Bài Tập Trắc Nghiệm Lôgarit Có Đáp Án

Bài tập trắc nghiệm logarit được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 27 trang. Tài liệu thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

27 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile ha phan
Trang 1
BÀI TẬP LÔGARIT
Câu 1. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.
(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
(III).
ln ln ln A B A B
với mọi
0, 0AB
.
(IV)
log .log .log 1
a b c
b c a
, với mọi
, , a b c
.
Số mệnh đề đúng là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 2. Cho
là các số thực với
,,a M N
dương và khác
1
.
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?
(I). Nếu
C AB
với
0AB
thì
2ln ln lnC A B
.
(II).
1 log 0 1
a
a x x
.
(III).
log log
aa
NM
MN
.
(IV).
1
2
lim log




x
x
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 3.Tính giá trị của biểu thức
3
log .
a
P a a a
với
0 1.a
A.
1
3
P
. B.
3
2
P
. C.
2
3
P
. D.
3P
.
Câu 4. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Cho
a
là số thực dương và khác
1
. Tính giá trị biểu thức
log .
a
Pa
A.
2P
. B.
0P
. C.
1
2
P
. D.
2P
.
Câu 5.Cho hàm số
2
4
1
1
2
1
1
3log 2
2log
8 1 1




x
x
f x x
với
01x
. Tính
giá trị biểu thức
2017 .P f f
A.
2016.P
B.
1009.P
C.
2017.P
D.
1008.P
Câu 6.Cho
, ab
là các số thực dương khác
1
và thỏa mãn
1.ab
Rút gọn
biểu thức
log log 2 log log log 1
a b a ab b
P b a b b a
.
A.
log .
b
Pa
B.
1.P
C.
0.P
D.
log .
a
Pb
Câu 7.Cho ba điểm
;log , ;2log
aa
A b b B c c
,
;3log
a
C b b
với
0 1,a
0b
,
0c
. Biết
B
là trọng tâm của tam giác
OAC
với
O
là
gốc tọa độ. Tính
2.S b c
A.
9.S
B.
7.S
C.
11.S
D.
5.S
Câu 8. Cho
, , a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2
.a bc
Tính
2ln ln ln S a b c
.
Trang 2
A.
2ln .



a
S
bc
B.
1.S
C.
D.
0.S
Câu 9. Cho
12 3
log logM x y
với
0, 0.xy
Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
4
log



x
M
y
. B.
36
log



x
M
y
. C.
9
log .M x y
D.
15
logM x y
.
Câu 10.Cho
, , a b c
là các số thực dương khác
1
và thỏa
2
2
log , log
a
b
b x c y
. Tính giá trị của biểu thức
log .
c
Pa
A.
2
.P
xy
B.
2.P xy
C.
1
.
2
P
xy
D.
.
2
xy
P
Câu 11.Cho
x
là số thực dương thỏa
2 8 8 2
log log log logxx
. Tính
2
2
log .Px
A.
3.P
B.
3 3.P
C.
27.P
D.
1
.
3
P
Câu 12.Cho
x
là số thực lớn hơn
1
và thỏa mãn
2 4 4 2
log log log logx x a
, với
a
. Tính giá trị của
2
logPx
theo
a
.
A.
1
4.
a
P
B.
2
.Pa
C.
2.
a
P
D.
1
2.
a
P
Câu 13.Cho
p
,
q
là các số thực dương thỏa mãn
9 12 16
log log log p q p q
. Tính giá trị của biểu thức
.
p
A
q
A.
15
.
2
A
B.
15
.
2

A
C.
15
.
2

A
D.
15
.
2
A
Câu 14.Cho
, , a b c
là các số thực khác
0
thỏa mãn
4 25 10
a b c
. Tính

cc
T
ab
.
A.
1
.
2
T
B.
10.T
C.
2.T
D.
1
.
10
T
Câu 15. Cho
, , a b c
là các số thực dương thỏa mãn
37
11
log 7 log 11
log 25
27, 49, 11 a b c
. Tính giá trị của biểu thức
22
2
37
11
log 7 log 11
log 25
. T a b c
A.
76 11T
. B.
31141.T
C.
2017T
.
D.
469T
.
Câu 16. Cho
, ab
là các số thực dương khác
1
và
n
.
Trang 3
Một học sinh tính
2
1 1 1
...
log log log
n
a
aa
P
b b b
theo các bước sau:
I)
2
log log ... log
n
b b b
P a a a
.
II)
1 2 3
log ...
n
b
P a a a a
.
III)
1 2 3 ...
log
n
b
Pa
.
IV)
1 log
b
P n n a
.
Trong các bước trình bày, học sinh đã trình bày sai ở bước nào?
A. I. B. II. C. III. D. IV.
Câu 17. Cho
2
1 1 1
...
log log log
k
a
aa
M
x x x
với
01a
và
01x
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
log
a
kk
M
x
. B.
41
log
a
kk
M
x
. C.
1
2log
a
kk
M
x
.
D.
1
3log
a
kk
M
x
.
Câu 18. Tính
2 3 4 2017
1 1 1 1
... .
log 2017! log 2017! log 2017! log 2017!
P
A.
2017.P
B.
1.P
C.
0.P
D.
2017!.P
Câu 19.Đặt
ln3, ln5.ab
Tính
3 4 5 124
ln ln ln ... ln
4 5 6 125
I
theo
a
và
.b
A.
2.I a b
B.
3.I a b
C.
2.I a b
D.
3.I a b
Câu 20. Tính
0 0 0 0
ln 2cos1 .ln 2cos2 .ln 2cos3 ...ln 2cos89P
, biết
rằng trong tích đã cho có
89
thừa số có dạng
0
ln 2cosa
với
1 89a
và
a
.
A.
1P
. B.
1P
. C.
89
2
89!
P
. D.
0P
.
Câu 21. Cho hàm số
2
12
log
21



x
fx
x
. Tính tổng
1 2 3 2015 2016
... .
2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f
A.
2016.S
B.
1008.S
C.
2017.S
D.
4032.S
Câu 22. Cho
2
log 2x
. Tính giá trị biểu thức
23
2 1 4
2
log log log . P x x x
A.
11 2
.
2
P
B.
2P
. C.
2
.
2
P
D.
3 2.P
Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Với
, ab
là các số thực dương
tùy ý và
a
khác
1,
đặt
2
36
log log .
a
a
P b b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Trang 4
A.
27log .
a
Pb
B.
15log .
a
Pb
C.
9log .
a
Pb
D.
6log .
a
Pb
Câu 24.Cho
2
logam
và
log 8
m
Am
, với
01m
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
3.A a a
B.
3.A a a
C.
3
.
a
A
a
D.
3
.
a
A
a
Câu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Với các số thực dương
, xy
tùy ý, đặt
3
log xa
và
3
log yb
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.
3
27
log .
2




xa
b
y
B.
3
27
log .
2




xa
b
y
C.
3
27
log 9 .
2







xa
b
y
D.
3
27
log 9 .
2







xa
b
y
Câu 26.Cho
23
log 5 , log 5ab
. Tính giá trị biểu thức
4
5
log 2
log 120
2
A
theo
a
và
b
.
A.
4
2
2

b ab a
A
ab
. B.
3 
b ab a
A
ab
.
C.
4
3
2

b ab a
A
ab
. D.
4
3
2

b ab a
A
ab
.
Câu 27. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Đặt
2
log 3a
và
5
log 3b
. Hãy
biểu diễn
6
log 45
theo
a
và
b
.
A.
6
2
log 45
a ab
ab
. B.
2
6
22
log 45
a ab
ab
.
C.
6
2
log 45
a ab
ab b
. D.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
.
Câu 28. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi
, , a b x
là các số thực
dương thoả mãn
2 2 2
log 5log 3logx a b
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
35x a b
. B.
53x a b
. C.
53
x a b
. D.
53
x a b
.
Câu 29. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
3
log 2a
và
2
1
log
2
b
.
Tính giá trị biểu thức
2
3 3 1
4
2log log 3 log

I a b
.
A.
5
4
I
. B.
4I
. C.
0I
. D.
3
2
I
.
Câu 30. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
a
là số thực dương tùy ý
khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2
log log 2.
a
a
B.
2
2
1
log .
log
a
a
C.
2
1
log .
log 2
a
a
D.
2
log log 2.
a
a
Trang 5
Câu 31. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi số thực dương
a
và
b
thỏa mãn
22
8a b ab
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
log log log .
2
a b a b
B.
log 1 log log . a b a b
C.
1
log 1 log log .
2
a b a b
D.
1
log log log .
2
a b a b
Câu 32. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Cho
,x
y
là các số thực lớn hơn
1 thỏa mãn
22
96x y xy
. Tính
12 12
12
1 log log
.
2log 3

xy
M
xy
A.
1
.
2
M
B.
1
.
3
M
C.
1
.
4
M
D.
1.M
Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số thực dương
,a
b
với
1a
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
2
1
log log
2
a
a
ab b
. B.
2
log 2 2log
a
a
ab b
.
C.
2
1
log log
4
a
a
ab b
. D.
2
11
log log
22

a
a
ab b
.
Câu 34. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
a
là số thực dương khác
1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng với mọi số thực dương
, .xy
A.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
B.
log log
aa
x
xy
y
C.
log log log
a a a
x
xy
y
D.
log log log
a a a
x
xy
y
.
Câu 35. Cho
, , , a b x y
là các số thực dương và khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng ?
A.
log log log
a a a
x y x y
. B.
log .log log
b a b
a x x
.
C.
. D.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
.
Câu 36. Cho
, ab
là các số thực dương và
1a
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
2
log 4 2log .
a
a
a ab b
B.
2
log 4log .
a
a
a ab a b
C.
2
log 2 2log .
a
a
a ab a b
D.
2
log 1 4log .
a
a
a ab b
Câu 37. Cho các số thực
0ab
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Trang 6
A.
ln ln ln .ab a b
B.
3
22
ln 3ln . a b a b
C.
ln ln ln .




a
ab
b
D.
2
22
ln ln ln .




a
ab
b
Câu 38. Cho
, ab
là hai số số thực dương và
1a
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
3
11
log 1 log .
32







a
a
a
b
b
B.
3
1
log 1 2log .
3




a
a
a
b
b
C.
3
11
log 1 log .
32







a
a
a
b
b
D.
3
1
log 3 1 log .
2







a
a
a
b
b
Câu 39. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số thực
a
và
b
, với
1ab
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A.
log 1 log
ab
ba
. B.
1 log log
ab
ba
.
C.
log log 1
ba
ab
. D.
log 1 log
ba
ab
.
Câu 40. Cho các số thực dương
,ab
với
1a
và
log 0.
a
b
Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A.
;; 01ab
hoặc
0;1
.
1;

a
b
B.
;; 01ab
hoặc
1; ;. ab
C.
1;
0;1

a
b
hoặc
1; ;. ab
D.
;; 01ab
hoặc
1; . b
Câu 41. Cho bốn số thực dương
, , , a b x y
thỏa mãn
1, 1ab
và
22
1xy
. Biết rằng
log 0
a
xy
và
log 0
b
xy
.Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A.
1
01

a
b
. B.
1
1
a
b
. C.
01
1

a
b
. D.
01
01


a
b
.
Câu 42. Cho
,,abc
là các số thực dương khác
1
và thỏa mãn
log
log 1.
c
a
a
b
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2
.a bc
B.
2
log .
b
ac
C.
.bc
D.
.ac
Câu 43.Cho
, xy
là các số thực dương thỏa mãn
2
2
9log 4 log 12log .logx y x y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
32
xy
. B.
23
xy
. C.
23xy
. D.
32xy
.
Câu 44. Tìm
x
để ba số
ln2, ln 2 1 , ln 2 3
xx
theo thứ tự đó lập
thành cấp số cộng.
A.
1.x
B.
2.x
C.
2
log 5.x
D.
2
log 3.x
Câu 45.Trong các giá trị của
a
được cho trong bốn phương án A, B, C, D
dưới đây, giá trị nào của
a
thỏa mãn
2
0,5 0,5
log logaa
?
Trang 7
A.
5
4
a
. B.
5
4
a
. C.
4
5
a
. D.
2
3
a
.
Câu 46. Điểm
00
;M x y
thuộc đồ thị hàm số
1
3



