Bộ đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán (có lời giải chi tiết)

Bộ đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 118 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

84 42 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

118 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 1
MÔN TOÁN
Câu 1: Cho số phức
12=−zi
. Tính
z
.
A.
5z =
B.
5z =
C.
2z =
D.
3z =
Câu 2: Trong không gian
cho mặt cầu
( )
S
có phương trình:
2 2 2
2 4 4 7 0x y z x y z+ + − − + − =
. Xác
định tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
:
A.
( )
1; 2;2I −−
;
3R =
. B.
( )
1;2; 2I −
;
2R =
.
C.
( )
1; 2;2I −−
;
4R =
. D.
( )
1;2; 2I −
;
4R =
.
Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
A. Điểm
(1; 1)P −
. B. Điểm
(1; 2)N −
. C. Điểm
(1;0)M
. D. Điểm
(1;1)Q
.
Câu 4: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
2
16 a
quanh một trong những đường kính, ta được
khối tròn xoay có thể tích là
A.
3
64
3
a
B.
3
128
3
a
C.
3
256
3
a
D.
3
32
3
a
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số
( )
3
2 2023=−f x x
là:
A.
4
1
2023
2
−+x x C
. B.
4
4 2023−+x x C
. C.
4
1
4
xC+
. D.
3
4 2023−+x x C
.
Câu 6: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )( )
2023
1 4 ,
= − + f x x x x x
. Số điểm cực đại của hàm
số đã cho là
A.
3
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Câu 7: Bất phương trình
2
4
11
2 32
xx+



có tập nghiệm là
( )
;S a b=
, khi đó
ba−
là?
A.
4
. B.
2
. C.
6
. D.
8
.
Câu 8: Cho khối chóp
( )
H
có thể tích là
3
2a
, đáy là hình vuông cạnh
2a
. Độ dài chiều cao khối chóp
( )
H
bằng.
A.
3a
. B.
a
. C.
4a
. D.
2a
.
Câu 9: Tập xác định của hàm số
( )
2022
2023
1=−yx
là:
A.
( )
0;+
. B.
)
1; +
. C.
( )
1; +
. D. .
Câu 10: Tính tổng các nghiệm của phương trình
( )
2
log 3 1 9xx− + = −
bằng
A.
3−
. B.
9
. C.
9
10
−
. D.
3
.
Câu 11: Cho hai tích phân
( )
5
2
d8f x x
−
=
và
( )
2
5
d3g x x
−
=
. Tính
( ) ( )
5
2
4 1 dI f x g x x
−
= − −


.
A.
11I =−
. B.
13I =
. C.
27I =
. D.
3I =
.
Câu 12: Điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
z
. Khi đó số phức
5wz=
là
A.
15 20wi=+
. B.
15 20wi= − −
.
C.
15 20wi=+
. D.
15 20wi=−
.
Trang 2
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ):2 1 0x y z
+ − + =
. Vectơ nào sau đây không là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng
?
A.
( )
4
4;2; 2n −
B.
( )
2
2; 1;1n −−
C.
( )
3
2;1;1n
D.
( )
1
2;1; 1n −
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vectơ
( )
2; 1;3a =−
,
( )
1;3; 2b =−
. Tìm tọa độ của
vectơ
2c a b=−
.
A.
( )
0; 7;7c =−
. B.
( )
0;7;7c =
. C.
( )
0; 7; 7c = − −
. D.
( )
4; 7;7c =−
.
Câu 15: Điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
z
. Phần thực của
z
bằng
A.
4
. B.
4−
. C.
3−
. D.
3
.
Câu 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
14
21
x
y
x
−
=
−
.
A.
2y =
. B.
. C.
1
2
y =
. D.
2y =−
.
Câu 17: Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
5
log 5a
bằng
A.
5
5 log a+
. B.
5
5 log a−
. C.
5
1 log a+
. D.
5
1 log a−
.
Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
32
2 6 2y x x= + −
B.
32
32y x x= + −
C.
32
32y x x= − − −
D.
32
32y x x= − −
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 3
:
3 4 5
− + −
==
−−
x y z
d
. Hỏi
d
đi
qua điểm nào trong các điểm sau:
A.
( )
3;4;5−C
. B.
( )
3; 4; 5−−D
. C.
( )
1;2; 3−−B
. D.
( )
1; 2;3−A
.
Câu 20: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
?
A.
5
6
A
. B.
6
P
. C.
5
6
C
. D.
5
P
.
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
AB a=
và
3AA a
=
. Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
A.
3
33
2
a
. B.
3
33a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số
( )
23
e
x
fx
−
=
.
A.
( )
23
2.e
x
fx
−
=
. B.
( )
23
2.e
x
fx
−
=−
. C.
( )
3
2.e
x
fx
−
=
. D.
( )
23
e
x
fx
−
=
.
Trang 3
Câu 23: Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
;0−
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; +
.
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
( )
5 cmr =
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
( )
7 cm
. Diện tích
xung quanh của hình trụ là
A.
( )
2
35π cm
B.
( )
2
70π cm
C.
( )
2
120π cm
D.
( )
2
60π cm
Câu 25: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;10
thỏa mãn
( )
10
0
d7f x x =
,
( )
6
2
d3f x x =
. Giá trị
( ) ( )
2 10
06
ddP f x x f x x=+

là
A.
10.
B.
4.−
C.
4.
D.
7.
Câu 26: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và công sai
1d =
. Khi đó
3
u
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
f x x=+
là
A.
2
2
ln 2 2
x
x
C++
. B.
2
2
x
xC++
. C.
2
2
ln2
x
xC++
. D.
2
2
2
x
x
C++
.
Câu 28: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A.
1x =
. B.
1x =−
. C.
2x =
. D.
3x =−
.
Câu 29: Trên đoạn
1;5
, hàm số
9
yx
x
=+
đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A.
5x =
. B.
3x =
. C.
2x =
. D.
1x =
.
Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?
A.
1
y
x
=
. B.
43
29y y x x x= = - - -
.
Trang 4
C.
3
1yx=-
. D.
1yx=-
.
Câu 31: Cho
==log 3,lo g 4
ab
xx
với
,ab
là các số thực lớn hơn 1. Tính
= log .
ab
Px
A.
=12P
B.
=
12
7
P
C.
=
7
12
P
D.
=
1
12
P
Câu 32: Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
3
,
2
a
ABC SA =
, tam giác
ABC
đều
cạnh bằng
a
(minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
bằng
A.
0
90
. B.
0
30
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Câu 33: Cho
( )
2
1
4 2 1f x x dx

−=

. Khi đó
( )
2
1
f x dx
bằng:
A.
1
. B.
3−
. C.
3
. D.
1−
.
Câu 34: Cho điểm
( )
1;2;5M
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
M
cắt các trục tọa độ
,,Ox Oy Oz
tại
,A
,B
C
sao cho
M
là trực tâm tam giác
ABC
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
A.
80x y z+ + − =
. B.
2 5 30 0x y z+ + − =
. C.
0
5 2 1
x y z
+ + =
. D.
1
5 2 1
x y z
+ + =
.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
1 2 4 3z i i+ = −
. Phần thực của số phức
z
bằng
A.
2
5
−
. B.
2
5
. C.
11
5
. D.
11
5
−
.
Câu 36: Một hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, , 2 .B AB a AA a
==
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
A BC
là:
A.
25a
. B.
25
5
a
. C.
5
5
a
. D.
35
5
a
.
Câu 37: Thầy Bình đặt lên bàn
30
tấm thẻ đánh số từ
1
đến
30
. Bạn An chọn ngẫu nhiên
10
tấm thẻ. Tính
xác suất để trong
10
tấm thẻ lấy ra có
5
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm mang số chẵn trong đó chỉ có
một tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
A.
8
11
. B.
99
667
. C.
3
11
. D.
99
167
.
Trang 5
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
−−1; 2; 3A
;
( )
−1; 4;1B
và đường thẳng
−
++
==
−
2
23
:
1 1 2
y
xz
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung
điểm của đoạn
AB
và song song với
d
?
A.
−
+
==
1
1
1 1 2
y
xz
B.
−
+
==
−
1
1
1 1 2
y
xz
C.
−
−+
==
−
1
11
1 1 2
y
xz
D.
−
+
==
−
2
2
1 1 2
y
xz
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình
21
1
(3 9)(3 ) 3 1 0
27
x x x+
− − −
chứa bao nhiêu số nguyên ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt
( ) ( )
( )
g x f f x=
. Hỏi phương
trình
( )
0gx
¢
=
có mấy nghiệm thực phân biệt?
A.
14
. B.
10
. C.
8
. D.
12
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
fx
có
( )
1
0
21
f =
và
( )
2
sin3 .cos 2 ,f x x x x
=
. Biết
( )
Fx
là nguyên hàm
của
( )
fx
thỏa mãn
( )
00F =
, khi đó
2
F



bằng
A.
137
441
. B.
137
441
−
. C.
247
441
. D.
167
882
.
Câu 42: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều,
( )
SA ABC⊥
. Mặt phẳng
( )
SBC
cách
A
một khoảng bằng
a
và hợp với mặt phẳng
( )
ABC
góc
0
30
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
8
9
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
4
9
a
.
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( )
22
2 1 0z m z m− + + =
(
m
là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có nghiệm
0
z
thỏa mãn
0
7?z =
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1;3A
và đường thẳng
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
. Đường
thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Oy
có phương trình là.
A.
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
B.
22
1
33
xt
yt
zt
=+
=+
=+
C.
22
13
32
xt
yt
zt
=+
=+
=+
D.
2
33
2
xt
yt
zt
=
= − +
=
Trang 6
Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, điểm
( )
;M x y
biểu diễn nghiệm của bất phương trình
( )
3
log 9 18 3
y
x x y+ + = +
. Có bao nhiêu điểm
M
có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm
O
bán
kính
7R =
?
A.
7
. B.
2
. C.
3
. D.
49
.
Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
21
:
2 3 1
x y z
d
++
==
−
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 1 6S x y z− + + + + =
. Hai mặt phẳng
( ) ( )
,PQ
chứa
d
và tiếp xúc với
( )
S
. Gọi
,AB
là tiếp điểm và
I
là tâm của mặt cầu
( )
S
. Giá trị
cos AIB
bằng
A.
1
9
−
. B.
1
9
. C.
1
3
−
. D.
1
3
.
Câu 47: Cho các hàm số
( ) ( )
( )
( )
2
; ; 2 1y f x y f f x y f x x= = = + −
có đồ thị lần lượt là
( ) ( ) ( )
1 2 3
;;C C C
.
Đường thẳng
2x =
cắt
( ) ( ) ( )
1 2 3
;;C C C
lần lượt tại
,,A B C
. Biết phương trình tiếp tuyến của
( )
1
C
tại
A
và của
( )
2
C
tại
B
lần lượt là
23yx=+
và
85yx=+
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
3
C
tại
C
là
A.
89yx=−
. B.
12 3yx=+
. C.
24 27yx=−
. D.
41yx=+
.
Câu 48: Cho hàm số bậc bốn
( )
4 3 2
f x ax bx cx dx a= + + + +
có đồ thị hàm số
( )
'y f x=
là đường cong
như hình vẽ sau:
Hàm số
( )
( )
2
2 1 2y f x f x x= − −
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3.
B.
7.
C.
4.
D.
1.
Câu 49: Cho tứ diện đều
ABCD
có tất cả các cạnh bằng
1
. Gọi
M
là điểm thuộc cạnh
BC
sao cho
2MC MB=
;
N
,
P
lần lượt là trung điểm của
BD
và
AD
. Gọi
Q
là giao điểm của
AC
và
( )
MNP
. Thể tích khối đa diện
ABMNPQ
bằng
A.
72
216
. B.
13 2
432
. C.
2
36
. D.
11 2
432
.
Câu 50: Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm
O
, phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật
ABCD
;
hình vuông
MNPQ
có cạnh
2MN =
(m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh
O
như
hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/
2
m
và phần còn lại là 250.000 đồng/
2
m
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
Trang 7
A. 3.439.000 đồng. B. 3.628.000 đồng. C. 3.580.000 đồng. D. 3.363.000 đồng.
---------- HẾT ----------
ĐÁP ÁN
1.A
2.D
3.A
4.C
5.A
6.D
7.C
8.A
9.C
10.D
11.B
12.D
13.C
14.A
15.D
16.D
17.C
18.B
19.D
20.A
21.C
22.A
23.C
24.B
25.C
26.C
27.A
28.B
29.D
30.C
31.B
32.C
33.A
34.B
35.A
36.B
37.B
38.B
39.B
40.B
41.A
42.A
43.B
44.A
45.B
46.A
47.C
48.B
49.B
50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho số phức
12=−zi
. Tính
z
.
A.
5z =
B.
5z =
C.
2z =
D.
3z =
Lời giải
Ta có
22
1 ( 2) 5= + − =z
.
Câu 2: Trong không gian
cho mặt cầu
( )
S
có phương trình:
2 2 2
2 4 4 7 0x y z x y z+ + − − + − =
.
Xác định tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
:
A.
( )
1; 2;2I −−
;
3R =
. B.
( )
1;2; 2I −
;
2R =
.
C.
( )
1; 2;2I −−
;
4R =
. D.
( )
1;2; 2I −
;
4R =
.
Lời giải
Chọn D
( )
2 2 2
: 2 4 4 7 0S x y z x y z+ + − − + − =
1a=
;
2b =
;
2c =−
;
7d =−
2 2 2
R a b c d = + + −
4=
;
( )
1;2; 2I −
.
Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
A. Điểm
(1; 1)P −
. B. Điểm
(1; 2)N −
. C. Điểm
(1;0)M
. D. Điểm
(1;1)Q
.
Câu 4: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
2
16 a
quanh một trong những đường kính, ta
được khối tròn xoay có thể tích là
A.
3
64
3
a
B.
3
128
3
a
C.
3
256
3
a
D.
3
32
3
a
Lời giải
Chọn C
Gọi
R
là bán kính đường tròn. Theo giả thiết, ta có
22
16 4S R a R a

= = =
.
Trang 8
Khi quay miếng bìa hình tròn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một hình cầu.
Thể tích hình cầu này là
( )
3
33
4 4 256
4
3 3 3
V R a a
= = =
.
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số
( )
3
2 2023=−f x x
là:
A.
4
1
2023
2
−+x x C
. B.
4
4 2023−+x x C
. C.
4
1
4
xC+
. D.
3
4 2023−+x x C
.
Lời giải
Chọn A
( )
3
2 2023 d−
xx
4
2. 2023
4
= − +
x
xC
4
2023
2
= − +
x
xC
.
Câu 6: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )( )
2023
1 4 ,
= − + f x x x x x
. Số điểm cực đại của
hàm số đã cho là
A.
3
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
0
01
4
x
f x x
x
=
= =
=−
Bảng xét dấu
( )
fx
:
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng
1
điểm cực đại.
Câu 7: Bất phương trình
2
4
11
2 32
xx+



có tập nghiệm là
( )
;S a b=
, khi đó
ba−
là?
A.
4
. B.
2
. C.
6
. D.
8
.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình tương đương
2
45
2
11
4 5 5 1
22
xx
x x x
+
+ −
.
Vậy
( )
5;1 6S b a= − − =
.
Câu 8: Cho khối chóp
( )
H
có thể tích là
3
2a
, đáy là hình vuông cạnh
2a
. Độ dài chiều cao khối
chóp
( )
H
bằng.
A.
3a
. B.
a
. C.
4a
. D.
2a
.
Lời giải
Chọn A
3
23
2
1 1 6
. ( 2 ) 2 3
3 3 2
a
V B h a a h a
a
= = = = =
.
Câu 9: Tập xác định của hàm số
( )
2022
2023
1=−yx
là:
A.
( )
0;+
. B.
)
1; +
. C.
( )
1; +
. D. .
Lời giải
Trang 9
Chọn C
Do
2022
2023
=
không nguyên nên hàm số xác định khi:
1 0 1xx−
.
Vậy tập xác định:
( )
1;D = +
.
Câu 10: Tính tổng các nghiệm của phương trình
( )
2
log 3 1 9xx− + = −
bằng
A.
3−
. B.
9
. C.
9
10
−
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình tương đương với
29
3 1 10xx
−
− + =
29
3 1 10 0xx
−
− + − =
.
9
5 4.10 0
−
= +
nên phương trình có hai nghiệm
1
x
và
2
x
phân biệt.
Ta có
12
3xx+=
.
Câu 11: Cho hai tích phân
( )
5
2
d8f x x
−
=
và
( )
2
5
d3g x x
−
=
. Tính
( ) ( )
5
2
4 1 dI f x g x x
−
= − −


.
A.
11I =−
. B.
13I =
. C.
27I =
. D.
3I =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
5
2
4 1 dI f x g x x
−
= − −


( ) ( )
52
5
2
25
d 4 df x x g x x x
−
−
−
= + −

( )
8 4.3 5 2 13= + − + =
.
Câu 12: Điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
z
. Khi đó số phức
5wz=
là
A.
15 20wi=+
. B.
15 20wi= − −
. C.
15 20wi=+
. D.
15 20wi=−
.
Lời giải
Số phức
( )
5 5 3 4 15 20w z i i= = − = −
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ):2 1 0x y z
+ − + =
. Vectơ nào sau đây
không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
A.
( )
4
4;2; 2n −
B.
( )
2
2; 1;1n −−
C.
( )
3
2;1;1n
D.
( )
1
2;1; 1n −
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng
( ):2 1 0x y z
+ − + =
có vectơ pháp tuyến là
( )
1
2;1; 1n −
, mà
( )
21
2; 1;1nn− − = −
,
( )
41
4;2; 2 2nn−=
nên
2
n
và
2
n
cũng là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vectơ
( )
2; 1;3a =−
,
( )
1;3; 2b =−
. Tìm
tọa độ của vectơ
2c a b=−
.
A.
( )
0; 7;7c =−
. B.
( )
0;7;7c =
. C.
( )
0; 7; 7c = − −
. D.
( )
4; 7;7c =−
.
Trang 10
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2 2; 6;4b− = − −
mà
( )
2; 1;3a =−
( )
0; 7;7c = −
.
Câu 15: Điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
z
. Phần thực của
z
bằng
A.
4
. B.
4−
. C.
3−
. D.
3
.
Lời giải
Điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
34z i= −
Phần thực của
z
bằng 3.
Câu 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
14
21
x
y
x
−
=
−
.
A.
2y =
. B.
. C.
1
2
y =
. D.
2y =−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
41
lim 2
21
x
x
x
→
−+
=−
−
. Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
2y =−
.
Câu 17: Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
5
log 5a
bằng
A.
5
5 log a+
. B.
5
5 log a−
. C.
5
1 log a+
. D.
5
1 log a−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
5
log 5a
55
log 5 log a=+
5
1 log a=+
.
Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
32
2 6 2y x x= + −
B.
32
32y x x= + −
C.
32
32y x x= − − −
D.
32
32y x x= − −
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số
0a
.
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm
( ) ( )
2;2 ;B 0; 2A −−
.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 3
:
3 4 5
− + −
==
−−
x y z
d
.
Hỏi
d
đi qua điểm nào trong các điểm sau:
Trang 11
A.
( )
3;4;5−C
. B.
( )
3; 4; 5−−D
. C.
( )
1;2; 3−−B
. D.
( )
1; 2;3−A
.
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
1 2 3
:
3 4 5
− + −
==
−−
x y z
d
đi qua điểm
( )
1; 2;3−A
.
Câu 20: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
?
A.
5
6
A
. B.
6
P
. C.
5
6
C
. D.
5
P
.
Lời giải.
Chọn A
Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
là một chỉnh
hợp chập
5
của
6
phần tử. Vậy có
5
6
A
số cần tìm.
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
AB a=
và
3AA a
=
. Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
A.
3
33
2
a
. B.
3
33a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
6
a
.
Lời giải
Chọn C
Thể tích khối lăng trụ là
.
.
ABC A B C ABC
V S AA
=
2
1
.
2
AB AA
=
3
3
2
a
=
.
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số
( )
23
e
x
fx
−
=
.
A.
( )
23
2.e
x
fx
−
=
. B.
( )
23
2.e
x
fx
−
=−
. C.
( )
3
2.e
x
fx
−
=
. D.
( )
23
e
x
fx
−
=
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
2 3 2 3
2 3 .e 2.e
xx
f x x
−−
= − =
.
Câu 23: Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?
B'
C'
A
C
B
A'
Trang 12
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
;0−
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; +
.
Lời giải
Chọn C
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
( )
0; 2
.
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
( )
5 cmr =
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
( )
7 cm
.
Diện tích xung quanh của hình trụ là
A.
( )
2
35π cm
B.
( )
2
70π cm
C.
( )
2
120π cm
D.
( )
2
60π cm
Lời giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ
2π
xq
S rh=
2π5.7 70π==
( )
2
cm
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;10
thỏa mãn
( )
10
0
d7f x x =
,
( )
6
2
d3f x x =
. Giá trị
( ) ( )
2 10
06
ddP f x x f x x=+

là
A.
10.
B.
4.−
C.
4.
D.
7.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
10
0
7df x x=
( ) ( ) ( )
2 6 10
0 2 6
d d df x x f x x f x x= + +
nên
( )
6
2
7dP f x x= − =
7 3 4−=
.
Câu 26: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và công sai
1d =
. Khi đó
3
u
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
31
2 2 2.1 4u u d= + = + =
.
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
f x x=+
là
A.
2
2
ln 2 2
x
x
C++
. B.
2
2
x
xC++
. C.
2
2
ln2
x
xC++
. D.
2
2
2
x
x
C++
.
Lời giải
Ta có
( )
2
21
2d
ln2 2
x
x
x x x C+ = + +
.
Câu 28: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như sau
Trang 13
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A.
1x =
. B.
1x =−
. C.
2x =
. D.
3x =−
.
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta có hàm số đạt cực đai tai điểm
1x =−
.
Câu 29: Trên đoạn
1;5
, hàm số
9
yx
x
=+
đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A.
5x =
. B.
3x =
. C.
2x =
. D.
1x =
.
Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
1;5
.
Ta có:
2
99
1yx
xx

= + = −


.
2
2
3 1;5
9
0 1 0 9 0
3 1;5
x
yx
x
x
=
= − = − =
= −
.
Có
( )
( )
( )
( )
1;5
1 10
3 6 max 1 10
34
5
5
f
f y f
f
=
= = =
=
.
Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?
A.
1
y
x
=
. B.
43
29y y x x x= = - - -
.
C.
3
1yx=-
. D.
1yx=-
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
3
1yx=-
có
2
' 3 0,y x x R= - £ " Î
nên nghịch biến trên
R
.
Câu 31: Cho
==log 3,lo g 4
ab
xx
với
,ab
là các số thực lớn hơn 1. Tính
= log .
ab
Px
A.
=12P
B.
=
12
7
P
C.
=
7
12
P
D.
=
1
12
P
Lời giải
Chọn B
= = = = =
+
+
1 1 1 12
log
11
log log log 7
34
ab
x x x
Px
ab a b
Trang 14
Câu 32: Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
3
,
2
a
ABC SA =
, tam giác
ABC
đều cạnh bằng
a
(minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
bằng
A.
0
90
. B.
0
30
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
M
là trung điểm
BC
.
ABC
đều cạnh
a
nên
AM BC⊥
và
3
2
a
AM =
.
Ta có
( )
SA ABC⊥
Hình chiếu của
SM
trên mặt phẳng
( )
ABC
là
AM
.
Suy ra
SM BC⊥
(theo định lí ba đường vuông góc).
Trang 15
Có
( ) ( )
( )
( )
,
,
SBC ABC BC
AM ABC AM BC
SM SBC SM BC
=
⊥
⊥
. Do đó góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
là góc giữa
SM
và
AM
, hay là góc
SMA
(do
( )
SA ABC SA AM SAM⊥ ⊥
vuông).
Xét tam giác
SAM
vuông tại
A
có
0
3
2
tan 1 45
3
2
a
SA
SMA SMA
AM
a
= = = =
.
Vậy góc cần tìm là
0
45
.
Câu 33: Cho
( )
2
1
4 2 1f x x dx

−=

. Khi đó
( )
2
1
f x dx
bằng:
A.
1
. B.
3−
. C.
3
. D.
1−
.
Lời giải
Chọn A
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
1
22
11
4 2 1 4 2 1 4 2. 1
2
4 4 1
x
f x x dx f x dx xdx f x dx
f x dx f x dx
− = − = − =


= =

Câu 34: Cho điểm
( )
1;2;5M
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
M
cắt các trục tọa độ
,,Ox Oy Oz
tại
,A
,B
C
sao cho
M
là trực tâm tam giác
ABC
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
A.
80x y z+ + − =
. B.
2 5 30 0x y z+ + − =
. C.
0
5 2 1
x y z
+ + =
. D.
1
5 2 1
x y z
+ + =
.
Lời giải
Cách 1 :
Ta có tính chất hình học sau : tứ diện
OABC
có ba cạnh
,,OA OB OC
đôi một vuông góc thì điểm
M
là trực tâm của tam giác
ABC
khi và chỉ khi
M
là hình chiếu vuông góc của điểm
O
lên mặt
phẳng
( )
ABC
.
Do đó mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
1;2;5M
và có véc tơ pháp tuyến
( )
1;2;5OM
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
( ) ( ) ( )
1 2 2 5 5 0 2 5 30 0.x y z x y z− + − + − = + + − =
Cách 2:
Giả sử
( ) ( ) ( )
;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;A a B b C c
Khi đó phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng
1
x y z
a b c
+ + =
.
Theo giả thiết ta có
( )
MP
nên
( )
1 2 5
11
abc
+ + =
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 ;2;5 ; 0; ; ; 1;2 ;5 ; ;0;AM a BC b c BM b AC a c= − − = − −
Mặt khác
M
là trực tâm tam giác
ABC
nên
( )
. 0 2 5
2
5
.0
AM BC b c
ac
BM AC
==

=
=
Từ
( )
1
và
( )
2
ta có
30; 15; 6a b c= = =
.
Trang 16
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
1 2 5 30 0.
30 15 6
x y z
x y z+ + = + + − =
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
1 2 4 3z i i+ = −
. Phần thực của số phức
z
bằng
A.
2
5
−
. B.
2
5
. C.
11
5
. D.
11
5
−
.
Lời giải
Vì
( )
1 2 4 3z i i+ = −
nên
43
12
i
z=
i
−
+
( )( )
22
4 3 1 2
12
ii−−
=
+
2 11
5
i−−
=
2 11
55
=i
−
−
.
Suy ra
2 11
z
55
=i
−
+
.
Vậy phần thực của
z
là
2
5
−
.
Câu 36: Một hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, , 2 .B AB a AA a
==
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
A BC
là:
A.
25a
. B.
25
5
a
. C.
5
5
a
. D.
35
5
a
.
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng
( )
A AB
kẻ
( )
1.AH A B
⊥
Ta có
( ) ( )
vu«ng t¹i
2.
. lµl¨ng trô øng
ABC B AB BC
BC A AB BC AH
ABC AB C AA BC
⊥
⊥ ⊥
⊥
đ
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
( ) ( )
( )
d , .AH A AB A A BC AH

⊥ =
Trong
AAB
vuông tại
A
có đường cao
AH
ta có
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 . .2 2 5
.
5
4
AB AA a a a
AH
AH AB AA
AB AA a a
= + = = =
++
Câu 37: Thầy Bình đặt lên bàn
30
tấm thẻ đánh số từ
1
đến
30
. Bạn An chọn ngẫu nhiên
10
tấm thẻ. Tính xác suất để trong
10
tấm thẻ lấy ra có
5
tấm thẻ mang số lẻ,
5
tấm mang số chẵn trong
đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho
10
.
A.
8
11
. B.
99
667
. C.
3
11
. D.
99
167
.
Lời giải
Trang 17
Số phần tử của không gian mẫu là:
( )
10
30
nC=
.
Gọi
A
là biến cố thỏa mãn bài toán.
Lấy
5
tấm thẻ mang số lẻ, có
5
15
C
cách.
Lấy
1
tấm thẻ mang số chia hết cho
10
, có
1
3
C
cách.
Lấy
4
tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho
10
, có
4
12
C
.
Vậy
( )
5 1 4
15 3 12
10
30
..
99
667
C C C
PA
C
==
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
−−1; 2; 3A
;
( )
−1; 4;1B
và
đường thẳng
−
++
==
−
2
23
:
1 1 2
y
xz
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi
qua trung điểm của đoạn
AB
và song song với
d
?
A.
−
+
==
1
1
1 1 2
y
xz
B.
−
+
==
−
1
1
1 1 2
y
xz
C.
−
−+
==
−
1
11
1 1 2
y
xz
D.
−
+
==
−
2
2
1 1 2
y
xz
Lời giải
Chọn B
Trung điểm của
AB
là
( )
−0;1; 1I
−
++
==
−
2
23
:
1 1 2
y
xz
d
có VTCP là
( )
−
r
1; 1; 2u
nên đường thẳng
cần tìm cũng có VTCP
( )
−
r
1; 1; 2u
.
Suy ra phương trình đường thẳng
−
+
= =
−
1
1
:.
1 1 2
y
xx
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình
21
1
(3 9)(3 ) 3 1 0
27
x x x+
− − −
chứa bao nhiêu số
nguyên ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện
11
3 1 0 3 1 1
xx
x
++
− −
.
Ta có
1x =−
là một nghiệm của bất phương trình.
Với
1x −
, bất phương trình tương đương với
2
1
(3 9)(3 ) 0
27
xx
− −
.
Đặt
30
x
t =
, ta có
2
1
( 9)( ) 0
27
tt− −
1
( 3)( 3)( ) 0
27
t t t − + −
3
1
3
27
t
t
−

. Kết hợp
điều kiện
30
x
t =
ta được nghiệm
1
3
27
t
1
3 3 3 1
27
x
x −
. Kết hợp điều
kiện
1x −
ta được
11x−
suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.
Trang 18
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt
( ) ( )
( )
g x f f x=
.
Hỏi phương trình
( )
0gx
¢
=
có mấy nghiệm thực phân biệt?
A.
14
. B.
10
. C.
8
. D.
12
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
( )
( )
.g x f f x f x
¢ ¢ ¢
=
( )
( )
( )
( )
0
0
0
f f x
gx
fx
é
¢
=
ê
¢
=Û
ê
¢
=
ê
ë
Có
( )
( )
( )
11
22
, 2 1
0
0
, 1 2
2
x x x
x
fx
x x x
x
é
= - < < -
ê
ê
=
ê
¢
=Û
ê
= < <
ê
ê
ê
=
ë
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0
0
2
f x x
fx
f f x
f x x
fx
é
=
ê
ê
=
ê
¢
=Û
ê
ê
=
ê
ê
=
ë
Dựa vào đồ thị ta thấy:
( )
0fx=
có
3
nghiệm phân biệt là
2, 0, 2x x x= - = =
, trong đó có
2
nghiệm trùng với nghiệm
của
( )
0fx
¢
=
.
( )
1
f x x=
có
3
nghiệm phân biệt
( ) ( ) ( )
3 4 5
2; 1 , 1;1 , 2;x x xÎ - - Î - Î + ¥
.
( )
2
f x x=
có
1
nghiệm duy nhất
( )
6
;2x Î - ¥ -
.
( )
2fx=
có
1
nghiệm duy nhất
( )
7
;2x Î - ¥ -
.
Cũng từ đồ thị có thể thấy các nghiệm
1 2 3 4 5 6 7
, , , , , , , 2,0,2x x x x x x x -
đôi một khác nhau.
Vậy
( )
0gx
¢
=
có tổng cộng
10
nghiệm phân biệt.
Trang 19
Câu 41: Cho hàm số
( )
fx
có
( )
1
0
21
f =
và
( )
2
sin3 .cos 2 ,f x x x x
=
. Biết
( )
Fx
là
nguyên hàm của
( )
fx
thỏa mãn
( )
00F =
, khi đó
2
F



bằng
A.
137
441
. B.
137
441
−
. C.
247
441
. D.
167
882
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
sin3 .cos 2 ,f x x x x
=
nên
( )
fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
.
Có
( )
2
1 cos4 sin3 sin3 .cos4
d sin3 .cos 2 d sin3 . d d d
2 2 2
x x x x
f x x x x x x x x x
+
= = = +
( )
1 1 1 1 1
sin3 d sin7 sin d cos3 cos7 cos
2 4 6 28 4
x x x x x x x x C= + − = − − + +

.
Suy ra
( )
1 1 1
cos3 cos7 cos ,
6 28 4
f x x x x C x= − − + +
. Mà
( )
1
00
21
fC= =
.
Do đó
( )
1 1 1
cos3 cos7 cos ,
6 28 4
f x x x x x= − − +
. Khi đó:
( ) ( )
( )
22
00
2
0
1 1 1
0 d cos3 cos7 cos d
2 6 28 4
1 1 1 137
sin3 sin 7 sin
18 196 4 441
137 137 137
00
2 441 441 441
F F f x x x x x x
x x x
FF

− = = − − +

= − − + =



= + = + =



.
Câu 42: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều,
( )
SA ABC⊥
. Mặt phẳng
( )
SBC
cách
A
một khoảng bằng
a
và hợp với mặt phẳng
( )
ABC
góc
0
30
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
8
9
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
4
9
a
.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm sủa
BC
suy ra góc giữa mp
( )
SBC
và mp
( )
ABC
là
0
30SIA =
.
Trang 20
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SI
suy ra
( )
( )
,d A SBC AH a==
.
Xét tam giác
AHI
vuông tại
H
suy ra
0
2
sin30
AH
AI a==
.
Giả sử tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
x
, mà
AI
là đường cao suy ra
34
2
2
3
a
a x x= =
.
Diện tích tam giác đều
ABC
là
2
2
4 3 4 3
.
43
3
ABC
aa
S

==


.
Xét tam giác
SAI
vuông tại
A
suy ra
0
2
.tan30
3
a
SA AI==
.
Vậy
23
.
1 1 4 3 2 8
. . . .
3 3 3 9
3
S ABC ABC
a a a
V S SA= = =
.
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( )
22
2 1 0z m z m− + + =
(
m
là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có nghiệm
0
z
thỏa mãn
0
7?z =
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
22
( 1) 2 1m m m
= + − = +
.
+) Nếu
1
0 2 1 0
2
mm
+ −
, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó
00
77zz= =
.
Thế
0
7z =
vào phương trình ta được:
2
14 35 0 7 14m m m− + = =
(nhận).
Thế
0
7z =−
vào phương trình ta được:
2
14 63 0mm+ + =
, phương trình này vô nghiệm.
+) Nếu
1
0 2 1 0
2
mm
+ −
, phương trình có 2 nghiệm phức
12
,zz
thỏa
21
zz=
.
Khi đó
2
22
1 2 1
.7z z z m= = =
hay
7m =
(loại) hoặc
7m =−
(nhận).
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của
m
là
7 14m =
và
7m =−
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1;3A
và đường thẳng
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
.
Đường thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Oy
có phương trình là.
A.
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
B.
22
1
33
xt
yt
zt
=+
=+
=+
C.
22
13
32
xt
yt
zt
=+
=+
=+
D.
2
33
2
xt
yt
zt
=
= − +
=
Lời giải
Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
có VTCP
( )
1; 2;2u =−
.
Gọi
( )
0; ;0M m Oy
, ta có
( )
2; 1; 3AM m= − − −
Do
d⊥
.0AM u=
( )
2 2 1 6 0m − − − − =
3m = −
Trang 21
Ta có
có VTCP
( )
2; 4; 3AM = − − −
nên có phương trình
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
.
Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, điểm
( )
;M x y
biểu diễn nghiệm của bất
phương trình
( )
3
log 9 18 3
y
x x y+ + = +
. Có bao nhiêu điểm
M
có tọa độ nguyên thuộc hình tròn
tâm
O
bán kính
7R =
?
A.
7
. B.
2
. C.
3
. D.
49
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
9 18 0 2xx+ −
.
( ) ( )
33
log 9 18 3 log 2 2 3
yy
x x y x x y+ + = + + + + = +
Đặt
( )
3
log 2tx=+
,
t
Khi đó ta có:
( )
3 3 *
ty
ty+ = +
Ta thấy hàm số
( )
3
x
f x x=+
đồng biến trên ( do
( )
1 3 .ln3 0
x
f x x
= +
)
Suy ra
( ) ( )
3
* log 2 2 3
y
t y x y x = + = + =
Do
M
có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm
O
bán kính
7R =
nên
22
49
,
xy
xy
+
Khi đó
02
1 7 1 2 9 3 3 3 0;1;2
y
x x y− +
TH1:
01yx= = −
( thỏa mãn)
TH2:
11yx= =
( thỏa mãn)
TH3:
27yx= =
( loại)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là
( ) ( )
1;0 , 1;1−
.
Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
21
:
2 3 1
x y z
d
++
==
−
và mặt
cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 1 6S x y z− + + + + =
. Hai mặt phẳng
( ) ( )
,PQ
chứa
d
và tiếp xúc với
( )
S
. Gọi
,AB
là tiếp điểm và
I
là tâm của mặt cầu
( )
S
. Giá trị
cos AIB
bằng
A.
1
9
−
. B.
1
9
. C.
1
3
−
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Trang 22
Ta có
( )
S
có tâm mặt cầu
( )
2; 1; 1I −−
, bán kính
6R =
.
Gọi
( )
K d IAB=
. Ta có
( )
d IA
d IAB
d IB
⊥
⊥
⊥
nên
K
là hình chiếu vuông góc của
I
trên
d
.
Ta có
( ) ( )
2 2; 3 1; 2 4; 3 ; 1K a a a d IK a a a− − − = − − +
.
Do
1 5 1
. 0 14 7 1; ;
2 2 2
d
IK u a a K

= = = − −


khi đó
36
2
IK =
.
Ta có
2
2 8 1
cos cos 2cos 1 1
3 9 9
IA
AIK AIB AIK
IK
= = = − = − = −
.
Câu 47: Cho các hàm số
( ) ( )
( )
( )
2
; ; 2 1y f x y f f x y f x x= = = + −
có đồ thị lần lượt là
( ) ( ) ( )
1 2 3
;;C C C
. Đường thẳng
2x =
cắt
( ) ( ) ( )
1 2 3
;;C C C
lần lượt tại
,,A B C
. Biết phương trình tiếp
tuyến của
( )
1
C
tại
A
và của
( )
2
C
tại
B
lần lượt là
23yx=+
và
85yx=+
. Phương trình tiếp tuyến
của
( )
3
C
tại
C
là
A.
89yx=−
. B.
12 3yx=+
. C.
24 27yx=−
. D.
41yx=+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2; 2 ; 2; 2 ; 2; 7A f B f f C f
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của
( )
1
C
tại
A
là
( )( ) ( )
2 2 2 2 3y f x f x
= − + = +
nên
( )
22f
=
và
( )
27f =
.
Phương trình tiếp tuyến của
( )
2
C
tại
B
là
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 8 5y f f f x f f x

= − + = +
nên
( )
74f
=
và
( )
7 21f =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của
( )
3
C
tại
C
là
( )( ) ( )
6 7 2 7 24 27y f x f x
= − + = −
.
Câu 48: Cho hàm số bậc bốn
( )
4 3 2
f x ax bx cx dx a= + + + +
có đồ thị hàm số
( )
'y f x=
là
đường cong như hình vẽ sau:
Trang 23
Hàm số
( )
( )
2
2 1 2y f x f x x= − −
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3.
B.
7.
C.
4.
D.
1.
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
4 3 2 3 2
4 3 2f x ax bx cx dx a f x ax bx cx d
= + + + + = + + +
.
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
fx
ta có
( )
lim 4 0 0.
x
f x a a
→+
= +
Hàm số
( )
fx
cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là
1;0;1−
nên ta có hệ phương trình
sau:
( )
( )
4 2 4 2
00
4 3 2 0 0 2 2 1
4 3 2 0 2
dd
a b c d b f x ax ax a a x x
a b c d c a
==


− + − + = = = − + = − +


+ + + = = −

.
Bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
như sau:
Đặt
( ) ( )
( )
2
2 1 2g x f x f x x= − −
.
Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
0
2 1 1
2 1 0
1
2 1 1
0
2 1 1 2
20
21
12
x
x
fx
x
x
gx
x x x
f x x
xx
x
=
− = −
−=
=
−=
=
− = − = +
−=
−=
=−
.
Phương trình
( )
0gx=
có bốn nghiệm nhưng đều là nghiệm bội chẵn.
Ta có
( ) ( )
lim lim
xx
g x g x
→+ →−
= = +
. Suy ra hàm số
( )
y g x=
có dạng như sau:
Kết luận hàm số
( )
( )
2
2 1 2y f x f x x= − −
có 7 điểm cực trị.
Trang 24
Câu 49: Cho tứ diện đều
ABCD
có tất cả các cạnh bằng
1
. Gọi
M
là điểm thuộc cạnh
BC
sao cho
2MC MB=
;
N
,
P
lần lượt là trung điểm của
BD
và
AD
. Gọi
Q
là giao điểm của
AC
và
( )
MNP
. Thể tích khối đa diện
ABMNPQ
bằng
A.
72
216
. B.
13 2
432
. C.
2
36
. D.
11 2
432
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
E MN CD=
.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác
BCD
1
. . 1 .1. 1 2
2
MB ND EC EC EC
MC NB ED ED ED
= = =
.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác
EMC
1
. . 1 1. .3 1
3
DE NM BC NM NM
DC NE BM NE NE
= = =
.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác
ACD
1
. . 1 .2.1 1
2
QA EC PD QA QA
QC ED PA QC QC
= = =
.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác
EQC
1
. . 1 1. .3 1
3
DE PQ AC PQ PQ
DC PE AQ PE PE
= = =
.
Ta có
.
.
3 1 3 9
. . . .
4 2 4 32
E NPD
E QMC
V
EP ED EN
V EQ EC EM
= = =
.
. . .
9 23
32 32
E NPD E QMC MCDNPQ E QMC
V V V V = =
.
Lại có
( )
( )
( )
( )
.
..
.
1
,.
2 2 8 8
3
2. .
1
3 3 9 9
,.
3
CMQ
E QMC
E CMQ D ABC
D ABC
CAB
d E ABC S
V
VV
V
d D ABC S
= = = =
.
Suy ra
..
23 8 23 13 13 2 13 2
..
32 9 36 36 36 12 432
MCDNPQ D ABC D ABC ABMNPQ ABCD
V V V V V= = = = =
.
Câu 50: Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm
O
, phía trong được trang trí bởi hình chữ
nhật
ABCD
; hình vuông
MNPQ
có cạnh
2MN =
(m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung
Q
E
P
M
N
B
D
C
A
Trang 25
đỉnh
O
như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/
2
m
và phần còn lại là 250.000
đồng/
2
m
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 3.439.000 đồng. B. 3.628.000 đồng. C. 3.580.000 đồng. D. 3.363.000 đồng.
Lời giải
Chọn A
Dựng hệ trục tọa độ
Oxy
và gọi các điểm
, , , ,E F G H I
như hình vẽ. Ta tính diện tích phần
không tô màu ở góc phần tư thứ nhất.
Phương trình parabol đi qua ba điểm
,,O A D
là
2
yx=
.
Ta tìm được tọa độ điểm
( )
2 2 17 2 2 17
1;1 , ;
24
MA

− + − +



Diện tích tam giác
1
1 1 2 2 17 2 2 17
: . . . 2
2 2 4 2
AEF S AE AF

− + − +

= = −


.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
1
22
2
0
1
, 0, 0, 1: d
3
y x y x x S x x= = = = = =
.
Diện tích hình thang cong
:AGHM
2 2 17
2
2
3
1
2 ( 1 17) 2 2 17
36
3 17 2 2 17
d
24
S x x
−+
− + − +
−

− + − +
= + − =

+
.
Phương trình đường thẳng
42: 17yxIA = − − +
.
Diện tích cung tròn nhỏ
:IA
Trang 26
(
)
2 2 17
2
2
4
0
2 1 17 2 1 17
2arc i
4 17 d
s
4
n
2
24
S x x x
−+

−
= − +
+ − +

−+
−
=
−

Diện tích phần không tô màu:
( )
1 2 3 4
2 1 17 ( 17 2 13 2) 1 17 10
8arcsin 2 17
4 6 3
6,6 2
4
1
S S S S S

− + − − +

+ + −


= + + +
=
Diện tích hình tròn
2
1. 2,56624
tron
S

==
.
Diện tích phần tô màu
5,954
mau tron
S S S =−
.
Số tiền để sơn
300.000 250 03.00 .0 3 4 9.20
mau
T S S =+
đồng.
---------- HẾT ----------
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 2
MÔN TOÁN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
:
12
1 3 2
x y z+−
==
−
, vectơ nào dưới
đây là vtcp của đường thẳng
d
?
A.
( )
1; 3;2u = − −
. B.
( )
1;3;2u =
. C.
( )
1; 3; 2u = − −
. D.
( )
1;3; 2u = − −
.
Câu 2: Với
a
là số thực tùy ý khác
0
,
2
4
log a
bằng
A.
2
log a
. B.
2
2log a
. C.
2
1
log
4
a
. D.
2
log a
.
Câu 3: Cho hai số phức
4zi=+
và
32wi= − +
. Số phức
zw−
bằng
A.
7 i−+
. B.
13i+
. C.
12i−
. D.
7 i−
.
Câu 4: Số cách chọn
2
học sinh từ
10
học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là
A.
8
10
A
. B.
2
10
. C.
2
10
A
. D.
2
10
C
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 0S x y z x y z+ + + − + =
có tọa độ tâm
I
và bán
kính
R
là
A.
( )
1; 2; 1 ; 6IR−=
. B.
( )
1;2; 1 ; 6IR− − =
.
C.
( )
1;2; 1 ; 6IR− − =
. D.
( )
1; 2; 1 ; 6IR−=
.
Câu 6: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
1
1u =
,
4
8u =−
. Giá trị của
10
u
bằng
A.
1024−
. B.
1024
. C.
512−
. D.
512
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, véc tơ nào sau đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
3
:1
22
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
?
A.
( )
1
3; 1;2u =−
. B.
( )
2
1;1;2u =
. C.
( )
3
1; 1;2u = − −
. D.
( )
4
1;1;1u =
.
Trang 27
Câu 8:
d
42
x
x−
bằng
A.
1
ln 4 2
2
xC−+
. B.
ln 4 2xC−+
. C.
1
ln 4 2
2
xC− − +
. D.
1
ln 4 2
4
xC−+
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
đi qua hai điểm
( ) ( )
1;2;3 , 1;3;4AB−
có phương trình
là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
. B.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
.
C.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
. D.
1 2 3
2 1 1
x y z+ + +
==
−
.
Câu 10: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình bên?
x
y
O
A.
42
21y x x= − + −
. B.
42
21y x x= − −
. C.
32
31y x x= − + −
. D.
32
31y x x= − −
.
Câu 11: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên đoạn
3;3−
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x
( )
fx
3−
2−
1
3
0
+
+
−
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
3x =
. B. Hàm số đạt cực tiểu tại
3x =−
.
C. Hàm số đạt cực đại tại
1x =
. D. Hàm số đạt cực đại tại
2x =−
.
Câu 12: Hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;2
B.
( )
0;3
. C.
( )
0;+
. D.
( )
1;3−
.
Câu 13: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
34
1
d
3
x x x C=+
B.
34
dx x x C=+
. C.
34
1
d
4
x x x C=+
. D.
32
d3x x x C=+
.
Câu 14: Nghiệm của phương trình
31
2 16
x+
=
là
A.
1x =
B.
1x =−
. C.
3x =
. D.
5
3
x =
.
Câu 15: Nghiệm của phương trình
( )
2
log 4 3x =
là
A.
3
2
x =
B.
9
4
x =
. C.
2x =
. D.
5
4
x =
.
Trang 28
Câu 16: Thể tích khối lập phương bằng
3
27a
, độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
A.
3a
. B.
9a
. C.
33a
. D.
3
2
a
.
Câu 17: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
2
2Sa=
, chiều cao
6ha=
là:
A.
3
12a
. B.
3
4a
. C.
3
6a
. D.
3
36a
.
Câu 18: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
là:
A.
1y =
. B.
1x =
. C.
1x =−
. D.
0y =
.
Câu 19: Nếu
( )
3
1
2f x dx =−
và
( )
3
1
4g x dx =
thì
( ) ( )
3
1
f x g x dx−


bằng:
A.
2
. B.
6
. C.
6−
. D.
2−
.
Câu 20: Tích phân
ln3
2
0
x
e dx
bằng
A.
ln3
ln3
2 2 1
0
0
xx
e dx e
+
=
. B.
ln3
ln3
21
2
0
0
21
x
x
e
e dx
x
+
=
+
. C.
ln3
ln3
22
0
0
xx
e dx e=
. D.
ln3
ln3
22
0
0
1
2
xx
e dx e=
.
Câu 21: Giao điểm của đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
với trục hoành có tung độ bằng
A.
4−
. B.
0
. C.
2
. D.
2−
.
Câu 22: Đạo hàm của hàm số
2
2
logyx=
là
A.
1
ln 2x
. B.
2
ln 2x
. C.
2
1
ln2x
. D.
2
2
ln2x
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
1;2; 3A −
và nhận vectơ
( )
2; 1;3n −
làm
vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2 3 9 0x y z− − + =
. B.
2 3 9 0x y z+ − − =
. C.
2 3 9 0x y z− + + =
. D.
2 3 9 0x y z− + − =
.
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức
52i−
có tọa độ là
A.
( )
2;5−
. B.
( )
5; 2−
. C.
( )
2;5
. D.
( )
5;2
.
Câu 25: Số phức liên hợp của sô phức
58zi=+
là
A.
58zi=−
. B.
58zi= − +
. C.
58zi= − −
. D.
85zi=−
.
Câu 26: Một đội thanh niên tình nguyện của trường gồm có
6
học sinh nam và
5
học sinh nữ. Chọn ngẫu
nhiên
4
học sinh để cùng các giáo viên tham gia đo thân nhiệt cho học sinh khi đến trường. Xác
suất để chọn được
4
học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ bằng
A.
5
66
. B.
5
11
. C.
6
11
. D.
2
33
.
Câu 27: Tìm số phức
z
biết
( )
1 3 2 6 3i z i i− + − = −
.
A.
32zi=−
. B.
2zi=+
. C.
72zi=+
. D.
24zi=−
.
Câu 28: Với
a
là số thực dương tùy ý,
5
25
log
a
bằng
A.
5
2 log a−
. B.
5
5
log a
. C.
5
2
log a
. D.
5
5 log a−
.
Câu 29: Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
và chiều cao bằng
6
. Thể tích của khối chóp đó
bằng
A.
6
. B.
24
. C.
8
. D.
12
.
Trang 29
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
13
:
2 1 3
x y z
d
−+
==
−
. Phương trình tham số của đường
thẳng
d
là
A.
2
13
3
xt
yt
z
= − +
=−
=
. B.
12
3
3
xt
yt
zt
=+
= − −
=
. C.
2
13
3
xt
yt
z
=+
= − −
=
D.
12
3
3
xt
yt
zt
= − +
=−
=
.
Câu 31: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
2a
, mặt xung quanh của hình nón khi trải ra trên một mặt
phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A.
2a
. B.
22a
. C.
4a
. D.
42a
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
21f x x=−
có một nguyên hàm là
( )
Fx
thỏa mãn
( ) ( )
2 0 5FF+=
. Khi đó
( ) ( )
32FF+−
bằng
A.
4
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Câu 33: Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
92f x x x= − + −
trên đoạn
0;2
là
A.
6 3 2−
. B.
8
. C.
2−
. D.
2 3 5+
.
Câu 34: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
,3AB a AC a==
và
2AA a
=
. Góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
0
45
B.
0
30
C.
0
60
D.
0
50
Câu 35: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA
vuông góc với đáy, góc giữa
đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
45
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
6
3
a
. B.
6
4
a
. C.
26
3
a
. D.
6
2
a
.
Câu 36: Trong không gian
, cho điểm
( )
1;3;4A
và đường thẳng
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
==
−
. Đường
thẳng
đi qua
A
cắt
d
và vuông góc với trục hoành có phương trình là
A.
1
3
42
x
yt
zt
=
=−
=−
. B.
12
35
44
xt
yt
zt
=+
=−
=−
. C.
1
3
42
xt
yt
zt
=+
=−
=−
. D.
1
32
43
x
yt
zt
=
=+
=+
.
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 3.2 2 2
x
x−
là
A.
( )
1;2
. B.
( )
2
2
log ;0 1;
3

