271 trang 3 lượt tải

Bài toán hình học trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

5

Tài liệu gồm 271 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề hình học trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7 304 tài liệu

Môn: Toán 7 2.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

VietJack

1 năm trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/271
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/31
CĐ14: PHẦN HÌNH HỌC
Dạng toán: Tính số đo góc, chứng minh góc bằng nhau, so sánh góc
Dạng toán: Tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Dạng toán: Chứng minh tam giác bằng nhau
Dạng toán: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Dạng toán: Bất đẳng thức tam giác
Dạng toán: Chứng minh song song, vuông góc
Dạng toán: Hình khối trong thực tiễn
Dạng toán: Bài toán chứng minh tổng hợp
Dạng toán: Tính số đo góc, chứng minh góc bằng nhau, so sánh góc
A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022)
Cho
//ab
và
11
2AB=
(hình vẽ bên ). Số đo
1
B
bằng
A.
30°
. B.
60
°
. C.
90°
. D.
45°
.
Lời giải
Chọn B
Vì
//ab
nên
12
AB=
(đồng vị) và
11
2AB=
Mà
12
180BB+= °
hay
mà
11
2AB=
(gt)
b
a
1
1
B
A
b
a
2
1
1
B
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/31
11 1 1
2 180 3 180 60BB B B⇒ + = °⇒ = °⇒ = °
Câu 2. (HSG 7 huyện Tam Nông, 2022 - 2023)
Cho hình vẽ
//AB DE
. Số đo
BCD
bằng
A.
75°
. B.
85°
. C.
45°
. D.
65°
.
Lời giải
Chọn A
Kẻ đường thẳng qua
C
và song song với
AB
.
Mà
//AB DE
nên đường thẳng đó cũng song song với
DE
.
Do đó
1
180C ABC+=°
và
2
180ECCD =+ °
(hai góc trong cùng phía)
12
60 , 45 180 60 45 75=DC C BC
⇒ = ° = °⇒ °− °− °= °
Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022; huyện Tân An 2017 - 2018; huyện Lâm Thao 2016
- 2017)
Cho
50
xOy = °
, điểm
A
nằm trên
Oy
. Qua
A
vẽ tia
Am
. Để
Am
song song với
Ox
thì số
đo của
OAm
là:
A.
50°
. B.
130°
. C.
50°
và
130°
. D.
80°
.
Lời giải
Chọn C
TH1: Vì
// Am Ox
nên
180AOx OAm+=°
(hai góc trong cùng phía)
Thay
50AOx = °
, ta có :
50 180OAm°+ = °
135
°
120
°
A
B
C
D
E
2
1
135
°
120
°
A
B
C
D
E
TH2
TH1
x
O
y
A
m
50
°
50
°
m
A
y
O
x
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/31
180 50 130
OAm
⇒ = °− °= °
TH2: Vì
// Am Ox
nên
AOx OAm=
(hai góc so le trong)
mà
50AOx = °
50OAm⇒=°
Câu 4. (HSG 7 huyện Thảo Lâm, 2022 - 2023)
Cho
//ab
như hình vẽ bên. Số đo góc
x
bằng:
A.
150 .
°
B.
90 .°
C.
60 .°
D.
30 .°
Lời giải
Chọn C
Kẻ
// //nab
Vì
//na⇒
1
OA=
( 2 góc so le trong)
1
30O⇒=°
2
30 90 30 60
OO⇒ = − °= °− °= °
Vì
2
//nb x O⇒=
(2 góc so le trong)
2
60xO
⇒= = °
Câu 5. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 – 2022)
Cho
ABC∆
có
40 ;A
= °
20BC−=°
trên tia đối của
AC
lấy điểm
E
sao cho
.AE AB
=
Số
đo
CBE
là:
A.
80°
. B.
100°
. C.
90°
. D.
120°
.
Lời giải
Chọn B
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/31
Xét tam giác
ABC
có
180
ABC++= °
(định lí tồng ba góc trong tam giác ) và
40 ; 20A BC=°−= °
Suy ra
140BC+= °
nên
140 20
80 ; 60
2
BC
°+ °
= =°=
Xét
AEB
∆
cân tại
A
(do
AE AB=
(gt) nên
AEB ABE=
(tính chất của tam giác cân) (1)
Lại có:
BAC
là góc ngoài tam giác
AEB
(2)BAC AEB ABE= +
Từ (1) và (2) suy ra
20
2
BAC
ABE = = °
Do đó
CBE CBA ABE= +
80 20 100= °+ °= °
Câu 6. (HSG 7 huyện Thảo Lâm, 2022 - 2023)
Cho
ABC∆
vuông tại
A
. Trên cạnh
BC
lấy điểm
2
điểm
D
và
E
sao cho
;BD BA=
CE CA=
. Khi đó
DAE
có số đo là.
A.
20°
. B.
30°
. C.
45°
. D.
60
°
.
Lời giải
Chọn C
Xét
ACE∆
cân tại
C
CAE CEA⇒=
BAD∆
cân tại B
BAD BDA⇒=
BAD CAE AED ADE⇒+=+
90 180DAE DAE⇒ °+ = °−
2 180 90 90DAE⇒ = °− °= °
90
45
2
DAE
°
⇒==°
Vậy
45DAE = °
40
°
E
B
A
C
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/31
Câu 7. (HSG 7 huyện Sơn Động, 2022 - 2023)
Cho tam giác
ABC
có
80 , 36
BA
=°=°
. Tia phân giác
BAC
cắt
BC
tại
D
. Số đo
ADC
là
A.
90
°
. B.
88
°
. C.
82°
. D.
98°
.
Lời giải
Chọn D
Vì
AD
là phân giác của
BAC
nên
11
36 18
22
BAD BAC= = ⋅ °= °
.
Vì
ADC
là góc ngoài của
ABD∆
nên
80 18 98ADC B BAD= + = °+ °= °
.
Câu 8. (HSG 7 huyện Tam Nông, 2022 - 2023)
Cho tam giác
ABC
. Hai tia phân giác của
B
và
C
cắt nhau tại
I
. Nếu
120
BIC
= °
thì số đo
BAC
bằng.
A.
120°
. B.
100°
. C.
90
°
. D.
60°
.
Lời giải
Chọn D
Trong tam giác
BIC
có
180 120 60IBC ICB+ = °− °= °
2 2 2.60IBC ICB
⇒+=°
Mà
2
ABC IBC=
và
2ACB ICB
=
( )
120 180 60ABC ACB BAC ABC ACB⇒ + = °⇒ = °− + = °
Câu 9. (HSG 7 Tam Nông, Phú Thọ 2021-2022)
Cho hình vẽ. Biết hai tia
,Ax By
vuông góc với
AB
. Trên hai tia
,Ax By
và đoạn
AB
lần
lượt lấy các điểm
,,
DEC
sao cho
50DCE = °
.
120
°
I
E
B
C
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 6/31
Khi đó
A.
90
ADC CEB+=°
. B.
50ADC CEB
+=°
.
C.
100
ADC CEB+=°
. D.
80
ADC CEB
+=°
.
Lời giải
Chọn B
Xét
ACD∆
vuông tại
A
có
90 ADC ACD+=°
(hai góc nhọn phụ nhau)
Xét
BCE∆
vuông tại
B
có
90 CEB BCE+=°
(hai góc nhọn phụ nhau)
180 ADC ACD BEC BCE⇒ +++=°
( )
( )
180 ADC CEB ACD BCE⇒ ++ + =°
(1)
Ta có
180
ACD DCE BCE++=°
50 180 ACD BCE⇒ + °+ = °
130 ACD BCE⇒ +=°
(2)
Từ (1) và (2)
( )
130 180 50ADC CEB ADC CEB⇒ + + °= °⇒ + = °
Câu 10. (HSG 7 huyện Tam Nông, Phú Thọ 2021 - 2022)
Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
20
A = °
. Vẽ tam giác đều
DBC
(
D
nằm trong tam giác
ABC
).