x
y
và nằm hoàn toàn
phía dưới đường thẳng
1
9
y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0
2x
. B.
0
2x
. C.
0
2x
. D.
0
2x
.
Câu 47. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Một người gửi 50 triệu đồng
vào một ngân hàng với lãi suất
6%/
năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số
tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời
gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra
A. 13 năm. B. 12 năm. C. 14 năm. D. 11 năm.
Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Đầu năm 2016, ông
A
thành
lập một công ty. Tổng số tiền ông
A
dùng để trả lương cho nhân viên trong
năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để
trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm
15%
so với năm trước.
Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông
A
dùng để trả
lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022. B. Năm 2021. C. Năm 2020. D. Năm 2023.
Câu 49. Anh Nam mong muốn rằng sau
6
năm sẽ có
2
tỷ để mua nhà. Hỏi
anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau
hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng
là
8%
/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A.
253,5
triệu. B.
251
triệu. C.
253
triệu. D.
252,5
triệu.
Câu 50. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô
Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau)
là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là
0.5%
và tiền lãi sinh ra hằng tháng
được nhập vào tiền vốn.
A.
14.261.000a
(đồng). B.
14.260.000a
(đồng).
C.
14.261.500a
(đồng). D.
14.260.500a
(đồng).
Câu 51. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng
100 triệu đồng, với lãi suất
12%
/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng
theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là
như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách
đó, số tiền
m
mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ
là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian
ông Việt hoàn nợ.
A.
3
100. 1,01
3
m
(triệu đồng). B.
3
3
1,01
1,01 1
m
(triệu đồng).
C.
100 1,03
3
m
(triệu đồng). D.
3
3
120. 1,12
1,12 1
m
(triệu đồng).
Trang 8
Câu 52. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền
100000000
đồng. Người đó dự định sau đúng
5
năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó,
số tiền
a
mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao
nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là
1,2%
và không thay đổi trong thời gian
ông hoàn nợ.
A.
59
5
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng). B.
60
5
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng).
C.
60
6
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng). D.
59
6
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng).
Câu 53. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ
tăng dân số năm đó là
1,7%
. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo
công thức
.
.
Nr
S Ae
(trong đó
A
: là dân số của năm lấy làm mốc tính,
S
là dân số sau
N
năm,
r
là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với
tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
A.2020. B.2022. C.2025. D.2026.
Câu 54. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm
trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế
giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm.
Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
2C
thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
5C
thì tổng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm
10%
. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm
tC
, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm
ft
% thì
.
t
f t k a
(trong đó
, ak
là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ
C
thì
tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm
20%
?
A.
9,3C
. B.
7,6C
. C.
6,7C
. D.
8,4C
.
Câu 55. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt
hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có
và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày,
lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
A.
3
7 log 25.
B.
25
7
3.
C.
24
7.
3
D.
3
log 25.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.
(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
Trang 9
(III).
ln ln ln A B A B
với mọi
0, 0AB
.
(IV)
log .log .log 1
a b c
b c a
, với mọi
, , a b c
.
Số mệnh đề đúng là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải. Cơ số của lôgarit phải là số dương khác
1
. Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.
Ta có
ln ln ln .A B A B
với mọi
0, 0AB
. Do đó (III) sai.
Ta có
log .log .log 1
a b c
b c a
với mọi
0 , , 1a b c
. Do đó (IV) sai.
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng. Chọn A.
Câu 2. Cho
là các số thực với
,,a M N
dương và khác
1
.
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?
(I). Nếu
C AB
với
0AB
thì
2ln ln lnC A B
.
(II).
1 log 0 1
a
a x x
.
(III).
log log
aa
NM
MN
.
(IV).
1
2
lim log




x
x
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải. Nếu
C AB
với
0AB
thì
2ln ln lnC A B
. Do đó (I) sai.
● Với
1a
thì
1 log 0 log 0 1
aa
a x x x
.
● Với
01a
thì
1 log 0 log 0 1
aa
a x x x
. Do đó (II) đúng.
Lấy lôgarit cơ số
a
hai vế của
log log
aa
NM
MN
, ta có
log log
log log log .log log .log
aa
NM
a a a a a a
M N N M M N
.
Do đó (III) đúng.
Ta có
1 2 2
2
lim log lim log lim log
  




x x x
x x x
. Do đó (IV)
đúng.
Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng. Chọn C.
Câu 3.Tính giá trị của biểu thức
3
log .
a
P a a a
với
0 1.a
A.
1
3
P
. B.
3
2
P
. C.
2
3
P
. D.
3P
.
Lời giải. Ta có
1
13
3
22
33
log . . log log
22





a a a
P a a a a a
. Chọn B.
Cách trắc nghiệm: Chọn
2a
và bấm máy.
Trang 10
Câu 4. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
a
là số thực dương và khác
1
. Tính giá trị biểu thức
log .
a
Pa
A.
2P
. B.
0P
. C.
1
2
P
. D.
2P
.
Lời giải.Với
01a
, ta có
1
2
log log 2log 2.1 2.
a
a
a
P a a a
Chọn
D.
Câu 5. Cho hàm số
2
4
1
1
2
1
1
3log 2
2log
8 1 1




x
x
f x x
với
01x
. Tính
giá trị biểu thức
2017 .P f f
A.
2016.P
B.
1009.P
C.
2017.P
D.
1008.P
Lời giải.Ta có
42
2
2 2 2
2
11
11
log 2
1 log 2
2log log
1 1 1
3.
3log 2 3.log 2 log 2
log
2
2
.
8 2 2 2

x
x
x x x
x
xx
x
x x x x x
x
Khi đó
1
1
2
2
2
2
2 1 1 1 1 .


f x x x x x
Suy ra
2017 2017 2017 2017 2017. f f f f
Chọn C.
Câu 6.Cho
, ab
là các số thực dương khác
1
và thỏa mãn
1.ab
Rút gọn
biểu thức
log log 2 log log log 1
a b a ab b
P b a b b a
.
A.
log .
b
Pa
B.
1.P
C.
0.P
D.
log .
a
Pb
Lời giải.Từ giả thiết, ta có
1
log log 2 . log .log 1
1 log



a b a b
b
P b a b a
a
2
log
1
1 1 1 1 1 1
2 1 . 1 1 log .
11


b
ta
a
t
t
t t t b
t t t t t t t t
Chọn D.
Câu 7. Cho ba điểm
;log , ;2log
aa
A b b B c c
,
;3log
a
C b b
với
0 1,a
0b
,
0c
. Biết
B
là trọng tâm của tam giác
OAC
với
O
là
gốc tọa độ. Tính
2.S b c
A.
9.S
B.
7.S
C.
11.S
D.
5.S
Lời giải.Vì
B
là trọng tâm của tam giác
OAC
nên
0
3
0 log 3log
2log
3


aa
a
bb
c
bb
c
23
23
3 2 3
4log 6log 2log 3log
log log



a a a a
aa
bc
b b c b c
b c b c
bc
Trang 11
0
23
27
23
8
2 9.
9
4


c
b
bc
S b c
bc
c
Chọn A.
Câu 8. Cho
, , a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2
.a bc
Tính
2ln ln ln S a b c
.
A.
2ln .



a
S
bc
B.
1.S
C.
D.
0.S
Lời giải.Ta có
2
2ln ln ln ln ln ln ln 0. S a b c a bc bc bc
Chọn D.
Câu 9. Cho
12 3
log logM x y
với
0, 0.xy
Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
4
log



x
M
y
. B.
36
log



x
M
y
. C.
9
log .M x y
D.
15
logM x y
.
Lời giải.Từ
12 3 4
12
log log 4 log .
3




M
M
M
x
xx
M x y M
yy
y
Chọn A.
Cách trắc nghiệm.
● Cho
12 3 xy
. Khi đó
1.M
Thử
12; 3xy
vào các đáp án thì có các đáp án A, C, D đều thỏa. Ta
chưa kết luận được.
● Cho
22
12 3 xy
. Khi đó
2M
.
Thử
144; 9xy
vào các đáp án thì có các đáp án A thỏa.
Câu 10.Cho
, , a b c
là các số thực dương khác
1
và thỏa
2
2
log , log
a
b
b x c y
. Tính giá trị của biểu thức
log .
c
Pa
A.
2
.P
xy
B.
2.P xy
C.
1
.
2
P
xy
D.
.
2
xy
P
Lời giải.Nhận thấy các đáp án đều có tích
xy
nên ta sẽ tính tích này.
Ta có
2
2
1 1 1
log .log log log log .
2 2log 2

a a a c
b
c
xy b c c c a
a xy
Chọn C.
Câu 11.Cho
x
là số thực dương thỏa
2 8 8 2
log log log logxx
. Tính
2
2
log .Px
A.
3.P
B.
3 3.P
C.
27.P
D.
1
.
3
P
Trang 12
Lời giải.Ta có
2
log xP
thay vào giả thiết, ta có
66
2 2 2
1
log log log 27.
3 3 3



PP
P P P P
Chọn C.
Cách CASIO. Phương trình
2 8 8 2
log log log log 0. xx
Dò nghiệm phương trình, lưu vào
A
Thế
xA
để tính
2
2
log x
Đáp số chính xác là C. Chọn C.
Câu 12.Cho
x
là số thực lớn hơn
1
và thỏa mãn
2 4 4 2
log log log logx x a
, với
a
. Tính giá trị của
2
logPx
theo
a
.
A.
1
4.
a
P
B.
2
.Pa
C.
2.
a
P
D.
1
2.
a
P
Lời giải.Ta có
2
2 4 4 2 2 2 2
log 1
log log log log log log log
22



x
x x a x a
2 2 2 2 2 2
1
log log 1 log log log log 2 2
2
x x a x a
2 2 1
22
log 2 log 4 .

aa
xx
Chọn A.
Câu 13.Cho
p
,
q
là các số thực dương thỏa mãn
9 12 16
log log log p q p q
. Tính giá trị của biểu thức
.
p
A
q
A.
15
.
2
A
B.
15
.
2

A
C.
15
.
2

A
D.
15
.
2
A
Lời giải.Đặt
9 12 16
9
log log log 12
16


t
t
t
p
t p q p q q
pq
9 12 16.
t t t
pq
*
Chia hai vế của
*
cho
16
t
, ta được
2
9 12 3 3
11
16 16 4 4
t t t t
2
3 3 3 1 5
10
4 4 4 2

t t t
(loại) hoặc
3 1 5
.
42




t
Giá trị cần tính
3 1 5
.
42




t
p
A
q
Chọn C.
Trang 13
Câu 14.Cho
, , a b c
là các số thực khác
0
thỏa mãn
4 25 10
a b c
. Tính

cc
T
ab
.
A.
1
.
2
T
B.
10.T
C.
2.T
D.
1
.
10
T
Lời giải.Giả sử
4
25
10
log
4 25 10 log .
log

a b c
at
t b t
ct
Ta có
10 10
10 10
4 25
log log log 4 log 25
log 4 log 25
log log log 10 log 10
tt
tt
tt
cc
T
a b t t
10 10
log 4.25 log 100 2.
Chọn C.
Câu 15. Cho
, , a b c
là các số thực dương thỏa mãn
37
11
log 7 log 11
log 25
27, 49, 11 a b c
. Tính giá trị của biểu thức
22
2
37
11
log 7 log 11
log 25
. T a b c
A.
76 11T
. B.
31141.T
C.
2017T
.
D.
469T
.
Lời giải.Ta có
3 7 11
37
11
log 7 log 11 log 25
log 7 log 11
log 25
T a b c
11
37
log 25
log 7 log 11
27 49 11 .
Áp dụng
log
a
b
ab
, ta được
3
3
3
7
7
7
11
11
11
3
log 7
log 7
log 7
33
2
log 11
log 11
log 11
22
log 25
11
1
log 25
log 25
22
2
27 3 3 7 343
49 7 7 11 121 .
11 11 11 25 25 5