+


.
C.
( ) ( )
;1 2;− +
. D.
( ) ( )
;0 1;− +
.
Câu 38: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 10z i i z i+ − − = +
. Môđun của
z
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Câu 39: Cho hàm số
( )
23
21f x x x=+
. Một nguyên hàm của hàm số
( )
xf x
là
A.
( )
33
1
7 1 2 1
9
xx++
. B.
( )
33
1
11 1 2 1
9
xx++
.
C.
( )
33
1
7 1 2 1
9
xx−+
. D.
( )
33
1
11 1 2 1
9
xx−+
.
Câu 40: Cho hai hàm số
( )
3
f x ax bx c= + +
;
( )
3
g x bx ax c= + +
,
( )
0a
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
12
3SS+=
thì
( )
1
0
f x dx
bằng
Trang 30
A.
3
. B.
3−
. C.
6
. D.
6−
.
Câu 41: Có bao nhiêu số phức
z
sao cho các số phức
z
,
2
z
,
3
z
lần lượt có các điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ tạo thành một tam giác đều?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
6
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 2 1 0x y z
− − + =
và hai đường thẳng
1
2
:2
xt
d y t
zt
= − +
=+
=−
,
2
2
:3
1
xt
d y t
z
=
=+
=
. Gọi
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
và cắt cả hai
đường thẳng
1
d
,
2
d
. Đường thẳng
có phương trình là
A.
6 6 1
1 3 8
x y z− − −
==
−
. B.
5 9 7
1 3 8
x y z− − +
==
.
C.
6 6 1
5 9 7
x y z− − −
==
−
. D.
5 9 7
6 6 1
x y z− − +
==
.
Câu 43: Cho hàm số
( )
fx
có đồ thị của đạo hàm như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số
( ) ( )
2
2 sing x f x x=−
trên đoạn
1;1−
bằng
A.
( )
2
1
1 sin
2
f −−
. B.
( )
2
2 sin 1f −
. C.
( )
0f
. D.
( )
2
1
1 sin
2
f −
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên mỗi khoảng
1
;
2

− −


,
1
;
2

− +


đồng thời thỏa mãn
( )
1
21
fx
x
=
+
1
2
x

−


, và
( ) ( )
1 2 0 2ln674ff− + =
. Giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 1 4S f f f= − + +
bằng
A.
2ln3 ln674−
. B.
ln2023
. C.
2ln2022
. D.
3ln3
.
Trang 31
Câu 45: Cho khối lăng trụ đứng tứ giác
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa
hai đường thẳng
AC
và
DC
lần lượt bằng
3
7
a
;
với
2
cos
4
=
. Thể tích khối lăng trụ đã
cho bằng
A.
3
21
6
a
. B.
3
7
2
a
. C.
3
15
2
a
. D.
3
3a
.
Câu 46: Trong không gian
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
10;0;0 , 0;10;0 , 0;0;10A B C
. Xét mặt phẳng
( )
P
thay
đổi sao cho
,,A B C
nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng
( )
P
và khoảng cách từ
,,A B C
đến
( )
P
lần lượt
10,11,12
. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
( )
P
có giá trị lớn nhất bằng:
A.
33 365
3
+
. B.
33 7 6
3
−
. C.
33 365
3
−
. D.
33 7 6
3
+
.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương
a
,
( )
2023a
sao cho tồn tại số thực
x
thỏa mãn
( )
( )
( )
ln 1 ln ln
xx
x a e e x a+ +
?
A.
2023
. B.
2005
. C.
2008
. D.
2024
.
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2;4; 1A −
,
( )
3;2;2B
,
( )
0;3; 2C −
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0x y z
− + + =
. Gọi
M
là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng
( )
. Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
T MA MB MC=++
bằng
A.
32
. B.
13 14+
. C.
62
. D.
3 2 6+
.
Câu 49: Cho hai hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
,
( ) ( )
2
, , , , , 0g x ax bx e a b c d e a= + +
có đồ thị lần
lượt là hai đường cong
( )
1
C
,
( )
2
C
ở hình vẽ bên.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
( )
1
C
,
( )
2
C
bằng
8
3
. Tính
( ) ( )
21fg−−
.
A.
( ) ( )
2 1 26fg− − = −
. B.
( ) ( )
2 1 24fg− − = −
.
C.
( ) ( )
2 1 28fg− − = −
. D.
( ) ( )
2 1 30fg− − = −
.
Câu 50: Xét các số phức
( )
,z a bi a b= +
thỏa mãn
2 3 2 2zi+ − =
. Tính
2P a b=+
khi
1 6 7 2z i z i+ + + − −
đạt giá trị lớn nhất.
A.
3P =
. B.
3P =−
. C.
1P =
. D.
7P =
.
---------- HẾT ----------
ĐÁP ÁN
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.C
7.C
8.C
9.C
10.C
11.D
12.A
13.C
14.A
15.C
16.A
17.B
18.D
19.C
20.D
21.B
22.B
23.C
24.B
25.A
26.B
27.B
28.A
29.C
30.B
Trang 32
31.B
32.C
33.A
34.A
35.C
36.D
37.B
38.C
39.C
40.B
41.C
42.A
43.C
44.C
45.D
46.D
47.C
48.D
49.C
50.B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
:
12
1 3 2
x y z+−
==
−
, vectơ nào
dưới đây là vtcp của đường thẳng
d
?
A.
( )
1; 3;2u = − −
. B.
( )
1;3;2u =
. C.
( )
1; 3; 2u = − −
. D.
( )
1;3; 2u = − −
.
Lời giải
Chọn A
d
có vtcp
( )
1; 3;2u = − −
.
Câu 2: Với
a
là số thực tùy ý khác
0
,
2
4
log a
bằng
A.
2
log a
. B.
2
2log a
. C.
2
1
log
4
a
. D.
2
log a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
4 4 2
log 2log loga a a==
,
0a
.
Câu 3: Cho hai số phức
4zi=+
và
32wi= − +
. Số phức
zw−
bằng
A.
7 i−+
. B.
13i+
. C.
12i−
. D.
7 i−
.
Lời giải
Chọn D
4 ( 3 2 ) 7z w i i i− = + − − + = −
.
Câu 4: Số cách chọn
2
học sinh từ
10
học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là
A.
8
10
A
. B.
2
10
. C.
2
10
A
. D.
2
10
C
.
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ
10
học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là một chỉnh hợp
chập
2
của
10
phần tử, vậy số cách chọn là
2
10
A
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 0S x y z x y z+ + + − + =
có tọa độ tâm
I
và bán
kính
R
là
A.
( )
1; 2; 1 ; 6IR−=
. B.
( )
1;2; 1 ; 6IR− − =
.
C.
( )
1;2; 1 ; 6IR− − =
. D.
( )
1; 2; 1 ; 6IR−=
.
Lời giải
Chọn B
Ta có, tọa độ tâm:
( )
1;2; 1I −−
Bán kính:
( ) ( )
22
2
1 2 1 6R = − + + − =
Câu 6: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
1
1u =
,
4
8u =−
. Giá trị của
10
u
bằng
A.
1024−
. B.
1024
. C.
512−
. D.
512
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
4
8u =−
3 3 3
1
. 8 1. 8 8 2u q q q q = − = − = − = −
.
Khi đó
( )
9
9
10 1
. 1. 2 512u u q= = − = −
.
Trang 33
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, véc tơ nào sau đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
3
:1
22
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
?
A.
( )
1
3; 1;2u =−
. B.
( )
2
1;1;2u =
. C.
( )
3
1; 1;2u = − −
. D.
( )
4
1;1;1u =
.
Lời giải
Chọn C
Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
là
( )
3
1; 1;2u = − −
.
Câu 8:
d
42
x
x−
bằng
A.
1
ln 4 2
2
xC−+
. B.
ln 4 2xC−+
. C.
1
ln 4 2
2
xC− − +
. D.
1
ln 4 2
4
xC−+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
d1
ln 4 2
4 2 2
x
xC
x
= − − +
−
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
đi qua hai điểm
( ) ( )
1;2;3 , 1;3;4AB−
có phương
trình là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
. B.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
.
C.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
. D.
1 2 3
2 1 1
x y z+ + +
==
−
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
qua điểm
( )
1;2;3A
có vectơ chỉ phương là
( )
2;1;1AB =−
.
1 2 3
:
2 1 1
x y z− − −
= =
−
.
Câu 10: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình bên?
x
y
O
A.
42
21y x x= − + −
. B.
42
21y x x= − −
. C.
32
31y x x= − + −
. D.
32
31y x x= − −
.
Lời giải
Chọn C
Nhận xét: Đồ thị hàm số có hai cực trị và hệ số
0a
nên chọn
C
.
Câu 11: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên đoạn
3;3−
có bảng xét dấu đạo hàm
như sau:
x
( )
fx
3−
2−
1
3
0
+
+
−
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 34
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
3x =
. B. Hàm số đạt cực tiểu tại
3x =−
.
C. Hàm số đạt cực đại tại
1x =
. D. Hàm số đạt cực đại tại
2x =−
.
Lời giải
Chọn D
Theo bảng biến thiên của hàm số, ta có: hàm số đạt cực đại tại
2x =−
.
Câu 12: Hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;2
B.
( )
0;3
. C.
( )
0;+
. D.
( )
1;3−
.
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
( )
0;2
.
Câu 13: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
34
1
d
3
x x x C=+
B.
34
dx x x C=+
. C.
34
1
d
4
x x x C=+
. D.
32
d3x x x C=+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
34
1
d
4
x x x C=+
do
43
1
4
xx

=


.
Câu 14: Nghiệm của phương trình
31
2 16
x+
=
là
A.
1x =
B.
1x =−
. C.
3x =
. D.
5
3
x =
.
Lời giải
Chọn A
31
2 16
x+
=
3 1 4
22
x+
=
3 1 4x + =
1x=
.
Câu 15: Nghiệm của phương trình
( )
2
log 4 3x =
là
A.
3
2
x =
B.
9
4
x =
. C.
2x =
. D.
5
4
x =
.
Lời giải
Chọn C
( )
2
log 4 3x =
3
0
42
x
x
=
0
2
x
x
=
2x=
.
Câu 16: Thể tích khối lập phương bằng
3
27a
, độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
A.
3a
. B.
9a
. C.
33a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3 3 3
27 3V x a x x a= = =
.
Câu 17: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
2
2Sa=
, chiều cao
6ha=
là:
A.
3
12a
. B.
3
4a
. C.
3
6a
. D.
3
36a
.
Lời giải
Chọn B
Trang 35
3
1
.4
3
V S h a==
.
Câu 18: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
là:
A.
1y =
. B.
1x =
. C.
1x =−
. D.
0y =
.
Lời giải
Chọn D
lim 0 0
x
yy
→
= =
là TCN của ĐTHS.
Câu 19: Nếu
( )
3
1
2f x dx =−
và
( )
3
1
4g x dx =
thì
( ) ( )
3
1
f x g x dx−


bằng:
A.
2
. B.
6
. C.
6−
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn C
( ) ( )
3
1
2 4 6.f x g x dx− = − − = −


Câu 20: Tích phân
ln3
2
0
x
e dx
bằng
A.
ln3
ln3
2 2 1
0
0
xx
e dx e
+
=
. B.
ln3
ln3
21
2
0
0
21
x
x
e
e dx
x
+
=
+
. C.
ln3
ln3
22
0
0
xx
e dx e=
. D.
ln3
ln3
22
0
0
1
2
xx
e dx e=
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
ln3
ln3
22
0
0
1
2
xx
e dx e=
.
Câu 21: Giao điểm của đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
với trục hoành có tung độ bằng
A.
4−
. B.
0
. C.
2
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn B
Giao điểm của đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
với trục hoành có tung độ bằng
0
.
Câu 22: Đạo hàm của hàm số
2
2
logyx=
là
A.
1
ln 2x
. B.
2
ln 2x
. C.
2
1
ln2x
. D.
2
2
ln2x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
2
2
2
2
log
ln2 ln2
x
yx
xx
= = =
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
1;2; 3A −
và nhận vectơ
( )
2; 1;3n −
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2 3 9 0x y z− − + =
. B.
2 3 9 0x y z+ − − =
. C.
2 3 9 0x y z− + + =
. D.
2 3 9 0x y z− + − =
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng cần tìm
( ) ( ) ( )
2 1 2 3 3 0 2 3 9 0x y z x y z− − − + + = − + + =
.
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức
52i−
có tọa độ là
A.
( )
2;5−
. B.
( )
5; 2−
. C.
( )
2;5
. D.
( )
5;2
.
Trang 36
Lời giải
Chọn B
Câu 25: Số phức liên hợp của sô phức
58zi=+
là
A.
58zi=−
. B.
58zi= − +
. C.
58zi= − −
. D.
85zi=−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
58zi=−
.
Câu 26: Một đội thanh niên tình nguyện của trường gồm có
6
học sinh nam và
5
học sinh nữ.
Chọn ngẫu nhiên
4
học sinh để cùng các giáo viên tham gia đo thân nhiệt cho học sinh khi đến
trường. Xác suất để chọn được
4
học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ bằng
A.
5
66
. B.
5
11
. C.
6
11
. D.
2
33
.
Lời giải
Chọn B
Ta có không gian mẫu
( )
4
11
nC=
.
Gọi
A
là biến cố: “Chọn được
4
học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ”
( )
22
56
.n A C C=
.
Xác suất của biến cố A là:
( )
( )
( )
22
56
4
11
.
5
.
11
nA
CC
PA
nC
= = =
Câu 27: Tìm số phức
z
biết
( )
1 3 2 6 3i z i i− + − = −
.
A.
32zi=−
. B.
2zi=+
. C.
72zi=+
. D.
24zi=−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
3
1 3 2 6 3 1 3 2
1
i
i z i i i z i z i
i
−
− + − = − − = − = = +
−
.
Câu 28: Với
a
là số thực dương tùy ý,
5
25
log
a
bằng
A.
5
2 log a−
. B.
5
5
log a
. C.
5
2
log a
. D.
5
5 log a−
.
Lời giải
Chọn A
5
25
log
a
5 5 5
log 25 log 2 logaa= − = −
.
Câu 29: Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
và chiều cao bằng
6
. Thể tích của
khối chóp đó bằng
A.
6
. B.
24
. C.
8
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Thể tích khói chóp là
2
1
.2 .6 8
3
V ==
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
13
:
2 1 3
x y z
d
−+
==
−
. Phương trình tham số
của đường thẳng
d
là
A.
2
13
3
xt
yt
z
= − +
=−
=
. B.
12
3
3
xt
yt
zt
=+
= − −
=
. C.
2
13
3
xt
yt
z
=+
= − −
=
D.
12
3
3
xt
yt
zt
= − +
=−
=
.
Lời giải
Chọn B
Trang 37
Phương trình tham số của đường thẳng
d
là
12
3
3
xt
yt
zt
=+
= − −
=
.
Câu 31: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
2a
, mặt xung quanh của hình nón khi trải ra
trên một mặt phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A.
2a
. B.
22a
. C.
4a
. D.
42a
.
Lời giải
Chọn B
Khi mặt xung quanh của hình nón trải ra trên một mặt phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài
đường sinh của hình nón là
2 2 2l R a==
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
21f x x=−
có một nguyên hàm là
( )
Fx
thỏa mãn
( ) ( )
2 0 5FF+=
.
Khi đó
( ) ( )
32FF+−
bằng
A.
4
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2 2 1
21
2 2 1
x khi x
f x x
x khi x
−
= − =
− +
. Do đó
( )
2
1
2
2
2 1
2 1
x x C khi x
Fx
x x C khi x
− +
=
− + +
.
Theo đề bài thì
( ) ( )
12
2 0 5 5F F C C+ = + =
. Suy ra
( ) ( )
12
3 2 3 8 0F F C C+ − = + − + =
.
Câu 33: Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
92f x x x= − + −
trên đoạn
0;2
là
A.
6 3 2−
. B.
8
. C.
2−
. D.
2 3 5+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( )
32
9 2 3 9f x x x f x x
= − + − = − +
.
Khi đó:
( )
3 0;2
0
3 0;2
x
fx
x
= −
=
=
.
Do đó:
( )
( )
( )
02
28
3 6 3 2
f
f
f
=−
=
=−
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
92f x x x= − + −
trên đoạn
0;2
là
( )
3 6 3 2f =−
.
Câu 34: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
,3AB a AC a==
và
2AA a
=
. Góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
0
45
B.
0
30
C.
0
60
D.
0
50
Lời giải
Chọn A
Vì
ABC
là tam giác vuông tại
, , 3 2A AB a AC a BC a= = =
.
Trang 38
Vì
.ABC A B C
là lăng trụ đứng nên góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( )
ABC
là
BC B

.
0
2
tan 1 45
2
BB a
BC B BC B
BC a
= = = =
.
Câu 35: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA
vuông góc với
đáy, góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
45
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
6
3
a
. B.
6
4
a
. C.
26
3
a
. D.
6
2
a
.
Lời giải
Chọn C
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
nên
22
22AC AB BC a= + =
.
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
45
tức là:
0
45SCA =
. Khi đó
SAC
vuông cân nên
22SA AC a==
.
Vì
//AB CD
nên khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
cũng bằng khoảng cách từ
A
đến mặt
phẳng
( )
SCD
.
Kẻ
,AH SD H SD⊥
.
Khi đó:
( )
DC SA
DC SAD DC AH
DC AD
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
Do đó:
( )
AH SD
AH SDC
AH DC
⊥
⊥
⊥
nên khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SCD
là
AH
.
( )
( )
22
22
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 8 2 6
33
2
22
a
AH a AH
AH SA AD AH
a
a
= + = + = =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3;4A
và đường thẳng
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
==
−
.
Đường thẳng
đi qua
A
cắt
d
và vuông góc với trục hoành có phương trình là
A.
1
3
42
x
yt
zt
=
=−
=−
. B.
12
35
44
xt
yt
zt
=+
=−
=−
. C.
1
3
42
xt
yt
zt
=+
=−
=−
. D.
1
32
43
x
yt
zt
=
=+
=+
.
Lời giải
Chọn D
Trang 39
Gọi
( ) ( )
Md=
( )
Md
. Ta có ptts của
( )
12
:1
22
xt
d y t
zt
=+
= − −
= − +
( )
1 2 ; 1 ; 2 2M t t t + − − − +
.
Ta có:
( )
1;0;0i =
r
;
( )
2 ; 4 ; 6 2AM t t t= − − − +
uuur
. Vì
.0Ox AM i AM i ⊥ ⊥ =
uuur r uuur r
0t=
Vậy ptts của
có
( ) ( )
0; 4; 6 2 0;2;3u AM= = − − = −
r uuur
.
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 3.2 2 2
x
x−
là
A.
( )
1;2
. B.
( )
2
2
log ;0 1;
3

+


.
C.
( ) ( )
;1 2;− +
. D.
( ) ( )
;0 1;− +
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định:
2
2
3.2 2 0 log
3
x
x−
.
Bpt
( )
( )
2
2
3.2 2 2 2 3.2 2 0 1
x x x x
− − +
.
Đặt
2
x
t =
( )
1
trở thành:
2
1 2 1 0
3 2 0
21
22
x
x
tx
tt
tx

− +



.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
( )
2
2
log ;0 1;
3

+


.
Câu 38: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 10z i i z i+ − − = +
. Môđun của
z
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
z a bi z a bi= + = −
.
Pt
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 2 3 10 3 3 3 2 2 3 10a bi i i a bi i a b i a ai bi b i− + − − + = + + − − − + + = +
( ) ( )
32
3 5 3 10
5 7 1
a b a
a b b a i
a b b
− = =

− + − + = +

− = = −

.
Vậy số phức
z
có dạng là :
25z i z= − =
.
Câu 39: Cho hàm số
( )
23
21f x x x=+
. Một nguyên hàm của hàm số
( )
xf x
là
A.
( )
33
1
7 1 2 1
9
xx++
. B.
( )
33
1
11 1 2 1
9
xx++
.
C.
( )
33
1
7 1 2 1
9
xx−+
. D.
( )
33
1
11 1 2 1
9
xx−+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 3
2 1 2 1xf x dx xd f x xf x f x dx x x x x dx
= = − = + − +
( ) ( )
3
3 3 3 3 3 3 3
1 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1
6 6 3
x x x d x x x x C= + − + + = + − + +
( )
33
1
7 1 2 1
9
x x C= − + +
.
Trang 40
Câu 40: Cho hai hàm số
( )
3
f x ax bx c= + +
;
( )
3
g x bx ax c= + +
,
( )
0a
có đồ thị như hình
vẽ bên. Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
12
3SS+=
thì
( )
1
0
f x dx
bằng
A.
3
. B.
3−
. C.
6
. D.
6−
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm
33
ax bx c bx ax c+ + = + +
( ) ( )
3
0a b x b a x − + − =
( )
3
0a b x x

− − =

0
1
x
x
=
=
.
Cách 1:
Có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
00
3
1
11
11
3
3
00
1
4
1
4
S f x g x dx a b x x dx a b
S g x f x dx a b x x dx a b
−−
= − = − − = −
= − = − − − = −


13
SS=
.
Vậy
12
3SS+=
32
3SS + =
( ) ( )
( )
( )
11
00
3g x f x dx g x dx − + − =

( )
1
0
3f x dx = −
.
Cách 2:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
00
3
1
11
1
4
S f x g x dx a b x x dx a b
−−
= − = − − = −

;
Trang 41
( )
( )
11
3
2
00
42
ba
S g x dx bx ax c dx c

= − = − + + = − + +



.
Vậy
12
3SS+=
( )
1
3
4 4 2
ba
a b c − − − − =
2 4 12abc + + = −
.
Suy ra
( )
( )
11
3
00
24
3
4 2 4
a b a b c
f x dx ax bx c dx c
++
= + + = + + = = −

.
Câu 41: Có bao nhiêu số phức
z
sao cho các số phức
z
,
2
z
,
3
z
lần lượt có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ tạo thành một tam giác đều?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
,z x yi x y= +
Gọi
,,A B C
lần lượt là điểm biểu diễn số phức
z
,
2
z
,
3
z
Ta có
2
.1AB z z z z a= − = − =
;
2
32
. 1 .BC z z z z a z= − = − =
;
3
. 1 1 . 1CA z z z z z a z= − = − + = +
với
. 1 0, 0; 1;1a z z z= − −
ABC
đều
( )
22
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1AB BC CA z z x y x y = = = = + = + = + +
22
1
2 1 0
13
2
22
1
3
2
x
x
zi
xy
y
=−
+=
= −

+=
=
có 2 số phức
z
thỏa mãn.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 2 1 0x y z
− − + =
và hai đường thẳng
1
2
:2
xt
d y t
zt
= − +
=+
=−
,
2
2
:3
1
xt
d y t
z
=
=+
=
. Gọi
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
và cắt cả hai đường thẳng
1
d
,
2
d
. Đường thẳng
có phương trình là
A.
6 6 1
1 3 8
x y z− − −
==
−
. B.
5 9 7
1 3 8
x y z− − +
==
.
C.
6 6 1
5 9 7
x y z− − −
==
−
. D.
5 9 7
6 6 1
x y z− − +
==
.
Lời giải
Chọn A
+) Gọi A là giao điểm của
1
d
và
( )
,
( )
1
2 ;2 ;A t t t d− + + −
mà
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 1 0 7 5;9; 7A t t t t A
− + − + + + = = −
.
+) Gọi B là giao điểm của
2
d
và
( )
,
( )
2
2 ;3 ;1B t t d

+
mà
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3 1 1 0 3 6;6;1B t t t B
− + − + = =
+)Véc tơ chỉ phương của
là
( )
1; 3;8u
−
.
Phương trình
là
6 6 1
1 3 8
x y z− − −
==
−
Câu 43: Cho hàm số
( )
fx
có đồ thị của đạo hàm như sau:
Trang 42
Giá trị lớn nhất của hàm số
( ) ( )
2
2 sing x f x x=−
trên đoạn
1;1−
bằng
A.
( )
2
1
1 sin
2
f −−
. B.
( )
2
2 sin 1f −
. C.
( )
0f
. D.
( )
2
1
1 sin
2
f −
.
Lời giải
Chọn C
( ) ( ) ( )
1
2 2 2sin cos 0 2 sin2
2
g x f x x x f x x
= − = =
Đặt
( )
1
2 sin
2
t x f t t
= =
Với
1;1 2;2xt − −
( )
1
sin 0 0
2
f t t t x
= = =
Bảng biến thiên của
( )
gx
Vậy
( ) ( ) ( )
1;1
max 0 0g x g f
−
==
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên mỗi khoảng
1
;
2

− −


,
1
;
2

− +


đồng thời thỏa
mãn
( )
1
21
fx
x
=
+
1
2
x

−


, và
( ) ( )
1 2 0 2ln674ff− + =
. Giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 1 4S f f f= − + +
bằng
A.
2ln3 ln674−
. B.
ln2023
. C.
2ln2022
. D.
3ln3
.
Lời giải
Chọn C
Trang 43
( ) ( )
( )
( )
1
2
11
ln 2 1 ,
1
22
11
21
ln 2 1 ,
22
x C khi x
f x f x
x
x C khi x
−
+ +
= =
−
+
− − +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
0 ; 1 2 0 1 2 2 2ln674f C f C f f C C C C= − = + − = + + =
.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 1
12
1 1 1
2 ln3 , 1 ln3 ; 4 ln9
2 2 2
111
2 1 4 ln3 ln3 ln7 2
222
111
ln3 ln3 ln9 2ln674 2ln3 2ln674 2ln2002.
222
f C f C f C
S f f f C C
− = + = + = +
= − + + = + + + +
= + + + = + =
Câu 45: Cho khối lăng trụ đứng tứ giác
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông; khoảng cách
và góc giữa hai đường thẳng
AC
và
DC
lần lượt bằng
3
7
a
;
với
2
cos
4
=
. Thể tích khối lăng
trụ đã cho bằng
A.
3
21
6
a
. B.
3
7
2
a
. C.
3
15
2
a
. D.
3
3a
.
Lời giải
Chọn D
Lăng trụ đứng tứ giác
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông cạnh bằng
x
và cạnh bên bằng
y
.
Do
( ) ( )
// A C , ,AC AC DC A C DC A C D
= =
.
Do tam giác
DA C

cân tại
D
90A C D

.
Áp dụng định lý côsin và giả thiết ta được:
2 2 2
cos
2
C A C D A D
A C D
C A C D
+−

=
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
22
22
2
2
3
4
2.
2
x x y x y
x
yx
x x y
xy
+ + − +
= = = =
+
+
.
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
( )
//AC // DAC , ,AC AC d AC DC d AC DA C
=
( )
( )
( )
( )
,,d A DA C d D DA C
==
.
Do
AD
cắt
( )
DA C

tại trung điểm
I
của
AD
Xét tứ diện
.D DA C

vuông tại
D
có:
Trang 44
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 49 1 1 1
21
,
xa
D D D A D C a y x x
d D DA C
= + + = + + =
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là
2 3 3
33V x y x a= = =
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
10;0;0 , 0;10;0 , 0;0;10A B C
. Xét mặt
phẳng
( )
P
thay đổi sao cho
,,A B C
nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng
( )
P
và khoảng cách từ
,,A B C
đến
( )
P
lần lượt
10,11,12
. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
( )
P
có giá trị lớn nhất bằng:
A.
33 365
3
+
. B.
33 7 6
3
−
. C.
33 365
3
−
. D.
33 7 6
3
+
.
Lời giải
Chọn D
Gọi phương trình mặt phẳng
( )
( )
2 2 2
: 0, 0P ax by cz d a b c+ + + = + +
.
Do
,,A B C
nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng
( )
P
nên ta có:
( )( )
( )( )
( )( )
10 10 0 10 0
10 10 0 10 0
10 10 0 10 0
a d b d a d
b d c d b d
c d a d c d
+ + +

+ + +


+ + +
hoặc
10 0
10 0
10 0
ad
bd
cd
+
+
+
.
Giả sử
10 0
10 0
10 0
ad
bd
cd
+
+
+
.
Khi đó theo giả thiết khoảng cách:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
10
, 10
10
, 11
10
, 12
ad
d A P
abc
bd
d B P
abc
cd
d C P
abc
+
==
++
+
==
++
+
==
++
.
Đặt
2 2 2
t a b c= + +
với
0t
.
Suy ra:
10
10 10
11
10 11
10 10
10 12
12
10 10
d
ax
a x d
d
b x d b x
c x d
xd
c
=−
=−

= − = −


=−
=−
.
Mặt khác:
2 2 2
2 2 2 2 2
11 12
10 10 10 10 10
d d x d
x a b c x x x
= + + = − + − + −
.
( )
( )
33 7 6
;
3
d
d O P
x
= =
.
Do đó:
( )
( )
max
33 7 6
;
3
d O P
+
=
.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương
a
,
( )
2023a
sao cho tồn tại số thực
x
thỏa mãn
( )
( )
( )
ln 1 ln ln
xx
x a e e x a+ +
?
A.
2023
. B.
2005
. C.
2008
. D.
2024
.
Lời giải
Trang 45
Chọn C
Điều kiện:
*
ln 0 2
00
a
x a a
ax


⎯⎯→



. Đặt
( )
ln ln ln
t
t x a x a e= =
.
Bất phương trình trở thành:
( ) ( )
1 . 0
t x x t x x x
e xe e t g t e e t xe e+ + = − + −
( )
*
Có
( )
0
tx
g t e e t x= − = =
.
Bảng biến thiên:
Vậy
( ) ( )
* ln
x
e
t x a h x
x
= = =
có
( )
2
.
01
xx
e x e
h x x
x
−
= = =
.
Bảng biến thiên:
Vậy
ln 15,15 16,...,2023
e
a e x e a
.
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2;4; 1A −
,
( )
3;2;2B
,
( )
0;3; 2C −
và mặt
phẳng
( )
: 2 1 0x y z
− + + =
. Gọi
M
là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng
( )
. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
T MA MB MC=++
bằng
A.
32
. B.
13 14+
. C.
62
. D.
3 2 6+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1; 2;3 , 2; 1; 1 , 5; 5; 5 5 1; 1; 1AB AC AB AC

= − = − − − = − − = − −

uur uuur uur uuur
, suy ra
( )
: 1 0ABC x y z− − + =
.
Ta thấy
( ) ( )
ABC
⊥
, xét
( ) ( )
1
10
::
2 1 0
0
xt
x y z
d ABC d d y t
x y z
z
= − +
− − + =
= =

− + + =
=
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
( )
ABC
, khi đó
( )
1 ; ;0H d H t t − +
.
T MA MB MC HA HB HC= + + + +
.
( ) ( )
( )
222
2
2
22
2
2
2
2 14 26 2 12 24 2 8 14
73
2 2 2 2 6 2 3 6
2
2
76
2 2 6 6 3 2 6
2
2
T t t t t t t
t t t
− + + − + + − +


= − + + − + + − +







− + + + = +





.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
3 2 6+
khi
( )
3 2;3;0tM=
.
Trang 46
Câu 49: Cho hai hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
,
( ) ( )
2
, , , , , 0g x ax bx e a b c d e a= + +
có đồ thị lần lượt là hai đường cong
( )
1
C
,
( )
2
C
ở hình vẽ bên.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
( )
1
C
,
( )
2
C
bằng
8
3
. Tính
( ) ( )
21fg−−
.
A.
( ) ( )
2 1 26fg− − = −
. B.
( ) ( )
2 1 24fg− − = −
.
C.
( ) ( )
2 1 28fg− − = −
. D.
( ) ( )
2 1 30fg− − = −
.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có
( ) ( ) ( )( )
2
13f x g x a x x− = − −
và
0a
Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1
2
3
11
2
33
8 8 8
d d d
3 3 3
1 3 1 3S a x x af x g x x x xxx= − = =− − − −=
( )
1
3
1
3
3 2 4 3 2
1 7 15 8 4 8
7 15 9 9 2
3
8
3 4
d
3 2 3 3
a x x x a x x x x ax a

− + − − + − = = =


=
.
Do đó
( ) ( ) ( )( )
2
2 1 3f x g x x x− = − −
( ) ( )
( )( )
2
2
32
2 1 3ax bx cx d ax xxbx e+ + + = −+ −+−
( ) ( )
( )
2 323
2 7 15 9ax b a x c b x d xe xx + − + =+− −+ −−
Đồng nhất hệ số ta có
2
14 12
30 18
18 1
2
8
a
b a b
c b c
d e d e
a
=
− = − = −



− = =


− = − =
=
−
( ) ( )
3 2 2
2 12 18 18; 2 12f x x x x e g x x x e = − + + − = − +
( ) ( )
2 1 28fg − − = −
Vậy
(2) ( 1) 28fg− − = −
.
Câu 50: Xét các số phức
( )
,z a bi a b= +
thỏa mãn
2 3 2 2zi+ − =
. Tính
2P a b=+
khi
1 6 7 2z i z i+ + + − −
đạt giá trị lớn nhất.
A.
3P =
. B.
3P =−
. C.
1P =
. D.
7P =
.
Lời giải
Chọn B
Trang 47
(
C
)
A
B
I
N
K
M
Đặt
( ) ( ) ( )
1; 6 , 7;2 8;8A B AB− − =
và trung điểm của
AB
là
( )
3; 2K −
.
Gọi
( )
;M a b
là điểm biểu diễn số phức
z
ta có:
( ) ( )
22
2 3 8ab+ + − =
.
M
thuộc đường tròn
( )
C
có tâm
( )
2;3I −
, bán kính
8R =
.
Ta thấy
( )
5; 5 . 0IK IK AB I= − =
nằm trên đường thẳng trung trực của
AB
.
Xét tam giác
2
2 2 2
2
2
AB
MAB MA MB MK + = +
.
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 4 4MA MB MK AB MA MB MA MB MK AB + = + + + +
.
Ta có
1 6 7 2z i z i+ + + − −
là tổng khoảng cách từ điểm
M
trên đường tròn
( )
C
tới hai điểm
A
và
B
.
Vậy
MA MB+
lớn nhất khi:
max
MA MB
MK
=
. Điều này xảy ra khi
M
là giao điểm của
IK
với đường
tròn
( )
C
và
M
nằm ngoài đoạn
IK
.
Ta có phương trình của đường thẳng
2
:
3
xt
IK
yt
= − +
=−
.
Tọa độ giao điểm của
IK
với đường tròn
( )
C
là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2
22
2
3 2 8 2
2 3 8
xt
y t t t
xy
= − +
= − = =
+ + − =
.
Vậy điểm
M
cần tìm ứng với
2t =−
khi đó
( )
4
4;5 2 8 5 3
5
a
M P a b
b
=−
− = + = − + = −
=
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 3
MÔN TOÁN
Câu 1: Cho khối cầu
( )
S
có thể tích bằng
36
(
3
cm
). Diện tích mặt cầu
( )
S
bằng bao nhiêu?
A.
( )
2
36 cm
. B.
( )
2
18 cm
. C.
( )
2
64 cm
. D.
( )
2
27 cm
.
Câu 2: Cho
1
0
()fx
dx
1=−
;
3
0
()fx
dx
5=
. Tính
3
1
()fx
dx
A. 4. B. 1. C. 5. D. 6.
Câu 3: Số tập hợp con có
3
phần tử của một tập hợp có
7
phần tử là:
A.
3
7
C
. B.
3
7
A
. C.
7!
3!
. D.
7
.
Câu 4: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Cạnh bên
SC
vuông góc với mặt phẳng
Trang 48
( )
ABC
,
=SC a
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
2
12
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
9
a
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số
( )
y f x=
bằng
A.
4
. B.
2−
. C.
1−
. D.
3
.
Câu 6: Tính
3 2 1
1 3 2
ii
z
ii
+−
=+
−+
?
A.
23 63
26 26
zi=+
. B.
15 55
26 26
zi=+
. C.
23 61
26 26
zi=+
. D.
26
13 13
zi=+
.
Câu 7: Cho số phước
=−1 2 .zi
Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
=w iz
trên mặt phẳng tọa độ
A.
( )
−2;1P
. B.
( )
−1; 2M
. C.
( )
1; 2Q
. D.
( )
2;1N
.
Câu 8: Trong hệ tọa độ
, cho
3OA k i=−
. Tìm tọa độ điểm
A
.
A.
( )
1;0;3−
. B.
( )
3; 1;0−
. C.
( )
3;0; 1−
. D.
( )
1;3;0−
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:3 2 1 0P x y z+ − + =
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
( )
P
?
A.
( )
4
3; 2;1n =−
. B.
( )
3
2;1;3n =−
. C.
( )
1
3;1; 2n =−
. D.
( )
2
1; 2;1n =−
.
Câu 10: Nghiệm của phương trình
( )
2
log 3 1x −=
là
A.
5.x =
B.
2.x =
C.
3.x =
D.
4.x =
Câu 11: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
là
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 12: Cho số phức
1 3 .zi=+
Khi đó.
A.
1 1 3
44
i
z
=−
. B.
1 1 3
22
i
z
=+
. C.
1 1 3
44
i
z
=+
. D.
1 1 3
22
i
z
=−
.
Câu 13: Tính
3d
x
Ix=
.
A.
3
ln3
x
IC=+
. B.
3 ln3
x
IC= + +
. C.
3
x
IC=+
. D.
3 ln3
x
IC=+
.
Câu 14: Cho hàm số
2
1
y
x
=
−
có đồ thị
( )
.C
Mệnh đề nào đưới đây là đúng?
A.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
2y =−
.
B.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
1x =
.
C.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
0y =
.
D.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
2y =
.
Trang 49
Câu 15: Trong không gian
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
d
:
1
5
23
xt
yt
zt
=−
=+
=+
?
A.
( )
1;1;3Q −
. B.
( )
1;1;3M
. C.
( )
1;2;5P
. D.
( )
1;5;2N
.
Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số
( )
2
log 6 5y x x= − +
.
A.
( )
1;5D =
. B.
(
)
;1 5;D = − +
.
C.
( ) ( )
;1 5;D = − +
. D.
1;5D =
.
Câu 17: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.
A.
2
yx=
. B.
42
2y x x=+
C.
42
31y x x= − +
. D.
42
4y x x= − +
.
Câu 18: Trong mặt phẳng
Oxy
, điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
z
. Số phức
z
là
A.
2 i−−
. B.
12i−
. C.
2 i−+
. D.
12i+
.
Câu 19: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
32
32ab =
. Giá trị của
22
3log 2logab+
bằng
A.
5
. B.
2
. C.
32
. D.
4
.
Câu 20: Tìm số nghiệm của phương trình
( )
22
log log 1 2xx+ − =
.
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 21: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
( )
0
60 , , ABC SA a SA ABCD= = ⊥
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
, tính góc giữa hai đường thẳng
SA
và
CM
.
A.
0
60
. B.
0
90
. C.
0
30
. D.
0
45
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
( )
d
có phương trình
13
2;
32
xt
y t t
zt
=−
= +
=+
. Mặt phẳng
( )
P
đi
qua
( 1; 2;1)A −−
và
( )
P
vuông góc với đường thẳng
( )
d
thì
( )
P
có phương trình là:
A.
( )
: 3 2 3 0P x y z− + + − =
. B.
( )
: 3 2 3 0P x y z− + + + =
.
C.
( )
: 2 3 2 0P x y z+ + − =
. D.
( )
: 2 3 2 0P x y z+ + + =
.
Câu 23: Cho
( )
2
0
d3f x x =
,
( )
2
0
d1g x x =−
thì
( ) ( )
2
0
5df x g x x x

−+

bằng:
A.
8
. B.
10
. C.
12
. D.
0
.
Câu 24: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập ?
A.
sin .y x x=−
. B.
2
21y x x= + +
.
Trang 50
C.
( )
ln 3yx=+
. D.
32
57
x
y
x
+
=
+
.
Câu 25: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
1u =
và
2
4u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D.
3−
.
Câu 26: Biết
3
()F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên . Giá trị của
3
1
(1 ( ) d)x xf+
bằng
A. 20. B. 26. C. 28. D. 22.
Câu 27: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( ) sin 2 1f x x=+
là:
A.
( )
( ) cos 2 1F x x=+
. B.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x= − +
.
C.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x C= − + +
. D.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x C= + +
.
Câu 28: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;2−
và
( )
2;+
.
B. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
;1 1;− +
.
C. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên .
D. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;1−
và
( )
1; +
.
Câu 29: Với mọi số thực dương
, , ,a b x y
và
,1ab
, mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
log log log
a a a
xy x y=+
. B.
log .log log
b a b
a x x=
.
C.
log log log
a a a
x
xy
y
=−
. D.
11
log
log
a
a
xx
=
.
Câu 30: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh
a
và chiều cao bằng
4a
. Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
A.
3
4a
. B.
3
4
3
a
. C.
3
16
3
a
. D.
3
16a
.
Câu 31: Đạo hàm của hàm số
10
x
y =
là
A.
10 .ln10
x
. B.
10
x
. C.
1
.10
x
x
−
. D.
10
ln10
x
.
Câu 32: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
A.
2
xq
S rl
=
. B.
2
4
xq
Sr
=
. C.
2
2
xq
Sr
=
. D.
xq
S rl
=
.
Câu 33: Cho hàm số
()y f x=
có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng
( )
;ab
?
Trang 51
A.
7
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 34: Giá trị lớn nhất của hàm số
9
1
yx
x
=+
−
trên đoạn
4; 1−−
bằng
A.
11
2
−
. B.
29
5
−
. C.
5−
. D.
9−
.
Câu 35: Cho số phức
z a bi=+
( )
, ab
thỏa mãn
( )
2 2 10 6i z i− + = +
. Tính
P a b=+
.
A.
3P =
. B.
3P =−
. C.
5P =
. D.
5P =−
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1;3A
và đường thẳng
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
. Đường
thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Oy
có phương trình là.
A.
2
33
2
xt
yt
zt
=
= − +
=
. B.
22
13
32
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. C.
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
. D.
22
1
33
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Câu 37: Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục, nhận giá trị dương trên
( )
0; +
và thỏa mãn
( )
11f =
,
( ) ( )
31f x f x x= +
, với mọi
0x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
3 5 4f
. B.
( )
2 5 3f
. C.
( )
1 5 2f
. D.
( )
4 5 5f
.
Câu 38: Cho hình lăng trụ
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
3AD a=
. Hình
chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với giao điểm
AC
và
BD
. Tính khoảng cách
từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
A BD
.
C'
D'
B'
O
D
A
B
C
A'
A.
3
3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
6
a
.
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
.
Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2
2
a
. B.
2
22a
. C.
2
42a
. D.
2
2 a
.
Câu 40: Cho
,bc
, và phương trình
2
0z bz c+ + =
có một nghiệm là
1
2zi=−
, nghiệm còn lại gọi là
2
z
. Tính số phức
12
w bz cz=+
.
A.
18wi=−
. B.
29wi=−
. C.
18wi=+
. D.
29wi=+
.
a
b
y
x
O
Trang 52
Câu 41: Một bàn cờ vua gồm
88´
ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình
chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được
chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng
A.
17
108
. B.
29
216
C.
5
216
. D.
51
196
.
Câu 42: Cho hàm số
( ) ( )
32
0y f x ax bx cx d a= = + + +
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
( )
( )
0f f x =
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Câu 43: Trong không gian
, cho mặt phẳng
( )
: 2 0yz
+=
và hai đường thẳng:
1
1
:
4
xt
d y t
zt
=−
=
=
;
2
2
: 4 2
4
xt
d y t
z
=−
=+
=
. Đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
( )
và cắt hai đường thẳng
1
d
;
2
d
có phương trình
là
A.
1
7 8 4
x y z−
==
−
. B.
1
7 8 4
x y z−
==
−
.
C.
1
7 8 4
x y z−
==
. D.
1
7 8 4
x y z+
==
−
.
Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
9 2 1
3 9 .5 1
xx
x
−+
+ −
là khoảng
( )
;ab
. Tính
ba−
.
A.
4.
B.
8.
C.
6.
D.
3.
Câu 45: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
AB a=
,
2AD a=
;
SA
vuông góc với
đáy, khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
2
a
. Tính thể tích của khối chóp theo
a
.
A.
3
25
45
a
. B.
3
25
15
a
. C.
3
4 15
45
a
. D.
3
4 15
15
a
.
Câu 46: Cho số phức
z
thỏa mãn
11zi− − =
, số phức
w
thỏa mãn
2 3 2wi− − =
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của
zw−
.
A.
13 3+
. B.
17 3−
. C.
17 3+
. D.
13 3−
.
Câu 47: Có bao nhiêu bộ
( )
;xy
với
,xy
nguyên và
1 , 2023xy
thỏa mãn
Trang 53
( ) ( )
32
2 2 1
2 4 8 log 2 3 6 log
23
yx
xy x y x y xy
yx

+

+ + + + − −


+−


?
A.
4040
. B.
2
. C.
2020
. D.
2020x2023
.
Câu 48: Cho parabol
( )
2
:P y x=
và một đường thẳng
d
thay đổi cắt
( )
P
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
AB 2023=
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và đường thẳng
d
. Tìm giá trị lớn nhất
max
S
của
.S
A.
3
max
2023
S
3
=
. B.
3
max
2023 1
S
6
+
=
. C.
3
max
2023 1
S
6
−
=
. D.
3
max
2023
S
6
=
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình dưới đây
Đồ thị của hàm số
2
( ) ( )g x f x=
có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 16x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 0P x y z+ + + =
,
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn
( )
T
.
CD
là một đường kính cố định của đường tròn
( )
T
,
A
là một điểm thay đổi trên
( )
T
(
A
khác
C
và
D
). Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )
P
cắt
( )
S
tại
B
. Tính
22
BC AD+
.
A.
8
. B.
32
. C.
64
. D.
16
.
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A
D
A
C
A
B
D
A
C
A
A
A
A
C
D
C
B
A
A
D
A
A
B
A
A
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
C
C
D
D
A
A
A
C
C
D
C
A
B
B
D
D
D
B
C
C
B
A
D
A
D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho khối cầu
( )
S
có thể tích bằng
36
(
3
cm
). Diện tích mặt cầu
( )
S
bằng bao nhiêu?
A.
( )
2
36 cm
.
B.
( )
2
18 cm
.
C.
( )
2
64 cm
.
D.
( )
2
27 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối cầu bằng
36
3
4
36
3
r

