ,i, j. Chứng minh ij ij ji
rằng det A là một số thực.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 13 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bài 8. Cho A (a là một ma trận vuông cấp n 2 . ij )
A là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng n 1 det A (det ) A .
Bài 9. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: 1 1 1 1 2 5 7 cos sin 1 1 1 1 a. A b. A 6 3 4 c. A sin cos 1 1 1 1 5 2 3 1 1 1 1 2 1 2
Bài 13. Cho ma trận A 3 2 6
. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A rồi áp dụng kết 1 1 7
quả đó giải các hệ phương trình sau:
Bài 14. Tìm điều kiện của tham số m để hệ PT sau có nghiệm
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 14 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
=======================================
CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.1. Khái niệm về không gian véc tơ
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa. Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là , , , x , y ...
K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là x,y,z,a,b,k,l, .
. . Trên V trang bị hai phép toán:
+) Phép toán trong (thường gọi là phép cộng), kí hiệu :V V V ( ,
)
+) Phép toán ngoài (thường gọi là phép nhân), kí hiệu . : K V V (k, )
k.
Nếu V cùng với 2 phép toán định nghĩa như trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: Với , ,
V . k,l K ,
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 15 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H 1.
,, V : ( ) ( );
2. 0 V, V : 0 ; 3. V ,
V : 0; 4. ,
V : ; 5. V , k
,l K : (k l ) k l ; 6. ,
V, k K : k( ) k k; 7. V , k
,l K : k(l) (k.l) ; 8.
V : 1.
thì V được gọi là không gian véc tơ trên trường K, hay gọi tắt là K không gian véc tơ (hoặc
đơn giản là không gian véc tơ).
- Khi K , V được gọi là không gian véc tơ thực.
- Khi K , V được gọi là không gian véc tơ phức.
- Các phần tử của V được gọi là các véc tơ.
- Các phần tử của K , được gọi là các vô hướng
- Phép toán cộng “+” được gọi là phép cộng hai véc tơ, phép toán nhân “.” được gọi là phép
nhân một véc tơ với vô hướng.
- Véc tơ 0 trong tiên đề 2 gọi là véc tơ không.
- Véc tơ trong tiên đề 3 gọi là véc tơ đối của véc tơ . Ví dụ.
(1) Tập hợp các véc tơ tự do trong không gian véc tơ cùng với phép cộng hai véc tơ và phép nhân
một véc tơ với một số thực làm thành một không gian véc tơ thực.
(2) V ,V là hai không gian véc tơ trên trường K, 1 2
V V {(v , v ) | v V , v V } 1 2 1 2 1 1 2 2
Trên V V xác định hai phép toán: (v ,v ),(w ,w )V V ,k K , 1 2 1 2 1 2 1 2
(v , v ) (w , w ) (v w , v w ) 1 2 1 2 1 1 2 2
k(v ,v ) (kv ,kv ) 1 2 1 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 16 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
V V cùng với phép cộng và phép nhân định nghĩa như trên làm thành một K - không gian véc 1 2 tơ thực. (3) Tập hợp n
K {(x ,..., x ) x ,
K i 1,..., n} cùng với phép cộng 1 n i
(x ,..., x ) (y ,..., y ) (x y ,..., x y ) 1 n 1 n 1 1 n n và phép nhân (
k x ,..., x ) ( kx ,..., kx ) là một không gian véc tơ trên K . 1 n 1 n
- Khi n = 1 bản thân K cũng là một không gian véc tơ trên K .
- Trường số thực các số thực cùng với phép cộng và phép nhân hai số thực là một không gian véc tơ thực. - Tập hợp 2 {(x x
x x cùng với phép cộng 1 , 2 ) 1 , 2 }
(x ,x ) (y , y ) (x y ,x y ), 1 2 1 2 1 1 2 2 và phép nhân (
k x , x ) ( kx , kx ) 1 2 1
2 là một không gian véc tơ thực.
2.1.2. Các tính chất
Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Theo định nghĩa không gian véc tơ, V
cùng phép cộng là một nhóm giao hoán nên ta có ngay một số tính chất sau:
+ Véc tơ 0 (không) trong tiên đề 2 là duy nhất. + Với mỗi véc tơ
V , véc tơ đối của là duy nhất.
+ Luật chuyển vế được thực hiện
.
+ Luật giản ước được thực hiện .
Đối với phép nhân một véc tơ với vô hướng, ta có các tính chất sau: +
0.x 0, với 0 là phần tử 0 của trường K . + .
k 0 0, k K. + Từ đẳng thức
k .x 0, ta luôn suy ra được k 0 hoặc x 0 . + k .x ( k
).x đặc biệt ( 1
).x x .
+ Với mọi hệ {x ,x ,...,x } trong V, với mọi k , k ,..., k , K ta luôn có 1 2 n 1 2 n
k x k x k x V. 1 1 2 2 n n
2.2. Tổ hợp tuyến tính, hệ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 17 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
2.2.1. Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính
Định nghĩa. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K .
+) Tập hợp các véc tơ , ,..., trong V được gọi là một hệ véc tơ trong V , kí hiệu 1 2 n
{ , ,..., } . 1 2 n
+) Cho { , ,..., } là một hệ véc tơ trong V . Hệ véc tơ { , ..., }, i {1, 2,..., } n , 1 2 n i i j 1 m
j 1,..., m được gọi là hệ véc tơ con của hệ véc tơ { , ,..., } . 1 2 n n
+) Tổng x x x x , với x , K ,
V i 1,2,..., n được gọi là tổ hợp 1 1 2 2 n n i i i i i 1
tuyến tính của hệ véc tơ { , ,..., } ứng với họ hệ số {x ,x ,...,x } . 1 2 n 1 2 n n
+) Nếu x x x x thì véc tơ được gọi là biểu thị tuyến tính (khai 1 1 2 2 n n i i i 1
triển được) theo hệ véc tơ { , ,..., }. 1 2 n Ví dụ.
(1) Trong không gian véc tơ thực 2
, cho hai véc tơ , thì 2 3 là một tổ hợp tuyến 1 2 1 2
tính của hệ véc tơ { , } ứng với họ hệ số {2;3}. 1 2
(2) Trong không gian véc tơ thực 3
, cho ba véc tơ , , thì 2 là một tổ hợp tuyến 1 2 3 1 3
tính của hệ véc tơ
{ , , } ứng với họ hệ số {1; 0; 2}. 1 2 3
2.2.2. Hệ véc tơ độc lập tuyến tính và hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K .
+) Hệ véc tơ { , ,..., }trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức 1 2 n n x
0, kéo theo x 0, i 1,2,...,n. i i i i1
+) Hệ véc tơ { , ,..., } trong V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến 1 2 n tính.
Ví dụ. Trong không gian véc tơ thực 2 .
(1) Cho hai véc tơ (1,1), (0,1) . Hệ này là độc lập tuyến tính. 1 2
(2) Cho ba véc tơ (2; 0), (0;1), (4;2). 1 2 3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 18 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H Hệ ba véc tơ
{ , , } phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3
2.2.3. Một số tính chất
(1) Hệ véc tơ { , ,..., } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại họ hệ số {x } 1 2 n i i1,n n
không đồng thời bằng 0 sao cho x 0 . i i i 1
(2) Mọi hệ véc tơ con của một hệ véc tơ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính.
(3) Một hệ véc tơ chứa một hệ véc tơ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.
(4) Hệ véc tơ { , ,..., }, n 1 là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi: 1 2 n
+) Nếu n 1 thì 0 . 1
+) Nếu n 1 thì có ít nhất một véc tơ trong hệ véc tơ { , ,..., } biểu thị tuyến tính 1 2 n
được qua các véc tơ còn lại.
(5) Nếu hệ véc tơ { , ,..., } độc lập tuyến tính thì hệ véc tơ { , ,..., , } phụ thuộc 1 2 n 1 2 n
tuyến tính khi và chỉ khi véc tơ biểu thị tuyến tính được qua hệ véc tơ {, ,..., } , hơn nữa, 1 2 n
cách biểu thị tuyến tính đó là duy nhất.
