125 trang 4 lượt tải

Bài toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong các đề thi HSG Toán 7

7

Tài liệu gồm 125 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7 304 tài liệu

Môn: Toán 7 2.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

VietJack

1 năm trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/125
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/54
CĐ 10: TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết dựa vào tỉ lệ thức
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Dạng 4: Bài toán về dãy tỉ số bằng nhau và chia tỉ lệ
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết dựa vào tỉ lệ thức
A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023)
Cho
9
11
x
y
=
và
60xy
+=
. Tính
23xy+
?
A.
50
. B.
60
. C.
120
. D.
153
.
Lời giải
Chọn D
9
11 9 11
x xy
y
= ⇒=
. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
60
3
9 11 9 11 20
x y xy+
= = = =
+
Do đó
2 3 2.27 3.33 153xy⇒+= + =
Câu 2. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023)
Cho
54
xy
=
và
22
9
xy
−=
. Tính tổng bình phương hai số
,xy
.
A.
41
. B.
81
. C.
9
. D.
25
.
Lời giải
Chọn A
22
5 4 25 16
xy x y
=⇒=
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
2 2 22
9
1
25 16 25 16 9
x y xy−
= = = =
−
Do đó
2
1.25 25x = =
2
1.16 16y = =
22
41xy⇒+=
Câu 3. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023)
Cho
4
x
y
=
và
9
xy =
. Khi đó
22
xy+
bằng bao nhiêu ?
A.
97
. B.
81
. C.
153
4
. D.
13
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/54
Lời giải
Chọn C
4 4,
41
x xy
kxkyk
y
=⇒ = =⇒= =
Do
3
9 4. 9
2
xy k k k=⇒ =⇒=±
Với
3
2
k = ±
thì
(
)
2
22 2
153
4
4
xy k k+= +=
Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy, 2021 - 2022)
Cho hai số
;xy
biết
5
7
x
y
=
và
72xy+=
. Vậy
23xy
−
bằng
A.
30
B.
66−
C.
44−
D.
40
Lời giải
Chọn B
Ta có:
5
7 57
x xy
y
=⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
72
6
5 7 5 7 12
x y xy+
= = = =
+
6
30
5
42
6
7
x
x
yy
=
=
⇒⇒

=
=
2 3 2.30 3.42 66
xy⇒−= − =−
Vậy
2 3 66xy−=−
.
Câu 5. (HSG 7 huyện THANH SƠN 2022 - 2023)
Cho
528
746
abc
A
abc
++
=
−−+
với
: : 1:2:3abc=
vậy
A
bằng:
A.
13
. B.
5−
. C.
11
. D.
9
.
Lời giải
Chọn C
: : 1:2:3
123
abc
abc k= ⇒===
; 2; 3a kb kc k⇒= = =
5 2 8 5 4 24 33
11
7 4 6 7 8 18 3
abc k k k k
A
abc kk k k
++ ++
= = = =
−−+ −−+
Câu 6. (HSG 7 huyện THANH SƠN 2022 - 2023)
Cho
abc
bca
= =
và
0abc++≠
giá trị của
19 4 2023
2046
a bc
A
a
=
là:
A.
1
. B.
1−
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Vì
abc
bca
= =
, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/54
1
a b c abc
abc
b c a bca
++
== = =⇒==
++
19 4 2023 19 4 2023 2046
2046 2046 2046
1
a bc a aa a
A
a aa
⇒= = = =
Câu 7. (HSG 7 huyện LÂM THAO 2022 - 2023)
Cho
53xy=
. Giá trị của biểu thức
22
22
832
10 3
x y xy
A
xy
+−
=
−
là.
A.
9
7
. B.
39
25
. C.
197
223
. D.
39
5
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
53
35
xy
xy= ⇒=
Đặt
3; 5
35
xy
k x ky k= =⇒= =
Suy ra
22 2 2 2
22 2 2 2
8 3 2 8.9 3.25 2.3 .5 117 117 39
15 5
10 3 10.9 3.25 15
x y xy k k k k k
A
xy k k k
+− + −
= = = = =
−−
Câu 8. (HSG 7 đề khảo sát lần 3, 2022 - 2023)
Cho
( )
( )
3 23ab ab
+= −
. Tỉ số của hai số
a
và
b
bằng bao nhiêu?
A.
2
3
. B.
3
5
. C.
5
3
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn A
( ) ( )
3 23ab ab
+= −
3362ab ab
⇒+=−
35ab
⇒=
5
3
a
b
⇒=
Câu 9. (HSG 7 đề khảo sát lần 3, 2022 - 2023)
Nếu
23
ab
=
và
45
bc
=
thì
a
,
b
,
c
tỉ lệ với
A.
12;8;15
. B.
15;12;8
. C.
8;12;15
. D.
8;12;20
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
23
ab
=
8 12
ab
⇒=
45
bc
=
12 15
bc
⇒=
Do đó:
8 12 15
ab c
= =
;;abc⇒
tỉ lệ với
8;12;15
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/54
Câu 10. (HSG 7 huyện Tân Yên 2022 - 2023)
Cho dãy tỉ số bằng nhau
2a a 2 a 2 a 2bcd bcd b cd bc d
abcd
+++ + ++ ++ + +++
= = =
và
biểu thức
ab bc cd da
M
cd d a ab bc
+++ +
=+++
++++
. Giá trị của biểu thức
M
là
A.
4
. B.
4−
. C.
4
hoặc
4−
. D.
16
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2222abcd a bcd ab cd abc d
abcd
+++ + ++ ++ + +++
= = =
1111
abcd abcd abcd abcd
abcd
+++ +++ +++ +++
⇒+=+=+=+
abcd abcd abcd abcd
abcd
+++ +++ +++ +++
⇒===
. (1)
+ Nếu
0abcd+++ ≠
thì từ (1)
abcd⇒===
.
Khi đó,
1111 4
ab bc cd da
Q
cd d a ab bc
+++ +
= + + + =+++=
++++
.
+ Với
0abcd+++ =
(
)
(
)
( )
( )
ab cd
bc ad
cd ab
da bc
+=− +
+=− +
⇒
+=− +
+=− +
Khi đó:
ab bc cd da
Q
cd d a ab bc
+++ +
=+++
++++
( ) ( ) ( ) ( )
cd d a ab bc
cd d a ab bc
−+ − + −+ −+
=+++
+ +++
1111 4=−−−−=−
.
B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Ứng Hòa, 2021 - 2022)
Cho
abc
bca
= =
và
2022abc
++=
. Tính
,,
abc
?
Lời giải
Ta có:
abc
bca
= =
1
a b c abc
b c a bca
++
⇒=== =
++
1
1
1
a
b
b
c
c
a
=
⇒=
=
ab
bc
ca
=
⇒=
=
abc⇒==
Mà
2022abc++=
3 2022
a⇒=
674a⇒=
674abc⇒===
Vậy
674abc= = =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/54
Câu 2. (HSG 7 huyện Thường Tín 2018 - 2019)
Cho
abc
bca
= =
và
2019.abc++=
Tính
,,abc
.
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2019
1
2019
a b c abc
b c a abc
++
= = = = =
++
Từ
1
a
ab
b
=⇒=
1
b
c
=
bc⇒=
Suy ra
2019
673
3
abc= = = =
Câu 3. (HSG 7 trường Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa 2022 - 2023)
Cho
abc
bca
= =
và
2025.abc++=
Tính
,,abc
Lời giải
11
a b c abc a
ab
b c a abc b
++
== = =⇒ =⇒=
++
Tương tự
bc=
2025
675
3
abc⇒=== =
.
Câu 4. (HSG 7. Trường THCS Ân Tường Đông.2014 – 2015)
Tìm các số
,,
abc
biết:
357
abc
= =
và
10abc
+−=
Lời giải
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
10
3 5 7 357
a b c abc+−
= = = =
+−
Từ
10 30
3
a
a
= ⇒=
Từ
10 50
5
b
b= ⇒=
Từ
10 70
7
c
c
= ⇒=
Vậy
30, 50, 70abc= = =
Câu 5. (HSG 7 trường Thiệu Châu 2022 - 2023; trường THCS Hiền Quan 2018 - 2019)
Tìm các số
,,abc
biết rằng:
234
abc
= =
và
2 3 20abc+−=−
Lời giải
2 3 2 3 20
5
2 3 4 2 6 12 2 6 12 4
abc a b ca b c+− −
==⇒= = = = =
+− −
10
15
20
a
b
c
=
⇒=
=
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 6/54
Câu 6. (HSG 7 trường Thống Nhất, huyện Hưng Hà năm 2022 - 2023; trường Tư Nghĩa,
huyện Nghĩa Điền 2017 - 2018)
Tìm
,,xyz
biết:
439
xyz
= =
và
3 4 62xyz−+=
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 4 34 34 62
2
4 3 9 9 36 4 9 36 31 31
xyz y zx y zx y z−+ −+
= = = = = = = =
−+
Suy ra
4.2 8x = =
;
3.2 6y = =
;
9.2 18z = =
Vậy
8; 6; 18xyz= = =
.
Câu 7. (HSG 7 huyện Bát Xát, 2021 - 2022)
Tìm các số
,,xyz
biết
10 6 21
xyz
= =
và
5 2 28xy z+− =
.
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5 2 5 2 28
2
10 6 21 50 6 42 50 6 42 14
xyz xy z xyz+−
= = = = = = = =
+−
2 2.10 20
10
x
x=⇒= =
2 6.2 12
6
y
y=⇒= =
2 21.2 42
21
z
z=⇒= =
Vậy
20, 12, 42x yz= = =
Câu 8. (HSG 7 huyện Trực Ninh 2020 - 2021)
Tìm
,xy
biết:
2 13 2
53
xy−−
=
và
2xy+=
.