=
3
27r=
3r=
.
Vậy diện tích mặt cầu
( )
S
là:
( )
2 2 2
4 4 .3 36 cmSr
= = =
.
Câu 2: Cho
1
0
()fx
dx
1=−
;
3
0
()fx
dx
5=
. Tính
3
1
()fx
dx
Trang 54
A. 4.
B. 1.
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
3
0
()fx
dx =
1
0
()fx
dx +
3
1
()fx
dx
3
1
()fx
dx =
3
0
()fx
dx
1
0
()fx−
dx = 5+ 1= 6
Vậy
3
1
()fx
dx = 6.
Câu 3: Số tập hợp con có
3
phần tử của một tập hợp có
7
phần tử là:
A.
3
7
C
.
B.
3
7
A
.
C.
7!
3!
.
D.
7
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đây là tổ hợp chập
3
của
7
phần tử. Vậy có
3
7
C
tập hợp con.
Câu 4: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Cạnh bên
SC
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
,
=SC a
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
2
12
a
.
B.
3
3
3
a
.
C.
3
3
12
a
.
D.
3
3
9
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
3
4
ABC
a
S =
23
.
1 3 3
..
3 4 12
S ABC
aa
Va = =
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Trang 55
Giá trị cực đại của hàm số
( )
y f x=
bằng
A.
4
.
B.
2−
.
C.
1−
.
D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt cực đại tại
1x =−
và giá trị cực đại của hàm số là
4y =
.
Câu 6: Tính
3 2 1
1 3 2
ii
z
ii
+−
=+
−+
?
A.
23 63
26 26
zi=+
.
B.
15 55
26 26
zi=+
.
C.
23 61
26 26
zi=+
.
D.
26
13 13
zi=+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
3 2 1
1 3 2
ii
z
ii
+−
=+
−+
15 55
26 26
i=+
.
Câu 7: Cho số phước
=−1 2 .zi
Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
=w iz
trên mặt phẳng tọa độ
A.
( )
−2;1P
.
B.
( )
−1; 2M
.
C.
( )
1; 2Q
.
D.
( )
2;1N
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
= = − = +1 2 2w iz i i i
.
Câu 8: Trong hệ tọa độ
, cho
3OA k i=−
. Tìm tọa độ điểm
A
.
A.
( )
1;0;3−
.
B.
( )
3; 1;0−
.
C.
( )
3;0; 1−
.
D.
( )
1;3;0−
.
Hướng dẫn giải
Trang 56
Chọn A
Tọa độ điểm
( )
1;0;3A −
.
Câu 9: Trong không gian
, cho mặt phẳng
( )
:3 2 1 0P x y z+ − + =
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
( )
P
?
A.
( )
4
3; 2;1n =−
.
B.
( )
3
2;1;3n =−
.
C.
( )
1
3;1; 2n =−
.
D.
( )
2
1; 2;1n =−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ phương trình mặt phẳng
( )
P
ta có vectơ pháp tuyến của
( )
P
là
( )
1
3;1; 2n =−
.
Câu 10: Nghiệm của phương trình
( )
2
log 3 1x −=
là
A.
5.x =
.
B.
2.x =
.
C.
3.x =
.
D.
4.x =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
2
log 3 1 3 2 5x x x− = − = =
.
Câu 11: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
là
A.
2
.
B.
3
.
C.
1
.
D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
3 2 1 1
1
2 2 2 2
xx
y
x x x x
++
= = + = +
+ + + +
.
Để
y
là số nguyên thì
2x +
là ước của
1
. Mà
1
có hai ước nguyên là
1
vậy có
2
giá trị của
x
thỏa mãn,
hay tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên.
Câu 12: Cho số phức
1 3 .zi=+
Khi đó.
A.
1 1 3
44
i
z
=−
.
B.
1 1 3
22
i
z
=+
.
C.
1 1 3
44
i
z
=+
.
D.
1 1 3
22
i
z
=−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang 57
13zi=+
11
13
z
i
=
+
13
4
i−
=
13
.
44
i=−
.
Câu 13: Tính
3d
x
Ix=
.
A.
3
ln3
x
IC=+
.
B.
3 ln3
x
IC= + +
.
C.
3
x
IC=+
.
D.
3 ln3
x
IC=+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
d
ln
x
x
a
a x C
a
=+
nên
3
ln3
x
IC=+
.
Câu 14: Cho hàm số
2
1
y
x
=
−
có đồ thị
( )
.C
Mệnh đề nào đưới đây là đúng?
A.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
2y =−
.
B.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
1x =
.
C.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
0y =
.
D.
( )
C
có tiệm cận ngang là đường thẳng
2y =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
lim lim 0
1
xx
y
x
→+ →+
==
−
và
2
lim lim 0
1
xx
y
x
→− →−
==
−
0y=
là tiệm cận ngang của
( )
.C
.
Câu 15: Trong không gian
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
d
:
1
5
23
xt
yt
zt
=−
=+
=+
?
A.
( )
1;1;3Q −
.
B.
( )
1;1;3M
.
C.
( )
1;2;5P
.
D.
( )
1;5;2N
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thay tọa độ các điểm
N
vào phương trình đường thẳng
d
, ta có:
11
5 5 0
2 2 3
t
tt
t
=−
= + =
=+
.
Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số
( )
2
log 6 5y x x= − +
.
A.
( )
1;5D =
.
B.
(
)
;1 5;D = − +
.
C.
( ) ( )
;1 5;D = − +
.
Trang 58
D.
1;5D =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Biểu thức
( )
2
log 6 5xx−+
xác định
2
6x 5 0 1 5x x x − +
.
Câu 17: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.
A.
2
yx=
.
B.
42
2y x x=+
C.
42
31y x x= − +
.
D.
42
4y x x= − +
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường cong trên đi qua điểm
( )
0;0
và
( )
1;3
và có bề lõm hướng lên nên
0a
.
Vậy đồ thị của hàm số
42
2y x x=+
thỏa yêu cầu.
Câu 18: Trong mặt phẳng
Oxy
, điểm
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
z
. Số phức
z
là
A.
2 i−−
.
B.
12i−
.
C.
2 i−+
.
D.
12i+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
22z i z i= − + = − −
.
Câu 19: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
32
32ab =
. Giá trị của
22
3log 2logab+
bằng
A.
5
.
B.
2
.
C.
32
.
D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
32
2 2 2 2
log log 32 3log 2log 5a b a b= + =
.
Câu 20: Tìm số nghiệm của phương trình
( )
22
log log 1 2xx+ − =
.
A.
0
.
Trang 59
B.
3
.
C.
2
.
D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện
1x
.
Phương trình tương đương
( )
2
log 1 2xx

−=

2
40xx − − =
( )
1 17
2
1 17
2
x
xL
+
=
−
=
.
Vậy phương trình có đúng một nghiệm.
Câu 21: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
( )
0
60 , , ABC SA a SA ABCD= = ⊥
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
, tính góc giữa hai đường thẳng
SA
và
CM
.
A.
0
60
.
B.
0
90
.
C.
0
30
.
D.
0
45
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
G
là trung điểm của
AB
khi đó ta có
,
2
a
MG SA MG =
và
( )
MG ABCD⊥
Vậy
( ) ( )
;;SA CM MG CM CMG==
Vì
ABCD
là hình thoi có
0
60ABC =
nên
ABC
là tam giác đều cạnh
a
có
3
2
a
CG =
Trong tam giác vuông
MGC
có
0
3
2
tan 3 60
2
a
CG
CMG CMG
a
MG
= = = =
Vậy góc giữa hai đường thẳng
SA
và
CM
bằng
0
60
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
( )
d
có phương trình
13
2;
32
xt
y t t
zt
=−
= +
=+
. Mặt phẳng
( )
P
đi
qua
( 1; 2;1)A −−
và
( )
P
vuông góc với đường thẳng
( )
d
thì
( )
P
có phương trình là:
Trang 60
A.
( )
: 3 2 3 0P x y z− + + − =
.
B.
( )
: 3 2 3 0P x y z− + + + =
.
C.
( )
: 2 3 2 0P x y z+ + − =
.
D.
( )
: 2 3 2 0P x y z+ + + =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng
( )
d
có véc tơ chỉ phương là
( 3;1;2)u =−
.
Vì
( )
P
vuông góc với đường thẳng
( )
d
nên
( )
P
nhận véc tơ chỉ phương của
( )
d
là
( 3;1;2)u =−
làm véc tơ
pháp tuyến.
( )
P
đi qua
( 1; 2;1)A −−
, véc tơ pháp tuyến là
( 3;1;2)nu= = −
nên
( )
P
có phương trình là
( )
: 3( 1) 1( 2) 2( 1) 0P x y z− + + + + − =
( )
: 3 2 3 0P x y z− + + − =
.
Câu 23: Cho
( )
2
0
d3f x x =
,
( )
2
0
d1g x x =−
thì
( ) ( )
2
0
5df x g x x x

−+

bằng:
A.
8
.
B.
10
.
C.
12
.
D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0 0
5 d 5 g d d− + = − +


f x g x x x f x dx x x x x
3 5 2 10= + + =
.
Câu 24: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập ?
A.
sin .y x x=−
.
B.
2
21y x x= + +
.
C.
( )
ln 3yx=+
.
D.
32
57
x
y
x
+
=
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn ATa có hàm số
siny x x=−
có tập xác định
D =
và
1 cos 0yx
= −
với mọi
x
nên luôn đồng
biến trên .
Câu 25: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
1u =
và
2
4u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
3
.
B.
5
.
C.
4
.
D.
3−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì
( )
n
u
là cấp số cộng nên
2 1 2 1
4 1 3u u d d u u= + = − = − =
.
Câu 26: Biết
3
()F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên . Giá trị của
3
1
(1 ( ) d)x xf+
bằng
A. 20.
Trang 61
B. 26.
C. 28.
D. 22.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
33
3
11
1
1 ( ) d ( ) ) 30 2 28f x x x F x x x

+ = + = + = − =

.
Câu 27: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( ) sin 2 1f x x=+
là:
A.
( )
( ) cos 2 1F x x=+
.
B.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x= − +
.
C.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x C= − + +
.
D.
( )
1
( ) cos 2 1
2
F x x C= + +
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( ) ( ) ( )
1
sin 2 1 d sin 2 1 d 2 1
2
x x x x+ = + +

( )
1
cos 2 1
2
xC= − + +
.
Câu 28: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;2−
và
( )
2;+
.
B. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
;1 1;− +
.
C. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên .
D. Hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;1−
và
( )
1; +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số
( )
fx
đồng biến trên các khoảng
( )
;1−
và
( )
1; +
.
Câu 29: Với mọi số thực dương
, , ,a b x y
và
,1ab
, mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
log log log
a a a
xy x y=+
.
B.
log .log log
b a b
a x x=
.
C.
log log log
a a a
x
xy
y
=−
.
D.
11
log
log
a
a
xx
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 62
Với mọi số thực dương
, , ,a b x y
và
,1ab
. Ta có:
1
11
log log
log
aa
a
x
xx
−
=
.
Câu 30: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh
a
và chiều cao bằng
4a
. Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
A.
3
4a
.
B.
3
4
3
a
.
C.
3
16
3
a
.
D.
3
16a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
23
. .4 4
day
V S h a a a===
.
Câu 31: Đạo hàm của hàm số
10
x
y =
là
A.
10 .ln10
x
.
B.
10
x
.
C.
1
.10
x
x
−
.
D.
10
ln10
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
=10 ' ln10.10
xx
.
Câu 32: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
A.
2
xq
S rl
=
.
B.
2
4
xq
Sr
=
.
C.
2
2
xq
Sr
=
.
D.
xq
S rl
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu hi l thuyt.
Câu 33: Cho hàm số
()y f x=
có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng
( )
;ab
?
A.
7
.
Trang 63
B.
2
.
C.
3
.
D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Nhìn đồ thị ta thấy hàm số có
3
điểm cực tiểu trên khoảng
( )
;ab
.
Câu 34: Giá trị lớn nhất của hàm số
9
1
yx
x
=+
−
trên đoạn
4; 1−−
bằng
A.
11
2
−
.
B.
29
5
−
.
C.
5−
.
D.
9−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
2
9
1
1
y
x
=−
−
;
0y
=
( )
2
9
10
1x
− =
−
( )
2
1 9 0x − − =
4 4; 1
2 4; 1
x
x
= − −
= − − −
.
( )
29
4
5
y
−
−=
;
( )
25y − = −
;
( )
11
1
2
y − = −
.
Vậy
( )
4; 1
max 2 5yy
−−
= − = −
.
Câu 35: Cho số phức
z a bi=+
( )
, ab
thỏa mãn
( )
2 2 10 6i z i− + = +
. Tính
P a b=+
.
A.
3P =
.
B.
3P =−
.
C.
5P =
.
D.
5P =−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( )
2 2 10 6i z i− + = +
10 6
22
i
z
i
+
=
−+
14zi = − −
Do đó:
1a =−
;
4b =−
nên
5P a b= + = −
.
Câu 36: Trong không gian
, cho điểm
( )
2;1;3A
và đường thẳng
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
. Đường
thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Oy
có phương trình là.
A.
2
33
2
xt
yt
zt
=
= − +
=
.
B.
22
13
32
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Trang 64
C.
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
.
D.
22
1
33
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi đường thẳng cần tìm là
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
có VTCP
( )
1; 2;2u =−
.
Gọi
( )
0; ;0M m Oy
, ta có
( )
2; 1; 3AM m= − − −
Do
d⊥
.0AM u=
( )
2 2 1 6 0m − − − − =
3m = −
Ta có
có VTCP
( )
2; 4; 3AM = − − −
nên có phương trình
2
34
3
xt
yt
zt
=
= − +
=
.
Câu 37: Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục, nhận giá trị dương trên
( )
0; +
và thỏa mãn
( )
11f =
,
( ) ( )
31f x f x x= +
, với mọi
0x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
3 5 4f
.
B.
( )
2 5 3f
.
C.
( )
1 5 2f
.
D.
( )
4 5 5f
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( )
31f x f x x= +
( )
( )
( )
( )
11
dd
3 1 3 1
f x f x
xx
f x f x
xx

= =
++

( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
d
1
3 1 d 3 1
3
fx
xx
fx
−
= + +

( )
2
ln 3 1
3
f x x C = + +
( )
2
31
3
e
xC
fx
++
=
.
Khi đó
( )
4
3
4
1 1 e 1
3
C
fC
+
= = = −
( )
24
31
33
e
x
fx
+−
=
( ) ( )
4
3
5 e 3,79 3; 4f =
.
Vậy
( )
3 5 4f
.
Chú ý: Các bạn có thể tính
d
31
x
x +
bằng cách đặt
31tx=+
.
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( )
31f x f x x= +
( )
( )
1
31
fx
fx
x
=
+
( )
( )
55
11
1
dd
31
fx
xx
fx
x
=
+

( )
( )
( )
5
1
d
4
3
fx
fx
=
Trang 65
( )
5
1
4
ln
3
fx=
( )
( )
5
4
ln
13
f
f
=
( ) ( ) ( )
4
3
5 1 .e 3,79 3;4ff =
.
Câu 38: Cho hình lăng trụ
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
3AD a=
. Hình
chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với giao điểm
AC
và
BD
. Tính khoảng cách
từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
A BD
.
C'
D'
B'
O
D
A
B
C
A'
A.
3
3
a
.
B.
3
2
a
.
C.
3
4
a
.
D.
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
C'
D'
B'
O
D
C
B
A
A'
H
Ta có:
( )
( )
( )
( )
,,d B A BD d A A BD
=
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
BD
.
Ta có:
( )
AH A BD
⊥
( )
( )
,d A A BD AH
=
.
Mà:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
32
a
AH
AH AB AD a a
= + = + =
. Vậy
( )
( )
3
,
2
a
d B A BD
=
.
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
.
Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2
2
a
.
Trang 66
B.
2
22a
.
C.
2
42a
.
D.
2
2 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
O AC BD=
. Khi đó
()SO ABCD⊥
và trong
SOA
vuông tại
O
có
(2 ) 2
45 ,OA 2.
22
AC a
SAO a = = = =
o
Suy ra
2
cos45
OA
SA a==
o
.
Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
là
2
rl= . . . 2.2 2 2 .
xq
S OA SA a a a
= = =
.
Câu 40: Cho
,bc
, và phương trình
2
0z bz c+ + =
có một nghiệm là
1
2zi=−
, nghiệm còn lại gọi là
2
z
. Tính số phức
12
w bz cz=+
.
A.
18wi=−
.
B.
29wi=−
.
C.
18wi=+
.
D.
29wi=+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
1
2zi=−
là nghiệm
( ) ( )
2
2 2 0 3 4 2 0i b i c i b c bi − + − + = − + + − =
.
2 3 0 5
44
b c c
bb
+ + = =


= − = −

2
2zi=+
. Vậy
( ) ( )
4 2 5 2 2 9w i i i= − − + + = +
.
Câu 41: Một bàn cờ vua gồm
88´
ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình
chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được
chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng
A.
17
108
.
B
A
C
D
S
O
Trang 67
B.
29
216
C.
5
216
.
D.
51
196
.
Hướng dẫn giải
Bàn cờ
88´
cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các
đường thẳng
0, 1,..., 8x x x= = =
và
0, 1,..., 8y y y= = =
.
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng
x
và hai đường thẳng
y
nên có
22
88
.CC
hình chữ nhật
hay không gian mẫu là
( )
22
99
. 1296n C CW = =
.
Gọi
A
là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh
a
lớn hơn 4.
Trường hợp 1:
5a =
. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng
x
cách nhau 5 đơn vị và hai đường
thẳng
y
cách nhau 5 đơn vị có
4.4 16=
cách chọn.
Trường hợp 2:
6a =
. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng
x
cách nhau 6 đơn vị và hai đường
thẳng
y
cách nhau 6 đơn vị có
3.3 9=
cách chọn.
Trường hợp 3:
7a =
. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng
x
cách nhau 7 đơn vị và hai đường
thẳng
y
cách nhau 7 đơn vị có
2.2 4=
cách chọn.
Trường hợp 3:
8a =
. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng
x
cách nhau 8 đơn vị và hai đường
thẳng
y
cách nhau 8 đơn vị có
1.1 1=
cách chọn.
Suy ra
( )
16 9 4 1 30nA= + + + =
.
Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là
( )
( )
( )
30 5
1296 216
nA
PA
n
= = =
W
.
Câu 42: Cho hàm số
( ) ( )
32
0y f x ax bx cx d a= = + + +
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
( )
( )
0f f x =
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
( )
t f x=
, phương trình
( )
( )
0f f x =
trở thành
( ) ( )
0*ft=
(số nghiệm phương trình
( )
*
là số giao
điểm của đồ thị
( )
fx
với trục
Ox
). Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình
( )
*
có 3 nghiệm
t
thuộc khoảng
( )
2;2−
, với mỗi giá trị
t
như vậy phương trình
( )
f x t=
có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình
( )
( )
0f f x =
có 9 nghiệm.
Lưu ý: khi
t
có 3 giá trị thuộc
( )
2;2−
thì nghiệm phương trình
( )
f x t=
là giao điểm của đồ thị
( )
fx
và
Trang 68
đường thẳng
( )
, 2;2y t t= −
(là hàm hằng song song trục
Ox
).
Câu 43: Trong không gian
, cho mặt phẳng
( )
: 2 0yz
+=
và hai đường thẳng:
1
1
:
4
xt
d y t
zt
=−
=
=
;
2
2
: 4 2
4
xt
d y t
z
=−
=+
=
. Đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
( )
và cắt hai đường thẳng
1
d
;
2
d
có phương trình
là
A.
1
7 8 4
x y z−
==
−
.
B.
1
7 8 4
x y z−
==
−
.
C.
1
7 8 4
x y z−
==
.
D.
1
7 8 4
x y z+
==
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
1
Ad=
suy ra
( )
1 ; ;4A t t t−
và
2
Bd=
suy ra
( )
2 ;4 2 ;4B t t

−+
.
Mặt khác
( )
A
;
( )
B
nên ta có
2.4 0
4 2 2.4 0
tt
t
+=
+ + =
0
6
t
t
=
=−
Do đó
( )
1;0;0A
và
( )
8; 8;4B −
.
Đường thẳng
đi qua
A
và nhận
( )
7; 8;4AB =−
làm vectơ chỉ phương có phương trình
1
7 8 4
x y z−
==
−
.
Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
9 2 1
3 9 .5 1
xx
x
−+
+ −
là khoảng
( )
;ab
. Tính
ba−
.
A.
4.
.
B.
8.
.
C.
6.
.
D.
3.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Với
2
3
9 0 ,
3
x
x
x
−
−
ta có
( )
2
90
21
3 3 1
9 .5 0
x
x
x
−
+
=
−
nên
( )
2
9 2 1
3 9 .5 1
xx
x
−+
+ −
không thỏa mãn bất phương trình đã cho, do đó bất phương trình vô nghiệm.
Với
2
9 0 3 3,xx− −
ta có
( )
2
90
21
3 3 1
9 .5 0
x
x
x
−
+
=
−
nên
( )
2
9 2 1
3 9 .5 1
xx
x
−+
+ −
Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
( )
3;3 .S =−
Khi đó,
3; 3ab= − =
nên
6ba−=
.
Câu 45: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
AB a=
,
2AD a=
;
SA
vuông góc với
Trang 69
đáy, khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
2
a
. Tính thể tích của khối chóp theo
a
.
A.
3
25
45
a
.
B.
3
25
15
a
.
C.
3
4 15
45
a
.
D.
3
4 15
15
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên đường thẳng
SD
. Ta có
AH SD
AH CD
ì
^
ï
ï
í
ï
^
ï
î
( )
AH SCDÞ^
( )
( )
,AH d A SCDÞ=
. Suy ra
2
a
AH =
.
SADD
vuông tại
A
có đường cao
AH
nên
2 2 2
1 1 1
AH SA AD
=+
2 2 2
1 1 1
SA AH AD
Û = -
2
15
4a
=
2 15
15
a
SAÞ=
.
Vậy
1
..
3
V AB AD SA=
1 2 15
.2 .
3 15
a
aa=
3
4 15
45
a=
.
Câu 46: Cho số phức
z
thỏa mãn
11zi− − =
, số phức
w
thỏa mãn
2 3 2wi− − =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
zw−
.
A.
13 3+
.
B.
17 3−
.
C.
17 3+
.
D.
13 3−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
( )
;M x y
biểu diễn số phức
z x iy=+
thì
M
thuộc đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
1
1;1I
, bán kính
1
1R =
.
( )
;N x y

biểu diễn số phức
w x iy

=+
thì
N
thuộc đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
2; 3I −
, bán kính
2
2R =
.
Giá trị nhỏ nhất của
zw−
chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn
MN
.
Trang 70
Ta có
( )
12
1; 4II =−
12
17II=
12
RR+
( )
1
C
và
( )
2
C
ở ngoài nhau.
min
MN
1 2 1 2
I I R R= − −
17 3=−
.
Câu 47: Có bao nhiêu bộ
( )
;xy
với
,xy
nguyên và
1 x,y 2023
thỏa mãn
( ) ( )
32
2 2 1
2 4 8 log 2 3 6 log
23
yx
xy x y x y xy
yx

+

+ + + + − −


+−


?
A.
4040
.
B.
2
.
C.
2020
.
D.
2020x2023
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+ Điều kiện
*
*
x,y : x,y 2023
x,y : x,y 2023
2x 1 2y
0, 0
x 3, y 0
x 3 y 2


+



−+
BPT cho có dạng
( )( ) ( )( )
23
42
3 2 log 1 4 2 log 1 0
32
xy
x y x y
xy

+−

− − + + + + +


−+


.
+ Xét
1y =
thì thành
( ) ( )
23
42
3 log 1 3 4 log 0
33
x
xx
x
+

− − + + +

−

, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi
3x
vì
( ) ( ) ( )
2 2 3
42
3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0
33
x
xx
x
+

− − + + = +

−

.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2020 bộ
( ) ( )
; ;1x y x=
với
4 x 2023,x
.
+ Xét
2y =
thì thành
( )
3
4 4 log 1 0x +
, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà
4 x 2023,x
.
Trường hợp này cho ta 2020 cặp
( )
;xy
nữa.
+ Với
2, 3yx
thì
( )
*0VT
nên không xảy ra.
Vậy có đúng 4040 bộ số
( )
;xy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48: Cho parabol
( )
2
:P y x=
và một đường thẳng
d
thay đổi cắt
( )
P
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
AB 2023=
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và đường thẳng
d
. Tìm giá trị lớn nhất
max
S
của
.S
A.
3
max
2023
S
3
=
.
B.
3
max
2023 1
S
6
+
=
.
C.
3
max
2023 1
S
6
−
=
.
D.
3
max
2023
S
6
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử
2
( ; )A a a
;
2
( ; )( )B b b b a
sao cho
AB 2023=
.
Trang 71
Phương trình đường thẳng
d
là:
()y a b x ab= + −
. Khi đó
( )
( )
( )
3
22
1
( ) d d
6
bb
aa
S a b x ab x x a b x ab x x b a= + − − = + − − = −

.
Vì
2 2 2 2 2 2 2 2
AB 2023 (b a) (b a ) 2023 (b a) (1 (b a) ) 2023= − + − = − + + =
22
(b a) 2023 b a b a 2023 − − = −
3
2023
S
6

.
Vậy
3
max
2023
S
6
=
khi
2023
a
2
=−
và
2023
a
2
=
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình dưới đây
Đồ thị của hàm số
2
( ) ( )g x f x=
có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị, ta có
0
( ) 0 1 (nghiem kep)
3
x
f x x
x
=
= =
=
và
(0 1)
( ) 0 1
(1 3)
x a a
f x x
x b b
=
= =
=
Ta có
(0 1)
1
( ) 0 (1 3)
( ) 2 ( ). ( ); ( ) 0
( ) 0 0
1 (nghiemboi2)
3
x a a
x
f x x b b
g x f x f x g x
f x x
x
x
=
=
= =
= =
==
=
=
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận
()gx
có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
Trang 72
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 16x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 0P x y z+ + + =
,
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn
( )
T
.
CD
là một đường kính cố định của đường tròn
( )
T
,
A
là một điểm thay đổi trên
( )
T
(
A
khác
C
và
D
). Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )
P
cắt
( )
S
tại
B
. Tính
22
BC AD+
.
A.
8
.
B.
32
.
C.
64
.
D.
16
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
A
C
D
B
( )
S
có tâm
( )
1; 1;1I −
và bán kính
4R =
. Ta có
( )
( )
1 1 1 2
;3
3
d I P
− + +
==
nên
( )
P
cắt
( )
S
theo đường
tròn
( )
T
có bán kính
( )
( )
22
; 13r R d I P= − =
.
Giả thiết có
23AB =
nên
22
BC AD+
2 2 2
BA AC AD= + +
22
BA CD=+
12 52 64= + =
.
Thuvienhoclieu.Com
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 4
MÔN TOÁN
Câu 1: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−+
có phương trình lần lượt là
A.
1
2;
2
xy==
. B.
1; 2xy==
. C.
2; 1xy==
. D.
2; 1xy= = −
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
4 2 1
:
2 5 1
x z z
d
−−+
==
−
. Điểm nào sau đây thuộc
d
?
A.
(2;5;1)Q
. B.
(4;2;1)M
. C.
(4;2; 1)N −
. D.
(2; 5;1)P −
.
Câu 3: Cho tập hợp
2;3;4;5;6;7A =
. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm
3
chữ số khác nhau được thành lập từ
các chữ số thuộc
A
?
A.
180
. B.
256
. C.
216
. D.
120
.
Câu 4: Cho hai số phức
1
12zi=+
,
2
23zi=−
. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
12
z z z=+
.
A. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
5−
.
B. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
1−
.
C. Phần thực bằng
5
; phần ảo bằng
5
.
Trang 73
D. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
1
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
2; 2;1A −
,
( )
1; 1;3B −
. Tọa độ của vectơ
AB
là
A.
( )
3;3; 4−−
. B.
( )
1; 1; 2−−
. C.
( )
3; 3;4−
. D.
( )
1;1;2−
.
Câu 6: Tập nghiệm
S
của phương trình
( )
3
log 1 2.x −=
A.
6S =
. B.
10S =
. C.
7S =
. D.
S =
.
Câu 7: Cho khối chóp có diện tích đáy
3B =
và chiều cao
2h =
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
6
. B.
12
. C.
3
. D.
2
.
Câu 8: Cho hai số phức
1
13zi=−
và
2
3zi=+
. Số phức bằng
12
zz−
?
A.
24i−−
. B.
24i+
. C.
24i−
. D.
24i−+
.
Câu 9: Cho
a
là số thực dương bất k khác
1
. Tính
( )
3
4
log .=
a
S a a
.
A.
3
4
=S
. B.
7=S
. C.
12=S
. D.
13
4
=S
.
Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số
1
5
yx=
A.
yx=
. B.
3
yx=
. C.
5
1
y
x
=
. D.
yx
=
.
Câu 11: Cho hai số phức
1
z 2 5i=+
,
2
z 3 4i=−
. Tìm số phức
12
.z z z=
A.
6 20zi=+
. B.
6 20zi=−
. C.
26 7zi=+
. D.
26 7zi=−
.
Câu 12: Số phức
32zi=−
có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A.
( )
3; 2−
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
2; 3−
. D.
( )
2;3−
.
Câu 13: Giải bất phương trình
( )
1
2
log 1 0x−
?
A.
10x−
. B.
0x
. C.
0x =
. D.
0x
.
Câu 14: Cho
( )
d7
b
a
fxx
=
và
( )
5fb=
. Khi đó
( )
fa
bằng
A.
12
. B.
2−
. C.
0
. D.
2
.
Câu 15: Giá trị cực đại của hàm số
3
32=−+y x x
bằng
A.
4
. B.
1−
. C.
0
. D.
1
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
3 1 0x y z− + − =
. Trong các điểm sau
đây điểm nào thuộc
( )
P
.
A.
( )
1; 2;4B −
. B.
( )
1;2; 4C −
. C.
( )
1; 2; 4A −−
. D.
( )
1; 2; 4D − − −
.
Câu 17: Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
là
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Câu 18: Gọi
, , R S V
lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
A.
3.V S R=
. B.
2
SR
=
. C.
2
4SR
=
. D.
3
4
3
VR
=
.
Câu 19: Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây.
Trang 74
y
x
O
1
1
.
A.
32
3 3 1y x x x= + − +
. B.
32
22y x x x= − − + −
.
C.
3
31y x x= − + +
. D.
32
3 3 1y x x x= + + +
.
Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3
x
fx
x
=+
.
A.
( )
31
d
ln3
x
f x x C
x
= − +
. B.
( )
31
d
ln3
x
f x x C
x
= + +
.
C.
( )
1
d3
x
f x x C
x
= − +
. D.
( )
1
d3
x
f x x C
x
= + +
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0; 2M −
và đường thẳng
3 1 2
:
4 3 1
x y z+ − −
= =
. Viết phương trình mp
( )
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với
.
A.
4 3 2 0x y z+ + + =
. B.
3 2 13 0x y z+ − − =
.
C.
3 2 4 0x y z+ − − =
. D.
4 3 7 0x y z+ + + =
.
Câu 22: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
. B. Hàm số đạt cực đại tại
3x =−
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
. D. Hàm số đạt cực tiểu tại
4x =−
.
Câu 23: Xác định
x
để 3 số
1; 3; 1xx−+
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A.
5.x =
. B.
3.x =
. C.
10.x =
. D.
2 2.x =
.
Câu 24: Với
a
là số thực dương tùy ý,
2
2
log a
bằng:
A.
2
1
log
2
a
. B.
2
1
log
2
a+
. C.
2
2 log a+
. D.
2
2log a
.
Câu 25: Biết
( )
2
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên . Giá trị của
3
1
1 ( )f x dx+
bằng
A.
32
3
. B.
10
. C.
8
. D.
26
3
.
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số
2=
x
y
?
A.
2 d ln2.2=+
xx
xC
. B.
2
2d
ln2
=+
x
x
xC
.
Trang 75
C.
2
2d
1
=+
+
x
x
xC
x
. D.
2 d 2=+
xx
xC
.
Câu 27: Biết
( )
5
1
d4f x x =
. Giá trị của
( )
5
1
3df x x
bằng
A.
4
3
. B.
7
. C.
64
. D.
12
.
Câu 28: Cho số phức
25zi=+
. Tìm số phức
w iz z=+
A.
w 3 7i=+
. B.
w 7 7i= − −
. C.
w 7 3i=−
. D.
w 3 3i= − −
.
Câu 29: Trong các hàm số được liệt kê dưới đây, hàm số nào đồng biến trên .
A.
34yx= − +
. B.
34
21
x
y
x
−
=
−
. C.
sin3 4y x x=+
. D.
2
3 4 7y x x= + −
.
Câu 30: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
16
f x x
x
=+
trên đoạn
1;5
bằng
A.
17
. B.
8−
. C.
41
5
. D.
8
.
Câu 31: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
A.
2
4
xq
Sr
=
. B.
2
xq
S rl
=
. C.
xq
S rl
=
. D.
2
2
xq
Sr
=
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
3; +
.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1
;
2

− +


.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
1
;
2

− −


và
( )
3; +
.
Câu 33: Đạo hàm của hàm số
( )
2
2
log 1yx=+
là:
A.
2
ln2
1
y
x
=
+
. B.
2
2
1
x
y
x
=
+
. C.
2
2 ln2
1
x
y
x
=
+
. D.
( )
2
2
1 ln2
x
y
x
=
+
.
Câu 34: Một quả bóng có bán kính
( )
10 cm
được đặt khít vào một hộp cứng dạng hình hộp. Tính thể tích
khối hộp đó.
.
Trang 76
A.
( )
3
4000 cm
. B.
( )
3
4000 cm
. C.
( )
3
800 cm
. D.
( )
3
8000 cm
.
Câu 35: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
AC
và
AD
bằng:
A.
60
. B.
90
. C.
45
. D.
30
.
Câu 36: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
AB a=
,
2AD a=
;
SA
vuông góc với
đáy, khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
2
a
. Tính thể tích của khối chóp theo
a
.
A.
3
4 15
45
a
. B.
3
25
45
a
. C.
3
4 15
15
a
. D.
3
25
15
a
.
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
x
trong đoạn
0;2023
thỏa mãn bất phương trình sau
16 25 36 20 24 30
x x x x x x
+ + + +
.
A.
2023
. B.
3
. C.
2024
. D.
1
.
Câu 38: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn.
A.
3
8
. B.
1
8
. C.
5
8
. D.
7
8
.
Câu 39: Cho
( )
fx
là một hàm số liên tục trên đoạn
2;9−
, biết
( ) ( ) ( )
1 2 9 3f f f− = = =
và
( )
fx
có
bảng biến thiên như sau:
Tìm
m
để phương trình
( ) ( )
f x f m=
có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn
2;9 .−
A.
(
2;9 \ 6 .m−
. B.
2;9 \ 2;6 .m − −
.
C.
(
( )
( )
2;9 \ 1;2 6 .m − −
. D.
( )
( )
2;9 \ 1;2 6 .m − −
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
có
( )
01f =−
và
( )
( )
6 12 ,
x
f x x x e x
−
= + +
. Khi đó
( )
1
0
df x x
bằng
A.
1
3e
−
. B.
1
3e
−
−
. C.
3e
. D.
1
43e
−
−
.
Câu 41: Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
,
SB
,
SC
tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
60
. Biết
BC a=
,
45BAC =
. Tính khoảng cách
h
từ đỉnh
S
đến mặt phẳng
( )
ABC
.
Trang 77
A.
6
a
h =
. B.
6ha=
. C.
6
2
a
h =
. D.
6
3
a
h =
.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − − =
và đường thẳng
2 4 1
:
2 2 1
x y z
d
+ − +
==
−
. Viết phương trình đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên
( )
P
.
A.
21
:
7 5 2
x y z
d
++
==
−
. B.
21
:
7 5 2
x y z
d
−−
==
.
C.
21
:
7 5 2
x y z
d
−−
==
−
. D.
21
:
7 5 2
x y z
d
++
==
.
Câu 43: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh
S
đáy là đường tròn tâm
O
có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
.
A
,
B
là hai điểm bất k trên
( )
O
. Thể tích khối chóp
.S OAB
đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
3
3
24
a
. B.
3
96
a
. C.
3
3
96
a
. D.
3
3
48
a
.
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
33
:
1 3 2
x y z
d
−−
==
, mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
+ − + =
và điểm
( )
1; 2; 1A −
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
cắt
d
và song song
với mặt phẳng
( )
.
A.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
. B.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
.
C.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
. D.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
.
Câu 45: Cho
a
là số thực, phương trình
( )
2
2 2 3 0z a z a+ − + − =
có
2
nghiệm
1
z
,
2
z
. Gọi
M
,
N
là điểm
biểu diễn của
1
z
,
2
z
trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác
OMN
có một góc bằng
120
, tính tổng các giá trị
của
a
.
A.
6−
. B.
4
. C.
4−
. D.
6
.
Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi số nguyên
x
có không quá
242
số nguyên
y
thoả mãn:
( )
( )
2
43
log logx y x y+ +
?
A.
55
. B.
56
. C.
57
. D.
58
.
Câu 47: Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều
kiện
− = +z i z i
?
A. Một đường elip. B. Một đường tròn.
C. Một đường thẳng. D. Một đoạn thẳng.
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 16x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 0P x y z+ + + =
,
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn
( )
T
.
CD
là một đường kính cố định của đường tròn
( )
T
,
A
là một điểm thay đổi trên
( )
T
(
A
khác
C
và
D
). Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )
P
cắt
( )
S
tại
B
. Tính
22
BC AD+
.
A.
8
. B.
64
. C.
32
. D.
16
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
liên tục trên và đồ thị của
( )
fx
trên đoạn
2;6−
như
hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Trang 78
y
x
(C): y = f(x)
3
1
6
2
1
2
O
A.
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 2 1f f f f − −
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 6f f f f− −
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 6f f f f − −
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 6f f f f− −
.
Câu 50: Cho hàm số bậc năm
( )
y f x=
có đồ thị
( )
y f x
=
như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
32
3g x f x x=+
là
A.
4
. B.
11
. C.
7
. D.
6
.
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C
C
D
B
D
B
D
A
D
D
C
D
D
B
A
C
D
B
C
A
A
A
C
D
B
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B
D
D
C
D
B
B
D
D
A
A
D
D
C
A
C
C
D
A
D
B
C
D
C
D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−+
có phương trình lần lượt là
A.
1
2;
2
xy==
. B.
1; 2xy==
. C.
2; 1xy==
. D.
2; 1xy= = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: +
22
lim ; lim
xx
yy
+−
→→
= + = −
Tiệm cận đứng là
2x =
.
+
lim 1
x
y
→
=
Tiệm cận ngang là
1y =
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
4 2 1
:
2 5 1
x z z
d
−−+
==
−
. Điểm nào sau đây thuộc
d
?
A.
(2;5;1)Q
. B.
(4;2;1)M
. C.
(4;2; 1)N −
. D.
(2; 5;1)P −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thế điểm
(4;2; 1)N −
vào
d
ta thấy thỏa mãn nên chọn A.
Câu 3: Cho tập hợp
2;3;4;5;6;7A =
. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm
3
chữ số khác nhau được thành lập từ
Trang 79
các chữ số thuộc
A
?
A.
180
. B.
256
. C.
216
. D.
120
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số các số tự nhiên có
3
chữ số khác nhau lập từ các chữ số của
A
bằng số chỉnh hợp chập ba của
6
. Vậy có
3
6
120A =
.
Câu 4: Cho hai số phức
1
12zi=+
,
2
23zi=−
. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
12
z z z=+
.
A. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
5−
.
B. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
1−
.
C. Phần thực bằng
5
; phần ảo bằng
5
.
D. Phần thực bằng
3
; phần ảo bằng
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
12
1 2 2 3 3z z z i i i= + = + + − = −
.
Vậy số phức
z
có phần thực bằng
3
, phần ảo bằng
1−
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
2; 2;1A −
,
( )
1; 1;3B −
. Tọa độ của vectơ
AB
là
A.
( )
3;3; 4−−
. B.
( )
1; 1; 2−−
. C.
( )
3; 3;4−
. D.
( )
1;1;2−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
1;1;2AB =−
.
Câu 6: Tập nghiệm
S
của phương trình
( )
3
log 1 2.x −=
A.
6S =
. B.
10S =
. C.
7S =
. D.
S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
3
log 1 2 1 9 10x x x− = − = =
.
Câu 7: Cho khối chóp có diện tích đáy
3B =
và chiều cao
2h =
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
6
. B.
12
. C.
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thể tích khối chóp đã cho là
11
.3.2 2
33
V Bh= = =
.
Câu 8: Cho hai số phức
1
13zi=−
và
2
3zi=+
. Số phức bằng
12
zz−
?
A.
24i−−
. B.
24i+
. C.
24i−
. D.
24i−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
12
1 3 3 1 3 3 2 4z z i i i i i− = − − + = − − − = − −
.
Câu 9: Cho
a
là số thực dương bất k khác
1
. Tính
( )
3
4
log .=
a
S a a
.
A.
3
4
=S
. B.
7=S
. C.
12=S
. D.
13
4
=S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 80
( )
1 13
33
4
44
13
log . log . log
4

= = = =


a a a
S a a a a a
.
Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số
1
5
yx=
A.
yx=
. B.
3
yx=
. C.
5
1
y
x
=
. D.
yx
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định của
1
5
yx=
là
( )
0;D = +
,
5
1
y
x
=
có
\0D =
,
yx=
có
)
0;D = +
,
3
yx=
có
D =
,
yx
=
có
( )
0;D = +
.
Câu 11: Cho hai số phức
1
z 2 5i=+
,
2
z 3 4i=−
. Tìm số phức
12
.z z z=
A.
6 20zi=+
. B.
6 20zi=−
. C.
26 7zi=+
. D.
26 7zi=−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
12
. 26 7z z z i= = +
.
Câu 12: Số phức
32zi=−
có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A.
( )
3; 2−
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
2; 3−
. D.
( )
2;3−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
3 2 2 3z i i= − = − +
có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là
( )
2;3−
.
Câu 13: Giải bất phương trình
( )
1
2
log 1 0x−
?
A.
10x−
. B.
0x
. C.
0x =
. D.
0x
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
1
2
log 1 0x−
10
11
x
x
−
−
0x
.
Câu 14: Cho
( )
d7
b
a
fxx
=
và
( )
5fb=
. Khi đó
( )
fa
bằng
A.
12
. B.
2−
. C.
0
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
d7
b
a
fxx
=
( ) ( )
7f b f a − =
( ) ( )
72f a f b = − = −
.
Câu 15: Giá trị cực đại của hàm số
3
32=−+y x x
bằng
A.
4
. B.
1−
. C.
0
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định
=D
. Ta có
2
33
=−yx
1
0
1
=−
=
=
x
y
x
.
Bảng biến thiên:
Trang 81
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng
4
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
3 1 0x y z− + − =
. Trong các điểm sau
đây điểm nào thuộc
( )
P
.
A.
( )
1; 2;4B −
. B.
( )
1;2; 4C −
. C.
( )
1; 2; 4A −−
. D.
( )
1; 2; 4D − − −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy điểm
A
thỏa.
Câu 17: Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
là
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
6
2
1
y
x
=+
−
,
1yx −
là ước nguyên của 6.
1 1; 2; 3; 6x −
,
5; -2; -1; 0; 2; 3; 4; 7x−
.
Vậy có
8
điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị.
Câu 18: Gọi
, , R S V
lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
A.
3.V S R=
. B.
2
SR
=
. C.
2
4SR
=
. D.
3
4
3
VR
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Công thức tính diện tích mặt cầu là:
2
4.SR
=
.
Câu 19: Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây.
y
x
O
1
1
.
A.
32
3 3 1y x x x= + − +
. B.
32
22y x x x= − − + −
.
C.
3
31y x x= − + +
. D.
32
3 3 1y x x x= + + +
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d= + + +
với hệ số
0a
, do đó loại đáp án A và D
x
−
1−
1
+
y
+
0
−
0
+
y
−
4
0
+
Trang 82
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1
nên
1d =
, do đó loại đáp án B.
Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3
x
fx
x
=+
.
A.
( )
31
d
ln3
x
f x x C
x
= − +
. B.
( )
31
d
ln3
x
f x x C
x
= + +
.
C.
( )
1
d3
x
f x x C
x
= − +
. D.
( )
1
d3
x
f x x C
x
= + +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
( )
2
1 3 1
d 3 d
ln3
x
x
f x x x C
xx

= + = − +



.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0; 2M −
và đường thẳng
3 1 2
:
4 3 1
x y z+ − −
= =
. Viết phương trình mp
( )
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với
.
A.
4 3 2 0x y z+ + + =
. B.
3 2 13 0x y z+ − − =
.
C.
3 2 4 0x y z+ − − =
. D.
4 3 7 0x y z+ + + =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
M
.
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
( )
4;3;1u =
.
Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
0;0; 2M −
và vuông góc với
nên nhận
( )
4;3;1u =
làm vectơ pháp tuyến có
phương trình:
( ) ( ) ( )
4 0 3 0 1 2 0 4 3 2 0x y z x y z− + − + + = + + + =
.
Câu 22: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
. B. Hàm số đạt cực đại tại
3x =−
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
. D. Hàm số đạt cực tiểu tại
4x =−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Câu 23: Xác định
x
để 3 số
1; 3; 1xx−+
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A.
5.x =
. B.
3.x =
. C.
10.x =
. D.
2 2.x =
.
Hướng dẫn giải
Trang 83
Chọn C
Ba số
1; 3; 1xx−+
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
( )( )
22
1 1 3 10 10x x x x − + = = =
.
Câu 24: Với
a
là số thực dương tùy ý,
2
2
log a
bằng:
A.
2
1
log
2
a
. B.
2
1
log
2
a+
. C.
2
2 log a+
. D.
2
2log a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì
a
là số thực dương tùy ý nên
2
22
log 2logaa=
.
Câu 25: Biết
( )
2
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên . Giá trị của
3
1
1 ( )f x dx+
bằng
A.
32
3
. B.
10
. C.
8
. D.
26
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
3
3
3
2
1
1
1
1 ( ) 12 2 10.f x dx x F x x x+ = + = + = − =
.
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số
2=
x
y
?
A.
2 d ln2.2=+
xx
xC
. B.
2
2d
ln2
=+
x
x
xC
.
C.
2
2d
1
=+
+
x
x
xC
x
. D.
2 d 2=+
xx
xC
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
2d
ln2
=+
x
x
xC
.
Câu 27: Biết
( )
5
1
d4f x x =
. Giá trị của
( )
5
1
3df x x
bằng
A.
4
3
. B.
7
. C.
64
. D.
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )
55
11
3 d 3 d 3.4 12f x x f x x= = =

.
Câu 28: Cho số phức
25zi=+
. Tìm số phức
w iz z=+
A.
w 3 7i=+
. B.
w 7 7i= − −
. C.
w 7 3i=−
. D.
w 3 3i= − −
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
w 2 5 2 5i i i= + + −
33i= − −
.
Câu 29: Trong các hàm số được liệt kê dưới đây, hàm số nào đồng biến trên .
A.
34yx= − +
. B.
34
21
x
y
x
−
=
−
. C.
sin3 4y x x=+
. D.
2
3 4 7y x x= + −
.
Trang 84
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: với
sin3 4y x x=+
thì
( )
sin3 4 3cos3 4 1 0, y x x x x
= + = +
.
Câu 30: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
16
f x x
x
=+
trên đoạn
1;5
bằng
A.
17
. B.
8−
. C.
41
5
. D.
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
2
16
1fx
x
= −
,
( )
0 4 1;5f x x = =
.
( )
1 17f =
,
( )
41
5
5
f =
,
( )
48f =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là
8
.
Câu 31: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
A.
2
4
xq
Sr
=
. B.
2
xq
S rl
=
. C.
xq
S rl
=
. D.
2
2
xq
Sr
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu hi l thuyt.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
3; +
.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1
;
2

− +


.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
1
;
2

− −


và
( )
3; +
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
3; +
.
Câu 33: Đạo hàm của hàm số
( )
2
2
log 1yx=+
là:
A.
2
ln2
1
y
x
=
+
. B.
2
2
1
x
y
x
=
+
. C.
2
2 ln2
1
x
y
x
=
+
. D.
( )
2
2
1 ln2
x
y
x
=
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 85
( )
( )
2
2
1
1 ln2
x
y
x
+
=
+
( )
2
2
1 ln 2
x
x
=
+
.
Câu 34: Một quả bóng có bán kính
( )
10 cm
được đặt khít vào một hộp cứng dạng hình hộp. Tính thể tích
khối hộp đó.
.
A.
( )
3
4000 cm
. B.
( )
3
4000 cm
. C.
( )
3
800 cm
. D.
( )
3
8000 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng đường kính quả bóng nên
33
20 8000V cm==
.
Câu 35: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
AC
và
AD
bằng:
A.
60
. B.
90
. C.
45
. D.
30
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
; ' ; ' 60
O
AC DA AC CB==
Câu 36: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
AB a=
,
2AD a=
;
SA
vuông góc với
đáy, khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
2
a
. Tính thể tích của khối chóp theo
a
.
A.
3
4 15
45
a
. B.
3
25
45
a
. C.
3
4 15
15
a
. D.
3
25
15
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang 86
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên đường thẳng
SD
. Ta có
AH SD
AH CD
ì
^
ï
ï
í
ï
^
ï
î
( )
AH SCDÞ^
( )
( )
,AH d A SCDÞ=
. Suy ra
2
a
AH =
.
SADD
vuông tại
A
có đường cao
AH
nên
2 2 2
1 1 1
AH SA AD
=+
2 2 2
1 1 1
SA AH AD
Û = -
2
15
4a
=
2 15
15
a
SAÞ=
.
Vậy
1
..
3
V AB AD SA=
1 2 15
.2 .
3 15
a
aa=
3
4 15
45
a=
.
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
x
trong đoạn
0;2023
thỏa mãn bất phương trình sau
16 25 36 20 24 30
x x x x x x
+ + + +
.
A.
2023
. B.
3
. C.
2024
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2 2
16 25 36 20 24 30 4 5 6 4 .5 4 .6 5 .6
x x x x x x x x x x x x x x x
+ + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 5 6 2.4 .5 2.4 .6 2.5 .6 0
x x x x x x x x x

+ + − + +


( ) ( ) ( )
2 2 2
4 5 4 6 5 6 0
x x x x x x
− + − + −
.
x
xx
x
xx
xx
x
4
1
5
4 5 0
4
4 6 0 1 x 0 0;2023
6
5 6 0
5
1
6

