Bảng Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất | Chuyên đề Toán 12
Trong quá trình học giải tích, việc ghi nhớ bảng nguyên hàm là vô cùng quan trọng để giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân. Bài viết này cung cấp bảng nguyên hàm đầy đủ nhất, bao gồm các công thức cơ bản đến nâng cao, giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – áp dụng hiệu quả. Đây là tài liệu không thể thiếu dành cho học sinh lớp 12 và thí sinh ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
Chủ đề: Chuyên đề Toán 12 27 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Sách: Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
Tác giả:
Preview text:
Bảng Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất
1. Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương
Cho hai hàm số u = u ( x) và v = v ( x) có đạo hàm liên tục trên K. Lúc này ta có bảng sau: Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm Tổng
f ( x) = u '+ v ' = (u + v) '
F ( x) = u + v Hiệu
f ( x) = u '− v ' = (u − v) '
F ( x) = u − v Tích
f ( x) = u 'v + uv ' = (uv) '
F ( x) = uv /
u 'v − uv ' u Phương f ( x) = = ( ) u F x = 2 v v v
2. Bảng nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm hàm số thường
Nguyên hàm của hàm sơ cấp gặp số hợp
dx = x + C = +
d (ax + b) =
(ax + b)+ C 1 du u C a 1 + 1 + + u x = x dx + C ( ) 1 1 1 ax + b u du = + C ( ) 1 + (ax + b) ( ) dx = + C ( ) 1 1 +1 a +1 1 1 1 1 dx = − + C 1 1 1 du = − + C 2 x x = − + ( 2 u u
ax + b) dx C 2 a ax + b 1 1
dx = 2 x + C = + 1 1 2 du 2 u C x dx = + C u ax + b a ax + b cos xdx = x + C sin ( 1 cos = +
cos ax + b)dx =
(ax + b)+ C sin udu u C sin a sin xdx = − x + C cos ( 1 sin udu = − u + C cos
sin ax + b)dx = −
(ax + b)+ C cos 1 a 1 dx = x + C tan du = u + C tan cos2 x 1 1 2 dx =
(ax + b)+ C tan cos u 2 1 cos (ax + b) a 1 dx = − x + C cot du = − u + C cot sin 2 x 1 1 sin 2 u dx = − cot(ax + b) sin 2 ( + ax + b) C a dx = dx 1 du
ln x + C ( 0) x
= ln ax + b + C ( 0) x
= ln u + C ( 0) u x ax + b a u
e x dx = e x + C + u u = + eax b dx = + eax b + C 1 e du e C a x u + u a a x = a dx + C (0 ) 1 a a dx = + C (0 ) + 1 x a x 1 a ln a a dx = . + C (0 a )1 ln a ln a
3. Bảng nguyên hàm mở rộng 1 + 1 ( + cos
(ax+b)dx = sin(ax+b)+ ax + b) (ax b) dx = + − C a ( + ) C, 1 1 a dx 1 = 1
ln ax + b + C sin
(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C ax + b a a 1 ax+b 1 ax+b e dx = e + C tan
(ax+b)dx = − ln cos(ax+b) +C a a 1 ax+b 1 ax+b m dx = m + C, (m 0) cot
(ax+b)dx = ln sin(ax+b) +C a ln m a dx 1 x = dx 1 arctan + C
= − cot ax + b + C 2 2 a + x a a 2 sin (ax + b) ( ) a dx 1 a + x − = dx 1 x a ln + C = ln + C 2 2 a − x 2a a − x 2 2 x − a 2a x + a dx = dx 1 ln ( 2 2 x + x + a + C
= tan ax + b + C 2 2 ) 2 x + a cos (ax + b) ( ) a 2 2 dx 1 a + x + a 2 2 2 − = − x a x a x ln + C 2 2 a − x dx = + arcsin + C 2 2 + a x x x a 2 2 a b dx 1 ax + b ln
(ax+b)dx = x+ ln
(ax + b) − x + C = ln tan + C a sin (ax + b) a 2 ax e a bx − b bx ax e a bx + b bx ax ( cos sin ) ax ( sin cos ) e sin bxdx = + C e cos bxdx = + C 2 2 a + b 2 2 a + b
4. Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa x e . Đặc trưng Nguyên hàm
Hàm số (đạo hàm) x e ( ) = ( ). x F x u x e '( ) = ' ( ) + ( ) x F x u x
u x e = f (x) x − e− ( ) ( ). x F x u x e− = '( ) = ' ( ) − ( ) x F x u x u x e = f (x) ax b + e + ( ) ( ) ax b F x u x e + = '( ) = ' ( ) + ( ) ax b F x u x au x e = f (x) v( x) e
F ( x) = u ( x) v(x) e
F '( x) = u '
( x) + v '( x)u ( x) v(x) e = f (x)