Bài tập Xác suất thống kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài 1.39 Giải:
a, Gọi A: “Lấy bi đỏ ở hộp 1, bi trắng ở hộp 2”
B: “Lấy bi đỏ ở hộp 1, bi đỏ ở hộp 2”
C: “Lấy bi trắng ở hộp 1, bi đỏ ở hộp 2”
D: “Lấy bi trắng ở hộp 1, bi trắng ở hộp 2” 1 3 3 P(A)= 3 x = P(B)= 3 x 1 = 5 2 10 5 2 10 1 1 2 1 1 P(C)= 2 x = P(D)= x = 5 2 5 5 2 5 1 1 1 3
Xác suất để lấy ra bi đỏ: P= P(A) x + P(B) x 1 + P(C) x = 3 x + x 1 + 2 2 10 2 10 1 1 x = 0,55 5 2
Xác suất để lúc đầu lấy ra viên bị đỏ từ hộp thứ nhất là: 3 1 x + 3 x 1 9 P = 10 2 10 = 11 0,55 Bài 1.40
A : “Lấy bi đỏ từ hộp I sang hộp II”
A : “Lấy bi xanh từ hộp I sang hộp II”
B: “Lấy bi đỏ từ hộp II sang hộp I”
B : “Lấy bi xanh từ hộp II sang hộp I”
H: “Viên rút ra sau cùng màu đỏ”
Hệ đầy đủ: { AB , A B , A B , A B }
P( AB ¿ = P( A ) x P( B | A ) = 1 P( A B ) = P( A x 2 4 8 ) x P( B | A ) = 3 x = 3 7 21 3 1 = 7 7
P( A B ¿ = P( A ) x P( B | A ) = 1
P( A B ¿ = P( A ) x P( B | A ) = x 2 3 2 3 x = 3 7 7 4 4 = 7 21 4 2 5 P( H | AB ) = = P( H | A B ) = 6 3 6 3 1 4 2 P( H | A B ) = = P( H | A B ¿ = = 6 2 6 3
P(H) = P( AB ¿ x P( H | AB ) + P( A B ) x P( H | A B ) + P( A B ¿ x P( H | A B
) + P( A B ¿ x P( H | A B ¿ 8 2 1 5 2 1 4 2 9 = x + x + x + x = 21 3 7 6 7 2 21 3 14 8 2 1 x + 2 x 21 3 7 2
b, P= P ( AB ) x P( H|AB )+P( A B)x P( H∨ A B) = = 0,6172 P ( H) 9 14 Bài 1.41
H: “Chai rượu được chọn”
P( A )= P( B )= 0,5 P( H | A ) = C3 3 2 5 x 0,8 x 0,2 = 0,2048 P( H | B ) = C2 2 3 5 x 0,8 x 0,2 = 0,0512
P( H ) = P( A ) x P( H | A ) + P( B ) x P( H | B ) = 0,5x 0,2048 + 0,5x0,0512 = 0,128
P ( A) x P( H ∨ A) P( A∨H ) = = 0,8 P( H ) Bài 1.42 Lô 1: 7 chính 3 phế Lô 2: 6 chính 2 phế - 3 trường hợp :
+) TH1 : Lô 1 : C2 /C2 Lô 2 : 7 10
5 chính 3 phế Chuyển 2 chính 8 chính 2 phế
+) TH2 : Lô 1 : C2 /C2 Lô 2 : 3 10
7 chính 1 phế Chuyển 2 phế 6 chính 4 phế +) TH3 : Lô 1 : 2 7.3/ C Lô 2 : 10
6 chính 2 phế Chuyển 1 chính 1 phế 7 chính 3 phế
- Có biến cố A : Lấy ra từ lô I
Biến cố H : Lấy ra 2 chính phẩm từ lô 2 P( AH )
- Xác suất cần tìm P(A/H) = P ( H ) C2 C2 C 2 C 2 7.3 C2 Có P(H) = 7 . 8 + 3 . 6 + . 7 = 358/675 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C 2 10 10 10 10 10 10 C2 C2 P(AH) = 7 . 8 = 196/675 C 2 C 2 10 10
Xác suất cần tìm 196/358 = 0.547 Bài 1.43
Gọi Ai “ trong 5 sp lấy ra có i chính phẩm” C2 C 2 .C1 P(A 3 2 8 1)  .  1 C 2 C 3 225 10 10 1 1 2 1 2 2 1 C .C C .C C C .C P(A 7 3 2 8 3 8 2 2) .  .  14 2 3 2 3 C C C C 225 10 10 10 10 C2 C 2 .C1 C 1 .C1 C 2 .C1 C 2 C3 P(A 7 2 8 7 3 8 2 3 8 3) .  .  .  7 C 2 C 3 C 2 C3 C 2 C 3 25 10 10 10 10 10 10 C2 C 2 .C1 C 1 .C1 C3 P(A 7 8 2 7 3 8 4) .  .  98 C 2 C 3 C2 C 3 225 10 10 10 10 2 3 C C P(A 7 8 5) .  49 2 3 C C 225 10 10