Tia phân giác
ABD
cắt
AC
tại
M
. Số đo góc
BDM
là
A.
140°
. B.
150°
. C.
160°
. D.
170°
.
Lời giải
Chọn C
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 7/31
ABC∆
cân tại
A
,
20A = °
suy ra
180 180 20
80
22
BAC
ABC BCA
°− °− °
= = = = °
Mà
DBC∆
đều suy ra
60DBC BCD
= = °
80 60 20ABD DCA⇒ = = °− °= °
Có
BM
là tia phân giác của
ABD
suy ra
20
10
2
ABM MBD
°
= = = °
+) Xét
ABD∆
và
ACD∆
có
BD DC=
(cạnh
DBC∆
đều)
Cạnh
DA
chung
AB AC=
(vì tam giác
ABC
cân tại
A
)
Suy ra
ABD ACD∆=∆
(c.c.c)
BDA CDA
⇒=
,
BAD CAD=
(hai góc tương ứng)
+)
BAD CAD=
mà
20BAC = °
20
10
2
BAD CAD
°
⇒===°
+) có
360BDA CDA BDC
++ =°
60 360 300
BDA CDA BDA CDA⇒++°=°⇒+=°
mà
BDA CDA=
suy ra
150BDA CDA= = °
(1)
+) Xét
AMB∆
và
BAD∆
có
BAM ABD
=
(
20= °
)
Cạnh
AB
chung
ABM BAD=
(
10= °
)
Suy ra
AMB BAD∆=∆
(g.c.g)
AM DB⇒=
;
MB AD=
(hai cạnh tương ứng)
+) Xét
DMB∆
và
MDA∆
có
MB AD
=
DBM MAD=
(
10= °
)
DB AM=
Suy ra
DMB MDA∆=∆
(g.c.g)
ADM BMD⇒=
(hai góc tương ứng) (2)
+) Xét
DMB∆
có
180BDM MBD BMD++=°
10 180BDA ADM BMD⇒ + + °+ = °
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
150 10 180 10ADM ADM ADM⇒ °+ + °+ = °⇒ = °
150 10 160BDM BDA ADM⇒ = + = °+ °= °
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 8/31
Câu 11. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn 2018 – 2019)
Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
20A = °
. Trên cạnh
AB
lấy điểm
D
sao cho
.AD BC
=
Số đo
của góc
BDC
là:
A.
50°
. B.
70°
. C.
30°
. D.
80°
.
Lời giải
Chọn C
Vẽ tam giác đều
EBC
. Ta có:
BC CE EB= =
Mà
AD BC=
(gt)
Nên
AD BE=
.
Chứng minh
(..)AEB AEC c c c DAB DAC∆=∆ ⇒ =
, do đó
20
10
2
EAB
°
= = °
ABC∆
cân tại A, mà
20 ( )A gt= °
( )
180 20 : 2 80ABC⇒ = °− ° = °
EBC∆
đều nên
60EBC = °
, tia
BE
nằm giữa hai tia
,BA BC
80 60 20ABE⇒ = °− °= °
Xét
ABE
∆
và
BAD∆
có
AB
cạnh chung;
20 ;ABE BAD BE AD= =°=
Vậy
( )
..ABE BAD c g g∆=∆
10BAE ABD⇒==°
Mà
BDC BAD ABD= +
(góc ngoài của
ABD∆
)
Nên
20 10 30BDC = °+ °= °
.
Câu 12. (HSG 7 huyện Tân An 2017 - 2018)
Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
20A = °
. Trên cạnh
AB
lấy điểm
D
sao cho
BD BC=
. Số
đo của góc
BDC
là:
A.
50°
B.
70°
C.
30°
D.
80°
Lời giải
Chọn A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 9/31
+) Xét
ABC∆
có:
180
BAC ABC ACB++=°
(tổng ba góc trong một tam giác)
20 180ABC ACB°+ + = °
160ABC ACB⇒+=°
mà
ABC ACB=
(
ABC∆
cân tại
A
)
80ABC ACB⇒==°
+) Ta có:
AD BC=
(gt)
BDC⇒∆
cân tại
B
.
+) Xét
BDC∆
có:
180DBC BDC BCD++=°
(tổng ba góc trong một tam giác)
80 180BDC BCD°+ + = °
100BDC BCD+=°
mà
BDC BCD=
(
BDC∆
cân tại
B
)
50BDC BCD⇒==°
Câu 13. (HSG 7 Tam Nông, Phú Thọ 2021-2022)
Cho tam giác
ABC
có
22A BC= +
. Các phân giác trong hai góc
B
và
C
cắt nhau tại
I
. Số
đo góc
BIC
là
A.
150°
. B.
155°
. C.
160°
. D.
120°
.
Lời giải
Chọn A
Xét
ABC∆
có
180 ABC++= °
(ĐL tổng ba góc của một tam giác)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 10/31
( )
180 A BC⇒ = °− +
Ta có
( )
( )
180 2 60 BC BC BC°−+= +⇒+=°
Các phân giác trong hai góc
B
và
C
cắt nhau tại
I
nên ta có
;
22
BC
IBC ICB= =
(t/c đường
phân giác của một góc)
60
30
22
BC
IBC ICB
+°
⇒+= ==°
Xét
IBC
∆
có
180 IBC ICB BIC++=°
(ĐL tổng ba góc của một tam giác)
30 180 150 BIC BIC⇒ °+ = ° ⇒ = °
Câu 14. (HSG 7 trường THCS Phan Đình Phùng 2017 - 2018)
Cho tam giác
ABC
vuông tại
,B
6AB =
,
30A = °
. Phân giác góc
C
cắt
AB
tại
D
. Khi đó
độ dài đoạn thẳng
BD
và
AD
lần lượt là:
A.
2; 4
B.
3; 3
C.
4; 2
D.
1; 5
Lời giải
Chọn A
* Chứng minh nhận xét: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng
30°
thì cạnh góc
vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Xét
ABC
, ta có:
90B
= °
,
30
A = °
Trên cạnh
AC
lấy điểm
M
sao cho
CM CB=
Ta có:
BCM∆
cân tại
C
.
Mà
90CA+=°
(tính chất tam giác vuông)
Suy ra:
90 90 30 60CA= °− = °− °= °
Suy ra:
BCM∆
đều
Suy ra:
BC CM BM= =
và
1
60B = °
Ta có:
12
90AB B BC+= =°
21
90 90 60 30BB⇒ = °− = °− °= °
Trong
BAM
, ta có:
2
30B A= = °
Suy ra:
BAM
cân tại
M
(vì có
2
góc kề cạnh
AB
bằng nhau)
Hay
AM BM=
2
1
M
C
A
B
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 11/31
Suy ra:
BC CM AM= =
mà
CM CMA A+=
1
BC
2
AC⇒=
.
Vậy: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng
30°
thì cạnh góc vuông đối diện với
nó bằng nửa cạnh huyền.
Áp dụng vào bài tập
Ta có:
BCD DCA=
60
30
22
BCD °
= = = °
( Vì
CD
là tia phân giác của
BCD
)
Xét
DAC
có:
30A DCA= = °
DAC⇒∆
cân tại
D
DC DA⇒=
Xét
BDC
vuông tại
,B
có
30BCD = °
1
BD
2
DC⇒=
3
22
DC DC
BD DA DC AB⇒+= + = =
32DC AB⇒=
2 2.6
4
33
AB
DC⇒= ==
4DC DA⇒==
11
BD .4 2
22
DC⇒= ==
B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Nghi Xuân 2022 - 2023)
Cho tam giác
ABC
có
60BAC = °
. Tia phân giác của góc
B
cắt
AC
ở
D
. Tia phân giác của
góc
C
cắt
AB
ở
E
;
BD
và
CE
cắt nhau tại
M
. Tính
EMD
?