=


−=

− = = =




−=

=


Vậy có 1 giá trị nguyên của
x
trong đoạn
0;2023
thỏa mãn bất phương trình.
Câu 38: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn.
A.
3
8
. B.
1
8
. C.
5
8
. D.
7
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số phần tử không gian mẫu:
3
6.=
Gọi biến cố A: “tích số chấm 3 lần gieo là chẵn”.
Suy ra
A
: “tích số chấm 3 lần gieo là lẻ”.
Trang 87
Để xảy ra biến cố
A
thì cả ba lần gieo đều xảy ra chấm lẻ
3.3.3
A
=
( )
3
3
31
68
PA = =
.
Vậy xác suất cần tìm là
( )
7
8
PA=
.
Câu 39: Cho
( )
fx
là một hàm số liên tục trên đoạn
2;9−
, biết
( ) ( ) ( )
1 2 9 3f f f− = = =
và
( )
fx
có
bảng biến thiên như sau:
Tìm
m
để phương trình
( ) ( )
f x f m=
có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn
2;9 .−
A.
(
2;9 \ 6 .m−
. B.
2;9 \ 2;6 .m − −
.
C.
(
( )
( )
2;9 \ 1;2 6 .m − −
. D.
( )
( )
2;9 \ 1;2 6 .m − −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình
( ) ( )
f x f m=
có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn
2;9−
khi
( )
4 3.fm−
Trên
( )
2;0 ,−
hàm số
( )
fx
đồng biến và
( )
13f −=
nên
( )
4 3 2 1.f m m− − −
Trên
( )
0;6 ,
hàm số
( )
fx
nghịch biến và
( )
23f =
nên
( )
4 3 6 2.f m m−
Trên
( )
6;9 ,
hàm số
( )
fx
đồng biến và
( )
93f =
nên
( )
4 3 6 9.f m m−
Vậy điều kiện của
m
là:
(
) (
(
( )
( )
2; 1 2;6 6;9 2;9 \ 1;2 6 .mm − − − −
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
có
( )
01f =−
và
( )
( )
6 12 ,
x
f x x x e x
−
= + +
. Khi đó
( )
1
0
df x x
bằng
A.
1
3e
−
. B.
1
3e
−
−
. C.
3e
. D.
1
43e
−
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
6 12 ,
x
f x x x e x
−
= + +
nên
( )
fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
.
( )
( ) ( )
2
d 6 12 d 6 12 d d
xx
f x x x x e x x x x xe x
−−
= + + = + +
Mà
( )
2 2 3
6 12 d 3 4x x x x x C+ = + +
Xét
d
x
xe x
−
: Đặt
dd
dd
xx
u x u x
v e x v e
−−
==


= = −

( )
d d 1
x x x x x x
xe x xe e x xe e C x e C
− − − − − −
= − + = − − + = − + +

Suy ra
( ) ( )
23
3 4 1 ,
x
f x x x x e C x
−
= + − + +
.
Mà
( )
0 1 0fC= − =
nên
( ) ( )
23
3 4 1 ,
x
f x x x x e x
−
= + − +
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1
2 3 3 4
0
0 0 0 0
d 3 4 1 d 1 d 2 1 d
x x x
f x x x x x e x x x x e x x e x
− − −
= + − + = + − + = − +
Trang 88
Xét
( )
1
0
1d
x
x e x
−
+
: Đặt
1 d d
dd
xx
u x u x
v e x v e
−−
= + =


= = −

( ) ( )
11
11
1 1 1 1
00
00
1 d 1 d 2 1 2 1 1 2 3
x x x x
x e x x e e x e e e e e
− − − − − − − −
+ = − + + = − + − = − + − + = −

Vậy
( )
1
1
0
d3f x x e
−
=
.
Câu 41: Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
,
SB
,
SC
tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
60
. Biết
BC a=
,
45BAC =
. Tính khoảng cách
h
từ đỉnh
S
đến mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
6
a
h =
. B.
6ha=
. C.
6
2
a
h =
. D.
6
3
a
h =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
a
60
°
45
°
A
B
C
H
S
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
S
lên
( )
ABC
, suy ra
( )
( )
,d S ABC SH=
và
60SAH SBH SCH= = =
HA HB HC = =
.
Do đó
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Xét
ABC
, có:
2
sin
2
BC a
HA HA
A
= =
.
Xét
SAH
vuông tại
H
, có
6
.tan . 3
2
2
aa
SH AH SAH= = =
.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − − =
và đường thẳng
2 4 1
:
2 2 1
x y z
d
+ − +
==
−
. Viết phương trình đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên
( )
P
.
A.
21
:
7 5 2
x y z
d
++
==
−
. B.
21
:
7 5 2
x y z
d
−−
==
.
C.
21
:
7 5 2
x y z
d
−−
==
−
. D.
21
:
7 5 2
x y z
d
++
==
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 89
d'
d
P
M
N
M'
+) Phương trình tham số của
22
: 4 2
1
xt
d y t
zt
= − +
=−
= − +
,
tR
. Gọi
( )
2 2 ;4 2 ; 1M t t t= − + − − +
là giao điểm của
d
và
( )
P
( ) ( ) ( )
2 2 4 2 1 1 0t t t − + + − − − + − =
2t=
( )
2;0;1M=
.
+) Mặt phẳng
( )
P
có 1 vector pháp tuyến là
( )
1;1; 1
P
n =−
. Điểm
( )
0;2;0N =
d
.
Gọi
là đường thẳng qua
( )
0;2;0N
và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
nhận vector
( )
1;1; 1
P
n =−
làm
vector chỉ phương. Suy ra phương trình của
là:
( ) ( )
0 2 0
: : 2
1 1 1
xc
x y z
yc
zc
=
− − −
= = = +
−
=−
,
cR
. Gọi
( )
;2 ;M c c c
= + −
là giao điểm của
với mặt
phẳng
( )
P
( ) ( )
1
2 1 0
3
c c c c + + − − − = = −
1 5 1
;;
333
M

−


.
+)
7 5 2
;;
3 3 3
MM

= − −


, đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt phẳng
( )
P
nên
d
chính
là đường thẳng
'MM
, suy ra
d
đi qua
( )
2;0;1M
và nhận vector
( )
3 7; 5;2u MM
= − = −
làm vector chỉ
phương nên phương trình của
d
là:
21
:
7 5 2
x y z
d
−−
==
−
.
Câu 43: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh
S
đáy là đường tròn tâm
O
có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
.
A
,
B
là hai điểm bất k trên
( )
O
. Thể tích khối chóp
.S OAB
đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
3
3
24
a
. B.
3
96
a
. C.
3
3
96
a
. D.
3
3
48
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 90
a
/2
h
O
S
B
A
Ta có
.
1
.
3
S OAB AOB
V S SO
=
. Lại có
1
. .sin
2
AOB
S OAOB AOB
=
.
Mặt khác
2
a
OA OB==
,
3
2
a
SO h==
.
Do đó thể tích khối chóp
.S OAB
đạt giá trị lớn nhất khi
sin 1AOB =
OA OB⊥
.
Khi đó
3
max
1 1 3 3
3 2 2 2 2 48
a a a a
V = =
.
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
33
:
1 3 2
x y z
d
−−
==
, mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
+ − + =
và điểm
( )
1; 2; 1A −
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
cắt
d
và song song
với mặt phẳng
( )
.
A.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
. B.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
.
C.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
. D.
1 2 1
1 2 1
x y z− − +
==
−−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
Md=
Md
( )
3 ;3 3 ; 2M t t t + +
( )
2 ;1 3 ;1 2AM t t t = + + +
.
( )
có VTPT là
( )
1;1; 1n =−
.
( )
// AM
.0AM n=
2 1 3 1 2 0t t t + + + − − =
1t = −
( )
1; 2; 1AM = − −
.
Vậy
1 2 1
:
1 2 1
x y z− − +
= =
−−
.
Câu 45: Cho
a
là số thực, phương trình
( )
2
2 2 3 0z a z a+ − + − =
có
2
nghiệm
1
z
,
2
z
. Gọi
M
,
N
là điểm
biểu diễn của
1
z
,
2
z
trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác
OMN
có một góc bằng
120
, tính tổng các giá trị
của
a
.
A.
6−
. B.
4
. C.
4−
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì
O
,
M
,
N
không thẳng hàng nên
1
z
,
2
z
không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình
( )
2
2 2 3 0z a z a+ − + − =
. Do đó, ta phải
có:
2
12 16 0aa = − +
( )
6 2 5; 6 2 5a − +
.
Trang 91
Khi đó, ta có:
2
1
2
1
2 12 16
22
2 12 16
22
a a a
zi
a a a
zi
− − + −
=−
− − + −
=+
.
12
23OM ON z z a = = = = −
và
2
12
12 16MN z z a a= − = − + −
.
Tam giác
OMN
cân nên
120MON =
2 2 2
cos120
2.
OM ON MN
OM ON
+−
=
( )
2
8 10 1
2 2 3 2
aa
a
−+
= −
−
2
6 7 0aa − + =
32a =
.
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của
a
là
6
.
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi số nguyên
x
có không quá
242
số nguyên
y
thoả
mãn:
( )
( )
2
43
log logx y x y+ +
?
A.
55
. B.
56
. C.
57
. D.
58
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện:
2
0
0
xy
xy
+
+
Đặt
( )
3
log x y t+=
. Ta có:
22
4 4 3
33
t t t
tt
x y x x
x y y x

+ − −


+ = = −


Nhận xet: hàm số
( )
43
tt
ft=−
đồng biến trên
( )
0;+
và
( )
0, 0f t t
Gọi
n
thoả mãn
2
43
nn
xx− = −
, khi đó
2
4 3 4 3 4 3
t t t t n n
x x t n− − − −
Từ
0 3 3
tn
x y x y x x+ − = − −
Mặt khác, không quá 242 số nguyên
y
thoả mãn đề bài nên
3
3 242 log 242
n
n
3
log 242
2
4 3 4 242 27,4 28,4 27; 26;...;28
nn
x x x x − = − − − − −
có
56
số nguyên
x
thoả mãn đề bài.
Câu 47: Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều
kiện
− = +z i z i
?
A. Một đường elip. B. Một đường tròn.
C. Một đường thẳng. D. Một đoạn thẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
=+z xi y
, được biểu diễn bởi điểm
( )
;M x y
trong mặt phẳng tọa độ
( )
xoy
.
Ta có
( ) ( )
11− = + + − = + +z i z i x y i x y i
( ) ( )
22
22
11 + − = + +x y x y
0=y
.
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 16x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 0P x y z+ + + =
,
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn
( )
T
.
CD
là một đường kính cố định của đường tròn
( )
T
,
A
là một điểm thay đổi trên
( )
T
(
A
khác
C
và
D
). Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )
P
cắt
( )
S
tại
B
. Tính
22
BC AD+
.
A.
8
. B.
64
. C.
32
. D.
16
.
Trang 92
Hướng dẫn giải
Chọn D
A
C
D
B
( )
S
có tâm
( )
1; 1;1I −
và bán kính
4R =
. Ta có
( )
( )
1 1 1 2
;3
3
d I P
− + +
==
nên
( )
P
cắt
( )
S
theo đường
tròn
( )
T
có bán kính
( )
( )
22
; 13r R d I P= − =
.
Giả thiết có
23AB =
nên
22
BC AD+
2 2 2
BA AC AD= + +
22
BA CD=+
12 52 64= + =
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
liên tục trên và đồ thị của
( )
fx
trên đoạn
2;6−
như
hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
y
x
(C): y = f(x)
3
1
6
2
1
2
O
A.
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 2 1f f f f − −
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 6f f f f− −
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 6f f f f − −
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 6f f f f− −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm
( )
fx
trên đoạn
2;6−
ta suy ra bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
trên đoạn
2;6−
như sau:
x
2−
1−
2
6
( )
'fx
3
+
0
−
0
+
1
( )
fx
Trang 93
Dựa vào bảng biến thiên ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21
21
26
ff
ff
ff
− −
−
nên A, D sai.
y
x
S
2
S
1
(C): y = f(x)
3
1
6
2
1
2
O
Chỉ cần so sánh
( )
2f −
và
( )
2f
nữa là xong.
Gọi
1
S
,
2
S
là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ.
Ta có:
( )
1
1
2
dS f x x
−
−
=
( )
1
2
f x dx
−
−
=
( ) ( )
12ff= − − −
.
( )
2
2
1
dS f x x
−
=
( )
2
1
df x x
−
=−
( ) ( )
12ff= − −
.
Dựa vào đồ thị ta thấy
12
SS
nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2f f f f− − − − −
( ) ( )
22ff −
.
Câu 50: Cho hàm số bậc năm
( )
y f x=
có đồ thị
( )
y f x
=
như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
32
3g x f x x=+
là
A.
4
. B.
11
. C.
7
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
( ) ( )
2 3 2
3 6 . 3g x x x f x x

= + +
.
( )
( )
2
32
3 6 0
0
30
xx
gx
f x x
+=
=
+=
.
Phương trình
2
0
3 6 0
2
x
xx
x
=
+ =
=−
.
Trang 94
Phương trình
( )
32
32
32
32
33
30
30
30
34
34
x x a
xx
f x x
xx
x x b
+ =
+=
+ =
+=
+ =
.
Ta thấy:
( )
3 2 2
3 0 3 0 0; 3x x x x x x+ = + = = = −
Và
( )( )
2
32
3 4 1 2 0 1; 2x x x x x x+ = − + = = = −
.
Hàm số
( )
32
3h x x x=+
có
( )
2
0
3 6 0
2
x
h x x x
x
=
= + =
=−
.
Bảng biến thiên của hàm
( )
hx
:
Dựa vào bảng biên thiên của hàm
( )
hx
, ta có
Phương trình
32
30x x a+ =
có duy nhất một nghiệm
1
3x −
.
Phương trình
32
34x x c+ =
có duy nhất một nghiệm
2
1x
.
Do đó, phương trình
( )
0gx
=
có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số
( )
y g x=
có
sáu điểm cực trị.
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 5
MÔN TOÁN
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 2;1A −
. Đường thẳng nào sau đây đi qua
A
?
A.
3 2 1
4 2 1
x y z− − −
==
−−
. B.
3 2 1
1 1 2
x y z+ + −
==
.
C.
3 2 1
4 2 1
x y z− + +
==
−−
. D.
3 2 1
1 1 2
x y z− + −
==
.
Câu 2: Biểu thức
49 7
11
log 5 log 5
P =−
bằng.
A.
1
2
. B.
2
. C.
7
log 5
. D.
5
log 7
.
Câu 3: Cho hai số phức
1
13zi=−
và
2
3zi=+
. Số phức
12
zz+
bằng .
A.
42i−+
. B.
42i−
. C.
42i−−
. D.
42i+
.
Câu 4: Cho số phức
52zi=+
. Tìm số phức
.w iz z=−
A.
33wi=+
. B.
33wi= − +
. C.
33wi= − −
. D.
33wi=−
.
Câu 5: Tích phân
2
1
2.I x dx=
có giá trị là:
A. I = 1. B. I = 4. C. I =2. D. I = 3.
Câu 6: Đường cong nào như hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó
là hàm số nào?
Trang 95
A.
1
1
x
y
x
+
=
−
. B.
42
1y x x= − +
. C.
32
31y x x= − + −
. D.
32
31y x x= − +
.
Câu 7: Khối cầu
( )
S
có diện tích mặt cầu bằng
16
. Tính thể tích khối cầu.
A.
( )
32 3
3
đvdt
. B.
( )
32
3
đvdt
.
C.
( )
32
9
đvdt
. D.
( )
32 3
9
đvdt
.
Câu 8: Tìm tọa độ điểm
M
là điểm biểu diễn số phức
34zi=−
.
A.
( )
3;4M −
. B.
( )
3; 4M −−
. C.
( )
3;4M
. D.
( )
3; 4M −
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
( )
y f x=
là
A.
1x =−
. B.
( )
1;1M −
. C.
( )
1; 3M −
. D.
1x =
.
Câu 10: Phương trình
( )
2
log 3 2 3x −=
có tập nghiệm là.
A.
8
3
T

=


. B.
10
3
T

=


. C.
16
3
T

=


. D.
11
3
T

=


.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:2 2 2017 0P x z z− + + =
. Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
( )
P
?
A.
( )
3
2;2; 1n = − −
. B.
( )
4
1; 2;2n =−
.
C.
( )
1
1; 1;4n =−
. D.
( )
2
2;2;1n =
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y f x=
có
( )
lim 0
x
fx
→+
=
và
( )
lim
x
fx
→−
= +
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
không có tiệm cận ngang.
Trang 96
B. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
nằm phía trên trục hoành
.
C. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
có một tiệm cận đứng là đường thẳng
0y =
.
Câu 13: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3 ,M −
( )
0;2; 1 .N −
Tọa độ
trọng tâm của tam giác
OMN
là:
A.
1
;2;1 .
2

−


. B.
( )
1;0; 4 .−
. C.
1 4 2
; ; .
3 3 3

−


. D.
( )
1;4;2 .−
.
Câu 15: Tập xác định của hàm số:
2
2
( ) log (1 )f x x x= + −
là:
A.
( )
0;D = +
. B.
( )
0; 1D =
.
C.
( )
;1 \ 0D = −
. D.
)
0; 1D =
.
Câu 16:Biết rằng
( )
4
.2F x m x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x x=
, giá trị của
m
là.
A.
1
4
. B.
4
. C.
0
. D.
1
.
Câu 17: Số
4
5! P−
bằng:
A.
24
. B.
96
. C.
12
. D.
5
.
Câu 18: Tìm số phức liên hợp của số phức
( )( )
2 3 7 8z i i= − + −
.
A.
10 37zi= − −
. B.
38 37zi= − −
.
C.
10 37zi=−
. D.
38 37zi=−
.
Câu 19: Tìm tập nghiệm của phương trình
2
log( 6 7) log( 3)x x x− + = −
.
A.
4;5 .
. B.
. C.
5.
. D.
3;4 .
.
Câu 20: Cho hình chóp
.S ABC
, có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
SA AB a==
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
6
a
. D.
3
2
a
.
Câu 21: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A.
3
31y x x= − +
. B.
3
31y x x= + +
.
C.
2
1yx=+
. D.
21yx= − +
.
Câu 22: Với các số thực dương
,ab
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
log logb loga
a
b
=−
.
B.
log
log
log
aa
bb
=
.
C.
( )
log log logab a b=+
.
D.
( )
log log .logab a b=
.
Câu 23: Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Trang 97
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3;6
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
6;+
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;3
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số
2
2x
()
1
x
fx
x
+
=
+
trên đoạn
[0;2]
?
A.
0
. B.
3
. C.
3
.
2
. D.
8
.
3
.
Câu 25: Tìm số phức
z
thỏa
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
.
A.
2zi=−
. B.
2zi= − −
. C.
2zi= − +
. D.
2zi=+
.
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
−
=
là:
A.
( )
2
d
x
f x x e C
−
= − +
. B.
( )
2
d2
x
f x x e C
−
= − +
.
C.
( )
2
1
d
2
x
f x x e C
−
=+
. D.
( )
2
1
d
2
x
f x x e C
−
= − +
.
Câu 27: Tính thể tích
V
của khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, Biết tổng diện tích các mặt
của hình lập phương bằng
150
.
A.
25V =
. B.
75V =
. C.
V 100=
. D.
125V =
.
Câu 28: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Khi đó góc giữa
AC

và
BD
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
0
. D.
90
Câu 29: Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )
2
log 1f x x=+
.
A.
( )
1
1
fx
x
=
+
. B.
( )
( )
1 ln2
x
fx
x
=
+
. C.
( )
( )
1
1 ln2
fx
x
=
+
. D.
( )
0fx
=
.
Câu 30: Cho
( )
5
0
d2f x x =−
. Tích phân
( )
5
2
0
4 3 df x x x

−

bằng
A.
133−
. B.
120−
. C.
140−
. D.
130−
.
Câu 31: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
11u =
và công sai
4d =
. Giá trị của
5
u
bằng
A.
2816
. B.
27
. C.
15
. D.
26−
.
Câu 32: Cho
( )
2
0
d3f x x =
,
( )
2
0
d1g x x =−
thì
( ) ( )
2
0
5df x g x x x

−+

bằng:
A.
10
. B.
12
. C.
8
. D.
0
.
Trang 98
Câu 33: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1−
. D.
2−
.
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0; 2M −
và đường thẳng
3 1 2
:
4 3 1
x y z+ − −
= =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với
đường thẳng
.
A.
3 2 4 0x y z+ − − =
. B.
4 3 2 0x y z+ + + =
.
C.
3 2 13 0x y z+ − − =
. D.
4 3 7 0x y z+ + + =
.
Câu 35: Cho hình trụ bán kính đáy
( )
5 cmr =
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
( )
7 cm
. Diện
tích xung quanh của hình trụ là:
A.
( )
2
60 cm
. B.
( )
2
35 cm
. C.
( )
2
120 cm
. D.
( )
2
70 cm
.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng
2 3 4
:
2 3 5
− − +
==
−
x y z
d
và
1 4 4
:
3 2 1
+ − −
==
−−
x y z
d
.
A.
1
1 1 1
−
==
x y z
. B.
2 2 3
2 2 2
− + −
==
x y z
.
C.
23
2 3 1
−−
==
−
x y z
. D.
2 2 3
2 3 4
− − −
==
x y z
.
Câu 37: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đáy bằng
a
và diện tích xung quanh
2
2
xp
Sa
=
. Tính
thể tích
V
của khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
( )
N
và
đỉnh
S
trùng với đỉnh của khối nón
( )
N
.
A.
3
23
3
a
V =
. B.
3
23Va=
. C.
3
25
3
a
V =
. D.
3
22
3
a
V =
.
Câu 38: Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm
O
. Gọi
X
là tập hợp
tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất
P
để chọn được một tam
giác từ tập
X
là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
A.
7
816
P =
. B.
21
136
P =
. C.
23
136
P =
. D.
144
136
P =
.
Câu 39: Cho lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a=
,
3AD a=
. Hình chiếu vuông góc của
1
A
lên
( )
ABCD
trùng với giao điểm của
AC
và
BD
.
Tính khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
( )
1
A BD
.
A.
2
a
. B.
3
6
a
. C.
3
2
a
. D.
3a
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
R
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( )
3 2 2
3 2 3f x x m m− + = −
có nghiệm thuộc nửa
khoảng
)
1;3
là
Trang 99
A.
( )
)
1; 2 4; +
. B.
(
( )
; 1 2;4− −
.
C.
(
)
1;1 2;4−
. D.
) (
1;1 2;4−
.
Câu 41: Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục, nhận giá trị dương trên
( )
0; +
và thỏa mãn
( )
11f =
,
( ) ( )
31f x f x x= +
, với mọi
0x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
2 5 3f
. B.
( )
4 5 5f
.
C.
( )
3 5 4f
. D.
( )
1 5 2f
.
Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình:
( )( )
1 2 1
3 2 4 8 0
x x x++
+ - £
A.
[ )
4;+¥
. B.
1
;
4
éö
÷
ê
- + ¥
÷
÷
ê
ø
ë
. C.
1
;
4
æù
ç
ú
- ¥ -
ç
ç
ú
è
û
. D.
( ]
;4-¥
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật
AB a=
và
2AD a=
, cạnh
bên
SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
biết góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
ABCD
bằng
0
60
.
A.
3
4 15
15
a
V =
. B.
3
15
6
a
V =
. C.
3
15
3
a
V =
. D.
3
15
15
a
V =
.
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
2
điểm
( ) ( )
1;2;3 , 2;4;4MA
và hai
mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z+ − + =
,
( )
: 2 4 0.Q x y z− − + =
Viết phương trình đường thẳng
đi
qua
M
, cắt
( ), ( )PQ
lần lượt tại
,BC
sao cho tam giác
ABC
cân tại
A
và nhận
AM
làm đường
trung tuyến.
A.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−−
. B.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
.
C.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−
. D.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−−
.
Câu 45: Tính modun của số phức
w b ci=+
,
,bc
biết số phức
8
7
12
1
ii
i
−−
−
là nghiệm của
phương trình
2
0z bz c+ + =
.
A.
22
. B.
2
. C.
32
. D.
3
.
Câu 46: Cho số phức
z
thoả mãn
1 i
z
+
là số thực và
2zm−=
với
m
. Gọi
0
m
là một giá
trị của
m
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
A.
0
3
;2
2
m



. B.
0
3
1;
2
m



. C.
0
1
;1
2
m



. D.
0
1
0;
2
m



.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
0 2023x
và
( )
5
log 5 3 1255
y
xxy−= −+
?
Trang 100
A.
4
. B.
6
. C.
2
. D.
1010
.
Câu 48: Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
và
đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 2 2 4 0x y z
+ − − =
và
( )
:2 2 1 0x y z
− − + =
. Đường thẳng
cắt mặt cầu
( )
S
tại hai điểm phân biệt
,AB
thỏa mãn
8AB =
khi:
A.
12m =
. B.
10m =−
. C.
12m =−
. D.
5m =
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
¡
và
( )
0 0,f <
đồng thời đồ thị hàm số
( )
y f x
¢
=
như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
g x f x=
là
A.
4.
. B.
3.
. C.
1.
. D.
2.
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
42
( 0)y f x ax bx c a= = + + >
có đồ thị (C), đồ thị hàm số
( )
'y f x=
như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số
( )
'y f x=
đạt cực tiểu tại điểm
3 8 3
;
39
æö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. Đồ
thị hàm số
( )
y f x=
tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích
S
của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
x
y
1
1
A.
7
.
15
B.
14
.
15
C.
8
.
15
D.
16
.
15
------ HẾT ------
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D
D
B
B
D
D
B
D
C
B
A
C
B
C
B
A
B
C
C
C
B
C
A
D
A
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
D
D
D
C
A
B
A
B
B
D
A
A
C
C
C
C
B
A
C
A
B
C
C
B
D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 2;1A −
. Đường thẳng nào sau đây đi qua
A
?
A.
3 2 1
4 2 1
x y z− − −
==
−−
. B.
3 2 1
1 1 2
x y z+ + −
==
.
Trang 101
C.
3 2 1
4 2 1
x y z− + +
==
−−
. D.
3 2 1
1 1 2
x y z− + −
==
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thay tọa độ điểm
( )
3; 2;1A −
vào phương trình đường thẳng ta được
0 0 0
1 1 2
==
đúng. Suy ra đường thẳng
3 2 1
1 1 2
x y z− + −
==
đi qua điểm
( )
3; 2;1A −
.
Câu 2: Biểu thức
49 7
11
log 5 log 5
P =−
bằng.
A.
1
2
. B.
2
. C.
7
log 5
. D.
5
log 7
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
5 5 5
49 7
11
log 49 log 7 log 7
log 5 log 5
P = − = − =
.
Câu 3: Cho hai số phức
1
13zi=−
và
2
3zi=+
. Số phức
12
zz+
bằng.
A.
42i−+
. B.
42i−
. C.
42i−−
. D.
42i+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
12
1 3 3 4 2z z i i i+ = − + + = −
.
Câu 4: Cho số phức
52zi=+
. Tìm số phức
.w iz z=−
A.
33wi=+
. B.
33wi= − +
. C.
33wi= − −
. D.
33wi=−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( ) ( )
5 2 5 2 5 2 3 3z i w iz z i i i i= − = − = − − + = − +
.
Câu 5: Tích phân
2
1
2.I x dx=
có giá trị là:
A. I = 1. B. I = 4. C. I =2. D. I = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tích phân
2
1
2.I x dx=
có giá trị là:
Cách 1:
2
22
2
11
1
2 . 2. . 2. 3
2
x
I x dx x dx

= = = =



.
Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1.
Câu 6: Đường cong nào như hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó
là hàm số nào?
Trang 102
A.
1
1
x
y
x
+
=
−
. B.
42
1y x x= − +
. C.
32
31y x x= − + −
. D.
32
31y x x= − +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số
0a
.
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm
( ) ( )
0;1 ;B 2; 3A −
.
Câu 7: Khối cầu
( )
S
có diện tích mặt cầu bằng
16
. Tính thể tích khối cầu.
A.
( )
32 3
3
đvdt
. B.
( )
32
3
đvdt
.
C.
( )
32
9
đvdt
. D.
( )
32 3
9
đvdt
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
22
16
4 16 4 2
4
S R R R

= = = = =
.
( )
33
4 4 32
.2
3 3 3
đvdtVR

= = =
.
Câu 8: Tìm tọa độ điểm
M
là điểm biểu diễn số phức
34zi=−
.
A.
( )
3;4M −
. B.
( )
3; 4M −−
. C.
( )
3;4M
. D.
( )
3; 4M −
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có điểm
( )
3; 4M −
biểu diễn số phức
34zi=−
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
( )
y f x=
là
Trang 103
A.
1x =−
. B.
( )
1;1M −
. C.
( )
1; 3M −
. D.
1x =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy,
( )
fx
đổi dấu từ “âm” sang “dương” khi đi qua
1x =
và
( )
13f =−
.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
( )
y f x=
là
( )
1; 3M −
.
Câu 10: Phương trình
( )
2
log 3 2 3x −=
có tập nghiệm là.
A.
8
3
T

=


. B.
10
3
T

=


. C.
16
3
T

=


. D.
11
3
T

=


.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện:
3 2 0x −
2
3
x
.
Ta có:
( )
2
log 3 2 3x −=
3 2 8x − =
10
3
x=
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:2 2 2017 0P x z z− + + =
. Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
( )
P
?
A.
( )
3
2;2; 1n = − −
. B.
( )
4
1; 2;2n =−
.
C.
( )
1
1; 1;4n =−
. D.
( )
2
2;2;1n =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
là
( )
3
2;2; 1n = − −
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y f x=
có
( )
lim 0
x
fx
→+
=
và
( )
lim
x
fx
→−
= +
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
nằm phía trên trục hoành
.
C. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
có một tiệm cận đứng là đường thẳng
0y =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì
( )
lim 0
x
fx
→+
=
và
( )
lim
x
fx
→−
= +
nên đồ thị hàm số chỉ một tiệm cận đứng là trục hoành.
Câu 13: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
là
Trang 104
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
3 2 1 1
1
2 2 2 2
xx
y
x x x x
++
= = + = +
+ + + +
.
Để
y
là số nguyên thì
2x +
là ước của
1
. Mà
1
có hai ước nguyên là
1
vậy có
2
giá trị của
x
thỏa mãn, hay tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3 ,M −
( )
0;2; 1 .N −
Tọa độ
trọng tâm của tam giác
OMN
là:
A.
1
;2;1 .
2

−


. B.
( )
1;0; 4 .−
. C.
1 4 2
; ; .
3 3 3

−


. D.
( )
1;4;2 .−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
( )
;;
G G G
G x y z
là tọa độ trọng tâm của tam giác
.OMN
.
Ta có:
0 1 0 1
33
0 2 2 4
33
0 3 1 2
33
G
G
G
x
y
z
ì
ï
-+
ï
= = -
ï
ï
ï
ï
++
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
+-
ï
ï
==
ï
ï
ï
î
.
Câu 15: Tập xác định của hàm số:
2
2
( ) log (1 )f x x x= + −
là:
A.
( )
0;D = +
. B.
( )
0; 1D =
.
C.
( )
;1 \ 0D = −
. D.
)
0; 1D =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
00
0;1
1 0 1
xx
x
xx



−

.
Câu 16: Biết rằng
( )
4
.2F x m x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x x=
, giá trị của
m
là.
A.
1
4
. B.
4
. C.
0
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( )
34
11
44
F x x dx x C m= = + =
.
Câu 17: Số
4
5! P−
bằng:
A.
24
. B.
96
. C.
12
. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
4
5! 5! 4! 96P− = − =
.
Câu 18: Tìm số phức liên hợp của số phức
( )( )
2 3 7 8z i i= − + −
.
A.
10 37zi= − −
. B.
38 37zi= − −
.
C.
10 37zi=−
. D.
38 37zi=−
.
Trang 105
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )( )
2 3 7 8 10 37 10 37z i i i z i= − + − = + = −
.
Câu 19: Tìm tập nghiệm của phương trình
2
log( 6 7) log( 3)x x x− + = −
.
A.
4;5 .
. B.
. C.
5.
. D.
3;4 .
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đk:
2
6 7 0
30
xx
x
− +
−
32x +
.
2
log( 6 7) log( 3)x x x− + = −
2
6 7 3x x x− + = −
5
2
x
x
=
=
.
Nhận nghiệm
5x =
, loại nghiệm
2x =
.
Câu 20: Cho hình chóp
.S ABC
, có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
SA AB a==
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
6
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích của khối chóp
.S ABC
:
3
.
1
.
36
S ABC ABC
a
V SA S==
.
Câu 21: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A.
3
31y x x= − +
. B.
3
31y x x= + +
.
C.
2
1yx=+
. D.
21yx= − +
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số
21yx= − +
luôn nghịch biến trên .
Hàm số
3
31y x x= − +
có
2
3yx
=−
nên hàm số không thể đồng biến trên .
Hàm số
2
1yx=+
có
2yx
=
nên hàm số không.
Câu 22: Với các số thực dương
,ab
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
log logb loga
a
b
=−
. B.
log
log
log
aa
bb
=
.
C.
( )
log log logab a b=+
. D.
( )
log log .logab a b=
.
Hướng dẫn giải
Trang 106
Chọn C
Ta có
( )
log log logab a b=+
.
Câu 23: Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
3;6
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
6;+
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;3
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trên khoảng
đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến.
Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số
2
2x
()
1
x
fx
x
+
=
+
trên đoạn
[0;2]
?
A.
0
. B.
3
. C.
3
.
2
. D.
8
.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có,
2
2
2x 1 1
( ) 1 '( ) 1 0, [0;2]
1 1 ( 1)
x
f x x f x x
x x x
+
= = + − = +
+ + +
.
()fx
đồng biến trên
[0;2]
8
(0;2) ( ) f(2) .
3
GTLN f x = =
.
Câu 25: Tìm số phức
z
thỏa
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
.
A.
2zi=−
. B.
2zi= − −
. C.
2zi= − +
. D.
2zi=+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
z a bi=+
( )
,ab
.
Ta có
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
( )( )
2 3 1 9a bi i a bi i + − + − = −
( )
3 3 3 1 9a b a b i i − − + − + = −
31
3 3 9
ab
ab
− − =
− + = −
2
1
a
b
=
=−
.
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
−
=
là:
A.
( )
2
d
x
f x x e C
−
= − +
. B.
( )
2
d2
x
f x x e C
−
= − +
.
Trang 107
C.
( )
2
1
d
2
x
f x x e C
−
=+
. D.
( )
2
1
d
2
x
f x x e C
−
= − +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( )
df x x
2
d
x
ex
−
=
2
1
2
x
eC
−
= − +
.
Câu 27: Tính thể tích
V
của khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, Biết tổng diện tích các mặt
của hình lập phương bằng
150
.
A.
25V =
. B.
75V =
. C.
V 100=
. D.
125V =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi a là cạnh hình lập phương ta có:
22
6 150 25 5= = =a a a
.
Khi đó thể tích hình lập phương là:
33
5 125= = =Va
.
Câu 28: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Khi đó góc giữa
AC

và
BD
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
0
. D.
90
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
A'
A
B
C
D
B'
C'
D'
Vì
( ) ( )
/ / ; ; 90AC A C A C BD AC BD
= =
.
Câu 29: Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )
2
log 1f x x=+
.
A.
( )
1
1
fx
x
=
+
. B.
( )
( )
1 ln2
x
fx
x
=
+
.
C.
( )
( )
1
1 ln2
fx
x
=
+
. D.
( )
0fx
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 108
Ta có:
( ) ( )
2
log 1f x x
=+


( )
( )
1
1 ln 2
x
x
+
=
+
( )
1
1 ln 2x
=
+
.
Câu 30: Cho
( )
5
0
d2f x x =−
. Tích phân
( )
5
2
0
4 3 df x x x

−

bằng
A.
133−
. B.
120−
. C.
140−
. D.
130−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
5 5 5
5
2 2 3
0
0 0 0
4 3 d 4 d 3 d 8 8 125 133f x x x f x x x x x

− = − = − − = − − = −

.
Câu 31: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
11u =
và công sai
4d =
. Giá trị của
5
u
bằng
A.
2816
. B.
27
. C.
15
. D.
26−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có :
1
51
11
4 27
4
u
u u d
d
=
= + =
=
.
Câu 32: Cho
( )
2
0
d3f x x =
,
( )
2
0
d1g x x =−
thì
( ) ( )
2
0
5df x g x x x

−+

bằng:
A.
10
. B.
12
. C.
8
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0 0
5 d 5 g d df x g x x x f x dx x x x x− + = − +


3 5 2 10= + + =
.
Câu 33: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1−
. D.
2−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo định nghĩa về cực trị thì hàm số có hai cực trị.
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0; 2M −
và đường thẳng
3 1 2
:
4 3 1
x y z+ − −
= =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với
đường thẳng
.
A.
3 2 4 0x y z+ − − =
. B.
4 3 2 0x y z+ + + =
.
C.
3 2 13 0x y z+ − − =
. D.
4 3 7 0x y z+ + + =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trang 109
M
.
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
( )
4;3;1u =
.
Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
0;0; 2M −
và vuông góc với
nên nhận
( )
4;3;1u =
làm vectơ
pháp tuyến có phương trình:
( ) ( ) ( )
4 0 3 0 1 2 0 4 3 2 0x y z x y z− + − + + = + + + =
.
Câu 35: Cho hình trụ bán kính đáy
( )
5 cmr =
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
( )
7 cm
. Diện
tích xung quanh của hình trụ là:
A.
( )
2
60 cm
. B.
( )
2
35 cm
. C.
( )
2
120 cm
. D.
( )
2
70 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh hình trụ:
( )
2
2 2 .5.7 70 cm
xq
S rh
= = =
.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng
2 3 4
:
2 3 5
− − +
==
−
x y z
d
và
1 4 4
:
3 2 1
+ − −
==
−−
x y z
d
.
A.
1
1 1 1
−
==
x y z
. B.
2 2 3
2 2 2
− + −
==
x y z
.
C.
23
2 3 1
−−
==
−
x y z
. D.
2 2 3
2 3 4
− − −
==
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Md
suy ra
( )
2 2 ;3 3 ; 4 5+ + − −M m m m
. Tương tự
Nd
suy ra
( )
1 3 ;4 2 ;4− + − −N n n n
.
Từ đó ta có
( )
3 3 2 ;1 2 3 ;8 5= − + − − − − +MN n m n m n m
.
Mà do
MN
là đường vuông góc chung của
d
và
d
nên
⊥
⊥
MN d
MN d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 3 2 3. 1 2 3 5 8 5 0
3 3 3 2 2. 1 2 3 1 8 5 0
− + − + − − − − + =
− + − − − − − − + =
n m n m n m
n m n m n m
38 5 43
5 14 19
− + =
− + =
mn
mn
1
1
=−
=
m
n
.
Suy ra
( )
0;0;1M
,
( )
2;2;3N
.
Ta có
( )
2;2;2=MN
nên đường vuông góc chung
MN
là
1
1 1 1
−
==
x y z
.
Câu 37: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đáy bằng
a
và diện tích xung quanh
2
2
xp
Sa
=
. Tính
thể tích
V
của khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
( )
N
và
đỉnh
S
trùng với đỉnh của khối nón
( )
N
.
A.
3
23
3
a
V =
. B.
3
23Va=
. C.
3
25
3
a
V =
. D.
3
22
3
a
V =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang 110
Ta có: Diện tích xung quanh
2
2
xp
Sa
=
2
2rl a

=
2la=
22
3h l r a = − =
.
Đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
( )
N
có bán kính đáy bằng
a
2AB a=
.
Vậy:
3
1 2 3
33
ABCD
a
V S h==
.
Câu 38: Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm
O
. Gọi
X
là tập hợp
tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất
P
để chọn được một tam
giác từ tập
X
là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
A.
7
816
P =
. B.
21
136
P =
. C.
23
136
P =
. D.
144
136
P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là
3
18
()n X C=
.
Ký hiệu đa giác là
1 2 18
...A A A
nội tiếp đường tròn
()O
, xét đường kính
1 10
AA
khi đó số tam giác
cân có đỉnh cân là
1
A
hoặc
10
A
là
2x8 16=
; Mà có tất cả là 9 đường kính do vậy số tam giác cân
có các đỉnh là đỉnh của đa giác là
9x16 144=
.
Ta lại có số tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là
6
.
Vậy xác suất
P
để chọn được một tam giác từ tập
X
là tam giác cân nhưng không phải tam giác
đều là
3
18
144 6 23
136
P
C
−
==
.
Câu 39: Cho lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a=
,
3AD a=
. Hình chiếu vuông góc của
1
A
lên
( )
ABCD
trùng với giao điểm của
AC
và
BD
.
Tính khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
( )
1
A BD
.
A.
2
a
. B.
3
6
a
. C.
3
2
a
. D.
3a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 111
D
1
C
1
B
1
O
B
D
C
A
A
1
H
Ta có
1
BA
đi qua trung điểm của
1
AB
nên
( )
( )
( )
( )
1 1 1
,,d B A BD d A ABD=
.
Kẻ
AH BD⊥
tại
H
.
Ta có
AH BD⊥
và
1
AH AO⊥
nên
( )
( )
1
,AH d A A BD=
.
Ta có
222
1 1 1 3
2
a
AH
AH AB AD
= + =
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
R
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( )
3 2 2
3 2 3f x x m m− + = −
có nghiệm thuộc nửa
khoảng
)
1;3
là
A.
( )
)
1; 2 4; +
. B.
(
( )
; 1 2;4− −
.
C.
(
)
1;1 2;4−
. D.
) (
1;1 2;4−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
32
32t x x= − +
.
Vì
1 3 2 2xt −
.
Phương trình
( )
( )
3 2 2 2
3 2 3 3f x x m m f t m m− + = − = −
với
)
2;2t −
.
Trang 112
Phương trình có nghiệm
2
2
2
3 2 0 1 1
2 3 4
24
3 4 0
m m m
mm
m
mm
− + −
− −

− −
.
Câu 41: Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục, nhận giá trị dương trên
( )
0; +
và thỏa mãn
( )
11f =
,
( ) ( )
31f x f x x= +
, với mọi
0x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
2 5 3f
. B.
( )
4 5 5f
.
C.
( )
3 5 4f
. D.
( )
1 5 2f
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( )
31f x f x x= +
( )
( )
( )
( )
11
dd
3 1 3 1
f x f x
xx
f x f x
xx

= =
++

( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
d
1
3 1 d 3 1
3
fx
xx
fx
−
= + +

( )
2
ln 3 1
3
f x x C = + +
( )
2
31
3
e
xC
fx
++
=
.
Khi đó
( )
4
3
4
1 1 e 1
3
C
fC
+
= = = −
( )
24
31
33
e
x
fx
+−
=
( ) ( )
4
3
5 e 3,79 3; 4f =
.
Vậy
( )
3 5 4f
.
Chú ý: Các bạn có thể tính
d
31
x
x +
bằng cách đặt
31tx=+
.
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( )
31f x f x x= +
( )
( )
1
31
fx
fx
x
=
+
( )
( )
55
11
1
dd
31
fx
xx
fx
x
=
+

( )
( )
( )
5
1
d
4
3
fx
fx
=
( )
5
1
4
ln
3
fx=
( )
( )
5
4
ln
13
f
f
=
( ) ( ) ( )
4
3
5 1 .e 3,79 3; 4ff =
.
Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình:
( )( )
1 2 1
3 2 4 8 0
x x x++
+ - £
A.
[ )
4;+¥
. B.
1
;
4
éö
÷
ê
- + ¥
÷
÷
ê
ø
ë
. C.
1
;
4
æù
ç
ú
- ¥ -
ç
ç
ú
è
û
. D.
( ]
;4-¥
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )( )
1 2 1 1 2 1
3 2 4 8 0 4 8 0
x x x x x+ + + +
+ - £ Û - £
( ) ( )
33
2 2 2 2
4.2 8. 2 0 2. 2 2 0(*)
x x x x
Û - £ Û - + £
Đặt
2
2 , 0
x
tt=>
, suy ra bpt trở thành:
3
2
0
2
2. 0
2
2
t
tt
t
é
ê
- £ £
ê
ê
- + £ Û
ê
ê
³
ê
ë
Giao với Đk
0t >
ta được:
2
2
t ³
Û
1
22
2
2 1 1
2 2 2 2
2 2 4
xx
xx
-
³ Û ³ Û ³ - Û ³ -
Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là
1
;
4
T
éö
÷
ê
= - + ¥
÷
÷
ê
ø
ë
.
Trang 113
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật
AB a=
và
2AD a=
, cạnh
bên
SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
biết góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
ABCD
bằng
0
60
.
A.
3
4 15
15
a
V =
. B.
3
15
6
a
V =
. C.
3
15
3
a
V =
. D.
3
15
15
a
V =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Kẻ
AE BD⊥
( ) ( )
(
)
0
, 60SBD ABCD SEA==
Xét
ABD
vuông tại
A
2
22
. 2 2 5
5
5
AD AB a a
AE
a
AD AB
= = =
+
Xét
SAE
vuông tại
A
0
2 5 2 15
.tan60 . 3
55
aa
SA AE= = =
Khi đó thể tích
.S ABCD
3
2
1 1 2 15 4 15
. . .2
3 3 5 15
ABCD
aa
V SAS a= = =
.
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
2
điểm
( ) ( )
1;2;3 , 2;4;4MA
và hai
mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z+ − + =
,
( )
: 2 4 0.Q x y z− − + =
Viết phương trình đường thẳng
đi
qua
M
, cắt
( ), ( )PQ
lần lượt tại
,BC
sao cho tam giác
ABC
cân tại
A
và nhận
AM
làm đường
trung tuyến.
A.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−−
. B.
1 2 3
2 1 1
x y z− − −
==
−
.
C.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−
. D.
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điểm
B
thuộc mặt
()P
nên
( )
2 1; ;B c b b c−−
vì
( )
1;2;3M
là trung điểm
BC
nên
( )
3 2 ;4 ;6C c b b c− + − −
. Do
C
thuộc mặt
(Q)
nên
3 7 0 3 7c c c b− − = = −
. Khi đó
(5 15; ;3 7)B b b b−−
,
( 5 17;4 ;13 3 )C b b b− + − −
.
( 10 32; 2 4; 6 20)BC b b b− + − + − +
.
ABC
cân tại
A
nên
. 0 20 60 0 3 (0;3;2).BC AM b b B= − = =
Đường thẳng
đi qua
(1;2;3)M
và
Trang 114
(0;3;2)B
có phương trình là
1 2 3
1 1 1
x y z− − −
==
−
.
Câu 45: Tính modun của số phức
w b ci=+
,
,bc
biết số phức
8
7
12
1
ii
i
−−
−
là nghiệm của
phương trình
2
0z bz c+ + =
.
A.
22
. B.
2
. C.
32
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+) Đặt
8
7
12
1
o
ii
z
i
−−
=
−
, ta có
( )
( )
( )
4
4
82
3
72
11
.
ii
i i i i
= = − =
= = −
( )
2
21
1 1 2 2
1
1 1 1
o
ii
ii
zi
i i i
−−
− − −
= = = = − −
+ + −
.
+)
o
z
là nghiệm của đa thức
( )
2
P z z bz c= + +
o
z
là nghiệm còn lại của
( )
Pz
.
+) Ta có:
22
oo
b
z z b b
a
+ = − = − = − =
.
( )( )
. 1 1 2
oo
c
z z i i c c
a
= − − − + = =
22
2 2 2 2 2 2w i w = + = + =
.
Câu 46: Cho số phức
z
thoả mãn
1 i
z
+
là số thực và
2zm−=
với
m
. Gọi
0
m
là một giá
trị của
m
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
A.
0
3
;2
2
m



. B.
0
3
1;
2
m



. C.
0
1
;1
2
m



. D.
0
1
0;
2
m



.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử
,z a bi=+
( )
,ab
.
Đặt:
1 i
w
z
+
==
1 i
a bi
+
+
( )
22
1
a b a b i
ab
= + + −


+
2 2 2 2
a b a b
i
a b a b
+−
=+
++
.
w
là số thực nên:
( )
1ab=
.
Mặt khác:
2a bi m− + =
( ) ( )
2
22
22a b m − + =
.
Thay
( )
1
vào
( )
2
được:
( )
2
22
2a a m− + =
( )
22
2 4 4 0 3a a m − + − =
.
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT
( )
3
phải có nghiệm
a
duy nhất.
0
=
( )
2
4 2 4 0m − − =
2
2m=
3
1;
2
2m
=


.
Trình bày lại
Giả sử
,z a bi=+
vì
nên
22
0ab+
( )
*
.
Đặt:
1 i
w
z
+
==
1 i
a bi
+
+
( )
22
1
a b a b i
ab
= + + −


+
2 2 2 2
a b a b
i
a b a b
+−
=+
++
.
w
là số thực nên:
( )
1ab=
.Kết hợp
( )
*
suy ra
0ab=
.
Mặt khác:
2a bi m− + =
( ) ( )
2
22
22a b m − + =
.
Trang 115
Thay
( )
1
vào
( )
2
được:
( )
2
22
2a a m− + =
( )
22
2 4 4 0g a a a m = − + − =
( )
3
.
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT
( )
3
phải có nghiệm
0a
duy nhất.
Có các khả năng sau :
KN1 : PT
( )
3
có nghiệm kép
0a
ĐK:
( )
2
2
0
20
2
00
40
m
m
g
m
=
−=

=

−
.
KN2: PT
( )
3
có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
0a =
ĐK:
( )
2
2
0
20
2
00
40
m
m
g
m

−

=

=
−=
.
Từ đó suy ra
0
3
2 1;
2
m

=


.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
0 2023x
và
( )
5
log 5 3 1255
y
xxy−= −+
?
A.
4
. B.
6
. C.
2
. D.
1010
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
3
55
51l logog 5 3 1 325 15
yy
x x y x x y + + =+= +++ +
Đặt
( )
5
log 1 5 1
t
t x x= + Þ = -
.
Khi đó:
( )
3
5
1 log 1 3 5
y
x x y+ + + = +
3
5 3 5
ty
tyÛ + = +
.
Xét hàm đặc trưng:
( )
5
v
f v v=+
.
( )
1 5 ln5 0
v
fv
¢
Þ = + >
nên hàm số
( )
5
v
f v v=+
đồng biến trên
¡
.
Do đó:
3
5 3 5
ty
ty+ = +
3tyÛ-
( )
5
log 1 3xyÛ + =
3
15
y
xÛ + =
1 125
y
xÛ + =
.
Theo giả thiết:
y
125
0 x 2023 1 x 1 2024 1 125 2024 0 y log 2023 1,58 +
Chọn
00yx= Þ =
và
1 124yx= Þ =
.
Vậy có 2 cặp số nguyên
( )
;xy
là
( )( )
0;0 ; 1;124
thỏa mãn.
Câu 48: Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
và
đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 2 2 4 0x y z
+ − − =
và
( )
:2 2 1 0x y z
− − + =
. Đường thẳng
cắt mặt cầu
( )
S
tại hai điểm phân biệt
,AB
thỏa mãn
8AB =
khi:
A.
12m =
. B.
10m =−
. C.
12m =−
. D.
5m =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình
( )
2 2 2
: 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
là phương trình mặt cầu
13m
.
Khi đó
( )
S
có tọa độ tâm
( )
2;3;0I −
bán kính
13Rm=−
.
Gọi
( )
;;M x y z
là điểm bất k thuộc
.
Trang 116
Tọa độ
M
thỏa mãn hệ:
2 2 4 0
2 2 1 0
x y z
x y z
+ − − =
− − + =
.
Đặt
yt=
ta có:
2 4 2
2 1 2
x z t
x z t
− = −
− = − +
23
32
xt
zt
= − +
= − +
có phương trình tham số:
22
32
xt
yt
zt
= − +
=
= − +
.