H : biến cố không lấy được chính phẩm P(H|A1) 45 P(H|A2) 35 P(H|A3) 25 P(H|A4) 15 P(H|A5)0
P(H) 1 . 4  14 . 3  7 . 2  98 . 1  49 .0  225 5 225 5 25 5 225 5 225 6 25 P(H’)1P(H)0.76 Bài 1.44
A: sản phẩm tốt cả 2 lần được lấy từ kiện hàng 1
B: lần 2 lấy được sản phẩm tốt từ kiện hàng 1 X
: chọn được kiện hàng thứ i i
H: chọn được sản phẩm tốt 1 Ta có: P( X )=P( X )=P( X ) = 1 2 3 3 18 P(H/ X )= = 9 1 20 10 16 P(H/ X )= = 4 2 20 5 12 P(H/ X )= =3 3 20 5
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: 1 P(H)=P( X ).P(H/ X )+P( X ).P(H/ X )+P( X ).P(H/ X ) = ( 9 +4+3)=23 1 1 2 2 3 3 3 10 5 5 30 Theo công thức Bayes: 1 9
P ( X ). P( H ) 1 . X P( 3 10 X /H) = 1 = 9 1 = P( H ) 23 23 30 18 P(B) = = 9 18+ 12+16 23 9 9 P(A) = P(B).P( X /H) = . =0,153 1 23 23 Bài 1.45.
a) Gọi A là “người nghiện thuốc”
B là “người không nghiện thuốc”  P(A) = 0.3 P(B)=0.7
H là “ Người viêm họng”
 P (H) = P(A).P(H|A) + P(B).P(H|B) =0.3*0.6 + 0.7*0.4=0.46
Xác suất người đó nghiện thuốc
P ( A) . P( H∨ A) P(A|H)= P ( H ) = 0.391
b) Người không bị viêm họng ´H
P( ´H )= 1 – P(H) = 0.54  Người nghiện thuốc
P ( A) . P ( ´H|A) P(A| ´H ¿ = P( ´ H ) =0.22 Bài 1.46
Gọi H: “ Công nhân đó đi về bằng lối cầu biết rằng ông ta về nhà sau 6h tối”.
K: “ Công nhân về nhà sau 6h tối”
A: “ Công nhân đi về bằng cách đi lối đường ngầm”
=> P(A) = 1/3; P(K\A) = 1 - 0,75 = 0,25
B: “ Công nhân đi về bằng cách đi qua cầu”
=> P(B) = 1 - 1/3 = 2/3; P(K\B) = 1 – 0,7 =0,3
Ta có: P(K) = P(A)*P(K\A) + P(B)*P(K\B) = 1/3*0,25 + 2/3*0,3 =17/60 ¿ 2 K ) ∗0,3 3 P(H)= P(B\K) = ¿ = = 12 17 17
P (B)∗P ¿ ¿ 60
Bài tập 1.47. Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 0,8. Người ta áp dụng
phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu
khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để (a) chẩn đoán có bệnh (b) chẩn đoán đúng. Bài làm
a) Gọi A là biến cố “Người đến khám có bệnh”
Gọi B là biến cố “Chẩn đoán có bệnh”. Gọi P(B)=x
Ta có: P(A)=0,8; P(A/B)=0,9; P(A/ B )=0,5
Theo công thức XSTP: P(A)=P(B).P(A/B) + P( B ). P(A/ B )
Suy ra: 0,8=x.0,9+(1-x).0.5 => x=0,75=P(B)
Vậy xác suất để chẩn đoán có bệnh là 0,75
b) Gọi C là biến cố “Chẩn đoán đúng”
P(C)=P(BA)+P( A B )=P(B).P(A/B)+P( B ).P( A / B )=0,75.0,9+0,25.0,5=0,8
Vậy xác suất để chẩn đoán đúng là 0,8.