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 13 2
53
xy−−
=
6
6 36 4
15
xy−−
= =
6 36 4
15 6
xy−+ −
=
+
6( ) 7
21
xy+−
=
6.2 7
21
−
=
5
21
=
(vì
2xy+=
)
Từ
1
2 51
5 2
32
3
xy−−
= =
suy ra
42 21 25
63 42 15
x
y
−=
−=
42 46
63 57
x
y
=
⇒
=
23
21
19
21
x
y
=
⇒
=
Vậy
23
21
x =
;
19
21
y =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 7/54
Câu 9. (HSG 7 Tp Ninh Bình 2022 - 2023; huyện Giao Thuỷ 2016 - 2017)
Tìm
,xy
biết:
8
5
x
y
=
và
5 4 120xy+=
Lời giải
8
5
x
y
=
85
xy
⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
5 4 5 4 120
2
8 5 40 20 40 20 60
xy x y x y+
= = = = = =
+
2.8 16
2.5 10
x
y
= =
⇒
= =
Câu 10. (HSG 7 huyện Quế Sơn 2022 - 2023; huyện Kim Sơn 2017 - 2018; huyện Hiệp Hòa 2016 - 2017)
Tìm
,xy
biết
44
77
x
y
+
=
+
và
22xy+=
Lời giải
44
77
x
y
+
=
+
7(4 ) 4(7 y)x⇒ += +
28 7 28 4xy
⇒+=+
74xy⇒=
4
7
x
y
⇒=
47
xy
⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
22
2
4 7 4 7 11
x y xy
+
= = = =
+
28
4
2 14
7
x
x
y
y
=⇒=
⇒
=⇒=
Vậy
8; 14xy= =
Câu 11. (HSG 7 huyện Việt Yên 2016 - 2017)
Tìm
,,xyz
biết:
44
77
x
y
+
=
+
và
55xy+=
Lời giải
44
77
x
y
+
=
+
28 7 28 4xy⇒+=+
74xy⇒=
47
xy
⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
55
5
4 7 4 7 11
x y xy+
= = = =
+
20; 35xy⇒= =
Câu 12. (HSG 7 huyện Vũ Thư, 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
135
246
xyz−+−
= =
và
27
xyz++=
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 8/54
Lời giải
Đặt
135
246
xyz
k
−+−
= = =
2 1; 4 3; 6 5xk yk zk⇒= + = − = +
.
Vì
27xyz++=
2 1 4 3 6 5 27kkk⇒ ++ −+ + =
12 3 27k⇒ +=
12 24k
⇒=
2k⇒=
.
Với
2k =
ta có:
2.2 1 5; 4.2 3 5; 6.2 5 17xyz= += = −= = +=
Vậy
( , , ) (5; 5;17)xyz
=
.
Câu 13. (HSG 7 huyện Văn Bàn 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
135
246
xyz
−−−
= =
và
5 3 4 50zxy−− =
.
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )
55314353434
1 3 5 50 34
2
246 2 8 8
z x y zxy
xyz
−− −− + − − −
−+− −
= = = = = =
1
2 14 5
2
x
xx
−
⇒ = ⇒ −= ⇒ =
3
2 38 5
4
y
yy
+
=⇒+=⇒ =
5
2 5 12 17
6
z
zz
−
=⇒−= ⇒=
Vậy
( ) ( )
, , 5;5;17xyz =
.
Câu 14. (HSG 7 huyện Trà My, tỉnh Quảng Nam, trường Trà My 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết
132
243
xyz−−−
= =
và
344xyz−+=
Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1 3 2 13948 13948
2
2 4 3 2 12 12 2 12 12
xyz x y zx y z− − − − − − −− + + −
= = = = = = =
−+
1
2 14 5
2
3
2 3 8 11
4
2
2 26 8
3
x
xx
y
yy
z
zz
−
= ⇒ −= ⇒ =
−
⇒ =⇒−=⇒ =
−
=⇒−=⇒=
Vậy
5; 11; 8xy z= = =
Câu 15. (HSG 7 trường Võ Thị Sáu; trường Kim Trung 2022 - 2023; trường Hồng Liên; trường
Phương Trung 2018 - 2019)
Cho
135
246
ab c−+−
= =
và
5 3 4 46abc−−=
. Tìm
,,abc
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 9/54
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
( )
5. 1 3. 3 4. 5
135 5539420
2 4 6 5.2 3.4 4.6 10 12 24
ab c
ab c a b c
−+−
−+− − + −
= = = = = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
1 3 55 53 94 20
2 4 6 10 12 24
ab c a b c
−+−−+−
= = = = =
( ) ( )
(
)
5 5 3 9 4 20
5 3 4 6 46 6 52
2
10 12 24 26 26 26
abc
abc
−− +− −
−−+ +
= = = = = −
−− − − −
.
Suy ra:
1
2 14 3
2
a
aa
−
=−⇒ −=−⇒ =−
.
3
2 3 8 11
4
b
bb
+
=−⇒ + =−⇒ =−
.
5
2 5 12 7
6
c
cc
−
=−⇒− =− ⇒ =−
.
Vậy
( ) ( )
; ; 3 ; 11 ; 7abc=−− −
.
Câu 16. (HSG 7 huyện Hưng Hà năm 2022 - 2023)
Tìm
x
,
y
,
z
biết:
32 43 24
423
xy yz zx− −−
= =
và
238xyz−+=
.
Lời giải
Ta có:
3 2 4 3 2 4 12 8 8 6 6 12
4 2 3 16 4 9
xy yz zx xy yz z x− −− −−−
= = = = =
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12 8 8 6 6 12 12 8 8 6 6 12
0
16 4 9 16 4 9
xy yz z x xyyzz x− − − −+−+−
= = = =
++
Suy ra:
12 8 0; 8 6 0; 6 12 0xy yz z x−= −= − =
⇒
12 8 6 .
234
xyz
xyz= = ⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
238
1
2 3 4 2 6 12 8
xyzx y z−+
= = = = =
−+
2; 3; 4xyz⇒= = =
.
Vậy
2; 3; 4
xyz= = =
.
Câu 17. (HSG 7 huyện Anh Sơn năm 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
32 24 43
432
xy zx yz−−−
= =
và
72xyz++=
.
Lời giải
Ta có:
32 24 43
432
xy zx yz−−−
= =
⇒
( ) ( ) ( )
43 2 32 4 24 3
16 9 4
xy zx yz−−−
= =
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
( ) ( ) ( )
43 2 32 4 24 3
4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 )
0
16 9 4 16 9 4
xy zx yz
xy zx yz
−−−
−+ −+ −
= = = =
++
Suy ra:
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 10/54
32 032
23
4304 3
34
xy
xy x y
yz
yz y z
− =⇒ = ⇒=
−=⇒ = ⇒=
234
xyz
⇒==
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
72
8
2 3 4 234 9
x y z xyz++
= = = = =
++
8 . 2 16; y 8. 3 24; z 8 . 4 32
x⇒= = = = = =
.
Vậy
16x =
,
24y =
,
32z =
.
Câu 18. (HSG 7 huyện Kinh Môn 2022 - 2023; huyện Bá Thước 2021 - 2022; huyện Sơn Trà
2018 - 2019; huyện Bố Trạch; huyện Cẩm Phả 2017 - 2018; huyện Thiệu Hóa 2016 -
2017; huyện Triệu Sơn 2015 - 2016)
Tìm
,,xyz
, biết:
32 24 43
432
xy zx yz−−−
= =
và
18
xyz
++=
Lời giải
Ta có
32 24 43
432
xy zx yz−−−
= =
( ) ( ) ( )
43 2 32 4 24 3
16 9 4
xy zx yz−−−
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
(
)
(
)
( )
43 2 32 4 24 3
16 9 4
xy zx yz−−−
= =
12 8 6 12 8 6
16 9 4
xyz xyz−+− +−
=
++
0=
*)
( )
43 2
032
16
xy
xy
−
=⇒=
12 8xy⇒=
(1)
*)
(
)
32 4
024
9
zx
zx
−
=⇒=
6 12zx⇒=
(2)
Từ (1) và (2) Suy ra
12 8 6
xyz
= =
12 8 6
48 48 48
xyz
⇒==
468
xyz
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
18
1
4 6 8 4 6 8 18
x y z xyz++
= = = = =
++
(vì
18
xyz++=
)
4; 6; 8xyz
⇒= = =
Vậy
4; 6; 8xyz
= = =
Câu 19. (HSG huyện Bình Long; huyện Vũ Thư 2022 - 2023; huyện Trực Ninh 2018 - 2019;
huyện Tam Dư 2017 - 2018)
Tìm ba số
;;abc
biết:
322553
532
ab ca bc−−−
= =
và
50abc++=−
.
Lời giải
Ta có:
322553
532
ab ca bc−−−
= =
15 10 6 15 10 6
25 9 4
a b c a bc−− −
⇒==
.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra:
15 10
6 15
10 6
ab
ca
bc
=
=
=
15 10 6a bc⇒==
15 10 6
90 90 90
a bc
⇒==
6 9 15
ab c
⇒==
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 11/54
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
50 5
6 9 15 6 9 15 30 3
a b c abc++ − −
= = = = =
++
.
Suy ra:
5
6 10
3
a
−
=⋅=−
;
5
9 15
3
b
−
=⋅=−
;
5
15 25
3
c
−
=⋅=−
.
Vậy
10a = −
;
15b
= −
;
25c
= −
.
Câu 20. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Lê Tư Thành 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
32 25 53
532
xy zx yz
−−−
= =
và
50xyz++=
.
Lời giải
Từ
32 25 53
532
xy zx yz
−−−
= =
15 10 6 15 10 6
25 9 4
x y z x yz
−− −
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
15 10 6 15 10 6
25 9 4
x y z x yz−− −
= =
15 10 6 15 10 6
38
x yz x yz− +− + −
=
0=
15 10 0
6 15 0
10 6 0
xy
zx
yz
−=
⇒−=
−=
32
25
53
xy
zx
yz
=
⇒=
=
23
25
53
xy
xz
zy
=
⇒=
=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
235
xyz
= =
235
xyz
++
=
++
50
10
=
5=
Từ đó suy ra
10, 15, 25
xyz= = =
.
