Bài luyện tập môn xác suất thống kê

BÀI TẬP ÔN TẬP
1.7. Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm.
a. Lấy đồng thời hai sản phẩm từ hộp, tính xác suất lấy được 2 chính phẩm. b.
Lấy lần lượt hai sản phẩm từ hộp theo phương thức không hoàn lại, tính xác suất lấy được hai chính phẩm.
1.9. Một nhà máy sản phẩm một loại sản phẩm có tỉ lệ là 75% sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên đồng
thời 5 sản phẩm từ nhà máy.
a. Tính xác suất để lấy được 3 sản phẩm tốt b.
Tính xác suất để lấy được ít nhất một sản phẩm tốt.
1.11. Một công ty cần tuyển nhân viên, sau khi hết hạn nhận hồ sơ dự tuyển, công ty đó thông báo:
một người muốn trúng tuyển phải qua ba vòng thi, trúng tuyển ở vòng trước mới được dự thi ở vòng
sau, vòng 1 lấy 90% số người dự tuyển (lấy từ cao xuống thấp) vòng 2 lấy 80%, vòng 3 lấy 60%. Một
người dự thi vào Công ty đó và bị trượt, tính xác suất để người đó bị trượt ở vòng 2.
1.14. Một nhà máy sản xuất bóng đèn. Máy A sản xuất 65% số bóng đèn của nhà máy, máy B sản
xuất 35% số bóng đèn của nhà máy. Tỉ lệ bóng đèn bị hỏng của các máy tương ứng là 4% và 2%.
a. Lấy ngẫu nhiên một bóng đèn từ nhà máy, tính xác suất để lấy được bóng đèn tốt. b.
Tính xác suất để lấy được bóng đèn do máy A sản xuất biết rằng lấy được bóng bị hỏng.
1.15. Để sản xuất một loại sản phẩm, có thể dùng một trong hai máy. Tỷ lệ phế phẩm đối với máy
thứ nhất là 0,03; đối với máy thứ hai là 0,02. Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy thứ nhất và
1/3 sản phẩm của máy thứ hai, người ta rút hú hoạ 1 sản phẩm. Tính xác suất sao cho sản phẩm đó không là phế phẩm.
1.17. Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh AIDS ở một địa phương là 2%. Người ta sử dụng một phản ứng
mà nếu người bị bệnh thì phản ứng luôn luôn dương tính, nếu không bị bệnh thì phản ứng có thể
dương tính với xác suất 0,2.
a. Tìm xác suất phản ứng dương tính. b.
Tìm xác suất bị bệnh, không bị bệnh trong nhóm người có phản ứng dương tính.
1.18. Trong số 18 xạ thủ, 5 người trúng đích với xác suất là 0,8; 7 người trúng đích với xác suất là
0,7; 4 người trúng đích với xác suất la 0,6; 2 người trúng đích với xác suất là 0,5. Chọn ngẫu nhiên
một xạ thủ và cho anh ta bắn một phát. Nhưng kết quả không trúng bia. Hỏi xạ thủ ấy có khả năng
thuộc nhóm nào nhiều nhất.
2.1. Một đề thi trắc nghiệm có 2 câu, nội dung các câu độc lập, mỗi câu chỉ có hai thang điểm nếu
đúng thì được 5 điểm còn sai thì được 0 điểm. Khả năng làm đúng câu thứ nhất là 0,7 và khả năng làm
đúng câu thứ hai là 0,6.
a. Tính xác suất để một sinh viên nào đó dự thi đạt ít nhất 5 điểm.
b. Gọi X là số điểm sinh viên có thể đạt được. Lập bảng phân phối xác suất của X.
c. Tính E(X), V(X).
2.2. Một trò chơi quay số trúng thưởng, vòng tròn quay số gồm có 11 ô chia đều được đánh số từ 0
đến 10. Nếu kim quay dừng ở ô nào thì số tiền được thưởng bằng chữ số ở ô đó nhân với 1 nghìn. Mỗi
lần tham dự quay số người chơi phải trả tiền vé 6 nghìn đồng. Một người mua một vé để tham dự trò chơi.
a. Tính xác suất để người đó có lãi ít nhất 2 nghìn.
b. Gọi X là số tiền thưởng của người đó. Lập bảng phân phối xác suất của X.
2.4. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất để các bộ phận bị hỏng trong
khoảng thời gian t tương ứng bằng 0,2; 0,3; 0,25. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian t.
a. Tìm phân phối xác suất của X. b.