Lời giải
Xét
ABC∆
có:
180 120A ABC ACB ABC ACB++=°⇒+=°
2
1
M
30
°
D
C
B
A
2
1
2
1
M
E
D
C
A
B
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 12/31
21
120 : 2 60BC⇒ += °=°
Xét
BMC∆
có
21
180 180 60 120
B C BMD BMD
+ + = °⇒ = °− °= °
120EMD BMD⇒==°
(hai góc đối đỉnh)
Vậy
120EDM = °
Câu 2. (HSG 7 huyện Hoằng Hóa 2017 - 2018)
Cho tam giác đều
ABC
.
M
là một điểm nằm trong tam giác sao cho
: : 3:4:5MA MB MC
=
.
Tính số đo góc
AMB
.
Lời giải
Do
: : 3:4:5
MA MB MC =
Đặt
345
MA MB MC
a= = =
3 , 4 , 5MA a MB a MC a⇒= = =
Trên nửa mặt phẳng bờ
AC
dựng tam giác đều
AMN
.
3AM AN MN a
⇒===
và
60
AMN
= °
Xét
ABN
∆
và
ACM∆
có:
AB AC=
(gt)
( )
3AN AM a
= =
( )
13 2
60AA A= = °−
ABN ACM
⇒∆ =∆
(c – g – c)
5BN CN a⇒==
Xét
BMN∆
có:
( )
2
22
5 25BN a a= =
( ) ( )
22
22 2
4 3 25BM MN a a a+= +=
2 22
BN BM MN⇒= +
BMN⇒∆
vuông tại
M
(định lý Pytago đảo)
90NMB⇒=°
90 60 150AMB AMN NMB⇒ = + = °+ °= °
Câu 3. (HSG 7 huyện Như Xuân, 2018 - 2019)
3
2
1
M
N
C
B
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 13/31
Cho tam giác
ABC
có
80BAC BCA= = °
. Ở miền trong của tam giác vẽ hai tia
Ax
và
Cy
cắt
,BC BA
lần lượt tại
D
và E. Cho biết
60 ,CAD = °
50ECA = °
. Tính số đo
ADE
.
Lời giải
Kẻ tia
CF
sao cho
(
)
60 ,ACF F AB=°∈
Tia
CF
cắt
AD
tại
O
;AOC FOD
⇒∆ ∆
đều
;OA OC AC OF OD FD
⇒== = =
.
AEC∆
có:
80 , 50EAC ACE=°=°
50CEA⇒=°
AEC⇒∆
cân tại
A
Có
20EAO = °
80AEO AOE⇒==°
40EOF⇒=°
Suy ra
180 80 60 40AFC EOF= °− °− °= °=
EOF⇒∆
cân tại
E
EO EF
⇒=
(..)FDE ODE c c c⇒∆ =∆
11
60 30
22
ODE FDE FDA
⇒ = = = °= °
Vậy
30ADE = °
.
Câu 4. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023; huyện Phù Ninh 2018 - 2019; huyện Nam Sách
2017 – 2018; trường Tân Lạc; huyện Ngọc Lặc 2015 - 2016)
Cho tam giác
ABC
có
45B = °
,
120C = °
. Trên tia đối của tia
CB
lấy điểm
D
sao cho
2.CD CB=
Tính
ADB
?
Lời giải
Trên
CA
lấy điểm
E
sao cho
AE BE=
EBA⇒∆
cân tại
E
D
E
F
B
A
C
O
3
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
E
D
F
C
B
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 14/31
11
15BA⇒==°
2
30
B⇒=°
.
Ta có
112
30
E AB=+=°
(tính chất góc ngoài của tam giác)
Do đó
CBE∆
cân tại
C
CB CE⇒=
.
Gọi
F
là trung điểm
CD
CB CE CF FD⇒===
.
Tam giác
CEF
cân tại
C
có
21
180 60
CC= °− = °
nên
CEF
là tam giác đều.
CE CF FD EF⇒===
EDF⇒∆
cân tại
F
.
Suy ra
2
13
30
2
F
DE= = = °
Xét tam giác
CDE
ta có:
23
60 30 90CED E E= + = °+ °= °
( )
1
Ta có:
11
DB=
EBD⇒∆
cân tại
E
EB ED⇒=
( )
EA ED EB⇒= =
( )
2
Từ
( )
1
và
(
)
2
suy ra
EDA∆
vuông cân tại
E
2
45D⇒=°
Vậy
12
30 45 75ADB D D= + = °+ °= °
.
Câu 5. (HSG 7 huyện Đông Hưng; huyện Vũ Thư 2022 - 2023)
Cho tam giác
ABC
có
15 , 45BAC ABC
=°=°
, trên tia đối của tia
CB
lấy điểm
D
sao cho
2CD CB=
. Tính số đo
ADC
.
Lời giải
Kẻ
DE CA
⊥
.
Xét
ABC∆
, có
180 45 15 120ACB = °− °− °= °
60ACD⇒=°
hay
60ECD = °
.
Xét
CED∆
có
90 , 60CED ECD= ° = °⇒
30EDC = °
nên
CED∆
là nửa tam giác đều.
Trên tia đối của tia
EC
lấy điểm
F
sao cho
EC EF
=
.
DCF∆
có đường cao
DE
đồng thời là trung tuyến và có
60ECD = °
nên là tam giác đều.
1
2
CE CD CE CB⇒= ⇒=
EBC⇒∆
cân tại
C
30
CBE CEB EDC⇒ = = °=
EBD⇒∆
cân tại
E
.
15EBA BEA⇒ = °⇒∆
cân tại
E
EA EB ED⇒==
vuông cânAED⇒∆
45ADE⇒=°
.
Vậy
75ADB ADE EDB=+=°
.
Câu 6. (HSG 7 huyện Kinh Môn 2022 - 2023; trường Ngô Gia Tự 2017 - 2018; trường Nguyễn
Du, huyện Nga Sơn 2016 - 2017)
15
°
45
°
30
°
60
°
F
E
D
C
B
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 15/31
Cho tam giác
ABC
có
AB AC=
,
100
A
= °
. Điểm
M
nằm trong tam giác
ABC
sao cho
10MBC = °
,
20MCB = °
. Tính số đo góc
AMB
.
Lời giải
+) Ta có tam giác
ABC
cân tại
A
và
100A
= °
180 100
40
2
ABC ACB
°− °
⇒== =°
.
Trên tia
CA
lấy điểm
E
sao cho
CE CB=
BCE⇒∆
cân tại
C
70BEC EBC⇒==°
.
+) Xét
MCB
∆
và
MCE∆
có:
MC
chung
( )
20MCB MCE= = °
CB CE=
(cách lấy điểm
E
)
Suy ra
MCB MCE
∆=∆
(c – g – c)
10MBC MEC⇒==°
70 10 60
MBE MEB⇒ = = °− °= °
MEB⇒∆
đều
BM BE⇒=
.
+) Ta có
40 10 30MBA CBA CBM
= − = °− °= °
Mặt khác
60 30 30
ABE MBE MBA= − = °− °= °
Suy ra
( )
30ABE ABM= = °
+) Xét
MAB∆
và
EAB∆
có:
AB
chung
( )
30MBA EBA= = °
BM BE=
(cmt)
Suy ra
MAB EAB∆=∆
(c – g – c)
70AMB AEB⇒==°
.