Câu 21. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Trần Thủ Độ 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
65 76 57
11 4 30
xy yz zx− −−
= =
và
4 2 10x yz
+ −=
.
Lời giải
Ta có
65 76 57
11 4 30
xy yz zx− −−
= =
7(6 5 ) 5(7 6 ) 6(5 7 )
7.11 5.4 6.30
xy yz zx− −−
⇒==
42 35 35 30 30 42
77 20 180
xy yz zx− −−
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
42 35 35 30 30 42
77 20 180
xy yz zx− −−
⇒==
42 35 35 30 30 42
0
77 20 180
xyyzzx−+−+−
= =
++
567
xyz
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
567
xyz
= =
42
20 12 7
x yz
+−
=
+−
2
5
=
Suy ra
2x =
;
12
5
y =
;
14
5
z =
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 12/54
Câu 22. (HSG 7 trường Trân Thiện; trường Thanh Mai 2018 - 2019)
Tìm các số
,,xyz
biết:
a)
10 6 21
xyz
= =
và
5 2 28xy z+− =
b)
3 2 ;7 5x yy z
= =
và
32xyz−+=
c)
234
345
xyz
= =
và
49xyz++=
Lời giải
a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
5 2 5 2 28
2
10 6 21 50 6 42 50 6 42 14
xyz xy z xyz+−
= = = = = = = =
+−
Từ
2
10
x
=
suy ra
2 10 20x =⋅=
2
6
y
=
suy ra
2 6 12y
=⋅=
2
21
z
=
suy ra
2 21 42
z =⋅=
Vậy
20; 12; 42xyz= = =
.
b)
3 2 ;7 5x yy z= =
và
32xyz−+=
Từ
32
xy
=
suy ra
2 3 10 15
xy x y
=⇒=
( )
1
75yz
=
suy ra
5 7 15 21
yz y z
=⇒=
( )
2
Từ
( )
1
và
(
)
2
suy ra
10 15 21
xyz
= =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
32
2
10 15 21 10 15 21 16
xyz xyz−+
= = = = =
−+
Từ
2
10
x
=
suy ra
2 10 20
x =⋅=
2
15
y
=
suy ra
2 15 30
y =⋅=
2
21
z
=
suy ra
2 21 42z =⋅=
Vậy
20; 30; 42xy z
= = =
c)
234
3 4 5 18 16 15
x y z xyz
= =⇒==
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
49
1
18 16 15 18 16 15 49
x y z xyz++
= = = = =
++
Từ
1
18
x
=
suy ra
1 18 18x =⋅=
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 13/54
1
16
y
=
suy ra
1 16 16y =⋅=
1
15
z
=
suy ra
1 15 15z =⋅=
Vậy
18; 16; 15xyz
= = =
Câu 23. (HSG 7 Thị xã Kinh Môn; trường Thống Nhất; trường Phan Kính Ân huyện Hưng Hà
2022 - 2023; trường Trần Lãm 2021 - 2022; huyện Vĩnh Yên 2018 - 2019; huyện Mỏ
Cày; huyện Thái Thụy 2017 - 2018)
Tìm
,,
xyz
biết:
56 64 45
456
zy xz yx−−−
= =
và
32596xyz−+=
.
Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
56 64 45
456
zy xz yx−−−
= =
20 24 30 20 24 30
16 25 36
zy xz yx−−−
= = =
20 24 30 20 24 30
0
16 25 36
zyxzyx−+−+−
= =
++
Suy ra
56
64
45
zy
xz
yx
=
=
=
suy ra
456
xyz
= =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 2 5 96
3
4 5 6 12 10 30 32
xyz x y z−+
= = = = =
−+
Suy ra
12; 15; 18xyz= = =
Vậy
12; 15; 18xyz= = =
.
Câu 24. (HSG 7 trường Thị Trấn Bến Lức; trường Mường Thanh 2022 - 2023; huyện Hiệp Đức
2018 - 2019)
Tìm
,,abc
biết
12 15 20 12 15 20
7 9 11
ab ca b c
−−−
= =
và
48
abc++=
Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12 15 20 12 15 20 12 15 20 12 15 20
0
7 9 11 27
12 15
0 12 15
7
12 15 20
111
20 12
0 20 12
12 15 20
9
ab ca b c ab cab c
ab
ab
abc
ab c
ca
ca
− − − −+−+−
= = = =
−
=⇒=
⇒ == ⇒==
−
=⇒=
Và
48abc++=
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
48
24
1 1 1 111 1
12 15 60 12 15 20 5
a b c abc++
= = = = =
++
20, 16, 12abc⇒= = =
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 14/54
Vậy
20;b 16;c 12a = = =
Câu 25. (HSG 7 huyện Trực Tĩnh 2016 - 2017; huyện Phú Thiện. 2015 – 2016)
Tìm
,,xyz
biết:
2 32
5 15
xy y z−−
=
và
2xz y+=
Lời giải
Từ
2
xz y
+=
ta có:
20
x yz
− +=
hay
2420xyz−+=
hay
2 320xy y z−− + =
Hay
2 32
xy y z−= −
Vậy nếu
2 32
5 15
xy y z−−
=
thì
2 320xy y z−= − =
Từ
1
20
2
xy x y−=⇒=
Từ
320yz
−=
và
2 20xz y xzy z+= ⇒++− =
hay
1
0
2
yyz+−=
Hay
3
0
2
yz−=
hay
2
3
yz=
, suy ra:
1
3
xz
=
Vậy
( )
13
,, ;;
22
xyz yy y

=


với
y ∈
.
Câu 26. (HSG 7 huyện Thái Thụy năm 2022 - 2023)
Tìm các số
;;xyz
thỏa mãn:
123
10 27 19
xy yz zx
+++
= =
và
50xy yz zx++=
Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
123
10 27 19
xy yz zx+++
= =
123
10 27 19
xy yz zx++ + + +
=
++
56
1
56
= =
1
19
10
xy
xy
+
=⇒=
, tương tự ta cũng có:
25; x 16yz z= =
( )
2
2
9.25.16 60 60xyz zyz⇒ = =⇒=
hoặc
60xyz = −
Với
12 14 20
60 ; ;
553
xyz x y z
−−−
=− ⇒= = =
Với
12 14 20
60 ; ;
553
xyz x y z= ⇒= = =
.
Câu 27. (HSG 7 huyện Nguyệt Ấn 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết
235xyz
= =
và
3 2 66xyz+−=
Lời giải
Ta có:
235
15 10 6
x yz
xyz==⇒==
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 2 3 2 66
2
15 10 6 30 12 15 30 12 33
x yz y zxy z+−
= = = = = = =
+−
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 15/54
2 30
15
2 20
10
2 12
6
x
x
y
y
z
z
⇒ =⇒=
⇒ =⇒=
⇒ =⇒=
Vậy
30; 20; 6
xyz= = =
Câu 28. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường THCS Tân Tiến 2022 - 2023)
Tìm
x
;
y
;
z
biết:
346xyz
= =
và
15xyz−+=−
.
Lời giải
Ta có:
346xyz
= =
346
12 12 12
xyz
⇒==
432
xyz
⇒==
Mà
15
xyz−+=−
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
432
xyz
= =
432
xyz
−+
=
−+
15
3
−
=
5= −
Do đó:
5.4 20x =−=−
5.3 15y =−=−
5.2 10z =−=−
Vậy
20x = −
;
15y = −
;
10z
= −
.
Câu 29. (HSG 7 Trường THCS Hiền Quan. 2015 - 2016)
Tìm các số
,,
xyz
biết:
12 15 20xyz= =
và
48xyz++=
Lời giải
Vì
12 15 20
543
xyz
xyz= = ⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
48
4
5 4 3 12 12
x y z xyz++
= = = = =
20; 16; 12x yz⇒= = =
Câu 30. (HSG 7 huyện Ứng Hòa đợt 1, 2022 - 2023; huyện Bố Trạch; huyện Vị Thanh 2017 - 2018)
Tìm các số
,,xyz
biết:
23xy=
;
45yz=
và
11
xyz++=
.
Lời giải
Ta có:
23
3 2 15 10
15 10 8
4y 5z
5 4 10 8
xy x y
xy
x yz
yz y z
= ⇔=⇔ =
⇒==
= ⇔=⇔ =
.
Á
p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
11 1
15 10 8 15 10 8 33 3
x y z xyz++
= = = = =
++
.
Như vậy:
1 1 10 1 8
15 5; 10 ; 8
3 3 3 33
xy z=⋅ = = ⋅= =⋅=
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 16/54
Câu 31. (HSG 7 huyện Hà Trung; huyện Chương Mỹ; huyện Hương Sơn 2022 - 2023; huyện
Đức Thọ 2021 - 2022; huyện Tân Tạo; huyện Phú Khánh 2018 - 2019; huyện Minh An
2016 - 2017)
Tìm
,,xyz
biết:
2 3 ;4 5x yy z= =
và
4357
xyz−+=
Lời giải
Từ
2 3 ;4 5 8 12 15x yy z x y z
= =⇒= =
4 3 5 435 7 1
15 10 8 60 30 40 60 30 40 70 10
x yz x y z xyz−+
⇒=== = == ==
−+
4 3 5 435 7 1
15 10 8 60 30 40 60 30 40 70 10
13 1 14
15. ; 10. 1; 8.
10 2 10 10 5
x yz x y z xyz
x yz
−+
⇒=== = == ==
−+
⇒= = = = = =
Vậy
34
; 1;
25
x yz= = =
Câu 32. HSG 7 huyện Cát Tiên 2018 - 2019; huyện Cẩm Khê 2017 - 2018; huyện Tân Kỳ 2015 -
2016)
Tìm
,,xyz
biết:
2 3 ,4 5x yy z= =
và
30
xyz
−−=
.