đi qua điểm
( )
2;0; 3N −−
và có vectơ chỉ phương
( )
2;1;2u
.
B
A
C
I
Giả sử mặt cầu
( )
S
cắt
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho
8AB =
.Gọi
( )
C
là đường tròn lớn
chứa đường thẳng
. Khi đó
2 2 2 2
13 4 3IC R AC m m= − = − − = − −
.
( )
0; 3; 3IN = − −
,
,IN u


( )
3; 6;6= − −
,9IN u

=

,
3u =
.
( )
,
,3
IN u
dI
u


= =
.
Vậy mặt cầu
( )
S
cắt
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho
8AB =
.
3 9 12mm − − = = −
.
Câu 49: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
¡
và
( )
0 0,f <
đồng thời đồ thị hàm số
( )
y f x
¢
=
như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
g x f x=
là
A.
4.
. B.
3.
. C.
1.
. D.
2.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị, ta có
( )
( )
2
0.
1 nghiem kep
x
fx
x
é
=-
ê
¢
=Û
ê
=
ë
Bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
Trang 117
Xét
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
theo BBT
2
1 nghiem kep
0
2 ; 0 .
2
0
0
fx
x
x
fx
g x f x f x g x
x a a
fx
x b b
é
=-
ê
ê
é
=
¢
=
ê
ê
¢ ¢ ¢
= = Û ¬ ¾ ¾ ¾ ¾®
ê
ê
= < -
=
ê
ê
ë
ê
ê
=>
ë
Bảng biến thiên của hàm số
( )
gx
Vậy hàm số
( )
gx
có
3
điểm cực trị.
Chú ý: Dấu của
( )
gx
¢
được xác định như sau: Ví dụ chọn
( )
0 2;xb= Î -
( )
( )
theo do thi '
0 0 0.
fx
xf
¢
= ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® >
( )
1
Theo giả thiết
( )
0 0.f <
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2,
suy ra
( )
00g
¢
<
trên khoảng
( )
2; .b-
Nhận thấy
2; ; x x a x b= - = =
là các nghiệm đơn nên
( )
gx
¢
đổi dấu khi qua các nghiệm này.
Nghiệm
1x =
là nghiệm kép nên
( )
gx
¢
không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên
ta bỏ qua nghiệm
1x =
vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của
( )
.gx
¢
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
42
( 0)y f x ax bx c a= = + + >
có đồ thị (C), đồ thị hàm số
( )
'y f x=
như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số
( )
'y f x=
đạt cực tiểu tại điểm
3 8 3
;
39
æö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. Đồ
thị hàm số
( )
y f x=
tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích
S
của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
x
y
1
1
A.
7
.
15
. B.
14
.
15
. C.
8
.
15
. D.
16
.
15
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ đồ thị của hàm số
( )
'y f x=
và
0a>
ta dễ dàng có được đồ thị hàm số
( )
'y f x=
như
sau:
Trang 118
Ta có
( )
3
' 4 2f x ax bx=+
. Đồ thị hàm số
( )
'y f x=
đi qua
( )
3 8 3
1;0 , ;
39
æö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ta tìm được
( ) ( )
3 4 2
1; 2 ' 4 4 2a b f x x x f x x x C= = - Þ = - Þ = - +
.
Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên
( )
' 0 0; 1f x x x= Û = = ±
. Do (C) đối xứng qua trục tung
nên (C)tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
( )( )
1;0 , 1;0-
.
Do đó:
( ) ( )
42
0 1 1 2 1.f C f x x x= Þ = Þ = - +
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C)với trục hoành:
42
2 1 0 1.x x x- + = Û = ±
1
42
1
16
2 1 .
15
S x x dx
-
= - + =
ò
| 1/118
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 1 MÔN TOÁN Câu 1:
Cho số phức z = 1− 2i . Tính z .
A. z = 5
B. z = 5
C. z = 2 D. z = 3 Câu 2:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) có phương trình: 2 2 2
x + y + z − 2x − 4 y + 4z − 7 = 0 . Xác
định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu(S ): A. I ( 1 − ; 2 − ;2); R = 3. B. I (1;2; 2 − ); R = 2 . C. I ( 1 − ; 2 − ;2); R = 4. D. I (1;2; 2 − ); R = 4. x − 3 Câu 3:
Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y = x +1 A. Điểm ( P 1; 1 − ) .
B. Điểm N(1; 2 − ) .
C. Điểm M (1;0) . D. Điểm ( Q 1;1) . Câu 4:
Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích 2
16 a quanh một trong những đường kính, ta được
khối tròn xoay có thể tích là 64 128 256 32 A. 3 a B. 3  a C. 3 a D. 3 a 3 3 3 3 Câu 5:
Nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 2x − 2023 là: 1 1 A. 4
x − 2023x + C . B. 4
4x − 2023x + C . C. 4 x + C . D. 3
4x − 2023x + C . 2 4 Câu 6:
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x( x − )( x + )2023 1 4 ,x
. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. 2 x +4 x  1  1 Câu 7: Bất phương trình   
có tập nghiệm là S = ( ;
a b) , khi đó b − a là?  2  32 A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 . Câu 8:
Cho khối chóp ( H ) có thể tích là 3
2a , đáy là hình vuông cạnh a 2 . Độ dài chiều cao khối chóp (H ) bằng. A. 3a . B. a . C. 4a . D. 2a . Câu 9:
Tập xác định của hàm số y = ( x − )2022 2023 1 là: A. (0;+ ) . B. 1;+ ) . C. (1;+ ) . D. .
Câu 10: Tính tổng các nghiệm của phương trình ( 2 log x − 3x + ) 1 = 9 − bằng A. −3 . B. 9 . C. 9 10− . D. 3 . 5 2 − 5
Câu 11: Cho hai tích phân f
 (x)dx =8 và g
 (x)dx = 3. Tính I =  f
  (x)−4g(x)−1dx  . 2 − 5 2 − A. I = 11 − . B. I = 13 . C. I = 27 . D. I = 3 .
Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5z là
A. w = 15 + 20i . B. w = 1 − 5 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
D. w = 15 − 20i . Trang 1
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x + y − z +1 = 0 . Vectơ nào sau đây không là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng ? A. n 4; 2; 2 − B. n 2 − ; 1 − ;1 C. n 2;1;1 D. n 2;1; 1 − 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( )
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = (2; 1 − ; ) 3 , b = (1;3; 2
− ) . Tìm tọa độ của
vectơ c = a − 2b .
A. c = (0;− 7;7) . B. c = (0;7;7).
C. c = (0;− 7;− 7) .
D. c = (4;− 7;7) .
Câu 15: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của z bằng A. 4 . B. 4 − . C. 3 − . D. 3 . 1− 4x
Câu 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . 2x −1 1 A. y = 2. B. y = 4. C. y = . D. y = 2 − . 2
Câu 17: Với a là số thực dương tùy ý, log 5a bằng 5 ( ) A. 5 + log a .
B. 5 − log a . C. 1+ log a . D. 1− log a . 5 5 5 5
Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y = 2x + 6x − 2 B. 3 2
y = x + 3x − 2 C. 3 2
y = −x − 3x − 2 D. 3 2
y = x − 3x − 2 x −1 y + 2 z − 3
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = . Hỏi d đi 3 4 − 5 −
qua điểm nào trong các điểm sau: A. C ( 3 − ;4;5).
B. D(3;− 4;− 5) . C. B ( 1 − ;2;−3) .
D. A(1;− 2;3) .
Câu 20: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 ? A. 5 A . B. P . C. 5 C . D. P . 6 6 6 5
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a và
AA = a 3 . Thể tích khối lăng trụ AB . C A BC   bằng 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 3a 3 . C. . D. . 2 2 6
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2 3 e x f x − = . A. ( ) 2 3 2.e x f x −  = . B. ( ) 2 3 2.e x f x −  = − . C. ( ) 3 2.ex f x −  = . D. ( ) 2 3 e x f x −  = . Trang 2
Câu 23: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2 − ; 2) . B. ( ; − 0). C. (0; 2) . D. (2; + ) .
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5(cm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7(cm) . Diện tích
xung quanh của hình trụ là A. ( 2 35π cm ) B. ( 2 70π cm ) C. ( 2 120π cm ) D. ( 2 60π cm ) 10 6
Câu 25: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;10 thỏa mãn f
 (x)dx = 7 , f
 (x)dx = 3. Giá trị 0 2 2 10 P = f
 (x)dx+ f  (x)dx là 0 6 A. 10. B. 4. − C. 4. D. 7.
Câu 26: Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 1. Khi đó u bằng n ) 1 3 A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x f x + x là x 2 2 x 2x 2 x 2 x A. + + C . B. 2
2x + x + C . C. + x + C . D. 2 + + C . ln 2 2 ln 2 2
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x = 1 . B. x = 1 − . C. x = 2 . D. x = 3 − . 9
Câu 29: Trên đoạn 1; 
5 , hàm số y = x +
đạt giá trị lớn nhất tại điểm x A. x = 5. B. x = 3. C. x = 2 . D. x = 1 .
Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? 1 A. y = . B. 4 3
y = y = - x - 2x - 9x . x Trang 3 C. 3 y = 1- x . D. y = 1- x .
Câu 31: Cho log x = 3,log x = 4 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log . x a b ab
A. P = 12
B. P = 12
C. P = 7 D. P = 1 7 12 12 a
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) 3 , SA =
, tam giác ABC đều 2
cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 60 . 2 2
Câu 33: Cho 4 f
 (x)−2xdx =1 
. Khi đó f (x)dx  bằng: 1 1 A. 1. B. −3 . C. 3 . D. 1 − .
Câu 34: Cho điểm M (1;2;5) . Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M cắt các trục tọa độ O , x O , y Oz tại , A , B C
sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng ( P) là x y z x y z
A. x + y + z −8 = 0 .
B. x + 2y + 5z −30 = 0 . C. + + = 0. D. + + =1. 5 2 1 5 2 1
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z (1+ 2i) = 4 − 3i . Phần thực của số phức z bằng 2 2 11 11 A. − . B. . C. . D. − . 5 5 5 5
Câu 36: Một hình lăng trụ đứng AB . C A BC
 có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB = , a AA = 2 . a
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A BC) là: 2a 5 a 5 3a 5 A. 2a 5 . B. . C. . D. . 5 5 5
Câu 37: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính
xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có
một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 8 99 3 99 A. . B. . C. . D. . 11 667 11 167 Trang 4
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2; −3) ; B(−1; 4;1) và đường thẳng x + 2 y − 2 z + d = = 3 :
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung 1 −1 2
điểm của đoạn AB và song song với d ? x y − 1 z + 1 x y − 1 z + 1 A. = = B. = = 1 1 2 1 −1 2 x − 1 y − 1 z + 1 x y − 2 z + 2 C. = = D. = = 1 −1 2 1 −1 2 x x 1 +
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 1 (3 − 9)(3 − ) 3
−1  0 chứa bao nhiêu số nguyên ? 27 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 40: Cho hàm số f (x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g (x)= f ( f (x)). Hỏi phương trình g (
¢ x)= 0 có mấy nghiệm thực phân biệt? A. 14 . B. 10 . C. 8 . D. 12 .
Câu 41: Cho hàm số f ( x) có f ( ) 1 0 = và f ( x) 2 = sin3 . x cos 2 , x x
  . Biết F (x) là nguyên hàm 21   
của f ( x) thỏa mãn F (0) = 0 , khi đó F   bằng  2  137 137 247 167 A. . B. − . C. . D. . 441 441 441 882
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC) . Mặt phẳng (SBC) cách A
một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 0
30 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 8a 3 8a 3 3a 3 4a A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 z − (m + ) 2 2
1 z + m = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn z = 7? 0 0 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . x + 1 y −1 z − 2
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1; )
3 và đường thẳng d : = = . Đường 1 2 − 2
thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là. x = 2tx = 2 + 2tx = 2 + 2tx = 2t     A. y = 3 − + 4t
B. y = 1 + t
C. y = 1 + 3t
D. y = −3 + 3t     z = 3tz = 3 + 3tz = 3 + 2tz = 2t Trang 5
Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , điểm M ( ;
x y) biểu diễn nghiệm của bất phương trình lo + + = +
. Có bao nhiêu điểm M có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm O bán 3 g (9 18) 3y x x y kính R = 7 ? A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 49 . x + 2 y +1 z
Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 3 − 1
(S) (x − )2 +( y + )2 +(z + )2 : 2 1 1
= 6 . Hai mặt phẳng (P),(Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi ,
A B là tiếp điểm và I là tâm của mặt cầu (S ) . Giá trị cos AIB bằng 1 1 1 1 A. − . B. . C. − . D. . 9 9 3 3
Câu 47: Cho các hàm số y = f ( x) y = f ( f ( x)) y = f ( 2 ; ; x + 2x − )
1 có đồ thị lần lượt là (C ; C ; C . 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Đường thẳng x = 2 cắt (C ; C ; C lần lượt tại , A ,
B C . Biết phương trình tiếp tuyến của 1 ) ( 2 ) ( 3 )
(C tại A và của (C tại B lần lượt là y = 2x+3 và y =8x+5. Phương trình tiếp tuyến của 2 ) 1 )
(C tại C là 3 )
A. y = 8x −9.
B. y =12x + 3 .
C. y = 24x − 27 .
D. y = 4x +1.
Câu 48: Cho hàm số bậc bốn ( ) 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + a có đồ thị hàm số y = f '( x) là đường cong như hình vẽ sau:
Hàm số y = f ( x − ) f ( 2 2 1
x − 2x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 7. C. 4. D. 1.
Câu 49: Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho
MC = 2MB ; N , P lần lượt là trung điểm của BD và AD . Gọi Q là giao điểm của AC và
(MNP). Thể tích khối đa diện ABMNPQ bằng 7 2 13 2 2 11 2 A. . B. . C. . D. . 216 432 36 432
Câu 50: Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O , phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật ABCD ;
hình vuông MNPQ có cạnh MN = 2 (m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh O như
hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/ 2
m và phần còn lại là 250.000 đồng/ 2 m
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? Trang 6 A. 3.439.000 đồng. B. 3.628.000 đồng. C. 3.580.000 đồng. D. 3.363.000 đồng.
---------- HẾT ---------- ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.D 16.D 17.C 18.B 19.D 20.A 21.C 22.A 23.C 24.B 25.C 26.C 27.A 28.B 29.D 30.C 31.B 32.C 33.A 34.B 35.A 36.B 37.B 38.B 39.B 40.B 41.A 42.A 43.B 44.A 45.B 46.A 47.C 48.B 49.B 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho số phức z = 1− 2i . Tính z .
A. z = 5
B. z = 5
C. z = 2 D. z = 3 Lời giải Ta có 2 2 z = 1 + ( 2 − ) = 5 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) có phương trình: 2 2 2
x + y + z − 2x − 4 y + 4z − 7 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu(S ) : A. I ( 1 − ; 2
− ;2); R = 3. B. I (1;2; 2 − ); R = 2 . C. I ( 1 − ; 2
− ;2); R = 4. D. I (1;2; 2 − ); R = 4. Lời giải Chọn D (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x − 4y + 4z − 7 = 0  a =1; b = 2 ; c = 2 − ; d = 7 − 2 2 2
R = a +b + c − d = 4; I (1;2; 2 − ). x − 3
Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y = x +1 A. Điểm ( P 1; 1 − ) .
B. Điểm N(1; 2 − ) .
C. Điểm M (1;0) . D. Điểm ( Q 1;1) .
Câu 4: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích 2
16 a quanh một trong những đường kính, ta
được khối tròn xoay có thể tích là 64 128 256 32 A. 3 a B. 3  a C. 3 a D. 3 a 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
Gọi R là bán kính đường tròn. Theo giả thiết, ta có 2 2
S =  R =16a R = 4a . Trang 7
Khi quay miếng bìa hình tròn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một hình cầu. 4 4 256
Thể tích hình cầu này là V =
  R =  (4a)3 3 3 = a . 3 3 3
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 2x − 2023 là: 1 1 A. 4
x − 2023x + C . B. 4
4x − 2023x + C . C. 4 x + C . D. 3
4x − 2023x + C . 2 4 Lời giải Chọn A 4 4 ( x x 3
2x − 2023)dx = 2. − 2023x + C = − 2023x + C . 4 2
Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x( x − )( x + )2023 1 4 ,x
. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D x = 0 
Ta có f ( x) = 0  x = 1  x = 4 − 
Bảng xét dấu f ( x) :
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng 1 điểm cực đại. 2 x +4 x  1  1
Câu 7: Bất phương trình   
có tập nghiệm là S = ( ;
a b) , khi đó b − a là?  2  32 A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C 2 x +4 x 5  1   1 
Bất phương trình tương đương 2 
x + 4x  5  5 −  x 1     .  2   2  Vậy S = ( 5 − ; )
1  b − a = 6 .
Câu 8: Cho khối chóp ( H ) có thể tích là 3
2a , đáy là hình vuông cạnh a 2 . Độ dài chiều cao khối chóp ( H ) bằng. A. 3a . B. a . C. 4a . D. 2a . Lời giải Chọn A 3 1 1 6a 2 3 V = . B h =
( 2a) = 2a h = = 3a . 2 3 3 2a Câu 9:
Tập xác định của hàm số y = ( x − )2022 2023 1 là: A. (0;+ ) . B. 1;+ ) . C. (1;+ ) . D. . Lời giải Trang 8 Chọn C 2022 Do  =
không nguyên nên hàm số xác định khi: x −1  0  x  1. 2023
Vậy tập xác định: D = (1;+ ) . Câu 10:
Tính tổng các nghiệm của phương trình ( 2 log x − 3x + ) 1 = 9 − bằng A. −3 . B. 9 . C. 9 10− . D. 3 . Lời giải Chọn D
Phương trình tương đương với 2 9 x 3x 1 10− − + = 2 9 x 3x 1 10−  − + − = 0. 9 5 4.10−  = +
 0 nên phương trình có hai nghiệm x và x phân biệt. 1 2
Ta có x + x = 3 . 1 2 5 2 − 5 Câu 11: Cho hai tích phân f
 (x)dx =8 và g
 (x)dx = 3. Tính I =  f
  (x)−4g(x)−1dx  . 2 − 5 2 − A. I = 11 − . B. I = 13 . C. I = 27 . D. I = 3 . Lời giải Chọn B Ta có: 5 5 2 − 5 I =  f
  (x)−4g(x)−1dx  = f
 (x)dx+4 g
 (x)dx− x =8+4.3−(5+2) =13. 2 − 2 − 2 − 5 Câu 12:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5z là
A. w = 15 + 20i . B. w = 1 − 5 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
D. w = 15 − 20i . Lời giải
Số phức w = 5z = 5(3− 4i) =15 − 20i Câu 13:
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x + y − z +1 = 0 . Vectơ nào sau đây
không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? A. n 4; 2; 2 − B. n 2 − ; 1 − ;1 C. n 2;1;1 D. n 2;1; 1 − 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( ) Lời giải Chọn C
Mặt phẳng () : 2x + y − z +1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n 2;1; 1 − , mà n 2 − ; 1 − ;1 = −n , 2 ( ) 1 ( ) 1 n 4; 2; 2
− = 2n nên n và n cũng là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 4 ( ) 1 2 2 Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = (2; 1 − ; ) 3 , b = (1;3; 2 − ) . Tìm
tọa độ của vectơ c = a − 2b .
A. c = (0;− 7;7) . B. c = (0;7;7).
C. c = (0;− 7;− 7) .
D. c = (4;− 7;7) . Trang 9 Lời giải Chọn A Ta có 2 − b = ( 2
− ;− 6;4) mà a = (2;−1;3)  c = (0;−7;7) . Câu 15:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của z bằng A. 4 . B. 4 − . C. 3 − . D. 3 . Lời giải
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = 3− 4i  Phần thực của z bằng 3. 1− 4x Câu 16:
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . 2x −1 1 A. y = 2. B. y = 4. C. y = . D. y = 2 − . 2 Lời giải Chọn D 4 − x +1 Ta có lim = 2
− . Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 − .
x→ 2x −1 Câu 17:
Với a là số thực dương tùy ý, log 5a bằng 5 ( ) A. 5 + log a .
B. 5 − log a . C. 1+ log a . D. 1− log a . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C
Ta có: log 5a = log 5 + log a = 1+ log a . 5 ( ) 5 5 5 Câu 18:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y = 2x + 6x − 2 B. 3 2
y = x + 3x − 2 C. 3 2
y = −x − 3x − 2 D. 3 2
y = x − 3x − 2 Lời giải Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số a  0 .
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A( 2 − ;2);B(0; 2 − ) .
Vậy chọn đáp án B. x −1 y + 2 z − 3 Câu 19:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = . 3 4 − 5 −
Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau: Trang 10 A. C ( 3 − ;4;5).
B. D(3;− 4;− 5). C. B( 1 − ;2;−3) .
D. A(1;− 2;3) . Lời giải Chọn D x − y + z − Đườ 1 2 3 ng thẳng d : = =
đi qua điểm A(1;− 2;3) . 3 4 − 5 − Câu 20:
Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 ? A. 5 A . B. P . C. 5 C . D. P . 6 6 6 5 Lời giải. Chọn A
Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 là một chỉnh
hợp chập 5 của 6 phần tử. Vậy có 5 A số cần tìm. 6 Câu 21:
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
AB = a và AA = a 3 . Thể tích khối lăng trụ AB . C A BC   bằng 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 3a 3 . C. . D. . 2 2 6 Lời giải Chọn C A' C' B' A C B 1 3 a 3
Thể tích khối lăng trụ là V =  2 = =    S .AA AB .AA . ABC.A B C ABC 2 2 Câu 22:
Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2 3 e x f x − = . A. ( ) 2 3 2.e x f x −  = . B. ( ) 2 3 2.e x f x −  = − . C. ( ) 3 2.ex f x −  = . D. ( ) 2 3 e x f x −  = . Lời giải Chọn A Ta có 
f ( x) = ( x − ) 2 x−3 2 x−3 2 3 .e = 2.e . Câu 23:
Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 11 A. ( 2 − ; 2) . B. ( ; − 0). C. (0; 2) . D. (2; + ) . Lời giải Chọn C
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2) . Câu 24:
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5(cm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7(cm) .
Diện tích xung quanh của hình trụ là A. ( 2 35π cm ) B. ( 2 70π cm ) C. ( 2 120π cm ) D. ( 2 60π cm ) Lời giải Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ S = 2πrh = 2π5.7 = 70π ( 2 cm ) . xq 10 6 Câu 25:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;10 thỏa mãn f
 (x)dx = 7 , f
 (x)dx = 3. Giá trị 0 2 2 10 P = f
 (x)dx+ f  (x)dx là 0 6 A. 10. B. 4. − C. 4. D. 7. Lời giải Chọn C 10 2 6 10 6 Ta có 7 = f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx+ f
 (x)dx nên P = 7− f (x)dx =  7 − 3 = 4 . 0 0 2 6 2 Câu 26:
Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 1. Khi đó u bằng n ) 1 3 A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C
Ta có u = u + 2d = 2 + 2.1 = 4 . 3 1 Câu 27: Nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x f x + x là x 2 2 x 2x 2 x 2 x A. + + C . B. 2
2x + x + C . C. + x + C . D. 2 + + C . ln 2 2 ln 2 2 Lời giải 2x x 1 Ta có (2 + x) 2 dx = + x + C . ln 2 2 Câu 28:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như sau Trang 12
Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x = 1 . B. x = 1 − . C. x = 2 . D. x = 3 − . Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta có hàm số đạt cực đai tai điểm x = 1 − . 9 Câu 29: Trên đoạn 1; 
5 , hàm số y = x +
đạt giá trị lớn nhất tại điểm x A. x = 5. B. x = 3. C. x = 2 . D. x = 1 . Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1;  5 .   9  9
Ta có: y = x + =1−   . 2  x x 9  x = 3 1;5 2    y = 0  1−
= 0  x − 9 = 0   . 2 x x = 3 −   1;5   f ( ) 1 = 10 
Có  f (3) = 6  max y = f ( ) 1 = 10 . 1;5   f ( ) 34 5 =  5 Câu 30:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? 1 A. y = . B. 4 3
y = y = - x - 2x - 9x . x C. 3 y = 1- x . D. y = 1- x . Lời giải Chọn C Hàm số 3 y = 1- x có 2
y ' = - 3x £ 0, " x Î R nên nghịch biến trên R . Câu 31:
Cho log x = 3, log x = 4 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log . x a b ab
A. P = 12
B. P = 12
C. P = 7 D. P = 1 7 12 12 Lời giải Chọn B P = x = 1 = 1 = 1 = 12 log ab log ab log a + log b 1 x x x + 1 7 3 4 Trang 13 a Câu 32:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) 3 , SA = , tam giác 2
ABC đều cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 60 . Lời giải Chọn C
Gọi M là trung điểm BC . a 3
ABC đều cạnh a nên AM ⊥ BC và AM = . 2
Ta có SA⊥( ABC)  Hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABC ) là AM .
Suy ra SM ⊥ BC (theo định lí ba đường vuông góc). Trang 14 (
SBC)( ABC) = BC
Có AM ( ABC ), AM ⊥ BC . Do đó góc giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC) là góc giữa SM và SM  
(SBC), SM ⊥ BC
AM , hay là góc SMA (do SA⊥( ABC)  SA⊥ AM SAM vuông). a 3 SA
Xét tam giác SAM vuông tại A có 2 0 tan SMA = = =1 SMA = 45 . AM a 3 2 Vậy góc cần tìm là 0 45 . 2 2 Câu 33: Cho 4 f
 (x)−2xdx =1 
. Khi đó f (x)dx  bằng: 1 1 A. 1. B. −3 . C. 3 . D. 1 − . Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 x 4 f
 (x)−2xdx =1 4 f
 (x)dx−2 xdx =1 4 f   (x) 2 dx − 2. = 1 2 1 1 1 1 1 2 2  4 f
 (x)dx = 4  f  (x)dx =1 1 1 Câu 34:
Cho điểm M (1;2;5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt các trục tọa độ O , x O , y Oz tại , A ,
B C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng (P) là x y z x y z
A. x + y + z −8 = 0 .
B. x + 2y + 5z −30 = 0 . C. + + = 0. D. + + =1. 5 2 1 5 2 1 Lời giải Cách 1 :
Ta có tính chất hình học sau : tứ diện OABC có ba cạnh O , A O ,
B OC đôi một vuông góc thì điểm
M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt
phẳng ( ABC ).
Do đó mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;5) và có véc tơ pháp tuyến OM (1;2;5).
Phương trình mặt phẳng (P) là (x − )
1 + 2( y − 2) + 5( z −5) = 0  x + 2y + 5z −30 = 0. Cách 2: Giả sử A( ; a 0;0); B(0; ;
b 0);C (0;0;c) Khi đó phương trình mặ x y z
t phẳng ( P) có dạng + + =1. a b c 1 2 5
Theo giả thiết ta có M (P) nên + + = 1( ) 1 . a b c Ta có AM = (1− ;
a 2;5); BC (0;− ;
b c); BM = (1;2 − ; b 5); AC (− ; a 0;c) AM.BC = 0 2b = 5c
Mặt khác M là trực tâm tam giác ABC nên    (2)  = a = 5 . 0 c BM AC Từ ( )
1 và (2) ta có a = 30; b =15;c = 6 . Trang 15 Phương trình mặ x y z t phẳng ( P) là +
+ =1  x + 2y + 5z − 30 = 0. 30 15 6 Câu 35:
Cho số phức z thỏa mãn z (1+ 2i) = 4 − 3i . Phần thực của số phức z bằng 2 2 11 11 A. − . B. . C. . D. − . 5 5 5 5 Lời giải 4 − 3i
(4−3i)(1− 2i) 2 − −11i −
Vì z (1+ 2i) = 4 − 3i nên z = = = 2 11 = − i . 1+ 2i 2 2 1 + 2 5 5 5 2 − 11 Suy ra z = + i . 5 5 2
Vậy phần thực của z là − . 5 Câu 36:
Một hình lăng trụ đứng AB . C A BC
 có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB = , a AA = 2 .
a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A BC) là: 2a 5 a 5 3a 5 A. 2a 5 . B. . C. . D. . 5 5 5 Lời giải Chọn B
Trong mặt phẳng ( A A
B) kẻ AH ⊥ A B  ( ) 1 . Ta có A
BC vu«ng t¹i B AB ⊥ BC
  BC ⊥ ( A A
B)  BC ⊥ AH (2). ABC.AB C  lµl¨ng trô ø
đ ng  AA ⊥ BC Từ ( )
1 và (2) suy ra AH ⊥ ( A AB)  d( , A ( A BC)) = AH. Trong AA
B vuông tại A có đường cao AH ta có 1 1 1 A . B AA . a 2a 2a 5 = +  AH = = = . 2 2 2 2 2 2 2 AH AB AA +  + 5 AB AA a 4a Câu 37:
Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10
tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong
đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 8 99 3 99 A. . B. . C. . D. . 11 667 11 167 Lời giải Trang 16
Số phần tử của không gian mẫu là: n() 10 = C . 30
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.
Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 C cách. 15
Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có 1 C cách. 3
Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 , có 4 C . 12 C .C .C 99 Vậy P ( A) 5 1 4 15 3 12 = = . 10 C 667 30 Câu 38:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2; −3) ; B(−1; 4;1) và x + 2 y − 2 z + đườ 3 ng thẳng d : = =
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi 1 −1 2
qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ? x y − 1 z + 1 x y − 1 z + 1 A. = = B. = = 1 1 2 1 −1 2 x − 1 y − 1 z + 1 x y − 2 z + 2 C. = = D. = = 1 −1 2 1 −1 2 Lời giải Chọn B
Trung điểm của AB là I (0;1; −1) x + 2 y − 2 z + r d = = 3 :
có VTCP là u(1; −1; 2) nên đường thẳng  cần tìm cũng có VTCP 1 −1 2 r u(1; −1; 2) . x y − 1 x + Suy ra phương trình đườ 1 ng thẳng  : = = − . 1 1 2 x x 1 + Câu 39:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 1 (3 − 9)(3 − ) 3
−1  0 chứa bao nhiêu số 27 nguyên ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B Điề + + u kiện x 1 x 1 3
−1 0  3 1 x  1 − . Ta có x = 1
− là một nghiệm của bất phương trình. x x 1 Với x  1
− , bất phương trình tương đương với 2 (3 − 9)(3 − )  0 . 27 t  3 − 1 Đặ  t 3x t =  0 , ta có 2 (t − 9)(t − )  1
0  (t − 3)(t + 3)(t − )  0  1 . Kết hợp 27 27   t  3 27 1 điều kiện 3x t =  0 ta được nghiệm  t  1 3   3x  3  3
−  x 1. Kết hợp điều 27 27 kiện x  1 − ta được 1
−  x 1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên. Trang 17 Câu 40:
Cho hàm số f (x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g (x)= f ( f (x)).
Hỏi phương trình g (
¢ x)= 0 có mấy nghiệm thực phân biệt? A. 14 . B. 10 . C. 8 . D. 12 . Lời giải Chọn B Ta có g ( ¢ x)= f (
¢ f (x)). f ( ¢ x) f é ( ¢ f (x))= 0 ê g ( ¢ x)= 0 Û ê f ê ( ¢ x)= 0 ë x
é = x , - 2 < x < - 1 f é (x)= x 1 ( 1 ) ê 1 ê ê ê x = 0 ê f ê (x)= 0 Có f ( ¢ x)= 0 Û ê ; f (
¢ f (x))= 0 Û ê x
ê = x , 1< x < 2 f ê (x)= x 2 ( 2 ) ê 2 ê x ê = 2 ë f ê (x)= 2 ë
Dựa vào đồ thị ta thấy:
f (x)= 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = - 2, x = 0, x = 2 , trong đó có 2 nghiệm trùng với nghiệm của f ( ¢ x)= 0.
f (x)= x có 3 nghiệm phân biệt x Î - 2;- 1 , x Î - 1;1 , x Î 2;+ ¥ . 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 1
f (x)= x có 1 nghiệm duy nhất x Î - ¥ ;- 2 . 6 ( ) 2
f (x)= 2 có 1 nghiệm duy nhất x Î - ¥ ;- 2 . 7 ( )
Cũng từ đồ thị có thể thấy các nghiệm x , x , x , x , x , x , x ,- 2,0, 2 đôi một khác nhau. 1 2 3 4 5 6 7 Vậy g (
¢ x)= 0 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt. Trang 18 Câu 41:
Cho hàm số f ( x) có f ( ) 1 0 = và f ( x) 2 = sin3 . x cos 2 , x x
  . Biết F (x) là 21   
nguyên hàm của f ( x) thỏa mãn F (0) = 0 , khi đó F   bằng  2  137 137 247 167 A. . B. − . C. . D. . 441 441 441 882 Lời giải Chọn A Ta có f ( x) 2 = sin3 . x cos 2 , x x
  nên f (x) là một nguyên hàm của f (x) . 1+ cos 4x sin 3x sin 3 . x cos 4x Có f   (x) 2 dx = sin 3 . x cos 2 d x x = sin 3 . x dx = dx + dx     2 2 2 1 1 = x x +  ( x − x) 1 1 1 sin 3 d sin 7 sin
dx = − cos 3x − cos 7x + cos x + C . 2 4 6 28 4 Suy ra f ( x) 1 1 1 = − cos3x − cos 7x +
cos x + C, x   . Mà f ( ) 1 0 =  C = 0 . 6 28 4 21 Do đó f (x) 1 1 1 = − cos3x − cos 7x + cos , x x   . Khi đó: 6 28 4        F − F   ( ) 2 = f  (x) 2 1 1 1 0 dx = − cos3x − cos 7x + cos x dx    2   6 28 4  0 0  2  1 1 1  137 = − sin 3x − sin 7x + sin x =   .  18 196 4  441 0     F = F ( ) 137 137 137 0 + = 0 + =    2  441 441 441 Câu 42:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC) . Mặt phẳng
(SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 0
30 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 8a 3 8a 3 3a 3 4a A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9 Lời giải
Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp (SBC) và mp ( ABC ) là 0 SIA = 30 . Trang 19
H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d ( ,
A (SBC)) = AH = a . AH
Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI = = 2a . 0 sin 30 3 4a
Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra 2a = xx = . 2 3 2 2  4a  3 4a 3
Diện tích tam giác đều ABC là S = . = . ABC    3  4 3 2a
Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra 0 SA = AI.tan 30 = . 3 2 3 1 1 4a 3 2a 8a Vậy V = .S .SA = . . = . S . ABC 3 ABC 3 3 3 9 Câu 43:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 z − (m + ) 2 2
1 z + m = 0 ( m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn z = 7? 0 0 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B 2 2 
 = (m +1) − m = 2m +1. 1 +) Nếu 
  0  2m +1 0  m  − , phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó z = 7  z = 7  2 0 0 .
Thế z = 7 vào phương trình ta được: 2
m −14m + 35 = 0  m = 7  14 (nhận). 0 Thế z = 7
− vào phương trình ta được: 2
m +14m + 63 = 0 , phương trình này vô nghiệm. 0 1 +) Nếu 
  0  2m +1 0  m  − , phương trình có 2 nghiệm phức z , z  thỏa z = z . 2 1 2 2 1 Khi đó 2 2 2 z .z = z
= m = 7 hay m = 7 (loại) hoặc m = 7 − (nhận). 1 2 1
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của m là m = 7  14 và m = 7 − . x + 1 y −1 z − 2 Câu 44:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1; )
3 và đường thẳng d : = = . 1 2 − 2
Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là. x = 2tx = 2 + 2tx = 2 + 2tx = 2t     A. y = 3 − + 4t
B. y = 1 + t
C. y = 1 + 3t
D. y = −3 + 3t     z = 3tz = 3 + 3tz = 3 + 2tz = 2tLời giải Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là  x + 1 y −1 z − 2 d : = =
có VTCP u = (1;− 2;2) . 1 2 − 2 Gọi M (0; ;
m 0) Oy , ta có AM = ( 2 − ;m −1;− 3)
Do  ⊥ d AM.u = 0  2 − − 2(m− ) 1 − 6 = 0  m = 3 − Trang 20x = 2t
Ta có  có VTCP AM = ( 2
− ;− 4;− 3) nên có phương trình y = 3 − + 4t . z = 3tCâu 45:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , điểm M ( ;
x y) biểu diễn nghiệm của bất phương trình lo + + = +
. Có bao nhiêu điểm M có tọa độ nguyên thuộc hình tròn 3 g (9 18) 3y x x y
tâm O bán kính R = 7 ? A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 49 . Lời giải Chọn B
Điều kiện: 9x +18  0  x  2 − . lo y y + + = +  + + + = + 3 g (9x 18) x y 3
log3 (x 2) x 2 y 3 Đặt t = log + 3 ( x 2) , t
Khi đó ta có: + 3t = + 3y t y ( ) * Ta thấy hàm số ( ) = +3x f x x đồng biến trên ( do ( ) =1+ 3 . x f x ln 3  0 x   ) Suy ra ( ) *  =  log + =  + = 3 ( 2) 2 3y t y x y x 2 2
x + y  49
Do M có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm O bán kính R = 7 nên  x, y  Khi đó 0 y 2 1
−  x  7 1 x + 2  9  3  3  3  y 0;1;  2
TH1: y = 0  x = 1 − ( thỏa mãn)
TH2: y =1 x =1( thỏa mãn)
TH3: y = 2  x = 7 ( loại)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là ( 1 − ;0),(1; ) 1 . x + 2 y +1 z Câu 46:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt 2 3 − 1 2 2 2
cầu (S ) : ( x − 2) + ( y + ) 1 + ( z + ) 1
= 6 . Hai mặt phẳng (P),(Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi ,
A B là tiếp điểm và I là tâm của mặt cầu (S ) . Giá trị cos AIB bằng 1 1 1 1 A. − . B. . C. − . D. . 9 9 3 3 Lời giải Chọn A Trang 21
Ta có (S ) có tâm mặt cầu I (2; 1 − ;− ) 1 , bán kính R = 6 . d ⊥ IA
Gọi K = d (IAB) . Ta có 
d ⊥ (IAB) nên K là hình chiếu vuông góc của I trên d . d ⊥ IB
Ta có K (2a − 2; 3
− a −1;a)d IK = (2a − 4; 3 − ; a a + ) 1 . 1  5 1 
Do IK.u = 0 14a = 7  a =  K 1 − ;− ; khi đó 3 6 IK = . d   2  2 2  2 IA 2 8 1 Ta có 2 cos AIK =
=  cos AIB = 2cos AIK −1 = −1 = − . IK 3 9 9 Câu 47:
Cho các hàm số y = f ( x) y = f ( f ( x)) y = f ( 2 ; ; x + 2x − )
1 có đồ thị lần lượt là
(C ; C ; C . Đường thẳng x = 2 cắt (C ; C ; C lần lượt tại , A ,
B C . Biết phương trình tiếp 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 ) ( 2 ) ( 3 )
tuyến của (C tại A và của (C tại B lần lượt là y = 2x + 3 và y = 8x +5. Phương trình tiếp tuyến 2 ) 1 )
của (C tại C là 3 )
A. y = 8x −9.
B. y =12x + 3 .
C. y = 24x − 27 .
D. y = 4x +1. Lời giải Chọn C
Ta có A(2; f (2)); B(2; f ( f (2)));C (2; f (7)) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C tại A là y = f (2)(x − 2) + f (2) = 2x +3 nên f (2) = 2 1 ) và f (2) = 7 .
Phương trình tiếp tuyến của (C tại B là y = f (2) f ( f (2))(x − 2) + f ( f (2)) = 8x +5 nên 2 )
f (7) = 4 và f (7) = 21.
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C tại C là y = 6 f (7)( x − 2) + f (7) = 24x − 27 . 3 ) Câu 48: Cho hàm số bậc bốn ( ) 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + a có đồ thị hàm số y = f '( x) là
đường cong như hình vẽ sau: Trang 22
Hàm số y = f ( x − ) f ( 2 2 1
x − 2x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 7. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B f ( x) 4 3 2
= ax +bx + cx + dx + a f (x) 3 2
= 4ax + 3bx + 2cx + d .
Dựa vào đồ thị hàm số f ( x) ta có lim f ( x) = +  4a  0  a  0. x→+
Hàm số f ( x) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 1
− ;0;1 nên ta có hệ phương trình sau: d = 0 d = 0    4
− a + 3b − 2c + d = 0  b  = 0  f (x) 4 2
= ax − 2ax + a = a ( 4 2 x − 2x + ) 1 .  
4a + 3b + 2c + d = 0 c = 2 − a  
Bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau:
Đặt g ( x) = f ( x − ) f ( 2 2 1 x − 2x) . 2x −1 = 1 − x = 0    f (2x − ) 1 = 0 2x −1 = 1 x = 1  
Ta có g ( x) = 0       .  f  ( 2 x − 2x) 2 = 0 x − 2x = 1 − x = 1+ 2   2
x − 2x =1 x =1− 2
Phương trình g (x) = 0 có bốn nghiệm nhưng đều là nghiệm bội chẵn.
Ta có lim g ( x) = lim g ( x) = + . Suy ra hàm số y = g ( x) có dạng như sau: x→+ x→−
Kết luận hàm số y = f ( x − ) f ( 2 2 1
x − 2x) có 7 điểm cực trị. Trang 23 Câu 49:
Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC
sao cho MC = 2MB ; N , P lần lượt là trung điểm của BD và AD . Gọi Q là giao điểm của AC và
(MNP) . Thể tích khối đa diện ABMNPQ bằng 7 2 13 2 2 11 2 A. . B. . C. . D. . 216 432 36 432 Lời giải Chọn B A Q P E B D N M C
Gọi E = MN CD .
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCD MB ND EC 1 EC EC . . =1 .1. =1 = 2. MC NB ED 2 ED ED
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EMC DE NM BC NM NM 1 . . =11. .3 =1  = . DC NE BM NE NE 3
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ACD QA EC PD QA QA 1 . . =1  .2.1 = 1  = . QC ED PA QC QC 2
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EQC DE PQ AC PQ PQ 1 . . =1  1. .3 = 1  = . DC PE AQ PE PE 3 V EP ED EN 3 1 3 9 Ta có E.NPD = . . = . . = . V EQ EC EM 4 2 4 32 E.QMC 9 23 V = VV = V . E.NPD E.QMC MCDNPQ E. 32 32 QMC
1 d (E,(ABC)).SCMQ VE.QMC 2 2 8 8 Lại có 3 = = 2. . = V = V . V 1 d ( E CMQ D ABC D ABC D,( ABC )) . . 3 3 9 9 . .S 3 CAB 23 8 23 13 13 2 13 2 Suy ra V = . V = VV = V = . = . MCDNPQ D. ABC D. 32 9 36 ABC ABMNPQ 36 ABCD 36 12 432 Câu 50:
Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O , phía trong được trang trí bởi hình chữ
nhật ABCD ; hình vuông MNPQ có cạnh MN = 2 (m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung Trang 24
đỉnh O như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/ 2
m và phần còn lại là 250.000 đồng/ 2
m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 3.439.000 đồng. B. 3.628.000 đồng. C. 3.580.000 đồng. D. 3.363.000 đồng. Lời giải Chọn A
Dựng hệ trục tọa độ Oxy và gọi các điểm , E F, ,
G H, I như hình vẽ. Ta tính diện tích phần
không tô màu ở góc phần tư thứ nhất.
Phương trình parabol đi qua ba điểm , O , A D là 2 y = x .   − + − +
Ta tìm được tọa độ điểm M ( ) 2 2 17 2 2 17 1;1 , A ;   2 4      1 1 2 − + 2 17 2 − + 2 17
Diện tích tam giác AEF : S = AE.AF = . . 2 −  . 1 2 2 4  2    1 1 2 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x , y = 0, x = 0, x = 1: S = x dx =  . 2 3 0
Diện tích hình thang cong AGHM : 2 − +2 17 2 3 − + 17  2 − + 2 17  2 ( 1 − + 17) 2 − + 2 17 2 S = +  
− x dx = − + . 3 2 4 3 6 1  
Phương trình đường thẳng IA: y = −x 17 − 4 + 2 .
Diện tích cung tròn nhỏ IA : Trang 25 2 − +2 17 2 S =  ( 2 4 − x + x 17 − 4 − 2 dx 4 ) 0   2 1 − + 17 2 1 − + 17 = − + 2arcsin   2  4   
Diện tích phần không tô màu:
S = 4(S + S + S + S 1 2 3 4 )   2 1 − + 17 ( 17 2 −13 2) 1 − + 17 10 = 8arcsin   + + 2 17 −  4  6 3    6,6 2 1 Diện tích hình tròn 2 S = .2 = 4 12,566. tron
Diện tích phần tô màu S = S − S  5,954 . mau tron Số tiền để sơn T = 300.000S + 250.000S  . 3 3 4 9.2 0 0 đồng. mau
---------- HẾT ----------
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 2 MÔN TOÁN x +1 y − 2 z Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , vectơ nào dưới 1 3 2 −
đây là vtcp của đường thẳng d ? A. u = ( 1 − ; 3 − ;2).
B. u = (1;3;2) . C. u = (1; 3 − ; 2 − ) . D. u = ( 1 − ;3; 2 − ) . Câu 2:
Với a là số thực tùy ý khác 0 , 2 log a bằng 4 1 A. log a . B. 2log a . C. log a . D. log a . 2 2 2 4 2 Câu 3:
Cho hai số phức z = 4 + i và w = 3
− + 2i . Số phức z − w bằng A. 7 − + i . B. 1+ 3i . C. 1− 2i . D. 7 − i . Câu 4:
Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là A. 8 A . B. 2 10 . C. 2 A . D. 2 C . 10 10 10 Câu 5:
Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 2x − 4y + 2z = 0 có tọa độ tâm I và bán kính R là A. I (1;− 2; ) 1 ; R = 6 . B. I ( 1 − ;2; − ) 1 ; R = 6 . C. I ( 1 − ;2; − ) 1 ; R = 6 . D. I (1;− 2; ) 1 ; R = 6 . u = 1 u = 8 − u Câu 6:
Cho cấp số nhân (u có 1 , 4 . Giá trị của 10 bằng n ) A. 1024 − . B. 1024 . C. 512 − . D. 512 . Câu 7:
Trong không gian Oxyz , véc tơ nào sau đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng x = 3 + t
 : y = −1+ t ? z = 2− 2tA. u = 3; 1 − ;2 . B. u = 1;1; 2 . C. u = 1 − ; 1 − ;2 . D. u = 1;1;1 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Trang 26 dxCâu 8: 4 − 2x bằng 1 1 1 A.
ln 4 − 2x + C .
B. ln 4 − 2x + C .
C. − ln 4 − 2x + C . D. ln 4 − 2x + C . 2 2 4 Câu 9:
Trong không gian Oxyz , đường thẳng  đi qua hai điểm A(1;2; ) 3 , B( 1 − ;3;4) có phương trình là x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 2 1 1 2 1 − 1 x −1 y − 2 z − 3 x +1 y + 2 z + 3 C. = = . D. = = . 2 − 1 1 2 − 1 1
Câu 10: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình bên? y x O A. 4 2
y = −x + 2x −1. B. 4 2
y = x − 2x −1. C. 3 2
y = −x + 3x −1. D. 3 2
y = x − 3x −1 .
Câu 11: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  3 − ; 
3 có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x 3 − 2 − 1 3 f ( x) + − 0 +
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 − .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 − .
Câu 12: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2) B. (0;3) . C. (0;+ ) . D. ( 1 − ;3).
Câu 13: Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. 3 4 x dx = x + CB. 3 4
x dx = x + C  . C. 3 4 x dx = x + C  . D. 3 2
x dx = 3x + C  . 3 4
Câu 14: Nghiệm của phương trình 3x 1 2 + =16 là 5 A. x = 1 B. x = 1 − . C. x = 3. D. x = . 3
Câu 15: Nghiệm của phương trình log 4x = 3 là 2 ( ) 3 9 5 A. x = B. x = . C. x = 2 . D. x = . 2 4 4 Trang 27
Câu 16: Thể tích khối lập phương bằng 3
27a , độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng: 3a A. 3a . B. 9a . C. 3 3a . D. . 2
Câu 17: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy 2
S = 2a , chiều cao h = 6a là: A. 3 12a . B. 3 4a . C. 3 6a . D. 3 36a . x
Câu 18: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: 2 x −1 A. y =1. B. x = 1 . C. x = 1 − . D. y = 0. 3 3 3 f  (x)dx = −2 g  (x)dx = 4  f
 (x)− g(x)dxCâu 19: Nếu 1 và 1 thì 1 bằng: A. 2 . B. 6 . C. −6 . D. 2 − . ln 3 Câu 20: Tích phân 2 x e dx  bằng 0 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 2 x 1 + ln 3 ln 3 e ln 3 x 1 A. 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x e dx e + =  . B. e dx =  . C. 2 x 2 x e dx = e  . D. e dx = e  . 0 2x +1 0 2 0 0 0 0 0 0 2x + 4
Câu 21: Giao điểm của đồ thị hàm số y =
với trục hoành có tung độ bằng x −1 A. 4 − . B. 0 . C. 2 . D. 2 − .
