Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm chi tiết nhất
1. Lý thuyết về nguyên hàm Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x K. Định lí:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)
+ C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có
dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C
R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C
Tính chất của nguyên hàm: Tính chất 1: ( f(x)dx)' = f(x) và f'(x)dx = f(x) + C    Tính chất 2: kf(x)dx = k
f(x)dx với k là hằng số khác 0. Tính chất 3: [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx
Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Phương pháp tính nguyên hàm
- Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu
f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có
f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C
- Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - u'(x)v(x)dx Hay udv = uv - vdu
Kĩ năng giải bài tập
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
2. Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm
Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
Bảng công thức nguyên hàm nâng cao:
Bảng công thức nguyên hàm mở rộng:
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác:
3. Bài tập áp dụng công thức nguyên hàm thường gặp
Bài 1: Tính nguyên hàm của hàm số: (2x^2 + 3x - 5) dx
Bài 2: Tính nguyên hàm của hàm số: (4e^x - 2sin(x)) dx
Bài 3: Tính nguyên hàm của hàm số: (3/x + 2/x^2) dx
Bài 4: Tính nguyên hàm của hàm số: (2cos(x) - 1/x) dx
Bài 5: Tính nguyên hàm của hàm số: (5x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 4) dx
Bài 6: Tính nguyên hàm của hàm số: (sqrt(x) + 1/x^2) dx
Bài 7: Tính nguyên hàm của hàm số: (2x^3 - 4x^2 + 5x - 1) dx
Bài 8: Tính nguyên hàm của hàm số: (ln(x) + e^x) dx
Bài 9: Tính nguyên hàm của hàm số: (sin(2x) + cos(3x)) dx
Bài 10: Tính nguyên hàm của hàm số: (x^3 + 2x^2 - 3x + 1) dx
Bài 11: Tính nguyên hàm của hàm số: (x^3 * e^(x^2)) dx
Bài 12: Tính nguyên hàm của hàm số: (sin(x) / x) dx
Bài 13: Tính nguyên hàm của hàm số: (1 / (x^2 + 4)) dx
Bài 14: Tính nguyên hàm của hàm số: (x * ln(x)) dx
Bài 15: Tính nguyên hàm của hàm số: (cos(x) * e^(sin(x))) dx
Bài 16: Tính nguyên hàm của hàm số: (1 / (x * sqrt(x))) dx
Bài 17: Tính nguyên hàm của hàm số: (x^2 * sin(x)) dx
Bài 18: Tính nguyên hàm của hàm số: (e^x * cos(e^x)) dx
Bài 19: Tính nguyên hàm của hàm số: (ln(x) / x) dx
Bài 20: Tính nguyên hàm của hàm số: (1 / (x * ln(x))) dx
4. Phương pháp học tốt nguyên hàm lớp 12
Để có thể làm tốt được phần này học sinh có hai cách. Đó là áp dụng công thức từ bảng nguyên
hàm để giải hoặc dùng phương pháp giải toán bằng máy tính cầm tay. Khi giải bằng cách áp dụng
công thức học sinh cần học thuộc kĩ các công thức và làm nhiều bài tập thì khi vào phòng thi có
thể an tâm làm câu này hết sức gãy gọn, dễ dàng. Đó là nguyên hàm chính là phép tính ngược của đạo hàm.
Đầu tiên, giải toán bằng máy tính cầm tay. Mặc dù phương pháp này đã có từ lâu nhưng ít được
lưu truyền rộng rãi chỉ những người có hăng say đam mê nghiên cứu mới biết được phương pháp
này. Mãi đến năm 2016 thì phương pháp này mới được phát triển rộng rãi và gây không ít khó
khăn cho bộ giáo dục khi ra đề bởi vì đậy là chiếc chìa khóa vạn năng có thể giải mọi bài toán Đại
số trong đó có cả nguyên hàm. Cho đến những năm gần đây, khi bộ giáo dục chuyển sang hình
thức thi trắc nghiệm đã đánh dấu cho sự lên ngôi của phương pháp này
Thứ hai, học sinh để học tốt phần kiến thức nguyên hàm thì phải nắm chắc kiến thức lý
thuyết.Học sinh cần xác định được một số kiến thức trọng tâm trong phần này, gồm: Định nghĩa,
ý nghĩa của nguyên hàm, tích phân; Bảng nguyên hàm, các công thức mở rộng; Các phương pháp
tìm nguyên hàm, phương pháp tính tích phân…
Trong đó, một số vấn đề cần đặc biệt chú ý như: Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân (nhất là bài
toán tính diện tích, tính thể tích, bài toán chuyển động); Một số bài toán hàm ẩn với nguyên hàm, tích phân…
Với một lượng kiến thức khá phức tạp như vậy, việc hệ thống hóa lại những kiến thức này là rất
cần thiết. Nó sẽ giúp các em ghi nhớ, nắm bắt một cách bài bản, logic nhất.
Để hệ thống hóa kiến thức một cách khoa học và ghi nhớ tốt nhất, học sinh cần lưu ý: Thuộc các
công thức, thuộc bảng nguyên hàm; Phân dạng toán tím nguyên hàm, tính tích phân, thực hành
làm các dạng thật thành thạo; Tìm hiểu các câu về dạng này trong các đề thi thử, đề tham khảo của
bộ; Tìm tòi các dạng toán về ứng dụng của tích phân…
Cũng cần chú ý rằng, kiến thức môn Toán qua các cấp học và các khối lớp có liên quan chặt chẽ
với nhau. Phần nguyên hàm, tích phân cũng vậy, kiến thức lớp 12 có liên quan rất nhiều đến các
phần ở lớp 10, 11, cụ thể như: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, công thức lượng giác…
Ở phần này, thường thì học sinh sẽ gặp khó khăn ở các bài Toán hàm ẩn, các bài ứng dụng thực
tế, từ tình huống thực tế phải mô hình hóa sau đó dùng kiến thức toán để giải. Tuy nhiên khi giải
quyết được thì các em sẽ thấy Toán học rất gần gũi với cuộc sống, giải quyết luôn được các tình hướng thực tiễn.
Bên cạnh đó, các thầy cô giáo cũng lưu ý một số lỗi mà học sinh dễ mắc phải khi làm bài tập phần
này. Cụ thể như: Nhớ nhầm công thức giữa đạo hàm và nguyên hàm; Khi đổi biến thì không đổi
cận; Tìm cận phải giải phương trình thì quên điều kiện; Nhầm lẫn giữa thể tích và diện tích; Khử
giá trị tuyệt đối sai; Nhớ sai công thức tính nguyên hàm, tích phân từng phần; Nhớ sai công thức lượng giác…
Để ôn tập và làm bài thi môn Toán nói chung, phần nguyên hàm và tích phân nói riêng đạt hiệu
quả, các thầy cô giáo đưa ra một số lời khuyên, gợi ý. Cụ thể, cần chú ý những vấn đề sau: Học kỹ
kiến thức cơ bản, các công thức, các định nghĩa, định lý (nếu học không kỹ thì rất hay sai các câu
lý thuyết); Phân loại các dạng Toán, làm thuần thục để làm bài được nhanh, không sai sót.
Khi làm đề thi thử thì làm đủ 90 phút, những câu nào chưa làm được thì đánh dấu, sau đó khi làm
hết 90 phút thì ôn lại luôn những câu chưa hiểu rõ, hoặc chưa biết làm. Khi làm cần điều chỉnh
thời gian, đề sau phải nhanh hơn đề trước. Không dành quá nhiều thời gian để giải các bài toán
khó, thường thì các bài này chiếm phần nhỏ trong đề thi.
Kiến thức Toán học có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Nếu các bạn thí sinh không nắm vững kiến
thức ở lớp dưới thì không thể học tốt các kiến thức lớp trên. Chẳng hạn, không thể giải tốt bài toán
tích phân của hàm lượng giác nếu không học tốt các kiến thức lượng giác ở lớp 10 và lớp 11.
Không biết xét chiều biến thiên của hàm số (lớp 12) nếu không biết cách xét dấu của tam thức, nhị
thức (lớp 10). Những câu khó thường phải sử dụng kiến thức tổng hợp của cả 3 khối lớp, đặc biệt là kiến thức lớp 10.
Cuối cùng, học sinh cần giải nhiều bài tập khác nhau để cải thiện kỹ năng giải bài toán và hiểu biết
về cách áp dụng các công thức nguyên hàm. Hãy duy trì thói quen ôn tập đều đặn để củng cố kiến
thức và kỹ năng của bạn. Điều này giúp các em không quên kiến thức đã học và nắm vững hơn. Sử
dụng sách giáo trình, sách tham khảo, và tài liệu trực tuyến để học thêm về nguyên hàm. Có thể
bạn cũng muốn tham khảo các bài giảng trực tuyến hoặc video hướng dẫn.