Lời giải
23
3 2 15 10
xy x y
xy
= ⇒=⇒ =
45
5 4 10 8
yz y z
yz
= ⇒=⇒ =
15 10 8
x yz
⇒==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
30
10
15 10 8 15 10 8 3
x y z xyz
−−
= = = = = −
−− −
Từ
( )
10 15 10 150
15
x
x=− ⇒ = ⋅− =−
( )
10 10 10 100
10
y
y=− ⇒ = ⋅− =−
( )
10 8 10 80
8
z
z=− ⇒ = ⋅− =−
Vậy
150; 100; 80xyz=−=−=−
Câu 33. (HSG 7 THCS Yên Phong năm 2022 - 2023)
Tìm
x
,
y
,
z
biết:
23
xy=
;
45
yz=
và
26xyz−+=
.
Lời giải
Từ
23
3 2 15 10
xy x y
xy= ⇒=⇒ =
;
45
5 4 10 8
yz y z
yz= ⇒=⇒ =
.
Suy ra
15 10 8
x yz
= =
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 17/54
26
2
15 10 8 15 10 8 13
x y z xyz−+
= = = = =
−+
.
Suy ra:
15 . 2 30x
= =
;
2 .10 20
y
= =
;
2 .8 16z = =
.
Vậy
30x =
,
20y =
,
16z =
.
Câu 34. (HSG 2018 - 2019)
Tìm các số
,,abc
biết:
2 3 ;5 7a bb c= =
và
375 30abc−+=−
Lời giải
Vì
(
)
23 1
3 2 21 14
ab a b
ab= ⇒=⇒ =
5 7 (2)
7 5 14 10
bc b c
bc= ⇒=⇒ =
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra:
21 14 10
abc
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 7 5 375 30
2
21 14 10 63 98 50 63 98 50 15
a b c a b c abc−+ −
= = = = = = = = −
−+
42; 28; 20abc⇒=− =− =−
Câu 35. (HSG 7 huyệnThiệu Hoá, tỉnh Thanh Hoá, trường THCS Thiệu Đô 2022 – 2023)
Tìm
,,abc
biết
3 2 ,4 5a bb c
= =
và
52abc−−+=−
Lời giải
Từ
32
2 3 10 15
ab a b
ab= ⇒=⇒ =
Từ
45
5 4 15 12
bc b c
bc= ⇒=⇒ =
Do đó
10 15 12
abc
= =
52
4
10 15 12 12 10 15 13
a b c cab
−− −
= = = = =
−− −
4 4.10 40
10
a
a⇒ =⇒= =
4 15.4 60
15
b
b=⇒= =
4 4.12 48
12
c
c=⇒= =
Vậy
40; 60; 48abc= = =
Câu 36. (HSG 7 THCS Hiền Quan, Tam Nông 2017-2018)
Tìm
,,xyz
biết
3 2 ,4 5
x yy z= =
và
78xyz
+−=
Lời giải
Từ
3 2 (1)
2 3 10 5
xy x y
xy= ⇒=⇒ =
)4 5 (2)
5 4 15 12
yz y z
yz+ = ⇒=⇒ =
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 18/54
Từ (1) và (2)
10 15 12
xyz
⇒==
và
78
xyz
+−=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
78
6
10 15 12 10 15 12 13
x y z xyz+−
= = = = =
+−
60; 90; 72
xyz
⇒= = =
Câu 37. (HSG huyện Bình Lục 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết
4 3 ;7 5x yy z= =
và
2 3 62
x yz
+ −=−
Lời giải
Theo đề bài, ta có:
43
3 4 15 20
15 20 28
75
5 7 20 28
xy x y
xy
xyz
yz y z
yz
= ⇒=⇒ =
⇒==
= ⇒=⇒ =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
2 3 62
1
15 20 28 30 60 28 62
x y z x yz+− −
= = = = = −
+−
Suy ra:
15; 20; 28
xyz=−=−=−
Vậy
15; 20; 28xyz=−=−=−
Câu 38. (HSG 7 huyện Chí Linh; huyện Vĩnh Lộc 2022 – 2023)
Tìm
,,xyz
biết
5 6 ;3 2x yy z= =
và
5 7 9 250xyz
−+=
Lời giải
Ta có
32 64xz yz
=⇒=
Mà
56 564xy xyz=⇒==
⇒
564
60 60 60 12 10 15
x y zx y z
= = = = =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
5 7 9 250
2
12 10 15 5.12 7.10 9.15 125
x y z xyz−+
= = = = =
−+
Do đó
2 2.12 24
12
x
x=⇒= =
2 2.10 20
10
y
y
=⇒= =
2 2.15 30
15
z
z=⇒= =
Vậy
24; 20; 30xy z
= = =
Câu 39. (HSG 7 huyện Thanh Miện 2022 – 2023)
Tìm
x
,
y
,
z
biết:
3 4 534
x y zxy= =−−
và
2 19xyz
+=−
Lời giải
Đặt
3
3 4 534 ; ;
345
tt t
x y z x yt x y z= = − − =⇒= = =
Thay vào
2 19xyz+=−
suy ra
3
2. 19
34 5
tt t
+= −
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 19/54
3
2. 19
34 5
tt t
+− =−
213
. 19
345
t

+− =−


19
. 19
60
t
= −
60t = −
20; 15; 36
xyz⇒=− =− =−
Vậy
20; 15; 36xyz=−=−=−
.
Câu 40. (HSG 7 huyện Thường Xuân; huyện Thạch Thành; trường Thị trấn Càng Nàng;
trường Yên Mỹ 2022 - 2023)
Tìm
,,
xyz
biết:
3 4 534x y zxy
= =−−
và
2 38xyz
+=−
.
Lời giải
Ta có:
3 4 534x y zxy= =−−
34534345345
1 1 1 111 3
x y zxy xyzxy z−− + +−−
⇒== = =
++
345
113
xyz
⇒==
20 15 36
xyz
⇒==
Lại có:
2 38 2 38
xyz xyz+=− ⇒ +−=−
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 38
2
20 15 36 2.20 15 36 19
x y z xyz+− −
= = = = = −
+−
Suy ra:
40; 30; 72xyz
=−=−=−
Vậy:
( ) ( )
; ; 40; 30; 72xyz =−− −
Câu 41. (HSG 7 huyện Hương Khê, tỉnh Hà Tĩnh, 2022 - 2023)
Tìm
,,xyz
biết:
( ) ( ) ( ) ( )
3122;4233xyyz+= + + = +
và
5 3 50x yz− +=
.
Lời giải
Ta có:
(
) ( )
12
3 12 2 ;
23
xy
xy
++
+= + ⇒ =
(
) ( )
23
4 23 3
34
yz
yz
++
+= +⇒ =
Suy ra
12355363
2 3 4 10 9 4
xy z x y z+++ + ++
= = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
5 5 3 6 3 5 3 2 48 2
10
10 9 4 5 2
x y z x yz+++−+++
= = = = =
Suy ra
1 20
2 30
3 40
x
y
z
+=
+=
+=
suy ra
19
28
37
x
y
z
=
=
=
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 20/54
Vậy
19; 28; 37xyz
= = =
Câu 42. (HSG 7 tỉnh Thái Bình, huyện Quỳnh Phụ 2021 - 2022)
Tìm các số dương
,,xyz
biết:
2 22
345
x yy zz x+ ++
= =
và
2 280xy yz zx++ =
Lời giải
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 22
345
x yy zz x+ ++
= =
2 22
345
x yy zz x
+ ++ ++
=
++
4
xyz++
=
2
44
y z xyz+ ++
⇒=
2y z xyz⇒+ =++
xz⇒=
( )
1
Và
2
34
x y xyz+ ++
⇒=
2
34
x y xyx+ ++
⇒=
48 63xy xy⇒+=+
2
5
yx⇒=
(
)
2
+ Thay
(
)
1
và
(
)
2
vào
2 280
xy yz zx++ =
ta được:
22
. . 2 . 280
55
x x xx xx+ +=
+ Giải ra tìm được
2
100x =
10x⇒=
( vì
x
> 0)
10zx⇒==
;
2
.10
5
y =
4=
.
Vậy
10x =
;
4y
=
;
10z =
.
Câu 43. (HSG 7 huyện Lâm Thao 2022 – 2023)
Tìm
,,xyz
biết
643
xyz= =
và
50xy yz xz−+=
Lời giải
Từ
643xyz
= =
và
50xy yz xz−+=
suy ra
50
3600
111 1 1 1 1 11 1 1
6 4 3 24 12 18 24 12 18 72 72
x y z xy yz xz xy yz xz xy yz xz−+ −+
==⇒=== = ==
−+
150, 300, 200xy yz xz
⇒= = =
Đặt
111
,,
111
643
643
xyz
k x ky kz k= = =⇒= = =
2
11
. 150 3600 60
64
kk k k
⇒ = ⇒ = ⇒=±
10, 15, 20xyz⇒=± =± =±
Vì
643xyz= =
nên
,,xyz
cùng dấu.
Vậy
( ) ( ) ( )
, , 10;15;20 , 10; 15; 20xyz = −−−
Câu 44. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Bùi Hữu Diên 2022 - 2023)
Tìm
a
,
b
,
c
biết
32ab=
;
53ac
=
và
204ab bc ca
++=−
.