Tính xác suất để trong thời gian t có ít nhất một bộ phận bị hỏng.
2.5. Một xạ thủ đem theo 4 viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày thi bắn. Anh ta bắn từng viên vào
bia với xác suất trúng vòng 10 trong mỗi lần bắn là 0,85. Nếu bắn được 2 viên liên tiếp trúng vòng 10
thì anh ta thôi không bắn nữa.
a. Tính xác suất để người đó phải sử dụng ba viên. b.
Gọi X là số viên đạn phải sử dụng. Lập bảng phân phối xác suất của X.
2.6. Số tủ lạnh có khả năng bán được trong tuần tại một cửa hàng là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 5 P 0,05 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1
a. Tính xác suất để trong một tuần bán được ít nhất 4 chiếc tủ lạnh. b.
Khi bán một chiếc tủ lạnh thì cửa hàng lãi 300 nghìn đồng, chi phí của cửa hàng mỗi tuần là
500 nghìn. Tính tiền lãi trung bình của cửa hàng trong tuần.
2.7. Lợi nhuận ( %) khi đầu tư vào hai ngành A và B trong một năm là các biến ngẫu nhiên độc lập
có bảng phân phối xác suất như sau: XA –5 0 10 20 XB –3 10 18 P 0,05 0,35 0,4 0,2 P 0.1 0,5 0,4
a. Muốn có lợi nhuận cao thì nên đầu tư vào ngành nào? b.
Muốn ổn định hơn thì nên đầu tư vào ngành nào?
2.8. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:
a. Tìm k. Tính P(X > 1). b.
Tính E(X), V(X).
c. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
2.9. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất như sau:
a. Xác hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X. Tính k? b.
Tính E(X), V(X).
3.1 Tỷ lệ phế phẩm của sản phẩm Z là 30%. để đảm bảo chất lượng, người ta cho kiểm tra các sản
phẩm Z trước khi đưa ra thị trường. Thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác 90% đối với chính
phẩm, 95% đối với phế phẩm. Sản phẩm Z được đưa ra thị trường nếu thiết bị kiểm tra tự động coi là chính phẩm.
a. Một người mua 3 sản phẩm Z, hãy cho biết quy luật phân phối xác suất, kỳ vọng và phương sai của
số chính phẩm từ 3 sản phẩm này. b.
Tính xác suất để trong 3 sản phẩm Z có ít nhất một chính phẩm.
3.2. Một người bắn 5 viên đạn vào bia, xác suất trúng đích mỗi lần bắn là 0,8 và độc lập với nhau.
Gọi X là số viên trúng đích.
a. Hãy cho biết X tuân theo quy luật gì? Tìm kỳ vọng và phương sai của X. b.
Tính xác suất để có ít nhất 4 viên trúng đích?
3.3. Tỷ lệ phế phẩm của 1 lô hàng là 20%, người ta lấy 10 sản phẩn từ lô hàng. Gọi X là số phế phẩm
trong 10 sản phẩm lấy ra.
a. Hãy cho biết X tuân theo quy luật gì? Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
b. Tính xác suất để có nhiều nhất 1 sản phẩm xấu được lấy ra?
3.5. Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương
án trả lời đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 1 điểm. Gọi X là số điểm đạt được.
a. Hãy cho biết X tuân theo quy luật gì? Tìm kỳ vọng và phương sai của X. b.
Tính xác suất để người đó đạt ít nhất 8 điểm.
3.6. Một cuộc thi tìm hiểu lịch sử, điểm của thí sinh dự thi tuân theo quy luật chuẩn với trung bình là
500 điểm và độ lệch chuẩn là 50 điểm.
a. Tìm tỷ lệ thí sinh có số điểm từ 450 đến 600 điểm. b.
Người ta thưởng cho 10% số thí sinh dự thi đạt điểm cao. Muốn được thưởng thì số điểm phải đạt bao nhiêu?
3.7. Điểm tổng kết của một môn học tuân theo quy luật chuẩn với trung bình là 6 điểm và độ lệch
chuẩn là 2 điểm. Thí sinh dược xếp loại giỏi nếu có điểm tổng kết từ 8,5 trở lên, xếp loại khá nếu điểm
tổng kết từ 7 đến 8,5.
a. Tìm tỷ lệ thí sinh của trường xếp loại khá giỏi. b.
Tính xác suất để trong 3 em học sinh bất kỳ có đúng 1 em xếp loại giỏi.
3.9. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân với tuổi thọ trung bình là 1000 (giờ) và
độ lệch chuẩn là 10(giờ). Một sản phẩm được bảo hành miễn phí nếu sản phẩm hỏng trước 983,55
(giờ). Tính tỷ lệ sản phẩm nhà cung cấp phải bảo hành miễn phí.
3.10. Khi kinh doanh trong 2 ngành A, B có lợi nhuận hàng năm là các biến ngẫu nhiên XA, XB có
phân phối chuẩn và độc lập với nhau. Trung bình Độ lệch chuẩn XA 12% 3% XB 15% 4%
a. Muốn có lãi suất tối thiểu 10% thì nên chọn đầu tư ở ngành nào? b.
Một người đầu tư vào cả 2 ngành theo tỷ lệ vốn đầu tư 30% vào ngành A và 70% vào ngành
B. Tính lợi nhuận trung bình và độ rủi ro (phương sai) của phương án đầu tư này.
c. Muốn đầu tư vào cả hai phương án, để độ rủi ro là nhỏ nhất thì chia tỷ lệ đầu tư vào 2 ngành A, B như thế nào?
4.1. Nghiên cứu năng suất của một giống lúa tại một địa phương người ta thực hiện một mẫu điều tra
một số điểm, năng suất được thống kê ở bảng dưới đây Năng suất (kg) 35 - 36 36 - 37 37 - 38 38 -39 39 - 40 41 - 42 Số điểm 4 5 6 6 7 2
Tính năng suất trung bình, phương sai mẫu của năng suất.
4.2. Khi nghiên cứu sức khỏe của học sinh lớp 9, người ta tiến hành đo chiều cao của một mẫu gồm
100 học sinh nam và thu được kết quả sau: Chiều cao (cm) 140 - 142 - 144 - 146 - 148 - 150 - 142 144 146 148 150 152 Số học sinh 15 20 20 12 22 11
a. Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu.
b. Tính tỉ lệ học sinh nam có chiều cao trên 146 (cm).
4.3. Để tính toán doanh thu của một trạm soát vé , người ta tiến hành điều tra ngẫu nhiên doanh thu
một số ngày, ta có bảng số liệu sau: Doanh thu (triệu) 12-14 14 - 16 16 - 18 18 -20 20 - 22 22 - 24 Số ngày 4 5 6 6 7 2
a. Tính trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu
b. Tính tần suất ngày có doanh thu nhỏ hơn 16 triệu.
4.7. Trọng lượng của sản phẩm là biến ngẫu nhiên có trọng lượng trung bình 10(kg) và độ lệch
chuẩn là 1(kg). Người ta tiến hành cân thử 10 sản phẩm, tính xác suất để trọng lượng trung bình nhận giá trị lớn hơn 11(kg).
5.1. Trọng lượng sản phẩm của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch
chuẩn là 2(kg). Người ta tiến hành cân thử một số sản phẩm và thu được kết quả như sau: Trọng lượng (kg) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Số sản phẩm 4 5 8 3 5
a. Hãy tìm ước lượng điểm cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm trên.
b. Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình của sản phẩm.
c. Muốn giữ nguyên độ tin cậy 95%, mà để độ dài của khoảng tin cậy giảm đi một nửa thì cần phải
cân thử bao nhiêu sản phẩm?
5.2. Nghiên cứu năng suất của một loại giống lúa mới, người ta tiến hành trồng thử ở một số điểm
và thu hoạch được năng suất như sau: Năng suất (tạ/ha) 50-51 51-52 52-53 53-54 54-55 Số điểm 5 7 8 6 5
a. Tìm ước lượng điểm cho năng suất trung bình và độ ổn định của năng suất của giống lúa mới trên.
b. Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho năng suất trung bình của giống lúa trên với độ tin cậy 95%.
c. Để độ chính xác của ước lượng không vượt quá 0,1 (tạ) và giữ nguyên độ tin cậy thì cần phải
trồng thử thêm ít nhất bao nhiêu điểm nữa?
Giả thiết năng suất lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
5.3. Để đánh giá mức sống của công nhân một công ty, người ta tiến hành điều tra thu nhập của một
số công nhân, có số liệu sau Thu nhập (tr/năm) 10-11 11-12 12-13 13-14 14-15 Số công nhân 20 30 25 15 10
a. Với hệ số tin cậy 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân ở công ty này.
b. Tìm khoảng tin cậy hai phía cho độ phân tán của thu nhập của công nhân? Cho .
Biết rằng thu nhập của công nhân là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
5.5. Muốn đánh giá mức chi tiêu hàng tháng của sinh viên, người ta tiến hành điều tra ngẫu nhiên
một số sinh viên và thu được kết quả như sau Chi tiêu(triệu/tháng) 2,8-3,0 3,0-3,2 3,2-3,4 3,4-3,6 3,6-3,8 Số sinh viên 13 21 27 20 19
Giả thiết mức chi tiêu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a. Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên. Cho độ tin cậy là 90%.
b. Với hệ số tin cậy 0,95, hãy ước lượng mức độ biến động chi tiêu hàng tháng của sinh viên.
c. Một sinh viên được gọi là có mức chi tiêu bình thường nếu chi tiêu trong một tháng thuộc khoảng
từ 3,0 triệu đến 3,6 triệu. Hãy ước lượng số sinh viên có mức chi tiêu bình thường với độ tin cậy 95%,
biết rằng cả nước 2 triệu sinh viên.
5.6. Doanh thu là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Muốn đánh giá doanh thu của một của hàng
người ta tiến hành điều tra ngẫu nhiên một số ngày và thu được số liệu như sau: Doanh thu(triệu/ngày) 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 Số ngày 6 8 7 6 4
a. Hãy ước lượng mức doanh thu trung bình của của hàng với độ tin cậy 90%.
b. Tìm khoảng tin cậy cho mức độ ổn định của doanh thu với độ tin cậy 95%.
5.7. Cân nặng của trẻ sơ sinh mới ra đời là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, để có được những
thông tin tư vấn cho việc chăm sóc thai nhi cho các bà mẹ, người ta đã tiến hành lấy số cân nặng của
một số trẻ sơ sinh ở các bệnh viện có thông tin như sau: Cân nặng (kg) 2,0-2,4 2,4-2,8 2,8-3,2 3,2-3,6 3,6-4,0 Số trẻ sơ sinh 10 20 35 20 15
a. Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho cân nặng trung bình của trẻ sơ sinh với độ tin cậy 95%.
b. Muốn giữ nguyên độ tin cậy 95% và để độ dài khoảng tin cậy không vượt quá 0,02 (kg) thì cần
phải lấy thêm số liệu về cân nặng của ít nhất bao nhiêu trẻ sơ sinh nữa.
5.9. Nghiên cứu chất lượng của loại bóng đèn compact, người ta đã điều tra thời gian sử dụng (tuổi
thọ) của một số bóng loại trên và có kết quả sau: Tuổi thọ (giờ) 1000 1050 1100 1150 1200 Số bóng 12 23 28 27 10
a. Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu.
b. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên.
Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
5.10. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của một lô hàng thấy có 10 phế phẩm
a. Ước lượng tỷ lệ chính phẩm của lô hàng bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 95%.
b. Muốn giữ nguyên độ tin cậy và để độ dài khoảng tin cậy giảm đi còn một nửa thì cần phải kiểm
tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.
5.11. Trung tâm ngoại ngữ của trường UEB thường xuyên tổ chức thi cấp chứng chỉ C tiếng Anh và
đã cấp được 5000 chứng chỉ C cho các học viên trên địa bàn. Khi điều tra ngẫu nhiên 1500 người trên
địa bàn thấy có 400 người có chứng chỉ C tiếng Anh, trong đó có 100 chứng chỉ là do trung tâm của
trường Đại học Kinh tế cấp.
a. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng tỉ lệ người dân của địa bàn có chứng chỉ C tiếng Anh.
b. Hãy ước lượng số lượng người của địa bàn có chứng chỉ C tiếng Anh với độ tin cậy 95%.
6.1. Trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Nghi ngờ máy hoạt động không
bình thường làm trọng lượng của sản phẩm giảm đi, người ta cân thử một số sản phẩm và thu được kết quả sau: Trọng lượng(kg) 8,0-10 10-12 12-14 14-16 16-18 Số sản phẩm 5 30 35 25 5
Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về điều nghi ngờ trên. Biết rằng trọng lượng sản phẩm quy định là 14 (kg).
6.2. Định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm là 10 (phút). Hỏi có cần thay đổi định mức hay
không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm ở một số công nhân, ta có số liệu sau: Thời gian (phút) 8,0-8,5 8,5-9,0 9,5-10 10-10,5 10,5-11 Số công nhân 6 7 8 7 8
Cho kết luận với mức ý nghĩa 5%, biết rằng thời gian hoàn thành một sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
6.3. Năm trước chi phí bình quân của mỗi sinh viên học tại Hà Nội là 3,4 triệu một tháng. Năm nay
điều tra mức chi phí của một số sinh viên, ta có kết quả: Chi phí (triệu/tháng) 3,2-3,3 3,3-3,4 3,4-3,6 3,6-3,8 3,8-4,0 Số sinh viên 6 9 8 10 8
Phải chăng mức chi tiêu hàng tháng của sinh viên đã tăng lên? Cho kết luận với mức ý nghĩa 5%,
biết rằng mức chi tiêu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
6.5. Trước đây định mức tiêu hao nhiên liệu của loại xe là 6 (lít). Do tình hình đường xá ngày càng
được tốt hơn, người ta theo dõi 41 chuyến và thu được các số liệu: Lượng tiêu hao (lít) 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0 6,0-6,5 Số chuyến 7 8 11 7 8
Giả thiết mức tiêu hao nhiên liệu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về các điều sau:
a. Có nên giảm định mức hay không?
b. Có thể cho rằng mức độ phân tán của lượng tiêu hao nhiên liệu là 1,5 (lít ) hay không?
6.7. Năm trước tỉ lệ viên sinh chính quy thi đạt ở một môn học nào đó trong một trường đại học là
70%. Sau khi nhà trường triển khai phương pháp giảng dạy mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100
sinh viên dự thi thấy có 22 sinh viên không đạt. Phải chăng phương pháp dạy mới mang lại hiệu quả
hơn? Cho kết luận với mức ý nghĩa 0,05.
6.8. Điều tra ngẫu nhiên 200 sinh viên của một trường đại học thấy có 110 sinh viên nữ và 90 sinh
viên nam, trong số sinh viên nữ có 20 người đi làm thêm ngoài giờ học còn trong số sinh viên nam có
19 người đi làm thêm ngoài giờ học. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về các điều nghi ngờ sau:
a. Tỉ lệ giới của trường đại học đó là như nhau.
b. Tỉ lệ sinh viên nam đi làm thêm ngoài giờ cao hơn tỉ lệ sinh viên nữ đi làm thêm ngoài giờ.
6.9. Nếu áp dụng cách thức quảng cáo sản phẩm theo phương thức cũ thì khi khảo sát 90 ngày người
ta tính được doanh thu trung bình của công ty là 30 (triệu đồng/ngày) và mức ổn định của doanh thu là
3 (triệu đồng/ ngày). Sau khi thực hiện phương thức quảng cáo mới, điều tra doanh thu của công ty
cũng trong 90 ngày và có kết quả sau: Doanh thu (triệu đồng) 26-28 28-30 30-32 32-34 34-36 Số ngày 7 10 35 23 15
a. Phải chăng phương thức quảng cáo mới mang lại doanh thu cho công ty cao hơn? Cho kết luận với
ý nghĩa 5%. Biết doanh thu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
b. Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng khi áp dụng phương thức quảng cáo mới thì tỉ lệ ngày công
ty có doanh thu đạt từ 30 (triệu) trở lên là lớn hơn 60% hay không?
6.10. Có ý kiến cho rằng chất lượng của hai dây chuyền là như nhau. Người ta tiến hành kiểm tra
kiểm tra 100 sản phẩm do dây chuyền thứ nhất sản xuất ra thấy 10 phế phẩm và kiểm tra 150 sản phẩm
do dây chuyền thứ hai sản xuất ra thấy có 14 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5%, hỏi ý kiến trên là đúng hay sai?
6.11. Khảo sát 100 sinh viên về giới tính (nam hay nữ) và kết quả học tập môn Xác suất (chia 4 mức:
Giỏi, Khá, Trung bình và Kém) để kiểm định xem giới tính và kết quả học tập môn Xác suất có độc
lập với nhau hay không, thì tính được giá trị
. Hãy viết cặp giả thuyết và đưa ra kết luận với mức ý nghĩa 10%.
6.14. Khảo sát ngẫu nhiên 1 số sinh viên sau 1 năm ra trường về tình trạng việc làm (đúng ngành đào
tạo ở bậc ĐH hay không) và Loại tốt nghiệp, thu được thông tin như sau: Xuất sắc Giỏi Khá Trung bình Làm việc đúng ngành 25 50 120 80 Làm không đúng ngành 5 15 90 115
Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng loại tốt nghiệp của sinh viên độc lập với tình trạng làm việc trái ngành hay không?