Bản tóm tắt công thức giữa kỳ 20241 môn Giải tích 1 - CLB HTHT_2
Preview text:
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
CÔNG THỨC GIẢI TÍCH I 1
Hàm số một biến số 1.1
Một số khái niệm cơ bản về hàm số
• Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (x) = f (−x).
• Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (x) = −f (−x).
• Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn ⇔ ∃T > 0, ∀x ∈ D : x + T ∈ D và f (x + T ) = f (x)
• Hàm hợp: y = f (x), x = g(t) có hàm hợp y = f ◦ g := f (g(t)).
• Hàm ngược: y = f (x) có TXĐ X, TGT Y có hàm ngược x = g(y) ⇔ (f ◦ g)(y) = y, ∀y ∈ Y và
(g ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ X. Hàm số ngược của y = f (x) được kí hiệu là y = f −1(x), x ∈ Y . 1.2
Các hàm số sơ cấp cơ bản • xα, TXĐ: phụ thuộc vào α. • ax, 0 < a ̸= 1, TXĐ: R, TGT: (0; +∞). • log x, 0 < a ̸= 1, TXĐ: (0; +∞), TGT: a R
• Các hàm lượng giác: sin x, cos x, tan x, cot x
• Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x TXĐ [−1; 1] [−1; 1] (−∞; ∞) (−∞; ∞) −π π −π π TGT ; [0; π] ; (0; π) 2 2 2 2 1 1 (arcsin x)′ = √ (arccos x)′ = − √ 1 − x2 1 − x2 1 1 (arctan x)′ = (arccotx)′ = − 1 + x2 1 + x2 • Các hàm hyperbolic: ex − e−x ex + e−x sinh x = ; cosh x = ; 2 2 sinh x ex − e−x cosh x ex + e−x tanh x = = ; coth x = = cosh x ex + e−x sinh x ex − e−x 1.3 Hàm số sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản được tạo bởi số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hợp và các hằng số. 1
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập 2 Giới hạn dãy số 2.1 Định nghĩa
• lim un = a, a ∈ R ⇔ ∀ϵ > 0, ∃N (ϵ), ∀n ∈ N, n > N (ϵ) : |un − a| < ϵ n→∞
• lim un = ±∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N (M ), ∀n ∈ N, n > N (M ): |un| > M n→∞ 2.2
Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hữu hạn
• Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn: Nếu một dãy số tăng, bị chặn trên hoặc giảm, bị chặn dưới thì dãy số đó có giới hạn hữu hạn.
• Tiêu chuẩn kẹp: Cho ba dãy (x ∗
n), (yn), (zn) thỏa mãn xn ≤ yn ≤ zn ∀n ≥ a, a ∈ N và
lim xn = lim zn = L. Khi đó lim yn = L. n→∞ n→∞ n→∞
• Tiêu chuẩn Cauchy: Điều kiện cần và đủ để dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là:
∀ϵ > 0, ∃N (ϵ); ∀m, n ∈ N ; m, n > N (ϵ) : |um − un| < ϵ 3 Giới hạn hàm số 3.1
Giới hạn của hàm hợp:
Nếu có lim u(x) = u0, lim f (u) = f (u0) thì lim f (u(x)) = f (u0) x→x0 u→u0 x→x0
Áp dụng: lim A(x)B(x) = lim eB(x). ln(A(x)) x→x0 x→x0 3.2 Tiêu chuẩn kẹp:
Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) trong một lân cận nào đó của a và tồn tại các giới hạn lim f (x) = lim h(x) = L Khi x→a x→a đó tồn tại lim g(x), và x→a
lim f (x) = lim g(x) = lim h(x) = L x→a x→a x→a 4
Vô cùng bé, vô cùng lớn 4.1
Một số VCB tương đương khi x → 0: ax − 1
• x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ex − 1 ∼ ∼ ln(1 + x) (a > 0, a ̸= 1) ln(a) √ αx
• (1 + x)α − 1 ∼ αx. Đặc biệt m 1 + αx − 1 ∼ (m > 0) m x2 • 1 − cos x ∼ 2 2
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập 4.2
Quy tắc thay VCB,VCL tương đương
Nếu α1(x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) khi x → a thì: α α lim
1(x) = lim 2(x), lim α1(x)β1(x) = lim α2(x)β2(x). x→a β1(x) x→a β2(x) x→a x→a 4.3
Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp
Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao
Nếu α1(x) = o(α2(x)), β1(x) = o(β2(x)) khi x → a thì: α α α 1(x) + α2(x) 2(x)
1(x) + α2(x) ∼ α2(x) và lim = lim . x→a β1(x) + β2(x) x→a β2(x)
Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: Nếu α1(x) là VCL bậc cao hơn α2(x) và β1(x) là VCL bậc cao hơn β2(x) khi x → a thì: α α α 1(x) + α2(x) 1(x)
1(x) + α2(x) ∼ α1(x) và lim = lim x→a β1(x) + β2(x) x→a β1(x) 5 Hàm số liên tục 5.1 Hàm số liên tục
f (x) xác định tại x0
Hàm số f (x) liên tục tại x Tồn tại lim f (x) 0 ⇔ x→x0 lim f (x) = f (x 0) x→x0 5.2 Điểm gián đoạn x0 /∈ TXĐ Nếu x x f (x)
0 là điểm gián đoạn của f (x) thì 0 ∈ TXĐ và ∄ lim x→x0
x0 ∈ TXĐ và ∃ lim nhưng lim f(x) ̸= f(x0) x→x0 x→x0
Phân loại điểm gián đoạn
(i) Điểm gián đoạn bỏ loại I
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f nếu lim f (x), lim f (x) tồn tại hữu hạn. x→x0+ x→x0− Khi đó, nếu: - lim f (x) ̸= lim f (x) x→x0+ x→x0−
Thì lim f (x) − lim f (x) được gọi là bước nhảy của f tại x0. x→x+ x→x− 0 0 - lim f (x) = lim f (x) x→x0+ x→x0−
Thì x0 còn được gọi là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số. 3
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
(ii) Điểm gián đoạn loại II
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số f nếu ít nhất một trong hai giới hạn lim f (x), lim f (x) x→x+ x→x− 0 0
không tồn tại hữu hạn hoặc không tồn tại. 6
Đạo hàm và vi phân 6.1
Khái niệm đạo hàm f (x0 + ∆x) − f (x0)
• Giới hạn, nếu có, của tỉ số lim
được gọi là đạo hàm của hàm f (x) tại x0 ∆x→0 ∆x (Kí hiệu f ′(x0)) f (x0 + ∆x) − f (x0) • lim
được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại x0 nếu giới hạn tồn tại ∆x→0+ ∆x (Kí hiệu f ′(x+)) 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) • lim
được gọi là đạo hàm trái của hàm f (x) tại x0 nếu giới hạn tồn tại ∆x→0− ∆x (Kí hiệu f ′(x−)) 0
• Hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0, khi và chỉ khi f ′(x+) = f ′(x−), khi đó f ′(x ) = f ′(x−) 0 0 0) = f ′(x+ 0 0
• Nếu tồn tại f ′(x0) thì f (x) liên tục tại x0 6.2 Các phép toán
a) (u ± v)′(x0) = u′(x0) ± v′(x0)
b) (uv)′(x0) = u′(x0)v(x0) + u(x0)v′(x0) u ′
u′(x0)v(x0) − u(x0)v′(x0) c) (x0) = (v(x0) ̸= 0) v v2(x0) 6.3
Đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược
• Hàm hợp: F = f ◦ u ⇒ F ′(x) = f ′(u(x))u′(x) • Hàm ngược:
x = φ(y) có đạo hàm tại y0 và φ′(y0) ̸= 0 1 ⇒ f ′(x0) = φ′(y
x = φ(y) có hàm ngược y = f (x) liên tục tại x 0) 0 6.4
Vi phân và ứng dụng
• Vi phân: df (x) = f ′(x) dx
• Ứng dụng vi phân để tính gần đúng: f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x 6.5
Đạo hàm, vi phân cấp cao
a) Đạo hàm cấp cao 4
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
Đạo hàm, nếu có cấp n của f (x) kí hiệu là: f (n)(x) Tính chất: • (u ± v)(n) = u(n) ± v(n) n X
• Công thức Leibniz: (u.v)(n) = Ck · u(n−k)v(k) n k=0
b) Đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản 1 (n) n!
(xα)(n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)xα−n a) b) = (−1)(n) · 1 + x (1 + x)n+1 1 (n) n!
[(1 + x)α](n) = α(α−1) . . . (α−n+1)·(1+x)α−n c) d) = 1 − x (1 − x)n+1 nπ nπ e) (sin x)(n) = sin x + f) (cos x)(n) = cos x + 2 2 (n − 1)! (ax)(n) = ax · (ln a)n g) h) (ln x)(n) = (−1)n−1 · xn c) Vi phân cấp cao
Biểu thức của vi phân cấp cao:
Nếu x là biến số độc lập thì dnf (x) = f (n)(x)dxn.
Vi phân cấp cao không có tính chất bất biến đối với hàm hợp
Ta có: df (x) = f ′(x)dx nên
d2f (x) = df ′(x)dx + f ′(x)d2x = f ′′(x)dx2 + f ′(x)d2x = f ′′(x)dx2 7
Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 7.1
Các định lý về hàm khả vi
Định lý 7.1 (Định lý Fermat) .
Cho f (x) liên tục trên khoảng (a, b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a, b) và có đạo hàm tại x0 thì f ′ (x0) = 0.
Định lý 7.2 (Định lý Rolle). Nếu hàm số f (x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) thỏa mãn điều kiện f (a) = f (b),
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0.
Định lý 7.3 (Định lý Lagrange). 5
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập Nếu hàm số f (x) :
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b), f (b) − f (a)
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = . b − a
Định lý 7.4 (Định lý Cauchy).
Nếu các hàm số f (x), g(x) thỏa mãn các điều kiên:
i) Liên tục trong khoảng đóng [a, b],
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở (a, b),
iii) g′(x) không triệt tiêu trong khoảng mở (a, b)
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) f ′(c) = . g(b) − g(a) g′(c) 7.2
Khai triển Taylor, khai triển Maclaurin f ′(x0) f (n)(x0)
• Công thức Taylor: f (x) = f (x0) + (x − x0) + ... + (x − x0)n + o[(x − x0)n] 1! n! f ′(0) f (n)(0)
• Công thức Maclaurin: f (x) = f (0) + x + ... + xn + o(xn) 1! n!
• Một số khai triển Maclaurin thường gặp: x x2 x3 xn ex = 1 + + + + ... + + o(xn) 1! 2! 3! n! x3 x5 x7 (−1)nx2n+1 sin x = x − + − + ... + + o(x2n+1) 3! 5! 7! (2n + 1)! x2 x4 x6 (−1)nx2n cos x = 1 − + − + ... + + o(x2n) 2! 4! 6! (2n)! 1
= 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + o(xn) 1 − x 1
= 1 − x + x2 − x3 + ... + (−1)nxn + o(xn) 1 + x x2 x3 x4 xn ln(1 + x) = x − + − + ... + (−1)n+1 + o(xn) 2 3 4 n 7.3 Quy tắc L’Hospital f (x) 0 ∞ Giới hạn I = lim ở dạng vô định hoặc . x→x0 g(x) 0 ∞
Giả sử 2 hàm số f (x), g(x) có đạo hàm, g′(x) ̸= 0 ∀x ∈ (a; b) \ x0 với x0 ∈ (a; b). f ′(x) f (x) f ′(x) Nếu ∃ lim = L thì lim = lim = L x→a g′(x) x→x0 g(x) x→x0 g′(x) 6
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập 7.4
Bất đẳng thức hàm lồi
tf (x1) + (1 − t)f (x2) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2)∀t ∈ [0, 1] 7.5 Phương pháp Newton f (xn−1)
Giả sử f (x) liên tục trên TXĐ, khi đó: xn = xn−1 +
là dãy xấp xỉ nghiệm của phương trình f ′(xn−1) f (x) = 0 8
Khảo sát hàm số, đường cong 8.1
Cách tìm tiệm cận xiên f (x)
• y = ax + b là tiệm cận xiên của y = f (x) nếu lim = a và lim [f (x) − ax] = b x→∞ x x→∞ x = x(t) y(t)
• y = ax + b là tiệm cận xiên của nếu lim = a và
lim [y(t) − ax(t)] = b, với t→t x(t) t→t y = y(t) 0(∞) 0(∞) t0(∞) thỏa mãn lim x(t) = ∞ t→t0(∞) 8.2
Cách tìm điểm uốn f ′′(x0) = 0
• I(x0, f (x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x) nếu
f ′′(x) đổi dấu khi qua x = x0 d2y (t = t 0) = 0 dx2 x = x(t)
• I(x(t0), y(t0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu y = y(t) d2y đổi dấu khi qua t = t0 dx2 d2y
y′′(t)x′(t) − y′(t)x′′(t) Lưu ý: = dx2 (x′(t))3 I Tích phân 1
Tích phân bất định 1.1
Một số công thức cơ bản ˆ dx 1 a + x • = ln| | + C x2 − a2 2a a − x ˆ √ 1 √ a2 x • a2 − x2dx = x a2 − x2 + arcsin + c 2 2 a 7
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập ˆ √ 1 √ 1 √ • a2 + x2dx = x x2 + a + aln|x + x2 + a| + C 2 2 ˆ dx √ • √ = ln|x + x2 + a| + C x2 + a ˆ dx x • = arcsin + C a2 − x2 a 1.2
Tính tích phân bội một số hàm hữu tỉ ˆ 1 1 1 • dx = × + C (n > 1) (ax + b)n a(1 − n) (ax + b)n−1 ˆ 1 1 • dx = × ln |ax + b| + C ax + b a ˆ px + q • dx (với a2 − 4b < 0) x2 + ax + b ˆ ˆ k(2x + a)dx hdx → chuyển về I1 + I2 = + x2 + ax + b x2 + ax + b ˆ k Tính I1 =
d(x2 + ax + b) = ln(x2 + ax + b) + C x2 + ax + b ˆ m m t
Tính I2, đặt t = x + a/2 → dt = arctan + C t2 + n2 n n 1.3
Tính tích phân lượng giác ˆ
– Chuyển từ lượng giác về dạng thường: R(sinx, cosx)dx t Đặt x = tan : 2 2t 1 − t2 2t 2dt sinx = ; cosx = ; tanx = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2
– Một số dạng đặc biệt
R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) → t = cosx II Tích phân 1
Tích phân bất định 1.1
Một số công thức cơ bản ˆ dx 1 a + x * = ln | | + C x2 − a2 2a a − x ˆ √ 1 √ a2 x * a2 − x2dx = x a2 − x2 + arcsin + c 2 2 a 8
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập ˆ √ 1 √ 1 √ * a2 + x2dx = x x2 + a + a ln |x + x2 + a| + C 2 2 ˆ dx √ * √ = ln |x + x2 + a| + C x2 + a ˆ dx x * = arcsin + C a2 − x2 a 1.2
Tính tích phân bội một số hàm hữu tỉ ˆ 1 1 1 * dx = × + C (n > 1) (ax + b)n a(1 − n) (ax + b)n−1 ˆ 1 1 * dx = × ln |ax + b| + C ax + b a ˆ px + q * dx (với a2 − 4b < 0) x2 + ax + b ˆ ˆ k(2x + a)dx hdx → chuyển về I1 + I2 = + x2 + ax + b x2 + ax + b ˆ k Tính I1 =
d(x2 + ax + b) = ln(x2 + ax + b) + C x2 + ax + b ˆ m m t
Tính I2, đặt t = x + a/2 → dt = arctan + C t2 + n2 n n 1.3
Tính tích phân lượng giác ˆ
* Chuyển từ lượng giác về dạng thường: R(sin x, cos x)dx t Đặt x = tan : 2 2t 1 − t2 2t 2dt sin x = ; cos x = ; tan x = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2
* Một số dạng đặc biệt
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) → t = cos x
R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) → t = sin x
R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) → t = tan x 1.4 Tính phân vô tỷ Phép thế lượng giác: ˆ √ * R(x, x2 + a2)dx → x = a. tan t ˆ √ a a * R(x, x2 − a2)dx → x = hoặc cos t sin t ˆ √ * R(x,
a2 − x2)dx → x = a. sin t hoặc x = a. cos t 9
Document Outline
- Hàm số một biến số
- Một số khái niệm cơ bản về hàm số
- Các hàm số sơ cấp cơ bản
- Hàm số sơ cấp
- Giới hạn dãy số
- Định nghĩa
- Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hữu hạn
- Giới hạn hàm số
- Giới hạn của hàm hợp:
- Tiêu chuẩn kẹp:
- Vô cùng bé, vô cùng lớn
- Một số VCB tương đương khi x 0:
- Quy tắc thay VCB,VCL tương đương
- Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp
- Hàm số liên tục
- Hàm số liên tục
- Điểm gián đoạn
- Đạo hàm và vi phân
- Khái niệm đạo hàm
- Các phép toán
- Đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược
- Vi phân và ứng dụng
- Đạo hàm, vi phân cấp cao
- Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
- Các định lý về hàm khả vi
- Khai triển Taylor, khai triển Maclaurin
- Quy tắc L'Hospital
- Bất đẳng thức hàm lồi
- Phương pháp Newton
- Khảo sát hàm số, đường cong
- Cách tìm tiệm cận xiên
- Cách tìm điểm uốn
- Tích phân
- Tích phân bất định
- Một số công thức cơ bản
- Tính tích phân bội một số hàm hữu tỉ
- Tính tích phân lượng giác
- Tính phân vô tỷ
- Tích phân bất định