Câu 7. (HSG 7 huyện Thạch Thành 2017- 2018)
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC
các tam giác đều
ABD
và
ACE
. Gọi
I
là giao điểm của
BE
và
CD
. Chứng minh rằng
60EIC = °
và
IA
là tia phân
giác của
DIE
.
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 16/31
Ta có:
1
2
90 60 90 150
90 60 90 150
DAC A
BAE A
= + °= °+ °= °
= + °= °+ °= °
DAC BAE⇒=
Xét
DAC∆
và
BAE∆
có
DA BA=
(gt)
DAC BAE=
(cmt)
AC AE=
(gt)
(..)DAC BAE c g c⇒∆ =∆
BE CD⇒=
(hai cạnh tương ứng)
Ta có :
31 2
360A A BAC A++ + = °
3
60 90 60 360A⇔ + °+ °+ °= °
3
150A DAC⇔ = °=
Xét
DAE∆
và
BAE∆
có
DA BA=
(gt)
3
A DAC=
(cmt)
AE
chung
(..)DAE BAE c g c⇒∆ =∆
DE BE⇒=
Vậy
BDE∆
cân tại
Ta có: (cmt)
(hai góc tương ứng)
Lại có: (tổng 3 góc trong
2
2
2
1
3
2
1
2
1
I
E
D
C
B
A
E
DAC BAE∆=∆
11
EC⇒=
12
180I E ICE++ = °
)ICE∆
( )
( )
1 1 12
180I AEC E C C⇔+ − + + = °
1 11
60 60 180I EC
⇔+°−++°= °
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 17/31
Vì (cmt) (hai góc tương ứng)
là tia phân giác của
Vì (hai góc tương ứng)
là tia phân giác của
Từ và
( )
2
A⇒
là giao điểm của 2 tia phân giác trong
DIE∆
IA⇒
là đường phân giác thứ 3 trong
DIE∆
Vậy
IA
là tia phân giác của
DIE
.
Câu 8. (HSG 7 Huyện 2017 - 2018)
Cho tam giác
ABC
,
M
là trung điểm của
BC
. Trên tia đối của tia
MA
lấy điểm
E
sao cho
.ME MA=
Gọi I là một điểm trên
AC
,
K
là một điểm trên
EB
sao cho
AI EK=
. Từ
E
kẻ
( )
.EH BC H BC⊥∈
Biết
50HBE = °
;
25MEB = °
. Tính
HEM
và
BME
.
Lời giải
Xét
AMC∆
và
EMB∆
có:
AM EM=
(gt)
AMC EMB=
(đối đỉnh)
BM MC=
(gt)
Nên
(..)AMC EMB c g c∆=∆
AC EB⇒=
Vì
AMC EMB MAC MEB∆=∆⇒ =
, 2 góc ở vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng
,AC EB
cắt đường thẳng
AE
)
//AC BE⇒
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có:
AM EM=
(gt)
( )
MAI MEK AMC EMB= ∆=∆
AI EK=
(gt)
1
120 180I
⇔ + °= °
( )
11
EC=
1
60I⇔=°
DAE BAE∆=∆
12
EE
⇒=
EA⇒
DEI
( )
1
DAC BAE
DAE BAE
∆=∆
∆=∆
12
DAC DAE D D⇒∆ =∆ ⇒ =
DA⇒
EDC
( )
2
( )
1
K
H
M
A
B
C
E
I
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 18/31
(..)AMI EMK c g c⇒∆ =∆
AMI EMK⇒=
Mà
180AMI IME
+=°
(Kề bù)
180EMK IME⇒ +=°
⇒
ba điểm
,,IMK
thẳng hàng.
Trong tam giác vuông
BHE
(
)
90
H = °
có
50HBE
= °
40HEB⇒=°
HEM HEB MEB⇒=−
40 25 15= °− °= °
BME
là góc ngoài tại đỉnh
M
của
HEM∆
nên
15 90 105BME HEM MHE= + = °+ °= °
(định lý góc ngoài của tam giác)
Câu 9. (HSG 7 trường THCS Hiệp Thạnh 2016 - 2017)
Cho tam giác
ABC
có
0
120 .A =
Các đường phân giác
AD
và
,BE
tính số đo của góc
BED
Lời giải
Gọi
Ax
là tia đối của tia
AB
ta có:
0
60BAD DAC
= =
Xét
ABD∆
có
AE
là tia phân giác góc ngoài của đỉnh
A
;
BE
là phân giác của góc
B
chúng
cắt nhau tại
E
nên
DE
là phân giác góc ngoài của
,D
Xét
BED∆
có
0
12
30
22
ADC ABC BAD
BED D B
−
=−= = =
Câu 10. (HSG 7 huyện Đức Thọ , 2022 - 2023)
Tam giác
ABC
có
x
00
40 ; 30A BC
= −=
. Trên tia đối của tia
AC
lấy điểm
E
sao cho
AE AB=
. Tính số đo góc
CBE
.
Lời giải
Ta có:
180ABC
++= °
(tổng ba góc của tam giác)
180 180 40 140BC A⇒ + = °− = °− °= °
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 19/31
Mà
- 30 85 , 55BC B C
= °⇒ = ° = °
Có:
180
BAE BAC
+=°
(2 góc kề bù)
180 - 180 - 40 140BAE BAC
⇒ = ° = ° °= °
Xét
ΔBAE
có:
AE = AB BAE
⇒∆
cân tại
E
180 - 180 -140
20
22
BAE
ABE AEB
° °°
⇒== = =°
Vậy
85 20 105CBE ABC ABE= + = °+ °= °
.
Câu 11. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ năm 2021 - 2022)
Cho
ABC∆
có độ dài ba cạnh là
,BC a=
,AC b
=
AB c=
thỏa mãn:
22 2
5ab c+>
.
Chứng minh rằng:
60C <°
Lời giải
Trong
ABC∆
: Giả sử
22
0ca c a≥>⇒ ≥
Mà
22 2 22 2 2 2
5 5 42ab c ab a b a b a+> ⇒+> ⇒> ⇒>
( )
1
Vì
2 2 22 22
c a cb ab≥⇒+≥+
mà
22 2
5ab c+>
22 2 2 2
5 42cbcbcbc
⇒ + > ⇒ ≥ ⇒>
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
2 2a 2b c b ac⇒ > + ⇒>+
(vô lý vì
,,abc
là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác).
Vậy
ca<
Lập luận tương tự có
cb<
Suy ra
c
là cạnh ngắn nhất
C
⇒
nhỏ nhất
3 180
CA
C ABC
CB
<
⇒ ⇒ <++= °
<
3 180 60CC⇒ < °⇒ < °
Vậy
60
C <°
Câu 12. (HSG 7 huyện Quốc Oai 2016 - 2017)
Cho
,ABC∆
tia phân giác của
A
cắt
BC
tại
D
. Biết
85ADB = °
.
a) Tính
BC−
b) Tính các góc của
ABC
∆
nếu
4. 5.BC=
Lời giải
85
o
D
C
B
A
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 20/31
a) Xét
ADC∆
có
ADB
là góc ngoài tại
D
Suy ra
85ADB C DAC=+=°
( )
1
Xét
ADB∆
có
ADC
là góc ngoài tại
D
Suy ra
180 85 95ADC B BAD= + = °− °= °
Mà
DAC BAD=
(vì
AD
là tia phân giác của
A
), suy ra
95B DAC+=°
( )
2
Từ
(
)
1
và
( )
2
suy ra
95 85 10BC− = °− °= °
b) Ta có
4. 5.BC=
, suy ra
54
BC
=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10
5 4 54
B C BC
−
= = = °
−
(Vì
10
BC−=°
)
Suy ra:
5.10 50B = °= °
;
4.10 40C
= °= °
Xét
ABC∆
có
180
ABC
++= °
(Định lí tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra
180 180 50 40 90A BC= °− − = °− °− °= °
.