Liên hệ với chương trình phổ thông: Trong không gian 3 chiều thông trường đã học trong chương trình phổ thông:
+) Hệ hai véc tơ {a,b} là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hai véc tơ a,b không cùng phương. +) Hệ ba véc tơ { , a , b }
c là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hai véc tơ a,b,c không đồng phẳng.
+) Mọi hệ gồm 4 véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính.
2.3. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
2.3.1. Hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véc tơ
Định nghĩa. Cho hệ véc tơ { } (I là tập chỉ số) trong K không gian véc tơ V . Hệ véc tơ i iI
con { } ,J I, gọi là hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ { } nếu nó là j j J i i I
hệ véc tơ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ véc tơ ,k I \ J vào hệ con đó ta đều được k
một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.
Các bước tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn véc tơ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 19 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bước1. Xác định một hệ véc tơ con độc lập tuyến tính (bất kỳ) của hệ véc tơ đã cho.
Bước 2. Bổ sung lần lượt các véc tơ còn lại của hệ véc tơ đã cho vào hệ con độc lập tuyến tính để
được hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Làm như vậy cho tới khi hết các véc tơ cần xét hoặc không thể
bổ sung để được hệ độc lập tuyến tính nữa. Hệ độc lập tuyến tính cuối cùng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại.
Ví dụ. Trong không gian véc tơ thực 2
, cho ba véc tơ (1,1), (0,1), (2; 5). 1 2 3 Tìm hạng của hệ?
Chú ý. Hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ không là duy nhất. Tính chất.
(1) Nếu hệ véc tơ con { , ,..., } là hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ 1 2 n { }
thì mọi véc tơ (còn lại) của hệ véc tơ { } đều biểu thị tuyến tính được một cách i iI i i I
duy nhất qua hệ véc tơ con { , ,..., } . 1 2 n
(2) Nếu hệ véc tơ con { , ,..., } là hệ véc tơ con độc lập tuyến tính của hệ véc tơ { } thì 1 2 n i i I
ta có thể bổ sung thêm các véc tơ còn lại của hệ véc tơ { } vào hệ véc tơ { , ,..., } để i iI 1 2 n
được một hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ { } . i iI
2.3.2. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
Bổ đề. Cho hai hệ véc tơ
{ , ,..., } (1); { , ,..., } (2) trong K – không gian véc tơ V. Nếu 1 2 r 1 2 s
hệ véc tơ (1) độc lập tuyến tính và mỗi véc tơ của hệ (1) là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ (2) thì r s .
Định lý và định nghĩa. Số véc tơ trong hai hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn
véc tơ luôn bằng nhau, số đó được gọi là hạng của hệ véc tơ đã cho.
Cách tìm hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
- Nếu hệ véc tơ chỉ có duy nhất 0, thì hạng của hệ bằng 0.
- Nếu hệ véc tơ khác { 0}
Bước 1. Lấy một hệ con độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ đã cho.
Bước 2. Bổ sung lần lượt các véc tơ còn lại của hệ đó vào hệ con độc lập tuyến tính để được hệ
độc lập tuyến tính. Làm cho tới khi hết các véc tơ cần xét hoặc không thể bổ sung để được hệ véc
tơ độc lập tuyến tính nữa. Hệ độc lập tuyến tính cuối cùng là hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 20 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bước 3. Đếm số véc tơ trong hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại vừa tìm được và kết luận
hạng của hệ véc tơ đã cho.
Ví dụ. Trong không gian véc tơ 4 , tìm hạng của các hệ véc tơ
a) {a (1;1;0; 0),b (1;1;0;0),c (1;1;1;0),d (2;2;1; 0)} . b) {a (1; 1
;2; 0),b (1;1;1;0),c ( 1
;2;1; 0),d (2; 0;1;0)}
2.4. Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ
2.4.1. Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ
Định nghĩa. Giả sử V là một K không gian véc tơ.
(1) Một hệ véc tơ trong V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi véc tơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
(2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K không gian véc tơ hữu hạn sinh.
(3) Một hệ véc tơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi véc tơ của V đều biểu thị tuyến tính
duy nhất qua hệ đó. Ví dụ. (1) {1},{ }
a ,a 0 là các cơ sở của - không gian véc tơ thực .
(2) {(1,0);(0,1)};{(1;2), (0;1)} là hai cơ sở của - không gian véc tơ thực 2
Định lý. Giả sử { }
là một hệ hữu hạn véc tơ trong không gian véc tơ V , khi đó các mệnh đề i i 1, n
sau tương đương:
(i) { }là cơ sở của V . i
(ii) { } là hệ sinh độc lập tuyến tính của V . i
(iii) { } là hệ véc tơ độc lập tuyến tính tối đại của V . i Chứng minh
(i) (ii): Vì { là cơ sở của V theo định nghĩa cơ sở thì { } là hệ sinh của V . Ta cần i } i
chứng minh { } là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. i
Xét tổ hợp tuyến tính x x ... x 0 (1), ta chứng minh x 0, i 1,...,n 1 1 2 2 n n i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 21 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Thật vậy, vì { } là cơ sở của V nên theo định nghĩa cơ sở ta có véc tơ 0 biểu thị tuyến tính i
được một các duy nhất dưới dạng 0 0 0 ... 0 (2). 1 2 n
Vì cách biểu diễn là duy nhất nên từ (1) và (2) x 0, i
1,...,n độc lập tuyến tính. i { } i
(ii) (iii): Hiển nhiên vì { } là hệ sinh của V nên mọi véc tơ thuộc V đều biểu thị tuyến tính i
qua { } và vì {} là hệ véc tơ độc lập tuyến tính { }là hệ véc tơ độc lập tuyến tính tối đại. i i i
(iii) (i): Giả sử { là hệ véc tơ độc lập tuyến tính tối đại của V . i }
Mọi véc tơ thuộc V đều biểu thị tuyến tính được một cách duy nhất qua { } nên theo định i
nghĩa {} là cơ sở của V . i
Định lý và định nghĩa. Nếu V là không gian véc tơ hữu hạn sinh thì V có cơ sở gồm hữu hạn
véc tơ và số phần tử của các cơ sở trong V đều như nhau, số đó gọi là số chiều của không gian véc tơ V .
Khi V là K không gian véc tơ có số chiều n ta viết dim V n hay dim V n K Chứng minh Giả sử hệ véc tơ
{ } i I hữu hạn là một hệ sinh của V , { ,..., là một hệ véc tơ con n } i , 1
độc lập tuyến tính tối đại của { },i I . Khi đó mọi véc tơ thuộc { } đều biểu thị tuyến tính i i
được qua hệ { ,..., } và do đó mọi véc tơ thuộc V đều biểu thị tuyến tính được qua { ,..., } . 1 n 1 n
Vì vậy { ,..., }cũng là một hệ sinh của V . Hơn thế, vì { ,..., } độc lập tuyến tính nên theo 1 n 1 n
định lý 2.4.1 { ,..., } là một cơ sở của V . 1 n
Giả sử { }, j J {1,...,m} là một cơ sở khác của Để chứng minh định lý ta j cần bổ đề sau
V thì vì mọi véc tơ thuộc { } đều biểu thị tuyến tính j
qua { ,..., } nên theo Bổ đề 2.3.1 m n (1)
Bổ đề 2.3.1 Cho hai hệ véc 1 n
{ , ,..., } (1); 1 2 r Ngược lại, vì trong
{ ,..., }là một cơ sở của V nên mọi véc tơ 1 s
{ , ,..., } (2) 1 2 s
tơ của { ,..., }cũng biểu thị tuyến tính qua { ,..., }, 1 r 1 s K – không gian véc tơ V.
theo Bổ đề 2.3.1 n m (2)
Nếu hệ véc tơ (1) độc lập
tuyến tính và mỗi véc tơ
Từ (1) và (2) suy ra m n. Vậy số phần tử của các cơ sở của hệ (1) là tổ hợp tuyến
trong V đều như nhau.
tính của hệ véc tơ (2) thì r s .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 22 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Nhận xét. Cho V là một không gian véc tơ n chiều, khi đó:
(1) Mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính gồm m véc tơ (m < n) đều có thể bổ sung thêm (n m) véc tơ
nữa để được một cơ sở của V .