Câu 22: Đạo hàm của hàm số 2 y = log x là 2 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . x ln 2 x ln 2 2 x ln 2 2 x ln 2
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(1;2;− )
3 và nhận vectơ n (2; 1 − ;3) làm
vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. x − 2y −3z + 9 = 0 .
B. x + 2y −3z −9 = 0 . C. 2x − y + 3z + 9 = 0 . D. 2x − y + 3z −9 = 0 .
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 5 − 2i có tọa độ là A. ( 2 − ;5). B. (5; 2 − ). C. (2;5) . D. (5;2) .
Câu 25: Số phức liên hợp của sô phức z = 5 + 8i là
A. z = 5 − 8i . B. z = 5 − +8i . C. z = 5 − −8i .
D. z = 8 − 5i .
Câu 26: Một đội thanh niên tình nguyện của trường gồm có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu
nhiên 4 học sinh để cùng các giáo viên tham gia đo thân nhiệt cho học sinh khi đến trường. Xác
suất để chọn được 4 học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ bằng 5 5 6 2 A. . B. . C. . D. . 66 11 11 33
Câu 27: Tìm số phức z biết (1− i) z + 3− 2i = 6 − 3i .
A. z = 3 − 2i .
B. z = 2 + i .
C. z = 7 + 2i .
D. z = 2 − 4i . 25
Câu 28: Với a là số thực dương tùy ý, log bằng 5 a 5 2
A. 2 − log a . B. . C. .
D. 5 − log a . 5 log a log a 5 5 5
Câu 29: Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 và chiều cao bằng 6 . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 6 . B. 24 . C. 8 . D. 12 . Trang 28 x −1 y + 3 z
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : =
= . Phương trình tham số của đường 2 1 − 3 thẳng d là x = −2 + tx = 1+ 2tx = 2 + tx = 1 − + 2t    
A. y = 1− 3t .
B. y = −3 − t . C. y = 1 − − 3t
D. y = 3 − t .     z = 3  z = 3tz = 3  z = 3t
Câu 31: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a 2 , mặt xung quanh của hình nón khi trải ra trên một mặt
phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng A. 2a . B. 2 2a . C. 4a . D. 4 2a .
Câu 32: Cho hàm số f ( x) = 2 x −1 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa mãn F (2) + F (0) = 5 . Khi đó F ( ) 3 + F ( 2 − ) bằng A. 4 . B. 1. C. 0 . D. 2 .
Câu 33: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 3
= −x + 9x − 2 trên đoạn 0;2 là A. 6 3 − 2 . B. 8 . C. 2 − . D. 2 3 + 5 .
Câu 34: Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a, AC = 3a và
AA = 2a . Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( A BC  ) bằng A. 0 45 B. 0 30 C. 0 60 D. 0 50
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA vuông góc với đáy, góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0
45 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng 6a 6a 2 6a 6a A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 x −1 y +1 z + 2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;3;4) và đường thẳng d : = = . Đường 2 1 − 2
thẳng  đi qua A cắt d và vuông góc với trục hoành có phương trình là x =1 x =1+ 2tx =1+ tx = 1    
A. y = 3 − t .
B. y = 3 − 5t .
C. y = 3 − t .
D. y = 3 + 2t .     z = 4 − 2tz = 4 − 4tz = 4 − 2tz = 4 + 3t
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình log
3.2x − 2  2x là 2 ( )  2  A. (1; 2) . B. log ;0  1; +  . 2  ( )  3  C. (− ;  ) 1 (2;+) . D. (− ;  0)(1;+) .
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn 3(z + i) − (2 − i) z = 3+10i . Môđun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Câu 39: Cho hàm số f ( x) 2 3
= x 2x +1 . Một nguyên hàm của hàm số xf (x) là 1 1 A. ( 3 7x + ) 3 1 2x +1 . B. ( 3 11x + ) 3 1 2x +1 . 9 9 1 1 C. ( 3 7x − ) 3 1 2x +1 . D. ( 3 11x − ) 3 1 2x +1 . 9 9
Câu 40: Cho hai hàm số ( ) 3
f x = ax + bx + c ; ( ) 3
g x = bx + ax + c , (a  0) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi 1
S , S là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S + S = 3 thì f ( x) dx  bằng 1 2 1 2 0 Trang 29 A. 3 . B. −3 . C. 6 . D. −6 .
Câu 41: Có bao nhiêu số phức z sao cho các số phức z , 2 z , 3
z lần lượt có các điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ tạo thành một tam giác đều? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 6 .
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2x − 2y − z +1 = 0 và hai đường thẳng x = −2 + tx = 2t  
d :  y = 2 + t , d :  y = 3 + t . Gọi  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt cả hai 1  2  z = −tz = 1 
đường thẳng d , d . Đường thẳng  có phương trình là 1 2 x − 6 y − 6 z −1 x − 5 y − 9 z + 7 A. = = . B. = = . 1 3 − 8 1 3 8 x − 6 y − 6 z −1 x − 5 y − 9 z + 7 C. = = . D. = = . 5 9 7 − 6 6 1
Câu 43: Cho hàm số f ( x) có đồ thị của đạo hàm như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x) = f ( x) 2 2
−sin x trên đoạn  1 − ;  1 bằng 1 1 A. f (− ) 2 1 − sin . B. f ( ) 2 2 − sin 1. C. f (0) . D. f ( ) 2 1 − sin . 2 2  1   1 
Câu 44: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên mỗi khoảng − ;  −  , − ;+ 
 đồng thời thỏa mãn  2   2   1  f ( x) 1 = x   −   , và f (− )
1 + 2 f (0) = 2ln 674 . Giá trị của biểu thức 2x +1  2  S = f ( 2 − )+ f ( ) 1 + f (4) bằng
A. 2ln 3 − ln 674 . B. ln 2023. C. 2ln 2022 . D. 3ln 3 . Trang 30
Câu 45: Cho khối lăng trụ đứng tứ giác ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa hai đườ a 3 2
ng thẳng AC và DC lần lượt bằng ;  với cos =
. Thể tích khối lăng trụ đã 7 4 cho bằng 3 a 21 3 a 7 3 a 15 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 6 2 2
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(10;0;0), B(0;10;0),C (0;0;10). Xét mặt phẳng ( P) thay đổi sao cho , A ,
B C nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ( P) và khoảng cách từ , A , B C đến
(P) lần lượt 10,11,12. Khoảng cách từ gốc tọa độ Ođến (P) có giá trị lớn nhất bằng: 33 + 365 33 − 7 6 33 − 365 33 + 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương a , (a  2023) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn (ln x + ) x x a e
e (1+ ln(xln a)) ? A. 2023. B. 2005 . C. 2008 . D. 2024 .
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;4;− )
1 , B (3; 2; 2) , C (0;3; 2 − ) và mặt phẳng
(): x− y +2z +1= 0 . Gọi M là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng ( ). Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức T = MA + MB + MC bằng A. 3 2 . B. 13 + 14 . C. 6 2 . D. 3 2 + 6 .
Câu 49: Cho hai hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d , g ( x) 2
= ax + bx + e( , a , b ,
c d, e  , a  0) có đồ thị lần
lượt là hai đường cong (C , (C ở hình vẽ bên. 2 ) 1 ) 8
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C , (C bằng . Tính f (2) − g (− ) 1 . 2 ) 1 ) 3
A. f (2) − g (− ) 1 = 2
− 6 . B. f (2) − g (− ) 1 = 2 − 4 .
C. f (2) − g (− ) 1 = 2
− 8. D. f (2) − g (− ) 1 = 3 − 0 .
Câu 50: Xét các số phức z = a + bi ( ,
a b  ) thỏa mãn z + 2 − 3i = 2 2 . Tính P = 2a + b khi
z +1+ 6i + z − 7 − 2i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 3 . B. P = 3 − . C. P =1.
D. P = 7 .
---------- HẾT ---------- ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.C 11.D 12.A 13.C 14.A 15.C 16.A 17.B 18.D 19.C 20.D 21.B 22.B 23.C 24.B 25.A 26.B 27.B 28.A 29.C 30.B Trang 31 31.B 32.C 33.A 34.A 35.C 36.D 37.B 38.C 39.C 40.B 41.C 42.A 43.C 44.C 45.D 46.D 47.C 48.D 49.C 50.B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x +1 y − 2 z
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , vectơ nào 1 3 2 −
dưới đây là vtcp của đường thẳng d ? A. u = ( 1 − ; 3 − ;2).
B. u = (1;3;2) . C. u = (1; 3 − ; 2 − ) . D. u = ( 1 − ;3; 2 − ) . Lời giải Chọn A
d có vtcp u = ( 1 − ; 3 − ;2) .
Câu 2: Với a là số thực tùy ý khác 0 , 2 log a bằng 4 1 A. log a . B. 2log a . C. log a . D. log a . 2 2 2 4 2 Lời giải Chọn D Ta có: 2
log a = 2log a = log a , a   0 . 4 4 2
Câu 3: Cho hai số phức z = 4 + i và w = 3
− + 2i . Số phức z − w bằng A. 7 − + i . B. 1+ 3i . C. 1− 2i . D. 7 − i . Lời giải Chọn D
z − w = 4 + i − ( 3
− + 2i) = 7 −i .
Câu 4: Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là A. 8 A . B. 2 10 . C. 2 A . D. 2 C . 10 10 10 Lời giải Chọn C
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là một chỉnh hợp
chập 2 của 10 phần tử, vậy số cách chọn là 2 A . 10
Câu 5: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 2x − 4y + 2z = 0 có tọa độ tâm I và bán kính R là A. I (1;− 2; ) 1 ; R = 6 . B. I ( 1 − ;2; − ) 1 ; R = 6 . C. I ( 1 − ;2; − )
1 ; R = 6 . D. I (1;− 2; ) 1 ; R = 6 . Lời giải Chọn B
Ta có, tọa độ tâm: I ( 1 − ;2;− ) 1 2 2 Bán kính: R = (− ) 2 1 + 2 + (− ) 1 = 6 u = 1 u = 8 − u
Câu 6: Cho cấp số nhân (u có 1 , 4 . Giá trị của 10 bằng n ) A. 1024 − . B. 1024 . C. 512 − . D. 512 . Lời giải Chọn C Ta có u = 8 − 3 3 3  u .q = 8 −  1.q = 8
−  q = −8  q = −2 . 4 1
Khi đó u = u .q = 1.( 2 − )9 9 = 5 − 12 . 10 1 Trang 32
Câu 7: Trong không gian Oxyz , véc tơ nào sau đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng x = 3 + t
 : y = −1+ t ? z = 2− 2tA. u = 3; 1 − ;2 . B. u = 1;1; 2 . C. u = 1 − ; 1 − ;2 . D. u = 1;1;1 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Lời giải Chọn C
Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là u = 1 − ; 1 − ;2 . 3 ( ) dx
Câu 8: 4 − 2x bằng 1 1 1 A.
ln 4 − 2x + C .
B. ln 4 − 2x + C .
C. − ln 4 − 2x + C . D. ln 4 − 2x + C . 2 2 4 Lời giải Chọn C dx 1 Ta có
= − ln 4 − 2x + C  4 − 2x 2
Câu 9: Trong không gian Oxyz , đường thẳng  đi qua hai điểm A(1;2; ) 3 , B( 1 − ;3;4) có phương trình là x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 2 1 1 2 1 − 1 x −1 y − 2 z − 3 x +1 y + 2 z + 3 C. = = . D. = = . 2 − 1 1 2 − 1 1 Lời giải Chọn C
Đường thẳng  qua điểm A(1;2;3) có vectơ chỉ phương là AB = ( 2 − ;1; ) 1 . x −1 y − 2 z − 3   : = = . 2 − 1 1 Câu 10:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình bên? y x O A. 4 2
y = −x + 2x −1. B. 4 2
y = x − 2x −1. C. 3 2
y = −x + 3x −1. D. 3 2
y = x − 3x −1 . Lời giải Chọn C
Nhận xét: Đồ thị hàm số có hai cực trị và hệ số a  0 nên chọn C . Câu 11:
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  3 − ; 
3 có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x 3 − 2 − 1 3 f ( x) + − 0 +
Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 33
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 − .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 − . Lời giải Chọn D
Theo bảng biến thiên của hàm số, ta có: hàm số đạt cực đại tại x = 2 − . Câu 12:
Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2) B. (0;3) . C. (0;+ ) . D. ( 1 − ;3). Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số y = f ( x) đồng biến trên (0; 2). Câu 13:
Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. 3 4 x dx = x + CB. 3 4
x dx = x + C  . C. 3 4 x dx = x + C  . D. 3 2
x dx = 3x + C  . 3 4 Lời giải Chọn C  1  1  Ta có 3 4 x dx = x + C  do 4 3 x = x   . 4  4  Câu 14:
Nghiệm của phương trình 3x 1 2 + =16 là 5 A. x = 1 B. x = 1 − . C. x = 3. D. x = . 3 Lời giải Chọn A 3x 1 2 + =16 3x 1 + 4  2
= 2  3x +1= 4  x =1. Câu 15:
Nghiệm của phương trình log 4x = 3 là 2 ( ) 3 9 5 A. x = B. x = . C. x = 2 . D. x = . 2 4 4 Lời giải Chọn C x  0 x  0 log 4x = 3      x = 2. 2 ( ) 3 4x = 2 x = 2 Câu 16:
Thể tích khối lập phương bằng 3
27a , độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng: 3a A. 3a . B. 9a . C. 3 3a . D. . 2 Lời giải Chọn A Ta có: 3 3 3
V = x  27a = x x = 3a . Câu 17:
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy 2
S = 2a , chiều cao h = 6a là: A. 3 12a . B. 3 4a . C. 3 6a . D. 3 36a . Lời giải Chọn B Trang 34 1 3 V =
S.h = 4a . 3 x Câu 18:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: 2 x −1 A. y =1. B. x = 1 . C. x = 1 − . D. y = 0. Lời giải Chọn D
lim y = 0  y = 0 là TCN của ĐTHS. x→ 3 3 3 f  (x)dx = −2 g  (x)dx = 4  f
 (x)− g(x)dxCâu 19: Nếu 1 và 1 thì 1 bằng: A. 2 . B. 6 . C. −6 . D. 2 − . Lời giải Chọn C 3  f
 (x)− g(x)dx = 2 − − 4 = 6 − .  1 ln 3 Câu 20: Tích phân 2 x e dx  bằng 0 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 2 x 1 + ln 3 ln 3 e ln 3 x 1 A. 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x e dx e + =  . B. e dx =  . C. 2 x 2 x e dx = e  . D. e dx = e  . 0 2x +1 0 2 0 0 0 0 0 0 Lời giải Chọn D ln 3 ln 3 x 1 Ta có: 2 2 x e dx = e  . 2 0 0 2x + 4 Câu 21:
Giao điểm của đồ thị hàm số y =
với trục hoành có tung độ bằng x −1 A. 4 − . B. 0 . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn B + Giao điể 2x 4
m của đồ thị hàm số y =
với trục hoành có tung độ bằng 0 . x −1 Câu 22: Đạo hàm của hàm số 2 y = log x là 2 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . x ln 2 x ln 2 2 x ln 2 2 x ln 2 Lời giải Chọn B  2 x  2 Ta có y = ( 2 log x = = . 2 ) ( ) 2 x ln 2 x ln 2 Câu 23:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(1;2;− ) 3 và nhận vectơ n (2; 1
− ;3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. x − 2y −3z + 9 = 0 .
B. x + 2y −3z −9 = 0 . C. 2x − y + 3z + 9 = 0 . D. 2x − y + 3z −9 = 0 . Lời giải Chọn C
Phương trình mặt phẳng cần tìm 2(x − )
1 − ( y − 2) + 3( z + )
3 = 0  2x − y + 3z + 9 = 0 . Câu 24:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 5 − 2i có tọa độ là A. ( 2 − ;5). B. (5; 2 − ). C. (2;5) . D. (5;2) . Trang 35 Lời giải Chọn B Câu 25:
Số phức liên hợp của sô phức z = 5 + 8i là
A. z = 5 − 8i . B. z = 5 − +8i . C. z = 5 − −8i .
D. z = 8 − 5i . Lời giải Chọn A
Ta có z = 5 − 8i . Câu 26:
Một đội thanh niên tình nguyện của trường gồm có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ.
Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để cùng các giáo viên tham gia đo thân nhiệt cho học sinh khi đến
trường. Xác suất để chọn được 4 học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ bằng 5 5 6 2 A. . B. . C. . D. . 66 11 11 33 Lời giải Chọn B
Ta có không gian mẫu n() 4 = C . 11
Gọi A là biến cố: “Chọn được 4 học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ”  n( A) 2 2 = C .C . 5 6 2 2 n A
Xác suất của biến cố A là: P( A) ( ) C .C 5 5 6 = = = n () . 4 C 11 11 Câu 27:
Tìm số phức z biết (1− i) z + 3− 2i = 6 − 3i .
A. z = 3 − 2i .
B. z = 2 + i .
C. z = 7 + 2i .
D. z = 2 − 4i . Lời giải Chọn B − i
Ta có ( − i) z + − i = − i  ( − i) 3 1 3 2 6 3 1
z = 3 − i z = = 2 + i . 1− i 25 Câu 28:
Với a là số thực dương tùy ý, log bằng 5 a 5 2
A. 2 − log a . B. . C. .
D. 5 − log a . 5 log a log a 5 5 5 Lời giải Chọn A 25 log
= log 25 − log a = 2 − log a . 5 a 5 5 5 Câu 29:
Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 và chiều cao bằng 6 . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 6 . B. 24 . C. 8 . D. 12 . Lời giải Chọn C 1 Thể tích khói chóp là 2 V = .2 .6 = 8 . 3 x −1 y + 3 z Câu 30:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = . Phương trình tham số 2 1 − 3
của đường thẳng d là x = −2 + tx = 1+ 2tx = 2 + tx = 1 − + 2t    
A. y = 1− 3t .
B. y = −3 − t . C. y = 1 − − 3t
D. y = 3 − t .     z = 3  z = 3tz = 3  z = 3tLời giải Chọn B Trang 36x = 1+ 2t
Phương trình tham số của đường thẳng d là y = −3 − t .z = 3tCâu 31:
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a 2 , mặt xung quanh của hình nón khi trải ra
trên một mặt phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng A. 2a . B. 2 2a . C. 4a . D. 4 2a . Lời giải Chọn B
Khi mặt xung quanh của hình nón trải ra trên một mặt phẳng có dạng một nửa đường tròn. Độ dài
đường sinh của hình nón là l = 2R = 2a 2 .
f ( x) = 2 x −1 F ( x)
F (2) + F (0) = 5 Câu 32: Cho hàm số có một nguyên hàm là thỏa mãn . F ( ) 3 + F ( 2 − ) Khi đó bằng A. 4 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn C x − khi x  2
x − 2x + C khi x 1 Ta có f ( x) 2 2 1 = 2 x −1 =  . Do đó F ( x) 1 =  .  2
− x + 2 khi x 1 2
−x + 2x + C khi x  1  2
Theo đề bài thì F (2) + F (0) = 5  C +C = 5. Suy ra F ( ) 3 + F ( 2
− ) = 3+C −8+C = 0. 1 2 1 2 Câu 33:
Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 3
= −x + 9x − 2 trên đoạn 0;2 là A. 6 3 − 2 . B. 8 . C. 2 − . D. 2 3 + 5 . Lời giải Chọn A
Ta có: f ( x) 3
= −x + x −  f (x) 2 9 2 = 3 − x + 9 .
x = − 30;2
Khi đó: f (x) = 0   . x = 3   0;2  f (0) = 2 −  Do đó:  f (2) = 8 .   f  ( 3) = 6 3 − 2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 3
= −x + 9x − 2 trên đoạn 0;2 là f ( 3) = 6 3 −2 . Câu 34:
Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
AB = a, AC =
3a và AA = 2a . Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( A BC  ) bằng A. 0 45 B. 0 30 C. 0 60 D. 0 50 Lời giải Chọn A
Vì ABC là tam giác vuông tại ,
A AB = a, AC =
3a BC = 2a . Trang 37 Vì AB . C A BC
  là lăng trụ đứng nên góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( A BC  ) là BC B   . BB 2a 0 tan BC B   = = =1 BC B   = 45 . BC 2a Câu 35:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA vuông góc với
đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0
45 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)bằng 6a 6a 2 6a 6a A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải Chọn C
ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 2 2 AC =
AB + BC = 2a 2 .
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0 45 tức là: 0
SCA = 45 . Khi đó SAC
vuông cân nên SA = AC = 2a 2 .
Vì AB / /CD nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) cũng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) . Kẻ AH ⊥ S , D H SD . DC ⊥ SA Khi đó: 
DC ⊥ (SAD)  DC ⊥ AH . DC ⊥ ADAH ⊥ SD Do đó: 
AH ⊥ (SDC) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là AH . AH ⊥ DC 1 1 1 1 1 1 8 2 6a 2 2 = +  = +
AH = a AH = . 2 2 2 2 AH SA AD AH ( )2 (2 2 2 a a )2 3 3 x −1 y +1 z + 2 Câu 36:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;3;4) và đường thẳng d : = = . 2 1 − 2
Đường thẳng  đi qua A cắt d và vuông góc với trục hoành có phương trình là x =1 x =1+ 2tx =1+ tx = 1    
A. y = 3 − t .
B. y = 3 − 5t .
C. y = 3 − t .
D. y = 3 + 2t .     z = 4 − 2tz = 4 − 4tz = 4 − 2tz = 4 + 3tLời giải Chọn D Trang 38x =1+ 2t
Gọi M = (d ) ()  M (d ) . Ta có ptts của (d ) :  y = 1
− − t M (1+ 2t; 1 − −t; 2 − + 2t) . z = 2 − + 2t  r uuur uuur r uuur r
Ta có: i = (1;0;0) ; AM = (2t; 4 − − t; 6
− + 2t) . Vì  ⊥ Ox AM ⊥ i AM.i = 0  t = 0 r uuur
Vậy ptts của  có u = AM = (0; 4 − ; 6 − ) = 2 − (0;2;3) . Câu 37:
Tập nghiệm của bất phương trình log
3.2x − 2  2x là 2 ( )  2  A. (1; 2) . B. log ;0  1; +  . 2  ( )  3  C. (− ;  ) 1 (2;+) . D. (− ;  0)(1;+) . Lời giải Chọn B Điề x 2
u kiện xác định: 3.2 − 2  0  x  log . 2 3 2 Bpt x 2 3.2 2 2 x (2x) 3.2x  −   − + 2  0 ( ) 1 . t 1 2x 1 x  0 Đặt 2x t =  ( ) 1 trở thành: 2
t − 3t + 2  0       . t  2 2x  2 x 1  2 
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: log ;0  1; +  . 2  ( )  3  Câu 38:
Cho số phức z thỏa mãn 3(z + i) −(2 − i) z = 3+10i . Môđun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Đặt z = a + bi z = a −bi .
Pt  3(a −bi + i) − (2 −i)(a + bi) = 3+10i  3a + (3−3b)i − (2a − ai + 2bi + b) = 3+10i  (  − =  =
a − b) + ( − b + a) a b 3 a 2 3 5 = 3+10i     . a − 5b = 7 b  = 1 −
Vậy số phức z có dạng là : z = 2 − i z = 5 . Câu 39:
Cho hàm số f ( x) 2 3
= x 2x +1 . Một nguyên hàm của hàm số xf (x) là 1 1 A. ( 3 7x + ) 3 1 2x +1 . B. ( 3 11x + ) 3 1 2x +1 . 9 9 1 1 C. ( 3 7x − ) 3 1 2x +1 . D. ( 3 11x − ) 3 1 2x +1 . 9 9 Lời giải Chọn C Ta có xf
 (x)dx = xd
 ( f (x)) = xf (x)− f  (x) 3 3 2 3 dx = x 2x +1 − x 2x +1dx  1 = x x + − x + d  ( x + ) 1 2 2 1 2 1 2 1 = x 2x +1 − . (2x + )3 3 3 3 3 3 3 3 1 + C 6 6 3 1 = ( 3 7x − ) 3 1 2x +1 + C . 9 Trang 39 Câu 40: Cho hai hàm số ( ) 3
f x = ax + bx + c ; ( ) 3
g x = bx + ax + c , (a  0) có đồ thị như hình 1
vẽ bên. Gọi S , S là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S + S = 3 thì f ( x) dx  1 2 1 2 0 bằng A. 3 . B. −3 . C. 6 . D. −6 . Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm 3 3
ax + bx + c = bx + ax + c  (a − b) 3
x + (b − a) x = 0  =  ( x 0 a − b) 3
x − x = 0     . x = 1  Cách 1: 0  S =  ( 0
f ( x) − g ( x)) dx = (a − b)  ( 1 3 x − x dx = a − b 1 ) ( )  4 − − Có 1 1   S = S . 1 1 3 S = ( 1
g ( x) − f ( x)) dx = (a − b) −  ( 1 3 x − x dx = a − b 3 ) ( )  4  0 0 1 1 1
Vậy S + S = 3  S + S = 3  (g (x) − f (x))dx + −g
 (x)dx = 3  f (x)dx = 3 −  . 1 2 3 2 0 0 0 Cách 2: 0 S =  ( 0
f ( x) − g ( x)) dx = (a − b)  ( 1 3 x − x dx = a − b ; 1 ) ( ) 4 1 − 1 − Trang 40 1 1   S = − g
 (x)dx = −( b a 3
bx + ax + c dx = − + + c . 2 )    4 2  0 0 1 b a
Vậy S + S = 3 
(a −b)− − −c = 3  a + 2b+ 4c = 1 − 2. 1 2 4 4 2 1 1 a b
a + 2b + 4c Suy ra
f ( x) dx = ( 3
ax + bx + c)dx = + + c = = 3 −   . 4 2 4 0 0 Câu 41:
Có bao nhiêu số phức z sao cho các số phức z , 2 z , 3
z lần lượt có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ tạo thành một tam giác đều? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi ( , x y  ) Gọi , A ,
B C lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , 2 z , 3 z 2 Ta có 2
AB = z − z = z . z −1 = a ; 3 2
BC = z − z = z . z −1 = . a z ; 3
CA = z − z = z . z −1 z +1 = .
a z +1 với a = z . z −1  0, z  0; 1 − ;  1 ABC  2 2 2 đều 2 2 2 2 2
AB = BC = CA  = z = z +
 = x + y = (x + ) 2 1 1 1 1 + y  1 x = − 2x +1 = 0  2 1 3      z = − 
i  có 2 số phức z thỏa mãn. 2 2 x + y =1 3 2 2 y =   2
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2x − 2y − z +1 = 0 và hai đường thẳng x = −2 + tx = 2t  
d :  y = 2 + t , d :  y = 3 + t . Gọi  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt cả hai đường thẳng 1  2  z = −tz = 1 
d , d . Đường thẳng  có phương trình là 1 2 x − 6 y − 6 z −1 x − 5 y − 9 z + 7 A. = = . B. = = . 1 3 − 8 1 3 8 x − 6 y − 6 z −1 x − 5 y − 9 z + 7 C. = = . D. = = . 5 9 7 − 6 6 1 Lời giải Chọn A
+) Gọi A là giao điểm của d và ( ) , 1 A( 2
− +t;2 +t; t
− )d mà A()  2( 2
− + t)− 2(2+t)+t +1= 0  t = 7  A(5;9; 7 − ) . 1
+) Gọi B là giao điểm của d và ( ) , 2
B(2t ;3+ t ; )
1 d mà B ( )  2(2t) − 2(3+ t) −1+1= 0  t = 3  B(6;6; ) 1 2
+)Véc tơ chỉ phương của  là u −  (1; 3;8) . − − − Phương trình  x 6 y 6 z 1 là = = 1 3 − 8 Câu 43:
Cho hàm số f ( x) có đồ thị của đạo hàm như sau: Trang 41
Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x) = f ( x) 2 2
−sin x trên đoạn  1 − ;  1 bằng 1 1 A. f (− ) 2 1 − sin . B. f ( ) 2 2 − sin 1. C. f (0) . D. f ( ) 2 1 − sin . 2 2 Lời giải Chọn C
g( x) = f ( x) − x x =  f ( x) 1 2 2 2sin cos 0 2 = sin 2x 2
Đặt t = x f (t) 1 2 = sint 2 Với x  1 − ;  1  t  2 − ;  2 f (t ) 1
= sint t = 0  x = 0 2
Bảng biến thiên của g ( x)
Vậy max g ( x) = g (0) = f (0) .  1 − ;  1  1   1  Câu 44:
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên mỗi khoảng − ;  −  , − ;+   đồng thời thỏa  2   2   1  mãn f ( x) 1 = x   −   , và f (− )
1 + 2 f (0) = 2ln 674 . Giá trị của biểu thức 2x +1  2  S = f ( 2 − )+ f ( ) 1 + f (4) bằng
A. 2ln 3 − ln 674 . B. ln 2023. C. 2ln 2022 . D. 3ln 3 . Lời giải Chọn C Trang 42 1 ( − x + ) 1 ln 2
1 + C , khi x   f ( x) 1 =  f (x) 1 2 2 =  2x +1 1 −  ln( 2 − x − ) 1
1 + C , khi x  2 2 2
f (0) = C ; f 1
− = C  2 f 0 + f 1
− = 2C +C  2C +C = 2ln 674 . 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 f (− ) 1 1 1 2 = ln 3 + C , f 1 = ln 3 + C ; f 4 = ln 9 + C 2 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2
S = f (− ) + f ( ) + f ( ) 1 1 1 2 1 4 = ln 3 + ln 3 +
ln 7 + 2C + C 1 2 2 2 2 1 1 1
= ln 3 + ln 3 + ln 9 + 2ln 674 = 2ln 3 + 2ln 674 = 2ln 2002. 2 2 2 Câu 45:
Cho khối lăng trụ đứng tứ giác ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông; khoảng cách a 3 2
và góc giữa hai đường thẳng AC và DC lần lượt bằng ;  với cos = . Thể tích khối lăng 7 4 trụ đã cho bằng 3 a 21 3 a 7 3 a 15 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 6 2 2 Lời giải Chọn D
Lăng trụ đứng tứ giác ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông cạnh bằng x và cạnh bên bằng y . Do AC // A C
   ( AC, DC) = ( A C
 , DC) = A CD  . Do tam giác DA C
 cân tại D A CD   90 . 2 2 2 C A   + C D  − AD
Áp dụng định lý côsin và giả thiết ta được: cos AC D  = 2C A  C D  2 2x + ( 2 2 x + y ) − ( 2 2 x + y ) x 2 = = =  y = x 3 . 2 2 x x + y ( 2 2 x + y ) 4 2 . 2 Mặt khác: AC // A C    AC // (DA C
 )  d (AC, DC) = d (AC,(DA C  )) = d ( , A (DA C
 )) = d (D ,(DA C  )) .
Do AD cắt (DA C
 ) tại trung điểm I của AD Xét tứ diện . D DA C
  vuông tại Dcó: Trang 43 1 1 1 1 49 1 1 1 = + +  = + +  x = a 2
d ( D ,( DAC)) 2 2 2 2 2 2 2 D DD AD C   21a y x x
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là 2 3 3
V = x y = x 3 = a 3 . Câu 46:
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(10;0;0), B(0;10;0),C (0;0;10). Xét mặt
phẳng ( P) thay đổi sao cho , A ,
B C nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ( P) và khoảng cách từ , A ,
B C đến ( P) lần lượt 10,11,12. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( P) có giá trị lớn nhất bằng: 33 + 365 33 − 7 6 33 − 365 33 + 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D
Gọi phương trình mặt phẳng ( P) ax + by + cz + d = ( 2 2 2 :
0, a + b + c  0) . Do , A ,
B C nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ( P) nên ta có: (
 10a + d )(10b + d )  0 1  0a + d  0 10  a + d  0   ( 
10b + d )(10c + d )  0  1
 0b + d  0 hoặc 10
b + d  0 .   ( 
10c + d )(10a + d )  0 10c + d  0  10c + d  0  10  a + d  0  Giả sử 10
b + d  0 . 10c + d  0 
Khi đó theo giả thiết khoảng cách:   ( + A ( P)) 10a d d , = =10 2 2 2  a + b + c   ( ( + P)) 10b d d B, = =11 . 2 2 2  a + b + c   ( ( + P)) 10c d d C, = =12 2 2 2  a + b + c Đặt 2 2 2
t = a + b + c với t  0 .  d a = x −  10 10
a =10x − d    11 d Suy ra: 10
b =11x − d b  = x − . 10 10  
10c = 12x − d   12x d c = −  10 10 2 2 2  d   11 d  12x d  Mặt khác: 2 2 2 2 2
x = a + b + c x = x − + x − + −       .  10  10 10   10 10  d 33  7 6  = = d ( ; O ( P)) . x 3 +
Do đó: d (O (P)) 33 7 6 ; = . max 3 Câu 47:
Có bao nhiêu số nguyên dương a , (a  2023) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn (ln x + ) x x a e
e (1+ ln(xln a)) ? A. 2023. B. 2005 . C. 2008 . D. 2024 . Lời giải Trang 44 Chọn C x ln a  0 a  2 Điề *  u kiện: a  ⎯⎯→ . Đặt = ln( ln )  ln t t x a x a = e . a  0 x  0
Bất phương trình trở thành: t x x +  (1+ )  ( ) t x = − . x x e xe e t g t e
e t + xe − e  0 ( ) * Có ( ) t x
g t = e − e = 0  t = x . Bảng biến thiên: x e x . x e x − e
Vậy (*)  t = x  ln a =
= h(x) có h(x) = = 0  x = 1. x 2 x Bảng biến thiên: Vậy ln    e a e x
e  15,15  a 16,..., 202  3 . Câu 48:
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;4;− )
1 , B (3; 2; 2) , C (0;3; 2 − ) và mặt
phẳng ( ) : x − y + 2z +1 = 0 . Gọi M là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng ( ) . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức T = MA + MB + MC bằng A. 3 2 . B. 13 + 14 . C. 6 2 . D. 3 2 + 6 . Lời giải Chọn D uur uuu r uur uuu r Ta có AB = (1; 2 − ;3), AC = ( 2 − ; 1 − ; − )
1   AB, AC  = (5; 5 − ; 5 − ) = 5(1; 1 − ; − ) 1   , suy ra
( ABC): x − y − z +1= 0. x = 1 − + t
x − y − z +1 = 0 
Ta thấy ( ABC) ⊥ ( ) , xét d = ( ABC )  (  )  d : 
d : y = t .
x − y + 2z +1 = 0 z = 0 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ABC ) , khi đó H d H ( 1 − + t;t;0) .
T = MA + MB + MC HA + HB + HC . 2 2 2 T  2t −14t + 26 + 2t −12t + 24 + 2t − 8t +14 2 2  7   3  = 2t − +     +  
(2 2 − 2t)2 +( 6)2 + 2(t −3)2 +6 .  2  2   2 2  7   6   2 2 − +    + 6  + 6 = 3 2 + 6    2  2  
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 3 2 +
6 khi t = 3  M (2;3;0) . Trang 45 Câu 49: Cho hai hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d , g ( x) 2
= ax + bx + e( , a , b ,
c d, e  , a  0)
có đồ thị lần lượt là hai đường cong (C , (C ở hình vẽ bên. 2 ) 1 ) 8
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C , (C bằng . Tính f (2) − g (− ) 1 . 2 ) 1 ) 3
A. f (2) − g (− ) 1 = 2
− 6 . B. f (2) − g (− ) 1 = 2 − 4 .
C. f (2) − g (− ) 1 = 2
− 8. D. f (2) − g (− ) 1 = 3 − 0 . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có f ( x) − g ( x) = a ( x − )( x − )2 1 3 và a  0 3 3 3 8 2 8 2 8 Ta có: S =
f ( x) − g ( x) dx =  a( x − )
1 ( x − 3) dx =  a ( x − )
1 ( x − 3) dx =    3 3 3 1 1 1 3    a  ( 8
x − 7x +15x − 9) 3 1 7 15 8 4 8 3 2 4 3 2 dx =  a x − x + x − 9x
=  a =  a = 2   . 3  4 3 2  3 3 3 1 1
Do đó f ( x) − g ( x) = ( x − )( x − )2 2 1 3  ( 2
ax + bx + cx + d ) −(ax + bx + e) = (x − )(x − )2 3 2 2 1 3 3
ax + (b − a) 2
x + (c − b) x + d − e = 2( 3 2
x − 7x +15x − 9)
Đồng nhất hệ số ta có a = 2 a = 2   b  − a = 14 − b  = 12 −     c − b = 30 c = 18   d − e = 18 −   d = e −18  f (x) 3 2
= x − x + x + e − g ( x) 2 2 12 18 18;
= 2x −12x + e f (2)− g (− ) 1 = 2 − 8
Vậy f (2) − g( 1 − ) = 2 − 8. Câu 50:
Xét các số phức z = a + bi ( ,
a b  ) thỏa mãn z + 2 − 3i = 2 2 . Tính P = 2a + b khi
z +1+ 6i + z − 7 − 2i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 3 . B. P = 3 − . C. P =1.
D. P = 7 . Lời giải Chọn B Trang 46 M (C) I B N K A Đặt A( 1
− ;− 6), B(7;2)  AB = (8;8) và trung điểm của AB là K (3;− 2). 2 2 Gọi M ( ;
a b) là điểm biểu diễn số phức z ta có: (a + 2) + (b − 3) = 8 .
M thuộc đường tròn (C) có tâm I ( 2 − ; ) 3 , bán kính R = 8 .
Ta thấy IK = (5;− 5)  IK.AB = 0  I nằm trên đường thẳng trung trực của AB . 2 AB Xét tam giác 2 2 2
MAB MA + MB = 2MK + . 2
 (MA + MB ) = MK + AB  (MA+ MB)2 2 2 2 2 2 2 2 4
MA+ MB  4MK + AB .
Ta có z +1+ 6i + z − 7 − 2i là tổng khoảng cách từ điểm M trên đường tròn (C) tới hai điểm A và B . MA = MB
Vậy MA+ MB lớn nhất khi: 
. Điều này xảy ra khi M là giao điểm của IK với đường MK max
tròn (C) và M nằm ngoài đoạn IK . x = 2 − + t
Ta có phương trình của đường thẳng IK : . y = 3− t
Tọa độ giao điểm của IK với đường tròn (C) là nghiệm của hệ: x = 2 − + t  2 y = 3 − t
 2t = 8  t = 2. (   x + 2  )2 +( y −3)2 = 8
Vậy điểm M cần tìm ứng với t = 2 − khi đó  = − M (− ) a 4 4;5  
P = 2a + b = 8 − + 5 = 3 − b  = 5
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 3 MÔN TOÁN
Câu 1: Cho khối cầu ( S ) có thể tích bằng 36 ( 3
cm ). Diện tích mặt cầu (S ) bằng bao nhiêu? A.  ( 2 36 cm ) . B.  ( 2 18 cm ) . C.  ( 2 64 cm ) . D.  ( 2 27 cm ) . 1 3 3 Câu 2: Cho f (x)  dx = −1 ; f (x) 
dx = 5 . Tính f (x)  dx 0 0 1 A. 4. B. 1. C. 5. D. 6.
Câu 3: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là: 7! A. 3 C . B. 3 A . C. . D. 7 . 7 7 3!
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng Trang 47
(ABC), SC = a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 3 12 9
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số y = f (x) bằng A. 4 . B. −2 . C. −1. D. 3 . 3 + 2i 1− i
Câu 6: Tính z = + ? 1− i 3 + 2i 23 63 15 55 23 61 2 6 A. z = + i . B. z = + i . C. z = + i . D. z = + i . 26 26 26 26 26 26 13 13
Câu 7: Cho số phước z = 1 − 2 .
i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ A. P (−2;1) .
B. M (1; −2) . C. Q (1; 2) . D. N (2; ) 1 .
Câu 8: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho OA = 3k − i . Tìm tọa độ điểm A . A. ( 1 − ;0;3). B. (3; 1 − ;0). C. (3;0; ) 1 − . D. ( 1 − ;3;0).
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 3x + y − 2z +1 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P) ? A. n = 3; 2
− ;1 . B. n = 2
− ;1;3 . C. n = 3;1; 2 − . D. n = 1; 2 − ;1 . 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 4 ( )
Câu 10: Nghiệm của phương trình log x − 3 = 1 là 2 ( ) A. x = 5. B. x = 2. C. x = 3. D. x = 4. x + 3
Câu 11: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số y = là x + 2 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 .
Câu 12: Cho số phức z = 1+ 3 . i Khi đó. 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 A. = − i . B. = + i . C. = + i . D. = − i . z 4 4 z 2 2 z 4 4 z 2 2
Câu 13: Tính = 3x I dx  . 3x A. I = + C . B. = 3x I + ln 3 + C . C. = 3x I + C . D. = 3x I ln 3 + C . ln 3 2
Câu 14: Cho hàm số y =
có đồ thị (C ). Mệnh đề nào đưới đây là đúng? 1− x
A. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 − .
B. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 .
C. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .
D. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 . Trang 48x =1− t
Câu 15: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d :  y = 5 + t ? z = 2+3t A. Q( 1 − ;1; ) 3 . B. M (1;1;3) . C. P (1;2;5) . D. N (1;5; 2) .
Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2
log x − 6x + 5) . A. D = (1;5) . B. D = (− ;   1 5;+) . C. D = (− ;  ) 1  (5;+) . D. D = 1;  5 .
Câu 17: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? . A. 2 y = x . B. 4 2
y = 2x + x C. 4 2
y = 3x − x +1 . D. 4 2
y = −x + 4x .
Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy , điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z là A. −2 − i . B. 1− 2i . C. −2 + i . D. 1+ 2i .
Câu 19: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3 2
a b = 32 . Giá trị của 3log a + 2 log b bằng 2 2 A. 5 . B. 2 . C. 32 . D. 4 .
Câu 20: Tìm số nghiệm của phương trình log x + log x −1 = 2 . 2 2 ( ) A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , 0
ABC = 60 , SA = a, SA ⊥ ( ABCD) . Gọi M
là trung điểm của SB , tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM . A. 0 60 . B. 0 90 . C. 0 30 . D. 0 45 . x =1− 3t
Câu 22: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) có phương trình y = 2 + t ;t  . Mặt phẳng ( P) đi z = 3+ 2t  qua ( A 1 − ; 2
− ;1) và (P) vuông góc với đường thẳng (d ) thì (P) có phương trình là: A. ( P) : 3
− x + y + 2z − 3 = 0 . B. ( P) : 3
− x + y + 2z + 3 = 0 .
C. (P) : x + 2y + 3z − 2 = 0 .
D. (P) : x + 2y + 3z + 2 = 0 . 2 2 2 Câu 23: Cho f
 (x)dx = 3, g(x)dx = 1 −  thì  f
 (x)−5g(x)+ xdx  bằng: 0 0 0 A. 8 . B. 10 . C. 12 . D. 0 .
Câu 24: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập ?
A. y = x − sin . x . B. 2
y = x + 2x +1. Trang 49 3x + 2
C. y = ln ( x + 3) . D. y = . 5x + 7
Câu 25: Cho cấp số cộng (u với u = 1 và u = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 3 − . 3 Câu 26: Biết 3
F (x) = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
. Giá trị của (1+ f (x))dx  bằng 1 A. 20. B. 26. C. 28. D. 22.
Câu 27: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin (2x + ) 1 là: 1
A. F(x) = cos (2x + ) 1 .
B. F(x) = − cos (2x + ) 1 . 2 1 1
C. F(x) = − cos (2x + ) 1 + C . D. F(x) = cos (2x + ) 1 + C . 2 2
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng ( ; − 2) và (2;+) .
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng (− ;  ) 1  (1;+) .
C. Hàm số f ( x) đồng biến trên .
D. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng ( ) ;1 − và (1;+) .
Câu 29: Với mọi số thực dương a, b, x, y và a, b  1, mệnh đề nào sau đây sai?
A. log ( xy) = log x + log y . B. log .
a log x = log x . a a a b a b x 1 1 C. log
= log x − log y . D. log = . a a a y a x log x a
Câu 30: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 4 16 A. 3 4a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 16a . 3 3
Câu 31: Đạo hàm của hàm số 10x y = là 10x A. 10x.ln10 . B. 10x . C. 1 .10x x − . D. . ln10
Câu 32: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng r có diện tích xung quanh
S cho bởi công thức xq A. S = 2 rl . B. 2 S = 4r . C. 2 S = 2r . D. S =  rl . xq xq xq xq
Câu 33: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng (a;b)? Trang 50 y a O b x A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 9
Câu 34: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x + trên đoạn  4 − ;−  1 bằng x −1 11 29 A. − . B. − . C. 5 − . D. 9 − . 2 5
Câu 35: Cho số phức z = a + bi ( , a b  ) − + = + = +
thỏa mãn ( 2 2i) z 10 6i . Tính P a b . A. P = 3 . B. P = 3 − . C. P = 5 . D. P = 5 − . x +1 y −1 z − 2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng d : = = . Đường 1 2 − 2
thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là. x = 2tx = 2 + 2tx = 2tx = 2 + 2t    
A. y = −3 + 3t .
B. y = 1 + 3t . C. y = −3 + 4t .
D. y = 1 + t .     z = 2tz = 3 + 2tz = 3tz = 3 + 3t
Câu 37: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +
) và thỏa mãn f ( ) 1 = 1,
f ( x) = f ( x) 3x +1, với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3  f (5)  4 .
B. 2  f (5)  3. C. 1  f (5)  2 .
D. 4  f (5)  5 .
Câu 38: Cho hình lăng trụ ABC . D AB CD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm AC và BD . Tính khoảng cách
từ điểm B đến mặt phẳng ( A BD). A' D' C' B' A D O B C a 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 6
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 45 .
Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD . 2 2 a A. . B. 2 2 2 a . C. 2 4 2 a . D. 2 2 a . 2
Câu 40: Cho b, c  , và phương trình 2
z + bz + c = 0 có một nghiệm là z = 2 − i , nghiệm còn lại gọi là z 1 2
. Tính số phức w = bz + cz . 1 2
A. w = 18 − i .
B. w = 2 − 9i .
C. w = 18 + i .
D. w = 2 + 9i . Trang 51
Câu 41: Một bàn cờ vua gồm 8´ 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình
chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được
chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng 17 51 A. . B. 29 C. 5 . D. . 108 216 216 196
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d (a  0) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
f ( f ( x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. x = 1− t
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : y + 2z = 0 và hai đường thẳng: d :  y = t ; 1 z = 4t
x = 2 − t 
d :  y = 4 + 2t . Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt hai đường thẳng d ; d có phương trình 2  1 2 z = 4  là x −1 y z x −1 y z A. = = . B. = = . 7 8 4 − 7 8 − 4 x −1 y z x +1 y z C. = = . D. = = . 7 8 4 7 8 − 4 2
Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình x −9 ( 2x ) x 1 3 9 .5 + + −
1 là khoảng (a;b). Tính b − a . A. 4. B. 8. C. 6. D. 3.
Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ; SA vuông góc với đáy, khoả a
ng cách từ A đến (SCD) bằng
. Tính thể tích của khối chóp theo a . 2 2 5 2 5 4 15 4 15 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 45 15 45 15
Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z −1− i = 1, số phức w thỏa mãn w − 2 − 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − w . A. 13 + 3 . B. 17 − 3. C. 17 + 3 . D. 13 − 3 . Câu 47: Có bao nhiêu bộ
( ;x y) với x, y nguyên và 1 ,x y  2023 thỏa mãn Trang 52 (    + 
xy + x + y + ) 2 y 2x 1 2 4 8 log
 2x + 3y − xy − 6 log ? 3   ( ) 2    y + 2   x − 3  A. 4040 . B. 2 . C. 2020 . D. 2020x2023.
Câu 48: Cho parabol (P) 2
: y = x và một đường thẳng d thay đổi cắt ( P) tại hai điểm A , B sao cho
AB = 2023 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất S max của S. 3 2023 3 2023 +1 3 2023 −1 3 2023 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . max 3 max 6 max 6 max 6
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình dưới đây
Đồ thị của hàm số g x =  f x 2 ( )
( ) có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 1 1
=16 và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0, (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường
tròn (T ) . CD là một đường kính cố định của đường tròn (T ) , A là một điểm thay đổi trên (T ) ( A khác C
và D ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P) cắt (S ) tại B . Tính 2 2 BC + AD . A. 8 . B. 32 . C. 64 . D. 16 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A D A C A B D A C A A A A C D C B A A D A A B A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C C D D A A A C C D C A B B D D D B C C B A D A D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho khối cầu (S ) có thể tích bằng 36 ( 3
cm ). Diện tích mặt cầu ( S ) bằng bao nhiêu? A.  ( 2 36 cm ) . B.  ( 2 18 cm ) . C.  ( 2 64 cm ) . D.  ( 2 27 cm ) . Hướng dẫn giải Chọn A 4
Thể tích khối cầu bằng 36 3  r = 36 3
r = 27  r = 3 . 3
Vậy diện tích mặt cầu ( S ) là: 2 2 S =  r =  =  ( 2 4 4 .3 36 cm ) . 1 3 3 Câu 2: Cho f (x)  dx = −1 ; f (x) 
dx = 5 . Tính f (x)  dx 0 0 1 Trang 53 A. 4. B. 1. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn D 3 1 3 3 3 1 Ta có f (x)  dx = f (x)  dx + f (x)  dx  f (x)  dx = f (x)  dx − f (x)  dx = 5+ 1= 6 0 0 1 1 0 0 3 Vậy f (x)  dx = 6. 1
Câu 3: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là: A. 3 C . 7 B. 3 A . 7 7! C. . 3! D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đây là tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có 3 C tập hợp con. 7
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng
(ABC), SC = a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 2 A. . 12 3 a 3 B. . 3 3 a 3 C. . 12 3 a 3 D. . 9 Hướng dẫn giải Chọn C 2 a 3 2 3 1 a 3 a 3 S =  V = . . a = . ABC 4 S . ABC 3 4 12
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau Trang 54
Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x) bằng A. 4 . B. −2 . C. −1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt cực đại tại x = 1
− và giá trị cực đại của hàm số là y = 4 . 3 + 2i 1− i
Câu 6: Tính z = + ? 1− i 3 + 2i 23 63 A. z = + i . 26 26 15 55 B. z = + i . 26 26 23 61 C. z = + i . 26 26 2 6 D. z = + i . 13 13 Hướng dẫn giải Chọn B 3 + 2i 1− i 15 55 Ta có: z = + = + i . 1− i 3 + 2i 26 26
Câu 7: Cho số phước z = 1 − 2 .
i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ A. P (−2;1) .