Vậy
343 121 5 469. T
Chọn D.
Câu 16. Cho
, ab
là các số thực dương khác
1
và
n
.
Một học sinh tính
2
1 1 1
...
log log log
n
a
aa
P
b b b
theo các bước sau:
I)
2
log log ... log
n
b b b
P a a a
.
II)
1 2 3
log ...
n
b
P a a a a
.
III)
1 2 3 ...
log
n
b
Pa
.
IV)
1 log
b
P n n a
.
Trong các bước trình bày, học sinh đã trình bày sai ở bước nào?
A. I. B. II. C. III. D. IV.
Trang 14
Lời giải.Chọn D. Vì
1 2 3 ...
1
log 1 2 3 ... .log .log
2
n
b b b
nn
P a n a a
.
Câu 17. Cho
2
1 1 1
...
log log log
k
a
aa
M
x x x
với
01a
và
01x
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
log
a
kk
M
x
. B.
41
log
a
kk
M
x
. C.
1
2log
a
kk
M
x
.
D.
1
3log
a
kk
M
x
.
Lời giải.Ta có
1 1 1 1
...
1 1 1
log
log log log
23
a
a a a
M
x
x x x
k
1
1 2 3 1 1
... . 1 2 3 ... . .
log log log log log log 2
a a a a a a
kk
k
k
x x x x x x
Chọn C
Câu 18. Tính
2 3 4 2017
1 1 1 1
... .
log 2017! log 2017! log 2017! log 2017!
P
A.
2017.P
B.
1.P
C.
0.P
D.
2017!.P
Lời giải.Áp dụng công thức
1
log
log
a
b
b
a
, ta được
2017! 2017! 2017! 2017! 2017!
log 2 log 3 ... log 2017 log 2.3.4....2017 log 2017! 1. P
Chọn B.
Câu 19.Đặt
ln3, ln5.ab
Tính
3 4 5 124
ln ln ln ... ln
4 5 6 125
I
theo
a
và
.b
A.
2.I a b
B.
3.I a b
C.
2.I a b
D.
3.I a b
Lời giải.Ta có
3 4 5 124 3
ln . . ... ln ln3 ln125 ln3 3ln5 3 .
4 5 6 125 125



I a b
Chọn D.
Câu 20. Tính
0 0 0 0
ln 2cos1 .ln 2cos2 .ln 2cos3 ...ln 2cos89P
, biết
rằng trong tích đã cho có
89
thừa số có dạng
0
ln 2cosa
với
1 89a
và
a
.
A.
1P
. B.
1P
. C.
89
2
89!
P
. D.
0P
.
Trang 15
Lời giải.Trong tích trên có
0
1
ln 2cos60 ln 2. ln1 0
2



. Vậy
0P
.
Chọn D.
Câu 21. Cho hàm số
2
12
log
21



x
fx
x
. Tính tổng
1 2 3 2015 2016
... .
2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f
A.
2016.S
B.
1008.S
C.
2017.S
D.
4032.S
Lời giải.Xét
22
21
1 2 1
1 log log
2 1 2 1 1






x
x
f x f x
xx
2 2 2 2
2 1 2 1
1 2 1 1 2 1
log log log . log 4 1
2 1 2 2 1 2




xx
xx
x x x x
.
Áp dụng tính chất trên, ta được
1 2016 2 2015 1008 1009
...
2017 2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f f
1 1 ... 1 1008.
Chọn B.
Câu 22. Cho
2
log 2x
. Tính giá trị biểu thức
23
2 1 4
2
log log log . P x x x
A.
11 2
.
2
P
B.
2P
. C.
2
.
2
P
D.
3 2.P
Lời giải.Ta có
2 2 2 2
1 1 1 2
2log 3log log log . 2
2 2 2 2
P x x x x
. Chọn C.
Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với
, ab
là các số thực dương
tùy ý và
a
khác
1,
đặt
2
36
log log .
a
a
P b b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
27log .
a
Pb
B.
15log .
a
Pb
C.
9log .
a
Pb
D.
6log .
a
Pb
Lời giải.Ta có
2
36
6
log log 3log log 6log .
2
a a a a
a
P b b b b b
Chọn D.
Câu 24.Cho
2
logam
và
log 8
m
Am
, với
01m
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
3.A a a
B.
3.A a a
C.
3
.
a
A
a
D.
3
.
a
A
a
Lời giải.Ta có
2
3 3 3
log 8 log 8 log 3log 2 1 1 1 .
log
m m m m
a
A m m
m a a
Chọn D.
Trang 16
Câu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với các số thực dương
, xy
tùy ý, đặt
3
log xa
và
3
log yb
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.
3
27
log .
2




xa
b
y
B.
3
27
log .
2




xa
b
y
C.
3
27
log 9 .
2







xa
b
y
D.
3
27
log 9 .
2







xa
b
y
Lời giải.Ta có
3
27 3 3 3 3 3
31
log log log log log log .
3 2 2
x x a
x y x y b
yy
Chọn B.
Câu 26.Cho
23
log 5 , log 5ab
. Tính giá trị biểu thức
4
5
log 2
log 120
2
A
theo
a
và
b
.
A.
4
2
2

b ab a
A
ab
. B.
3 
b ab a
A
ab
.
C.
4
3
2

b ab a
A
ab
. D.
4
3
2

b ab a
A
ab
.
Lời giải.Ta có
4
3
5
5 5 5
1
log 2
4
4
log 2 .5.3
log 120 3log 2 1 log 3
2
2
2

A
44
31
1
3
.
22



b ab a
ab
ab
Chọn C.
Cách 2. Dùng CASIO:
Bấm máy
2
log 5
và lưu vào biến A; Bấm máy
3
log 5
và lưu vào biến B.
Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu
4
5
log 2
4
log 120
2
2
2

b ab a
ab
phải bằng 0.
Nhập vào màn hình
4
5
log 2
4
log 120
2B AB A
2AB
2

với A, B là các biến đã lưu và
nhấn dấu =.
Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.
Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.
Câu 27. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Đặt
2
log 3a
và
5
log 3b
. Hãy
biểu diễn
6
log 45
theo
a
và
b
.
A.
6
2
log 45
a ab
ab
. B.
2
6
22
log 45
a ab
ab
.
C.
6
2
log 45
a ab
ab b
. D.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
.
Lời giải.Ta có
6 6 6
log 45 log 9 log 5.
Trang 17
66
33
2 2 2 2
log 9 2log 3 .
1
log 6 1 log 2 1
1

a
a
a
6
5 5 5
11
log 5
log 6 log 3 log 2 1

a
ba
vì
5
log 2
b
a
.
Vậy
6
22
log 45 .
11
a a a ab
a b a ab b
Chọn C.
Câu 28. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi
, , a b x
là các số thực
dương thoả mãn
2 2 2
log 5log 3logx a b
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
35x a b
. B.
53x a b
. C.
53
x a b
. D.
53
x a b
.
Lời giải.Ta có
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
log 5log 3log log log log x a b a b a b x a b
.
Chọn D.
Câu 29. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
3
log 2a
và
2
1
log
2
b
.
Tính giá trị biểu thức
2
3 3 1
4
2log log 3 log

I a b
.
A.
5
4
I
. B.
4I
. C.
0I
. D.
3
2
I
.
Lời giải.Ta có
2
3
log 2 3 9  aa
và
1
2
2
1
log 2 2.
2
 bb
Vậy
CASIO
2
3 3 1
4
13
2log log 3.9 log 2 2 .
22

I
Chọn D.
Câu 30. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
a
là số thực dương tùy ý
khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2
log log 2.
a
a
B.
2
2
1
log .
log
a
a
C.
2
1
log .
log 2
a
a
D.
2
log log 2.
a
a
Lời giải.Chọn C.
Câu 31. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi số thực dương
a
và
b
thỏa mãn
22
8a b ab
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
log log log .
2
a b a b
B.
log 1 log log . a b a b
C.
1
log 1 log log .
2
a b a b
D.
1
log log log .
2
a b a b
Lời giải.Ta có
2
22
8 10 a b ab a b ab
2
log log 10 2log log10 log log a b ab a b a b
Trang 18
1
log 1 log log .
2
a b a b
Chọn C.
Câu 32. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
,x
y
là các số thực lớn hơn
1 thỏa mãn
22
96x y xy
. Tính
12 12
12
1 log log
.
2log 3

xy
M
xy
A.
1
.
2
M
B.
1
.
3
M
C.
1
.
4
M
D.
1.M
Lời giải.Ta có
2
22
9 6 3 0 3 x y xy x y x y
.
Suy ra
22
12 12
12 12
12 12
12 12 12 12
1 log 3 log 36
1 log 3 log
1 log log
2log 3 2log 3 3 2log 6 2log 6



yy
yy
xy
M
x y y y y y
2
12
2
12
log 36
1
log 36
y
y
. Chọn D.
Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số thực dương
,a
b
với
1a
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
2
1
log log
2
a
a
ab b
. B.
2
log 2 2log
a
a
ab b
.
C.
2
1
log log
4
a
a
ab b
. D.
2
11
log log
22

a
a
ab b
.
Lời giải.Ta có
2
1 1 1 1
log log log log log
2 2 2 2
a a a a
a
ab ab a b b
.
Chọn D.
Câu 34. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
a
là số thực dương khác
1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng với mọi số thực dương
, .xy
A.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
B.
log log
aa
x
xy
y
C.
log log log
a a a
x
xy
y
D.
log log log
a a a
x
xy
y
.
Lời giải.Chọn D.
Câu 35. Cho
, , , a b x y
là các số thực dương và khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng ?
A.
log log log
a a a
x y x y
. B.
log .log log
b a b
a x x
.
C.
. D.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
.
Lời giải.Ta có
log log log 
a a a
x y xy
A sai.
log log log 
a a a
x
xy
y
D sai.
Trang 19
1
log log 
aa
x
x
C sai.
log .log log 
b a b
a x x
B đúng. Chọn B.
Câu 36. Cho
, ab
là các số thực dương và
1a
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
2
log 4 2log .
a
a
a ab b
B.
2
log 4log .
a
a
a ab a b
C.
2
log 2 2log .
a
a
a ab a b
D.
2
log 1 4log .
a
a
a ab b
Lời giải.Ta có
1
2
2
log log 2log 2 log log
a a a
a
a
a ab a a b a a b a a b
2log 2log 2 2log
a a a
a a b a b
. Chọn C.
Câu 37. Cho các số thực
0ab
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
ln ln ln .ab a b
B.
3
22
ln 3ln . a b a b
C.
ln ln ln .




a
ab
b
D.
2
22
ln ln ln .




a
ab
b
Lời giải.Vì
0ab
nên
ln a
và
lnb
không có nghĩa. Chọn A.
Câu 38. Cho
, ab
là hai số số thực dương và
1a
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
3
11
log 1 log .
32







a
a
a
b
b
B.
3
1
log 1 2log .
3




a
a
a
b
b
C.
3
11
log 1 log .
32







a
a
a
b
b
D.
3
1
log 3 1 log .
2







a
a
a
b
b
Lời giải.Ta có
3
3
1
log
1 log
log log
2
log .
log 3log 3






a
a
aa
a
aa
a
b
ab
a
b
aa
b
Chọn C.
Câu 39. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số thực
a
và
b
, với
1ab
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A.
log 1 log
ab
ba
. B.
1 log log
ab
ba
.
C.
log log 1
ba
ab
. D.
log 1 log
ba
ab
.
Lời giải.Ta có
log log log 1
1 log 1 log .
log log 1 log
a a a
ba
b b b
b a b
b a a b
b a a
Chọn D.
Câu 40. Cho các số thực dương
,ab
với
1a
và
log 0.
a
b
Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A.
;; 01ab
hoặc
0;1
.
1;

a
b
B.
;; 01ab
hoặc
1; ;. ab
Trang 20
C.
1;
0;1

a
b
hoặc
1; ;. ab
D.
;; 01ab
hoặc
1; . b
Lời giải.Với điều kiện
,0ab
và
1a
, ta xét các trường hợp sau:
TH1:
01a
, ta có
01
log 0 log log 1 1.


