Bài tập môn Công tác xã hội - Trường Đại học lao động -  xã hội.

Giải 7 bài tập (bằng tiếng Việt) Bài 15 Bài toán:
Một công ty sản xuất có hàm sản xuất Q = L (K + 5). Công ty nhận hợp đồng cung cấp Q
= 90 đơn vị. Chi phí vốn w_K = 2, chi phí thuê lao động w_L = 5. Tìm K và L sao cho chi phí tối thiểu. Lời giải:
Ta muốn minimize C = 2K + 5L với ràng buộc L(K+5)=90.
Từ ràng buộc: L = 90/(K+5). Thay vào C: C(K) = 2K + 5 * 90/(K+5).
Lấy đạo hàm theo K và đặt = 0 để tìm cực trị:
C'(K) = 2 - 5*90/(K+5)^2 = 0 => 2 = 450/(K+5)^2 => (K+5)^2 = 225 => K+5 = 15 (chọn dương) => K = 10.
Khi đó L = 90/(10+5) = 90/15 = 6. Kiểm tra C''(K) >0? C''(K) = + (positive) => minimum.
Kết luận: K = 10, L = 6. Chi phí tối thiểu: C = 2*10 + 5*6 = 20 + 30 = 50. Bài 16 Bài toán:
Hàm sản xuất Q = 60 K^{0.5} L^{0.7}. (a) Xác định Q tại L0=1, K0=4. (b) Tại
L0=1,K0=4 nếu vốn không đổi và lao động tăng 2% thì Q thay đổi bao nhiêu phần trăm?
(c) Tối đa hóa Q theo K và L với điều kiện 20K + 10L + 100 = 3460. Lời giải:
a) Với K=4, L=1: Q = 60 * 4^{0.5} * 1^{0.7} = 60 * 2 = 120.
b) Tỷ số phần trăm thay đổi khi L tăng 2% và K không đổi là theo độ co giãn cỡ mũ của
L: dlnQ ≈ 0.7 * dlnL => 0.7 * 2% = 1.4%. Vậy Q tăng khoảng 1.4%.
c) Ta cần tối đa Q = 60 K^{0.5} L^{0.7} dưới ràng buộc 20K + 10L + 100 = 3460 =>
20K + 10L = 3360 => 2K + L = 336.
Gọi L = 336 - 2K, thay vào Q(K) = 60 * K^{0.5} * (336 - 2K)^{0.7}. Ta tìm K tối ưu
bằng cách lấy log đạo hàm hoặc dùng phương pháp số.
Tối ưu bằng cách tối đa hóa logQ: lnQ = ln60 + 0.5 lnK + 0.7 ln(336 - 2K). Đạo hàm theo K:
d(lnQ)/dK = 0.5*(1/K) + 0.7*( -2 /(336-2K)) = 0 => 0.5/K - 1.4/(336-2K) = 0.
Giải phương trình: 0.5/K = 1.4/(336-2K) => (336-2K) = (1.4/0.5) K = 2.8 K => 336 = 2K
+ 2.8K = 4.8 K => K = 336/4.8 = 70.
K = 70. Khi đó L = 336 - 2*70 = 336 - 140 = 196.
Giá trị Q tối đa: Q = 60 * sqrt(70) * 196^{0.7}. (Có thể tính số học nếu cần.)
Giá trị Q tương ứng ≈ 20196.6584. Bài 17 Bài toán:
Doanh nghiệp độc quyền bán trên 2 thị trường tách biệt. Các hàm cầu từng thị trường: Q1
= 310 - p1, Q2 = 350 - p2. Tổng chi phí: TC = 200 + 30Q + Q^2 với Q = Q1 + Q2. Tìm
mức sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để tối đa lợi nhuận trong hai trường hợp: a)
Phân biệt giá trên mỗi thị trường; b) Không phân biệt giá (một giá). Lời giải:
Ta có hàm ngược: p1 = 310 - Q1, p2 = 350 - Q2. Do đó MR1 = 310 - 2Q1, MR2 = 350 - 2Q2. MC = dTC/dQ = 30 + 2Q.
a) Phân biệt giá: tối đa hóa lợi nhuận riêng cho từng thị trường với điều kiện MR_i = MC với Q = Q1+Q2.
Hệ phương trình: 310 - 2Q1 = 30 + 2(Q1+Q2) (1) 350 - 2Q2 = 30 + 2(Q1+Q2) (2)
Từ (1): 310 - 2Q1 = 30 + 2Q1 + 2Q2 => 280 = 4Q1 + 2Q2.
Từ (2): 350 - 2Q2 = 30 + 2Q1 + 2Q2 => 320 = 2Q1 + 4Q2.
Giải hệ: (i) 4Q1 + 2Q2 = 280; (ii) 2Q1 + 4Q2 = 320.
Nhân (ii) cho 2: 4Q1 + 8Q2 = 640. Trừ (i): (4Q1+8Q2)-(4Q1+2Q2)=6Q2=360 => Q2=60.
Thay vào (i): 4Q1 + 2*60 = 280 => 4Q1 = 160 => Q1 = 40.
Tổng Q = 100. Giá trên mỗi thị trường: p1 = 310 - 40 = 270; p2 = 350 - 60 = 290.
Lợi nhuận: TR = p1 Q1 + p2 Q2 = 270*40 + 290*60 = 10800 + 17400 = 28200. TC =
200 + 30*100 + 100^2 = 200 + 3000 + 10000 = 13200. Profit = 28200 - 13200 = 15000.
b) Không phân biệt giá: có một giá p cho tổng Q = Q1+Q2. Các hàm cầu riêng cho giá p:
Q1 = 310 - p, Q2 = 350 - p => Tổng Q = 660 - 2p => inverse p = 330 - 0.5 Q.
Tổng TR = pQ = (330 - 0.5Q) Q = 330Q - 0.5 Q^2. MR = dTR/dQ = 330 - Q. MC = 30 + 2Q.
Tối ưu: MR = MC => 330 - Q = 30 + 2Q => 300 = 3Q => Q = 100.
Giá: p = 330 - 0.5*100 = 330 - 50 = 280.
Phân bổ Q tới hai thị trường theo hàm cầu: Q1 = 310 - p = 310 - 280 = 30; Q2 = 350 - 280 = 70.
TC = 200 + 30*100 + 100^2 = 13200; TR = 280 * 100 = 28000; Profit = 28000 - 13200 = 14800. Bài 1 (trong ảnh 2)
Nội dung: (theo ảnh) Có một doanh nghiệp có hàm cung và hàm cầu: p_B = 120 - 48? p_A = 96 - 12Q? (Ảnh mờ)
--- Vì ảnh mờ, tôi không thể đọc chính xác đề 1. Bỏ qua nếu bạn muốn bản giải chi tiết,
vui lòng cung cấp lại đề chính xác. Bài 2 Bài toán:
Hàm cầu p = 30 - 0.5 Q; Tổng chi phí TC = (1/3) Q^3 - 6.5 Q^2 + 85 Q + 8.
1) Tìm chi phí cận biên (MC) và doanh thu cận biên (MR). 2) Khi tổng sản lượng tăng từ
100 lên 101, chi phí và doanh thu thay đổi thế nào? Lời giải:
TR = pQ = (30 - 0.5 Q) Q = 30Q - 0.5 Q^2. => MR = dTR/dQ = 30 - Q.
TC = 1/3 Q^3 - 6.5 Q^2 + 85 Q + 8 => MC = dTC/dQ = Q^2 - 13 Q + 85.
Thay Q=100: MR(100) = 30 - 100 = -70. MC(100) = 100^2 - 13*100 + 85 = 10000 - 1300 + 85 = 8785.
Khi Q tăng từ 100 lên 101: ΔTR ≈ MR(100) = -70; ΔTC ≈ MC(100) = 8785. (Sử dụng
xấp xỉ vi phân: change ≈ marginal value.) Bài 3 Bài toán:
Hàm cầu P = 130 - 2.5 Q và TC = 12 Q^2 + 10 Q + 6.
(a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p = 5. (b) Viết hàm lợi nhuận, tìm MR, MC.) Lời giải:
Hàm ngược: P = 130 - 2.5 Q => Q = (130 - P)/2.5. Co giãn cầu theo giá ε = (dQ/dP) * (P/Q). dQ/dP = -1/2.5 = -0.4.
Tại p=5, Q = (130 - 5)/2.5 = 125/2.5 = 50. => ε = -0.4 * (5/50) = -0.4 * 0.1 = -0.04. (Rất
co giãn nhỏ, cầu vô cùng không nhạy.)
TR = P Q = (130 - 2.5Q) Q = 130Q - 2.5 Q^2 => MR = dTR/dQ = 130 - 5 Q.
TC = 12 Q^2 + 10 Q + 6 => MC = dTC/dQ = 24 Q + 10.
Hàm lợi nhuận: π(Q) = TR - TC = 130Q - 2.5 Q^2 - (12Q^2 + 10Q + 6) = 120Q - 14.5 Q^2 - 6. Bài 4 Bài toán:
Hàm cầu Qd = 150 - 2P; Hàm cung Qs = 3P - 50.
(a) Tìm giá và lượng cân bằng. (b) Tính hệ số co giãn của cầu và cung tại mức giá cân
bằng. (c) Xác định doanh thu cận biên tại mức sản lượng Q = 12. Lời giải:
Cân bằng: 150 - 2P = 3P - 50 => 200 = 5P => P* = 40. => Q* = 150 - 2*40 = 70.
Co giãn cầu theo giá tại điểm: ε_d = (dQd/dP)*(P/Q) = (-2) * (40/70) = -80/70 = -8/7 ≈ - 1.1429.
Co giãn cung theo giá: ε_s = (dQs/dP)*(P/Q) = 3 * (40/70) = 120/70 = 12/7 ≈ 1.7143.
Doanh thu: TR(P) = P * Qd = P(150 - 2P) = 150P - 2P^2. Nếu hỏi doanh thu cận biên theo Q (MR at Q=12):
Ta viết inverse p = (150 - Q)/2 => TR(Q) = p(Q)*Q = (150 - Q)/2 * Q = 75Q - 0.5 Q^2
=> MR = dTR/dQ = 75 - Q. Với Q = 12: MR(12) = 75 - 12 = 63.