Lời giải
Ta có
32ab=
23
ab
⇒=
69
ab
⇒=

Tài liệu khác của Toán 7

Preview text:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
CĐ 10: TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết dựa vào tỉ lệ thức
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Dạng 4: Bài toán về dãy tỉ số bằng nhau và chia tỉ lệ
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết dựa vào tỉ lệ thức A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023) Cho x 9 =
và x + y = 60. Tính 2x + 3y ? y 11 A. 50. B. 60 . C. 120. D. 153. Lời giải Chọn D x 9 x y = ⇒ =
. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: y 11 9 11 x y x + y 60 = = = = 3 9 11 9 +11 20
Do đó x = 9.3 = 27; y =11.3 = 33
⇒ 2x + 3y = 2.27 + 3.33 =153
Câu 2. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023) Cho x y = và 2 2
x − y = 9 . Tính tổng bình phương hai số x, y . 5 4 A. 41. B. 81. C. 9. D. 25 . Lời giải Chọn A 2 2 x y x y = ⇒ = . 5 4 25 16
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: 2 2 2 2 x y x − y 9 = = = = 1 25 16 25 −16 9 Do đó 2 x =1.25 = 25 2 y =1.16 =16 2 2 ⇒ x + y = 41
Câu 3. (Đề HSG 7 LDP huyện Yên Thế 2022 - 2023)
Cho x = 4 và xy = 9 . Khi đó 2 2
x + y bằng bao nhiêu ? y A. 97 . B. 81. C. 153 . D. 13. 4
Trang 1/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Lời giải Chọn C x = 4 x y
⇒ = = k ⇒ x = 4k, y = k y 4 1 Do 3
xy = 9 ⇒ 4k.k = 9 ⇒ k = ± 2 Với 3 k = ± thì 2 2
x + y = ( k )2 2 153 4 + k = 2 4
Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy, 2021 - 2022) Cho hai số ; x y biết x 5
= và x + y = 72. Vậy 2x − 3y bằng y 7 A. 30 B. 66 − C. 44 − D. 40 Lời giải Chọn B Ta có: x 5 x y = ⇒ = y 7 5 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y x + y 72 = = = = 6 5 7 5 + 7 12  x = 6 5 x = 30 ⇒  ⇒ y   y = 42 = 6 7
⇒ 2x − 3y = 2.30 − 3.42 = 66 −
Vậy 2x − 3y = 66 − .
Câu 5. (HSG 7 huyện THANH SƠN 2022 - 2023) Cho
5a + 2b + 8c A =
với a :b : c =1: 2 :3 7
− a − 4b + 6c vậy A bằng: A. 13. B. 5 − . C. 11. D. 9. Lời giải Chọn C : : =1: 2 :3 a b c a b c
⇒ = = = k ⇒ a = k;b = 2k;c = 3k 1 2 3
5a + 2b + 8c
5k + 4k + 24k 33k A = = = = 11 7
− a − 4b + 6c 7
− k −8k +18k 3k
Câu 6. (HSG 7 huyện THANH SƠN 2022 - 2023) 19 4 2023 Cho a b c a b c = =
và a + b + c ≠ 0 A = là: b c a giá trị của 2046 a A. 1. B. 1 − . C. 0 . D. 3. Lời giải Chọn A Vì a b c
= = , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có b c a
Trang 2/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
a b c a+b+c = = =
= 1⇒ a = b = c
b c a b + c + a 19 4 2023 19 4 2023 2046 a b c a a a a ⇒ A = = = =1 2046 2046 2046 a a a
Câu 7. (HSG 7 huyện LÂM THAO 2022 - 2023) 2 2 Cho 5 + −
x = 3y . Giá trị của biểu thức 8x 3y 2xy A = là. 2 2 10x − 3y A. 9 . B. 39 . C. 197 . D. 39 . 7 25 223 5 Lời giải Chọn D Ta có 5 = 3 x y x y ⇒ = 3 5 Đặt x y
= = k ⇒ x = 3k; y = 5k 3 5 2 2 2 2 2 Suy ra
8x + 3y − 2xy 8.9k + 3.25k − 2.3k.5k 117k 117 39 A = = = = = 2 2 2 2 2 10x − 3y 10.9k − 3.25k 15k 15 5
Câu 8. (HSG 7 đề khảo sát lần 3, 2022 - 2023)
Cho 3(a + b) = 2(3a −b). Tỉ số của hai số a và b bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 3 . 3 5 3 2 Lời giải Chọn A
3(a + b) = 2(3a −b)
⇒ 3a + 3b = 6a − 2b ⇒ 3a = 5b a 5 ⇒ = b 3
Câu 9. (HSG 7 đề khảo sát lần 3, 2022 - 2023) Nếu a b = và b c
= thì a , b , c tỉ lệ với 2 3 4 5 A. 12;8;15 . B. 15;12;8 . C. 8;12;15 . D. 8;12;20. Lời giải Chọn C Ta có: a b = a b ⇒ = 2 3 8 12 b c = b c ⇒ = 4 5 12 15 Do đó: a b c = = ⇒ ; a ;
b c tỉ lệ với 8;12;15 . 8 12 15
Trang 3/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 10. (HSG 7 huyện Tân Yên 2022 - 2023)
Cho dãy tỉ số bằng nhau 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = và a b c d biểu thức
a + b b + c c + d d + a M = + + +
. Giá trị của biểu thức M là
c + d d + a a + b b + c A. 4 . B. 4 − . C. 4 hoặc 4 − . D. 16. Lời giải Chọn C
Ta có: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d
⇒ 1 a + b + c + d +
= 1 a + b + c + d +
= 1 a + b + c + d +
= 1 a + b + c + d + a b c d
a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d ⇒ = = = . (1) a b c d
+ Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì từ (1) ⇒ a = b = c = d . Khi đó,
a + b b + c c + d d + a Q = + + + = 1+1+1+1 = 4 .
c + d d + a a + b b + c
a + b = −(c + d )
b+c = −(a+d)
+ Với a + b + c + d = 0 ⇒ 
c + d = −(a +  b) d + a = −  (b + c)
−(c + d ) −(d + a) −(a + b) −(b + c) Khi đó:
a + b b + c c + d d + a Q = + + + = + + +
c + d d + a a + b b + c c + d d + a a + b b + c = 1 − −1−1−1 = 4 − . B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Ứng Hòa, 2021 - 2022) Cho a b c
= = và a + b + c = 2022 . Tính a,b,c ? b c a Lời giải Ta có: a b c = = b c a
a b c a + b + c ⇒ = = = = 1
b c a b + c + aa =1 b  a = bb ⇒   = 1 ⇒ b
 = c ⇒ a = b = c c    c c =  a = 1 a
Mà a + b + c = 2022 ⇒ 3a = 2022 ⇒ a = 674 ⇒ a = b = c = 674
Vậy a = b = c = 674 .
Trang 4/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 2. (HSG 7 huyện Thường Tín 2018 - 2019) Cho a b c
= = và a + b + c = 2019. Tính a, , b c . b c a Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a + b + c 2019 = = = = = 1
b c a a + b + c 2019
Từ a =1⇒ a = b b
b =1 ⇒ b = c c Suy ra 2019
a = b = c = = 673 3
Câu 3. (HSG 7 trường Thiệu Vận, huyện Thiệu Hóa 2022 - 2023) Cho a b c
= = và a + b + c = 2025. Tính a,b,c b c a Lời giải
a b c a + b + c = = = = 1 a
⇒ = 1⇒ a = b
b c a a + b + c b
Tương tự b = c 2025
⇒ a = b = c = = 675 . 3
Câu 4. (HSG 7. Trường THCS Ân Tường Đông.2014 – 2015)
Tìm các số a,b,c biết: a b c
= = và a + b − c =10 3 5 7 Lời giải
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a + b − c = = = = 10 3 5 7 3+ 5 − 7
Từ a =10 ⇒ a = 30 3
Từ b =10 ⇒ b = 50 5
Từ c =10 ⇒ c = 70 7
Vậy a = 30,b = 50,c = 70
Câu 5. (HSG 7 trường Thiệu Châu 2022 - 2023; trường THCS Hiền Quan 2018 - 2019)
Tìm các số a,b,c biết rằng: a b c
= = và a + 2b − 3c = 20 − 2 3 4 Lời giải a =10 a b c
a 2b 3c a + 2b − 3c 20 − = = ⇒ = = = = = 5 b  ⇒  =15 2 3 4 2 6 12 2 + 6 −12 4 − c =  20
Trang 5/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 6. (HSG 7 trường Thống Nhất, huyện Hưng Hà năm 2022 - 2023; trường Tư Nghĩa,
huyện Nghĩa Điền 2017 - 2018)
Tìm x, y, z biết: x y z
= = và x − 3y + 4z = 62 4 3 9 Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z 3y 4z x − 3y + 4z x − 3y + 4z 62 = = = = = = = = 2 4 3 9 9 36 4 − 9 + 36 31 31
Suy ra x = 4.2 = 8; y = 3.2 = 6 ; z = 9.2 =18
Vậy x = 8; y = 6; z =18 .