a
a a a
b b b
TH2:
1a
, ta có
1
log 0 log log 1 1.

a
a a a
b b b
Từ hai trường hợp trên, ta được
0 , 1
.
1, 1


ab
ab
Chọn B.
Câu 41. Cho bốn số thực dương
, , , a b x y
thỏa mãn
1, 1ab
và
22
1xy
. Biết rằng
log 0
a
xy
và
log 0
b
xy
. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A.
1
01

a
b
. B.
1
1
a
b
. C.
01
1

a
b
. D.
01
01


a
b
.
Lời giải.● Ta có
2
22
2
12
11
,0
 
x y x y xy
x y x y
xy
.
Kết hợp với
log 0 1 
a
x y a
.
● Ta có
22
,0
, 0;1 0 1
1
 

xy
x y xy
xy
.
Kết hợp với
log 0 1
b
xy b
. Chọn B.
Cách giải trắc nghiệm: Chọn
13
22
 xy
.
Khi đó
13
1
2
3
01
4
xy
xy
, kết hợp với
log 0
log 0

a
b
xy
xy
suy ra
1
1
a
b
.
Câu 42. Cho
,,abc
là các số thực dương khác
1
và thỏa mãn
log
log 1.
c
a
a
b
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2
.a bc
B.
2
log .
b
ac
C.
.bc
D.
.ac
Lời giải.Áp dụng
log .log
n
mm
x n x
với
0x
, ta được
log
log log .log log .
c
a
a c a c
b a b b
Suy ra
log 1
c
b b c
. Chọn C.
Câu 43.Cho
, xy
là các số thực dương thỏa mãn
2
2
9log 4 log 12log .logx y x y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
32
xy
. B.
23
xy
. C.
23xy
. D.
32xy
.
Trang 21
Lời giải. Ta có
2
2
9log 4 log 12log .logx y x y
22
3log 2.3log .2log 2log 0 x x y y
2
3 2 3 2
3log 2log 0 3log 2log log log x y x y x y x y
.
Chọn A.
Câu 44. Tìm
x
để ba số
ln2, ln 2 1 , ln 2 3
xx
theo thứ tự đó lập
thành cấp số cộng.
A.
1.x
B.
2.x
C.
2
log 5.x
D.
2
log 3.x
Lời giải.Điều kiện:
0.x
Vì
ln2, ln 2 1 ,ln 2 3
xx
theo thứ tự đó lập thành CSC nên ta có
22
ln2 ln 2 3 2ln 2 1 ln 2 2 3 ln 2 1 2 2 3 2 1


x x x x x x
2
2 4.2 5 0
xx
2
21
2 5 log 5.
25
loaïi

x
x
x
x
Chọn C.
Câu 45.Trong các giá trị của
a
được cho trong bốn phương án A, B, C, D
dưới đây, giá trị nào của
a
thỏa mãn
2
0,5 0,5
log logaa
?
A.
5
4
a
. B.
5
4
a
. C.
4
5
a
. D.
2
3
a
.
Lời giải. Điều kiện:
0a
. Loại A.
Vì cơ số
0,5 1
nên
22
0,5 0,5
1
log log 1 0
0
a
a a a a a a
a
.
Đối chiếu với điều kiện ta được:
1a
.
Do đó trong các số đã cho chỉ có
5
4
là thỏa mãn. Chọn B.
Cách trắc nghiệm: Thay lần lượt bốn đáp án và bấm máy tính.
Câu 46. Điểm
00
;M x y
thuộc đồ thị hàm số
1
3



x
y
và nằm hoàn toàn
phía dưới đường thẳng
1
9
y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0
2x
. B.
0
2x
. C.
0
2x
. D.
0
2x
.
Lời giải. Hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số
1
3



x
y
và nằm hoàn toàn
phía dưới đường thẳng
1
9
y
thỏa mãn
2
1 1 1 1
2
3 9 3 3
xx
x
.
Chọn D.
Câu 47. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một người gửi 50 triệu đồng
vào một ngân hàng với lãi suất
6%/
năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số
Trang 22
tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời
gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra
A. 13 năm. B. 12 năm. C. 14 năm. D. 11 năm.
Lời giải.Gọi
M
là số tiền gửi ban đầu,
6%r
/năm là lãi suất,
n
là số năm
gửi.
Ta có công thức lãi kép:
1
n
T M r
là số tiền nhận được sau
n
năm.
Theo đề bài, ta có
100 50. 1 6% 100 1,06 2 11. 
n
n
Tn
Do kỳ hạn là
1
năm nên phải đúng hạn mới được nhận.
Vậy người này cần ít nhất
12
năm. Chọn B.
Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đầu năm 2016, ông
A
thành
lập một công ty. Tổng số tiền ông
A
dùng để trả lương cho nhân viên trong
năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để
trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm
15%
so với năm trước.
Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông
A
dùng để trả
lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022. B. Năm 2021. C. Năm 2020. D. Năm 2023.
Lời giải.Ta xem đây như bài toán lãi suất gởi ngân hàng được phát biểu ngắn
gọn như sau:
''
Đầu năm 2016, ông A gởi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất
hàng năm là
15%
. Hỏi đến năm nào là năm đầu tiên ông A nhận được số
tiền lớn hơn 2 tỷ đồng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì
cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp
theo
''
.
Gọi
M
là số tiền gửi ban đầu,
15%r
/năm là lãi suất,
n
là số năm gửi.
Ta có công thức lãi kép:
1
n
T M r
là số tiền nhận được sau
n
năm.
Theo đề bài, ta có
2 1. 1 15% 2 1,15 2 4. 
n
n
Tn
Do kỳ hạn là
1
năm nên phải đúng
5
năm sau mới nhận được. Lúc đấy là
năm
2016 5 2021
. Chọn B.
Câu 49. Anh Nam mong muốn rằng sau
6
năm sẽ có
2
tỷ để mua nhà. Hỏi
anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau
hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng
là
8%
/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A.
253,5
triệu. B.
251
triệu. C.
253
triệu. D.
252,5
triệu.
Lời giải.Giả sử anh Nam bắt đầu gửi
M
đồng từ đầu kì
1
với lãi suất là
r
.
● Cuối kì
1
có số tiền là:
1
1
T M r
.
● Đầu kì
2
có số tiền là:
2
1 T M r M
22
1 1 . 1 1 1 1
11


MM
M r r r
rr
.
● Cuối kì
2
có số tiền là:
2
2
1 1 1


M
T r r
r
.
Trang 23
● Đầu kì
3
có số tiền là:
2
3
1 1 1


M
T r r M
r
33
1 1 1 1 .
MM
r r r r
rr
● Cuối kì
3
có số tiền là:
34
3
1 1 1 1 1
MM
T r r r r
rr
.
………….
Tổng quát, ta có cuối kì
n
có số tiền là:
1
11


n
n
M
T r r
r
.
Suy ra
1
.
11
n
n
Tr
M
rr
.
Áp dụng công thức với
2000000000
6
8% 0,08

n
T
n
r
, ta được
252435900M
.
Chọn D.
Câu 50. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô
Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau)
là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là
0.5%
và tiền lãi sinh ra hằng tháng
được nhập vào tiền vốn.
A.
14.261.000a
(đồng). B.
14.260.000a
(đồng).
C.
14.261.500a
(đồng). D.
14.260.500a
(đồng).
Lời giải.Gọi
, , r T a
lần lượt là lãi suất hàng tháng, tổng số tiền sau mỗi
tháng, số tiền gởi đều đặn mỗi tháng .
● Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là:
1
. 1 . T a a r a r
● Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
1 1 1

a r a a r
22
1 1 1 1 .
11

aa
rr
r
r
● Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
22
2
1 1 1 1 .
aa
T r r r
rr
2
1 1 1 .


a
rr
r
● Cuối tháng thứ
n
, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là:
1 1 1


n
n
a
T r r
r
.
Suy ra
.
1 1 1


n
n
Tr
a
rr
.
Trang 24
Áp dụng, ta có
60
1.000.000.000 0,5%
14.261.494,06
1 0,5% 1 0,5% 1



a
.
Vậy mỗi tháng ông A phải gửi tiết kiệm 14 triệu 261 ngàn 500 đồng vào
ngân hàng, liên tục trong 5 năm. Chọn C.
Câu 51. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng
100 triệu đồng, với lãi suất
12%
/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng
theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là
như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách
đó, số tiền
m
mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ
là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian
ông Việt hoàn nợ.
A.
3
100. 1,01
3
m
(triệu đồng). B.
3
3
1,01
1,01 1
m
(triệu đồng).
C.
100 1,03
3
m
(triệu đồng). D.
3
3
120. 1,12
1,12 1
m
(triệu đồng).
Lời giải.Ở đây, ta phải quy ước số tiền lãi thay đổi theo từng tháng. Nếu
không, học sinh sẽ tính tổng số tiền vay là 100 triệu đồng, lãi cần trả là
0,12
3 0,03
12

(do chỉ trả trong 3 tháng).
Khi đó, số tiền cần trả là
100 1 0,03
100 1,03
33

, là đáp án C.
Tuy nhiên nếu lãi suất thay đổi theo tháng thì vấn đề phức tạp hơn (và có lẽ
đây cũng là cách hiểu mà đề đang hướng đến, vì cách hiểu này phù hợp với
thực tế).
Lãi hàng tháng mà ông phải trả là
0,12
0,01
12
nhân với số tiền đang nợ,
tức là tổng số nợ tháng sau sẽ bằng số nợ tháng trước nhân với
1,01
.
Thán
g
Tiề
n
trả
Số tiền còn nợ
Tiền lãi trong tháng
0
0
100
100 0,01
1
m
100 1,01m
100 1,01 0,01 m
2
m
100 1,01 1,01 mm
100 1,01 1,01 0,01

mm
3
m
100 1,01 1,01 1,01

m m m
0
(theo giả thiết thì đến đây
hết nợ)
Do ta có phương trình:
2
3
100 1,01 1,01 1,01 0 100 1,01 1 1,01 1,01



m m m m
Trang 25
3
33
23
2
100 1,01 1,01 1
100 1,01 1,01
1,01 1 1 1,01 1,01
1 1,01 1,01 1,01 1

m
(triệu
đồng).Chọn B.
Câu 52. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền
100000000
đồng. Người đó dự định sau đúng
5
năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó,
số tiền
a
mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao
nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là
1,2%
và không thay đổi trong thời gian
ông hoàn nợ.
A.
59
5
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng). B.
60
5
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng).
C.
60
6
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng). D.
59
6
60
1,2
12.10 1
100
1,2
11
100







a
(đồng).
Lời giải.Gọi
, , , m r T a
lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng
tháng, tổng số tiền vay còn lại sau mỗi tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng
.
● Sau khi hết tháng thứ nhất
1n
thì còn lại:
1
1. T m r a
● Sau khi hết tháng thứ hai
2n
thì còn lại:
2
11

T m r a r a
2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 .


a
m r a r a m r a r m r r
r
● Sau khi hết tháng thứ ba
3n
thì còn:
22
3
1 1 1 1





a
T m r r r a
r
33
1 1 1 .


a
m r r
r
Trang 26
● Sau khi hết tháng thứ
n
thì còn lại:
1 1 1 .