(2) Mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính gồm n véc tơ đều là cơ sở của V .
(3) Mọi hệ véc tơ trong V gồm nhiều hơn n véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính.
Thật vậy, giả sử V là một không gian véc tơ n chiều,{ } là một cơ sở của V , { } là hệ i i
gồm n véc tơ độc lập tuyến tính trong V . Giả sử { } không là cơ sở của V , tức là x V sao i
cho x không biểu thị tuyến tính được qua { } hệ véc tơ { ,x} độc lập tuyến tính. Và vì { } i i i
là một cơ sở của V nên mọi , i 1,..., n và x đều biểu thị tuyến tính được qua { } nên theo Bổ i i
đề 2.3.1 n 1 n (vô lý).
2.4.2. Toạ độ của một véc tơ đối với một cơ sở
Định nghĩa. Giả sử {
e ,..., e } là một cơ sở của K không gian véc tơ n chiều V . Khi đó 1 n x
V đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: n
x x e ( x K) i i i i 1
Bộ số (x ,...,x ) : (x ) được gọi là tọa độ của véc tơ x đối với (hay “trong”, “theo”) cơ sở 1 n i
, x được gọi là tọa độ thứ i của x đối với cơ sở đó. i
Nếu x( x ,..., x ), y( y ,..., y ) đối với cơ sở thì x y (x y ,...,x y ) và 1 n 1 n 1 1 n n
x ( x ,..., x ) đối với . 1 n Chú ý.
+) Giả sử {e ,...,e } là một cơ sở của K không gian véc tơ n chiều V . Khi đó tọa độ của các 1 n
véc tơ e , i 1,..., n đối với cơ sở là: i
e (1;0,...,0),e (0;1;0;...;0),...,e (0;...;0;1) 1 2 n
+) Trong - không gian véc tơ thực n , cơ sở
{e (1;0,...,0), e (0;1;0;...;0),..., e (0;...;0;1)} 1 2 n
được gọi là cơ sở chính tắc (hoặc cơ sở tự nhiên). Ví dụ.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 23 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
(1) Ta có {1} là cơ sở của - không gian véc tơ thực . Đối với cơ sở {1}, véc tơ -3 được
biểu diễn một cách duy nhất qua cơ sở đó dưới dạng 3 3
.1 nên -3 có tọa độ là -3 đối với cơ sở {1}.
(2) Hệ {2} là cơ sở của - không gian véc tơ thực . Đối với cơ sở {2}, véc tơ -3 được biểu 3 3
diễn một cách duy nhất qua cơ sở đó dưới dạng 3
.2 nên véc tơ -3 có tọa độ là 2 2 đối với cơ sở {2} .
(3) Các hệ {(1,0);(0,1)};{(1; 2),(0;1)} là hai cơ sở của - không gian véc tơ thực 2 và (2;1) là một véc tơ trong 2 .
+) (-2;1) = -2.(1,0) 1.(0,1) nên (2;1) có tọa độ đối với cơ sở {(1,0);(0,1)} là (2;1) .
+) (2;1) 2.(1;2) 5.(0;1) nên (2;1) có tọa độ đối với cơ sở {(1; 2),(0;1)} là ( 2 ;5) .
2.4.3. Công thức đổi toạ độ
Giả sử V là K không gian véc tơ n chiều, {e ,...,e } , {e,...,e} là 2 cơ sở của V , 1 n 1 n n x V
. Giả sử x (x ) đối với cơ sở , x (x ) đối với cơ sở và e c e (1) với i j j ij i i 1
j 1, ..., n hay e (c ) đối với cơ sở . j ij n
Khi đó theo định nghĩa tọa độ của véc tơ, vì
x (x đối với cơ sở , x (x ) i ) x x e i i j i 1 n
đối với cơ sở x xe j j . j 1 n n n n n n n n
x e x e x e x C e x e C x e i i j j i i j ij i i i ij j i i 1 j 1 i 1 j 1
i1 i 1 i1 j1
Do tính chất duy nhất của sự khai triển của véc tơ x đối với cơ sở ta có: n
x C x ,i i,n (2) i ij j j 1
(2) có thể viết được dưới dạng ma trận: x C.x (3) trong đó C (c ) gọi là ma trận chuyển cơ sở. ij
(1) được gọi là công thức đổi cơ sở.
(2), (3) được gọi là công thức đổi tọa độ từ cơ sở sang cơ sở (ứng với (1)). Ví dụ.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 24 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H (1) Cho
{ (1, 0,..., 0),..., (0,...,1)} là hệ n véc tơ trong K không gian véc tơ n
K . Khi đó hệ { } 1 n i n
là độc lập tuyến tính (vì x x
x x x ). Hơn nữa mọi a(a ,..., a ) n K i i 0 ( ,..., n) 0 ... n 0 1 1 1 n i1 n ta có
a a là hệ sinh của n K . i i { i } i1
=>{ } là cơ sở của n
K . Hệ { } được gọi là cơ sở chính tắc hay cơ sở tự nhiên của n K và vì vậy i i dim n K n .
(2) Trong - không gian véc tơ thực 2
, cho cơ sở { , } . Chứng minh: 1 2
a) Hệ véc tơ
{,} với , cũng là một cơ sở của 2 1 2 1 1 2 2 1 2
b) Cho (2; 4) đối với cơ sở { , }. Hãy tìm tọa độ của đối với cơ sở . 1 2
Chú ý. Nếu là một hệ véc tơ trong không gian véc tơ n chiều V thì:
+) hg = hạng ma trận cột (dòng) tọa độ của các véc tơ trong . +) hg . n
+) gồm n véc tơ thì độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận cột
(dòng) tọa độ của ≠ 0.
2.5. Không gian véc tơ con
2.5.1. Không gian véc tơ con
Định nghĩa. Một tập con W của K không gian véc tơ V gọi là không gian véc tơ con của V
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) W ổn định (đóng) đối với 2 phép toán trên V , nghĩa là:
+) , W , W
+) W , K , W
(ii) W cùng 2 phép toán trên V (hạn chế trên W ) là một K không gian véc tơ.
Nhận xét. Trong định nghĩa 2.5.1,
(1) Điều kiện (i) tương đương với điều kiện sau:
, W ,x,y K ,x y W
(2) Điều kiện (ii) suy ra 0 W do đó W .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 25 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một tập con của không gian véc tơ là không gian véc tơ con.
Định lý. Giả sử V là một K không gian véc tơ, W V . W là không gian véc tơ con của V nếu
và chỉ nếu W và ổn định đối với 2 phép toán của V . Chứng minh
( ) Giả sử W là không gian véc tơ con của V . Theo định nghĩa 2.5.1 W ổn định với 2 phép toán
trên V và từ nhận xét 2.5.1 ta có W .
( ) Giả sử W và ổn định với 2 phép toán của V , ta phải chứng minh W cùng với 2 phép
toán của V hạn chế trên W thỏa mãn 8 tiên đề trong định nghĩa không gian véc tơ.
- Vì các tiên đề 1, 4, 5, 6, 7, 8 thỏa mãn với mọi phần tử thuộc V nên chúng thỏa mãn với mọi
phần tử thuộc W .
- Ta chứng minh W thỏa mãn tiên đề 2, 3:
+) Vì W nên W
. Do W ổn định đối với phép nhân với vô hướng nên 0. 0 W
0W và rõ ràng 0 0 tiên đề 2 được thỏa mãn.
+) W , (1) W và ( ) 0
Thật vậy: 0 0. [1 (1)] (
) tiên đề 3 đc thỏa mãn.