Một hãng hàng không cho biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi
chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho một chuyến bay mà trong đó
mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn
chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%. Bài làm
Gọi biến cố “bán được nhỏ hơn hoặc bằng 50 vé” là A;P(A)=1-P(B)-P(C)=0,8
Gọi biến cố “bán được 51 vé” là B; P(B)=0,1
Gọi biến cố “bán được 52 vé” là C; P(C)=0,1
Gọi biến cố “tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế” là X Từ công thức XSTP suy ra:
P(X)=P(A).P(X|A)+P(B).P(X|B)+P(C).P(X|C)
Mà P(X|A)=1 (vì số vé nhỏ hơn hoặc bằng 50 vé nên ai cũng có chỗ để ngồi)
P(X|B)=1-0,9551=0,93 (Trừ đi trường hợp không ai hoãn vé) P(X|C)=1-0,9552- C1 .0,9551.0,051=0,74 52
(Trừ đi trường hợp không ai hoãn vé hoặc chỉ có 1 người hoãn vé)
Suy ra P(X)=0,8.1+0,1.0,93+0,1.0,74=0,967
Vậy xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế là 0,967 Bài 1.48
AA là tín hiệu A không bị méo thành B
AB là tín hiệu B bị bóp méo thành A
H là tín hiệu A thu được P(A) = 0.84 ; P(B) = 0.16 1 5 1 P(AA|A) =1 - = ; P(AB|B) = 6 6 8
a. Áp dụng công thức đầy đủ ta có xác suất thu được tín hiệu A là: 5 1
P(H) = P(A)xP(Ai|A) + P(B)xP(AB|B) = 0.84 x + 0.16 x = 0.72 6 8
b. Áp dụng công thức Bayes ta có xác suất thu đúng tín hiệu A lúc phát là: 5
P ( A ∨ A)× P (A ) ×0.84 35 P(A A A|H) = = 6 = P ( H) 36 0.72 Bài 1.49 Gọi:
Ai: Chọn chỗ câu thứ i (i=1,2,3)
H: 3 lần câu chỉ được một con cá Theo đề bài ta có: P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,7 P(A3) = 0,8 => P(H/A 1 2 1) = C . 0,6 .0,4 = 0,288 3 => P(H/A 1 2 2) = C . 0,7 .0,3 = 0,189 3 => P(H/A 1 2 3) = C . 0,8 .0,2 = 0,096 3 Áp dụng công thức Bayes:
P ( A ) . P( H ∕ A ) P(A 1 1 1/H) = = 0,452
P ( A ). P (H ∕ A )+P ( A ) . P( H ∕ A )+P ( A ) . P( H ∕ A ) 1 1 2 2 3 3 Bài 1.50:
Gọi A là sự kiện sinh viên đó thi đạt 4 học phần ngay từ lần đầu  P 4 A = 0,8
B là sự kiện sinh viên đó thi đạt 3 học phần ngay từ lần đầu và 1 học phần thi đạt sau lần thứ 2  P 1 3 B = c .0,2.0.8 .0,8 4
C là sự kiện sinh viên đó thi đạt 2 học phần ngay từ lần đầu và 2 học phần thi đạt sau lần thứ 2  P 2 2 2 2 c = c .0,2 .0.8 .0,8 4
D là sự kiện sinh viên đó thi đạt 1 học phần ngay từ lần đầu và 3 học phần thi đạt sau lần thứ 2  P 3 3 3 D = c .0,2 .0.8.0,8 4
E là sự kiện sinh viên đó thi không đạt học phần nào ngay từ lần đầu và 4 học phần thi đạt sau lần thứ 2  P 4 E = 0,2 .0,84
Vậy P = PA + PB + PC + PD + PE = 0,849.