Câu 13. (HSG 7 huyện 2022 - 2023)
Cho tam giác nhọn
ABC
. Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC
các tam giác đều
ABD
và
ACE
.
Gọi
M
là giao điểm của
DC
và
BE
.
a) Chứng minh
ABE ADC∆=∆
b) Tính số đo
BMC
Lời giải
Xét
ABE∆
và
ADC∆
có:
AD AB=
(
ABD∆
đều)
AC AE=
(
ACE∆
đều)
( )
0
60BAE DAC BAC= = +
⇒
ABE∆
=
ADC∆
(c.g.c)
BMC MCE CEM= +
MCA ACE CEM=++
AEM ACE CEM= ++
00 0
60 60 120AEC ACE= + =+=
M
E
D
C
B
A

Tài liệu khác của Toán 7

Preview text:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
CĐ14: PHẦN HÌNH HỌC
Dạng toán: Tính số đo góc, chứng minh góc bằng nhau, so sánh góc
Dạng toán: Tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Dạng toán: Chứng minh tam giác bằng nhau
Dạng toán: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Dạng toán: Bất đẳng thức tam giác
Dạng toán: Chứng minh song song, vuông góc
Dạng toán: Hình khối trong thực tiễn
Dạng toán: Bài toán chứng minh tổng hợp
Dạng toán: Tính số đo góc, chứng minh góc bằng nhau, so sánh góc A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022)
Cho a // b và  =  1 A 2 1
B (hình vẽ bên ). Số đo 1 B bằng a 1 A b 1 B A. 30° . B. 60°. C. 90° . D. 45°. Lời giải Chọn B a 1 A b 2 1 B
Vì a//b nên  =  1 A 2
B (đồng vị) và  =  1 A 2 1 B Mà  +  1 B 2 B =180°hay  +  1 B 1 A =180° mà  =  1 A 2 1 B (gt)
Trang 1/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒  +  = ° ⇒  = ° ⇒  1 B 2 1 B 180 3 1 B 180 1 B = 60°
Câu 2. (HSG 7 huyện Tam Nông, 2022 - 2023)
Cho hình vẽ AB//DE . Số đo  BCD bằng D B E 135° A 120° C A. 75°. B. 85° . C. 45°. D. 65°. Lời giải Chọn A D B E 135° A 120° 1 2 C
Kẻ đường thẳng qua C và song song với AB .
Mà AB//DE nên đường thẳng đó cũng song song với DE . Do đó  + 
C1 ABC =180° và  +  C2 C E
D =180° (hai góc trong cùng phía) ⇒  = °  = ° ⇒  C1 60 , C2 45 BCD 180 = ° − 60° − 45° = 75°
Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022; huyện Tân An 2017 - 2018; huyện Lâm Thao 2016 - 2017) Cho 
xOy = 50°, điểm A nằm trên Oy . Qua A vẽ tia Am . Để Am song song với Ox thì số đo của  OAm là: A. 50° . B. 130° .
C. 50° và 130°. D. 80° . Lời giải Chọn C y y A A m m 50° 50° x x O O TH1 TH2
TH1: Vì Am // Ox nên  + 
AOx OAm =180° (hai góc trong cùng phía) Thay  AOx = 50° , ta có : ° +  50 OAm =180°
Trang 2/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒ 
OAm =180° − 50° =130°
TH2: Vì Am // Ox nên  = 
AOx OAm (hai góc so le trong) mà  AOx = 50° ⇒  OAm = 50°
Câu 4. (HSG 7 huyện Thảo Lâm, 2022 - 2023)
Cho a // b như hình vẽ bên. Số đo góc x bằng: A. 150 .° B. 90 .° C. 60 .° D. 30 .° Lời giải Chọn C
Kẻ n//a//b
Vì n // a ⇒  =  1 O
A ( 2 góc so le trong) ⇒ 1 O = 30° ⇒  =  2 O
O − 30° = 90° − 30° = 60° Vì ⇒ =  n // b x 2 O (2 góc so le trong) ⇒ =  x 2 O = 60°
Câu 5. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 – 2022) Cho A
∆ BC có A = 40 ;°  − 
B C = 20° trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho AE = A . B Số đo  CBE là: A. 80° . B. 100° . C. 90° . D. 120° . Lời giải Chọn B
Trang 3/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 B 40° E A C
Xét tam giác ABC có  +  + 
A B C =180° (định lí tồng ba góc trong tam giác ) và  = °  − 
A 40 ; B C = 20° Suy ra  ° + ° + 
B C =140° nên  140 20 = = °  B 80 ;C = 60 2 Xét A
∆ EB cân tại A (do AE = AB (gt) nên  = 
AEB ABE (tính chất của tam giác cân) (1) Lại có: 
BAC là góc ngoài tam giác AEB  =  +  BAC AEB ABE (2)
Từ (1) và (2) suy ra   BAC ABE = = 20° 2 Do đó  =  + 
CBE CBA ABE = 80° + 20° =100°
Câu 6. (HSG 7 huyện Thảo Lâm, 2022 - 2023) Cho A
∆ BC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm 2 điểm D và E sao cho BD = B ; A
CE = CA. Khi đó  DAE có số đo là. A. 20°. B. 30° . C. 45°. D. 60°. Lời giải Chọn C Xét A
∆ CE cân tại C ⇒  =  CAE CEA B
∆ AD cân tại B⇒  =  BAD BDA ⇒  +  =  + 
BAD CAE AED ADE ⇒ ° +  = ° − 
90 DAE 180 DAE ⇒ 
2DAE =180° − 90° = 90°  90 DAE ° ⇒ = = 45° 2 Vậy DAE = 45°
Trang 4/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 7. (HSG 7 huyện Sơn Động, 2022 - 2023)
Cho tam giác ABC có  = ° 
B 80 , A = 36° . Tia phân giác 
BAC cắt BC tại D . Số đo  ADC là A. 90° . B. 88° . C. 82° . D. 98° . Lời giải Chọn D
Vì AD là phân giác của  BAC nên  1 =  1 BAD BAC = ⋅36° =18° . 2 2 Vì 
ADC là góc ngoài của A
∆ BD nên  =  +  ADC
B BAD = 80° +18° = 98°.
Câu 8. (HSG 7 huyện Tam Nông, 2022 - 2023)
Cho tam giác ABC . Hai tia phân giác của B và C cắt nhau tại I . Nếu 
BIC =120° thì số đo  BAC bằng. A. 120° . B. 100° . C. 90° . D. 60°. Lời giải Chọn D A E I 120° B C
Trong tam giác BIC có  + 
IBC ICB =180° −120° = 60° ⇒  + 
2IBC 2ICB = 2.60° Mà  = 
ABC 2IBC và  =  ACB 2ICB ⇒  +  = ° ⇒  = ° −  +  ABC ACB 120
BAC 180 (ABC ACB) = 60°
Câu 9. (HSG 7 Tam Nông, Phú Thọ 2021-2022)
Cho hình vẽ. Biết hai tia Ax, By vuông góc với AB . Trên hai tia Ax, By và đoạn AB lần
lượt lấy các điểm D, E,C sao cho  DCE = 50° .
Trang 5/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Khi đó A.  +  ADC CEB = 90° . B.  +  ADC CEB = 50° . C.  +  ADC CEB =100°. D.  +  ADC CEB = 80° . Lời giải Chọn B Xét A
∆ CD vuông tại A có  + 
ADC ACD = 90° (hai góc nhọn phụ nhau) Xét B
∆ CE vuông tại B có  + 
CEB BCE = 90° (hai góc nhọn phụ nhau) ⇒  +  +  + 
ADC ACD BEC BCE =180° ⇒  +  (ADC CEB)+ +  (ACD BCE)=180° (1) Ta có  +  + 
ACD DCE BCE =180° ⇒  + °+ ACD 50 BCE =180° ⇒  + ACD BCE =130° (2) Từ (1) và (2)⇒  + 
(ADC CEB)+ °= °⇒ +  130 180 ADC CEB = 50°
Câu 10. (HSG 7 huyện Tam Nông, Phú Thọ 2021 - 2022)
Cho tam giác ABC cân tại A , A = 20°. Vẽ tam giác đều DBC ( D nằm trong tam giác ABC ). Tia phân giác 
ABD cắt AC tại M . Số đo góc BDM là A. 140° . B. 150° . C. 160° . D. 170° . Lời giải Chọn C
Trang 6/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 A
∆ BC cân tại A , A = 20° suy ra    180 BAC 180 20 ABC BCA ° − ° − ° = = = = 80° 2 2 Mà DB ∆
C đều suy ra  = 
DBC BCD = 60° ⇒  = 
ABD DCA = 80° − 60° = 20°
Có BM là tia phân giác của  ABD suy ra   20 ABM MBD ° = = = 10° 2 +) Xét A ∆ BD và A ∆ CD có
BD = DC (cạnh DB ∆ C đều) Cạnh DA chung
AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A ) Suy ra A ∆ BD = A
∆ CD (c.c.c) ⇒  =  BDA CDA ,  = 
BAD CAD (hai góc tương ứng) +)  =  BAD CAD mà  BAC = 20°   20 BAD CAD ° ⇒ = = = 10° 2 +) có  +  + 
BDA CDA BDC = 360° ⇒  +  + ° = ° ⇒  +  BDA CDA 60 360 BDA CDA = 300° mà  = 
BDA CDA suy ra  =  BDA CDA =150° (1) +) Xét A ∆ MB và B ∆ AD có  =  BAM ABD ( = 20° ) Cạnh AB chung  =  ABM BAD ( =10°) Suy ra A ∆ MB = B
∆ AD (g.c.g) ⇒ AM = DB ; MB = AD (hai cạnh tương ứng) +) Xét D ∆ MB và MD ∆ A có MB = AD  =  DBM MAD ( =10°) DB = AM Suy ra D ∆ MB = MD ∆ A (g.c.g) ⇒  = 
ADM BMD (hai góc tương ứng) (2) +) Xét D
∆ MB có  +  + 
BDM MBD BMD =180° ⇒  +  + ° + 
BDA ADM 10 BMD =180° (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ⇒ ° +  + ° +  = ° ⇒  150 ADM 10 ADM 180 ADM =10° ⇒  =  + 
BDM BDA ADM =150° +10° =160°
Trang 7/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 11. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn 2018 – 2019)
Cho tam giác ABC cân tại A , A = 20°. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Số đo của góc BDC là: A. 50° . B. 70°. C. 30° . D. 80° . Lời giải Chọn C
Vẽ tam giác đều EBC . Ta có: BC = CE = EB
Mà AD = BC (gt) Nên AD = BE . Chứng minh ∆ = ∆ ⇒  =  AEB
AEC( .c .cc)
DAB DAC , do đó  20 EAB ° = = 10° 2 A
∆ BC cân tại A, mà A = 20 ( ° gt) ⇒ 
ABC = (180° − 20°) : 2 = 80° E ∆ BC đều nên 
EBC = 60° , tia BE nằm giữa hai tia B , A BC ⇒ 
ABE = 80° − 60° = 20° Xét A ∆ BE và B
∆ AD có AB cạnh chung;  = 
ABE BAD = 20 ;° BE = AD Vậy A ∆ BE = B
∆ AD( .cg.g) ⇒  =  BAE ABD =10° Mà  =  + 
BDC BAD ABD (góc ngoài của A ∆ BD ) Nên 
BDC = 20° +10° = 30° .
Câu 12. (HSG 7 huyện Tân An 2017 - 2018)
Cho tam giác ABC cân tại A , A = 20°. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = BC . Số
đo của góc BDC là: A. 50° B. 70° C. 30° D. 80° Lời giải Chọn A
Trang 8/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 +) Xét A ∆ BC có:  +  + 
BAC ABC ACB =180° (tổng ba góc trong một tam giác) ° +  +  20 ABC ACB =180° ⇒  +  ABC ACB =160° mà  =  ABC ACB ( A
∆ BC cân tại A ) ⇒  =  ABC ACB = 80°
+) Ta có: AD = BC (gt) ⇒ B
∆ DC cân tại B . +) Xét B ∆ DC có:  +  + 
DBC BDC BCD =180° (tổng ba góc trong một tam giác) ° +  +  80 BDC BCD =180°  +  BDC BCD =100° mà  =  BDC BCD ( B
∆ DC cân tại B ) ⇒  =  BDC BCD = 50°
Câu 13. (HSG 7 Tam Nông, Phú Thọ 2021-2022)
Cho tam giác ABC có  =  + 
A 2B 2C . Các phân giác trong hai góc B và C cắt nhau tại I . Số đo góc  BIC là A. 150° . B. 155° . C. 160° . D. 120° . Lời giải Chọn A Xét A
∆ BC có  +  + 
A B C =180° (ĐL tổng ba góc của một tam giác)
Trang 9/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒  = °−  +  A 180 (B C) Ta có ° −  +  (B C)=  +  (B C)⇒  +  180 2 B C = 60°
Các phân giác trong hai góc B và C cắt nhau tại I nên ta có  B =   ; C IBC ICB = (t/c đường 2 2 phân giác của một góc)     B C 60 IBC ICB + ° ⇒ + = = = 30° 2 2 Xét IB
∆ C có  +  + 
IBC ICB BIC =180° (ĐL tổng ba góc của một tam giác) ⇒ °+ = ° ⇒ 
30 BIC 180 BIC =150°
Câu 14. (HSG 7 trường THCS Phan Đình Phùng 2017 - 2018)
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6, A = 30° . Phân giác góc C cắt AB tại D . Khi đó
độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A. 2;4 B. 3;3 C. 4;2 D. 1;5 Lời giải Chọn A
* Chứng minh nhận xét: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc
vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. C M 1 2 B A Xét AB 
C, ta có: B = 90° , A = 30°
Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = C B Ta có: BC ∆ M cân tại C . Mà  + 
C A = 90° (tính chất tam giác vuông) Suy ra:  = ° −  C 90
A = 90° − 30° = 60° Suy ra: BC ∆ M đều
Suy ra: BC = CM = BM và 1 B = 60° Ta có:  +  =  1 B B2 ABC = 90° ⇒  = ° −  B2 90 1
B = 90° − 60° = 30° Trong B  AM , ta có:  =  B2 A = 30° Suy ra: B
AM cân tại M (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau) Hay AM = B M
Trang 10/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Suy ra: BC = CM = AM mà CM + MA = C A 1 ⇒ BC = AC . 2
Vậy: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với
nó bằng nửa cạnh huyền.
Áp dụng vào bài tập C M 1 2 30° B D A  Ta có:  =  BCD DCA BCD 60° = =
= 30° ( Vì CD là tia phân giác của  BCD ) 2 2 Xét DAC có:  =  A DCA= 30° ⇒ DA ∆
C cân tại D ⇒ DC = DA
Xét BDC vuông tại B, có  BCD = 30° 1 ⇒ BD = DC 2 DC 3DC ⇒ BD + DA = + DC = = AB 2 2 ⇒ 3DC = 2AB 2AB 2.6 ⇒ DC = = = 4 3 3 ⇒ DC = DA = 4 1 1 ⇒ BD = DC = .4 = 2 2 2 B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Nghi Xuân 2022 - 2023)
Cho tam giác ABC có 
BAC = 60° . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân giác của
góc C cắt AB ở E ; BD và CE cắt nhau tại M . Tính  EMD ? Lời giải B 1 2 E M 1 2 D C A Xét A
∆ BC có:  +  +  = ° ⇒  +  A ABC ACB 180 ABC ACB =120°
Trang 11/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒  +  2 B 1
C =120°: 2 = 60° Xét B
∆ MC có  +  +  = ° ⇒  2 B 1 C BMD 180
BMD =180° − 60° =120° ⇒  = 
EMD BMD =120° (hai góc đối đỉnh) Vậy  EDM =120°
Câu 2. (HSG 7 huyện Hoằng Hóa 2017 - 2018)
Cho tam giác đều ABC . M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA: MB : MC = 3: 4 :5.
Tính số đo góc AMB . Lời giải A N 1 3 2 M B C
Do MA: MB : MC = 3: 4 :5 Đặt MA MB MC = = = a 3 4 5
⇒ MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều AMN .
⇒ AM = AN = MN = 3a và  AMN = 60° Xét A ∆ BN và A ∆ CM có: AB = AC (gt)
AN = AM (= 3a)  =  = °−  1 A 3 A ( 60 2 A ) ⇒ A ∆ BN = A
∆ CM (c – g – c)
⇒ BN = CN = 5a Xét B ∆ MN có: 2 BN = ( a)2 2 5 = 25a 2 2
BM + MN = ( a)2 + ( a)2 2 4 3 = 25a 2 2 2
⇒ BN = BM + MN ⇒ B
∆ MN vuông tại M (định lý Pytago đảo) ⇒  NMB = 90° ⇒  =  + 
AMB AMN NMB = 90° + 60° =150°
Câu 3. (HSG 7 huyện Như Xuân, 2018 - 2019)
Trang 12/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Cho tam giác ABC có  = 
BAC BCA = 80° . Ở miền trong của tam giác vẽ hai tia Ax và Cy cắt
BC, BA lần lượt tại D và E. Cho biết  CAD = 60 ,° 
ECA = 50° . Tính số đo  ADE . Lời giải B F D E O A C
Kẻ tia CF sao cho 
ACF = 60°(F ∈ AB),Tia CF cắt AD tại O ⇒ A ∆ OC; F
∆ OD đều⇒ OA = OC = AC;OF = OD = FD . A
∆ EC có:  = ° 
EAC 80 , ACE = 50° ⇒  CEA = 50° ⇒ A
∆ EC cân tại A Có 
EAO = 20° ⇒  =  AEO AOE = 80° ⇒  EOF = 40° Suy ra  = ° − ° − ° = ° =  AFC 180 80 60 40 EOF ⇒ E
∆ OF cân tại E ⇒ EO = EF ⇒ F ∆ DE = ODE ∆ ( . c . c c) ⇒  =  1 =  1 ODE FDE FDA = 60° = 30° 2 2 Vậy  ADE = 30° .
Câu 4. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023; huyện Phù Ninh 2018 - 2019; huyện Nam Sách
2017 – 2018; trường Tân Lạc; huyện Ngọc Lặc 2015 - 2016)
Cho tam giác ABC có B = 45°, C =120° . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2 . CB Tính  ADB ? Lời giải A 2 1 E 1 2 3 1 1 2 2 2 2 1 B C F D
Trên CA lấy điểm E sao cho AE = BE ⇒ E
∆ BA cân tại E
Trang 13/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒  =  1 B 1 A =15° ⇒ 2 B = 30° . Ta có  =  +  1 E 1 A 2
B = 30° (tính chất góc ngoài của tam giác) Do đó C
∆ BE cân tại C ⇒ CB = CE .
Gọi F là trung điểm CD ⇒ CB = CE = CF = FD .
Tam giác CEF cân tại C có  = ° −  C2 180 1
C = 60° nên CEF là tam giác đều.
⇒ CE = CF = FD = EF ⇒ E
∆ DF cân tại F . Suy ra  =  2 F 1 D 3 E = = 30° 2
Xét tam giác CDE ta có:  =  +  CED 2 E 3
E = 60° + 30° = 90° ( ) 1 Ta có:  =  1 D 1 B ⇒ E
∆ BD cân tại E ⇒ EB = ED ⇒ EA = ED (= EB) (2) Từ ( ) 1 và (2) suy ra E
∆ DA vuông cân tại E ⇒ 2 D = 45° Vậy  =  +  ADB 1 D 2
D = 30° + 45° = 75°.
Câu 5. (HSG 7 huyện Đông Hưng; huyện Vũ Thư 2022 - 2023)
Cho tam giác ABC có  = ° 
BAC 15 , ABC = 45° , trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB . Tính số đo  ADC . Lời giải A 15° F E 45° 60° 30° B D C
Kẻ DE ⊥ CA . Xét A ∆ BC , có 
ACB =180° − 45° −15° =120° ⇒  ACD = 60° hay  ECD = 60° . Xét C
∆ ED có  = ° 
CED 90 , ECD = 60° ⇒ 
EDC = 30° nên C
∆ ED là nửa tam giác đều.
Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EC = EF . DC ∆
F có đường cao DE đồng thời là trung tuyến và có 
ECD = 60° nên là tam giác đều. 1
⇒ CE = CD ⇒ CE = CB ⇒ E
∆ BC cân tại C 2 ⇒  =  = ° =  CBE CEB 30 EDC ⇒ E
∆ BD cân tại E . ⇒  EBA =15° ⇒ B
∆ EA cân tại E ⇒ EA = EB = ED ⇒ A
∆ ED vuông cân ⇒  ADE = 45° . Vậy  =  +  ADB ADE EDB = 75°.
Câu 6. (HSG 7 huyện Kinh Môn 2022 - 2023; trường Ngô Gia Tự 2017 - 2018; trường Nguyễn
Du, huyện Nga Sơn 2016 - 2017)
Trang 14/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Cho tam giác ABC có AB = AC , A =100°. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho  MBC =10°, 
MCB = 20°. Tính số đo góc  AMB . Lời giải
+) Ta có tam giác ABC cân tại A và A =100°   180 100 ABC ACB ° − ° ⇒ = = = 40°. 2
Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB ⇒ B
∆ CE cân tại C ⇒  =  BEC EBC = 70° . +) Xét MC ∆ B và MC ∆ E có: MC chung  =  MCB MCE (= 20°)
CB = CE (cách lấy điểm E ) Suy ra MC ∆ B = MC ∆ E (c – g – c) ⇒  = 
MBC MEC =10° ⇒  = 
MBE MEB = 70° −10° = 60° ⇒ ME ∆
B đều ⇒ BM = BE . +) Ta có  =  − 
MBA CBA CBM = 40° −10° = 30° Mặt khác  =  − 
ABE MBE MBA = 60° − 30° = 30° Suy ra  =  ABE ABM (= 30°) +) Xét MA ∆ B và E ∆ AB có: AB chung  =  MBA EBA (= 30°) BM = BE (cmt) Suy ra M ∆ AB = E
∆ AB (c – g – c) ⇒  =  AMB AEB = 70° .