nn
n
a
T m r r
r
Áp dụng công thức trên, ta có
60
5
60
1,2
12.10 1
1
100
0
11
1,2
11
100








n
n
n
m r r
Ta
r
(đồng). Chọn B.
Câu 53. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ
tăng dân số năm đó là
1,7%
. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo
công thức
.
.
Nr
S Ae
(trong đó
A
: là dân số của năm lấy làm mốc tính,
S
là dân số sau
N
năm,
r
là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với
tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
A. 2020. B. 2022. C. 2025. D. 2026.
Lời giải.Ta có
.
1
. .ln . 
Nr
S
S Ae N
rA
Để dân số nước ta ở mức 120 triệu người thì cần số năm
6
100 120.10
.ln 25.
1,7 78685800
N
Lúc đấy là năm
2001 25 2026.
Chọn D.
Câu 54. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm
trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế
giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm.
Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
2C
thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
5C
thì tổng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm
10%
. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm
tC
, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm
ft
% thì
.
t
f t k a
(trong đó
, ak
là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ
C
thì
tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm
20%
?
A.
9,3C
. B.
7,6C
. C.
6,7C
. D.
8,4C
.
Lời giải.Theo đề bài, ta có
2
5
. 3%
1
. 10%
ka
ka
. Cần tìm
t
thỏa mãn
. 20%
t
ka
.
Từ
2
3%
1 k
a
và
3
10
3
a
.
Trang 27
Khi đó
3
2
2
10
3
3% 20 20
. 20% . 20% 2 log 6,7.
33
 
t t t
k a a a t
a
Chọn C.
Câu 55. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt
hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có
và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày,
lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
A.
3
7 log 25.
B.
25
7
3.
C.
24
7.
3
D.
3
log 25.
Lời giải. Gọi
A
là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là
100
.
4
A
Sau một tuần số lượng bèo là
3 A
sau
n
tuần lượng bèo là
3.
n
A
Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì
100
3 . .
4
n
AA
33
100
log log 25
4
 n
thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là
3
7log 25t
.
Chọn A.
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP LÔGARIT
Câu 1. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.
(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
(III). ln  A B  ln A  ln B với mọi A  0, B  0 . (IV) log . b log .
c log a  1, với mọi , a , b c   . a b c Số mệnh đề đúng là: A. 1 . B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 2. Cho , a , A ,
B M , N là các số thực với ,
a M , N dương và khác 1 .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây? (I). Nếu C
AB với AB  0 thì 2ln C  ln A  ln B . (II). a  
1 log x  0  x  1. a (III). log N log aa M M N .  
(IV). lim log x   . 1 x  2  A. 1 . B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 3.Tính giá trị của biểu thức P
a a a với 0  a  1. a  3 log .  1 3 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  3. 3 2 3
Câu 4. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Cho a là số thực dương và khác
1 . Tính giá trị biểu thức P  log . a a 1 A. P  2  . B. P  0 . C. P  . D. P  2 . 2 1 1 1 2   1 3log 2
Câu 5.Cho hàm số f x 2 log x 2 4   x  8 x 1 1  x    với 0 1. Tính  
giá trị biểu thức P f f 2017. A. P  2016. B. P 1009. C. P  2017. D. P 1008.
Câu 6.Cho a, b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab  1. Rút gọn
biểu thức P  log b  log a  2 b b a . a b log  log a ab log 1 b A. P  log .
a B. P 1. C. P  0. D. P  log . b b a
Câu 7.Cho ba điểm A ;
b log b, B  ;
c 2 log c , C  ; b 3log b với aa a
0  a  1, b  0, c  0 . Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là
gốc tọa độ. Tính S  2b  . c A. S  9. B. S  7. C. S  11. D. S  5. Câu 8. Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn 2 a b . c Tính
S  2ln a  ln b  ln c . Trang 1  a A. S  2ln .   B. S  1. C. bc   a S  2  ln .   D. S  0.  bc
Câu 9. Cho M  log x  log y với x  0, y  0. Mệnh đề nào sau đây là 12 3 đúng?  x   x A. M  log . B. M  log . C. 4      y  36  y M  log
x y . D. M  log x y . 15   9   Câu 10.Cho a, ,
b c là các số thực dương khác 1 và thỏa 2 log b x, log
c y . Tính giá trị của biểu thức P  log . a 2 a b c 2 1 A. P  .
B. P  2xy. C. P  . D. xy P . xy 2xy 2
Câu 11.Cho x là số thực dương thỏa log log x  log log x . Tính 2  8  8  2 
P  log x2 . 2 1 A. P  3. B. P  3 3. C. P  27. D. P  . 3 Câu 12.Cho x
là số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn log log x  log
log x a , với a  . Tính giá trị của P  log x theo 2  4  4  2  2 a . A. 1 4   a P . B. 2 P a . C.  2 .a P D. 1 2   a P . Câu 13.Cho p , q
là các số thực dương thỏa mãn
log p  log q  log
p q . Tính giá trị của biểu thức  p A . 9 12 16   q 1 5 1   5 1   5 1 5 A. A  . B. A  . C. A  . D. A  . 2 2 2 2 Câu 14.Cho a, ,
b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a  25b  10c . Tính  c c T . a b 1 1 A.T  . B.T  10. C. T  2. D.T  . 2 10 Câu 15. Cho a, , b c là
các số thực dương thỏa mãn log3 7 log7 11 log 25 11 a  27, b  49, c
 11. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 log 7 log 11 3 7 log 25 11 T abc .
A.T  76  11 . B.T  31141. C.T  2017 . D.T  469.
Câu 16. Cho a, b là các số thực dương khác 1 và  n   . Trang 2 Một học sinh tính 1 1 1 P    ... theo các bước sau: log b log b log b 2 n a a a I) 2
P  log a  log a  ...  log n a . b b b II) P   1 2 3 log a a a ... n a . b  III) 1 2 3 ... P log      n a . b
IV) P nn   1 log a . b
Trong các bước trình bày, học sinh đã trình bày sai ở bước nào? A. I. B. II. C. III. D. IV. 1 1 1
Câu 17. Cho M    ...
với 0  a  1 và 0  x  1. log x log x log x 2 k a a a
Mệnh đề nào sau đây là đúng? k k   1 4k k   1 k k   1 A. M  . B. M  . C. M  . log x log x 2log x a a a k k   1 D. M  . 3log x a 1 1 1 1
Câu 18. Tính P     ... . log 2017! log 2017! log 2017! log 2017! 2 3 4 2017 A. P  2017. B. P 1. C. P  0. D. P  2017!. 3 4 5 124
Câu 19.Đặt a  ln 3, b  ln 5. Tính I  ln  ln  ln ... ln theo 4 5 6 125 a và . b
A. I a  2 .
b B. I a  3 . b
C. I a  2 . b
D. I a  3 . b
Câu 20. Tính P   0   0   0   0
ln 2cos1 .ln 2cos 2 .ln 2cos3 ...ln 2cos89 , biết
rằng trong tích đã cho có 89 thừa số có dạng  0
ln 2cos a  với 1 a  89 và a  . 89 2 A. P  1. B. P  1  . C. P  . D. P  0 . 89! 1  2x
Câu 21. Cho hàm số f x  log . Tính tổng 2   2 1 x   1   2   3   2015   2016  S fff  ... ff .            2017   2017   2017   2017   2017  A. S  2016. B. S 1008. C. S  2017. D. S  4032. Câu 22. Cho log x  2 . Tính giá trị biểu thức 2 2 3
P  log x  log x  log . x 2 1 4 2 11 2 2 A. P  . B. P  2 . C. P   . D. P  3 2. 2 2
Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Với a, b là các số thực dương
tùy ý và a khác 1, đặt 3 6
P  log b  log b . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 a a Trang 3 A. P  27 log . b B. P  15log . b C. P  9log . b a a a D. P  6log . b a
Câu 24.Cho a  log m và A  log 8m , với 0  m  1. Mệnh đề nào sau 2 m đây đúng? 3  3 
A. A  3  a .
a B. A  3  a . a C.a A . D.a A . a a
Câu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Với các số thực dương x, y
tùy ý, đặt log x a và log y b . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 3 3 3  3 x ax a A. log     . b B. log     . b 27 y 2   27 y 2   3  3 x   a   x   aC. log    9  b . D. log    9  b . 27      y   2  27  y   2  log 120
Câu 26.Cho log 5  a, log 5  b . Tính giá trị biểu thức 5 A  theo 2 3 log 2 4 2 a và b . 2   3   A. b ab a A . B.b ab a A . 4 2ab ab 3     3 C.b ab a A . D.b ab a A . 4 2ab 4 2ab
Câu 27. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Đặt a  log 3 và b  log 3. Hãy 2 5
biểu diễn log 45 theo a và b . 6  2 2 2  2 A. log 45  a ab . B. log 45  a ab . 6 ab 6 ab a  2ab 2 2a  2ab C. log 45  . D. log 45  . 6 ab b 6 ab b
Câu 28. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi a, ,
b x là các số thực
dương thoả mãn log x  5log a  3log b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 2 2
A. x  3a  5b . B. x  5a  3b . C. 5 3
x a b . D. 5 3 x a b .
Câu 29. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 1
2017) Cho log a  2 và log b  . 3 2 2
Tính giá trị biểu thức I  2log log  3a 2   log b . 3 3  1 4 5 3 A. I  . B. I  4 . C. I  0. D. I  . 4 2
Câu 30. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương tùy ý
khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 1
A. log a  log 2. B. log a  . C. log a  . 2 a 2 log a 2 log 2 2 a
D. log a   log 2. 2 a Trang 4
Câu 31. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2
a b  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. log a b  log a  logb. B. loga b  1 log a  log . b 2 1
C. log a b  1 log a  logb. D. 2 a b 1 log   log a  log . b 2
Câu 32. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Cho x, y là các số thực lớn hơn  x  1 thỏa mãn 1 log log y 2 2
x  9y  6xy . Tính 12 12 M  . 2 log x  3y 12   1 1 1 A. M  . B. M  . C. M  . D. M 1. 2 3 4
Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số thực dương a, b với
a  1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 A. log ab  log b . B. log
ab  2  2 log b . 2   2   2 a a a a 1 1 1 C. log ab  log b . D. log ab   log b . 2   2   4 a a 2 2 a a
Câu 34. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương khác
1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng với mọi số thực dương x, . y x log x A. log  a B. a y log y a x log
 log x y a ay x x C. log
 log x  log y D. log
 log x  log y . a a a y a a a y
Câu 35. Cho a, , b ,
x y là các số thực dương và khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. log x y x y . B. log .
a log x  log x . a     log  log a a b a b 1 1 x log x C. log  . D. log  a . a x log x a y log y a a
Câu 36. Cho a, b là các số thực dương và a  1. Khẳng định nào sau đây đúng? A.  2 log
a ab  4  2log . b B. a ab a b a  2 log    4log   a . a a C. a ab a b D. a  2 log    22log   a .  2 log
a ab 1 4log . b a a
Câu 37. Cho các số thực a b  0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? Trang 5 3
A. ln ab  ln a  ln . b B.
 2a b   2 ln 3ln a b.  2 a   a C. ln
 ln a  ln b .   D. 2 2 ln
 ln a  lnb .    b   b
Câu 38. Cho a, b là hai số số thực dương và a  1. Khẳng định nào sau đây đúng?  a  1  1   a  1 A. log  1  log b . B. log  1 2log b . 3 a    a  3    a a   b  3  2   b  3  a  1  1   a   1  C. log  1  log b . D. log  3 1 log b . 3    a    a aa   3 b  3  2   b   2 
Câu 39. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số thực a và b , với
1  a b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. log b  1  log a .
B.1  log b  log a . a b a b
C. log a  log b  1.
D. log a  1  log b . b a b a
Câu 40. Cho các số thực dương a, b với a  1 và log b  0. Khẳng định a nào sau đây là đúng? a   0;  1 A. ; a b   ; 0  1 hoặc  B. ; a b   ; 0  1 hoặc ;
a b  1;. b   . 1; a 1;   C.  hoặc ;
a b  1;.D. ; a b   ; 0 
1 hoặc b 1;. b   0;  1
Câu 41. Cho bốn số thực dương a, , b ,
x y thỏa mãn a  1, b  1 và 2 2
x y  1. Biết rằng log x y và log xy .Mệnh đề nào sau b    0 a     0 đây là đúng? a  1 a  1 0  a  1 0  a  1 A.  . B.  . C.  . D.  . 0  b  1 b  1 b  1 0  b  1
Câu 42. Cho a, ,
b c là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn b
Khẳng định nào sau đây là đúng? a  log log a c  1. A. 2 a b . c B. 2 a  log . c C. b  . c D. a  . c b Câu 43.Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x   y2 2 9log 4 log 12log .
x log y . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 3 2 x y . B. 2 3 x y .
C. 2x  3y .
D. 3x  2 y .
Câu 44. Tìm x để ba số ln 2, ln 2x  
1 , ln 2x  3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. A. x 1. B. x  2. C. x  log 5. D. x  log 3. 2 2
Câu 45.Trong các giá trị của a được cho trong bốn phương án A, B, C, D
dưới đây, giá trị nào của a thỏa mãn 2 log a  log a ? 0,5 0,5 Trang 6 5 5 4 2 A. a   . B. a  . C. a  . D. a  . 4 4 5 3  x
Câu 46. Điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số 1 y  và nằm hoàn toàn 0 0     3 
phía dưới đường thẳng 1 y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 9 A. x  2 . B. x  2  . C. x  2  . D. x  2 . 0 0 0 0
Câu 47. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Một người gửi 50 triệu đồng
vào một ngân hàng với lãi suất 6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số
tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời
gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra A. 13 năm. B. 12 năm. C. 14 năm. D. 11 năm.
Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)Đầu năm 2016, ông A thành
lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong
năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để
trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước.
Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022. B. Năm 2021. C. Năm 2020. D. Năm 2023.
Câu 49. Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi
anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau
hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng
là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 253,5 triệu. B. 251 triệu. C. 253 triệu. D. 252,5 triệu.
Câu 50. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô
Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau)
là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền lãi sinh ra hằng tháng
được nhập vào tiền vốn.
A. a 14.261.000 (đồng).
B. a 14.260.000 (đồng).
C. a 14.261.500 (đồng).
D. a 14.260.500 (đồng).
Câu 51. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng
100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng
theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là
như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách
đó, số tiền m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ
là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.  3 3 100. 1,01 1,0  1 A. m
(triệu đồng). B. m  (triệu đồng). 3 1,0 3 1 1 3 100 1,03 120.1,12 C. m  (triệu đồng). D. m  (triệu đồng). 3 1,123 1 Trang 7
Câu 52. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100000000
đồng. Người đó dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó,
số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao
nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ. 59  60 1, 2   1,2  5 12.10 1   5 12.10 1   100  100  A. a
(đồng). B. a  (đồng). 60  60 1, 2    1,2  1 1   1 1   100  100  60  59 1, 2   1,2  6 12.10 1   6 12.10 1   100  100  C. a
(đồng). D. a  (đồng). 60  60 1, 2    1,2  1 1   1 1   100  100 
Câu 53. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ
tăng dân số năm đó là 1,7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức N .  . r S A e
(trong đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S
là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với
tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người? A.2020. B.2022. C.2025. D.2026.
Câu 54. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm
trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế
giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm.
Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C thì tổng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm
tC , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t  % thì    . t f t k a (trong đó
a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì
tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ? A. 9,3C . B. 7, 6C . C. 6, 7C . D. 8, 4C .
Câu 55. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt
hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có
và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày,
lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? 25 24
A. 7  log 25. B. 7 3 . C. 7  . D. log 25. 3 3 3 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.
(II). Chỉ số thực dương mới có logarit. Trang 8
(III). ln  A B  ln A  ln B với mọi A  0, B  0 . (IV) log . b log .
c log a  1, với mọi , a , b c   . a b c Số mệnh đề đúng là: A. 1 . B. 2 . C. 3. D. 4 .
Lời giải. Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.
Ta có ln A  ln B  ln  .
A B với mọi A  0, B  0 . Do đó (III) sai. Ta có log . b log .
c log a  1 với mọi 0  , a ,
b c  1. Do đó (IV) sai. a b c
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng. Chọn A. Câu 2. Cho , a , A ,
B M , N là các số thực với ,
a M , N dương và khác 1 .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây? (I). Nếu C
AB với AB  0 thì 2ln C  ln A  ln B . (II). a  
1 log x  0  x  1. a (III). log N log aa M M N .  
(IV). lim log x   . 1 x  2  A. 1 . B. 2 . C. 3. D. 4 .
Lời giải. Nếu C AB với AB  0 thì 2ln C  ln A  ln B . Do đó (I) sai.
● Với a 1 thì a  
1 log x  0  log x  0  x  1. a a
● Với 0  a 1 thì a  
1 log x  0  log x  0  x  1. Do đó (II) đúng. a a
Lấy lôgarit cơ số a hai vế của log N log aa M M N , ta có M N N M M N . a  log N M a   a log log log a  log .log log .log a a a a Do đó (III) đúng.  
Ta có lim log x  lim log x   lim log x  . Do đó (IV) 1  2   2  x x x  2  đúng.
Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng. Chọn C.
Câu 3.Tính giá trị của biểu thức P
a a a với 0  a  1. a  3 log .  1 3 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  3. 3 2 3 1   1 3 3     Lời giải   3 3 . Ta có 2 2 P  log . a a a a a . Chọn B. a  .   loga    log    2 a 2      
Cách trắc nghiệm: Chọn a  2 và bấm máy. Trang 9
Câu 4. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương và khác
1 . Tính giá trị biểu thức P  log . a a 1 A. P  2  . B. P  0 . C. P  . D. P  2 . 2
Lời giải.Với 0  a 1, ta có P  log a  log a  2log a  2.1  2. Chọn 1 a a 2 a D. 1 1 1 2   1 3log 2
Câu 5. Cho hàm số f x 2 log x 2 4   x  8 x 1 1  x    với 0 1. Tính  
giá trị biểu thức P f f 2017. A. P  2016. B. P 1009. C. P  2017. D. P 1008. 1 1  1 1 2 log x log x 1 log 2 log x x x  2  4 2 xxxx  2x Lời giải.Ta có  . 1 1 1 3.  3log 2 3.log 2 log 2 2 2 2 2 log x x x x 2 2 8   2  2  2  x 1 1
Khi đó f x  x x     x  2 2 2 2 2 1 1 1  1  .   x
Suy ra f 2017  2017 
f f 2017  f 2017  2017.Chọn C.
Câu 6.Cho a, b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab  1. Rút gọn
biểu thức P  log b  log a  2 b b a . a b log  log a ab log 1 b A. P  log .
a B. P 1. C. P  0. D. P  log . b b a Lời giải.Từ giả thiết, ta có Pb a b a a b   1   log log 2 .log  a .log 1 1 log  a b b t t t a      1 1 1  2 1 1 1 1 log  b   t   2  t 1  .    t bt  t t   t
t t   1  1   log . 1 1 a t t Chọn D.
Câu 7. Cho ba điểm A ;
b log b, B  ;
c 2 log c , C  ; b 3log b với aa a
0  a  1, b  0, c  0 . Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là
gốc tọa độ. Tính S  2b  . c A. S  9. B. S  7. C. S  11. D. S  5. Lời giải.Vì B
là trọng tâm của tam giác OAC nên
0  b b   c 3  0  log b  3log  b a a  2log  c  3 a
b b  3c 2b  3c 2b  3c       2 3
4log b  6log c 2log b  3log  c b c a a  log  log a aa a Trang 10  27 b  2b  3cc  0 8    
S  2b c  9.Chọn A. 2 3 b c 9 c   4 Câu 8. Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn 2 a b . c Tính
S  2ln a  ln b  ln c .  a A. S  2ln .   B. S  1. C. bc   a S  2  ln .   D. S  0.  bc Lời giải.Ta có S a   b c 2 2 ln ln ln
 ln a  ln bc  lnbc  lnbc  0.Chọn D.
Câu 9. Cho M  log x  log y với x  0, y  0. Mệnh đề nào sau đây là 12 3 đúng?  x   x A. M  log . B. M  log . C. 4      y  36  y M  log
x y . D. M  log x y . 15   9   Lời giải.Từ x 12M xx
M  log x  log y     4M  M  log . Chọn A. 12 3 4 M   y  3 yy
Cách trắc nghiệm. ● Cho x 12 
y  3. Khi đó M 1.
Thử x  12; y  3 vào các đáp án thì có các đáp án A, C, D đều thỏa. Ta chưa kết luận được. ● Cho 2 2 x  12 
y  3 . Khi đó M  2 .
Thử x  144; y  9 vào các đáp án thì có các đáp án A thỏa. Câu 10.Cho a, ,
b c là các số thực dương khác 1 và thỏa 2 log b x, log
c y . Tính giá trị của biểu thức P  log . a 2 a b c 2 1 A. P  .
B. P  2xy. C. P  . D. xy P . xy 2xy 2
Lời giải.Nhận thấy các đáp án đều có tích xy nên ta sẽ tính tích này. Ta có 1 1 1 2
xy  log b .log c  log c  log c   log a  . 2 a a 2 a 2log c b a 2xy c Chọn C.
Câu 11.Cho x là số thực dương thỏa log log x  log log x . Tính 2  8  8  2 
P  log x2 . 2 1 A. P  3. B. P  3 3. C. P  27. D. P  . 3 Trang 11
Lời giải.Ta có log x P thay vào giả thiết, ta có 2  P  1 P 6 6 log    log P  log P
P P  27.Chọn C. 2 2 2 3 3 3  
Cách CASIO. Phương trình  log log x  log log x  0. 2  8  8  2 
Dò nghiệm phương trình, lưu vào A
Thế x A để tính log x2 2
Đáp số chính xác là C. Chọn C. Câu 12.Cho x
là số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn log log x  log
log x a , với a  . Tính giá trị của P  log x theo 2  4  4  2  2 a . A. 1 4   a P . B. 2 P a . C.  2 .a P D. 1 2   a P . Lời giải.Ta có  x
log log x  log log x log 1 2  alog
 log log x a 2 4 4 2 2   2  2   2  2 1
log log x 1  log log x alog log x  2a  2 2  2  2  2  2  2  2 2a2 a 1 log x 2 log x 4      .Chọn A. 2 2 Câu 13.Cho p , q
là các số thực dương thỏa mãn
log p  log q  log
p q . Tính giá trị của biểu thức  p A . 9 12 16   q 1 5 1   5 1   5 1 5 A. A  . B. A  . C. A  . D. A  . 2 2 2 2  p  9t
Lời giải.Đặt t  log p  log q  log p q  q 12t 9 12 16  
p q 16  t 
9t 12t   16t p q . * t t 2    
  t  t Chia hai vế của  9 12 3 3
* cho 16t , ta được  1   1         16  16   4   4  2  t t t t 3   3   3  1   5       1  0         (loại) hoặc 3 1 5  .    4   4   4  2  4  2  t p   Giá trị cần tính 3 1 5 A    .   Chọn C. q  4  2 Trang 12 Câu 14.Cho a, ,
b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a  25b  10c . Tính  c c T . a b 1 1 A.T  . B.T  10. C. T  2. D.T  . 2 10 a  log t 4 a b c
Lời giải.Giả sử 4  25  10  t 
 b  log t. 25 c  log  t 10 c c log t log t log 4 log 25 Ta có 10 10 T      tt  log 4  log 25 10 10 a b log t log t log 10 log 10 4 25 t t
 log 4.25  log 100  2.Chọn C. 10   10 Câu 15. Cho a, , b c là
các số thực dương thỏa mãn log3 7 log7 11 log 25 11 a  27, b  49, c
 11. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 log 7 log 11 3 7 log 25 11 T abc .
A. T  76  11 . B.T  31141. C.T  2017 . D.T  469. Lời giải log 7 log 11 log 25 .Ta có T  log 7 a  3  log 11 b  7  log 25    c  11 3 7 11
  log 7   log 11 27 49   11log 25 11 3 7 . Áp dụng loga b ab , ta được 27log 7    33log 7 3 3 3   log37 3  3  7  343    49log 11   2 7 log 11 2 7 7   log 11 7 7  2  11  121 .     11 lo 11 g 25 1 1 1 log 25 11  11    log 25 2 11 11 2 2  25  25  5   
Vậy T  343121 5  469.Chọn D.
Câu 16. Cho a, b là các số thực dương khác 1 và  n   . Một học sinh tính 1 1 1 P    ... theo các bước sau: log b log b log b 2 n a a a I) 2
P  log a  log a  ...  log n a . b b b II) P   1 2 3 log a a a ... n a . b  III) 1 2 3 ... P log      n a . b
IV) P nn   1 log a . b
Trong các bước trình bày, học sinh đã trình bày sai ở bước nào? A. I. B. II. C. III. D. IV. Trang 13 Lời giải.Chọn D. Vì n n 1 123 .  .. P  log n an a a . b 1 23...    .log  .log b 2 b 1 1 1
Câu 17. Cho M    ...
với 0  a  1 và 0  x  1. log x log x log x 2 k a a a
Mệnh đề nào sau đây là đúng? k k   1 4k k   1 k k   1 A. M  . B. M  . C. M  . log x log x 2log x a a a k k   1 D. M  . 3log x a Lời giải 1 1 1 1 .Ta có M     ... log x 1 1 1 a log x log x log x 2 a 3 a a k 1 2 3 k 1 k k      ... 
.1 2  3  ...  k  1   1  . . log x log x log x log x log x log x 2 a a a a a a Chọn C 1 1 1 1
Câu 18. Tính P     ... . log 2017! log 2017! log 2017! log 2017! 2 3 4 2017 A. P  2017. B. P 1. C. P  0. D. P  2017!.
Lời giải.Áp dụng công thức 1 log b  , ta được a log a b P  log 2  log 3  ...  log 2017  log 2.3.4....2017  log 2017!  1. 2017! 2017! 2017! 2017!   2017! Chọn B. 3 4 5 124
Câu 19.Đặt a  ln 3, b  ln 5. Tính I  ln  ln  ln ... ln theo 4 5 6 125 a và . b
A. I a  2 .
b B. I a  3 . b
C. I a  2 . b
D. I a  3 . b Lời giải.Ta có  3 4 5 124  3 I  ln . . ...  ln
 ln3  ln125  ln3  3ln5  a  3 .   b  4 5 6 125  125 Chọn D.
Câu 20. Tính P   0   0   0   0
ln 2cos1 .ln 2cos 2 .ln 2cos3 ...ln 2cos89 , biết
rằng trong tích đã cho có 89 thừa số có dạng  0
ln 2cos a  với 1 a  89 và a  . 89 2 A. P  1. B. P  1  . C. P  . D. P  0 . 89! Trang 14   Lời giải 1
.Trong tích trên có ln  0 2cos 60   ln 2.  ln1  0   . Vậy P  0 .  2  Chọn D. 1  2x
Câu 21. Cho hàm số f x  log . Tính tổng 2   2 1 x   1   2   3   2015   2016  S fff  ... ff .            2017   2017   2017   2017   2017  A. S  2016. B. S 1008. C. S  2017. D. S  4032. 1  2x  1  2 1 x
Lời giải.Xét f x  f 1 x    log  log     2 2 2 1 x  2 1   1 x 1  2x  1 21 x 1
 2x 21 x 1  log  log  log .  log 4 1       . 2 2 2 2 2 1 x  2 x 2 1 x x 2    
Áp dụng tính chất trên, ta được   1   2016    2   2015    1008   1009  S ffff  ... f               f     2017 
 2017    2017   2017    2017   2017 
11...11008.Chọn B. Câu 22. Cho log x  2 . Tính giá trị biểu thức 2 2 3
P  log x  log x  log . x 2 1 4 2 11 2 2 A. P  . B. P  2 . C. P   . D. P  3 2. 2 2 Lời giải.Ta có 1 1 1 2
P  2log x  3log x
log x   log x   . 2   . Chọn C. 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với a, b là các số thực dương
tùy ý và a khác 1, đặt 3 6
P  log b  log b . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 a a A. P  27 log . b B. P  15log . b C. P  9log . b a a a D. P  6log . b a Lời giải 6 .Ta có 3 6
P  log b  log b  3log b  log b  6log . b Chọn D. 2 a a 2 a a a
Câu 24.Cho a  log m và A  log 8m , với 0  m  1. Mệnh đề nào sau 2 m đây đúng? 3  3 
A. A  3  a .
a B. A  3  a . a C.a A . D.a A . a a Lời giải.Ta có 3 3 3   a A
log 8m  log 8  log m  3log 2 1  1  1  . m m m m log m a a 2 Chọn D. Trang 15
Câu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với các số thực dương x, y
tùy ý, đặt log x a và log y b . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 3 3 3  3 x ax a A. log     . b B. log     . b 27 y 2   27 y 2   3  3 x   a   x   aC. log    9  b . D. log    9  b . 27      y   2  27  y   2  Lời giải.Ta có 3  x  3  x  1 a log    log    log x  log y
log x  log y   . b 27 3 3 3 3 3 y 3 y 2 2     Chọn B. log 120
Câu 26.Cho log 5  a, log 5  b . Tính giá trị biểu thức 5 A  theo 2 3 log 2 4 2 a và b . 2   3   A. b ab a A . B.b ab a A . 4 2ab ab 3     3 C.b ab a A . D.b ab a A . 4 2ab 4 2ab log  3 2 .5.3 log 120   5  Lời giải 3log 2 1 log 3 .Ta có 5 5 5 A    1 log4 2 4 2 2 4 2 3 1 1 3     b ab a a b . Chọn C. 4 4 2 2ab
Cách 2. Dùng CASIO:
Bấm máy log 5 và lưu vào biến A; Bấm máy log 5 và lưu vào biến B. 2 3  
Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu log 120 2 5
b ab a phải bằng 0. log4 2 4 2 2ab  
Nhập vào màn hình log 120 2B AB A 5 
với A, B là các biến đã lưu và log4 2 4 2 2AB nhấn dấu =.
Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.
Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.
Câu 27. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Đặt a  log 3 và b  log 3. Hãy 2 5
biểu diễn log 45 theo a và b . 6  2 2 2  2 A. log 45  a ab . B. log 45  a ab . 6 ab 6 ab a  2ab 2 2a  2ab C. log 45  . D. log 45  . 6 ab b 6 ab b
Lời giải.Ta có log 45  log 9  log 5. 6 6 6 Trang 16 2 2 2 2a  log 9  2log 3     . 6 6 log 6 1  log 2 1 a 1 3 3 1 a 1 1 a  log 5    vì log 2  b . 6 log 6 log 3  log 2 b a 1 5 a 5 5 5   a a a  Vậy 2 2ab log 45    . Chọn C. 6 a 1 b a   1 ab b
Câu 28. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi a, ,
b x là các số thực
dương thoả mãn log x  5log a  3log b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 2 2
A. x  3a  5b . B. x  5a  3b . C. 5 3
x a b . D. 5 3 x a b . Lời giải.Ta có 5 3 5 3 5 3
log x  5log a  3log b  log a  log b  log a b x a b . 2 2 2 2 2 2 Chọn D.
Câu 29. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 1
2017) Cho log a  2 và log b  . 3 2 2
Tính giá trị biểu thức I  2log log  3a 2   log b . 3 3  1 4 5 3 A. I  . B. I  4 . C. I  0. D. I  . 4 2 1 Lời giải 1 .Ta có 2 log a  2  a  3  9 và 2 log b   b  2  2. 3 2 2 2 Vậy 1 3
I  2log log 3.9   log 2  2   .Chọn D. 3  3   1   CASIO 2 2 4
Câu 30. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương tùy ý
khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1
A. log a  log 2. B. log a  . C. 2 a 2 log a 2 1 log a  .
D. log a   log 2. 2 log 2 2 a a Lời giải.Chọn C.
Câu 31. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2
a b  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. log a b  log a  logb. B. loga b  1 log a  log . b 2 1
C. log a b  1 log a  logb. D. 2 a b 1 log   log a  log . b 2
Lời giải.Ta có a b ab  a b2 2 2 8  10ab  a b2 log
 log10ab  2loga b  log10  loga  logb Trang 17  a b 1 log
 1 loga  logb.Chọn C. 2
Câu 32. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho x, y là các số thực lớn hơn  x  1 thỏa mãn 1 log log y 2 2
x  9y  6xy . Tính 12 12 M  . 2 log x  3y 12   1 1 1 A. M  . B. M  . C. M  . D. M 1. 2 3 4
Lời giải.Ta có x y xy   x y2 2 2 9 6 3
 0  x  3y . Suy ra
1  log x  log y
1 log 3y  log y 1 log  2 3y  log  2 36 y 12 12 12 12 12 12  M     2 log x  3y 2 log 3y  3y 2 log 6 y 2 log 6 y 12   12   12   12   log  2 36 y 12   . Chọn D. log  1 2 36 y 12 
Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số thực dương a, b với
a  1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 A. log ab  log b . B. log
ab  2  2 log b . 2   2   2 a a a a 1 1 1 C. log ab  log b . D. log ab   log b . 2   2   4 a a 2 2 a a Lời giải 1 1 1 1 .Ta có log ab  log ab
log a  log b   log b . 2    a   a a  2 2 2 2 a a Chọn D.
Câu 34. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương khác
1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng với mọi số thực dương x, . y x log x A. log  a B. a y log y a x log
 log x y a ay x x C. log
 log x  log y D. log
 log x  log y . a a a y a a a y Lời giải.Chọn D. Câu 35. Cho a, , b ,
x y là các số thực dương và khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. log x y x y . B. log .
a log x  log x . a     log  log a a b a b 1 1 x log x C. log  . D. log  a . a x log x a y log y a a
Lời giải.Ta có log x  log y  log xy   A sai. a a a x
log x  log y  log   D sai. a a a y Trang 18 1 log  log x   C sai. a a x log .
a log x  log x 
 B đúng. Chọn B. b a b
Câu 36. Cho a, b là các số thực dương và a  1. Khẳng định nào sau đây đúng? A.  2 log
a ab  4  2log . b B. a ab a b a  2 log    4log   a . a a C. a ab a b D. a  2 log    22log   a .  2 log
a ab 1 4log . b a a Lời giải.Ta có a ab a a b a a b a a b a  2 log 
  log     2log     2log log   1    a     a a   2 a
 2log a  2log a b  2  2log a b . Chọn C. a a a
Câu 37. Cho các số thực a b  0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 3
A. ln ab  ln a  ln . b B.
 2a b   2 ln 3ln a b.  2 a   a C. ln
 ln a  ln b .   D. 2 2 ln
 ln a  lnb .    b   b
Lời giải.Vì a b  0 nên ln a và ln b không có nghĩa. Chọn A.
Câu 38. Cho a, b là hai số số thực dương và a  1. Khẳng định nào sau đây đúng?  a  1  1   a  1 A. log  1  log b . B. log  1 2log b . 3 a    a  3    a a   b  3  2   b  3  a  1  1   a   1  C. log  1  log b . D. log  3 1 log b . 3    a    a aa   3 b  3  2   b   2   a  1 loga   1 log  a   b a b a Lời giải log log b .Ta có a a 2 log    . 3 a   3  b  log a 3log a 3 a a Chọn C.
Câu 39. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số thực a và b , với
1  a b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. log b  1  log a .
B.1  log b  log a . a b a b
C. log a  log b  1.
D. log a  1  log b . b a b a Lời giải.Ta có
log b  log a  log b  1
b a  1   a a a
 log a  1 log . b Chọn D.
log b  log a  1  log  b a a b b b
Câu 40. Cho các số thực dương a, b với a  1 và log b  0. Khẳng định a nào sau đây là đúng? a   0;  1 A. ; a b   ; 0  1 hoặc  B. ; a b   ; 0  1 hoặc ;
a b  1;. b   . 1; Trang 19 a 1;   C.  hoặc ;
a b  1;.D. ; a b   ; 0 
1 hoặc b 1;. b   0;  1
Lời giải.Với điều kiện a, b  0 và a 1, ta xét các trường hợp sau: TH1: a 0  a 1, ta có 0 1 log b  0
log b  log 1b 1. a a a TH2: aa 1, ta có 1 log b  0
log b  log 1b 1. a a a
0  a, b  1
Từ hai trường hợp trên, ta được .  Chọn B.
a  1, b  1
Câu 41. Cho bốn số thực dương a, , b ,
x y thỏa mãn a  1, b  1 và 2 2
x y  1. Biết rằng log x y và log xy . Mệnh đề nào sau b    0 a     0 đây là đúng? a  1 a  1 0  a  1 0  a  1 A.  . B.  . C.  . D.  . 0  b  1 b  1 b  1 0  b  1 Lời giải.● Ta có 1
  x y  x y2 2 2  2xy  
x y2 1
x y 1.  , x y  0
Kết hợp với log x y a . a     0    1  , x y  0 ● Ta có    , x y 0;  1  0  xy 1. 2 2 x y 1
Kết hợp với log xy b . Chọn B. b    0  1 1 3
Cách giải trắc nghiệm: Chọn x    y  . 2 2  1 3 x y  1  log  x ya a     0 1 Khi đó 2  , kết hợp với  suy ra  .  3 log  xyb  1 b    0 0  xy  1  4
Câu 42. Cho a, ,
b c là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn b
Khẳng định nào sau đây là đúng? a  log log a c  1. A. 2 a b . c B. 2 a  log . c C. b  . c D. a  . c b
Lời giải.Áp dụng log n x  .
n log x với x  0 , ta được m m b a b b a  log log a c  log .log log . c a c
Suy ra log b  1  b c . Chọn C. c Câu 43.Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x   y2 2 9log 4 log 12log .
x log y . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 3 2 x y . B. 2 3 x y .
C. 2x  3y .
D. 3x  2 y . Trang 20 Lời giải. Ta có x   y2 2 9log 4 log 12log . x log y   x2  x y   y2 3log 2.3log .2log 2log  0   x y2 3 2 3 2 3log 2log
 0  3log x  2log y  log x  log y x y . Chọn A.
Câu 44. Tìm x để ba số ln 2, ln 2x  
1 , ln 2x  3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. A. x 1. B. x  2. C. x  log 5. D. x  log 3. 2 2
Lời giải.Điều kiện: x  0.
Vì ln 2, ln 2x  
1 ,ln 2x  3 theo thứ tự đó lập thành CSC nên ta có    x   
x      x     x  2   x     x    2 ln 2 ln 2 3 2ln 2 1 ln 2 2 3 ln 2 1 2 2 3 2 1 2x    1 loaïi  2
 2 x  4.2x  5  0  
 2x  5  x  log 5.Chọn C. 2 2x  5
Câu 45.Trong các giá trị của a được cho trong bốn phương án A, B, C, D
dưới đây, giá trị nào của a thỏa mãn 2 log a  log a ? 0,5 0,5 5 5 4 2 A. a   . B. a  . C. a  . D. a  . 4 4 5 3
Lời giải. Điều kiện: a  0. Loại A. a  1 Vì cơ số 0,5  1 nên 2 2 log a  log
a a a a a 1  0  . 0,5 0,5    a  0
Đối chiếu với điều kiện ta được: a 1.
Do đó trong các số đã cho chỉ có 5 là thỏa mãn. Chọn B. 4
Cách trắc nghiệm: Thay lần lượt bốn đáp án và bấm máy tính.  x
Câu 46. Điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số 1 y  và nằm hoàn toàn 0 0     3 
phía dưới đường thẳng 1 y
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 9 A. x  2 . B. x  2  . C. x  2  . D. x  2 . 0 0 0 0  x
Lời giải. Hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số 1
y    và nằm hoàn toàn  3  x x 2      
phía dưới đường thẳng 1 1 1 1 1 y  thỏa mãn     x  2       . 9  3  9  3   3  Chọn D.
Câu 47. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một người gửi 50 triệu đồng
vào một ngân hàng với lãi suất 6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số Trang 21
tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời
gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra A. 13 năm. B. 12 năm. C. 14 năm. D. 11 năm.
Lời giải.Gọi M là số tiền gửi ban đầu, r  6%/năm là lãi suất, n là số năm gửi.
Ta có công thức lãi kép:   n T
M 1 r  là số tiền nhận được sau n năm. Theo đề bài, ta có  n
100  50.1 6%  100  1,06n T  2  n  11.
Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng hạn mới được nhận.
Vậy người này cần ít nhất 12 năm. Chọn B.
Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đầu năm 2016, ông A thành
lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong
năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để
trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước.
Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022. B. Năm 2021. C. Năm 2020. D. Năm 2023.
Lời giải.Ta xem đây như bài toán lãi suất gởi ngân hàng được phát biểu ngắn
gọn như sau: ''Đầu năm 2016, ông A gởi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất
hàng năm là 15%. Hỏi đến năm nào là năm đầu tiên ông A nhận được số
tiền lớn hơn 2 tỷ đồng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì
cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo '' .
Gọi M là số tiền gửi ban đầu, r 15%/năm là lãi suất, n là số năm gửi.
Ta có công thức lãi kép:   n T
M 1 r  là số tiền nhận được sau n năm. Theo đề bài, ta có  n
2  1.115%  2  1,15n T  2  n  4.
Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng 5 năm sau mới nhận được. Lúc đấy là
năm 2016  5  2021. Chọn B.
Câu 49. Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi
anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau
hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng
là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 253,5 triệu. B. 251 triệu. C. 253 triệu. D. 252,5 triệu.
Lời giải.Giả sử anh Nam bắt đầu gửi M đồng từ đầu kì 1 với lãi suất là r .
● Cuối kì 1 có số tiền là: 
T M 1  r . 1  
● Đầu kì 2 có số tiền là: T M 1 r M 2     M M
M   r 2 2 1 1    r      r      . r  . 1  1 1  1 1 1     r ● Cuối kì M 2 2 có số tiền là:  T
 1 r 1 1 r . 2       r Trang 22 ● Đầu kì M 2
3 có số tiền là: T
 1 r 1 1 r M 3       rM
  3       M r r r   r3 1 1 1 1.     r r ● Cuối kì 3 có số tiền là:   M   M T
1 r 3 1 1 r  
1 r4  1  r . 3       r r ………….
Tổng quát, ta có cuối kì M n 1  
n có số tiền là: T r r . n
1  1    rT .r Suy ra M n  . n
1 r  1  1 r  T  2000000000  n
Áp dụng công thức với n  6
, ta được M  252435900 . r  8%  0,08  Chọn D.
Câu 50. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô
Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau)
là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền lãi sinh ra hằng tháng
được nhập vào tiền vốn.
A. a 14.261.000 (đồng).
B. a 14.260.000 (đồng).
C. a 14.261.500 (đồng).
D. a 14.260.500 (đồng).
Lời giải.Gọi r, T , a lần lượt là lãi suất hàng tháng, tổng số tiền sau mỗi
tháng, số tiền gởi đều đặn mỗi tháng .
● Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là: T a  .
a r a 1 r . 1  
● Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là: a1 r  a a   1 r 1   a 2 a 2 
  r      r     r 1  1 1  1 . 1 1      r ● Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:  a  a T
1 r 2 1  1 r 2 1.r 2     r r
a   r2 1 11 r.   r
● Cuối tháng thứ n , người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là:  a T r r . n  n 1  1 1    r T .r Suy ra a n .  n
1 r  1 1 r    Trang 23  Áp dụng, ta có 1.000.000.000 0,5% a    .
1 0,5% 1 0,5% 14.261.494,06 60 1  
Vậy mỗi tháng ông A phải gửi tiết kiệm 14 triệu 261 ngàn 500 đồng vào
ngân hàng, liên tục trong 5 năm. Chọn C.
Câu 51. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng
100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng
theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là
như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách
đó, số tiền m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ
là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.  3 3 100. 1,01 1,0  1 A. m
(triệu đồng). B. m  (triệu đồng). 3 1,0 3 1 1 3 100 1,03 120.1,12 C. m  (triệu đồng). D. m  (triệu đồng). 3 1,123 1
Lời giải.Ở đây, ta phải quy ước số tiền lãi thay đổi theo từng tháng. Nếu
không, học sinh sẽ tính tổng số tiền vay là 100 triệu đồng, lãi cần trả là
0,12 3  0,03 (do chỉ trả trong 3 tháng). 12 100 1 0,0  3 
Khi đó, số tiền cần trả là 100 1,03  , là đáp án C. 3 3
Tuy nhiên nếu lãi suất thay đổi theo tháng thì vấn đề phức tạp hơn (và có lẽ
đây cũng là cách hiểu mà đề đang hướng đến, vì cách hiểu này phù hợp với thực tế).
Lãi hàng tháng mà ông phải trả là 0,12  0,01 nhân với số tiền đang nợ, 12
tức là tổng số nợ tháng sau sẽ bằng số nợ tháng trước nhân với 1,01. Tiề Thán n Số tiền còn nợ Tiền lãi trong tháng g trả 0 0 100 100  0, 01   1 m 100 1, 01 m
1001,01 m0,01
1001,01 m1,01 m 1001,01 
m1,01 m  0,01  2 m
1001,01 m1,01 m1,01   0 m
(theo giả thiết thì đến đây 3 m hết nợ) Do ta có phương trình:    m  m   m      m    2 3 100 1,01 1,01 1,01 0 100 1,01 1 1,01 1,01     Trang 24 100  1,0 3 1 100  1,0 3 1  1,01  1 1,0 3 1  m    (triệu 11,01 1,0 2 1 1,01  1  2
1 1,01 1,01  1,0 3 1 1 đồng).Chọn B.
Câu 52. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100000000
đồng. Người đó dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó,
số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao
nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ. 59  60 1, 2   1,2  5 12.10 1   5 12.10 1   100  100  A. a
(đồng). B. a  (đồng). 60  60 1, 2    1,2  1 1   1 1   100  100  60  59 1, 2   1,2  6 12.10 1   6 12.10 1   100  100  C. a
(đồng). D. a  (đồng). 60  60 1, 2    1,2  1 1   1 1   100  100 
Lời giải.Gọi m, r, T , a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng
tháng, tổng số tiền vay còn lại sau mỗi tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng .
● Sau khi hết tháng thứ nhất n  
1 thì còn lại: T m r 1  . a 1   ● Sau khi hết tháng thứ hai
n  2 thì còn lại:
T  m r 1  ar 1  a 2     
   2         2        2  a m r a r a m r a r m r r  2 1 1 1 2 1 1 1.   r ● Sau khi hết tháng thứ ba
n  3 thì còn: 
T mr  2 a  1  r  2 1 1 r 1  a 3       r     3  a m r r  3 1 1 1.   r Trang 25 
● Sau khi hết tháng thứ n a n
n thì còn lại: T m r r n    1     1 1.   r Áp dụng công thức trên, ta có 60  1,2  mr  5 n 12.10 1   1 r 100 
T  0  a   (đồng). Chọn B. nr  n 60 1 1  1,2  1 1   100 
Câu 53. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ
tăng dân số năm đó là 1,7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức N .  . r S A e
(trong đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S
là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với
tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người? A. 2020. B. 2022. C. 2025. D. 2026. Lời giải S N r 1 .Ta có . S  . A e  N  .ln . r A
Để dân số nước ta ở mức 120 triệu người thì cần số năm 6 100 120.10 N  .ln  25. 1,7 78685800
Lúc đấy là năm 2001 25  2026.Chọn D.
Câu 54. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm
trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế
giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm.
Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C thì tổng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm
tC , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t  % thì    . t f t k a (trong đó
a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì
tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ? A. 9,3C . B. 7, 6C . C. 6, 7C . D. 8, 4C . 2 k.a  3%
Lời giải.Theo đề bài, ta có   
1 . Cần tìm t thỏa mãn 5 k.a 10% . t k a  20% . Từ   3% 10 1  k  và 3 a  . 2 a 3 Trang 26 Khi đó t 3% t t  20 20 2
k.a  20%   .a  20%  a   t  2  log  6,7. 2 10 3 a 3 3 3 Chọn C.
Câu 55. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt
hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có
và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày,
lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? 25 24
A. 7  log 25. B. 7 3 . C. 7  . D. log 25. 3 3 3
Lời giải. Gọi A là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là 100 . A 4
Sau một tuần số lượng bèo là 3A 
 sau n tuần lượng bèo là3n . A
Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì n 100 3 .A  .A 4 100  n  log  log 25 
 thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là 3 3 4 t  7 log 25 . 3 Chọn A. Trang 27