Vậy W là K không gian véc tơ, Do đó W là không gian véc tơ con của V . Ví dụ.
(1) Tập {0} và V là những không gian véc tơ con của V , chúng gọi là những không gian véc tơ
con tầm thường của V .
(2) Tập các véc tơ cùng phương với một véc tơ khác 0cho trước trong không gian véc tơ học ở
phổ thông làm thành một không gian véc tơ con 1 chiều.
(3) - Coi tập số phức là - không gian véc tơ thì tập số thực là - không gian véc tơ con của .
- Nếu coi là - không gian véc tơ thì không là không gian véc tơ con của vì
không là - không gian véc tơ (do không ổn định với phép nhân với một số phức).
2.5.2. Giao của một họ các không gian véc tơ con:
Nhận xét. Giả sử {W } là một họ các không gian véc tơ con của không gian véc tơ i iI V .
(1) Giao của các W , i I là một không gian véc tơ con của i
V (Vì giao đó do chứa
0 và ổn định với các phép toán của V ). Kí hiệu giao của các W ,i I là W hay i i i I W W ... W
nếu I {1, 2,3,..., } n . 1 2 n
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 26 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
(2) W là không gian véc tơ con lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa trong mọi i i I
W ,i I . i
Định nghĩa. Giả sử V là một K không gian véc tơ, X V . Ta gọi giao của mọi không gian
véc tơ con của V chứa X là bao tuyến tính của X và kí hiệu là X .
Nếu X { , ,..., } thì ta cũng kí hiệu X , ,..., . 1 2 m 1 2 m Nhận xét.
(1) X là không gian véc tơ con bé nhất của V chứa X .
(2) là tập con của mọi tập hợp nên {0}.
(3) Nếu W là một không gian véc tơ con của V thì W W .
Định lý. Giả sử X là tập con khác của không gian véc tơ V . Khi đó X là tập các tổ hợp
tuyến tính của các hệ (hữu hạn) véc tơ trong X .
Tức là nếu X x ,..., x thì X x k x ... k x ,k ,...,k K . 1 1 n n 1 n 1 n Chứng minh
Gọi W là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các hệ (hữu hạn) véc tơ trong X .
Vì mỗi véc tơ của X là tổ hợp tuyến tính của chính nó nên X W
Dễ thấy W (vì W X ) và W ổn định với 2 phép toán của V do đó theo Định lý 2.5.1 W
là một không gian véc tơ con của V . Theo nhận xét 2.5.2 W
W . Mà X W nên X W W Mặt khác X
là không gian véc tơ con của V chứa X nên nó chứa mọi tổ hợp tuyến tính
của các hệ (hữu hạn) véc tơ trong X tức là X W
Vậy W X
Ví dụ. Trong không gian véc tơ 3 cho các véc tơ:
(0,1, 0), (1,1, 3), (2, 3, 6) 1 2 3
(0, 0, 1), (1,2,1), (3, 6,1) 1 2 3
Hãy xác định một cơ sở của giao của 2 không gian véc tơ W , , , W , , ? 1 1 2 3 2 1 2 3
2.5.3 Tổng của một họ các không gian véc tơ con
Định nghĩa. Giả sử {W } là một họ các không gian véc tơ con của
W là tổng i i I V . Ta gọi i i I m
của họ các không gian véc tơ con {W } và kí hiệu: W hoặc W hay W ... W nếu i iI i i 1 m i I i1
I 1,...,m .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 27 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H m
Nếu v W
thì v có thể viết dưới dạng v x ... x , với x W . i 1 m i i i 1
Chú ý rằng cách viết trên nói chung không duy nhất.
Ví dụ . Cho W (1, 0, 0), (0,1, 0) ; W (0, 0,1), (1,1, 0) và 1 1 2 2 1 2
(2,1,1) . Ta có 3
W W , , ,
, , . 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 W W . 1 2 1 1 1 2 1 2 W W W W 1 2 1 2
Định nghĩa. Nếu mọi W ... W đều viết được một cách duy nhất dưới dạng 1 m x .
.. x , x W
,i 1,m thì tổng W ... W được gọi là tổng trực tiếp của m không gian véc 1 m i i 1 m m
tơ con W và kí hiệu là: W ...W hay W . i 1 m i i 1 Ví dụ.
W (1, 0, 0) ,W (0, 0,1) là các không gian véc tơ con của 3 và 1 1 2 1
W W {0} nên tổng W W là tổng trực tiếp của W ,W . 1 2 1 2 1 2
Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để tổng của hai không gian véc tơ là tổng trực tiếp.
Định lý. Giả sử W ,W là các không gian véc tơ con của không gian véc tơ V . Khi đó 1 2 W W W
là tổng trực tiếp W W khi và chỉ khi W W { 0 }. 1 2 1 2 1 2 Chứng minh ( )
Giả sử W W W và W W W và W . Ta có có thể viết được dưới dạng 1 2 1 2 1 2
0 , 0 W , W . Mặt khác 0 , W,0 W . 1 2 1 2
Theo định nghĩa tổng trực tiếp cách khai triển thành tổng của hai véc tơ thuộc W ,W là 1 2
duy nhất 0 W W {0}. 1 2 ( )
Ngược lại giả sử W W {0}, W W và với , W , , W . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
Từ với W , W 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 28 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
, W W 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
, cách khai triển thành tổng của hai véc tơ thuộc W , W là duy nhất. Định 1 1 2 2 1 2 lý được chứng minh.
Định lý. (về số chiều của tổng và giao của hai không gian véc tơ con)
Giả sử W , Z là hai không gian véc tơ con của K không gian véc tơ hữu hạn chiều V .
Khi đó dimW dim Z dim(W Z ) dim(W Z) . Chứng minh
Giả sử { ,..., } là một cơ sở của W Z (nếu W Z {0} thì coi r 0). { ,..., }là một 1 r 1 r
hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong cả W , Z .
- Vì { ,..., } là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong W nên có thể bổ sung thêm ,..., W 1 r 1 m
để được { ,...,
là một cơ sở của W . r , ,..., m } 1 1
- Cũng vậy, vì { ,..., }là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong Z nên có thể bổ sung thêm 1 r
,..., để được { ,..., , ,..., } là một cơ sở của Z . 1 s 1 r 1 s
Ta sẽ chứng minh { ,..., , ,..., , ,..., } (*) là cơ sở của W Z . 1 r 1 m 1 s
Vì mọi véc tơ trong W Z đều viết được dưới dạng tổng của hai véc tơ thuộc W , Z và hai
véc tơ này đều biểu thị tuyến tính được qua các cơ sở tương ứng của W , Z nên mọi véc tơ trong
W Z đều biểu thị tuyến tính được qua (*). Do đó, (*) là một hệ sinh của W Z
Ta chứng minh (*) là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
Xét đẳng thức a ... a b ... b c ... c 0 (1) 1 1 r r 1 1 m m 1 1 s s
a ... a b ... b c
... c 1 1 r r 1 1 m m 1 1 s s
Vế phải thuộc W , vế trái thuộc Z nên hai vế cùng thuộc W Z c
... c t ... t 1 1 s s 1 1 r r
t ... t c ... c 0 1 1 r r 1 1 s s
Và do { ,..., , ,..., } là cơ sở của Z t ... t c ... c 0 (2) 1 r 1 s 1 r 1 s
Vì c ... c 0 nên từ (1) suy ra a ... a b ... b 0 và vì 1 s 1 1 r r 1 1 m m
{ ,..., , ,..., } là cơ sở của W nên a ... a b ... b 0 (3) 1 r 1 m 1 r 1 m
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 29 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Vậy từ (2) và (3) suy ra hệ véc tơ
{ ,..., , ,..., , ,..., } độc lập tuyến tính. 1 r 1 m 1 s
Vậy (*) là cơ sở của W Z .
Do đó, dim(W Z) r m s (r m) (r s) r dimW dim Z dim(W Z)
Hay dim(W Z) dim(W Z) dimW dim Z.