Câu 7. (HSG 7 huyện Bát Xát, 2021 - 2022)
Tìm các số x, y, z biết x y z = =
và 5x + y − 2z = 28. 10 6 21 Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z
5x y 2z 5x + y − 2z 28 = = = = = = = = 2
10 6 21 50 6 42 50 + 6 − 42 14
x = 2⇒ x = 2.10 = 20 10
y = 2⇒ y = 6.2 =12 6
z = 2⇒ z = 21.2 = 42 21
Vậy x = 20, y =12, z = 42
Câu 8. (HSG 7 huyện Trực Ninh 2020 - 2021) Tìm − −
x, y biết: 2x 1 3y 2 =
và x + y = 2 . 5 3 Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2x −1 3y − 2 − − − + − + − − = 6x 3 6y 4 = = 6x 3 6y 4 = 6(x y) 7 = 6.2 7 = 5 = (vì 5 3 15 6 15 + 6 21 21 21 x + y = 2 ) 42x − 21 = 25
Từ 2x −1 3y − 2 5 = = suy ra 5 3 1 2  63y − 42 = 15  23 = 42x = 46 x  ⇒  21  ⇒  63y = 57 19 y =  21 Vậy 23 x = ; 19 y = . 21 21
Trang 6/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 9. (HSG 7 Tp Ninh Bình 2022 - 2023; huyện Giao Thuỷ 2016 - 2017)
Tìm x, y biết: x 8
= và 5x + 4y =120 y 5 Lời giải x 8 = x y ⇒ = y 5 8 5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x y 5x 4y 5x + 4y 120 = = = = = = 2 8 5 40 20 40 + 20 60 x = 2.8 =16 ⇒  y = 2.5 =10
Câu 10. (HSG 7 huyện Quế Sơn 2022 - 2023; huyện Kim Sơn 2017 - 2018; huyện Hiệp Hòa 2016 - 2017) Tìm +
x, y biết 4 x 4
= và x + y = 22 7 + y 7 Lời giải 4 + x 4
= ⇒ 7(4 + x) = 4(7 + y) 7 + y 7
⇒ 28 + 7x = 28 + 4y x 4
⇒ 7x = 4y ⇒ = x y ⇒ = y 7 4 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: x y x + y 22 = = = = 2 4 7 4 + 7 11  x = ⇒ = 2 x 8 4 ⇒  y  = 2 ⇒ y =14 7
Vậy x = 8; y =14
Câu 11. (HSG 7 huyện Việt Yên 2016 - 2017) Tìm +
x, y, z biết: 4 x 4
= và x + y = 55 7 + y 7 Lời giải 4 + x 4
= ⇒ 28 + 7x = 28 + 4y ⇒ 7x = 4y x y ⇒ = 7 + y 7 4 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: x y x + y 55 = = = = 5 4 7 4 + 7 11
⇒ x = 20; y = 35
Câu 12. (HSG 7 huyện Vũ Thư, 2022 - 2023) Tìm − + −
x, y, z biết: x 1 y 3 z 5 = =
và x + y + z = 27 . 2 4 6
Trang 7/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Lời giải
Đặt x −1 y + 3 z − 5 = =
= k ⇒ x = 2k +1; y = 4k − 3; z = 6k + 5 . 2 4 6
Vì x + y + z = 27 ⇒ 2k +1+ 4k − 3+ 6k + 5 = 27
⇒12k + 3 = 27 ⇒12k = 24 ⇒ k = 2.
Với k = 2 ta có: x = 2.2 +1 = 5; y = 4.2 − 3 = 5; z = 6.2 + 5 =17
Vậy (x, y, z) = (5; 5;17) .
Câu 13. (HSG 7 huyện Văn Bàn 2022 - 2023) Tìm − − −
x, y, z biết: x 1 y 3 z 5 = =
và 5z − 3x − 4y = 50 . 2 4 6 Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
x −1 y + 3 z − 5 5(z − 5) − 3(x − )
1 − 4( y + 3) (5z −3x − 4y) −34 50 −34 = = = = = = 2 2 4 6 2 8 8 x −1 ⇒
= 2 ⇒ x −1 = 4 ⇒ x = 5 2
y + 3 = 2⇒ y +3=8⇒ y = 5 4
z − 5 = 2⇒ z −5 =12⇒ z =17 6
Vậy (x, y, z) = (5;5;17) .
Câu 14. (HSG 7 huyện Trà My, tỉnh Quảng Nam, trường Trà My 2022 - 2023) Tìm − − −
x, y, z biết x 1 y 3 z 2 = =
và x − 3y + 4z = 4 2 4 3 Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x −1 y − 3 z − 2 x −1 3y − 9 4z −8 x −1− 3y + 9 + 4z −8 = = = = = = = 2 2 4 3 2 12 12 2 −12 +12  x −1
= 2 ⇒ x −1 = 4 ⇒ x = 5  2   y − 3 ⇒ 
= 2 ⇒ y − 3 = 8 ⇒ y =11 4 
z − 2 = 2⇒ z −2 = 6⇒ z =8   3
Vậy x = 5; y =11; z = 8
Câu 15. (HSG 7 trường Võ Thị Sáu; trường Kim Trung 2022 - 2023; trường Hồng Liên; trường
Phương Trung 2018 - 2019)
Cho a −1 b + 3 c − 5 = =
và 5a − 3b − 4c = 46 . Tìm a, b, c . 2 4 6
Trang 8/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Lời giải
a −1 b + 3 c − 5 5.(a − ) 1
3.(b + 3) 4.(c −5) Ta có:
5a − 5 3b + 9 4c − 20 = = = = = = = = 2 4 6 5.2 3.4 4.6 10 12 24
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a −1 b + 3 c − 5 5a − 5 3b + 9 4c − 20 = = = = = 2 4 6 10 12 24
(5a −5)−(3b +9)−(4c − 20) 5a −3b − 4c + 6 46+ 6 52 = = = = = 2 − . 10 −12 − 24 26 − 26 − 26 − Suy ra: a −1 = 2 − ⇒ a −1 = 4 − ⇒ a = 3 − . 2 b + 3 = 2 − ⇒ b + 3 = 8 − ⇒ b = 11 − . 4 c − 5 = 2 − ⇒ c − 5 = 12 − ⇒ c = 7 − . 6
Vậy (a ; b ; c) = ( 3 − ; −11 ; − 7).
Câu 16. (HSG 7 huyện Hưng Hà năm 2022 - 2023) Tìm x , − − −
y , z biết: 3x 2y 4y 3z 2z 4x = =
và x − 2y + 3z = 8 . 4 2 3 Lời giải
Ta có: 3x − 2y 4y − 3z 2z − 4x 12x −8y 8y − 6z 6z −12x = = = = = . 4 2 3 16 4 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12x −8y 8y − 6z 6z −12x 12x −8y + 8y − 6z + 6z −12x = = = = 0 16 4 9 16 + 4 + 9
Suy ra: 12x −8y = 0; 8y − 6z = 0; 6z −12x = 0 ⇒ 12 = 8 = 6 x y z x y z ⇒ = = . 2 3 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x − 2y + 3z 8 = = =
= = 1 ⇒ x = 2; y = 3; z = 4 . 2 3 4 2 − 6 +12 8
Vậy x = 2; y = 3; z = 4 .
Câu 17. (HSG 7 huyện Anh Sơn năm 2022 - 2023) Tìm − − −
x, y, z biết: 3x 2y 2z 4x 4y 3z = =
và x + y + z = 72 . 4 3 2 Lời giải
4(3x − 2y) 3(2z − 4x) 2(4y −3z)
Ta có: 3x − 2y 2z − 4x 4y − 3z = = ⇒ = = . 4 3 2 16 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
4(3x − 2y) 3(2z − 4x) 2(4y −3z) 4(3x − 2y) + 3(2z − 4x) + 2(4y −3z) = = = = 0 16 9 4 16 + 9 + 4 Suy ra:
Trang 9/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 3 2 0 3 2 x y x y x y  − = ⇒ = ⇒ = 2 3  x y z  ⇒ = = . 4 3 0 4 3 y z y z y z  − = ⇒ = ⇒ = 2 3 4 3 4 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x + y + z 72 = = = =
= 8 ⇒ x = 8 . 2 =16; y = 8 . 3 = 24; z = 8 . 4 = 32 . 2 3 4 2 + 3+ 4 9
Vậy x =16 , y = 24 , z = 32 .
Câu 18. (HSG 7 huyện Kinh Môn 2022 - 2023; huyện Bá Thước 2021 - 2022; huyện Sơn Trà
2018 - 2019; huyện Bố Trạch; huyện Cẩm Phả 2017 - 2018; huyện Thiệu Hóa 2016 -
2017; huyện Triệu Sơn 2015 - 2016) Tìm − − −
x, y, z , biết: 3x 2y 2z 4x 4y 3z = =
và x + y + z =18 4 3 2 Lời giải
4(3x − 2y) 3(2z − 4x) 2(4y −3z)
Ta có 3x − 2y 2z − 4x 4y − 3z = = ⇒ = = 4 3 2 16 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
4(3x − 2y) 3(2z − 4x) 2(4y −3z) − + − + − = =
12x 8y 6z 12x 8y 6z = = 0 16 9 4 16 + 9 + 4 4(3x − 2y) *)
= 0 ⇒ 3x = 2y ⇒12x = 8y (1) 16 3(2z − 4x) *)
= 0 ⇒ 2z = 4x ⇒ 6z =12x (2) 9
Từ (1) và (2) Suy ra 12x = 8y = 6z 12x 8y 6z ⇒ = = x y z ⇒ = = 48 48 48 4 6 8
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
x y z x + y + z 18 = = = =
= 1 (vì x + y + z =18 ) 4 6 8 4 + 6 + 8 18
⇒ x = 4; y = 6; z = 8
Vậy x = 4; y = 6; z = 8
Câu 19. (HSG huyện Bình Long; huyện Vũ Thư 2022 - 2023; huyện Trực Ninh 2018 - 2019;
huyện Tam Dư 2017 - 2018) Tìm ba số ; − − − a ;
b c biết: 3a 2b 2c 5a 5b 3c = =
và a + b + c = 50 − . 5 3 2 Lời giải
Ta có: 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c − − − = =
15a 10b 6c 15a 10b 6c ⇒ = = . 5 3 2 25 9 4
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 15  a =10b Suy ra:  a b c a b c
6c =15a ⇒15a =10b = 6c 15 10 6 ⇒ = = ⇒ = = . 90 90 90 6 9 15 10  b =  6c
Trang 10/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a + b + c 50 − 5 − = = = = = . 6 9 15 6 + 9 +15 30 3 Suy ra: 5 a 6 − − − = ⋅ = 10 − ; 5 b = 9⋅ = 15 − ; 5 c =15⋅ = 25 − . 3 3 3 Vậy a = 10 − ; b = 15 − ; c = 25 − .
Câu 20. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Lê Tư Thành 2022 - 2023) Tìm − − −
x, y, z biết: 3x 2y 2z 5x 5y 3z = =
và x + y + z = 50 . 5 3 2 Lời giải
Từ 3x − 2y 2z − 5x 5y − 3z − − − = =
15x 10y 6z 15x 10y 6z ⇒ = = 5 3 2 25 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
15x −10y 6z −15x 10y − 6z − + − + − = =
15x 10y 6z 15x 10y 6z = = 0 25 9 4 38  x y =  15  x −10y = 0 3  x = 2y 2 3   ⇒   x z
6z −15x = 0 ⇒ 2z = 5x ⇒  = 2 5 10  y −6z =    0 5y =  3zz y = 5 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có: x y z + + = = x y z = 50 = = 5 2 3 5 2 + 3+ 5 10
Từ đó suy ra x =10, y =15, z = 25 .
Câu 21. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Trần Thủ Độ 2022 - 2023) Tìm − − −
x, y, z biết: 6x 5y 7y 6z 5z 7x = =
và 4x + 2y − z =10 . 11 4 30 Lời giải
Ta có 6x − 5y 7y − 6z 5z − 7x = = 11 4 30
7(6x − 5y) 5(7y − 6z) 6(5z − 7x) ⇒ = = 7.11 5.4 6.30
42x − 35y 35y − 30z 30z − 42x ⇒ = = 77 20 180
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
42x − 35y 35y − 30z 30z − 42x − + − + − ⇒ = =
42x 35y 35y 30z 30z 42x = = 0 77 20 180 77 + 20 +180 x y z ⇒ = = 5 6 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z + − = = 4x 2y z = 2 = 5 6 7 20 +12 − 7 5 Suy ra x = 2 ; 12 y = ; 14 z = . 5 5
Trang 11/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 22. (HSG 7 trường Trân Thiện; trường Thanh Mai 2018 - 2019)
Tìm các số x, y, z biết: a) x y z = =
và 5x + y − 2z = 28 10 6 21
b) 3x = 2y; 7y = 5z và x − y + z = 32
c) 2x 3y 4z = =
và x + y + z = 49 3 4 5 Lời giải
a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z
5x y 2z 5x + y − 2z 28 = = = = = = = = 2
10 6 21 50 6 42 50 + 6 − 42 14
Từ x = 2 suy ra x = 2⋅10 = 20 10
y = 2 suy ra y = 2⋅6 =12 6
z = 2 suy ra z = 2⋅21= 42 21
Vậy x = 20; y =12; z = 42 .
b) 3x = 2y; 7y = 5z và x − y + z = 32
Từ 3x = 2y suy ra x y x y = ⇒ = ( )1 2 3 10 15
7y = 5z suy ra y z y z = ⇒ = (2) 5 7 15 21 Từ ( ) 1 và (2) suy ra x y z = = 10 15 21
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z
x − y + z 32 = = = = = 2 10 15 21 10 −15 + 21 16
Từ x = 2 suy ra x = 2⋅10 = 20 10
y = 2 suy ra y = 2⋅15 = 30 15
z = 2 suy ra z = 2⋅21= 42 21
Vậy x = 20; y = 30; z = 42
c) 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = 3 4 5 18 16 15
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x + y + z 49 = = = = = 1 18 16 15 18 +16 +15 49
Từ x =1 suy ra x =1⋅18 =18 18
Trang 12/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
y =1 suy ra y=1⋅16=16 16
z =1 suy ra z =1⋅15 =15 15
Vậy x =18; y =16; z =15
Câu 23. (HSG 7 Thị xã Kinh Môn; trường Thống Nhất; trường Phan Kính Ân huyện Hưng Hà
2022 - 2023; trường Trần Lãm 2021 - 2022; huyện Vĩnh Yên 2018 - 2019; huyện Mỏ
Cày; huyện Thái Thụy 2017 - 2018) Tìm − − −
x, y, z biết: 5z 6y 6x 4z 4y 5x = =
và 3x − 2y + 5z = 96 . 4 5 6 Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5z − 6y 6x − 4z 4y − 5x − − − = =
20z 24y 30x 20z 24y 30x = = = 4 5 6 16 25 36
20z − 24y + 30x − 20z + 24y − 30x = = 0 16 + 25 + 36 5  z = 6y Suy ra  x y z
6x = 4z suy ra = =  4 5 6 4y =  5x
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z 3x − 2y + 5z 96 = = = = = 3 4 5 6 12 −10 + 30 32
Suy ra x =12; y =15; z =18
Vậy x =12; y =15; z =18.
Câu 24. (HSG 7 trường Thị Trấn Bến Lức; trường Mường Thanh 2022 - 2023; huyện Hiệp Đức 2018 - 2019)
Tìm a,b,c biết 12a −15b 20c −12a 15b − 20c = =
và a + b + c = 48 7 9 11 Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12a −15b 20c −12a 15b − 20c 12a −15b + 20c −12a +15b − 20c = = = = 0 7 9 11 27
12a −15b 0 12a 15b  = ⇒ = 7
⇒12 =15 = 20 a b c a b c ⇒ = = 20c −12a 1 1 1 0 20c 12a = ⇒ = 9  12 15 20
Và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a + b + c 48 = = = = = 24 1 1 1 1 1 1 1 + + 12 15 60 12 15 20 5
⇒ a = 20,b =16,c =12
Trang 13/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy a = 20;b =16;c =12
Câu 25. (HSG 7 huyện Trực Tĩnh 2016 - 2017; huyện Phú Thiện. 2015 – 2016) Tìm − −
x, y, z biết: 2x y 3y 2z =
và x + z = 2y 5 15 Lời giải
Từ x + z = 2y ta có:
x − 2y + z = 0 hay 2x − 4y + 2z = 0 hay 2x − y − 3y + 2z = 0
Hay 2x − y = 3y − 2z
Vậy nếu 2x − y 3y − 2z =
thì 2x − y = 3y − 2z = 0 5 15 Từ 1
2x − y = 0 ⇒ x = y 2
Từ 3y − 2z = 0 và x + z = 2y ⇒ x + z + y − 2z = 0 hay 1 y + y − z = 0 2
Hay 3 y − z = 0hay 2 y = z , suy ra: 1 x = z 2 3 3 Vậy (x y z)  1 3 , ,
y; y; y  =  với y ∈ . 2 2   
Câu 26. (HSG 7 huyện Thái Thụy năm 2022 - 2023) Tìm các số ; + + +
x y; z thỏa mãn: xy 1 yz 2 zx 3 = =
và xy + yz + zx = 50 10 27 19 Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xy +1 yz + 2 zx + 3 + + + + + = =
xy 1 yz 2 zx 3 = 56 = = 1 10 27 19 10 + 27 +19 56
xy +1 =1⇒ xy = 9, tương tự ta cũng có: 10 yz = 25; zx =16 ⇒ (xyz)2 2
= 9.25.16 = 60 ⇒ zyz = 60 hoặc xyz = 60 − Với 12 − 14 − 20 xyz 60 x ; y ; z − = − ⇒ = = = 5 5 3 Với 12 14 20 xyz = 60 ⇒ x = ; y = ; z = . 5 5 3
Câu 27. (HSG 7 huyện Nguyệt Ấn 2022 - 2023)
Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z và x + 3y − 2z = 66 Lời giải Ta có: 2 = 3 = 5 x y z x y z ⇒ = = 15 10 6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z 3y 2z
x + 3y − 2z 66 = = = = = = = 2 15 10 6 30 12 15 + 30 −12 33
Trang 14/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x ⇒ = 2 ⇒ x = 30 15y ⇒ = 2 ⇒ y = 20 10 z ⇒ = 2 ⇒ z =12 6
Vậy x = 30; y = 20; z = 6
Câu 28. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường THCS Tân Tiến 2022 - 2023)
Tìm x ; y ; z biết: 3x = 4y = 6z và x − y + z = 15 − . Lời giải
Ta có: 3x = 4y = 6z 3x 4y 6z ⇒ = = x y z ⇒ = = 12 12 12 4 3 2
Mà x − y + z = 15 − .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: x y z − + − = = x y z = 15 = = 5 − 4 3 2 4 − 3+ 2 3 Do đó: x = 5.4 − = 20 − y = 5.3 − = 15 − z = 5.2 − = 10 − Vậy x = 20 − ; y = 15 − ; z = 10 − .
Câu 29. (HSG 7 Trường THCS Hiền Quan. 2015 - 2016)
Tìm các số x, y, z biết: 12x =15y = 20z và x + y + z = 48 Lời giải Vì 12 =15 = 20 x y z x y z ⇒ = = 5 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: x y z x + y + z 48 = = = = = 4 5 4 3 12 12
⇒ x = 20; y =16; z =12
Câu 30. (HSG 7 huyện Ứng Hòa đợt 1, 2022 - 2023; huyện Bố Trạch; huyện Vị Thanh 2017 - 2018)
Tìm các số x, y, z biết: 2x = 3y ; 4y = 5z và x + y + z =11. Lời giải Ta có: 2 3 x y x y x y  = ⇔ = ⇔ = 3 2 15 10 x y z  ⇒ = = . y z y z 15 10 8 4y 5z  = ⇔ = ⇔ = 5 4 10 8 
Á̂̀p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: x y z x + y + z 11 1 = = = = = . 15 10 8 15 +10 + 8 33 3 Như vậy: 1 1 10 1 8
x = ⋅15 = 5; y =10⋅ = ; z = 8⋅ = . 3 3 3 3 3
Trang 15/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Câu 31. (HSG 7 huyện Hà Trung; huyện Chương Mỹ; huyện Hương Sơn 2022 - 2023; huyện
Đức Thọ 2021 - 2022; huyện Tân Tạo; huyện Phú Khánh 2018 - 2019; huyện Minh An 2016 - 2017)
Tìm x, y, z biết: 2x = 3y;4y = 5z và 4x − 3y + 5z = 7 Lời giải
Từ 2x = 3y;4y = 5z ⇒ 8x =12y =15z x y
z 4x 3y 5z 4x − 3y + 5z 7 1 ⇒ = = = = = = = =
15 10 8 60 30 40 60 − 30 + 40 70 10 x y
z 4x 3y 5z 4x − 3y + 5z 7 1 ⇒ = = = = = = = =
15 10 8 60 30 40 60 − 30 + 40 70 10 1 3 1 1 4 ⇒ x =15. = ; y =10. = 1; z = 8. = 10 2 10 10 5 Vậy 3 4
x = ; y =1; z = 2 5
Câu 32. HSG 7 huyện Cát Tiên 2018 - 2019; huyện Cẩm Khê 2017 - 2018; huyện Tân Kỳ 2015 - 2016)
Tìm x, y, z biết: 2x = 3y, 4y = 5z và x − y − z = 30. Lời giải 2 = 3 x y x y x y ⇒ = ⇒ = 3 2 15 10 4 = 5 y z y z y z ⇒ = ⇒ = 5 4 10 8 x y z ⇒ = = 15 10 8
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z
x − y − z 30 = = = = = 10 − 15 10 8 15 −10 −8 3 − Từ x = 10 − ⇒ x =15⋅( 10 − ) = 150 − 15 y = 10 − ⇒ y =10⋅( 10 − ) = 100 − 10 z = 10 − ⇒ z = 8⋅( 10 − ) = 80 − 8 Vậy x = 150 − ; y = 100 − ; z = 80 −
Câu 33. (HSG 7 THCS Yên Phong năm 2022 - 2023)
Tìm x , y , z biết: 2x = 3y ; 4y = 5z và x − y + z = 26 . Lời giải Từ 2 = 3 x y x y x y ⇒ = ⇒ = ; 4 = 5 y z y z y z ⇒ = ⇒ = . 3 2 15 10 5 4 10 8 Suy ra x y z = = . 15 10 8
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Trang 16/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
x y z x− y+z 26 = = = = = 2. 15 10 8 15 −10 + 8 13
Suy ra: x =15 . 2 = 30 ; y = 2 .10 = 20; z = 2 .8 =16.
