Bài tập môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

CHƯƠNG 1. SỐ PHỨC
1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau: a. 𝑧 = −2 − 2𝑖 c. 𝑧 = −1 + √3𝑖 b. 𝑧 = √3 − 𝑖 d. 𝑧 = −√3 − 𝑖 2. Tính: 7
a. 𝑧 = (√3 + 𝑖) (1 − 𝑖) 3 (1+𝑖)15 c. 𝑧 = √ 12 (√3−𝑖) 4 (1−𝑖√3) b. 𝑧 = 1+𝑖 4 9
d. 𝑧 = √(√3 − 𝑖) (2𝑖 + 2)5
3. Tìm và biểu diễn hình học tập hợp số phức:
a. (|𝑧 − 𝑖| − 3)(𝑧 + 𝑧̅) > 0
c. |𝑧 − 2| < |1 − 2𝑧̅| 2
b. 𝑅𝑒(𝑧2 − 𝑧̅) = 2 − 2. (𝐼𝑚(𝑧))
d. |𝑧 − 1| ≥ |1 − 𝑧̅| 4. Giải pt phức: 1 a. 𝑧3 − 𝑖 + √3 = 0 c. 𝑧̅5 = 𝑧
b. 2𝑧𝑧̅ + (2 + 𝑖)𝑧 − (2 − 𝑖)𝑧̅ = 2 d. 𝑧8 + 𝑧4 + 1 = 0 BTVN 5. Tính: 3 1+𝑖 (1−𝑖)(1−𝑖√3) a. 𝑧 = √ b. 𝑧 = √3+𝑖 √3+𝑖
6. a. Giải phương trình 𝑧2 − 2𝑧̅ + 1 = 0
b. Tìm và biểu diễn hình học số phức thỏa mãn
𝑅𝑒(𝑧. 𝑧̅ − 4𝑧̅) + 6. 𝐼𝑚(𝑧) = 12
CHƯƠNG 2. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PTTT BÀI 1. MA TRẬN
1. Tìm ma trận 𝐴 thỏa mãn: 𝑇 1 2 2 3 a. (2𝐴𝑇 − 3. ( )) = ( ) −1 1 −1 2 1 0 8 0 b. 3. 𝐴𝑇 + 2 ( ) = ( ) 0 2 3 1 2. Cho các ma trận 1 1 1 0 2 2 1 𝐴 = ( ) , 𝐵 = (2 −1) , 𝐶 = ( ). 3 2 −1 1 3 3 0
a) Tính (−3𝐴) + 𝐵𝑇, 𝐵 − 2. 𝐴𝑇.
b) Tính 𝐴. 𝐵 và 𝐵. 𝐴. 1 2 3 0 1 −2
3. Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn ( ) ( ) + 2𝑋 = ( ) −3 4 2 1 5 7
4. Thực hiện các phép tính 1 1 6 3 1 5 a)( ) b) ( ) 1 1 1 3 BÀI 2. ĐỊNH THỨC
1. Tính các định thức sau: 4 −1 3 3 −1 6 a. |4 1 0| b. det (5 2 7) 2 −2 5 8 9 4 𝑥 1 3 2. Tìm 𝑥 biết |5 3 2| = 40 1 4 3 3 0 0 0 5 1 2 0
3. Tính định thức sau : det 𝐴 = | | 2 6 0 −1 −6 3 1 0 1 5 7 2 2 6 8 3 4. Tính det ( ). 3 0 9 0 4 0 1 0 1 −1 0 −1 −2 3 𝑥 4
5. Tìm 𝑥 thỏa mãn đẳng thức sau: | | = 0. 3 −2 5 3 2 −1 4 3 1 1 1 1 4 𝑥 + 9 9 6 6. Tìm 𝑥 biết | | = 4. 3 8 8 5 2 6 5 4 1 0 1 0 1 0 0 1 7. Cho 𝐴 = ( ) và 𝐵 = (
). Đặt 𝐶 = 𝐴. 𝐵. Hãy tính det(𝐶2). 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 8. Cho 𝐴 = ( ) và 𝐵 = (
). Đặt 𝐷 = 𝐵. 𝐴. Hãy tính det(2𝐷). 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 5 𝑥 + 11 8 9. Tìm 𝑥 biết | | = 2 3 4 10 7 2 3 5 4
10. Cho ma trận 𝐴3×3 thỏa mãn |𝐴| = 3. Tính |𝐴𝑇𝐴|, |𝐴3| và |3𝐴|. 1 2 0 0 2 1 0 0 11. Cho 𝐴 = (
). Tính det 𝐴 , det(𝐴𝐴𝑇) , det 𝐴−1. 0 0 1 3 0 0 3 1 BTVN 1 1 1 1. Tìm 𝑥 biết |3 1 2| = 1 4 𝑥 7 2 9 1 −1 2. Cho 𝐴 = ( ) , 𝐵 = ( ). Tìm 𝐴𝐵𝐴. 1 4 0 1 1 𝑥 𝑥
3. Tìm 𝑥 sao cho det 𝐴 = 0 với 𝐴 = (𝑥 1 𝑥). 𝑥 𝑥 1 1 2 4 8 1 3 9 27 4. Tính det 𝐴 = | | 1 4 16 64 1 5 25 125 1 2 1 1 3 7 1 2 5. Tìm 𝑥: | | = 1 3 6 4 5 4 8 𝑥 7
BÀI 3. HẠNG MA TRẬN 1 3 5 1 2 5 9 −1
1. Tìm hạng của ma trận 𝐴 = ( ) 3 7 9 2 0 1 5 −2 1 2 − 3 − 2 1 3 6 − 5 − 4 3
2. Tìm hạng của ma trận sau: 𝐵 = ( ) 1 2 7 − 4 1 2 4 6 − 3 3 4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2
3. Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = 4 3 −8 2 7 . 4 3 1 2 −5 (8 6 −1 4 −6) 1 3 5 −1 2 −1 −1 4
4. Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = ( ). 5 1 −1 7 7 7 9 1 1 1 1 1 2 𝑚 2 2
5. Biện luận hạng của ma trận sau theo 𝑚: 𝐴 = ( ). 3 3 𝑚 3 4 4 4 𝑚 1 1 1 1 2 𝑚 + 2 2 2
6. Biện luận hạng của ma trận sau: 𝐴 = ( ). 3 3 𝑚 + 3 3 4 4 4 𝑚 + 4 −1 2 1 − 1 1 𝑚 − 1 1 − 1 − 1
7. Biện luận hạng 𝐵 = ( ). 1 𝑚 0 1 1 1 2 2 − 1 1 BTVN 1 −2 3 1
8. Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = (−2 1 1 −4). −1 −1 4 −3 1 𝑚 −1 2
9. Biện luận hạng theo m: 𝐴 = (2 −1 −9 1) 1 9 6 5
BÀI 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
1. Nếu det 𝐴 = 2 và det 𝐵 = 5. Tính det(𝐴3𝐵−1𝐴𝑇𝐵2). 2 7 1
2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 𝐴 = (1 4 −1). 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0
3. Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = ( ). 1 2 1 0 1 2 5 4 1 0 0 0 1 2 0 0
4. Tìm ma trận nghịch đảo của A = ( ). 1 2 3 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 4 𝑎 + 1 2
5. Cho ma trận 𝐴 = (
) . Tìm 𝑎 để A khả nghịch. 1 7 3 3 𝑎 − 1 12 4 4 1 −1 1
6. Tìm 𝑐 để ma trận 𝐴 = (2 −1 2 ) khả nghịch. 0 2 𝑐 − 1 1 1 −3 3 0
7. Giải phương trình (0 2 −2) . 𝑋 = (−4 1) 0 0 1 −1 1 2 1 −3 2 −2 4
8. Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn ( ) . 𝑋. ( ) = ( ) 3 2 5 −3 3 −1 BTVN 1 0 −𝑐
9. Tìm 𝑐 để ma trận 𝐴 = (−1 3 1 ) khả nghịch? 0 2𝑐 −4 2 1 −1
10. Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = ( 0 1 3 ) . 2 1 1 1 2 0 0 3 6 0 −1 0 0 −1 −2
11. Tìm ma trận 𝑋 biết ( ) 𝑋 = ( ) 0 1 1 0 2 4 0 0 0 2 2 4
BÀI 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 7 𝑥 1. Giải hệ sau: {
1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 8
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 = −4
2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 6𝑥4 = 11
2. Giải và biện luận theo 𝑚 các hệ phương trình 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 𝑚 + 1 2𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 𝑚 − 1 𝑎) {
𝑏) {𝑥 + 2𝑚𝑦 + 𝑧 = 𝑚 𝑐) { −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
𝑦 + 𝑚𝑧 + 𝑡 = 𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚𝑦 + 2𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 𝑚
𝑥 + 𝑧 + 𝑚𝑡 = 𝑚 − 1 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
3. Tìm điều kiện của 𝑎 và 𝑏 để hệ sau có vô số nghiệm {3𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 3𝑏.
2𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 𝑏 1 2 𝑚 −1
4. Tìm 𝑚 để phương trình ma trận sau vô số nghiệm (2 7 2𝑚 + 1) 𝑋 = ( 2 ). 3 9 4𝑚 1
(2 − 𝑎)𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0
5. Biện luận số nghiệm của hệ {𝑥1 + (2 − 𝑎)𝑥2 + 𝑥3 = 0.
𝑥1 + 𝑥2 + (2 − 𝑎)𝑥3 = 0 𝑎𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
6. Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm không tầm thường { 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 . 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 BTVN
−𝑥1 + 2𝑥2 − 8𝑥4 = −7 −𝑥 7. Giải hệ sau : { 2 + 3𝑥4 = 2 𝑥 2 + 2𝑥4 = 3
𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 = 6 𝑥 + 2𝑎𝑦 = 8
8. Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm duy nhất {2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −5. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0
9. Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm không tầm thường {2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0 4𝑥 + 𝑎𝑦 − 8𝑧 = 0
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
BÀI 2. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
1. Xét sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính của hệ sau:
a. 𝑆 = {(1,2,3); (2,0, −2); (4,4,4)} ⊂ 𝑅3
b. 𝑆 = {(1,0,1,0); (2,0,1,2); (2,0,2,4)}
c. {𝑥2 − 1, 𝑥2 + 1, 4𝑥, 2𝑥 − 3} trong 𝑃2(𝑥)
2. Tìm m để hệ sau phụ thuộc tuyến tính trong 𝑅3
𝑎 = (1, −2,5); 𝑏 = (2, 𝑚 − 3,1); 𝑐 = (2, 𝑚, 0)
3. Tìm điều kiện của 𝑎 để các ma trận sau phụ thuộc tuyến tính trong 𝑀2 1 2 2 5 3 2 4 5 𝐴 = ( ) ; 𝐵 = ( ) ; 𝐶 = ( ) ; 𝐷 = ( ) 4 2 3 1 2 3 𝑎 2 BTVN
4. Ktra S độc lập hay phụ thuộc tuyến tính:
𝑆 = {1 + 3𝑥; 4 + 𝑥 + 2𝑥2; −2 + 5𝑥 − 2𝑥2} ⊂ 𝑃2
5. Tìm 𝑡 để hệ véc tơ 𝑆 = {𝑢1 = (1, −2,4); 𝑢2 = (3, −5,1); 𝑢3 = (4, −2, 𝑡)} độc lập tuyến tính.
BÀI 3. CƠ SỞ CỦA KGVT
1. Chỉ ra rằng các hệ sau không là cơ sở của không gian tương ứng
a. {(1,2,3); (2,1,0); (4,5,6)} trong 𝑅3 1 3 1 2 2 5 0 0 b. {( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )} trong 𝑀 0 2 0 0 0 3 0 3 2
c. {𝑥2 − 2𝑥; 𝑥3 + 8; 𝑥3 − 𝑥2; 𝑥2 − 4} trong 𝑃3(𝑥).
d. 𝑆 = {(6,4,1), (3, −5,1), (8,13,16), (0,6,9)} trong 𝑅3 1 0 0 2 1 −1 2 1 e. 𝑆 = {( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )} trong 𝑀 0 0 1 0 0 1 1 1 2.
2. Giả sử hệ (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) là cơ sở của không gian véc tơ 𝑉. Cho hệ véc tơ
𝑥1 = 𝑒1 + 2𝑒2 − 𝑒3; 𝑥2 = 2𝑒1 + 5𝑒2 − 𝑒3; 𝑥3 = −3𝑒1 − 5𝑒2 + 7𝑒3
Hệ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) có là cơ sở của không gian véc tơ 𝑉 không? Tại sao?
3. Trong không gian 𝑅3 cho hệ véc tơ 𝑆 = {(1,3,2); (0,1,2); (0,2,1)}
a. Chứng minh 𝑆 là cơ sở của 𝑅3
b. Tìm tọa độ của véc tơ 𝑥 = (1,6,5) theo 𝑆.
4. Trong không gian 𝑃2(𝑥), cho hệ 𝑆 = {1 + 4𝑥 + 4𝑥2, 𝑥 − 𝑥2, 2 + 8𝑥 + 3𝑥2}.
a. Chứng minh 𝑆 là cơ sở của 𝑃2(𝑥)
b. Tìm tọa độ của đa thức 𝑝 = 3 + 13𝑥 + 3𝑥2 theo 𝑆.
5. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở 𝑆 sang 𝑆′ và ma trận chuyển từ 𝑆′ sang 𝑆
a) 𝑆 = {(1,0), (0,1)}; 𝑆′ = {(2,4), (1,3)}
b) 𝑆 = {(1,0,2), (0,1,3), (1,1,1)}; 𝑆′ = {(2,1,1), (1,0,0), (0,2,1) BTVN
6. Ktra S có là cơ sở của 𝑃2 không: 𝑆 = {1 + 4𝑥 + 2𝑥2; 𝑥 − 𝑥2; 2 + 8𝑥 + 3𝑥2}
7. Trong không gian 𝑅2, cho hai cơ sở
𝑆 = {𝑢1(1,1); 𝑢2(1,0)}, 𝑆′ = {𝑣1(1,4); 𝑣2(2,3)}.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ 𝑆 sang 𝑆′.
8. Tìm tọa độ của 𝑥 = (2; −1; 3) theo cơ sở 𝑆 = {𝑎(1; 0; 0), 𝑏(2; 3; 0), 𝑐(1; 4; 8)}
BÀI 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
1. Tập nào trong các tập sau là không gian con: 𝑎 −1 a. 𝐻 = {(
) ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑀 1 𝑏 2×2 𝑎 𝑏 b. 𝐹 = {(
) ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑀 𝑏 𝑐 2×2
c. 𝐼 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + (𝑎 + 𝑏)𝑥2|𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑃2(𝑥)
d. 𝐾 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2|𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2} ⊂ 𝑃2(𝑥)
2. Cho không gian con 𝑊 = {𝑃(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2|𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 = 0}. Tìm cơ sở và số chiều của 𝑊. 𝑎 2𝑎 + 3𝑏
3. Cho không gian con 𝑊 = {𝑚 = (
) ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅}. Tìm cơ sở và số 3𝑏 −𝑏 chiều 𝑊.
4. Cho không gian con 𝑊 = {(2𝑎 − 𝑏; 𝑎; 𝑎 + 5𝑏)} ⊂ 𝑅3. Tìm cơ sở và số chiều của 𝑊.
5. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi
a. {(1, 3, 1); (2, 5, 1); (1, 1, 1)} trong 𝑅3
b. 𝑢1 = (−2, −1, −3); 𝑢2 = (1, 2, 3); 𝑢3 = (−1, 1, 0) trong 𝑅3
c. 𝑝1 = 1 + 𝑥; 𝑝2 = 1 − 2𝑥 + 3𝑥2; 𝑝3 = 3 − 3𝑥 + 6𝑥2 trong 𝑃2(𝑥) 1 2 0 1 1 3 1 4 d. 𝑚1 = ( ) ; 𝑚 ) ; 𝑚 ) ; 𝑚 ) trong 𝑀 1 3 2 = (2 1 3 = (3 4 4 = (5 5 2.
6. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian nghiệm hệ phương trình 3𝑥 a. { 1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0
5𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0 3𝑥 + 𝑦 + 9𝑧 = 0
b. {𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0 −1 1 0 2 𝑥1 0 −2 1 −1 0 𝑥 0 c. ( ) ( 2) = ( ). 4 1 2 −3 𝑥3 0 −1 4 0 −1 𝑥4 0 BTVN
7. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con
𝑊 = {𝑝(𝑥) = (2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 3𝑏)𝑥 − 𝑎𝑥2} ⊂ 𝑃2
8. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi
𝑢1 = (2, 1, −3); 𝑢2 = (1, 2, 3); 𝑢3 = (−1, 1, 0) trong 𝑅3
9. Gọi 𝑀 là tập hợp các ma trận 𝑋 thỏa mãn phương trình 3 2 3 4 0 (2 1 2 3) 𝑋 = (0) 2 3 2 1 0
Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑀.
CHƯƠNG 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
BÀI 1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Kiểm tra các ánh xạ sau có phải là tuyến tính không?
a. 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 − 5𝑏)
b. 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 4 + 𝑧)
c. 𝑓: 𝑃3 → 𝑃2, 𝑓(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2.
BÀI 2. MA TRẬN BIỂU DIỄN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2. Viết ma trận chính tắc của các ánh xạ tuyến tính sau:
a. 𝑓: 𝑃2 → 𝑅3, 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏, 3𝑏 + 5𝑐) 2𝑎 + 3𝑏 𝑎 − 6𝑏
b. 𝑓: 𝑅2 → 𝑀2×2, 𝑓(𝑎, 𝑏) = ( ) 0 7𝑏 𝑎 𝑏
c. 𝑓: 𝑀2×2 → 𝑃1, 𝑓 (
) = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑) + (2𝑎 − 3𝑏)𝑥 𝑐 𝑑
d. 𝑓: 𝑅4 → 𝑅3, 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = (2𝑎 − 5𝑏 + 6𝑐 − 𝑑, 3𝑐, 5𝑐 + 6𝑑)
3. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 − 5𝑏)
a) Viết ma trận chính tắc của ánh xạ 𝑓.
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở 𝑆 ={𝑢 = (2,3) và 𝑣 = (0,1)}.
c) Tìm ma trận của 𝑓 trong cơ sở 𝑆.
4. Cho ánh xạ 𝑓: 𝑃3 → 𝑃2, 𝑓(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2.
Biết hệ 𝑆 = {𝑒1 = 1, 𝑒2 = 1 + 𝑥, 𝑒3 = 1 + 𝑥 + 𝑥2, 𝑒4 = 𝑥2 + 𝑥3} là cơ sở của
𝑃3(𝑥). Tìm ma trận của ánh xạ 𝑓 theo cặp: cơ sở 𝑆 và cơ sở chính tắc của 𝑃3(𝑥).
5. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦)
Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở gồm 𝑎1 = (1,1); 𝑎2 = (1,2).
6. Cho ánh xạ 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 4𝑧)
a. Tìm ma trận chính tắc của 𝑓.
b. Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở gồm
𝑢1 = (0,1,1); 𝑢2 = (1,0,1); 𝑢3 = (1,1,0).
4.19. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3 thỏa mãn
𝑓(1,1,1) = (1,1,1); 𝑓(1,2,0) = (3,4,1); 𝑓(3,0,0) = (2,1,0)
a) Tìm ma trận chính tắc b) Tính 𝑓(4,5,6).
4.13. Trong 𝑅3 cho hệ cơ sở gồm 𝑎1 = (1, −2,0); 𝑎2 = (1, −3,0); 𝑎3 = (0,0,1). Ánh xạ 𝑓 trong 𝑅3 thỏa mãn
𝑓(𝑎1) = (1,0,1); 𝑓(𝑎2) = (1,1,2); 𝑓(𝑎3) = (2,1,3).
Tìm ma trận chính tắc của 𝑓.
4.3. Cho ánh xạ 𝑓: 𝑃2(𝑥) → 𝑃2(𝑥) có ma trận theo cơ sở 𝑆 = {2 + 3𝑥, 2 − 3𝑥, 𝑥2} là 3 0 2 𝐴 = (0 1 2) 2 2 2
a) Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở 𝑆′ = {1, 𝑥, 𝑥2}.
b) Tính 𝑓(2 + 9𝑥 + 𝑥2).
4.7. Cho 𝑆 = {𝑒1 = (1,1,1); 𝑒2 = (1,1,0); 𝑒3 = (1,0,0)} là cơ sở của 𝑅3. Ánh xạ tuyến
tính 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3 có ma trận theo cơ sở 𝑆 là 1 2 3 𝐴 = (4 5 6) 7 8 9
a) Tìm biểu thức của 𝑓.
b) Gọi 𝐵 là ma trận của 𝑓 theo cơ sở 𝑆′ = {𝑣1 = (1,2,3); 𝑣2 = (4,5,0); 𝑣3 = (1,0,0)}. Tính det(𝐵).
BÀI 3. NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅3; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎 + 𝑏)
Viết ma trận chính tắc. Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓).
2. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: 𝑀2 → 𝑀2 xác định bởi 𝑎 𝑏 −𝑎 + 4𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑓 ( ) = ( ) 𝑐 𝑑 −𝑐 + 𝑑 𝑐 − 𝑑
Viết ma trận chính tắc. Tìm 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓).
3. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑃1(𝑥) → 𝑃2(𝑥) xác định bởi
𝑓(𝑎 + 𝑏𝑥) = (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑎 − 𝑏)𝑥2
Viết ma trận chính tắc. Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓).
4. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: 𝑅3 → 𝑅4; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 − 𝑥, 𝑧 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 +
2𝑧). Viết ma trận chính tắc. Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓). BTVN
5. Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦)
Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓).
6. Ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅4 → 𝑅5 có ma trận chính tắc là 1 1 1 1 3 2 1 −3 𝐴 = 0 1 2 6 5 4 3 −1 (2 1 0 −4)
Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓).
BÀI 4. GIÁ TRỊ RIÊNG, VÉC TƠ RIÊNG
1. Tìm giá trị riêng của các ma trận sau 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 𝑎) 𝐴 = ( 1 2 1 −10 0 2 0 ) 𝑏) 𝐵 = ( 0 0) 0 5 . 𝑐) 𝐷 = ( ). 0 0 3 1 0 2 0 −2 −2 −1 1 0 0 1 3 1 0 0 3
2. Ma trận sau có chéo hóa được không 2 0 0 2 1 0 0
𝑎) 𝐴 = (1 1 2) 𝑏) 𝐷 = (4 2 0 0). 0 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2
3. Chéo hóa ma trận sau 1 4 −1 3 −1 1 1 𝑎) 𝐴 = ( 1 1 −3 5 −1) 𝑏) 𝐴 = ( 1 1). −3 3 1 0 0 3 1 0 0 1 3
4. Chứng minh rằng ma trận A không đồng dạng với ma trận B nếu 1 0 0 1 1 1 𝑎) 𝐴 = (1 2 0) và 𝐵 = (0 −2 −2) 1 3 3 0 0 3 6 0 0 1 1 1 𝑏) 𝐴 = (1 −1 0) và 𝐵 = (0 −2 −2). 1 3 1 0 0 3 1 2 0 1 1 5. Cho 𝐴 = ( ) và 𝐵 = (2 1 0) 0 2 0 0 1
a) Hãy chéo hóa ma trận 𝐴 và 𝐵
b) Tính 𝐴2011 và 𝐵2012. 0 0 1
6. Tìm 𝐴𝑛 trong các trường hợp sau đây 𝐴 = (0 1 0) 1 0 0 BTVN 2 3 1
7. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau 𝐶 = (0 −1 1) 0 0 3 3 3 0
8. Ma trận sau có chéo hóa được không 𝐵 = (0 2 9) 0 1 2 3 −2 0
9. Chéo hóa ma trận sau 𝐴 = (−2 3 0) 0 0 5