Hệ quả. dim(W Z) dimW dim Z
Thật vậy, theo định lý ta có:
dim(W Z) dimW dim Z dim(W Z) và vì W Z {0} nên dim(W Z ) 0 .
Do đó, dim(W Z) dimW dim Z .
Định nghĩa. Cho V là một K- Không gian véc tơ. Nếu V W Z thì Z được gọi là bù tuyến tính
của W trong V (và do đó W là bù tuyến tính của Z trong V ). Khi đó dim Z dimV dimW
được gọi là số đối chiều của W trong V . Ví dụ.
W (1, 0, 0), (0,1, 0) ,W (0, 0,1) là các không gian véc tơ con của 3 1 1 2 2 1
và W W {0} nên tổng W W là tổng trực tiếp của W ,W . 1 2 1 2 1 2 Hơn nữa 3
W W nên W là không gian véc tơ con bù tuyến tính của W trong 3 . 1 2 2 1
Khi đó dimW 1 được gọi là số đối chiều của W trong 3 . 2 1 BÀI TẬP CHƯƠNG 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 30 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 31 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
=======================================
3.1. Ánh xạ tuyến tính
3.1.1. Định nghĩa. Cho V, W là các K – không gian véc tơ. Ánh xạ f :V W được gọi là ánh
xạ tuyến tính, hay đồng cấu tuyến tính, hay gọi tắt là đồng cấu nếu nó bảo tồn các phép toán của
K – không gian véc tơ, tức là với mọi , V , k K,
f ( ) f ( ) f ( )
f (k ) kf ( ). Từ định nghĩa ta thấy
1. f :V W là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
f (k l ) kf ( ) lf ( ), , l , k ,l K .
2. Nếu f :V W là ánh xạ tuyến tính thì n n a ) f x x f ( ); i i i i i 1 i 1 ) b f (0) 0; c) f ( ) f ( ). Ví dụ. Ánh xạ 2 3
f : xác định bởi f (x ; y ) (x 2y ;2x ;x y ) là một ánh xạ tuyến tính.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 32 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H Ánh xạ 3 2
f : xác định bởi f (x; y;z ) (x 2;2x;z y ) không là một ánh xạ tuyến tính.
3.1.2. Các phép toán trên tập các ánh xạ tuyến tính
Cho V, W là các K – không gian véc tơ. Ánh xạ f , g : V W là những ánh xạ tuyến
tính. Khi đó tổng của hai ánh xạ f và g ký hiệu là f g và tích của ánh xạ f với số k K ,
ký hiệu là kf là những ánh xạ được xác định bởi
f g :V W; ( f g )() : f () g (), V .
kf :V W; kf ( ) : kf ( ); V .
Nhận xét. 1) f g ; kf là những ánh xạ tuyến tính.
2) Tập hợp các ánh xạ tuyến tính f :V W cùng hai phép toán xác định như trên
làm thành một K – không gian véc tơ, ký hiệu là Hom(V , W) hay ( L V,W). Chứng minh.
3.1.3. Sự xác định ánh xạ tuyến tính
Định lý: Giả sử V là một K – không gian véc tơ n chiều. Khi đó ánh xạ tuyến tính từ V đến K –
không gian véc tơ W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của một cơ sở. n n n n n n
Ta có f ( ) f x x f ( ) x ,
g() g x x g( ) x . i i i i i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i1 i1 i1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 33 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Từ đó suy ra f () g() . Do đó f g.
Ví dụ. Giả sử e (1;1;1),e (1;0;1), e (0;0;1) là một cơ sở của 3
(1;2), (1;1) là 1 2 1 và 1 2 một hệ véc tơ của 2 . Xác định ánh xạ 3 2 f : biết
f (e ) 2 , f (e ) 3 , f (e ) . 1 1 2 2 1 3 1 2
3.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giả sử V, W là những K - không gian vectơ hữu hạn chiều, , ,..., là một cơ sở 1 2 n
của V, , ,..., là một cơ sở của W. Khi đó theo định lý trên mỗi ánh xạ tuyến tính 1 2 m f :V W
hoàn toàn được xác định bởi f ( ) , (i 1,..., n) , tức là hoàn toàn xác định bởi các i i
toạ độ (a ), j 1,...,m của các vectơ f ( ) , (i 1,..., n) trong cơ sở , ,..., . Ta có 1 2 m ij i i m n n
f ( ) a , i 1,...,n. Với mỗi x V
, đặt f () y . Khi đó ta có: i ji j i i j j j 1 i1 j 1 n n n n m m n
y f ( ) f x x f ( ) x
a a x . j j i i i i i ji j ji i j j 1 i 1 i 1 i 1 j 1 j 1 i 1 n
Từ đó suy ra: y a x , j 1 ,..., . m j ji i i 1
y a x a x ... a x 1 11 1 12 2 1n n
y a x a x ... a x Hay: 2 21 1 22 2 2n n ...
y a x a x ... a x m m1 1 m 2 2 mn n
Như vậy khi cho các cơ sở , ,...,
và , ,..., tương ứng của V và W thì mỗi 1 2 1 2 n m
ánh xạ tuyến tính f :V W hoàn toàn được xác định bởi ma trận: a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2 A (a ) n ji ... ... a a ... a 1 m m2 mn
Ma trận đó được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong (hay đối với) các cơ sở nói trên.
Nói cách khác cho các cơ sở , ,..., của V và , ,..., của W thì có một 1 2 m 1 2 n
song ánh giữa tập Mat (m,n) các ma trận cỡ m n trong K và tập Hom(V, W) các ánh xạ tuyến K tính từ V đến W.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 34 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Dễ thấy A (a ), B (b ) là ma trận của các ánh xạ tuyến tính f :V W và g : V W ji ji
tương ứng trong các cơ sở , ,..., và , ,..., thì A B (a b ) là ma trận 1 2 m 1 2 n ji ji
của ánh xạ tuyến tính f g và kA (ka ) là ma trận của ánh xạ tuyến tính kf trong các cơ sở đó. ji
Do đó tập Mat m n với hai phép toán nói trên là một K - không gian vectơ. Và song ánh K ( , )
f Hom (V , W) A Mat (m,n ) là một đồng cấu các K - không gian vectơ. K
Định lý. Tích (hay hợp thành) của hai ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh.
Nhận xét. Nếu A (a ) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V W ứng với các cơ sở , tương ji
ứng của V, W, B (b là ma trận của ánh xạ tuyến tính g : W Z ứng với các cơ sở , tương kj ) m
ứng của W, Z thì ma trận C ( c ) b a . B A
là ma trận của g f ứng với cơ sở ,. ki kj ji j 1
Chú ý. Ma trận A (a )cỡ m n trên trường K xác định một đồng cấu : n Km f K ji nhận A
làm ma trận của nó trong cơ sở chính tắc của n K và m
K . Cụ thể f biến vectơ x , x ,..., x thành 1 2 n n
vectơ y , y ,..., y mà y a x , j 1,..., . m Viết vectơ n
x K và véc tơ m y K thành các ma 1 2 m j ji i i 1 x y 1 1 x y
trận cột (x) và (y) tương ứng 2 2 x , y
thì được y A.x. ... ... x y n m
Dễ thấy nếu f :U V, g : V W, h:W Z là những ánh xạ tuyến tính giữa các K - không gian vectơ thì
(h g) f h (g f );
g ( f f ) g f g f , f , f Hom(U ,V ); 1 2 1 2 1 2
(g g ) f g f g f , g
, g Hom(V , W). 1 2 1 2 1 2
Từ đó suy ra các công thức giữa các ma trận: C.(B.A) = (C.B).A, B.(A + A’) = B.A + B. A’, (B + B’).A = B.A + B’.A.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 35 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
3.3. Ảnh, hạt nhân của một đồng cấu. Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu
3.3.1. Ảnh, hạt nhân và hạng của một đồng cấu
Định lý. Giả sử f là một đồng cấu giữa các K – không gian véc tơ. Khi đó ảnh, ảnh ngược của
một không gian véc tơ con là một không gian véc tơ con. Đồng cấu f không làm tăng số chiều của không gian véc tơ con. Chứng minh.