Câu 7. (HSG 7 huyện Thạch Thành 2017- 2018)
Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và
ACE . Gọi I là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng 
EIC = 60° và IA là tia phân giác của  DIE . Lời giải
Trang 15/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 B D 1 I 2 1 A C 3 2 2 2 1 2 E   = 
DAC A + 90° = 60° + 90° =150° Ta có: 1  ⇒  =  DAC BAE   =  BAE 2
A + 90° = 60° + 90° =150° Xét DA ∆ C và B ∆ AE có DA = BA (gt)  =  DAC BAE (cmt) AC = AE (gt) ⇒ D ∆ AC = B ∆ AE ( . c g.c)
⇒ BE = CD (hai cạnh tương ứng) Ta có :  +  +  +  3 A 1 A BAC 2 A = 360° ⇔ 3
A + 60° + 90° + 60° = 360° ⇔  = ° =  3 A 150 DAC Xét DA ∆ E và B ∆ AE có DA = BA (gt)  =  3 A DAC (cmt) AE chung ⇒ D ∆ AE = B ∆ AE ( . c g.c) ⇒ DE = BE Vậy B
∆ DE cân tại E Ta có: D ∆ AC = B ∆ AE (cmt) ⇒  =  E C 1 1 (hai góc tương ứng) Lại có:  +  +  I E ICE =180° IC ∆ E) 1 2 (tổng 3 góc trong ⇔  +  −  I
AEC E + C + C =180° 1 ( 1 )   ( 1 2) ⇔  + ° −  + 
I 60 E C + 60° =180° 1 1 1
Trang 16/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
⇔ I +120° =180°  =  (E C 1 1 ) 1 ⇔ I = 60° 1 Vì D ∆ AE = B
∆ AE (cmt) ⇒  =  E E 1 2 (hai góc tương ứng)
⇒ EA là tia phân giác của  DEI ( ) 1  D ∆ AC = B ∆ AE Vì  ⇒ ∆ = ∆ ⇒  =  DAC DAE D D 1 2 (hai góc tương ứng)  D ∆ AE = B ∆ AE
⇒ DA là tia phân giác của  EDC (2) Từ ( )
1 và (2) ⇒ A là giao điểm của 2 tia phân giác trong D ∆ IE
⇒ IAlà đường phân giác thứ 3 trong D ∆ IE
Vậy IAlà tia phân giác của  DIE .
Câu 8. (HSG 7 Huyện 2017 - 2018)
Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = .
MA Gọi I là một điểm trên AC , K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Từ E kẻ
EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết  HBE = 50°;  MEB = 25° . Tính  HEM và  BME . Lời giải A I M C B H K E Xét A ∆ MC và E ∆ MB có: AM = EM (gt)  = 
AMC EMB (đối đỉnh) BM = MC (gt) Nên A ∆ MC = E ∆ MB ( . c g.c) ⇒ AC = EB Vì ∆ = ∆ ⇒  =  AMC EMB
MAC MEB , 2 góc ở vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng
AC, EB cắt đường thẳng AE ) ⇒ AC//BE Xét A ∆ MI và E
∆ MK có: AM = EM (gt)  =  MAI MEK ( A ∆ MC = E ∆ MB) AI = EK (gt)
Trang 17/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 ⇒ A ∆ MI = E ∆ MK ( . c g.c) ⇒  =  AMI EMK Mà  + 
AMI IME =180° (Kề bù) ⇒  + 
EMK IME =180° ⇒ ba điểm I, M , K thẳng hàng.
Trong tam giác vuông BHE  (H =90°) có  HBE = 50° ⇒  HEB = 40° ⇒  =  − 
HEM HEB MEB = 40° − 25° =15° 
BME là góc ngoài tại đỉnh M của HE ∆ M nên  =  + 
BME HEM MHE =15° + 90° =105°
(định lý góc ngoài của tam giác)
Câu 9. (HSG 7 trường THCS Hiệp Thạnh 2016 - 2017)
Cho tam giác ABC có  0
A =120 . Các đường phân giác AD và BE, tính số đo của góc BED Lời giải
Gọi Ax là tia đối của tia AB ta có:  =  0 BAD DAC = 60 Xét A
∆ BD có AE là tia phân giác góc ngoài của đỉnh A ; BE là phân giác của góc B chúng
cắt nhau tại E nên DE là phân giác góc ngoài của D, Xét B
∆ ED có       ADC ABC BAD 0 BED 1 D 2 B − = − = = = 30 2 2
Câu 10. (HSG 7 huyện Đức Thọ , 2022 - 2023) Tam giác ABC có x  0 =  −  0
A 40 ; B C = 30 . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AB. Tính số đo góc CBE . Lời giải Ta có:  +  + 
A B C =180° (tổng ba góc của tam giác) ⇒  +  = ° − 
B C 180 A=180° − 40° =140°
Trang 18/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Mà   = °⇒  = °  B -C 30 B 85 ,C =55° Có:  + 
BAE BAC =180° (2 góc kề bù) ⇒  = ° 
BAE 180 - BAC =180°-40° =140° Xét ΔBAE có: AE = AB⇒ B ∆ AE cân tại E    180 - BAE 180 -140 ABE AEB ° ° ° ⇒ = = = = 20° 2 2 Vậy  =  + 
CBE ABC ABE =85° + 20° =105°.
Câu 11. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ năm 2021 - 2022) Cho A
∆ BC có độ dài ba cạnh là BC = a, AC = ,
b AB = c thỏa mãn: 2 2 2
a + b > 5c .
Chứng minh rằng: C < 60° Lời giải Trong A ∆ BC : Giả sử 2 2
c ≥ a > 0 ⇒ c ≥ a Mà 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b > 5c ⇒ a + b > 5a ⇒ b > 4a ⇒ b > 2a ( )1 Vì 2 2 2 2 2 2
c ≥ a ⇒ c + b ≥ a + b mà 2 2 2
a + b > 5c 2 2 2 2 2
⇒ c + b > 5c ⇒ b ≥ 4c ⇒ b > 2c (2) Từ ( )
1 và (2) ⇒ 2b > 2a + 2c ⇒ b > a + c (vô lý vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác). Vậy c < a
Lập luận tương tự có c < b
Suy ra c là cạnh ngắn nhất ⇒ C nhỏ nhất   <  C A ⇒  ⇒  <  +  + 
3C A B C =180° ⇒  < ° ⇒  3C 180 C < 60°   <  C B
Vậy C < 60°
Câu 12. (HSG 7 huyện Quốc Oai 2016 - 2017) Cho A
∆ BC, tia phân giác của A cắt BC tại D . Biết  ADB = 85°. a) Tính  −  B C
b) Tính các góc của A ∆ BC nếu  =  4.B 5.C Lời giải A 85o C B D
Trang 19/31
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 a) Xét A ∆ DC có 
ADB là góc ngoài tại D Suy ra  =  +  ADB C DAC = 85° ( ) 1 Xét A ∆ DB có 
ADC là góc ngoài tại D Suy ra  =  + 
ADC B BAD =180° −85° = 95° Mà  = 
DAC BAD (vì AD là tia phân giác của A ), suy ra  +  B DAC = 95° (2) Từ ( ) 1 và (2) suy ra  − 
B C = 95° −85° =10°   b) Ta có  = 
4.B 5.C , suy ra B C = 5 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:    −  B C B C = = = 10° (Vì  −  B C =10° ) 5 4 5 − 4
Suy ra: B = 5.10° = 50°; C = 4.10° = 40° Xét A
∆ BC có  +  + 
A B C =180° (Định lí tổng ba góc trong tam giác) Suy ra  = ° −  − 
A 180 B C =180° − 50° − 40° = 90°.
Câu 13. (HSG 7 huyện 2022 - 2023)
Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE .
Gọi M là giao điểm của DC và BE . a) Chứng minh A ∆ BE = A ∆ DC b) Tính số đo  BMC Lời giải E A D M C B Xét A ∆ BE và A ∆ DC có:
AD = AB ( A ∆ BD đều)
AC = AE ( A ∆ CE đều)  =  0 = + 
BAE DAC ( 60 BAC) ⇒ A ∆ BE = A ∆ DC (c.g.c)  =  + 
BMC MCE CEM =  +  +  MCA ACE CEM =  +  +  AEM ACE CEM =  +  0 0 0 AEC ACE = 60 + 60 =120
Trang 20/31

Tài liệu liên quan: