Bài tập về nhà Giải tích

lOMoARcPSD|2455388 HOMEWORK 2 - CALCULUS 2 TS. Nguyễn Thái An
Khoa Toán, Trường ĐH Sư Phạm Huế Ngày 20 tháng 5 năm 2022
1. Tính các tích phân bất định sau R (a) 1 √ dx x2−a2 R (b) 1 √a2−x2 R √ (c) x2 − a2 dx R √ (d) a2 − x2 dx R (e) 1 dx x2+a2 R (f) 1 dx x2−a2 R (g) x arctan x dx R (h) x arccos x dx R (i) x arcsin x dx
2. Bài tập mục 7.3 sách Stewart. R (a) dx √ x2 4−x2 R (b) x3 √ dx x2+4 R √ (c) x2−4 dx x R √ (d) 1 x3 1 0 − x2dx R (e) 2 1 √ dt 2 √ t3 t2−1 R (f) 3 x dx 0 √36−x2 R (g) dt √ t2 t2−16 R (h) dx √x2+16 R (i) t5 √ dt t2+2 R √ (j) 5 + 4x − x2dx R (k) dt √t2−6t+13 1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 R (l) x √ dx x2+x+1 R (m) x2 dx (3+4x−4x2)3/2 R √ (n) x2 + 2xdx R (o) x2+1 dx (x2−2x+2)2 R √ (p) x 1 − x4dx R (q) π/2 cos t √ dt 0 1+sin2 t R √ (r) 1 − 4x2dx R (s) du √ u 5−u2 R √ (t) x2−9 dx x3 R (u) 1 dx 0 (x2+1)2 R (v) 0.6 x2 dx 0 √9−25x2 R √ (w) 1 x2 + 1dx 0 R (x) 2/3 dx √ √ 2/3 x5 9x2−1
3. Bài tập sách Stewart mục 7.4 trang 481, mục 7.5 trang 488. R (a) 1 2 dx 0 2x2+3x+1 R (b) 4 x3−2x2−4 dx 3 x3−2x2 R (c) 2 4y2−7y−12 dy 1 y(y+2)(y−3) R (d) 4x dx x3+x2+x+1 R (e) x3+x2+2x+1 dx (x2+1)(x2+2) R (f) x+4 dx x2+2x+5 R (g) 1 dx x3−1 R (h) 1 x−4 dx 0 x2−5x+6 R (i) 1 x3−4x−10 dx 0 x2−x−6 R (j) x2+2x−1 dx x3−x R (k) x2−5x+16 dx (2x+1)(x−2)2 R (l) x5+x−1 dx x3+1 R (m) x4+3x2+1 dx x5+5x3+5x R (n) x3+2x2+3x−2 dx (x2+2x+2)2 2
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388
4. Hãy vẽ rồi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
(a) y2 = x + 1 và y2 = 1 − x.
(b) y = x − 1 và y2 = 2x + 6. (c) y = x và 4x + y2 = 12.
(d) y = 2x2, y = 1 x2 và y = 3 4 − x.
5. Tính thể tích vật thể sinh ra khi cho phần hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(a) y = e−x2, y = 0, x = 0 và x = 1, quay quanh Oy.
(b) y = x và y = x3, quay quanh Ox.
(c) y = 4x − x2 và y = x, quay quanh Oy.
(d) x = 4y2 − y3 và x = 0, quay quanh Ox.
6. Tính độ dài của các đường cong (xem sách Stewart mục 8.1 trang 530). (a) y = 1 x2 với 2 −1 ≤ x ≤ 1.
(b) y = ln(2 − x2) với 0 ≤ x ≤ 1. 2
(c) y = 1 − e−x với 0 ≤ x ≤ 2.
(d) y2 = x từ điểm (0, 0) đến điểm (1, 1).
7. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau R (a) 0 xe−x dx. −∞ R (b) +∞ x5e−xdx. 0 R (c) ∞ 1 dx. 0 1+x3 R (d) ∞ 1 dx. 0 x4+4 R (e) ∞ cos x dx. 0 R (f) ∞ 1 dx. −∞ (1+x2)2 R (g) b 1 √ dx
(Đặt x = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ). a (x−a)(b−x) R (h) ∞ xe−x2 dx. −∞ R (i) ∞ ex dx. 0 e2x+3 R (j) ∞ x arctan x dx. 0 (1+x2)2 R (k) ∞ x2 dx. −∞ 9+x6 R (l) e x2 ln x dx. 0
8. Dùng các định lí so sánh để xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau 3
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 R (a) ∞ ln(1+x) dx.
(Để ý rằng 0 < ln(1 + x) > 1 với x > e 1 x − 1). R (b) ∞ e−x2 dx (Để ý rằng 0 < e−x2 0 ≤ e−x với x ≥ 1). R (c) ∞(1 ) dx. (Để ý rằng 1 = 2 sin2 1 khi x 1 − cos 2x − cos 2x x ∼ 2 x2 → +∞). R (d) ∞ x2 dx. 0 x4−x2+1 R (e) ∞ e−x2 dx. 1 x2 R (f) ∞ sin 2x dx. 1 (1+x2)2 R √x (g) 1 dx. (Để ý rằng esin x 0
− 1 ∼ sin x ∼ x khi x → 0.) esin x − 1 R (h) 1 1 dx. 0 tan x−1 R x3 + 8 (i) 2 dx. 1 √ (1 − x2) 3 − 2x − x2 R (j) +∞ 1 dx 1 x 3 √x2+1 R
9. Chứng minh rằng ∞ ln(x) dx hội tụ. Từ đó chứng minh rằng 1 1+x2 Z ∞ ln(x) dx = 0. 0 1 + x2
10. Tìm tất cả các giá trị của p để mỗi tích phân sau hội tụ Z π/3 1 − sinx dx. 0 xp
11. Tìm tất cả các giá trị p > 0 để tích phân sau hội tụ Z ∞ ln(x + 1) dx. 0 xp R R
12. Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∞ sin x dx và ∞ cos x dx là bán hội 0 x 0 √x tụ.
13. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ e−x − 1 √ dx. 0 x3
14. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ 1 √ dx. 0 x ln(1 + ex) 4
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388
15. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ 1 √ dx. 2 ln(x) · x2 + 1
16. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ 1 √ dx. 2 x x2 − 4
17. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ 1 √ dx. 0 x3 + x
18. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ x − sinx dx. 0 x7/2
19. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ logx + sinx √ dx. 1 x
20. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng ∞ Z dx . x sin x 0
21. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ sinx dx 2 x(ln x)2
22. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ xdx . 2 x3 − 2 sin(x)
23. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z √ ∞ x sin(x) dx. 0 1 + x2 5
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388
24. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng Z ∞ 3 sin2( )dx. 1 x
25. Với giá trị nào của p thì tích phân suy rộng sau đây hội tụ. Z +∞ ln(1 + xp) √ 1 x2 − 1 trong đó p ∈ R. 6
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com)