Bài tập hình học toán 7 về đường cao trong hình tam giác

Tổng hợp Bài tập hình học toán 7 về đường cao trong hình tam giác được biên soạn gồm 16 trang .Các bạn tham khảo và học tập củng cố kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập!!!

Thông tin:
5 trang 10 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập hình học toán 7 về đường cao trong hình tam giác

Tổng hợp Bài tập hình học toán 7 về đường cao trong hình tam giác được biên soạn gồm 16 trang .Các bạn tham khảo và học tập củng cố kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập!!!

43 22 lượt tải Tải xuống
Trang 1
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CA TAM GIÁC
I. KIN THỨC CƠ BẢN
Định 1: Ba đường cao ca một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gi trc tâm
ca tam giác.
Định lí 2 : Trong mt tam giác cân, đường cao ng vi cạnh đáy đồng thời là đường phân
giác, đường trung tuyến, đường trung trc của tam giác đó.
Nhn xét: Trong mt tam giác, nếu hai trong bn loại đường (đường trung tuyến,
đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau ttam giác đó tam giác
cân.
Trên hình dưới đây,
H
là trc tâm ca các tam giác.
Tam giác nhn thì trc tâm
nm bên trong tam giác.
Tam giác vuông thì trc tâm
chính đỉnh góc vuông ca tam
giác đó.
Tam giác thì rc tâm nm
ngoài tam giác đó.
II. BÀI TP
Bài 1:
Cho hình bên có
AM BC
ti
M
,
CN AB
ti
.
a) Chng minh
BK AC
.
b) Cho
MA MB
,
0
55ACB
. Tính
,MKN KBN
.
Bài 2: Chứng minh định lý: “một tam giác có hai đường cao (xut phát t các đỉnh ca hai góc
H
I
F
E
C
B
A
K
P
N
H
F
E
I
H
C
B
A
Trang 2
nhn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.”
Bài 3: Cho tam giác ABC
0
90C
có đường cao CD. Vi AM và CN lần lượt là trung
tuyến ca tam giác ADC và tam giác DCB. K
BK AB
sao cho BK ct MN ti K.
a) Chng minh:
CMB KBM
.
b) Chng minh:
AM CN
.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C v các đường thng song song vi cnh
đối din, chúng ct nhau to thành tam giác
DEF
. Chng minh nếu O là điểm cách đều
D, E, F thì O là trc tâm ca tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác
ABC
các đường cao
,BE CF
ct nhau ti
H
( ; ).E AC F ABÎÎ
Gi
,IK
lần lượt là trung điểm ca các cnh
,.AH BC
a) Chng minh
;FK FI^
b) Cho
6AH =
cm;
8BC =
cm. Tính
.IK
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân ti A. Trên cnh AB lấy điểm M, trến tia đối ca tia
AC ly
đim N sao cho
,AN AM
MN ct BC D.
a) Chng minh:
NDC
vuông cân.
b) Chng minh:
CM NB
.
c) Trên cnh AC lấy điểm E sao cho
0
30ABE
. Trên tia đối ca AB lấy điểm F sao cho
AF AE
. V đim I sao cho FC là trung trc ca EI. Tính
BFI
.
Bài tp b sung
Bài 7: Cho
ABC
cân
A
AD
là trung tuyến, đường cao
BE
ct
AD
.H
a) Chng minh
.CH AB
b) V đim
I
sao cho
A
là trung điểm ca
,CI
v đưng cao
AK
ca
.BAI
Tính
.KAD
c)
AB
ct
DK
ti
.J
Chng minh
AB DK
J
là trung điểm chung ca
AB
.DK
d) Gi
O
là trung điểm ca
.AC
Trên tia đối ca tia
OB
lấy điểm
L
sao cho
.OL OB
Chng minh
,,K A L
thng hàng.
e) Cho biết
17 , 16 .AC cm BC cm
Tính
,.KI BO
Bài 8: Cho tam giác
ABC
vuông ti
.A
T
C
k tia
Cx
vuông góc vi cnh
;BC
gi
F
giao điểm ca tia
Cx
phân giác trong ca góc
;B
kéo dài
BF
ct
AC
.E
K
CD
vuông
góc vi
EF
( EF).DÎ
Kéo dài
BA
ct
CD
ti
.S
Chng minh:
Trang 3
a)
CD
là tia phân giác ca
;ECF
b)
;DE DF=
c)
// .SE CF
Hết
HDG
Bài 1: a) K là trc tâm ca
ABCD
BK ACÞ^
b)
AMBD
cân ti M
·
·
45ABC BAMÞ = = °
·
·
( )
180 180 100 80BAC ABC ACB= ° - + = ° - ° = °
·
80 45 35MACÞ = ° - ° = °
·
· ·
55 45 10KCH ACB NCB= - = ° - ° = °
·
·
10KCH KBN= = °
;
180 45 135MKN = ° - ° = °
Bài 2: Xét
ABC
có các đường cao
,BD CE
bng nhau.
ABD ACE
(cnh góc vuông- góc nhn)
AB AC
Do đó
ABC
cân ti A.
Bài 3:
a)
, BK AB CM // BK CM AB CMB KBM
(so le
trong)
Xét
, KBNMDN
có:
DNM BNK
ối đỉnh);
DN NB
(do CN là trung tuyến ca
DCB
)
0
90MDN KBN
Trang 4
MDN KBN
(g.c.g)
MD BK
(hai cạnh tương ứng)
CM MD
(do AM là trung tuyến ca
ADC
)
CM BK MD
Xét
, KBMCMB
có:
( ); ( ); MBCM KB cmt CMB KBM cmt
chung
..CMB KBM c g c
b) Ta có:
CMB KBM cmt
CBM KMB
(hai góc tương ứng)
Mà hai góc v trí so le trong
/ / NM BC
Li có
BC AC
(do
ABC
vuông ti C)
NM AC
Xét
ANC
( ), CD AN (gt), NM CD = NM AC cmt M
M
là trc tâm ca
ANC
AM CN
(tính chất ba đường cao)
Bài 4:
Ch ra
( . . )ADB BCA gc g AD BCD = D Þ =
Ch ra
()AEC CBA g c g AE BCD = D - - Þ =
T đó
AD A E=
; li có
OD OE=
nên
OA
là đường trung trc ca
DE
hay
;O A DE^
//DE BC
AO BCÞ^
Chứng minh tương tự
;CO AB BO AC^^
nên O là trc tâm ca
ABCD
Bài 5:
a)
FKCD
cân ti
K
KFCÞ
FCK=
FIHD
cân ti
I
IFHÞ
IHF=
IHF
NHC=
ối đỉnh)
IFHÞ
NHC=
( ).IHF=
I
K
H
B
C
N
E
F
A
Trang 5
Ta có:
90 .
90
IFH NHC
KFC KCF IFH KFC
NHC KCF
ì
=
ï
ï
= Þ + = °
í
ï
ï
+ = °
î
.IF FKÞ^
b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông
IFK
ta có:
22
2 2 2 2 2
3 4 25
22
AH BC
IK FI FK
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
= + = + = + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
5IKÞ=
cm.
Bài 6:
a) Do N thuộc tia đối ca tai AC mà
90AC AB AN AB BAN
hay
90NAM 
AN AM AMN
vuông cân ti A
45MNA
Li có
ABC
vuông cân ti A
45ACB
hay
45ACD 
180 180 45 45 90NDC MNA DCA
Xét
NDC
90 ; 45NDC MNA DCA
NDC
vuông cân ti D.
b) Do
90 ; BA NCNDC ND BC
ND BA M
M là trc tâm ca
NCB
CM NB
(tính chất ba đường cao ca tam giác)
c) Gọi K là trung điểm ca EI
BFK
vuông ti K có
30 60 .ABE BFK
Ta có
AF (gt) ; 90AE FAE AEF
vuông cân ti A
45AEF
60 45 60 15 .BFK AFE EFK EFK EFK
Do FC là trung trc ca EI
FE FI IFE
cân ti F
FK
va là trung trc va là phân giác (tính cht tam giác cân)
·
·
= EF 15KFI KÞ = °
·
·
·
60 15 75BFI BFK KFIÞ = + = ° + ° = °
Vy
·
75BFI
| 1/5

Preview text:

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lí 1: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Định lí 2 : Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân
giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến,
đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Trên hình dưới đây, H là trực tâm của các tam giác. A H C I F E A B F H N P K B C E I H
Tam giác nhọn thì trực tâm Tam giác vuông thì trực tâm Tam giác tù thì rực tâm nằm
nằm bên trong tam giác.
chính là đỉnh góc vuông của tam ngoài tam giác đó. giác đó. II. BÀI TẬP Bài 1:
Cho hình bên có AM BC tại M , CN AB tại N .
a) Chứng minh BK AC .
b) Cho MA MB , 0
ACB  55 . Tính MKN, KBN .
Bài 2: Chứng minh định lý: “một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc Trang 1
nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.”
Bài 3: Cho tam giác ABC  0
C  90  có đường cao CD. Với AM và CN lần lượt là trung
tuyến của tam giác ADC và tam giác DCB. Kẻ BK AB sao cho BK cắt MN tại K. a) Chứng minh: CMB KBM .
b) Chứng minh: AM CN .
Bài 4: Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C vẽ các đường thẳng song song với cạnh
đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF . Chứng minh nếu O là điểm cách đều
D, E, F thì O là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H (EÎ AC; F Î A ) B . Gọi
I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AH, BC.
a) Chứng minh FK ^ FI;
b) Cho AH = 6 cm; BC = 8 cm. Tính IK.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trến tia đối của tia AC lấy
điểm N sao cho AN AM , MN cắt BC ở D. a) Chứng minh: NDC vuông cân.
b) Chứng minh: CM NB .
c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 0
ABE  30 . Trên tia đối của AB lấy điểm F sao cho
AF  AE . Vẽ điểm I sao cho FC là trung trực của EI. Tính BFI .
Bài tập bổ sung Bài 7: Cho ABC
cân ở A AD là trung tuyến, đường cao BE cắt AD H.
a) Chứng minh CH A . B
b) Vẽ điểm I sao cho A là trung điểm của CI , vẽ đường cao AK của BAI  . Tính KA . D
c) AB cắt DK tại J. Chứng minh AB DK J là trung điểm chung của AB DK.
d) Gọi O là trung điểm của .
AC Trên tia đối của tia OB lấy điểm L sao cho OL O . B Chứng minh K, , A L thẳng hàng.
e) Cho biết AC  17c , m BC  16c .
m Tính KI , B . O
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại .
A Từ C kẻ tia Cx vuông góc với cạnh BC; gọi F
giao điểm của tia Cx và phân giác trong của góc B; kéo dài BF cắt AC ở .
E Kẻ CD vuông
góc với EF (D Î EF). Kéo dài BA cắt CD tại . S Chứng minh: Trang 2
a) CD là tia phân giác của ECF; b) DE = DF; c) SE // C . F Hết HDG
Bài 1: a) K là trực tâm của D A BC Þ BK ^ A C · ·
b) DA MB cân tại M Þ A BC = BA M = 45° · ·
BA C = 180° - (ABC + ACB )= 180° - 100° = 80° ·
Þ MA C = 80° - 45° = 35° · · ·
KCH = A CB - NCB = 55° - 45° = 10° · ·
KCH = KBN = 10° ; MK N = 180° - 45° = 135° Bài 2: Xét ABC
có các đường cao BD,CE bằng nhau. ABD A
CE (cạnh góc vuông- góc nhọn)  AB AC Do đó ABC  cân tại A. Bài 3: a) CM A ,
B BK  AB  CM // BK  CMB KBM (so le trong) Xét MDN, K
 BN có: DNM BNK (đối đỉnh);
DN NB (do CN là trung tuyến của DCB ) 0
MDN KBN  90 Trang 3MDN KBN (g.c.g)
MD BK (hai cạnh tương ứng)
CM MD (do AM là trung tuyến của ADC )
CM BK  MD Xét CMB, K
 BM có: CM KB(cmt); CMB KBM (cmt); MB chung  CMB K
BM  .cg.c b) Ta có: CMB K
BM cmt  CBM KMB (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong  NM / / BC
Lại có BC AC (do ABC
vuông tại C)  NM AC Xét A
NC NM AC (cmt), CD  AN (gt), NM CD = M
M là trực tâm của ANC
AM CN (tính chất ba đường cao) Bài 4:
Chỉ ra DA DB = DBCA ( .
g c.g) Þ A D = BC
Chỉ ra DA EC = DCBA (g - c - g) Þ A E = BC
Từ đó A D = A E ; lại có OD = OE nên OA là đường trung trực của DE hay OA ^ DE ;
DE / / BC Þ A O ^ BC
Chứng minh tương tự CO ^ A B; BO ^ A C nên O là trực tâm của D A BC Bài 5: A a) F
D KC cân tại K Þ KFC = FCK I E F
D IH cân tại I Þ IFH = IHF IHF = NHC (đối đỉnh) F H
Þ IFH = NHC (= IHF). B K C N Trang 4 ì IFH = NHC ï ï
Ta có: í KFC = KCF
Þ IFH +KFC = 90° . Þ IF ^ F . K ï
ï NHC +KCF = 90° î
b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông IFK ta có: 2 2 æ ö æ ö 2 2 2 AH BC 2 2
IK = FI + FK = ç ÷ +ç ÷ = 3 +4 = 25 ç ÷ ç ÷ Þ IK = 5 cm. è 2 ø è 2 ø Bài 6:
a) Do N thuộc tia đối của tai AC mà
AC AB AN AB BAN  90 hay NAM  90
AN AM A
MN vuông cân tại A MNA  45 Lại có ABC
vuông cân tại A  ACB  45 hay ACD  45
NDC 180  MNADCA 18045 45  90 Xét N
DC NDC  90 ;MNA DCA  45  N
DC vuông cân tại D.
b) Do NDC  90  ND BC; BA  NC và ND BA  M
 M là trực tâm của NCB
CM NB (tính chất ba đường cao của tam giác)
c) Gọi K là trung điểm của EI  BFK
vuông tại K có ABE  30  BFK  60 . 
Ta có AE  AF (gt) ; FAE  90  A
EF vuông cân tại A  AEF  45
BFK AFE EFK  60  45  EFK  60  EFK  15 . 
Do FC là trung trực của EI  FE FI I
FE cân tại F
FK vừa là trung trực vừa là phân giác (tính chất tam giác cân) · ·
Þ KFI = EFK = 15° · · ·
Þ BFI = BFK + KFI = 60° + 15° = 75° ·
Vậy BFI = 75° Trang 5