Vậy x = 30 , y = 20 , z =16 .
Câu 34. (HSG 2018 - 2019)
Tìm các số a,b,c biết: 2a = 3 ;
b 5b = 7c và 3a − 7b + 5c = 3 − 0 Lời giải Vì 2 = 3 a b a b a b ⇒ = ⇒ = ( )1 3 2 21 14 5 = 7 b c b c b c ⇒ = ⇒ = (2) 7 5 14 10 Từ ( ) 1 và (2) suy ra: a b c = = 21 14 10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c
3a 7b 5c 3a − 7b + 5c 3 − 0 = = = = = = = = 2 −
21 14 10 63 98 50 63− 98 + 50 15 ⇒ a = 42 − ; b = 28 − ; c = 20 −
Câu 35. (HSG 7 huyệnThiệu Hoá, tỉnh Thanh Hoá, trường THCS Thiệu Đô 2022 – 2023)
Tìm a,b,c biết 3a = 2b,4b = 5c và −a − b + c = 52 − Lời giải Từ 3 = 2 a b a b a b ⇒ = ⇒ = 2 3 10 15 Từ 4 = 5 b c b c b c ⇒ = ⇒ = 5 4 15 12 Do đó a b c = = 10 15 12 a b c
c − a − b 52 − = = = = = 4 10 15 12 12 −10 −15 13 − a ⇒ = 4 ⇒ a = 4.10 = 40 10
b = 4⇒ b =15.4 = 60 15
c = 4⇒ c = 4.12 = 48 12
Vậy a = 40;b = 60;c = 48
Câu 36. (HSG 7 THCS Hiền Quan, Tam Nông 2017-2018)
Tìm x, y, z biết 3x = 2y,4y = 5z và x + y − z = 78 Lời giải Từ 3 = 2 x y x y x y ⇒ = ⇒ = (1) 2 3 10 5 +)4 = 5 y z y z y z ⇒ = ⇒ = (2) 5 4 15 12
Trang 17/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ (1) và (2) x y z ⇒ = =
và x + y − z = 78 10 15 12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z
x + y − z 78 = = = =
= 6 ⇒ x = 60; y = 90; z = 72 10 15 12 10 +15 −12 13
Câu 37. (HSG huyện Bình Lục 2022 - 2023)
Tìm x, y, z biết 4x = 3y;7y = 5z và 2x + 3y − z = 62 − Lời giải Theo đề bài, ta có: 4 3 x y x y x y  = ⇒ = ⇒ = 3 4 15 20  x y z  ⇒ = = y z y z 15 20 28 7y 5z  = ⇒ = ⇒ = 5 7 20 28
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: x y z
2x + 3y − z 62 − = = = = = 1 − 15 20 28 30 + 60 − 28 62 Suy ra: x = 15 − ; y = 20 − ; z = 28 − Vậy x = 15 − ; y = 20 − ; z = 28 −
Câu 38. (HSG 7 huyện Chí Linh; huyện Vĩnh Lộc 2022 – 2023)
Tìm x, y, z biết 5x = 6y;3y = 2z và 5x − 7y + 9z = 250 Lời giải
Ta có 3x = 2z ⇒ 6y = 4z
Mà 5x = 6y ⇒ 5x = 6y = 4z x y z x y z ⇒ 5 6 4 = = = = = 60 60 60 12 10 15
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x y z
5x − 7y + 9z 250 = = = = = 2
12 10 15 5.12 − 7.10 + 9.15 125 Do đó
x = 2⇒ x = 2.12 = 24 12
y = 2⇒ y = 2.10 = 20 10
z = 2⇒ z = 2.15 = 30 15
Vậy x = 24; y = 20; z = 30
Câu 39. (HSG 7 huyện Thanh Miện 2022 – 2023)
Tìm x , y , z biết: 3x = 4y = 5z − 3x − 4y và 2x + y = z −19 Lời giải Đặt t t 3
3 = 4 = 5 − 3 − 4 = ⇒ = ; = ; t x y z x y t x y z = 3 4 5
Thay vào 2x + y = z −19 t t t suy ra 3 2. + = −19 3 4 5
Trang 18/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 t t 3 2. t + − = 19 − 3 4 5  2 1 3 t.  + − =  19 −   3 4 5  19 t. = 19 − 60 t = 60 − ⇒ x = 20 − ; y = 15 − ; z = 36 − Vậy x = 20 − ; y = 15 − ; z = 36 − .
Câu 40. (HSG 7 huyện Thường Xuân; huyện Thạch Thành; trường Thị trấn Càng Nàng;
trường Yên Mỹ 2022 - 2023)
Tìm x, y, z biết: 3x = 4y = 5z − 3x − 4y và 2x + y = z − 38. Lời giải
Ta có: 3x = 4y = 5z − 3x − 4y
3x 4y 5z − 3x − 4y 3x + 4y + 5z − 3x − 4y 5z ⇒ = = = = 1 1 1 1+1+1 3 3x 4y 5z ⇒ = = 1 1 3 x y z ⇒ = = 20 15 36
Lại có: 2x + y = z − 38 ⇒ 2x + y − z = 38 −
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z
2x + y − z 38 − = = = = = 2 − 20 15 36 2.20 +15 − 36 19 Suy ra: x = 40 − ; y = 30 − ; z = 72 − Vậy: ( ; x y; z) = ( 40 − ;− 30;− 72)
Câu 41. (HSG 7 huyện Hương Khê, tỉnh Hà Tĩnh, 2022 - 2023)
Tìm x, y, z biết: 3(x + )
1 = 2( y + 2); 4( y + 2) = 3(z + 3) và 5x −3y + z = 50 . Lời giải
Ta có: (x + ) = ( y + ) x +1 y + 2 3 1 2 2 ⇒ = ; 2 3
( y + ) = (z + ) y + 2 z +3 4 2 3 3 ⇒ = 3 4
Suy ra x +1 y + 2 z + 3 5x + 5 3y + 6 z + 3 = = = = = 2 3 4 10 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
5x + 5 3y + 6 z + 3 5x − 3y + z + 2 48 + 2 = = = = = 10 10 9 4 5 2 x +1 = 20 x =19 Suy ra  
y + 2 = 30 suy ra y = 28 z +3 =   40 z =  37
Trang 19/54
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Vậy x =19; y = 28; z = 37
Câu 42. (HSG 7 tỉnh Thái Bình, huyện Quỳnh Phụ 2021 - 2022) Tìm các số dương + + +
x, y, z biết: x 2y y 2z z 2x = =
và xy + yz + 2zx = 280 3 4 5 Lời giải
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x + 2y y + 2z z + 2x + + + + + + + = =
x 2y y 2z z 2x = x y z = 3 4 5 3+ 4 + 5 4
y + 2z x + y + z ⇒ =
⇒ y + 2z = x + y + z ⇒ x = z ( )1 4 4 Và
x + 2y x + y + z + + + ⇒ = x 2y x y x ⇒ =
⇒ 4x + 8y = 6x + 3y 2 ⇒ y = x (2) 3 4 3 4 5 + Thay ( )
1 và (2) vào xy + yz + 2zx = 280 ta được: 2 2 . x x + . x x + 2 . x x = 280 5 5 + Giải ra tìm được 2
x =100 ⇒ x =10 ( vì x > 0) ⇒ z = x =10 ; 2 y = .10 = 4 . 5
Vậy x =10 ; y = 4 ; z =10 .
Câu 43. (HSG 7 huyện Lâm Thao 2022 – 2023)
Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và xy − yz + xz = 50 Lời giải
Từ 6x = 4y = 3z và xy − yz + xz = 50 suy ra x y z xy yz xz
xy − yz + xz
xy − yz + xz 50 = = ⇒ = = = = = = 3600 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + 6 4 3 24 12 18 24 12 18 72 72
⇒ xy =150, yz = 300, xz = 200 Đặt x y z 1 1 1 = =
= k ⇒ x = k , y = k , 1 1 1 z = k 6 4 3 6 4 3 1 1 2
⇒ k. k =150⇒ k = 3600 ⇒ k = 60 ± 6 4 ⇒ x = 10 ± , y = 15 ± , z = 20 ±
Vì 6x = 4y = 3z nên x, y, z cùng dấu.
Vậy (x, y, z) = (10;15;20), ( 10 − ; 15 − ; 20 − )
Câu 44. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Bùi Hữu Diên 2022 - 2023)
Tìm a , b , c biết 3a = 2b ; 5a = 3c và ab + bc + ca = 204 − . Lời giải Ta có 3a = 2b a b ⇒ = a b ⇒ = 2 3 6 9
Trang 20/54

Tài liệu liên quan: