Thông tin
Hỏi đáp

Bài tập về Ánh xạ (Có lời giải) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài tập về Ánh xạ (Có lời giải) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội. Tài liệu gồm 16 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Vật lý đại cương 2 (EPN1096) 15 tài liệu

Trường:

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 262 tài liệu

Thông tin:

16 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Phạm Thị Huyền

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập về Ánh xạ (Có lời giải) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

705 353 lượt tải Tải xuống

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

ÁNH XẠ

VD1 : Cho ánh xạ

:f R R

xác định bởi

 

21f x x

. Tìm

     

 

 

 

 

0 , 1 , 1 , 1;17 , 0;1f f f f f



Giải :

       

 

3 3 1 3

0 2.0 1 1; 1 2.1 1 3; 1 / 1 / 2 1 1 0f f f x R f x x R x



             

 

 

 

1;17 /1 17 /1 2 1 17f x R f x x R x



        

   

 

 

/ 0 2 16 / 0 1 8 / 0 2 0;2x R x x R x x R x             

 

 

 

0;1 / 0 1f f x x  

Ta có :

3 3 3

0 1 0 0 2 1 1 2 1 3x x x x          

Vây

 

 

 

0;1 1;3f 

VD 2 : Chứng minh rằng ánh xạ

:f R R

xác định bởi

 

21f x x

là song ánh và tìm ánh xạ ngược.

Giải :

,x x R

mà

   

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1x x x x x x f x f x        

f

là đơn ánh.

 

3 3 3

, 2 1 2 1

y R f x y x y x y x x R



             

Vậy,

 

y R x y R f x R f



        

là toàn ánh

 

Từ (1) và (2), suy ra

là song ánh.

Cách 2 :

Ánh xạ ngược

:f R R









là ánh xạ ngược của

,yR

xét phương trình

 

y f x y x x



     

. Như vậy

,yR

phương trình

 

y f x

có

nghiệm duy nhất là





nên

là song ánh.

VD3 : Cho ánh xạ :

:f R R

 

32x f x x x   

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

có phải làm song ánh không ?Tại sao ?

b) Tìm

   

 

 

 

 

0 , 1 , 0;1 , 0;2f f f f

Giải :

a) Ta có :

1 1 1 1

3. 2 2 3

2 6 36 6 12

   

         

   

   

Với

3y 

, xét phương trình

 

3 3 2 3 3 1 0f x x x x x          

1 4.3 11 0      

Phương trình vô nghiêm

Như vậy với

3y   

Phương trình

 

3fx

vô nghiệm nên

không phải làm toàn ánh

f

cũng không

phải làm song ánh.

+ Xét tính đơn ánh :

Ta có :

   

2 3 2 2 3 0 3 1 0

f x x x x x x x







             







Như vậy với

xx

, ta có

xx

nhưng

   

2f x f x  

. Vậy

không phải làm đơn ánh.

   

 

 

 

 

 

 

0;1 0;1

0 2, 1 0, 0;1 ,f f f min f x max f x



   





Trong đó :

 

     

0;1

1 25 25

0 , 1 , 2,0,

6 12 12

min f x min f f f min



   

     

   



   



 

     

0;1

1 25

0 , 1 , 2,0, 0

6 12

max f x max f f f max



   

    

   



   



Vậy f(

 

0;1 ) ;0











Vậy

 

 

0;1 ;0









 

 

 

 

f 0;2 x R / f(x) 0,2



  

 

x R /0 f(x) 2   

Ta có :

x x 1

3x x 2 0

0 f(x) 2

3x x 2 2





  





  



   



  





  





x 1; 1;

   

    

   

   

Vậy

 

 

f 0;2 1; 1;



   

   

   

   

VD4 : Ánh xạ

:f R R

xác định bởi

 





có phải là đơn ánh, toàn ánh không ?

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Giải

+ Xét tính đơn ánh :

,,xx

ta có:

3x 3x

f(x ) f(x )

x 1 x 1

  



1 2 2 1

3x (x 1) 3x (x 1)   

1 2 1 2 1 2

x x x x x x   

1 2 1 2 2 1

(x x ) x x (x x )   

 

1 2 1 2 2 1

(x x ) x x (x x ) 0     

2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

(x x ) x x (x x ) 0 (x x )(1 x x ) 0        

x x 1













Chọn

xx

, ta có

xx

nhưng

         

1 2 1 2

9 1 9

10 3 10

f x f f x f f x f x



     





nên

không phải là đơn ánh.

+ Xét tính toàn ánh :

y,

xét phương trình

 

y f x





yx 3x y 0   

+ Nếu

0y 

, phương trình có nghiệm

0x 

+ Nếu

0y 

thì

94y  

, chọn

2y 

ta có

0

nên pt vô nghiệm. Vậy với

2y 

 

2fx

vô

nghiệm. Nên

không phải là toàn ánh.

Bài tập :

Bài 1 : Cho f :

R R,f(x) x 3x 1   

a) Hỏi

có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại sao ?

b) Tìm

 

 

 

 

 

 

1;2 ; 1;2 ; 1;1f f f



  

Giải

a) Ta có :

b 3 3 3

f f 3. 1

2a 2 2 2

     

    

     

     

9 9 5

4 2 4

     

Với

2y 

, xét phương trình

 

2fx

x 3x 1 2 x 3x 3 0        

Δ 3 4.1.3 3 0      

pt vô nghiệm

Như vậy với

y2



Phương trình

 

2fx

vô nghiệm nên

không phải làm toàn ánh. Suy ra,

cũng

không phải làm song ánh.

+ Xét tính đơn ánh :

Với

1y 

, Ta có :

 

1fx

x 3x 1 1 x 3x 0 x(x 3) 0





          







Như vậy với

0, 3xx

, ta có

xx

nhưng

   

f x f x

. Vậy

không phải làm đơn ánh.

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

b) +

 

 

 

 

 

 

1;2 1;2

1;2 ;f min f x max f x











Trong đó :

 

 

1;2

min f x min





f( 1),f(2),f( )









5, 1,

   

   

   

   

 

 

1;2

max f x max





f( 1),f(2),f( )









 

5, 1, 5



  





Vậy

 

 

1;2 ;5



  





 

 

1;2f





 

 

x R / f(x) 1;2 x R / 1 f(x) 2       

Ta có

x 3x 1 1 x 3x 2 0

1 f(x) 2

x 3x 1 2 x 3x 1 0



      



    



     





x 1 x 2

3 13 3 13

  

















3 13 3 13

x ;1 2;

   



  

   

   

Vậy

 

 

1;2f





3 13 3 13

;1 2;

   





   

   

+ =

 

 

1;1f





 

 

x R / f(x) 1;1 x R / 1 f(x) 1       

Ta có

x 3x 1 1 x 3x 2 0

1 f(x) 2

x 3x 1 1 x 3x 0



      



    



    





x 1 x 2

0x3

  











   

x 0;1 2;3  

Vậy

 

 

1;1f





   

0;1 2;3

Bài 2 : Cho ánh xạ

:f R R

, xác định bởi

 

52f x x

. Chứng minh

là song ánh và tìm ánh xạ ngược

Giải

yR

, xét phương trình

 

y f x

Ta có :

y x x x R



      

. Như vậy

yR

, phương trình

 

y f x

có nghiệm duy

nhất là





nên

là song ánh.

Ánh xạ ngược :

:f R R





Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN





Bài 3 : Cho ánh xạ ;

:f R R

với

 

32f x x

. Chứng minh

là một song ánh. Tìm

 

 

 

 

0;2 , 0;2 , [2; )f f f





Giải

yR

, xét phương trình

 

y f x

Ta có :

y x x x R



      

. Như vậy

yR

, phương trình

 

y f x

có nghiệm duy

nhất là





nên f là song ánh.

 

 

 

0;2 / 0 22f f x x  

Ta có :

3 3 3

0 2 0 8 0 3 24 2 3 2 26x x x x           

Vậy

 

 

 

0;2 2;26f 

 

 

 

0;2 / 0 2f x R f x



   

   

3 3 3

/ 0 3 2 2 / 2 3 0 / 0

x R x x R x x R x



              





/ 0 ;0

x R x

   



       







   

   

 

[2; ) / 2 / 2 3x 2f x R f x x R



           

 

/ 0 3 / 0 [0; )x R x x R x           

Bài 4 : Cho ánh xạ

yR

, xác định bởi

 

1f x x

. Chứng minh

là song ánh và tìm ánh xạ ngược

Giải

yR

, xét phương trình

 

y f x

Ta có :

1 1 1y x x y x y R        

. Như vậy, phương trình

 

y f x

có nghiệm duy nhất là

1xy

nên

là song ánh.

Ánh xạ ngược :

:f R R





1y x y  

Bài 5 : Cho

: , 3 1f R R x y x   

có là một song ánh không ? Tìm

 

 

 

 

2;1 , 0;3ff



Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

 

2;1

 

2;1

 

2;1

 

2;1

Giải

a) Ta có :

 

0 1 0



   





Với

0y 

, xét phương trình

 

0 3 1 0f x x   

0 4.1.2 12 0      

pt vô nghiệm

Như vậy với

0y 

 

0fx

vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra,

cũng không phải là song

ánh.

+ Xét tính đơn ánh :

Với

1y 

, ta có :

 

1fx

3x 1 1 3x 0 x 0      

Như vậy với

1 2 1 2

x 0,x 1 Tacóx x  

và

f(x ) f(x )

. Vậy

là đơn ánh.

+ f([-2 ;1])=[min f(x);max f(x)]

Trong đó : min f(x)= min

 

f( 2),f(1),f(0)

   

13,4,1 1

Max f(x)= max

 

f( 2),f(1),f(0)

   

13,4,1 13

Vậy f([-2;1])=[

1;13

]

 

f ( 0;3 )



 

 

x R /f(x) 0;3 x R /0 f(x) 3     

Ta có

3x 1 0 3x 1 0

0 f(x) 3

3x 1 3 3x 2 0



   



   



   























   





Vậy

 

f ( 0;3 ) ;











Bài 6 : Cho ánh xạ

:f R R

với

 

27f x x

chứng minh

là một song ánh. Tìm

 

 

 

 

0;2 , 5;11ff



Giải

yR

, xét phương trình

 

y f x

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Ta có :

2 7 .

y x x x R



      

Như vậy

yR

, phương trình

 

y f x

có nghiệm duy

nhất là





nên

là song ánh.

 

 

 

0;2 / 0 2f f x x  

Ta có :

3 3 3

0 2 0 8 0 2 16 7 2 7 23x x x x           

Vậy

 

 

 

0;2 7;23f 

 

 

 

5;11 / 5 11f x R f x



     

     

3 3 3

/ 5 2 7 11 / 12 2 4 / 6 2x R x x R x x R x               

 

/ 6 2 6; 2x R x



      



Bài 7 : Cho ánh xạ

:f R R

, xác định bởi

 

31f x x

. Chứng minh

là song ánh và tìm ánh xạ ngược.

Tìm

 

 

1;2f



Giải

yR

, xét phương trình

 

y f x

Ta có :

3 1 .

y x x x R



      

. Như vậy

yR

, phương trình

 

y f x

có nghiệm duy nhất

là





nên

là song ánh.

Ánh xạ ngược :

:f R R









 

 

 

 

 

 

1;2 / 1;2 /1 2f x R f x x R f x



      

Ta có :

 

3 1 1

3 1 2









   















Vậy

 

 

1;2 0;











Bài 8 : Ánh xạ :

 

: \ 2f R R

xác định bởi

 







có phải là đơn ánh, toàn ánh không ? song ánh

không ?

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Giải

+ Xét tính đơn ánh :

 

, \ 2x x R

mà

   

3 1 3 1

f x f x



  



     

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

3 1 2 3 1 2 3 6 2 3 6 2x x x x x x x x x x x x             

2 2 1 1 2 1 1 2

6 6 7 7x x x x x x x x       

Do đó

là đơn ánh.

+ Xét tính toàn ánh :

Với

3y 

,xét pt

 

3 3 3 1 3 6 0 7

f x x x x



         



( vô nghiệm)

Vậy

không là toàn ánh, nên

cũng không phải là song ánh.

Bài 9 : Cho ánh xạ

   

: \ 1 ,

f R R f x







, xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

Giải

+ Xét tính đơn ánh :

 

, \ 1x x R

mà

   

5 2 5 2

f x f x



  



     

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

5 2 1 5 2 1 5 5 2 2 5 5 2 2x x x x x x x x x x x x             

2 2 1 1 2 1 1 2

5 2 5 2 3 3x x x x x x x x       

Do đó

là đơn ánh.

+ Xét tính toàn ánh :

Với

5y 

,xét pt

 

5 5 5 2 5 5 0 3

f x x x x



         



( vô nghiệm)

Vậy

không là toàn ánh, nên

cũng không phải là song ánh.

Bài 10 : Cho ánh xạ:

 

: ; 1 1f R R f x x   

. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

Giải

- Xét tính đơn ánh : Ta có

1 2 1 2

1, 1,x x x x   

, nhưng f

   

21f x f x  

do đó

không là đơn ánh,

nên

cũng không là song ánh.

- Xét tính toàn ánh:

1y 

, xét pt

 

1fx

2 2 2 2

1 1 1 1 0 1 0 1x x x x             

( vô nghiệm). Vậy

không là toàn ánh.

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Bài 11 : Cho ánh xạ

 

: : 2f R R f x x  

. Xét tính đơn anh, toàn ánh, song ánh.

Giải

- Xét tính đơn ánh : Ta có

1 2 1 2

1, 1,x x x x   

nhưng

   

3f x f x

do đó

không là đơn ánh, nên

cũng không là song ánh.

- Xét tính toàn ánh:

1y 

, xét pt

 

1fx

2 1 1 0xx      

( vô nghiệm). Vậy

cũng không là toàn ánh.

Bài 12 : Cho ánh xạ:

 

: : 1f R R f x x



  

. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

Giải

- Xét tính đơn ánh : Ta có

1 2 1 2

1, 1,x x x x   

nhưng

   

2f x f x

do đó

không là đơn ánh, nên

cũng không là song ánh.

- Xét tính toàn ánh :





1 1 1

x y x y x y





         







, pt luôn có nghiệm

xR

. Vậy

cũng không là toàn

ánh.

Bài 13 : Cho ánh xạ:

     

: : , 2 2 .f R C f x y x y y x i    

. Hỏi

có là song ánh không ?

Giải

Lấy

x iy





bất kỳ

 

,C x y R

. Xét pt

 

,f x y





   

 

0 0 0

2 2 2

y x x

x y x

x y y x x iy

y x y x x x y









       



    





0 0 0 0

5 2 2

y x x

x x y y x





















  

  



  





















Vậy pt

 

,,f x y x iy



   

duy nhất

 

0 0 0 0

x y y x

x y R











vậy

là một song ánh ?

Bài 14 : Cho ánh xạ :

   

: 2 ;2 1;1f



  

 

x f x cosx

có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ?

b) Tìm























)

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Giải

a) Xét

 

1 2 1 2 1 2

0, 2 , 2 ,2 ,x x x x x x

  

     

nhưng

   

1f x f x

nên

không là đơn ánh, và cũng

không là song ánh

 

1;1m  

xét pt

 

f x m cosx m  

, pt này luôn có nghiệm

   

0;2 2 ;2x

  

  

nên là toàn ánh.

b)Ta có :

 

 

 

 

1 3 1 3

; 2 ;2 / ; 2 ;2 /

2 2 2 2

f x f x x

   













   

   

   



      



   

   







   



   











2 2 / 2 2 /

cosx cos



   











  

  









   



       



   



   

  





   









2 2 2

2 , , , 2 , 2 , , , 2

3 3 3 3 6 6 6 6

2 2 2



  

       

   



  





     









         



   







     









5 5 11 11

, , , , , , ,

3 3 6 6 3 3 6 6

       



    





Bài 15 :Cho ánh xạ :

 

::f R R f x x





. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

Giải

+ Lấy

1 2 1 2 1 2

1, 1, , ,x x x x R x x    

nhưng

   

1f x f x

nên

không là đơn ánh và cũng không là

song ánh.





, xét pt

 

f x m x m  

vì

0m R m



  

, suy ra pt trên luôn có nghiệm

xR

nên là toàn

ánh.

Bài 16 : Cho ánh xạ

từ

[2; )

vào

xác định bởi

 

2f x x

có phải là đơn ánh? Toàn ánh?

Song ánh?

Bài 17 : Xét sự đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ:

 

: 0; 0; 0;1 2;2

f x x



   





   



   

với

   

; 2 ,2f x y sin x cosy

Giải:

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Xét:

   

1 1 2 2

; 0;

;;

; 0;

sin x sin x

f x y f x y

cosy cosy

















  

  





















 

2 2 2

x x k

y y l







  

















  

































f

không phải đơn ánh

Xét

 

0;1 , 2;2mn







, ta có:

 

arcsin m

sin x m

cosy n

y arccos



































f

toàn ánh

Bài 18: Cho ánh xạ:

   

: , 1; 1f R R f x x x   

. Tìm

   

,,f R f A



biết

 

 

2 2 2

, | 4A x y R x y   

Giải:

Ta có:

   

 

', ' ' ' 2

f R x y R x y





      







   

 

', ' , ' ' 2f R x y R x y    

   

 

;f A x R f x A



  

   

1 1 4 1 1x x x        

   

; 1 1f A x R x



     

Bài 19: Cho ánh xạ:

:f R R

 

3 1;3x f x x x x   

Cho tập

[0;4) ( ; ]

Ax 

, xác định

 



Giải:

Ta có:

:f R R

 

3 1;3x f x x x x   

   

 

 

 

, , 3 1;3f A x R f x A x R x x x A



       

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

0 3 1 4

, , ,

x R x R x R x





    

  







     



        

       





     

  













 

;





  





Bài 20 :

Cho ánh xạ:

:f R R

     

1 2 1 2 1 2 1 2

; ; 2 1; 2 1x x f x x x x x x     

Chứng minh

là đơn ánh

Giải:

Ta có:

:f R R

     

1 2 1 2 1 2 1 2

; ; 2 1; 2 1x x f x x x x x x     

;y y R

, ta có:

   

1 2 1 2

;;f x x f y y

   

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1; 2 1 2 1; 2 1y y y y x x x x         

   

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 2

;;

2 1 2 1 2 2

y y x x y y x x y x

y y x x

y y x x y y x x y x

        

  

    

  

        

  

f

đơn ánh

Bài 21:

Cho ánh xạ:

:f R R

xác định bởi

   

1 2 1 2 1 2

, ,2f x x x x x x  

a) Chứng minh

song ánh

b) Tìm

 

1;1 .f



Xác định

 

,f y y



Giải:

Với

 

,x x R

và với

 

' ' 2

,x x R

sao cho

 

1 2 1 2

,,f x x f x x

, ta có:

 

1 2 1 2

' ' ' '

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

,2 ,2

x x x x

x x x x x x x x

x x x x



  



     



  





 

' ' ' ' '

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1 2 1 2

' ' '

1 1 1 1 2 2

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x



      



    



  







đơn ánh

 

Gỉa sử

 

,y y y R

. Ta tìm

 

,x x x

sao cho

 

f x y

   

1 2 1 2 1 2

,2 ,x x x x y y   

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 2 2 1 1 2 1 2

2 3 2

x x y

x x y x x y

x x y x y y y y













   





   

   



   















f

toàn ánh

 

Từ (1) và (2)

f

song ánh

Bài 22:

Cho ánh xạ:

   

: , , 2 ,2f R R f x y x y x y   

a) Chứng minh

là một song ánh

b) Cho tập

 

 

2 2 2

, | 45A x y R x y   

. Tìm nghịch ảnh

 



Giải:

a) Chứng minh tương tự câu 21a)

b) Ta có:

   

: , , 2 ,2f R R f x y x y x y   

 

 

2 2 2

, | 45A x y R x y   

 

 

2 2 2

, 45, 2 , 2f A a b R x y a x y b x y        

Có:

a x y

b x y b a



















  











Mặt khác:

2 2 2 2

45 45 225

a b b a

x y a b



   

       

   

   

 

 

2 2 2

, 225f A a b R a b    

 

 

1 2 2 2

, 45; 2 ; 2f A x y R a b a x y b x y



        

   

2 2 45 9x y x y x y       

 

 

1 2 2 2

,9f A x y R x y



    

Bài 23: Cho ánh xạ:

:f C C

   

, 4 9 ,f z iz i z i i   

là đơn vị ảo. Xác định

 

 



Giải:

Ta có:

   

49f z iz i z i   

 

 





là tập hợp các giá trị

sao cho

     

7 4 9 7 4 9 7 0f z iz i z i iz i z i           

Tài liệu lưu hành nội bộ

TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN

Tính

 

21 20 2 5





      



  



Vậy

 

 

 

7 3 ; 2 3f i i



   

Bài 24: Cho ánh xạ:

 

: ;2fm 

 

, 3 9 1R f x x x x   

. Xác định

để

là một đơn ánh

Giải:

Ta có:

 

3 9 1f x x x x   

 

' 3 6 9 0

f x x x





    







Lập bảng biến thiên

Để

là một đơn ánh

 

fx

phải đơn điệu

 

;2xm

Xét BBT:

12m   

Bài 25: Cho ánh xạ:

:f R R

, xác định bởi

 

21f x x x  

và tập hợp

 

2;1; 3A 

. Xác định tập ảnh

 

và tập nghịch ảnh

 



Giải:

+)Xác định tập ảnh:

       

 

2 ; 1 ; 3 7;2f A f f f  

+)Xác định tập nghịch ảnh

 

2 2 3 0

f x x x





     







 

1 2 2 0 1 3f x x x x        

 

3 2 2 0,f x x x     

vô nghiệm

Do đó,

 

 

1; 3; 1 3fA



   

PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN, TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI CÁC NĂM GẦN

NHẤT

(GÕ XONG GIẢI RỒI ANH, EM TỰ LUYỆN

SAU SAU ĐÓ SẼ ĐĂNG GIẢI SAU)

Câu 1. Cho ánh xạ

:f 

với

 

2 4,f x x x x    

a. Tính

 

b. Chứng minh rằng ánh xạ này không toàn ánh.

Câu 2. Cho ánh xạ

:f 

với

   

,;f x y x y x y  

. Tính

 

với

 

 

2 2 2

;1A x y x y   

Câu 3. Cho ánh xạ

: ;2fm  



với

 

3 9 1f x x x x   

. Xác định

để

là

đơn ánh.

Câu 4. Cho ánh xạ

:f 

với

 

32f x x x  

. Xác định



 

0;2f







Câu 5. Cho ánh xạ

:f 

với

 

,;f x y x y x y  

. Ánh xạ

có là đợn ánh ,

toàn ánh hay không? Tại sao?

Câu 6. Cho

 

 

;0A x y x  

và ánh xạ

:fA

với

 

,;f x y x x y

Ánh xạ

có là toàn ánh không? Tạo sao?

Câu 7. Xác định tập

A 

để ánh xạ

: 0; 0;





   





với

   

, sin cos ;2cosf x y x x y

là song ánh.

Câu 8. Cho ánh xạ

:f 

với

 

4f x x x

. Xác định

,ab

biết

 

 

 

0;2;f a b





Câu 9. Cho ánh xạ

 

: \ 1f 

với

 







. Xác định



 

0;1f







Câu 10. Xác định tập

A 

để ánh xạ

 

: 1;1 0;fA   



với

 

, sin ;

f x y x e

là song ánh.

Câu 11. Cho ánh xạ

 

: \ 1f 

với

 







. Xác định



 

0;1f







Câu 12. Cho ánh xạ

:f 

với

   

,;f x y x ay x y  

.Xác định tất cả các giá trị

của

để

là song ánh.

Câu 13. Cho ánh xạ

:f 

với

 

3f x x x

. Tính

 

và

 



với

 

24A x x    

Câu 14. Cho ánh xạ

:f 

với

 

,;f x y x x y

.Chứng minh

là song ánh.

Câu 15. Cho ánh xạ

:f 

với

 

2 2 3f z z i  

và

 

1A z z  

. Tìm và

biểu diễn

 

trên mặt phẳng phức.

Câu 16. Cho ánh xạ

:f 

với

 

21f x x

có đơn ánh không? Có toàn ánh

không? Tạo sao?

Câu 17. Cho ánh xạ

:f 

với

 

3f z z m i

m

a. Tính

để ánh xạ

là ánh xạ toàn ánh

b. Khi

1m 

, tìm

 

3fi

















Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/16

| | Tải xuống

Preview text:

Tài liệu lưu hành nội bộ ÁNH XẠ
VD1 : Cho ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x 3  2x 1. Tìm
f   f   1 f    1 0 , 1 ,
1 , f  1;17, f 0  ;1  Giải : f   3 f   3 1 f       
  xR f x    3 0 2.0 1 1; 1 2.1 1 3; 1 / 1
x  R / 2x 1   1    0 1 f  
 xR  f x    3 1;17 / 1 17
x  R / 1  2x 1  1  7   3 x  R  x     3 / 0 2 16
x  R / 0  x 1  
8  x  R / 0  x   2  0; 2 f 0 
;1    f  x / 0  x   1 Ta có : 3 3 3
0  x  1  0  x  0  2x  1  1  2x 1  3 Vây f 0  ;1   1;  3
VD 2 : Chứng minh rằng ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x 3
 2x 1 là song ánh và tìm ánh xạ ngược. Giải : x
 , x  R mà 3 3 3 3
x  x  2x 1  2x 1  x  x  f x  f x 1 2 1 2 1 2  1  2  1 2
 f là đơn ánh.   1 y  y  y
  R, f x 1 1 3 3 3 3
 y  2x 1  y  2x  y 1  x   x   R 2 2  Vậy, y y   R, x   y
  R, f x 1 3 
 R  f là toàn ánh 2 2
Từ (1) và (2), suy ra f là song ánh. Cách 2 : Ánh xạ ngược 1
f  : R  R y 1 3 y  x  2
là ánh xạ ngược của f . y 1 y
  R, xét phương trình y  f x 3 3
 y  2x 1  x  . Như vậy y
  R, phương trình y  f x có 2  nghiệm duy nhất là y 1 3 x 
nên f là song ánh. 2
VD3 : Cho ánh xạ : f : R  R
x  f  x 2
 3x  x  2
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
a) f có phải làm song ánh không ?Tại sao ?
b) Tìm f 0, f   1 , f 0 
;1 , f 0;2 Giải :  b   1  1 1 1 a) Ta có : f   f  3.   2    2  3       2a   6  36 6 12
Với y  3 , xét phương trình f  x 2 2  3
  3x  x  2  3
  3x  x 1  0   1 4.3  11
  0  Phương trình vô nghiêm
Như vậy với y  3
  Phương trình f x  3
 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh  f cũng không phải làm song ánh. + Xét tính đơn ánh : x  0 
Ta có : f  x  2
  3x  x  2  2
  3x  x  0  x3x   1 2 2 1  0  1  x  2  3 Như vậy với 1 x  0, x 
, ta có x  x nhưng f  x  f x  2
 . Vậy f không phải làm đơn ánh. 1   2  1 2 3 1 2   c) f 0  2  , f   1  0, f 0 
;1   min f  x, max f  x     0;  1 0; 1       Trong đó 1 25 25
: min f  x  min  f 0, f  
1 , f    min  2  ,0,     0; 1   6   12  12       
max f  x  max  f   f   1 25 0 ,
1 , f    max  2  ,0,   0Vậy f(  25 0;1 )  ;0    0;  1   6   12   12    Vậy f   25 0;1   ; 0    12  1
f  0;2  x  R / f (x) 0, 2  x  R / 0  f (x)   2  2     2 x x 1 3  x  x  2  0  3  2   1 
Ta có : 0  f (x)  2      x  1  ;  1;     2 3  x  x  2  2 4   3   4 1   x   3    Vậy   2 4 1 f 0;2  1  ;  1;      3   3 3x
VD4 : Ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x 
có phải là đơn ánh, toàn ánh không ? 2 x 1
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ Giải + Xét tính đơn ánh : 3x 3x x  , x , ta có: 1 2 f (x )  f (x )   2 2
 3x (x 1)  3x (x 1) 1 2 1 2 2 2 x 1 x 1 1 2 2 1 1 2 2 2
 x x  x  x x  x  (x  x )  x x (x  x ) =0  (x  x )  x x (x  x )  0 1 2 1 2 2 1  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1    x x
(x  x )  x x (x  x )  0  (x  x )(1  x x )  0 1 2   2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x x  1  1 2   Chọn 1 9 1 9 x  3, x 
, ta có x  x nhưng f  x  f 3  ; f x  f 
 f x  f x nên f 1     2    1  2 1 2 3 1 2 10  3  10 không phải là đơn ánh. + Xét tính toàn ánh :  3x
y  , xét phương trình y  f  x  y  2  yx  3x  y  0 2 x  1
+ Nếu y  0 , phương trình có nghiệm x  0 + Nếu y  0 thì 2
  9  4y , chọn y  2 ta có   0 nên pt vô nghiệm. Vậy với y  2  pt f x  2 vô
nghiệm. Nên f không phải là toàn ánh. Bài tập : Bài 1 : Cho f : 2
R  R, f (x)  x  3x 1
a) Hỏi f có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại sao ?  b) Tìm f   1 1; 2 ; f  1
 ;2; f  1   ;1  Giải 2  b   3   3  3 9 9 5 a) Ta có : f   f   3. 1       =  1    2   2a   2   2  2 4 2 4
Với y  2 , xét phương trình f  x  2  2 2  x  3x 1  2   x  3x  3  0 2
Δ  3  4.1.3  3  0  pt vô nghiệm
Như vậy với y  2 Phương trình f  x  2
 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra, f cũng không phải làm song ánh. + Xét tính đơn ánh : x  0
Với y  1, Ta có : f  x  1 2 2 1
 x  3x 1 1  x  3x  0  x(x  3)  0   x  3  2
Như vậy với x  0, x  3 , ta có x  x nhưng f  x  f x . Vậy f không phải làm đơn ánh. 1   2  1 2 1 2
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ   b) + f  1
 ;2  min f x;max f x    1  ;2  1  ;2        Trong đó : 3 5 5
min f  x  min f ( 1  ),f (2),f ( ) = 5  , 1  ,      1  ;2  2   4   4     5 
max f  x  3 max f ( 1  ),f (2),f ( ) = 5  , 1  ,     5  1  ;2  2   4   
Vậy f   5 1; 2   ;5    4  + 1 f   1
 ;2  x R / f (x) 1
 ;2  x R /1 f (x)   2 x  1 x  2 2 2 x 3x 1 1  x 3x  2  0  Ta có 1   f (x)  2      3 13 3  13 2 2 x 3x 1 2 x 3x 1 0   x   2 2 3 13   3 13   x   ;1  2;  2 2           Vậy 1 f   1  ;2  3 13 3 13  ;1  2;  2 2     + = 1 f   1  
;1   x  R / f (x)  1  
;1   x  R /1  f (x)   1 2 2 x 3x 1 1  x 3x  2  0 x 1 x  2 Ta có 1   f (x)  2       2 2 x 3x 11 x 3x  0 0  x  3  x 0  ;1  2;  3 Vậy 1 f   1   ;1   0;  1  2;  3
Bài 2 : Cho ánh xạ f : R  R , xác định bởi f  x 3
 5x  2 . Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược Giải y
  R , xét phương trình y  f x y  2 y  2 Ta có : 3 3 3
y  5x  2  x   x 
 R . Như vậy y
  R , phương trình y  f x có nghiệm duy 5 5  nhất là y 2 3 x  nên f là song ánh. 5 Ánh xạ ngược : 1
f  : R  R
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ y  2 3 y  x  5
Bài 3 : Cho ánh xạ ;
f : R  R với f  x 3
 3x  2 . Chứng minh f là một song ánh. Tìm f   1
0; 2 , f  0;2, f [2; ) Giải y
  R , xét phương trình y  f x y  2 y  2 Ta có : 3 3 3
y  3x  2  x   x 
 R . Như vậy y
  R , phương trình y  f x có nghiệm duy 3 3  nhất là y 2 3 x  nên f là song ánh. 3
+ f 0;2   f  x / 0  x  2  2 Ta có : 3 3 3
0  x  2  0  x  8  0  3x  24  2  3x  2  26
Vậy f 0;2  2;26  + 1 f
0;2 xR / 0  f x   2    2  3
x  R / 0  3x  2   2   3 x  R / 2   3x   3
0  x  R /   x  0  3   2   2  3 3 3
 x R / 
 x  0    ; 0  3   3     + 1 f
   xR  f x       3 [2; ) / 2
x  R / 2  3 x  2       3
x  R / 0  3x   
  x R / 0  x      [0;)
Bài 4 : Cho ánh xạ y
  R , xác định bởi f x 3
 x 1. Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược Giải y
  R , xét phương trình y  f x Ta có : 3 3 3
y  x 1  x  y 1  x 
y 1  R . Như vậy, phương trình y  f  x có nghiệm duy nhất là 3 x 
y 1 nên f là song ánh. Ánh xạ ngược : 1
f  : R  R 3 y  x  y 1 Bài 5 : Cho 2
f : R  R, x  y  3x 1 . f có là một song ánh không ? Tìm f   1 2;1 , f   0; 3
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ Giải  b  a) Ta có : f   f   0 1 0  2a 
Với y  0 , xét phương trình f  x 2
 0  3x 1  0 2
  0  4.1.2  12  0  pt vô nghiệm
Như vậy với y  0  pt f  x  0 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra, f cũng không phải là song ánh. + Xét tính đơn ánh :
Với y  1, ta có : f  x  1 2 2
 3x 1  1  3x  0  x  0
Như vậy với x  0, x  1 Ta có x  x
và f (x )  f (x ) . Vậy f là đơn ánh. 1 2 1 2 1 2
+ f([-2 ;1])=[min f(x);max f(x)] 2; 1 2; 1
Trong đó : min f(x)= minf ( 2)  ,f (1),f (  0) =13, 4,  1    1 2; 1 Max f(x)= maxf ( 2)  ,f (1),f (  0) =13, 4,  1    13 2; 1 Vậy f([-2;1])=[1;13 ] + 1 f   ( 0; 
3 ) =x  R / f (x) 0; 
3   x  R / 0  f (x)   3 x   2 2 3  x 1 0 3  x 1 0 
Ta có 0  f (x)  3       2 2 2 3  x 1 3 3  x  2  0 x     3  2 2   x    ;  3 3     Vậy  2 2 1 f (0; 3)   ;  3 3  
Bài 6 : Cho ánh xạ f : R  R với f  x 3
 2x  7 chứng minh f là một song ánh. Tìm f   1 0; 2 , f   5  ;1  1  Giải y
  R , xét phương trình y  f x
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ y  7 y  7 Ta có : 3 3 3
y  2x  7  x   x   . R Như vậy y
  R , phương trình y  f x có nghiệm duy 2 2  nhất là y 7 3 x 
nên f là song ánh. 2
+ f 0;2   f  x / 0  x   2 Ta có : 3 3 3
0  x  2  0  x  8  0  2x  16  7  2x  7  23
Vậy f 0;2  7;2  3  + 1 f  5  ;1 
1   x  R / 5
  f x 1  1   3
x  R   x    3 x  R   x     3 / 5 2 7 11 / 12 2 4
x  R / 6  x   2   3 3
x  R /  6  x  2 3 3   6; 2  
Bài 7 : Cho ánh xạ f : R  R , xác định bởi f  x 3
 3x 1. Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược. Tìm 1 f  1;2 Giải y
  R , xét phương trình y  f x y 1 y 1 Ta có : 3 3 3
y  3x 1  x   x   . R . Như vậy y
  R , phương trình y  f x có nghiệm duy nhất 3 3 y 1 là 3 x 
nên f là song ánh. 3 Ánh xạ ngược : 1
f  : R  R y 1 3 y  x  3 1
f  1;2  x  R / f  x1;2  x  R /1  f  x   2 x  0 3 3  x 11 
Ta có : 1  f  x  2     1 3 3 3  x 1 2 x    3   Vậy 1 1 f  1;2 3  0;  3   x 
Bài 8 : Ánh xạ : f : R \  
2  R xác định bởi f  x 3 1 
có phải là đơn ánh, toàn ánh không ? song ánh x  2 không ?
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ Giải + Xét tính đơn ánh : 3x 1 3x 1 x
 , x  R \ 2 mà f x  f x   1   2 1 2 1 2   x  2 x  2 1 2
 3x 1 x  2  3x 1 x  2  3x x  6x  x  2  3x x  6x  x  2 1
 2   2  1  1 2 1 2 2 1 2 1
 6x  x  6x  x  7x  7x  x  x 2 2 1 1 2 1 1 2
Do đó f là đơn ánh. + Xét tính toàn ánh :  Với x
y  3 ,xét pt f  x 3 1  3 
 3  3x 1  3x  6  0x  7  ( vô nghiệm) x  2
Vậy f không là toàn ánh, nên f cũng không phải là song ánh. x 
Bài 9 : Cho ánh xạ f R    R f  x 5 2 : \ 1 , 
, xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh. x 1 Giải + Xét tính đơn ánh : 5x  2 5x  2 x
 , x  R \ 1 mà f x  f x   1   2 1 2 1 2   x 1 x 1 1 2
 5x  2 x 1  5x  2 x 1  5x x 5x  2x  2  5x x 5x  2x  2 1
 2   2  1  1 2 1 2 2 1 2 1
 5x  2x  5x  2x  3x  3x  x  x 2 2 1 1 2 1 1 2
Do đó f là đơn ánh. + Xét tính toàn ánh :  Với x
y  5 ,xét pt f  x 5 2  5 
 5  5x  2  5x  5  0x  3  ( vô nghiệm) x 1
Vậy f không là toàn ánh, nên f cũng không phải là song ánh.
Bài 10 : Cho ánh xạ: f R  R f  x 2 : ;
 x 1 1. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x  1
 , x  1, x  x , nhưng f f x  f x  2 1 do đó f không là đơn ánh, 1   2 1 2 1 2
nên f cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh: y  1, xét pt f  x  1  2 2 2 2  x 1 1  1
  x 1  0  x 1  0  x  1
 ( vô nghiệm). Vậy f không là toàn ánh.
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Bài 11 : Cho ánh xạ f R  R f  x 2 : :
 x  2. Xét tính đơn anh, toàn ánh, song ánh. Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x  1
 , x  1, x  x nhưng f x  f x  3 do đó f không là đơn ánh, nên f 1   2  1 2 1 2 cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh: y  1, xét pt f  x  1 2
 x  2  1  x  1
  0 ( vô nghiệm). Vậy f cũng không là toàn ánh.
Bài 12 : Cho ánh xạ: f R R  f  x 2 : :
 x 1. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x  1
 , x  1, x  x nhưng f x  f x  2 do đó f không là đơn ánh, nên f 1   2  1 2 1 2 cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh : y R   x  y 1 2 2
 x 1  y  x  y 1  x  y 1 
, pt luôn có nghiệm x  R . Vậy f cũng không là toàn x 1 y ánh.
Bài 13 : Cho ánh xạ: 2
f : R  C : f  x, y  2x  y  2 y  x.i . Hỏi f có là song ánh không ? Giải
Lấy   x  iy bất kỳ C  x , y  R . Xét pt f  x, y   0 0  0 0 
 x  y  x
y  x  x 
 2x  y  2y  x 2 2 0 0
 x  iy     0 0
2 y  x  y 
2 2x  x  x  y 0   0  0  2x  y   0 0 2x y 0 0 x  x   R
 y  2x  x     0 5 5      
5x  2x  y   2x  y  2 y  x 0 0 0 0     0 0 y 2 x   y   R 0   5   5     Vậy pt 2x y 2 y x
f  x, y    x  iy ,  duy nhất  x, y 0 0 0 0 2  ,
 R vậy f là một song ánh ? 0 0    5 5 
Bài 14 : Cho ánh xạ : f :  2  ;2    1   ;1
x  f  x  cosx
a) f có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ?   1 3   b) Tìm 1 f    ,   ) 2 2    
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ Giải
a) Xét x  0, x  2  x , x  2
  , 2 , x  x nhưng f x  f x 1 nên f không là đơn ánh, và cũng 1   2  1 2 1 2   1 2 không là song ánh + m   1  
;1 xét pt f  x  m  cosx  m , pt này luôn có nghiệm x 0; 2  2
 ;2  nên là toàn ánh.    f  x 1             1 3 1 3   2  b)Ta có : 1 f   ;
   x  2
 ;2  / f x  ;
  x 2;2  /    2 2  2 2           f  x 3      2     1       cosx    cos    x    2k     2 3   3 
 2  x  2 / 
  2  x  2 /     3       cosx   cos x    2k        2 6    6    
2  x    2k  2    3            
k  Z    2 , ,  ,   2 ,  2 , ,  ,  2      3 3 3 3 6 6 6 6 
2  x    2k  2   6       5 5 11 11    , , , , , ,  ,   3 3 6 6 3 3 6 6 
Bài 15 :Cho ánh xạ : f : R R 
: f  x  x . Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Giải
+ Lấy x  1, x  1
 , x , x  R, x  x nhưng f x  f x 1 nên f không là đơn ánh và cũng không là 1   2  1 2 1 2 1 2 song ánh.  + m R  
, xét pt f  x  m  x  m vì m  R  m  0 , suy ra pt trên luôn có nghiệm x  R nên là toàn ánh.
Bài 16 : Cho ánh xạ f từ [2; ) vào R xác định bởi f  x  x  2 . f có phải là đơn ánh? Toàn ánh? Song ánh?
Bài 17 : Xét sự đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ:       f : 0; x 0;  0  ;1 x  2; 2       với f  ;
x y   sin2x, 2cosy  2   4  Giải:
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ     x ; x  0;  1 2     2 
sin2x  sin2x Xét: 
 f x ; y   f x ; y  1 2   1 1 2 2     2cosy  2cosy  1 2 y ; y  0; 1 2      4 
2x  2x  2k 1 2 x  x 1 2
2x  2x  2k   1 2      
 x   x 1 2  y  y  2  1 2    y  y  l  y  y  1 2 1 2
 f không phải đơn ánh Xét m 0  ;1 , n   2; 2   , ta có:  arcsin m x  
sin2x  m  2    2cosy  n  n 
y  arccos    2   f toàn ánh
Bài 18: Cho ánh xạ: 2 2
f : R  R , f  x  x 1; x  
1 . Tìm f  R 1
, f   A, biết A    x y 2 2 2 ,
 R | x  y   4 Giải:
x '  x 1
Ta có: f  R    x', y' 2  R   
 x ' y '  2 
y '  x 1
 f R  
 x', y'R,x' y'   2 1
f   A  x  ;
R f  x   A
 x  2  x  2 1 1  4  1   x 1 1 f  
 A x ; R 1   x   1
Bài 19: Cho ánh xạ: 2 2
f : R  R
x  f  x   2
3x 1;3x  x Cho tập 2
A  [0; 4)x( ;  ] , xác định 1 f  A 3 Giải: Ta có: 2 2
f : R  R
x  f  x   2
3x 1;3x  x 1
f   A  x  R f  x 
A  x  R  2 ,
, 3x 1;3x  x  A
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ   1  
0  3x 1  4   x  1         3   1 1 
 x R,
2   x  R, 
  x  R,   x   2 3x  x  2 1        3 3   3   x     3 3    1 1 1
 f  A   ;    3 3 Bài 20 : Cho ánh xạ: 2 2
f : R  R
 x ; x  f x ; x  2x  x 1; x  2x 1 1 2   1 2   1 2 1 2 
Chứng minh f là đơn ánh Giải: Ta có: 2 2
f : R  R
 x ; x  f x ; x  2x  x 1; x  2x 1 1 2   1 2   1 2 1 2  2 y
 ; y  R , ta có: f x ; x  f y ; y 1 2   1 2  1 2
 2 y  y 1; y  2 y 1  2x  x 1; x  2x 1 1 2 1 2   1 2 1 2 
2y  y 1  2x  x 1
2y  y  2x  x y  x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1      
  y ; y  x ; x 1 2   1 2
y  2 y 1  x  2x 1
y  2 y  x  2x y  x  1 2 1 2  1 2 1 2  2 2  f đơn ánh Bài 21: Cho ánh xạ: 2 2
f : R  R xác định bởi f  x , x  x  x , 2x  x 1 2   1 2 1 2 
a) Chứng minh f song ánh b) Tìm 1 f  1;  1 . Xác định 1
f   y , y 1 2  Giải:
Với  x , x  2
 R và với  ' '
x , x  R sao cho f  x , x   f  ' ' x , x , ta có: 1 2 1 2  1 2  2 1 2 
x  x  x  x
x  x , 2x  x    ' ' ' '
x  x , 2x  x   1 2 1 2 1 2 1 2  ' ' 1 2 1 2 ' '
2x  x  2x  x  1 2 1 2 ' ' ' ' '
x  x  x  x
x  x  x  x x  x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1      
 x , x    ' ' x , x 1 2 1 2 ' ' '  3  x  3x  x  x  x  x 1 1 1 1  2 2
 f đơn ánh   1
Gỉa sử y   y, y  2
 R . Ta tìm x  x , x sao cho f x  y  x  x ,2x  x  y , y 1 2 1 2   1 2  1 2  2
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ  y  y 1 2
x  x  y x  1 2 1        1 x x y x x y   1 2 1 1 2 1 3       y  y   1 2
2x  x  y
3x  y  y   x  2 y y 1 2 2 1 1 2  1  1 2  3 x   2  3 3
 f toàn ánh 2
Từ (1) và (2)  f song ánh Bài 22: Cho ánh xạ: 2 2
f : R  R , f  x, y   x  2y, 2x  y
a) Chứng minh f là một song ánh b) Cho tập A    x y 2 2 2 ,
 R | x  y  4  5 . Tìm nghịch ảnh 1 f  A Giải:
a) Chứng minh tương tự câu 21a) b) Ta có: 2 2
f : R  R , f  x, y   x  2y, 2x  y A    x y 2 2 2 ,
 R | x  y  4  5
f  A   2 2 2 a,b  R x
  y  45,a  x  2y,b  2x   y  a  2b x 
a  x  2y  5 Có:    b   2x  y b  2a y   5 2 2       Mặt khác: a 2b b 2a 2 2 2 2
x  y  45  
 45  a  b  225      5   5 
 f  A   2 2 2
a,b  R a  b  22  5 1
f   A   2 2 2
x, y  R a
  b  45;a  2x  y;b  2x   y
  x  y2  x  y2 2 2 2 2
 45  x  y  9 1 f    A  2 2 2
x, y  R x  y   9
Bài 23: Cho ánh xạ: f : C  C f  z 2 ,
 iz  4  i z  9i,i là đơn vị ảo. Xác định 1 f    7  Giải:
Ta có: f  z 2
 iz  4  i z  9i 1 f    
7  là tập hợp các giá trị z sao cho f  z 2
  iz   i 2 7 4
z  9i  7  iz  4  i z  9i  7  0
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ z  3 i Tính   2
 1 20i  2  5i2 1   z  2   3i  2 Vậy 1 f    7   3  ; i 2   3  i
Bài 24: Cho ánh xạ: f :  ;
m 2  R f  x 3 2 ,
 x  3x  9x 1. Xác định m để f là một đơn ánh Giải:
Ta có: f  x 3 2
 x  3x  9x 1 x  f ' x 2 2
 3x  6x  9  0   x  3  Lập bảng biến thiên
Để f là một đơn ánh  f  x phải đơn điệu x   ; m 2
Xét BBT:  1  m  2
Bài 25: Cho ánh xạ: f : R  R , xác định bởi f  x 2
 x  2x 1 và tập hợp A  2;1;  3 . Xác định tập ảnh
f  A và tập nghịch ảnh 1 f  A Giải:
+)Xác định tập ảnh: f  A   f 2; f   1 ; f  3    7;  2
+)Xác định tập nghịch ảnh   f  x x 1 2
 2  x  2x  3  0   x  3  f  x 2
1  x  2x  2  0  x  1   3 f  x 2  3
  x  2x  2  0, vô nghiệm Do đó, 1
f   A  1; 3  ; 1   3
PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN, TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI CÁC NĂM GẦN NHẤT
(GÕ XONG GIẢI RỒI ANH, EM TỰ LUYỆN
SAU SAU ĐÓ SẼ ĐĂNG GIẢI SAU)
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN Câu 1. Cho ánh xạ f :
 với f x 6 3
 x  2x  4, x  
a. Tính f   .
b. Chứng minh rằng ánh xạ này không toàn ánh. Câu 2. Cho ánh xạ 2 2 f : 
với f x, y  x  y; x  y . Tính f  A với A    x y 2 2 2 ;  x  y   1 . Câu 3.
Cho ánh xạ f : m; 2    với f x 3 2
 x  3x  9x  1 . Xác định m để f là đơn ánh. Câu 4. Cho ánh xạ f :
 với f x 2
 x  3x  2 . Xác định 1
f   0; 2 . Câu 5. Cho ánh xạ 2 2 f : 
với f x y   2 ,
x  y; x  y . Ánh xạ f có là đợn ánh ,
toàn ánh hay không? Tại sao? Câu 6. Cho A    x y 2 ;  x   0 và ánh xạ 2 f :
 A với f x y   2 ,
x ; x  y .
Ánh xạ f có là toàn ánh không? Tạo sao?    Câu 7. Xác định tập 2 A  để ánh xạ f : 0;  0;   A     với  4 
f x, y  sin x  cos x; 2 cos y là song ánh. Câu 8. Cho ánh xạ f :
 với f x 3
 x  4x . Xác định a,b biết 1 f  
 a 0;2; b . x  Câu 9. Cho ánh xạ f :  \   1  với f x 3  1
f   0;1 . x  . Xác định  1 Câu 10. Xác định tập 2 A 
để ánh xạ f : A   1  ;1 0;    với  ,  sin ; y f x y x e  là song ánh. x  Câu 11. Cho ánh xạ f :  \  1  với f x 1  1
f   0;1 . x  . Xác định  1 Câu 12. Cho ánh xạ 2 2 f : 
với f x, y  x  ay; x  y .Xác định tất cả các giá trị
của a để f là song ánh.  Câu 13. Cho ánh xạ f :
 với f x 3
 x  3x . Tính f A và 1
f  A với A  x 2   x   4 . Câu 14. Cho ánh xạ 2 2 f : 
với f x y   3 2 ,
x ; x  y .Chứng minh f là song ánh. Câu 15. Cho ánh xạ f :
 với f z  2z  2  3i và A z z   1 . Tìm và
biểu diễn f  A trên mặt phẳng phức. Câu 16. Cho ánh xạ f :
 với f x  2x  1 có đơn ánh không? Có toàn ánh không? Tạo sao? Câu 17. Cho ánh xạ f :
 với f z  z mi 12 6 3 , m
a. Tính m để ánh xạ f là ánh xạ toàn ánh   b.   
Khi m  1, tìm f     i6 1 3    