Giả sử V, W là những K - không gian vectơ, f :V W là một đồng cấu. Nếu U là một
không gian vectơ con của V thì f (0) 0 thuộc f (U ) nên f (U ) .
Mặt khác, với mọi , f (U ) thì tồn tại , U sao cho f ( ), f ( ). 1 2 1 2 1 1 2 2
Do vậy k l kf ( ) lf ( ) f (k l ) f(U), ,
k l K. Vậy f(U) là không gian 1 2 1 2 1 2 vectơ con của W.
Giả sử Z là không gian vectơ con của W thì Z chứa 0 f (0) nên 1
f (Z) chứa 0 , do đó 1 f (Z) . Mặt khác 1 ,
f (Z ), k ,l K ta có
f ( ), f ( )Z nên
f (k l ) kf () lf ( )Z . Từ đó suy ra 1 k l f (Z). Vậy 1
f (Z ) là một không gian vectơ con của V.
Cuối cùng giả sử , ,..., là một cơ sở của U, khi đó dễ thấy 1 2 m
f ( ), f ( ),..., f ( ) là một hệ sinh của f(U) do đó dim f (U ) m dimU . 1 2 m
Định nghĩa. Giả sử f :V W là đồng cấu giữa các K – không gian véc tơ
i) f (V ) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Imf.. ii) 1
f (0) được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Kerf .
iii) Nếu V k\là không gian véc tơ hữu hạn chiều thì dim(Imf) được gọi là hạng của f, ký
hiệu là rank ( f ) hay r( f ).
Nhận xét. i) Imf , Kerf tương ứng là các không gian véc tơ con của W, V.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 36 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
ii) Nếu V hữu hạn chiều và , ,..., là một cơ sở của V thì 1 2 n
rank ( f ) rank f ( ),..., f ( ) . 1 n 3.3.2. Đơn cấu
Định nghĩa. Đồng cấu f :V W giữa các K – không gian véc tơ được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
Định lý. Giả sử V, W là các K – không gian véc tơ, V hữu hạn chiều, f :V W là một đồng cấu
tuyến tính. Khi đó các mệnh đề sau tương đương a) f đơn cấu;
b) Ker f {0};
c) Ảnh của mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ độc lập tuyến tính;
d) Ảnh của một cơ sở là một hệ vectơ độc lập tuyến tính;
e) rank f dimV. Chứng minh.
a) b): Giả sử f đơn cấu,
Ker f f ( ) 0. Vì f (0) 0 nên f () f (0) 0 (do f
đơn cấu). Do đó Ker f {0}.
b) c) : Giả sử Ker f {0} và , ,..., là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V. 1 2 m m m m
Xét tổ hợp tuyến tính x f ( ) 0 f ( x ) 0 x Ker f . i i i i i i i1 i 1 i 1 m
Vì Ker f {0} nên x x i m i i 0 i 0, 1,..., . i1
Vậy hệ f ( ), f ( ),..., f ( ) độc lập tuyến tính. 1 2 m c) d): Hiển nhiên.
d) e): Giả sử , ,..., là một cơ sở của V và f(
là độc lập tuyến tính. Khi đó i ) 1 2 n i 1 , n
rank ( f ) rank f ( )
n dimV . i i1,n
e) a) : Giả sử rank( f ) dimV .
n Gọi , ,..., là một cơ sở của V. 1 2 n
Vì rank ( f ) rank f ( )
dimV n nên hệ f ( ) độc lập tuyến tính. i i i1,n i 1 , n n n Nếu có x , y
mà f ( ) f ( ) thì i i i i i 1 i 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 37 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H n n
f ( ) f ( ) f ( ) f (x y )
(x y ) f ( ) 0 . i i i i i i i 1 i 1 Do hệ f (
độc lập tuyến tính nên x y ,i 1,...,n , do đó f đơn cấu. i ) i 1,n i i 3.3.3. Toàn cấu
Định nghĩa: Đồng cấu f :V W giữa các K – không gian véc tơ được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh.
Định lý. Giả sử f :V W là một đồng cấu tuyến tính giữa các K – không gian véc tơ hữu hạn chiều, khi đó
f là toàn cấu rank (f ) dimV . Chứng minh.
f là toàn cấu <=> f(V) = W. Vì f(V) là không gian vectơ con của W nên dim f(V) = dim W
<=> rank (f ) dimW . 3.3.4. Đẳng cấu
Định nghĩa. Đồng cấu f :V W giữa các K – không gian véc tơ được gọi là đẳng cấu nếu f vừa
là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Như vậy, đồng cấu f :V W giữa các K - không gian vectơ là đẳng cấu khi và chỉ khi nó
là một song ánh. Khi đó f có ánh xạ ngược 1
f và dễ thấy 1 f
: W V cũng là một đẳng cấu.
Hai K - không gian vectơ gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu từ không gian này lên không gian kia.
Định lý. Hai K – không gian véc tơ là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều. Chứng minh.
Nếu V và W đẳng cấu thì có đẳng cấu f :V W . Vì f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu nên
rank ( f ) dimV dimW . Từ đó suy ra dimV dimW .
Ngược lại, giả sử dimV dimW . Lấy , ,..., , , ,..., là hai cơ sở tương ứng 1 2 n 1 2 n
của V và W và gọi f :V W là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f ( ) , i
1,...,n thì dễ thấy i i
rank ( f ) n dimV dimW nên f là đẳng cấu. Từ đó suy ra V và W đẳng cấu.
Định lý. Giả sử f :V W là một đồng cấu tuyến tính giữa các K – không gian véc tơ. Khi đó
f :V / Kerf W : [ ] f ( ) là một đơn cấu và nó gây ra một đẳng cấu từ V / e
K rf lên Im f . Chứng minh.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 38 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Trước hết ta chứng minh ánh xạ f : V / e
K rf W : [ ] f () như trên là xác định. Nghĩa
là nó không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của lớp tương đương [ ]V / Kerf .
Thật vây, nếu [ ] [ '] thì ' Ker f , tức là f ( ') 0 hay f ( ) f ( ').
Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính và Im f Im f .
Bây giờ chỉ còn phải chứng minh f là đơn cấu. Giả sử f ([]) f ([ ]) . Khi đó
f () f () hay f () f () 0. Từ đó suy ra Kerf hay [ ]
[]. Vậy f là đơn cấu và
do đó gây ra đẳng cấu từ V / Kerf lên Im f .
Hệ quả. Với giả thiết như định lý trên và khi V hữu hạn chiều thì
dimV dimKer f dim Im f .
3.4. Không gian véc tơ đối ngẫu
3.4.1. Định nghĩa. Cho V là một K – không gian véc tơ. Tập Ho (
m V, K) các ánh xạ tuyến tính từ
V đến K (còn gọi là các dạng tuyến tính trên V) cùng với hai phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh
xạ với vô hướng thuộc K làm thành một K – không gian véc tơ đối ngẫu của V, ký hiệu là V*. 3.4.2. Tính chất
Tính chất 1. Nếu f :V W là một đồng cấu tuyến tính giữa các K – không gian véc tơ thì ánh xạ * * * * *
f : W V , f ( )() (f ( )), W , V
là một đồng cấu.
Tính chất 2. Nếu V là K – không gian véc tơ n chiều và { e,..., e } là một cơ sở của nó thì họ 1 n
các ánh xạ tuyến tính V K xác định bởi e i j n là một cơ sở của V*. i : i ( j ) ij , , 1,
Nhận xét: Từ tính chất 2 suy ra: i) * dimV . n ii) Ánh xạ tuyến tính * V
V , e là một đẳng cấu. Đẳng cấu này phụ thuộc vào cơ sở i i
{e ,..., e } đã chọn. 1 n
Tính chất 3. Ánh xạ ** *
V V Hom(V , K), sao cho mọi *
V ,() () là một đồng i
cấu. Hơn nữa nó còn là một đơn cấu.
==================================== BÀI TẬP CHƯƠNG 3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 39 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 40 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H =====
=====================================
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE
4.1. Tích vô hướng và không gian véctơ Euclid
4.1.1. Tích vô hướng
Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ trên trường số thực, một dạng song tuyến tính
:V V được gọi là đối xứng nếu
( , ) ( , ), , V ,
được gọi là dương nếu ( , ) 0, với mọi V ,
được gọi là xác định nếu
( , ) 0, thì 0,
b. Một dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương trên không gian vectơ V gọi là một tích vô hướng trên V.
c. Giả sử là một tích vô hướng trên không gian vectơ V. Số thực (, ) gọi là tích vô
hướng của hai vectơ và và ký hiệu là . .
Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ có các tính chất sau:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 41 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H (
) . . 1 2 1 2
(k ) k .( .) 1
.(k ) k .(. ) 1
( ) . . 1 2 1 2 . . . 0
. 0 0. Ví dụ.
4.1.2. Không gian véctơ Euclid
Định nghĩa. - không gian véc tơ V cùng với một tích vô hướng trên V là một không gian véc tơ Euclide. Ví dụ. n
là không gian vectơ với tích vô hướng xác định bởi
. x y x y ... x y với (x ;x ;...; x ) , (y ;y ;...;y ) n . 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
Chú ý. Cho một cơ sở tùy ý ,..., của không gian vectơ V thì dạng song tuyến tính 1 n
hoàn toàn xác định bởi giá trị trên cơ sở đó, tức hoàn toàn xác định bởi ( , ) a . Cụ thể i j ij n n n
x , y , ta có ( , ) a x y . i i j j ij i j i 1 j 1 i, j 1 x y 1 1 x y
Ký hiệu x, y là các ma trận cột 2 2 x , y
và A (a ) thì T
x Ay là ma trận chỉ ... ... ij x y n n n
chứa một phần tử a x y và ta thường đồng nhất ma trận này với chính phần tử đó nên ta có ij i j ,i j 1 thể viết (, ) T x Ay.
là dạng đối xứng khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng, tức T
A A và khi đó với mọi
x, y ta có T T x Ay y Ax.
4.1.3. Trực giao và trực chuẩn.
Định nghĩa 1. Cho V là một không gian véc tơ Euclde. Với mỗi véc tơ V , chuẩn của nó là
một số thực không âm được xác định bởi
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 42 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H 2 . .
Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản của chuẩn của vectơ 0, 0 thì 0, k | k | . | | , .
Định nghĩa 2. Cho V là một không gian véc tơ Euclde
- Hai vectơ và gọi là trực giao với nhau nếu . 0. - Hệ
gọi là hệ trực giao nếu i j i . j 0, , . ii 1 ,m
- Vectơ gọi là vectơ đơn vị nếu 1. - Một hệ vectơ
gọi là hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao và mọi vectơ là vectơ i i 1 ,m 1
, khi i j
đơn vị nghĩa là . . i j ij 0, khi i j - Một cơ sở
của V gọi là cơ sở trực chuẩn nếu nó là hệ trực chuẩn. i i 1,n
Định lý 1. Cho
là một hệ trực giao và 0,i . Khi đó i i 1 ,m i 1. Hệ
là hệ độc lập tuyến tính, i i 1 ,m 2. 2 2 2 2 ... ... (Định lý Pytago). 1 2 m 1 2 m
Như vậy, mọi hệ véc tơ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính.
Định lý 2. Trong một không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.
Định nghĩa 3. Giả sử W là không gian véc tơ con của không gian véc tơ Euclide V
- Véc tơ V được gọi là trực giao với W nếu trực giao với mọi véc tơ của W, ký hiệu W.
- Hai không gian vectơ con W, Z gọi là trực giao với nhau nếu mọi vectơ của không gian này
trực giao với mọi vectơ của không gian kia và ký hiệu là W Z.
Định lý 3. Giả sử W, Z là các không gian véc tơ con của không gian véc tơ Euclide V
1. Nếu W và W thì 0,
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 43 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
2. W khi và chỉ khi trực giao với một cơ sở của W.
3. Nếu W Z thì W Z 0, do đó ta có tổng trực tiếp W Z.
Định lý 4. Giả sử V là không gian véc tơ Euclide. Đặt W V , W .
Khi đó W là một không gian vectơ con của V. Hơn nữa nếu V hữu hạn chiều thì V=W W, (W )
W. W gọi là phần bù trực giao của W.
Ví dụ. Trong không gian vectơ Euclide 3 ,
hãy trực chuẩn hóa cơ sở ( 1 ;1;2), (3; 1 ;1), (1;0; 1 ). 1 2 3
4.2. Chéo hóa ma trận
4.2.1. Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận
- Cho A là một ma trận vuông cấp n, Số được gọi là một giá trị riêng của A nếu tồn tại bộ x 1 x
x ;...;x không đồng thời bằng không sao cho A.x .x , trong đó 2 x . Véc tơ 1 n x n
x ;...;x được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng . 1 n
- Đa thức P (X) det( A X.I) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. A
- Phương trình det(A X .I ) 0 được gọi là phương trình đặc trưng của A.
Các nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận A được gọi là các giá trị riêng của ma trận A.
Mọi ma trận A đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó. 1 1 1
Ví dụ 1. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A 1 1 1 1 1 1
Ví dụ 2. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận; Tìm An.
4.2.2. Thuật toán chéo hóa ma trận
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 44 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một
ma trận khả nghịch C sao cho ma trận 1 B C . . A C có dạng chéo.
Điều kiện để ma trận chéo hóa được: Một ma trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu nó có đủ
n giá trị riêng phân biệt hoặc có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Các ma trận sau có chéo hóa được không khi xét chúng trên trường số thực
Thuật toán chéo hóa ma trận:
Bước 1. Giải phương trình đặc trưng
Bước 2. Tìm các giá trị riêng
Bước 3. Ứng với mỗi GTR, tìm các VTR bằng cách giải hệ PT (A , I).x 0 i
Bước 4. Viết ma trận khả nghịch C (là ma trận có cột thứ i là cột tọa độ của véc tơ riêng thứ i vừa tìm được)
Bước 5. Viết ma trận chéo 1 B C . .
A C (là ma trận có các phần tử chéo là các GTR tương ứng) 1 1 1
Ví dụ. Tìm ma trận khả nghịch C làm chéo hóa ma trận A 1 1 1 1 1 1
4.2.3. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực
- Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu C. T C I n
- Nếu A là một ma trận vuông đối xứng thực cấp n, luôn tồn tại một ma trận trực giao C sao cho ma trận 1 B C . . A C có dạng chéo.
Thuật toán chéo hóa trực giao ma trận đối xứng
Bước 1. Giải phương trình đặc trưng
Bước 2. Tìm các giá trị riêng
Bước 3. Tìm các VTR - Nếu A
i là GTR bội 1, giải hệ PT ( ,I).x 0 i
để tìm VTR i tương ứng rồi chuẩn hóa VTR đó.
- Nếu là GTR bội s > 1, giải hệ PT ( A ,I).x 0 để tìm đủ s VTR độc lập tuyến i i
tính rồi sử dụng quá trình G-S để chuẩn hóa hệ VTR đó.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 45 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Bước 4. Viết ma trận trưc giao C (là ma trận có cột thứ i là cột tọa độ của véc tơ riêng thứ
i trong hệ VTR trực chuẩn vừa tìm được)
Bước 5. Viết ma trận chéo 1 B C . .
A C (là ma trận có các phần tử chéo là các GTR tương ứng) 2 1 1
Ví dụ. Tìm ma trận trực giao C làm chéo hóa ma trận A 1 2 1 1 1 2
4.3. Dạng toàn phương
4.3.1. Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ trên trường số thực, :V V là một
dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Ánh xạ H :V ,
H ( ) ( , )
gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng .
Trong không gian vectơ V với cơ sở ,..., , với mọi (x ; x ;...; x ) , 1 n 1 2 n
(y ;y ;...;y ) V
, dạng song tuyến tính đối xứng có biểu thức tọa độ dạng 1 2 n n
(, ) a x y , trong đó a ( , ), i
, j. Ma trận A (a ) gọi là ma trận của trong cơ sở ij i j ij i j ij ,i j 1 ,..., . 1 n
Từ đó suy ra biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H ứng với có dạng n
H ( ) a x x , ij i j i , j 1
với mọi ( x ; x ;...; x ) V. Ma trận A (a ) cũng gọi là ma trận của dạng toàn phương H. 1 2 n ij
4.3.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Giả sử là dạng song tuyến tính đối xứng trên - không gian véc tơ hữu hạn chiều V. n
Trong V xét hai cơ sở ,..., và ,..., . Ta có c j
n Nếu A (a là ma ij ) j ij i , 1,..., . 1 n 1 n i 1
trận của trong cơ sở ,..., và B (b ) là ma trận của trong cơ sở ,..., thì 1 n 1 n ij n n
b
c c jk ( j , k ) ij i, lk l i 1 l 1 n n
c c c a c ij lk ( i, l ) ij il lk , i ,l 1 i ,l 1 tức là T B C AC .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 46 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Nếu trong V có cơ sở ,..., sao cho (
i j thì trong cơ sở đó ma trận A (a ) i, j) 0, 1 n ij
của có dạng chéo. Dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng trên V trong
cơ sở đó có biểu thức tọa độ dạng n 2
H() a x a a i i , i ii . i 1
Cơ sở ,..., gọi là cơ sở - trực giao của V, hay gọi là cơ sở trực giao khi đã rõ. Biểu 1 n
thức tọa độ đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của dạng toàn phương H.
Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính tắc
a) Phương pháp Lagrange
b) Phương pháp chéo hóa trực giao ma trận đối xứng
4.3.3. Đường bậc hai, mặt bậc hai Định nghĩa 1.
Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Đề các Oxy cho phương trình bậc hai có dạng: 2 2
a x a y 2a xy a x a y a 0, (1) 11 22 12 1 2 0
trong đó a ,a ,a ,a ,a ,a là những số thực cho trước và a , a không đồng thời bằng 0. 11 12 22 1 2 0 11 22
Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng có tọa độ (x; y) đối với hệ tọa độ Đề các Oxy thỏa
mãn phương trình (1) được gọi là đường bậc hai xác định bởi phương trình (1).
Nếu đường bậc hai (S) được xác định bởi phương trình (1) thì phương trình (1) được gọi là
phương trình tổng quát của mặt bậc hai (S).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy, cho đường bậc hai có phương trình tổng quát
(1). Bằng các phép biến đổi tọa độ, người ta đã chứng minh được trong mặt phẳng bao giờ cũng
tìm được hệ tọa độ Đề các O’XY sao cho phương trình của đường bậc hai đã cho được viết một trong các dạng sau:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 47 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H 2 2
X Y 1 (Elip) 2
X 2Y (Parabol) 2 2
X Y 1 (Hypebol) 2
X 1 (Cặp đư ờng th ẳng song song ) 2 2
X Y 1 (Elip ả o) 2 X
1 (Cặp đư ờng th ẳng ảo song song ) 2 2
X Y 0 (C ặp đư ờng th ẳng ảo cắ t nhau ) 2
X 0 (Cặp đư ờng th ẳng trùng nhau ) 2 2
X Y 0 (C ặp đư ờng th ẳng c ắt nhau ) Định nghĩa 2.
Trong không gian cho hệ tọa độ Đề các Oxyz cho phương trình bậc hai có dạng: 2 2 2
a x a y a z 2a xy 2a xz 2a z a x a y a z a 0, (2) 11 22 33 12 13 23 1 2 3 0
trong đó a , a ,a , a ,a , a , a , a ,a , a là những số thực cho trước và a , a ,a không đồng 11 22 33 12 13 23 1 2 3 0 11 22 33 thời bằng 0.
Tập hợp các điểm M trong không gian có tọa độ (x; y; z) đối với hệ tọa độ Đề các Oxyz
thỏa mãn phương trình (2) được gọi là mặt bậc hai xác định bởi phương trình (2).
Nếu mặt bậc hai (S) được xác định bởi phương trình (2) thì phương trình (2) được gọi là
phương trình tổng quát của mặt bậc hai (S).
Có 17 loại khác nhau của mặt bậc hai và tên gọi tương ứng: 2 2 2 X Y Z 1 , (Elip xôit ) 2 2 X
Y 1, (Trụ h ypebol ic) 2 2 2
X Y Z 1 , (Elip xôit 1 tầ ng ) 2 2 X
Y 1 , (Trụ elip tic ảo) 2 2 2
X Y Z 1 , (Elip xôit 2 tầ ng ) 2 2
X Y 0, (Cặ p m ặt ph ẳ ng ảo c ắt nhau ) 2 2 2
X Y Z 1 , (Elip xôit ảo ) 2 2
X Y 0 , (Cặp m ặt ph ẳng cắt nhau ) 2 2 2
X Y Z 0 , (M ặt nón ảo) 2
X 2Y , (Tr ụ p araboli c) 2 2 2
X Y Z 0 , (Mặ t nón ) 2
X 1 , (Cặ p m ặt ph ẳ ng s ong song ) 2 2 X Y
2Z , (Paraboloit elliptic ) 2 X
1, (Cặp m ặt ph ẳng ảo song song ) 2 2
X Y 2Z , (Paraboloit hypebolic ) 2
X 0 , (Cặp m ặt ph ẳng t rùng nhau ) 2 2
X Y 1 , (Trụ elip t ic)
Đưa phương trình của đường, mặt bậc hai về dạng chính tắc: Ví dụ. Trong 3
, cho mặt bậc hai (S) có phương trình 2 2 3
x x 4x 2x x 4x x 4x x 6x 1 0. 1 2 3 1 2 1 3 2 3 3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 48 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Tìm dạng chính tắc của (S).
Giải: Ma trận A của (S) là 1 1 2 A 1 1 2 . 2 2 4
Đa thực đặc trưng của A là: 1 1 2 2 1 1 2 ( 6) . 2 2 4
Vậy A có hai giá trị riêng 0 và 6 . 1 2
Ứng với giá trị riêng 0 , tìm dược hệ vectơ riêng trực giao u 1, 1, 0 , 1 1 u (1, 1, 1 ) 2 .
Ta chuẩn hóa hai vecto u và u được: 1 2 u 1 1 1 e , , 0 1 u 2 2 1 u 1 1 1 2 e , , 2 u 3 3 3 2 u 1 1 2
Với giá trị riêng 6 , ta có VTR u (1,1, 2) và 3 e , , . 2 3 3 u 6 6 6 3
Vậy ta có cơ sở trực chuẩn e ,e ,e mà ma trận chuyển cơ sở là: 1 2 3 1 1 1 2 3 6 1 1 1 C 2 3 6 1 2 0 3 6
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 49 KHOA TOÁN ĐẠI I S Ố T U T Y U ẾN N T Í T N Í H N H
Khi đó ma trận A trở nên ma trận t C AC có dạng chéo: 0 0 0 0 0 0 0 0 6
Dùng phép biến đổi tọa độ x = Cx’, phần bậc nhất 6x 1 0 trở nên 3 ' ' x 2x 2 3 6 1. 3 6 "2 6x
Vậy phương trình mới của (S) "2 2 6x 0. 3 3 Hay "2 "
2 3x 2x 0. Đó là trụ parabolic. 3 2 Ví dụ 2. Trong 3 cho mặt bậc hai (S)
x x x x x x x x x 1 0. 2 3 3 1 1 2 1 2 3
Hãy viết phương trình chính tắc của (S).
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM- ĐHTN Trang 50