Bài giảng Kỹ thuật Hàm sinh - Toán rời rạc thầy Trần Vĩnh Đức | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Kỹ thuật Hàm sinh Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 24 tháng 7 năm 2018 1 / 26 Nội dung
Tính các hệ số của hàm sinh Dãy Fibonacci Định nghĩa
Ta ký hiệu [xn]G(x) là hệ số của xn trong hàm sinh
G(x) = g0 + g1x + g2x2 + · · · .
Có nghĩa rằng [xn]G(x) = gn. 3 / 26 Bài tập
Tìm hệ số của xn trong hàm sinh 1 . (1 − x)c 4 / 26 Lời giải Ta có 1
= (1 + x + x2 + · · · )c. (1 − x)c
Hệ số của xn trong hàm sinh trên chính là số nghiệm nguyên
không âm của phương trình
e1 + e2 + · · · + ec = n. 5 / 26 Lời giải (tiếp)
Xét song ánh giữa các nghiệm của phương trình
e1 + e2 + · · · + ec = n với
”các dãy nhị phân gồm n số 1 và c − 1 số 0” như sau:
e1 + e2 + · · · + ec = n
⇔ 11 · · · 1 | {z } 0 11 · · · 1
| {z } 0 · · · 0 11 · · · 1 | {z } e1 e2 ec 6 / 26 Lời giải (tiếp) Theo luật BOOKEEPER thì
”số dãy nhị phân gồm n số 1 và c − 1 số 0” bằng ( ) n + c − 1 (n + c − 1)! = . n n!(c − 1)! 7 / 26 Dãy hệ số tổ hợp Vậy ta có ⟨ ( ) ( ) ( ) ⟩ c + 1 c + 2 c + 3 1, c, , , , · · · ←→ 1 . 2 3 4 (1 − x)c 8 / 26 Bài tập
Tìm hệ số của xn trong hàm sinh
(x2 + x3 + x4 + · · · )5.
Hệ số này chính là số cách chọn n chiếc kẹo từ 5 loại kẹo, mỗi loại lấy ít nhất hai chiếc. 9 / 26 Bài tập
Tìm hệ số của xn trong hàm sinh (1 + x)c. 10 / 26 Bài tập
▶ Ta cần $15 để đóng góp cứu trợ đồng bào vùng bão lụt.
▶ Có 20 sinh viên tham gia đóng góp.
▶ Biết rằng 19 người đầu tiên sẽ góp $1 hoặc không, người
thứ 20 sẽ góp $1 hoặc $5 (hoặc không góp).
▶ Hãy dùng hàm sinh để tính số cách quyên góp $15. 11 / 26 Bài tập
Hãy tính số cách để lấy 25 quả bóng giống nhau từ 7 chiếc hộp
biết rằng hộp đầu tiên có không nhiều hơn 10 quả, còn các hộp khác có số quả tuỳ ý. 12 / 26 Bài tập
Có bao nhiêu cách chọn n quả với các rằng buộc sau? ▶ Số táo phải chẵn.
▶ Số chuối phải chia hết cho 5.
▶ Có nhiều nhất bốn quả cam.
▶ Có nhiều nhất một quả đào. 13 / 26 Ví dụ
Chứng minh đẳng thức sau dùng hàm sinh. ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n 2 n 2 2n + + · · · + = . 0 1 n n 14 / 26 Chứng minh.
Hệ số của xn trong hàm sinh F(x) = (1 + x)2n là ( ) 2n . n
Đặt G(x) = H(x) = (1 + x)n. Vậy hệ số xr trong G(x) = H(x) là ( ) ( ) n n = . r n − r
Theo luật tích, hệ số xn trong hàm sinh G(x)H(x) = F(x) là ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n n + + · · · + 0 n 1 n − 1 n 0 ( ) ( ) ( ) n 2 n 2 n 2 = + + · · · + 0 1 n 15 / 26 Nội dung
Tính các hệ số của hàm sinh Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci
⟨0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · ⟩ được định nghĩa bởi f0 = 0 f1 = 1
fn = fn−1 + fn−2 (với n ≥ 2). 17 / 26 Bài tập
Hãy tìm hàm sinh F(x) cho dãy Fibonacci.
⟨0, 1, f1 + f0, f2 + f1, f3 + f2, · · · ⟩ 18 / 26 Lời giải ⟨ 0, 1, 0, 0, 0, · · · ⟩ ←→ x ⟨ 0, f0, f1, f2, f3, · · · ⟩ ←→ xF(x) + ⟨ 0, 0, f0, f1, f2, · · · ⟩
←→ x2F(x)
⟨ 0, 1 + f0, f1 + f0, f2 + f1, f3 + f2, · · · ⟩ Vậy ta có
F(x) = x + xF(x) + x2F(x) x = . 1 − x − x2 19 / 26 Bài tập
Hãy viết ra công thức tường minh cho dãy sinh bởi hàm sinh x F(x) := . 1 − x − x2 20 / 26