Bài tập phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉼󰉴󰉗



󰉵󰉚-󰉪 Tel: 0935.660.880

3

PP QUY N󰈩P - DÃY S󰉁 - C󰈫P S󰉁 C󰉅NG, NHÂN

A. L THUY󰈸T

1. Nguyên lý quy n󰉗p toán h󰉭c:

󰉘󰉿

 

Pn

󰉳󰉪󰉧󰉺󰉳󰉯󰊁

n

󰉦󰉘󰉧󰉪

 

i

và

 

ii

󰉼󰉵

󰉼󰉹󰉮

 

Pn

󰉵󰉭

nm

󰇛󰉯󰊁󰉼󰉵󰇜

   

i Pm



 

ii

V󰉵i m󰉲i s󰉯 t󰊁 nhiên

,km

n󰉦u

 

1Pk



󰉼󰉴󰉽ng minh d󰊁a trên nguyên lý quy n󰉗p toán h󰉭c g󰉭󰉼󰉴󰉗p

toán h󰉭c( hay g󰉭i t󰉞󰉼󰉴󰉗p).

󰉳󰉴󰉘󰉨󰉼

M󰉪󰉧 

1n 

nên theo k󰉦t qu󰉘 󰉷 󰉼󰉵c

2,

󰉵i

1 1 2.n   

󰉵i

2n 

nên l󰉗i theo k󰉦t qu󰉘 󰉷 󰉼󰉵c

2,

󰉵i

2 1 3,...n   

B󰉟ng cách 󰉙y, ta có th󰉨 kh󰉠󰉬nh r󰉟ng m󰉪󰉧 󰉵i m󰉭i s󰉯 t󰊁 nhiên

*

.n

󰉼󰉴háp gi󰉘i toán.

󰉨 ch󰉽ng minh m󰉳t m󰉪󰉧

 

Pn

ph󰉺 thu󰉳c vào s󰉯 t󰊁 nhiên

n

󰉵i m󰉭i

nm

(

m

là s󰉯

t󰊁 󰉼󰉵c), ta th󰊁c hi󰉪󰉼󰉵c sau:

󰉼󰉵c 1: Ch󰉽ng minh r󰉟ng

 

Pn



1n 

.

󰉼󰉵c 2: V󰉵i

k

là m󰉳t s󰉯 t󰊁 nhiên tùy ý,

km

.

 Gi󰉘 s󰉿

 

Pn



nk

, ta s󰉥 ch󰉽ng minh

 

Pn



1nk

.

 Theo nguyên lý quy n󰉗p toán h󰉭c, ta k󰉦t lu󰉝n r󰉟ng

 

Pn

󰉵i m󰉭i s󰉯 t󰊁 nhiên

.nm

B. PHÂN D󰈩NG VÀ CÁC BÀI T󰈯P MINH H󰈿A.

󰈩󰉏󰈲󰉏

1. 󰉝󰉭

󰉝1. 󰉽󰉟󰉵󰉭󰉯

n

, ta có:

a).

   

2

1.4 2.7 3 1 1n n n n    

b).

  

 

  

3

1 1 1

1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2

nn

n n n n n



  

   

L󰉶i gi󰉘i.

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

§BI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

󰉪󰉗󰉭 󰉼󰉴-Bài 1. 󰉼󰉴󰉗



󰉵󰉚-󰉪 Tel: 0935.660.880

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

󰉝2. 󰉽󰉟󰉵󰉭󰉯󰉼󰉴

n

, ta có:

 

2

2 2 2

41

1 3 5 2 1 1

3

nn

n



    