B. M (1; −2) . C. Q (1; 2) . D. N (2; ) 1 . Hướng dẫn giải Chọn D
w = iz = i (1− 2i) = 2 + i .
Câu 8: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho OA = 3k − i . Tìm tọa độ điểm A . A. ( 1 − ;0;3). B. (3; 1 − ;0). C. (3;0; ) 1 − . D. ( 1 − ;3;0). Hướng dẫn giải Trang 55 Chọn A
Tọa độ điểm A( 1 − ;0;3) .
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 3x + y − 2z +1 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P) ? A. n = 3; 2 − ;1 . 4 ( ) B. n = 2 − ;1;3 . 3 ( ) C. n = 3;1; 2 − . 1 ( ) D. n = 1; 2 − ;1 . 2 ( ) Hướng dẫn giải Chọn C
Từ phương trình mặt phẳng ( P) ta có vectơ pháp tuyến của ( P) là n = 3;1; 2 − . 1 ( )
Câu 10: Nghiệm của phương trình log x − 3 = 1 là 2 ( ) A. x = 5. . B. x = 2. . C. x = 3. . D. x = 4. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log
x − 3 = 1  x − 3 = 2  x = 5 . 2 ( ) x + 3
Câu 11: Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số y = là x + 2 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A x + 3 x + 2 1 1 Ta có: y = = + =1+ . x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
Để y là số nguyên thì x + 2 là ước của 1. Mà 1 có hai ước nguyên là 1 vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn,
hay tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên.
Câu 12: Cho số phức z = 1+ 3 . i Khi đó. 1 1 3 A. = − i . z 4 4 1 1 3 B. = + i . z 2 2 1 1 3 C. = + i . z 4 4 1 1 3 D. = − i . z 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 56 1− 3i z = 1+ 1 1 3i  = = 1 3 = − . i . z 1+ 3i 4 4 4
Câu 13: Tính = 3x I dx  . 3x A. I = + C . ln 3 B. = 3x I + ln 3 + C . C. = 3x I + C . D. = 3x I ln 3 + C . Hướng dẫn giải Chọn A x a 3x Ta có x a dx = + C  nên I = + C . ln a ln 3 2
Câu 14: Cho hàm số y =
có đồ thị (C ). Mệnh đề nào đưới đây là đúng? 1− x
A. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 − .
B. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 .
C. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .
D. (C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 Ta có lim y = lim = 0 và lim y = lim
= 0  y = 0 là tiệm cận ngang của (C). . x→+ x→+ 1− x x→−
x→− 1− xx =1− t
Câu 15: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d :  y = 5 + t ? z = 2+3tA. Q( 1 − ;1; ) 3 . B. M (1;1;3) . C. P (1;2;5) . D. N (1;5; 2) . Hướng dẫn giải Chọn D
Thay tọa độ các điểm N vào phương trình đường thẳng d , ta có: 1  =1− t 5
 = 5 + t t = 0 . 2 = 2+3t
Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2
log x − 6x + 5) . A. D = (1;5) . B. D = (− ;   1 5;+) . C. D = (− ;  ) 1  (5;+) . Trang 57 D. D = 1;  5 . Hướng dẫn giải Chọn C Biểu thức ( 2
log x − 6x + 5) xác định 2
x − 6x + 5  0  x  1 x  5 .
Câu 17: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? . A. 2 y = x . B. 4 2
y = 2x + x C. 4 2
y = 3x − x +1 . D. 4 2
y = −x + 4x . Hướng dẫn giải Chọn B
Đường cong trên đi qua điểm (0;0) và (1;3) và có bề lõm hướng lên nên a  0 .
Vậy đồ thị của hàm số 4 2
y = 2x + x thỏa yêu cầu.
Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy , điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z là A. −2 − i . B. 1− 2i . C. −2 + i . D. 1+ 2i . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z = 2
− + i z = 2 − − i .
Câu 19: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3 2
a b = 32 . Giá trị của 3log a + 2 log b bằng 2 2 A. 5 . B. 2 . C. 32 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 3 2
log a b = log 32  3log a + 2 log b = 5 . 2 2 2 2
Câu 20: Tìm số nghiệm của phương trình log x + log x −1 = 2 . 2 2 ( ) A. 0 . Trang 58 B. 3 . C. 2 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D
Điều kiện x  1.  1+ 17 x =
Phương trình tương đương 2
log x x −1  = 2  x − x − =   2  ( ) 2 4 0  . 1− 17 x = (L)  2
Vậy phương trình có đúng một nghiệm.
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , 0
ABC = 60 , SA = a, SA ⊥ ( ABCD) . Gọi M
là trung điểm của SB , tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM . A. 0 60 . B. 0 90 . C. 0 30 . D. 0 45 . Hướng dẫn giải Chọn A a
Gọi G là trung điểm của AB khi đó ta có MG S , A MG =
và MG ⊥ ( ABCD) 2 Vậy (S ; A CM ) = (M ; G CM ) = CMG a 3
Vì ABCD là hình thoi có 0
ABC = 60 nên ABC
là tam giác đều cạnh a có CG = 2 a 3 CG
Trong tam giác vuông MGC có 2 0 tan CMG = = = 3  CMG = 60 MG a 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng SA và CM bằng 0 60 . x =1− 3t
Câu 22: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) có phương trình y = 2 + t ;t  . Mặt phẳng ( P) đi z = 3+ 2t  qua ( A 1 − ; 2
− ;1) và (P) vuông góc với đường thẳng (d ) thì (P) có phương trình là: Trang 59 A. (P) : 3
− x + y + 2z − 3 = 0 . B. (P) : 3
− x + y + 2z + 3 = 0 .
C. (P) : x + 2y + 3z − 2 = 0 .
D. (P) : x + 2y + 3z + 2 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đường thẳng (d ) có véc tơ chỉ phương là u = ( 3 − ;1;2) .
Vì ( P) vuông góc với đường thẳng (d ) nên ( P) nhận véc tơ chỉ phương của (d ) là u = ( 3 − ;1;2) làm véc tơ pháp tuyến. (P) đi qua ( A 1 − ; 2
− ;1) , véc tơ pháp tuyến là n = u = ( 3
− ;1;2) nên (P) có phương trình là (P): 3
− (x +1) +1(y + 2) + 2(z −1) = 0  (P): 3
− x + y + 2z − 3 = 0 . 2 2 2 Câu 23: Cho f
 (x)dx = 3, g(x)dx = 1 −  thì  f
 (x)−5g(x)+ xdx  bằng: 0 0 0 A. 8 . B. 10 . C. 12 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 
 f (x)−5g(x)+ xdx = 
f (x)dx −5 g  (x)dx + d  x x = 3+5+2 =10 . 0 0 0 0
Câu 24: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập ?
A. y = x − sin . x . B. 2
y = x + 2x +1.
C. y = ln ( x + 3) . 3x + 2 D. y = . 5x + 7 Hướng dẫn giải
Chọn ATa có hàm số y = x − sin x có tập xác định D =
và y = 1− cos x  0 với mọi x  nên luôn đồng biến trên .
Câu 25: Cho cấp số cộng (u với u = 1 và u = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 3 − . Hướng dẫn giải Chọn A
Vì (u là cấp số cộng nên u = u + d d = u − u = 4 −1 = 3. n ) 2 1 2 1 3 Câu 26: Biết 3
F (x) = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
. Giá trị của (1+ f (x))dx  bằng 1 A. 20. Trang 60 B. 26. C. 28. D. 22. Hướng dẫn giải Chọn C 3 3 3
Ta có 1+ f (x)dx = x + F(x) 3
= x + x ) = 30 − 2 = 28   . 1 1 1
Câu 27: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin (2x + ) 1 là:
A. F(x) = cos (2x + ) 1 . 1
B. F(x) = − cos (2x + ) 1 . 2 1
C. F(x) = − cos (2x + ) 1 + C . 2 1 D. F(x) = cos (2x + ) 1 + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn C ( 1 x + ) 1 sin 2 1 dx = sin (2x + ) 1 d (2x +   ) 1 = − cos (2x + ) 1 + C . 2 2
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng ( ; − 2) và (2;+) .
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng (− ;  ) 1  (1;+) .
C. Hàm số f ( x) đồng biến trên .
D. Hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng ( ) ;1 − và (1;+) . Hướng dẫn giải Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số f ( x) đồng biến trên các khoảng ( ) ;1 − và (1;+) .
Câu 29: Với mọi số thực dương a, b, x, y và a, b  1, mệnh đề nào sau đây sai?
A. log ( xy) = log x + log y . a a a B. log .
a log x = log x . b a b x C. log
= log x − log y . a a a y 1 1 D. log = . a x log x a Hướng dẫn giải Chọn D Trang 61 1 − 1
Với mọi số thực dương a, b, x, y và a, b  1. Ta có: 1 log = log x  . a a x log x a
Câu 30: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 4a . 4 B. 3 a . 3 16 C. 3 a . 3 D. 3 16a . Hướng dẫn giải Chọn A 2 3 V = S
.h = a .4a = 4a . day
Câu 31: Đạo hàm của hàm số 10x y = là A. 10x.ln10 . B. 10x . C. 1 .10x x − . 10x D. . ln10 Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có (10x )' = ln10.10x .
Câu 32: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng r có diện tích xung quanh
S cho bởi công thức xq A. S = 2 rl . xq B. 2 S = 4r . xq C. 2 S = 2r . xq D. S =  rl . xq Hướng dẫn giải Chọn A. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 33: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng (a;b)? A. 7 . Trang 62 B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Nhìn đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực tiểu trên khoảng (a;b). 9
Câu 34: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x + trên đoạn  4 − ;−  1 bằng x −1 11 A. − . 2 29 B. − . 5 C. 5 − . D. 9 − . Hướng dẫn giải Chọn C 9 9 x = 4 4 − ;−  1 Ta có y = 1−  −
=  (x − )2 − =  ( ; y = 0 1 0 1 9 0  . x − )2 1 (x − )2 1 x = 2 −    4 − ;−  1 − y (− ) 29 4 = ; y ( 2 − ) = 5 − ; y(− ) 11 1 = − . 5 2
Vậy max y = y ( 2 − ) = 5 − .  4 − ;−  1
Câu 35: Cho số phức z = a + bi ( , a b  ) − + = + = +
thỏa mãn ( 2 2i) z 10 6i . Tính P a b . A. P = 3 . B. P = 3 − . C. P = 5 . D. P = 5 − . Hướng dẫn giải Chọn D + i Ta có: ( 2 − + 2i) z =10+ 10 6 6i z =  z = 1 − − 4i 2 − + 2i Do đó: a = 1 − ; b = 4
− nên P = a + b = 5 − . x +1 y −1 z − 2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng d : = = . Đường 1 2 − 2
thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là. x = 2t
A. y = −3 + 3t . z = 2t  x = 2 + 2t
B. y = 1 + 3t . z = 3+ 2t Trang 63x = 2t
C. y = −3 + 4t . z = 3t  x = 2 + 2t
D. y = 1 + t . z = 3+ 3tHướng dẫn giải Chọn C
Gọi đường thẳng cần tìm là  x +1 y −1 z − 2 d : = =
có VTCP u = (1; − 2; 2) . 1 2 − 2 Gọi M (0; ;
m 0) Oy , ta có AM = ( 2 − ;m −1;− 3)
Do  ⊥ d AM .u = 0  2 − − 2(m− ) 1 − 6 = 0  m = 3 − x = 2t
Ta có  có VTCP AM = ( 2
− ;− 4;− 3) nên có phương trình y = −3 + 4t . z = 3t
Câu 37: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +
) và thỏa mãn f ( ) 1 = 1,
f ( x) = f ( x) 3x +1, với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3  f (5)  4 .
B. 2  f (5)  3.
C. 1  f (5)  2 .
D. 4  f (5)  5. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có f ( x) 1 f ( x) 1
f ( x) = f ( x) 3x +1  ( ) =  =   x + f ( x) dx dx f x 3 1 3x +1 d ( f ( x)) 1 1 2 −  = + +   3x 1 + +Cf ( x) 2 ln =
3x +1 + C f ( x) 3 = e . f ( x) (3x ) 2 1 d (3x ) 1 3 3 4 + 2 4 4 C 4 + − Khi đó 3x 1 f ( ) 3 1 = 1  e
= 1  C = −  f (x) 3 3 = e  f ( ) 3 5 = e  3, 79(3; 4 ) . 3
Vậy 3  f (5)  4 . dx
Chú ý: Các bạn có thể tính 
bằng cách đặt t = 3x +1 . 3x +1 Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có f ( x) 1 5 f ( x) 5 1 5 d ( f ( x)) 4
f ( x) = f ( x) 3x +1  =  dx = dx    =  f ( x) 3x +1 f x 3x +1 f x 3 1 ( ) 1 ( ) 1 Trang 64 f (5) 4  4 f ( x) 5 4 ln =  ln
= f ( ) = f ( ) 3 5 1 .e  3, 79 (3; 4 ) . f ( ) 1 3 1 3
Câu 38: Cho hình lăng trụ ABC . D AB CD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm AC và BD . Tính khoảng cách
từ điểm B đến mặt phẳng ( A BD). A' D' C' B' A D O B C a 3 A. . 3 a 3 B. . 2 a 3 C. . 4 a 3 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' C' B' A D O H B C
Ta có: d (B,( A B
D)) = d (A,(A B
D)). Gọi H là hình chiếu của A lên BD .
Ta có: AH ⊥ ( A B
D)  d (A,(A BD)) = AH . 1 1 1 1 1 a 3 a Mà: = + = +  AH =
. Vậy d ( B ( ABD)) 3 , = . 2 2 2 2 2 AH AB AD a 3a 2 2
Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 45 .
Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD . 2 2 a A. . 2 Trang 65 B. 2 2 2 a . C. 2 4 2 a . D. 2 2 a . Hướng dẫn giải Chọn B S A D O B C Gọi
O = AC BD . Khi đó SO ⊥ ( ABCD) và trong SOA vuông tại O có OA o AC (2a) 2 SAO = 45 ,OA = =
= a 2. Suy ra SA = = 2a . 2 2 cos 45o
Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là 2
S =  rl= .O .
A SA = .a 2.2a = 2 2 a . . xq
Câu 40: Cho b, c  , và phương trình 2
z + bz + c = 0 có một nghiệm là z = 2 − i , nghiệm còn lại gọi là z 1 2
. Tính số phức w = bz + cz . 1 2
A. w = 18 − i .
B. w = 2 − 9i .
C. w = 18 + i .
D. w = 2 + 9i . Hướng dẫn giải Chọn D 2
z = 2 − i là nghiệm  (2 − i) + b(2 − i) + c = 0  3 − 4i + 2b + c − bi = 0 . 1
2b + c + 3 = 0 c = 5    
z = 2 + i . Vậy w = 4
− (2−i) +5(2+i) = 2 +9i . b  = 4 − b  = 4 − 2
Câu 41: Một bàn cờ vua gồm 8´ 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình
chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được
chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng 17 A. . 108 Trang 66 29 B. 216 5 C. . 216 51 D. . 196 Hướng dẫn giải
Bàn cờ 8´ 8 cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các
đường thẳng x = 0, x = 1,..., x = 8 và y = 0, y = 1,..., y = 8.
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng x và hai đường thẳng y nên có 2 2
C .C hình chữ nhật 8 8
hay không gian mẫu là n( ) 2 2
W = C .C = 1296 . 9 9
Gọi A là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh a lớn hơn 4.
Trường hợp 1: a = 5. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng x cách nhau 5 đơn vị và hai đường
thẳng y cách nhau 5 đơn vị có 4.4 = 16 cách chọn.
Trường hợp 2: a = 6 . Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng x cách nhau 6 đơn vị và hai đường
thẳng y cách nhau 6 đơn vị có 3.3 = 9 cách chọn.
Trường hợp 3: a = 7 . Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng x cách nhau 7 đơn vị và hai đường
thẳng y cách nhau 7 đơn vị có 2.2 = 4 cách chọn.
Trường hợp 3: a = 8 . Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng x cách nhau 8 đơn vị và hai đường
thẳng y cách nhau 8 đơn vị có 1.1= 1 cách chọn. Suy ra n( )
A = 16 + 9 + 4 + 1= 30 . n( ) A 30 5
Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là P( ) A = = = . n( ) W 1296 216
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d (a  0) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
f ( f ( x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = f (x) , phương trình f ( f (x)) = 0 trở thành f (t) = 0 ( )
* (số nghiệm phương trình ( ) * là số giao
điểm của đồ thị f ( x) với trục Ox ). Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình ( )
* có 3 nghiệm t thuộc khoảng ( 2
− ;2) , với mỗi giá trị t như vậy phương trình f (x) = t có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình
f ( f ( x)) = 0 có 9 nghiệm.
Lưu ý: khi t có 3 giá trị thuộc ( 2
− ;2) thì nghiệm phương trình f (x) = t là giao điểm của đồ thị f ( x) và Trang 67
đường thẳng y = t, t ( 2
− ;2) (là hàm hằng song song trục Ox ). x = 1− t
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : y + 2z = 0 và hai đường thẳng: d :  y = t ; 1 z = 4t
x = 2 − t 
d :  y = 4 + 2t . Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt hai đường thẳng d ; d có phương trình 2  1 2 z = 4  là x −1 y z A. = = . 7 8 4 − x −1 y z B. = = . 7 8 − 4 x −1 y z C. = = . 7 8 4 x +1 y z D. = = . 7 8 − 4 Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi A = d   suy ra A(1− t;t;4t ) và B = d   suy ra B(2 − t ;4 + 2t ;4) . 1 2 t  + 2.4t = 0 t  = 0
Mặt khác A( ) ; B ( ) nên ta có    4 + 2t + 2.4 = 0 t  = 6 −
Do đó A(1;0;0) và B(8;−8;4) . − Đườ x y z
ng thẳng  đi qua A và nhận AB = (7;−8;4) làm vectơ chỉ phương có phương trình 1 = = . 7 8 − 4 2
Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình x −9 ( 2x ) x 1 3 9 .5 + + −
1 là khoảng (a;b). Tính b − a . A. 4. . B. 8. . C. 6. . D. 3. . Hướng dẫn giải Chọn C  2 x  3 − x −9 0 3   3 =  1 2 2 Với x − 9  0  ,  ta có  nên x −9 ( 2x ) x 1 3 9 .5 + + − 1 x  3 ( 2x −9  ) x 1 .5 +  0
 không thỏa mãn bất phương trình đã cho, do đó bất phương trình vô nghiệm. 2 x −9 0 3   3 =  1 2 Với 2 x − 9  0  3
−  x  3, ta có − + ( nên x 9 + ( 2 x − ) x 1 3 9 .5 1 2 x − 9  ) x 1 .5 +  0
 Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = ( 3 − ;3).
Khi đó, a = −3;b = 3 nên b − a = 6 .
Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ; SA vuông góc với Trang 68 đáy, khoả a
ng cách từ A đến (SCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp theo a . 2 2 5 A. 3 a . 45 2 5 B. 3 a . 15 4 15 C. 3 a . 45 4 15 D. 3 a . 15 Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD . Ta có ìï AH ^ SD ï a í Þ ^ Þ = ï AH (SCD) AH d ( ,
A (SCD)). Suy ra AH = . AH ^ CD ïî 2
DSAD vuông tại A có đường cao AH nên 1 1 1 1 1 1 15 2a 15 = + Û = - = Þ SA = . 2 2 2 AH SA AD 2 2 2 SA AH AD 2 4a 15 1 1 2a 15 4 15 Vậy V = A . B A . D SA = . a 2 . a 3 = a . 3 3 15 45
Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z −1− i = 1, số phức w thỏa mãn w − 2 − 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − w . A. 13 + 3 . B. 17 − 3. C. 17 + 3 . D. 13 − 3 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z = x + iy thì M thuộc đường tròn (C có tâm I 1;1 , bán kính R = 1. 1 ( ) 1 ) 1
N ( x ; y) biểu diễn số phức w = x + iy thì N thuộc đường tròn (C có tâm I 2; 3
− , bán kính R = 2 . 2 ( ) 2 ) 2
Giá trị nhỏ nhất của z − w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . Trang 69 Ta có I I = 1; 4
−  I I = 17  R + R  (C và (C ở ngoài nhau. 2 ) 1 ) 1 2 ( ) 1 2 1 2  MN
= I I − R − R = 17 − 3. min 1 2 1 2 Câu 47: Có bao nhiêu bộ
( ;x y) với x, y nguyên và 1 x,y  2023 thỏa mãn (    + 
xy + x + y + ) 2 y 2x 1 2 4 8 log
 2x + 3y − xy − 6 log ? 3   ( ) 2    y + 2   x − 3  A. 4040 . B. 2 . C. 2020 . D. 2020x2023. Hướng dẫn giải Chọn A + Điều kiện * x, y : x, y  2023 *  x, y : x, y  2023 2x +1 2y    0,  0  x  3, y  0  x − 3 y + 2  x + 4   y − 2 
BPT cho có dạng ( x − 3)( y − 2) log
+1 + x + 4 y + 2 log +1  0 . 2   ( )( ) 3    x − 3   y + 2   x + 4  2
+ Xét y = 1 thì thành − ( x − 3) log +1 + 3 x + 4 log
 0 , rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi 2   ( ) 3  x − 3  3  x + 4  2
x  3 vì − ( x − 3)  0, log
+1  log 0 +1 = 0, 3 x + 4  0, log  0 . 2   2 ( ) ( ) 3  x − 3  3
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2020 bộ ( ; x y) = ( ; x )
1 với 4  x  2023, x  .
+ Xét y = 2 thì thành 4( x + 4)log 1  0 , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4  x  2023, x  . 3
Trường hợp này cho ta 2020 cặp ( ; x y ) nữa.
+ Với y  2, x  3 thì VT ( ) *  0 nên không xảy ra.
Vậy có đúng 4040 bộ số ( ;
x y ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48: Cho parabol (P) 2
: y = x và một đường thẳng d thay đổi cắt ( P) tại hai điểm A , B sao cho
AB = 2023 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất S max của S. 3 2023 A. S = . max 3 3 2023 +1 B. S = . max 6 3 2023 −1 C. S = . max 6 3 2023 D. S = . max 6 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử 2 ( A ; a a ) ; 2 B( ;
b b ) (b a) sao cho AB = 2023 . Trang 70
Phương trình đường thẳng d là: y = (a + b)x − ab . Khi đó b b S =
a + b x − ab − x x = 
( a +b)x−ab− x ) 1 ( ) d dx = (b − a)3 2 2 . 6 a a Vì 2 2 2 2 2 2 2 2
AB = 2023  (b − a) + (b − a ) = 2023  (b − a) (1+ (b + a) ) = 2023 3 2023 2 2
 (b −a)  2023  b −a = b −a  2023  S  . 6 3 2023 2023 2023 Vậy S = khi a = − và a = . max 6 2 2
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình dưới đây
Đồ thị của hàm số g x =  f x 2 ( )
( ) có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải Chọn A
Dựa vào đồ thị, ta có x = 0
x = a (0  a 1)  
f (x) = 0  x = 1 (nghiem kep)  và f (
x) = 0  x =1  x = 3 
x = b (1 b  3) 
x = a (0  a 1) x =1   f (x) = 0
x = b (1 b  3) Ta có g (
x) = 2 f (x). f (x); g (x) = 0      f (x) = 0 x = 0  x =1 (nghiemboi 2)  x = 3 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g (x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình Trang 71
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 1 1
=16 và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0, (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường
tròn (T ) . CD là một đường kính cố định của đường tròn (T ) , A là một điểm thay đổi trên (T ) ( A khác C
và D ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P) cắt (S ) tại B . Tính 2 2 BC + AD . A. 8 . B. 32 . C. 64 . D. 16 . Hướng dẫn giải Chọn D B D A C ( − + +
S ) có tâm I (1; 1 − )
;1 và bán kính R = 4 . Ta có d ( I ( P)) 1 1 1 2 ; =
= 3 nên (P) cắt (S ) theo đường 3
tròn (T ) có bán kính 2 2 r =
R − d (I;(P)) = 13 .
Giả thiết có AB = 2 3 nên 2 2 BC + AD 2 2 2
= BA + AC + AD 2 2
= BA + CD =12 + 52 = 64 . Thuvienhoclieu.Com
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 4 MÔN TOÁN 1− x
Câu 1: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
có phương trình lần lượt là −x + 2 1
A. x = 2; y = .
B. x = 1; y = 2 .
C. x = 2; y = 1.
D. x = 2; y = −1 . 2 x − 4 z − 2 z +1
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Điểm nào sau đây thuộc d ? 2 5 − 1 A. Q(2;5;1) . B. M (4; 2;1) . C. N (4; 2; 1 − ) .
D. P(2; −5;1) .
Câu 3: Cho tập hợp A = 2;3;4;5;6; 
7 . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ
các chữ số thuộc A ? A. 180 . B. 256 . C. 216 . D. 120 .
Câu 4: Cho hai số phức z = 1+ 2i , z = 2 − 3i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z = z + z . 1 2 1 2
A. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng 5 − .
B. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng −1.
C. Phần thực bằng 5 ; phần ảo bằng 5 . Trang 72
D. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng 1.
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(2; 2 − ; ) 1 , B(1; 1 − ; )
3 . Tọa độ của vectơ AB là A. ( 3 − ;3; 4 − ) . B. (1; 1 − ; 2 − ). C. (3; 3 − ;4). D. ( 1 − ;1;2) .
Câu 6: Tập nghiệm S của phương trình log x −1 = 2. 3 ( ) A. S =   6 . B. S =   10 . C. S =   7 . D. S =  .
Câu 7: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 2 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 6 . B. 12 . C. 3 . D. 2 .
Câu 8: Cho hai số phức = − = + − 1 z
1 3i và z2 3 i . Số phức bằng 1 z z2 ? A. 2 − − 4i . B. 2 + 4i . C. 2 − 4i . D. 2 − + 4i .
Câu 9: Cho a là số thực dương bất kỳ khác 1. Tính S = a a . a ( 3 4 log . ) 3 13 A. S = . B. S = 7 . C. S = 12 . D. S = . 4 4 1
Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số 5 y = x 1  A. y = x . B. 3 y = x . C. y = .
D. y = x . 5 x
Câu 11: Cho hai số phức z = 2 + 5i , z = 3 − 4i . Tìm số phức z = z .z 1 2 1 2
A. z = 6 + 20i .
B. z = 6 − 20i .
C. z = 26 + 7i .
D. z = 26 − 7i .
Câu 12: Số phức z = 3i − 2 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là: A. (3; − 2) . B. (3; 2) . C. (2; − 3) . D. ( 2 − ; 3) .
Câu 13: Giải bất phương trình log 1− x  0 ? 1 ( ) 2 A. 1 −  x  0. B. x  0 . C. x = 0 . D. x  0 . b Câu 14: Cho f
 (x)dx = 7 và f (b) = 5. Khi đó f (a)bằng a A. 12 . B. −2 . C. 0 . D. 2 .
Câu 15: Giá trị cực đại của hàm số 3
y = x − 3x + 2 bằng A. 4 . B. −1. C. 0 . D. 1 .
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) có phương trình 3x − y + z −1 = 0 . Trong các điểm sau
đây điểm nào thuộc ( P) . A. B (1; 2 − ;4). B. C (1;2; 4 − ) . C. A(1; 2 − ; 4 − ) . D. D ( 1 − ; 2 − ; 4 − ). 2x + 4
Câu 17: Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm số y = là x −1 A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 .
Câu 18: Gọi R, S, V lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai? 4
A. 3V = S.R . B. 2 S =  R . C. 2 S = 4 R . D. 3 V =  R . 3
Câu 19: Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây. Trang 73 y 1 O x 1 . A. 3 2
y = x + 3x − 3x +1. B. 3 2
y = −x − 2x + x − 2 . C. 3
y = −x + 3x +1. D. 3 2
y = x + 3x + 3x +1 . 1
Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 3x f x + . 2 x x x A. f  (x) 3 1 dx = − + C . B. f  (x) 3 1 dx = + + C . ln 3 x ln 3 x C.  ( ) 1 d = 3x f x x − + C . D.  ( ) 1 d = 3x f x x + + C . x x
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0;0; 2 − ) và đường thẳng x + 3 y −1 z − 2  : = =
. Viết phương trình mp ( P) đi qua điểm M và vuông góc với  . 4 3 1
A. 4x + 3y + z + 2 = 0 .
B. 3x + y − 2z −13 = 0 .
C. 3x + y − 2z − 4 = 0 .
D. 4x + 3y + z + 7 = 0 .
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 − .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 − .
Câu 23: Xác định x để 3 số x −1; 3; x +1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. x = 5.. B. x = 3.. C. x = 10. . D. x = 2 2. .
Câu 24: Với a là số thực dương tùy ý, 2 log a bằng: 2 1 1 A. log a . B. + log a . C. 2 + log a . D. 2 log a . 2 2 2 2 2 2 3 Câu 25: Biết ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
. Giá trị của 1+ f (x)dx bằng 1 32 26 A. . B. 10 . C. 8 . D. . 3 3
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số = 2x y ? x 2x A. 2 d = ln 2.2 +  x x x C . B. 2 dx = +  C . ln 2 Trang 74 x 2x C. 2 dx = +  C . D. 2 d = 2 +  x x x C . x +1 5 5 Câu 27: Biết f
 (x)dx = 4. Giá trị của 3f (x)dx  bằng 1 1 4 A. . B. 7 . C. 64 . D. 12 . 3
Câu 28: Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức w = iz + z A. w = 3 + 7i . B. w = 7 − − 7i .
C. w = 7 − 3i . D. w = 3 − −3i .
Câu 29: Trong các hàm số được liệt kê dưới đây, hàm số nào đồng biến trên . 3x − 4 A. y = 3 − x + 4 . B. y = .
C. y = sin 3x + 4x . D. 2
y = 3x + 4x − 7 . 2x −1
Câu 30: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 16 f x = x + trên đoạn 1; 5  bằng x 41 A. 17 . B. 8 − . C. . D. 8 . 5
Câu 31: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng r có diện tích xung quanh
S cho bởi công thức xq A. 2 S = 4r . B. S = 2 rl . C. S =  rl . D. 2 S = 2r . xq xq xq xq
Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ;3 − ) .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +) .  1 
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; +   .  2   1 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng −; −   và (3;+) .  2 
Câu 33: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2 x + 1 là: 2 ) ln 2 2x 2x ln 2 2x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 x +1 2 x +1 2 x +1 ( 2x + )1ln2
Câu 34: Một quả bóng có bán kính 10(cm) được đặt khít vào một hộp cứng dạng hình hộp. Tính thể tích khối hộp đó. . Trang 75 A. ( 3 4000 cm ) . B. ( 3 4000 cm ) . C. ( 3 800 cm ). D. ( 3 8000 cm ) .
Câu 35: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng: A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 .
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ; SA vuông góc với đáy, khoả a
ng cách từ A đến (SCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp theo a . 2 4 15 2 5 4 15 2 5 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 45 45 15 15
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn 0;202 
3 thỏa mãn bất phương trình sau 16x 25x 36x 20x 24x 30x + +  + + . A. 2023. B. 3 . C. 2024 . D. 1 .
Câu 38: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn. 3 1 5 7 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8
Câu 39: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên đoạn  2
− ;9, biết f (− )
1 = f (2) = f (9) = 3 và f ( x) có
bảng biến thiên như sau:
Tìm m để phương trình f ( x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2 − ;9. A. m  ( 2 − ;9 \   6 . . B. m  2 − ;9 \ 2 − ;  6 .. C. m  ( 2 − ;9 \ (( 1 − ;2)   6 ). . D. m  2 − ;  9 \ (( 1 − ;2)   6 ). . 1 −
Câu 40: Cho hàm số f ( x) có f (0) = 1 − và ( ) = (6+12 x f x x
x + e ), x
  . Khi đó f ( x)dx  bằng 0 A. 1 3e− . B. 1 3e− − . C. 3e . D. 1 4 3e− − .
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Biết
BC = a , BAC = 45 . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABC) . Trang 76 a a 6 a 6 A. h = .
B. h = a 6 . C. h = . D. h = . 6 2 3
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y − z −1 = 0 và đường thẳng x + 2 y − 4 z +1 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên ( P) . 2 2 − 1 x + 2 y z +1 x − 2 y z −1 A. d : = = . B. d : = = . 7 5 − 2 7 5 2 x − 2 y z −1 x + 2 y z +1 C. d : = = . D. d : = = . 7 5 − 2 7 5 2
Câu 43: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng a . A , B là hai điểm bất kỳ trên (O) . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 24 96 96 48 x − 3 y − 3 z
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 1 3 2
(): x + y − z +3 = 0 và điểm A(1; 2; − )
1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng ( ) . x −1 y − 2 z +1 x −1 y − 2 z +1 A. = = . B. = = . 1 2 − 1 − 1 − 2 − 1 x −1 y − 2 z +1 x −1 y − 2 z +1 C. = = . D. = = . 1 2 1 1 − 2 1 −
Câu 45: Cho a là số thực, phương trình 2
z + (a − 2) z + 2a − 3 = 0 có 2 nghiệm z , z . Gọi M , N là điểm 1 2
biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 120 , tính tổng các giá trị 1 2 của a . A. 6 − . B. 4 . C. −4 . D. 6 .
Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi số nguyên x có không quá 242 số nguyên y thoả mãn: log ( 2 x + y  log x + y ? 4 ) 3 ( ) A. 55 . B. 56 . C. 57 . D. 58 .
Câu 47: Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều
kiện z − i = z + i ?
A. Một đường elip.
B. Một đường tròn.
C. Một đường thẳng.
D. Một đoạn thẳng.
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 1 1
=16 và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0, (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường
tròn (T ) . CD là một đường kính cố định của đường tròn (T ) , A là một điểm thay đổi trên (T ) ( A khác C
và D ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P) cắt ( S ) tại B . Tính 2 2 BC + AD . A. 8 . B. 64 . C. 32 . D. 16 .
Câu 49: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục trên
và đồ thị của f ( x) trên đoạn  2 − ;  6 như
hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng? Trang 77 y 3 (C): y = f(x) 1 x 2 1 O 2 6
A. f (6)  f (2)  f ( 2 − )  f (− ) 1 . B. f ( 2 − )  f (− )
1  f (2)  f (6) .
C. f (2)  f ( 2 − )  f (− ) 1  f (6) . D. f ( 2
− )  f (2)  f (− ) 1  f (6) .
Câu 50: Cho hàm số bậc năm y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) = f ( 3 2 x + 3x ) là A. 4 . B. 11. C. 7 . D. 6 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C C D B D B D A D D C D D B A C D B C A A A C D B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B D D C D B B D D A A D D C A C C D A D B C D C D
LỜI GIẢI CHI TIẾT 1− x
Câu 1: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
có phương trình lần lượt là −x + 2 1
A. x = 2; y = .
B. x = 1; y = 2 .
C. x = 2; y = 1.
D. x = 2; y = −1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: + lim y = + ;
 lim y = −  Tiệm cận đứng là x = 2. + − x→2 x→2
+ lim y = 1  Tiệm cận ngang là y = 1 . x→ x − 4 z − 2 z +1
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Điểm nào sau đây thuộc d ? 2 5 − 1 A. Q(2;5;1) . B. M (4; 2;1) . C. N (4; 2; 1 − ) .
D. P(2; −5;1) . Hướng dẫn giải Chọn C
Thế điểm N (4; 2; 1
− ) vào d ta thấy thỏa mãn nên chọn A.
Câu 3: Cho tập hợp A = 2;3;4;5;6; 
7 . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ Trang 78
các chữ số thuộc A ? A. 180 . B. 256 . C. 216 . D. 120 . Hướng dẫn giải Chọn D
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số của A bằng số chỉnh hợp chập ba của 6 . Vậy có 3 A = 120 . 6
Câu 4: Cho hai số phức z = 1+ 2i , z = 2 − 3i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z = z + z . 1 2 1 2
A. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng 5 − .
B. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng −1.
C. Phần thực bằng 5 ; phần ảo bằng 5 .
D. Phần thực bằng 3 ; phần ảo bằng 1. Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có: z = z + z = 1+ 2i + 2 − 3i = 3 − i . 1 2
Vậy số phức z có phần thực bằng 3 , phần ảo bằng −1.
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(2; 2 − ; ) 1 , B(1; 1 − ; )
3 . Tọa độ của vectơ AB là A. ( 3 − ;3; 4 − ) . B. (1; 1 − ; 2 − ). C. (3; 3 − ;4). D. ( 1 − ;1;2) . Hướng dẫn giải Chọn D AB = ( 1 − ;1;2).
Câu 6: Tập nghiệm S của phương trình log x −1 = 2. 3 ( ) A. S =   6 . B. S =   10 . C. S =   7 . D. S =  . Hướng dẫn giải Chọn B log
x −1 = 2  x −1 = 9  x = 10 . 3 ( )
Câu 7: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 2 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 6 . B. 12 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D
Thể tích khối chóp đã cho là 1 1 V = Bh = .3.2 = 2 . 3 3
Câu 8: Cho hai số phức = − = + − 1 z
1 3i và z2 3 i . Số phức bằng 1 z z2 ? A. 2 − − 4i . B. 2 + 4i . C. 2 − 4i . D. 2 − + 4i . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có z − z = 1− 3i − 3 + i = 1− 3i − 3 − i = 2 − − 4i . 1 2 ( ) ( )
Câu 9: Cho a là số thực dương bất kỳ khác 1. Tính S = a a . a ( 3 4 log . ) 3 13 A. S = . B. S = 7 . C. S = 12 . D. S = . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 79   S = log a a a a a . a ( 13 4 . ) 1 13 3 3 4 4 = loga  .  = log = a 4   1
Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số 5 y = x 1  A. y = x . B. 3 y = x . C. y = .
D. y = x . 5 x Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 Tập xác định của 5
y = x là D = (0;+) , y = có D = \   0 , y =
x có D = 0;+) , 3 y = x có 5 xD =
, y = x có D = (0;+) .
Câu 11: Cho hai số phức z = 2 + 5i , z = 3 − 4i . Tìm số phức z = z .z 1 2 1 2
A. z = 6 + 20i .
B. z = 6 − 20i .
C. z = 26 + 7i .
D. z = 26 − 7i . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có z = z .z = 26 + 7i . 1 2
Câu 12: Số phức z = 3i − 2 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là: A. (3; − 2) . B. (3; 2) . C. (2; − 3) . D. ( 2 − ; 3) . Hướng dẫn giải Chọn C z = 3i − 2 = 2
− + 3i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là ( 2 − ;3) .
Câu 13: Giải bất phương trình log 1− x  0 ? 1 ( ) 2 A. 1 −  x  0. B. x  0 . C. x = 0 . D. x  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  − x  log 1− x  0  1 0   x  0 . 1 ( ) 1  − x  1 2 b Câu 14: Cho f
 (x)dx = 7 và f (b) = 5. Khi đó f (a)bằng a A. 12 . B. −2 . C. 0 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B b f
 (x)dx = 7  f (b)− f (a) = 7  f (a) = f (b)−7 = 2 − . a
Câu 15: Giá trị cực đại của hàm số 3
y = x − 3x + 2 bằng A. 4 . B. −1. C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn A x = 1 − Tập xác định D = . Ta có 2
y = 3x − 3  y = 0   . x = 1 Bảng biến thiên: Trang 80 x − −1 1 + y + 0 − 0 + 4 + y − 0
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng 4 .
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) có phương trình 3x − y + z −1 = 0 . Trong các điểm sau
đây điểm nào thuộc ( P) . A. B (1; 2 − ;4). B. C (1;2; 4 − ) . C. A(1; 2 − ; 4 − ) . D. D ( 1 − ; 2 − ; 4 − ). Hướng dẫn giải Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy điểm A thỏa. 2x + 4
Câu 17: Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm số y = là x −1 A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn D 6 y = 2 + , y
x −1là ước nguyên của 6. x −1 x −1 1  ;  2;  3;   6 , x  5 − ; -2; -1; 0; 2; 3; 4;  7 .
Vậy có 8 điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị.
Câu 18: Gọi R, S, V lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai? 4
A. 3V = S.R . B. 2 S =  R . C. 2 S = 4 R . D. 3 V =  R . 3 Hướng dẫn giải Chọn B
Công thức tính diện tích mặt cầu là: 2 S = 4 R . .
Câu 19: Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây. y 1 O x 1 . A. 3 2
y = x + 3x − 3x +1. B. 3 2
y = −x − 2x + x − 2 . C. 3
y = −x + 3x +1. D. 3 2
y = x + 3x + 3x +1 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y = ax + bx + cx + d với hệ số a  0 , do đó loại đáp án A và D Trang 81
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên d = 1, do đó loại đáp án B. 1
Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 3x f x + . 2 x x x A. f  (x) 3 1 dx = − + C . B. f  (x) 3 1 dx = + + C . ln 3 x ln 3 x C.  ( ) 1 d = 3x f x x − + C . D.  ( ) 1 d = 3x f x x + + C . x x Hướng dẫn giải Chọn A  1  3x x 1 Ta có: f  (x)dx = 3 + dx = − + C   . 2  x  ln 3 x
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0;0; 2 − ) và đường thẳng x + 3 y −1 z − 2  : = =
. Viết phương trình mp ( P) đi qua điểm M và vuông góc với  . 4 3 1
A. 4x + 3y + z + 2 = 0 .
B. 3x + y − 2z −13 = 0 .
C. 3x + y − 2z − 4 = 0 .
D. 4x + 3y + z + 7 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn A M .
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u = (4;3; ) 1 .
Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (0;0; 2
− ) và vuông góc với  nên nhận u = (4;3; )
1 làm vectơ pháp tuyến có
phương trình: 4(x − 0) + 3( y − 0) + (
1 z + 2) = 0  4x + 3y + z + 2 = 0 .
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 − .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 − . Hướng dẫn giải Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Câu 23: Xác định x để 3 số x −1; 3; x +1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. x = 5.. B. x = 3.. C. x = 10. . D. x = 2 2. . Hướng dẫn giải Trang 82 Chọn C
Ba số x −1; 3; x +1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
 (x − )(x + ) 2 2 1
1 = 3  x = 10  x = 10 .
Câu 24: Với a là số thực dương tùy ý, 2 log a bằng: 2 1 1 A. log a . B. + log a . C. 2 + log a . D. 2 log a . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
Vì a là số thực dương tùy ý nên 2 log a = 2log a 2 2 . 3 Câu 25: Biết ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
. Giá trị của 1+ f (x)dx bằng 1 32 26 A. . B. 10 . C. 8 . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 3
Ta có 1+ f (x)dx = (x + F (x)) = ( 2
x + x ) = 12 − 2 = 10. . 1 1 1
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số = 2x y ? x 2x A. 2 d = ln 2.2 +  x x x C . B. 2 dx = +  C . ln 2 x 2x C. 2 dx = +  C . D. 2 d = 2 +  x x x C . x +1 Hướng dẫn giải Chọn B x 2x Ta có 2 dx = +  C . ln 2 5 5 Câu 27: Biết f
 (x)dx = 4. Giá trị của 3f (x)dx  bằng 1 1 4 A. . B. 7 . C. 64 . D. 12 . 3 Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 Ta có 3 f
 (x)dx = 3 f
 (x)dx = 3.4 =12. 1 1
Câu 28: Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức w = iz + z A. w = 3 + 7i . B. w = 7 − − 7i .
C. w = 7 − 3i . D. w = 3 − −3i . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có: w = i (2 + 5i) + (2 − 5i) = 3 − − 3i .
Câu 29: Trong các hàm số được liệt kê dưới đây, hàm số nào đồng biến trên . 3x − 4 A. y = 3 − x + 4 . B. y = .
C. y = sin 3x + 4x . D. 2
y = 3x + 4x − 7 . 2x −1 Trang 83 Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có: với y = sin 3x + 4x thì y = (sin 3x + 4x) = 3cos3x + 4 1  0, x   .
Câu 30: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 16 f x = x + trên đoạn 1; 5  bằng x 41 A. 17 . B. 8 − . C. . D. 8 . 5 Hướng dẫn giải Chọn D 16
Ta có f ( x) = 1−
, f ( x) = 0  x = 41;  5 . 2 x f ( ) 1 = 17 , f ( ) 41 5 = , f (4) = 8. 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8 .
Câu 31: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng r có diện tích xung quanh
S cho bởi công thức xq A. 2 S = 4r . B. S = 2 rl . C. S =  rl . D. 2 S = 2r . xq xq xq xq Hướng dẫn giải Chọn B
Câu hỏi lý thuyết.
Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ;3 − ) .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +) .  1 
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; +   .  2   1 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng −; −   và (3;+) .  2  Hướng dẫn giải Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +) .
Câu 33: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2 x + 1 là: 2 ) ln 2 2x 2x ln 2 2x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 x +1 2 x +1 2 x +1 ( 2x + )1ln2 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 84 (  2 x + ) 1 2x y = ( = . 2 x + ) 1 ln 2 ( 2x + )1ln2
Câu 34: Một quả bóng có bán kính 10(cm) được đặt khít vào một hộp cứng dạng hình hộp. Tính thể tích khối hộp đó. . A. ( 3 4000 cm ) . B. ( 3 4000 cm ) . C. ( 3 800 cm ). D. ( 3 8000 cm ) . Hướng dẫn giải Chọn D
Hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng đường kính quả bóng nên 3 3
V = 20 = 8000cm .
Câu 35: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng: A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 . Hướng dẫn giải Chọn A ( ; ') = ( ; ') = 60O AC DA AC CB
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ; SA vuông góc với đáy, khoả a
ng cách từ A đến (SCD) bằng
. Tính thể tích của khối chóp theo a . 2 4 15 2 5 4 15 2 5 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 45 45 15 15 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 85
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD . Ta có ìï AH ^ SD ï a í Þ ^ Þ = ï AH (SCD) AH d ( ,
A (SCD)). Suy ra AH = . AH ^ CD ïî 2
DSAD vuông tại A có đường cao AH nên 1 1 1 1 1 1 15 2a 15 = + Û = - = Þ SA = . 2 2 2 AH SA AD 2 2 2 SA AH AD 2 4a 15 1 1 2a 15 4 15 Vậy V = A . B A . D SA = . a 2 . a 3 = a . 3 3 15 45
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn 0;202 
3 thỏa mãn bất phương trình sau 16x 25x 36x 20x 24x 30x + +  + + . A. 2023. B. 3 . C. 2024 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x x x x x x 2 x 2 x 2 16 25 36 20 24 30 4 5 6 x 4 .
x 5x 4 .x6x 5 .x6x + +  + +  + +  + + ( 2 2 2
x )2 + ( x )2 + ( x )2   2 4 5 6
− (2.4 .x5x + 2.4 .x6x + 2.5 .x6x )  0 x x x x x x
 (4 −5 ) +(4 −6 ) +(5 −6 )    0 . x  4   = 1    5   x x 4 − 5 = 0  x   4  x x  4 − 6 = 0   = 1  x = 0   0;  2023   6   x x 5 − 6 = 0  x  5   = 1    6  
Vậy có 1 giá trị nguyên của x trong đoạn 0;202 
3 thỏa mãn bất phương trình.
Câu 38: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn. 3 1 5 7 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Chọn D
Số phần tử không gian mẫu: 3  = 6 .
Gọi biến cố A: “tích số chấm 3 lần gieo là chẵn”.
Suy ra A : “tích số chấm 3 lần gieo là lẻ”. Trang 86 Để 3 1
xảy ra biến cố A thì cả ba lần gieo đều xảy ra chấm lẻ   = 3.3.3  P ( A) 3 = = . A 3 6 8
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) 7 = . 8
Câu 39: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên đoạn  2
− ;9, biết f (− )
1 = f (2) = f (9) = 3 và f ( x) có
bảng biến thiên như sau:
Tìm m để phương trình f ( x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2 − ;9. A. m  ( 2 − ;9 \   6 . . B. m  2 − ;9 \ 2 − ;  6 .. C. m  ( 2 − ;9 \ (( 1 − ;2)   6 ). . D. m  2 − ;  9 \ (( 1 − ;2)   6 ). . Hướng dẫn giải Chọn C
Phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2 − ;9 khi 4
−  f (m)  3. Trên ( 2
− ;0), hàm số f ( x) đồng biến và f (− ) 1 = 3 nên 4
−  f (m)  3  2 −  m  1 − .
Trên (0;6), hàm số f ( x) nghịch biến và f (2) = 3 nên 4
−  f (m)  3  6  m  2.
Trên ( 6;9), hàm số f ( x) đồng biến và f (9) = 3 nên 4
−  f (m)  3  6  m  9.
Vậy điều kiện của m là: m( 2 − ;− 
1 2;6) (6;9  m( 2 − ;9\ (( 1 − ;2)  6 ).. 1 −
Câu 40: Cho hàm số f ( x) có f (0) = 1 − và ( ) = (6+12 x f x x
x + e ), x
  . Khi đó f ( x)dx  bằng 0 A. 1 3e− . B. 1 3e− − . C. 3e . D. 1 4 3e− − . Hướng dẫn giải Chọn A − Ta có: ( ) = (6 +12 x f x x
x + e ), x
  nên f ( x)là một nguyên hàm của f (x) .   ( ) =  ( −x + + ) = ( 2 d 6 12 d 6 +12 )d −x f x x x x e x x x x + xe dx  Mà ( 2 x + x ) 2 3 6 12
dx = 3x + 4x + C u  = x du = dx − Xét x xe dx  : Đặt    d −x v = e d −x x v  = −e −xd −x −x = − + d −x −x = − − + = −   ( + )1 −x xe x xe e x xe e C x e + C − Suy ra ( ) 2 3 = 3 + 4 −( + ) 1 x f x x x x e + C, x   . − Mà f (0) = 1 −  C = 0 nên ( ) 2 3 = 3 + 4 −( + ) 1 x f x x x x e , x   . Ta có 1 1 1 1
( )d = (3 + 4 −( + )1 −x )d = ( + )1 2 3 3 4 − ( + ) 1 −xd = 2 − ( +     )1 −x f x x x x x e x x x x e x x e dx 0 0 0 0 0 Trang 87 1 u  = x +1 d  u = dx − Xét ( +  )1 x x
e dx : Đặt    d −x v = e d −x x v  = −e 0 1 1 (x+ )1 −x
e dx = − ( x + ) 1 1 − x − x 1 − − x −1 −1 −1 1 e + e dx = 2 − e +1− e = 2
− e +1− e +1 = 2 − 3e  0 0 0 0 1 Vậy f ( x) 1 dx 3e− =  . 0
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Biết
BC = a , BAC = 45 . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABC) . a a 6 a 6 A. h = .
B. h = a 6 . C. h = . D. h = . 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn C S 60° A C 45° H a B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) , suy ra d (S,( ABC)) = SH và SAH = SBH = SCH = 60
HA = HB = HC .
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . BC a Xét ABC  , có: = 2HA HA = . sin A 2 a a 6 Xét S
AH vuông tại H , có SH = AH.tan SAH = . 3 = . 2 2
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y − z −1 = 0 và đường thẳng x + 2 y − 4 z +1 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên ( P) . 2 2 − 1 x + 2 y z +1 x − 2 y z −1 A. d : = = . B. d : = = . 7 5 − 2 7 5 2 x − 2 y z −1 x + 2 y z +1 C. d : = = . D. d : = = . 7 5 − 2 7 5 2 Hướng dẫn giải Chọn C Trang 88 d N M M' d' Px = 2 − + 2t
+) Phương trình tham số của d : y = 4 − 2t , t R . Gọi M = ( 2
− + 2t;4 − 2t; 1
− + t) là giao điểm của d và z = 1 − + t  (P) ( 2
− + 2t) +(4− 2t) −( 1
− + t)−1= 0  t = 2  M = (2;0; ) 1 .
+) Mặt phẳng ( P) có 1 vector pháp tuyến là n = (1;1;− )
1 . Điểm N = (0;2;0)  d . P
Gọi  là đường thẳng qua N (0; 2;0) và vuông góc với mặt phẳng ( P)   nhận vector n = (1;1;− ) 1 làm P
vector chỉ phương. Suy ra phương trình của  là: x = c
( ) x −0 y − 2 z −0   : = =
 () : y = 2 + c , c R . Gọi M = ( ; c 2 + ; c c
− ) là giao điểm của  với mặt 1 1 1 − z = −c   1 5 1 
phẳng ( P)  c + ( + c) − ( c − ) 1 2
−1= 0  c = −  M  − ; ;   . 3  3 3 3   7 5 2  +) MM  = − ; ; − 
 , đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) nên d chính  3 3 3 
là đường thẳng MM ', suy ra d đi qua M (2;0 )
;1 và nhận vector u = 3 − MM  = (7; 5 − ;2) làm vector chỉ
phương nên phương trình của d là: x − 2 y z −1 d : = = . 7 5 − 2
Câu 43: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng a . A , B là hai điểm bất kỳ trên (O) . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 24 96 96 48 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 89 S h B a/2 O A 1 1 Ta có V = S
.SO . Lại có S = O . A O . B sin AOB . S .OAB   3 AOB AOB 2 a a 3
Mặt khác OA = OB = , SO = h = . 2 2
Do đó thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất khi sin AOB = 1  OA ⊥ OB . 3 Khi đó 1 1 a a a 3 a 3 V =     = . max 3 2 2 2 2 48 x − 3 y − 3 z
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 1 3 2
(): x + y − z +3 = 0 và điểm A(1; 2; − )
1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng ( ) . x −1 y − 2 z +1 x −1 y − 2 z +1 A. = = . B. = = . 1 2 − 1 − 1 − 2 − 1 x −1 y − 2 z +1 x −1 y − 2 z +1 C. = = . D. = = . 1 2 1 1 − 2 1 − Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi M =   d M d M (3 + t; 3 + 3t; 2t )  AM = (2 + t;1+ 3t;1+ 2t ) .
( ) có VTPT là n = (1;1; − ) 1 .
AM // ( )  AM.n = 0  2 + t +1+ 3t −1− 2t = 0  t = 1
−  AM = (1; − 2; − ) 1 . x −1 y − 2 z +1 Vậy  : = = . 1 2 − 1 −
Câu 45: Cho a là số thực, phương trình 2
z + (a − 2) z + 2a − 3 = 0 có 2 nghiệm z , z . Gọi M , N là điểm 1 2
biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 120 , tính tổng các giá trị 1 2 của a . A. 6 − . B. 4 . C. −4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D
Vì O , M , N không thẳng hàng nên z , z không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo 1 2
z , z là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình 2
z + (a − 2) z + 2a − 3 = 0 . Do đó, ta phải 1 2 có: 2
 = a −12a +16  0  a (6−2 5; 6+ 2 5). Trang 90 2  2 − a −a +12a −16 z = − i 1  Khi đó, ta có: 2 2  . 2  2 − a −a +12a −16 z = + i  1  2 2
OM = ON = z = z = 2a − 3 và 2
MN = z − z = −a +12a −16 . 1 2 1 2 2 2 2
OM + ON − MN 2 a − 8a +10 1
Tam giác OMN cân nên MON = 120  = cos120  = − 2OM .ON 2 (2a − 3) 2 2
a − 6a + 7 = 0 a = 3 2 .
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 .
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi số nguyên x có không quá 242 số nguyên y thoả mãn: log ( 2 x + y  log x + y ? 4 ) 3 ( ) A. 55 . B. 56 . C. 57 . D. 58 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 x + y  0 Điều kiện:  x + y  0 2 t 2
x + y  4
x − x  4t − 3t
Đặt log x + y = t . Ta có:    3 ( )
x + y = 3t
y = 3t − x Nhận xet: hàm số ( ) 4t 3t f t =
− đồng biến trên (0;+) và f (t)  0, t   0
Gọi n  thoả mãn n n 2
4 − 3 = x − x , khi đó t t 2 4 −3 
−  4t −3t  4n −3n x xt n Từ +
 0  −  = 3t −  3n x y x y x − x
Mặt khác, không quá 242 số nguyên y thoả mãn đề bài nên 3n  242  n  log 242 3 2 n n lo 3 g 242
x − x = 4 −3  4 − 242  2
− 7,4  x  28,4  x 2 − 7; 2 − 6;...;2  8
 có 56 số nguyên x thoả mãn đề bài.
Câu 47: Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều
kiện z − i = z + i ?
A. Một đường elip.
B. Một đường tròn.
C. Một đường thẳng.
D. Một đoạn thẳng. Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z = xi + y , được biểu diễn bởi điểm M ( ;
x y) trong mặt phẳng tọa độ ( xoy) .
Ta có z − i = z + i x + ( y − )
1 i = x + ( y + ) 1 i
x + ( y − )2 = x +( y + )2 2 2 1 1  y = 0 .
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 1 1
=16 và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0, (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường
tròn (T ) . CD là một đường kính cố định của đường tròn (T ) , A là một điểm thay đổi trên (T ) ( A khác C
và D ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P) cắt ( S ) tại B . Tính 2 2 BC + AD . A. 8 . B. 64 . C. 32 . D. 16 . Trang 91 Hướng dẫn giải Chọn D B D A C ( − + +
S ) có tâm I (1; 1 − )
;1 và bán kính R = 4 . Ta có d ( I ( P)) 1 1 1 2 ; =
= 3 nên (P) cắt (S ) theo đường 3
tròn (T ) có bán kính 2 2 r =
R − d (I;(P)) = 13 .
Giả thiết có AB = 2 3 nên 2 2 BC + AD 2 2 2
= BA + AC + AD 2 2
= BA + CD =12 + 52 = 64 .
Câu 49: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục trên
và đồ thị của f ( x) trên đoạn  2 − ;  6 như
hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng? y 3 (C): y = f(x) 1 x 2 1 O 2 6
A. f (6)  f (2)  f ( 2 − )  f (− ) 1 . B. f ( 2 − )  f (− )
1  f (2)  f (6) .
C. f (2)  f ( 2 − )  f (− ) 1  f (6) . D. f ( 2
− )  f (2)  f (− ) 1  f (6) . Hướng dẫn giải Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm f ( x) trên đoạn  2 − ; 
6 ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f ( x) trên đoạn  2 − ;  6 như sau: x 2 − 1 − 2 6 f '( x) 3 + 0 − 0 + 1 f ( x) Trang 92f ( 2 − )  f (− ) 1 
Dựa vào bảng biến thiên ta có  f (2)  f (− ) 1 nên A, D sai.  f  (2)  f (6) y 3 (C): y = f(x) 1 S1 x 2 1 O S 2 6 2
Chỉ cần so sánh f ( 2
− ) và f (2) nữa là xong.
Gọi S , S là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ. 1 2 Ta có: 1 − 1 − S =
f x dx  = f
 (x)dx = f (− )1− f ( 2 − ) . 1 ( ) 2 − 2 − 2 2 S =
f x dx  = − f
 (x)dx = f (− )1− f (2). 2 ( ) 1 − −1
Dựa vào đồ thị ta thấy S S nên f (− ) 1 − f ( 2 − )  f (− )
1 − f (2)  f ( 2 − )  f (2) . 1 2
Câu 50: Cho hàm số bậc năm y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) = f ( 3 2 x + 3x ) là A. 4 . B. 11. C. 7 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có g( x) = ( 2
x + x) f ( 3 2 3 6 . x + 3x ) . 2  + = g( x) 3x 6x 0 = 0   .  f   ( 3 2 x + 3x ) = 0 x = 0 2
3x + 6x = 0   = − Phương trình x 2 . Trang 93 3 2
x + 3x = a  0  ( x + x =  f x + 3x ) 3 2 3 0 3 2 = 0   3 2 x + 3x = 4  3 3  Phương trình
x + 3x = b  4 . Ta thấy: 3 2 2
x + 3x = 0  x ( x + 3) = 0  x = 0; x = 3 − Và x + x =
 (x − )(x + )2 3 2 3 4 1 2
= 0  x =1; x = 2 − . x = 0 Hàm số h( x) 3 2
= x + 3x có h( x) 2
= 3x + 6x = 0   . x = 2 −
Bảng biến thiên của hàm h ( x) :
Dựa vào bảng biên thiên của hàm h ( x) , ta có Phương trình 3 2
x + 3x = a  0 có duy nhất một nghiệm x  3 − . 1 Phương trình 3 2
x + 3x = c  4 có duy nhất một nghiệm x  1. 2
Do đó, phương trình g(x) = 0 có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số y = g ( x) có sáu điểm cực trị.
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023-ĐỀ 5 MÔN TOÁN Câu 1:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; 2 − ; )
1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x − 3 y − 2 z −1 x + 3 y + 2 z −1 A. = = . B. = = . 4 2 − 1 − 1 1 2 x − 3 y + 2 z +1 x − 3 y + 2 z −1 C. = = . D. = = . 4 2 − 1 − 1 1 2 1 1 Câu 2: Biểu thức P = − bằng. log 5 log 5 49 7 1 A. . B. 2 . C. log 5 . D. log 7 . 7 5 2 Câu 3:
Cho hai số phức z = 1− 3i và z = 3 + i . Số phức z + z bằng . 1 2 1 2 A. 4 − + 2i . B. 4 − 2i . C. 4 − − 2i . D. 4 + 2i . Câu 4:
Cho số phức z = 5 + 2i . Tìm số phức w = iz − . z
A. w = 3 + 3i . B. w = 3 − + 3i . C. w = 3 − −3i .
D. w = 3 − 3i . 2 Câu 5: Tích phân I = 2 . x dx  có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I = 4. C. I =2. D. I = 3. Câu 6:
Đường cong nào như hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? Trang 94 x +1 A. y = . B. 4 2
y = x − x +1. C. 3 2
y = −x + 3x −1. D. 3 2
y = x − 3x +1. x −1 Câu 7:
Khối cầu (S ) có diện tích mặt cầu bằng 16 . Tính thể tích khối cầu. 32 3 32 A. (đvdt). B. (đvdt). 3 3 32 32 3 C. (đvdt). D. (đvdt) . 9 9 Câu 8:
Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i . A. M ( 3 − ;4). B. M ( 3 − ; 4 − ) . C. M (3;4) . D. M (3; 4 − ) . Câu 9:
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f (x) là A. x = 1 − . B. M ( 1 − ; ) 1 . C. M (1; 3 − ) . D. x = 1 . Câu 10:
Phương trình log 3x − 2 = 3 có tập nghiệm là. 2 ( ) 8 10  16  11
A. T =   . B. T =  . C. T =   . D. T =   . 3  3   3   3  Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) : 2x − 2z + z + 2017 = 0 . Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P) ? A. n = 2 − ;2; 1 − . B. n = 1; 2 − ;2 . 4 ( ) 3 ( ) C. n = 1; 1 − ;4 . D. n = 2; 2;1 . 2 ( ) 1 ( ) Câu 12:
Cho hàm số y = f ( x) có lim f ( x) = 0 và lim f ( x) = + . Mệnh đề nào sau đây là x→+ x→− đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x) không có tiệm cận ngang. Trang 95
B. Đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 . x + 3 Câu 13:
Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số y = là x + 2 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 1 − ;2;3), N (0;2;− ) 1 . Tọa độ
trọng tâm của tam giác OMN là:  1   1 4 2  A. − ; 2;1 .   . B. (1;0; 4 − ).. C. − ; ; .   . D. ( 1 − ;4;2).  2   3 3 3  . Câu 15:
Tập xác định của hàm số: 2 f (x) = x
+ log (1− x) là: 2
A. D = (0; + ) . B. D = (0; ) 1 . C. D = (− ;  ) 1 \   0 . D. D = 0; ) 1 .
Câu 16:Biết rằng F ( x) 4 = .
m x + 2 là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x , giá trị của m là. 1 A. . B. 4 . C. 0 . D. 1 . 4 Câu 17:
Số 5!− P bằng: 4 A. 24 . B. 96 . C. 12 . D. 5 . Câu 18:
Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 2
− + 3i)(7 −8i) . A. z = 1 − 0 − 37i . B. z = 3 − 8 − 37i .
C. z = 10 − 37i .
D. z = 38 − 37i . Câu 19:
Tìm tập nghiệm của phương trình 2
log(x − 6x + 7) = log(x − 3) . A. 4;  5 . . B.  . C.   5 . . D. 3;  4 . . Câu 20:
Cho hình chóp S. ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA = AB = a , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích của khối chóp S. ABC bằng 3 a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 2 6 2 Câu 21:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? A. 3
y = x − 3x +1. B. 3
y = x + 3x +1. C. 2 y = x +1.
D. y = −x 2 +1. Câu 22:
Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a A. log = logb− loga . b a log a B. log = . b log b
C. log (ab) = log a + log b .
D. log (ab) = log . a log b . Câu 23:
Cho đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trang 96
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;6) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (6; +) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;3 − ) . 2 x + 2x Câu 24:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x +
trên đoạn [0; 2] ? 1 3 8 A. 0 . B. 3 . C. . . D. . . 2 3 Câu 25:
Tìm số phức z thỏa z − (2 + 3i) z =1− 9i .
A. z = 2 − i . B. z = 2 − − i . C. z = 2 − + i .
D. z = 2 + i . Câu 26: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e− = là: − − A.  ( ) 2 d x f x x = −e + C . B.  ( ) 2 d = 2 x f x x
− e + C . 1 − 1 − C.  ( ) 2 d x f x x = e + C . D.  ( ) 2 d x f x x = − e + C . 2 2 Câu 27:
Tính thể tích V của khối lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' , Biết tổng diện tích các mặt
của hình lập phương bằng 150 .
A. V = 25 . B. V = 75 . C. V = 100 . D. V = 125 . Câu 28:
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a . Khi đó góc giữa AC và BD bằng A. 60 . B. 45 . C. 0 . D. 90 Câu 29:
Tính đạo hàm của hàm số f (x) = log x +1 . 2 ( ) x 1
A. f ( x) 1 =
. B. f ( x) =
. C. f ( x) =
. D. f ( x) = 0. x +1 (x + ) 1 ln 2 (x + ) 1 ln 2 5 5 Câu 30: Cho
f ( x)dx = 2 −  . Tích phân 4 f  (x) 2 −3x  dx   bằng 0 0 A. 133 − . B. 120 − . C. 140 − . D. 130 − . Câu 31:
Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu u = 11 và công sai d = 4 . Giá trị của u bằng n ) 1 5 A. 2816 . B. 27 . C. 15 . D. 26 − . 2 2 2 Câu 32: Cho f
 (x)dx = 3, g(x)dx = 1 −  thì  f
 (x)−5g(x)+ xdx  bằng: 0 0 0 A. 10 . B. 12 . C. 8 . D. 0 . Trang 97 Câu 33:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng A. 1 . B. 2 . C. −1 . D. −2 . Câu 34:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0;0; 2 − ) và đường thẳng x + 3 y −1 z − 2  : = =
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và vuông góc với 4 3 1 đường thẳng  .
A. 3x + y − 2z − 4 = 0 .
B. 4x + 3y + z + 2 = 0 .
C. 3x + y − 2z −13 = 0 .
D. 4x + 3y + z + 7 = 0 . Câu 35:
Cho hình trụ bán kính đáy r = 5 (cm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7(cm) . Diện
tích xung quanh của hình trụ là: A.  ( 2 60 cm ) . B.  ( 2 35 cm ) . C.  ( 2 120 cm ) . D.  ( 2 70 cm ) . Câu 36:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vuông góc chung của x − y − z + x + y − z − hai đườ 2 3 4 1 4 4 ng thẳng d : = = và d : = = . 2 3 5 − 3 2 − 1 − x y z −1 x − 2 y + 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 1 2 2 2 x y − 2 z − 3 x − 2 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 2 3 1 − 2 3 4 Câu 37:
Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh 2 S = 2a . Tính xp
thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón ( N ) và
đỉnh S trùng với đỉnh của khối nón ( N ) . 3 2 3a 3 2 5a 3 2 2a A. V = . B. 3 V = 2 3a . C. V = . D. V = . 3 3 3 Câu 38:
Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập hợp
tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất P để chọn được một tam
giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều. 7 21 23 144 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 816 136 136 136 Câu 39: Cho lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , 1 1 1 1
AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . 1
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( A BD . 1 ) 1 a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 2 6 2 Câu 40:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2 3
2 = m − 3m có nghiệm thuộc nửa khoảng 1;3) là Trang 98
A. (1; 2) 4; + ). B. (− ;  −  1  (2;4) . C. ( 1 − ;  1 2;4). D.  1 − ; ) 1  (2; 4. Câu 41:
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; + ) và thỏa mãn f ( )
1 = 1, f ( x) = f ( x) 3x +1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f (5)  3.
B. 4  f (5)  5.
C. 3  f (5)  4 .
D. 1  f (5)  2 . Câu 42:
Tập nghiệm của bất phương trình: ( x + )( x+1 2 x+ 1 3 2 4 - 8 )£ 0 é 1 ö æ 1 ù A. [4;+ ¥ ). B. ; ÷ ê- + ¥ ÷. C. ç- ¥ ;- ú ç . D. (- ¥ ; 4]. 4 ÷ ê ø ë çè 4ú û Câu 43:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 2a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và ( ABCD) bằng 0 60 . 3 4a 15 3 a 15 3 a 15 3 a 15 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 15 6 3 15 Câu 44:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm M (1;2; ) 3 , A(2;4;4) và hai
mặt phẳng (P) : x + y − 2z +1 = 0 , (Q) : x − 2 y − z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng  đi
qua M , cắt (P), (Q) lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 − 1 − 2 1 − 1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 1 1 − 1 1 − 1 − 1 8 i −1 − 2i Câu 45:
Tính modun của số phức w = b + ci , b, c  biết số phức 7 1 − là nghiệm của i phương trình 2
z + bz + c = 0 . A. 2 2 . B. 2 . C. 3 2 . D. 3 . 1+ i Câu 46:
Cho số phức z thoả mãn
là số thực và z − 2 = m với m
. Gọi m là một giá 0 z
trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  3   3   1   1  A. m  ; 2 . B. m  1; . C. m  ;1 . D. m  0; . 0          2  0  2  0  2  0  2  Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ;x y) thỏa mãn 0  x  2023 và
log 5x + 5 − 3y =125y − x ? 5 ( ) Trang 99 A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 1010 . Câu 48:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 4x − 6y + m = 0 và
đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): x + 2y − 2z − 4 = 0 và
( ):2x −2y − z +1= 0. Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt , A B thỏa mãn AB = 8 khi: A. m = 12 . B. m = 10 − . C. m = 12 − . D. m = 5 . Câu 49:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và f (0)< 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f (
¢ x) như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số ( ) 2
g x = f (x) là A. 4. . B. 3. . C. 1. . D. 2. . Câu 50:
Cho hàm số y = f (x) 4 2
= ax + bx + c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số æ 3 8 3ö - ç ÷
y = f '(x) như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số y = f '(x) đạt cực tiểu tại điểm ç ; ÷ ç ÷. Đồ çè 3 9 ÷ø
thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành? y x 1 1 7 14 8 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15
------ HẾT ------ ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
D D B B D D B D C B A C B C B A B C C C B C A D A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D D D C A B A B B D A A C C C C B A C A B C C B D
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; 2 − ; )
1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x − 3 y − 2 z −1 x + 3 y + 2 z −1 A. = = . B. = = . 4 2 − 1 − 1 1 2 Trang 100 x − 3 y + 2 z +1 x − 3 y + 2 z −1 C. = = . D. = = . 4 2 − 1 − 1 1 2 Hướng dẫn giải Chọn D
Thay tọa độ điểm A(3; 2 − ; )
1 vào phương trình đường thẳng ta được 0 0 0 − + − = = x 3 y 2 z 1
đúng. Suy ra đường thẳng = = đi qua điểm A(3; 2 − ; ) 1 . 1 1 2 1 1 2 1 1 Câu 2: Biểu thức P = − bằng. log 5 log 5 49 7 1 A. . B. 2 . C. log 5 . D. log 7 . 7 5 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 Ta có: P = − = log 49 − log 7 = log 7 . 5 5 5 log 5 log 5 49 7 Câu 3:
Cho hai số phức z = 1− 3i và z = 3 + i . Số phức z + z bằng. 1 2 1 2 A. 4 − + 2i . B. 4 − 2i . C. 4 − − 2i . D. 4 + 2i . Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có: z + z = 1− 3i + 3 + i = 4 − 2i . 1 2 Câu 4:
Cho số phức z = 5 + 2i . Tìm số phức w = iz − . z
A. w = 3 + 3i . B. w = 3 − + 3i . C. w = 3 − −3i .
D. w = 3 − 3i . Hướng dẫn giải Chọn B
z = 5 − 2i w = iz − z = i (5 − 2i) − (5 + 2i) = 3 − + 3i . 2 Câu 5: Tích phân I = 2 . x dx  có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I = 4. C. I =2. D. I = 3. Hướng dẫn giải Chọn D 2 Tích phân I = 2 . x dx  có giá trị là: 1 2 2 2 2  x  Cách 1: I = 2 . x dx = 2. . x dx =    2.  = 3.  2  1 1 1
Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. Câu 6:
Đường cong nào như hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? Trang 101 x +1 A. y = . B. 4 2
y = x − x +1. C. 3 2
y = −x + 3x −1. D. 3 2
y = x − 3x +1. x −1 Hướng dẫn giải Chọn D
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số a  0 .
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A(0; ) 1 ; B(2; 3 − ) . Câu 7:
Khối cầu (S ) có diện tích mặt cầu bằng 16 . Tính thể tích khối cầu. 32 3 32 A. (đvdt). B. (đvdt). 3 3 32 32 3 C. (đvdt). D. (đvdt) . 9 9 Hướng dẫn giải Chọn B 16 2 2
S = 4 R = 16  R = = 4  R = 2 . 4 4 4 32 3 3 V =  R = .2 = (đvdt) . 3 3 3 Câu 8:
Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i . A. M ( 3 − ;4). B. M ( 3 − ; 4 − ) . C. M (3; 4) . D. M (3; 4 − ) . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có điểm M (3; 4
− ) biểu diễn số phức z = 3− 4i . Câu 9:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f (x) là Trang 102 A. x = 1 − . B. M ( 1 − ; ) 1 . C. M (1; 3 − ) . D. x = 1 . Hướng dẫn giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy, f ( x) đổi dấu từ “âm” sang “dương” khi đi qua x = 1 và f ( ) 1 = 3 − .
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x) là M (1; 3 − ) . Câu 10:
Phương trình log 3x − 2 = 3 có tập nghiệm là. 2 ( ) 8 10  16  11
A. T =   . B. T =  . C. T =   . D. T =   . 3  3   3   3  Hướng dẫn giải Chọn B
Điều kiện: 3x − 2  2 0  x  . 3 Ta có: log
3x − 2 = 3  3x − 2 = 10 8  x = . 2 ( ) 3 Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P) : 2x − 2z + z + 2017 = 0 . Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P) ? A. n = 2 − ;2; 1 − . B. n = 1; 2 − ;2 . 4 ( ) 3 ( ) C. n = 1; 1 − ;4 . D. n = 2; 2;1 . 2 ( ) 1 ( ) Hướng dẫn giải Chọn A
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là n = 2 − ;2; 1 − . 3 ( ) Câu 12:
Cho hàm số y = f ( x) có lim f ( x) = 0 và lim f ( x) = + . Mệnh đề nào sau đây là x→+ x→− đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x) không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 . Hướng dẫn giải Chọn D
Vì lim f ( x) = 0 và lim f ( x) = + nên đồ thị hàm số chỉ một tiệm cận đứng là trục hoành. x→+ x→− x + 3 Câu 13:
Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số y = là x + 2 Trang 103 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B x + 3 x + 2 1 1 Ta có: y = = + =1+ . x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
Để y là số nguyên thì x + 2 là ước của 1. Mà 1 có hai ước nguyên là 1 vậy có 2 giá trị của x
thỏa mãn, hay tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên. Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 1 − ;2;3), N (0;2;− ) 1 . Tọa độ
trọng tâm của tam giác OMN là:  1   1 4 2  A. − ; 2;1 .   . B. (1;0; 4 − ).. C. − ; ; .   . D. ( 1 − ;4;2).  2   3 3 3  . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi G (x ;y ;z là tọa độ trọng tâm của tam giác OMN . . G G G ) ìï 0 - 1 + 0 1 ïï x = = - G ïï 3 3 ïï 0 + 2 + 2 4 Ta có: ïí y = = . G ï 3 3 ïïï 0 + 3 - 1 2 ï z = = ï G ï 3 3 ïî Câu 15:
Tập xác định của hàm số: 2 f (x) = x
+ log (1− x) là: 2
A. D = (0; + ) . B. D = (0; ) 1 . C. D = (− ;  ) 1 \   0 . D. D = 0; ) 1 . Hướng dẫn giải Chọn B x  0 x  0     x (0 ) ;1 . 1  − x  0 x 1 Câu 16:
Biết rằng F ( x) 4 = .
m x + 2 là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x , giá trị của m là. 1 A. . B. 4 . C. 0 . D. 1 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A F ( x) 1 1 3 4
= x dx = x + C m =  . 4 4 Câu 17:
Số 5!− P bằng: 4 A. 24 . B. 96 . C. 12 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có: 5!− P = 5!− 4! = 96 . 4 Câu 18:
Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 2
− + 3i)(7 −8i) . A. z = 1 − 0 − 37i . B. z = 3 − 8 − 37i .
C. z = 10 − 37i .
D. z = 38 − 37i . Trang 104 Hướng dẫn giải Chọn C z = ( 2
− + 3i)(7 −8i) =10 +37i z =10 −37i . Câu 19:
Tìm tập nghiệm của phương trình 2
log(x − 6x + 7) = log(x − 3) . A. 4;  5 . . B.  . C.   5 . . D. 3;  4 . . Hướng dẫn giải Chọn C 2  − +  Đk: x 6x 7 0   x  3+ 2 . x − 3  0 x = 2
log(x − 6x + 7) = log(x − 3)  2
x − 6x + 7 = x − 3  5  . x = 2
Nhận nghiệm x = 5 , loại nghiệm x = 2 . Câu 20:
Cho hình chóp S. ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA = AB = a , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích của khối chóp S. ABC bằng 3 a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 2 6 2 Hướng dẫn giải Chọn C 3 1 a
Thể tích của khối chóp S. ABC : V = . SA S = . S . ABC 3 ABC 6 Câu 21:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? A. 3
y = x − 3x +1. B. 3
y = x + 3x +1. C. 2 y = x +1.
D. y = −x 2 +1. Hướng dẫn giải Chọn B
Hàm số y = −x 2 +1 luôn nghịch biến trên . Hàm số 3
y = x − 3x +1 có 2
y = x − 3 nên hàm số không thể đồng biến trên . Hàm số 2
y = x +1 có y = 2x nên hàm số không. Câu 22:
Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a a log a A. log = logb− loga . B. log = . b b log b
C. log (ab) = log a + log b .
D. log (ab) = log . a log b . Hướng dẫn giải Trang 105 Chọn C
Ta có log (ab) = log a + logb . Câu 23:
Cho đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;6) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (6; +) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;3 − ) . Hướng dẫn giải Chọn A
Trên khoảng (3;6) đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến. 2 x + 2x Câu 24:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x +
trên đoạn [0; 2] ? 1 3 8 A. 0 . B. 3 . C. . . D. . . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D 2 x + 2x 1 1 Ta có, f (x) = = x +1−  f '(x) =1+  0, x  [0;2] 2 x +1 x +1 (x + . 1)  8
f (x) đồng biến trên (0; 2)  GTLN f (x) = f(2) = .. [0;2] 3 Câu 25:
Tìm số phức z thỏa z − (2 + 3i) z =1− 9i .
A. z = 2 − i . B. z = 2 − − i . C. z = 2 − + i .
D. z = 2 + i . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt z = a + bi (a,b ) .
Ta có z − (2 + 3i) z =1− 9i a + bi − (2 + 3i)(a − bi) =1− 9i  −a − 3b + ( 3
− a + 3b)i =1−9i
−a − 3b = 1  =  a 2    .  3
− a + 3b = −9 b  = 1 − Câu 26: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e− = là: − − A.  ( ) 2 d x f x x = −e + C . B.  ( ) 2 d = 2 x f x x
− e + C . Trang 106 1 − 1 − C.  ( ) 2 d x f x x = e + C . D.  ( ) 2 d x f x x = − e + C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D − 1 Ta có: f ( x) dx  2 x = e dx  2 − x = − e + C . 2 Câu 27:
Tính thể tích V của khối lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' , Biết tổng diện tích các mặt
của hình lập phương bằng 150 .
A. V = 25 . B. V = 75 . C. V = 100 . D. V = 125 . Hướng dẫn giải Chọn C .
Gọi a là cạnh hình lập phương ta có: 2 2
6a = 150  a = 25  a = 5 .
Khi đó thể tích hình lập phương là: 3 3
V = a = 5 = 125 . Câu 28:
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a . Khi đó góc giữa AC và BD bằng A. 60 . B. 45 . C. 0 . D. 90 . Hướng dẫn giải Chọn D B' C' A' D' B C A D Vì AC / / A C    ( A C
 ; BD) = ( AC;BD) = 90 . Câu 29:
Tính đạo hàm của hàm số f (x) = log x +1 . 2 ( ) x
A. f ( x) 1 = .
B. f ( x) = . x +1 (x + ) 1 ln 2 1
C. f ( x) = ( .
D. f ( x) = 0. x + ) 1 ln 2
Hướng dẫn giải Chọn C Trang 107   (x + ) 1 1
Ta có: f ( x) = log x +1   = = . 2 (
) (x+ )1ln2 (x+ )1ln2 5 5 Câu 30: Cho
f ( x)dx = 2 −  . Tích phân 4 f  (x) 2 −3x  dx   bằng 0 0 A. 133 − . B. 120 − . C. 140 − . D. 130 − . Hướng dẫn giải Chọn A 5 5 5 4 f
(x)−3x dx = 4 f  (x) 5 2 2 3
dx − 3x dx = 8 − − x = 8 − −125 = −133    . 0 0 0 0 Câu 31:
Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu u = 11 và công sai d = 4 . Giá trị của u bằng n ) 1 5 A. 2816 . B. 27 . C. 15 . D. 26 − . Hướng dẫn giải Chọn B u  =11 1 Ta có : 
u = u + 4d = 27 . 5 1 d = 4 2 2 2 Câu 32: Cho f
 (x)dx = 3, g(x)dx = 1 −  thì  f
 (x)−5g(x)+ xdx  bằng: 0 0 0 A. 10 . B. 12 . C. 8 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 2  f
 (x)−5g(x)+ xdx = f   (x)dx −5 g  (x)dx + d x x  = 3+ 5+ 2 =10 . 0 0 0 0 Câu 33:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng A. 1 . B. 2 . C. −1 . D. −2 . Hướng dẫn giải Chọn B
Theo định nghĩa về cực trị thì hàm số có hai cực trị. Câu 34:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0;0; 2 − ) và đường thẳng x + 3 y −1 z − 2  : = =
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và vuông góc với 4 3 1 đường thẳng  .
A. 3x + y − 2z − 4 = 0 .
B. 4x + 3y + z + 2 = 0 .
C. 3x + y − 2z −13 = 0 .
D. 4x + 3y + z + 7 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Trang 108 M .
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u = (4;3; ) 1 .
Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (0;0; 2
− ) và vuông góc với  nên nhận u = (4;3; ) 1 làm vectơ
pháp tuyến có phương trình: 4( x − 0) + 3( y − 0) + (
1 z + 2) = 0  4x + 3y + z + 2 = 0 . Câu 35:
Cho hình trụ bán kính đáy r = 5 (cm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7(cm) . Diện
tích xung quanh của hình trụ là: A.  ( 2 60 cm ) . B.  ( 2 35 cm ) . C.  ( 2 120 cm ) . D.  ( 2 70 cm ) . Hướng dẫn giải Chọn D
Diện tích xung quanh hình trụ: S =  rh =  =  ( 2 2 2 .5.7 70 cm . xq ) Câu 36:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vuông góc chung của x − y − z + x + y − z − hai đườ 2 3 4 1 4 4 ng thẳng d : = = và d : = = . 2 3 5 − 3 2 − 1 − x y z −1 x − 2 y + 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 1 2 2 2 x y − 2 z − 3 x − 2 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 2 3 1 − 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có M d suy ra M (2 + 2 ; m 3 + 3 ; m 4
− −5m) . Tương tự N d suy ra N ( 1 − + 3 ; n 4 − 2 ; n 4 − n) .
Từ đó ta có MN = ( 3 − + 3n − 2 ;
m 1− 2n − 3 ;
m 8 − n + 5m). MN ⊥ d
Mà do MN là đường vuông góc chung của d và d  nên  MN ⊥ d 2  ( 3
− + 3n − 2m) + 3.(1− 2n −3m) −5(8 − n + 5m) = 0  38 − m + 5n = 43 m = 1 −       . 3  ( 3
− + 3n − 2m) − 2.(1− 2n −3m) −1(8 − n + 5m) = 0  5 − m +14n = 19 n =1 Suy ra M (0;0 ) ;1 , N (2; 2;3) . x y z −1
Ta có MN = (2; 2; 2) nên đường vuông góc chung MN là = = . 1 1 1 Câu 37:
Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh 2 S = 2a . Tính xp
thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón ( N ) và
đỉnh S trùng với đỉnh của khối nón ( N ) . 3 2 3a 3 2 5a 3 2 2a A. V = . B. 3 V = 2 3a . C. V = . D. V = . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 109
Ta có: Diện tích xung quanh 2 S = 2a  2
rl = 2 a l = 2a 2 2
h = l − r = a 3 . xp
Đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón ( N ) có bán kính đáy bằng a AB = a 2 . 3 1 2 3a Vậy: V = S h = . 3 ABCD 3 Câu 38:
Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập hợp
tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất P để chọn được một tam
giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều. 7 21 23 144 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 816 136 136 136 Hướng dẫn giải Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là 3
n( X ) = C . 18
Ký hiệu đa giác là A A ...A nội tiếp đường tròn (O) , xét đường kính A A khi đó số tam giác 1 2 18 1 10
cân có đỉnh cân là A hoặc A là 2x8 = 16 ; Mà có tất cả là 9 đường kính do vậy số tam giác cân 1 10
có các đỉnh là đỉnh của đa giác là 9x16 =144 .
Ta lại có số tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6 .
Vậy xác suất P để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác − đề 144 6 23 u là P = = . 3 C 136 18 Câu 39: Cho lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , 1 1 1 1
AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . 1
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( A BD . 1 ) 1 a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 2 6 2 Hướng dẫn giải Chọn C Trang 110 D C 1 1 A1 B1 D C H O A B
Ta có B A đi qua trung điểm của A B nên d (B , A BD = d , A A BD . 1 ( 1 )) ( ( 1 )) 1 1
Kẻ AH ⊥ BD tại H .
Ta có AH ⊥ BD và AH ⊥ A O nên AH = d ( , A ( A BD . 1 )) 1 1 1 1 a 3 Ta có = +  AH = . 2 2 2 AH AB AD 2 Câu 40:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2 3
2 = m − 3m có nghiệm thuộc nửa khoảng 1;3) là
A. (1; 2) 4; + ). B. (− ;  −  1  (2;4) . C. ( 1 − ;  1 2;4). D.  1 − ; ) 1  (2; 4. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 3 2
t = x − 3x + 2 . Vì 1  x  3  2 −  t  2. Phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2
= m − m f (t) 2 3 2 3
= m − 3m với t  2 − ;2). Trang 111 2
m −3m + 2  0  1 −  m 1 Phương trình có nghiệm 2  2
−  m − 3m  4     . 2
m − 3m − 4  0 2  m  4 Câu 41:
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; + ) và thỏa mãn f ( )
1 = 1, f ( x) = f ( x) 3x +1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f (5)  3.
B. 4  f (5)  5.
C. 3  f (5)  4 .
D. 1  f (5)  2 . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có f ( x) 1 f ( x) 1
f ( x) = f ( x) 3x +1  ( ) =  =   x + f ( x) dx dx f x 3 1 3x +1 d ( f ( x)) 1 1 2 −  = + +   3x 1 + +Cf ( x) 2 ln =
3x +1 + C f ( x) 3 = e . f ( x) (3x ) 2 1 d (3x ) 1 3 3 4 + 2 4 4 C 4 + − Khi đó 3x 1 f ( ) 3 1 = 1  e
= 1  C = −  f (x) 3 3 = e  f ( ) 3 5 = e  3, 79(3; 4 ) . 3
Vậy 3  f (5)  4 . dx
Chú ý: Các bạn có thể tính 
bằng cách đặt t = 3x +1 . 3x +1 Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có f ( x) 1 5 f ( x) 5 1 5 d ( f ( x)) 4
f ( x) = f ( x) 3x +1  =  dx = dx    =  f ( x) 3x +1 f x 3x +1 f x 3 1 ( ) 1 ( ) 1 f (5) 4  4 f ( x) 5 4 ln =  ln
= f ( ) = f ( ) 3 5 1 .e  3, 79 (3; 4 ) . f ( ) 1 3 1 3 Câu 42:
Tập nghiệm của bất phương trình: ( x + )( x+1 2 x+ 1 3 2 4 - 8 )£ 0 é 1 ö æ 1 ù A. [4;+ ¥ ). B. ; ÷ ê- + ¥ ÷. C. ç- ¥ ;- ú ç . D. (- ¥ ; 4]. 4 ÷ ê ø ë çè 4ú û Hướng dẫn giải Chọn B ( x + )( x+1 2 x+ 1 - ) x+ 1 2 x+ 1 3 2 4 8 £ 0 Û 4 - 8 £ 0 x ( x)3 ( x)3 2 2 2 2 4.2 8. 2 0 2. 2 2 x Û - £ Û - + £ 0(*) é 2 ê- £ t £ 0 ê Đặ 2 t 2
2 x = t, t > 0 , suy ra bpt trở thành: 3
- 2.t + t £ 0 Û êê 2 t ê ³ êë 2 2 1 - x 2 x 1 1
Giao với Đk t > 0 ta được: t ³ Û 2 2 2 2 ³ Û 2 ³ 2 Û 2x ³ - Û x ³ - 2 2 2 4 é ö
Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là 1 T = - ; ÷ ê + ¥ ÷. 4 ÷ ê ø ë Trang 112 Câu 43:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 2a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và ( ABCD) bằng 0 60 . 3 4a 15 3 a 15 3 a 15 3 a 15 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 15 6 3 15 Hướng dẫn giải Chọn A
Kẻ AE ⊥ BD ((SBD) (ABCD)) 0 , = SEA = 60 Xét ABD  vuông tại A 2 A . D AB 2a 2a 5 AE = = = 2 2 + a 5 5 AD AB
Xét SAE vuông tại A 0 2a 5 2a 15 SA = A . E tan 60 = . 3 = 5 5
Khi đó thể tích S.ABCD 3 1 1 2a 15 2 4a 15 V = S . A S = . .2 = . ABCD a 3 3 5 15 Câu 44:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm M (1;2; ) 3 , A(2;4;4) và hai
mặt phẳng (P) : x + y − 2z +1 = 0 , (Q) : x − 2 y − z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng  đi
qua M , cắt (P), (Q) lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 − 1 − 2 1 − 1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 1 1 − 1 1 − 1 − 1 Hướng dẫn giải Chọn C
Điểm B thuộc mặt (P) nên B (2c − b−1; ;
b c) vì M (1;2; ) 3
là trung điểm BC nên
C (3− 2c + b;4 − ;
b 6 − c) . Do C thuộc mặt (Q) nên 3c − c − 7 = 0  c = 3b − 7 . Khi đó B(5b − 15; ;
b 3b − 7) , C(−5b + 17; 4 − ;
b 13 − 3b) . BC ( 1 − 0b + 32; 2 − b + 4; 6
− b + 20) . ABC cân tại A nên =  − =  =  BC.AM 0 20b 60 0 b 3
B(0;3;2) . Đường thẳng  đi qua M (1;2;3) và Trang 113 x − y − z −
B(0;3; 2) có phương trình là 1 2 3 = = . 1 1 − 1 8 i −1 − 2i Câu 45:
Tính modun của số phức w = b + ci , b, c  biết số phức 7 1 − là nghiệm của i phương trình 2
z + bz + c = 0 . A. 2 2 . B. 2 . C. 3 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 4  8 2 8 − − i =  (i ) =(− )1 =1 +) Đặ i 1 2i t z =  o 7 1− , ta có i i  = (i )3 7 2 .i = i −  1−1− 2i 2 − i 2 − i (1− i)  z = = = = −1− i o 2 1+ i 1+ i 1− . i
+) z là nghiệm của đa thức ( ) 2
P z = z + bz + c z là nghiệm còn lại của P ( z) . o o b
+) Ta có: z + z = − = b − = 2 −  b = 2. o o a c z .z =  ( 1 − −i)( 1
− + i) = c c = 2 o o a 2 2
w = 2 + 2i w = 2 + 2 = 2 2 . 1+ i Câu 46:
Cho số phức z thoả mãn
là số thực và z − 2 = m với m
. Gọi m là một giá 0 z
trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  3   3   1   1  A. m  ; 2 . B. m  1; . C. m  ;1 . D. m  0; . 0          2  0  2  0  2  0  2  Hướng dẫn giải Chọn B
Giả sử z = a + bi, (a,b  ) . + + + − Đặ 1 i 1 a b a b t: w = = 1 i =
a + b + a −b i = + i . 2 2  ( )  z a + bi a + b 2 2 2 2 a + b a + b
w là số thực nên: a = b ( ) 1 . 2
Mặt khác: a − 2 + bi = m  (a − ) 2 2 2 + b = m (2) . Thay ( )
1 vào (2) được: (a − )2 2 2 2 + a = m 2 2
 2a − 4a + 4 − m = 0 (3) .
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm a duy nhất.   =  0  − ( 2 4 2 4 − m ) = 0 2  m = 3 2  m = 2   1;   .  2  Trình bày lại
Giả sử z = a + bi, vì z  0 nên 2 2 a + b  0 ( ) * . + + + − Đặ 1 i 1 a b a b t: w = = 1 i =
a + b + a −b i = + i . 2 2  ( )  z a + bi a + b 2 2 2 2 a + b a + b
w là số thực nên: a = b ( ) 1 .Kết hợp ( )
* suy ra a = b  0 . 2
Mặt khác: a − 2 + bi = m  (a − ) 2 2 2 + b = m (2) . Trang 114 Thay ( )
1 vào (2) được: (a − )2 2 2 2
+ a = m g (a) 2 2
= 2a − 4a + 4 − m = 0 (3) .
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm a  0 duy nhất. Có các khả năng sau :
KN1 : PT (3) có nghiệm kép a  0 2  = 0  m − 2 = 0 ĐK:  .  (    m = g 0) 2 2  0 4 − m  0
KN2: PT (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a = 0 2   0  m − 2  0 ĐK:  .  (    m = g 0) 2 2 = 0 4 − m = 0  3  Từ đó suy ra m = 2  1; . 0    2  Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ;x y) thỏa mãn 0  x  2023 và
log 5x + 5 − 3y =125y − x ? 5 ( ) A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 1010 . Hướng dẫn giải Chọn C y
Ta có: log (5x + 5) + x = 3y +125 1+ log ( x + ) 3
1 + x = 3y + 5 y 5 5 Đặ t t t = log
x + 1 Þ x = 5 - 1 . 5 ( ) Khi đó: 1+ log ( + ) 3 1 + = 3 + 5 y x x y t 3 y . 5
Û t + 5 = 3y + 5
Xét hàm đặc trưng: ( )= + 5v f v v . Þ ( ¢ )= 1+ 5v f v
ln 5 > 0 nên hàm số ( )= + 5v f v v đồng biến trên ¡ . Do đó: t 3 3 + 5 = 3 + 5 y t y
Û t - 3y Û log x + 1 = 3y Û + 1= 5 y x Û + 1= 125y x . 5 ( ) Theo giả thiết: y
0  x  2023  1  x +1  2024  1  125  2024  0  y  log 2023  1, 58 125
Chọn y = 0 Þ x = 0 và y = 1Þ x = 124 .
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; x y) là (0; ) 0 ;(1;12 ) 4 thỏa mãn. Câu 48:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 4x − 6y + m = 0 và
đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x + 2y − 2z − 4 = 0 và
( ):2x −2y − z +1= 0. Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt , A B thỏa mãn AB = 8 khi: A. m = 12 . B. m = 10 − . C. m = 12 − . D. m = 5 . Hướng dẫn giải Chọn C
Phương trình (S ) 2 2 2
: x + y + z + 4x − 6y + m = 0 là phương trình mặt cầu  m  13.
Khi đó (S ) có tọa độ tâm I ( 2
− ;3;0) bán kính R = 13 − m . Gọi M ( ; x ;
y z) là điểm bất kỳ thuộc  . Trang 115  + − − =  x 2 y 2z 4 0
Tọa độ M thỏa mãn hệ:  .
2x − 2y − z +1 = 0 x = 2 − + 2t
x − 2z = 4 − 2t x = 2 − + 3t
Đặt y = t ta có:  
  có phương trình tham số: y = t .
2x − z = −1+ 2t z = 3 − + 2tz = 3 − + 2t
  đi qua điểm N ( 2
− ;0;− 3) và có vectơ chỉ phương u(2;1;2) . B C A I
Giả sử mặt cầu (S ) cắt  tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho AB = 8 .Gọi (C ) là đường tròn lớn
chứa đường thẳng  . Khi đó 2 2 2 2
IC = R − AC = 13 − m − 4 = −m − 3 . IN = (0;− 3; 3
− ) , IN,u      = ( 3 − ; 6 − ;6) IN,u = 9   , u = 3 . IN,u   d ( I, ) = = 3. u
Vậy mặt cầu (S ) cắt  tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho AB = 8 .
 −m − 3 = 9  m = 1 − 2. Câu 49:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và f (0)< 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f (
¢ x) như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số ( ) 2
g x = f (x) là A. 4. . B. 3. . C. 1. . D. 2. . Hướng dẫn giải Chọn B x é = - 2
Dựa vào đồ thị, ta có f ( ¢ x)= 0 ê Û . x ê = 1 (nghiem kep) ë
Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) Trang 116 x é = - 2 ê f é ( ¢ x)= 0 x ê = 1 (nghiem kep) Xét g ê ê ( ¢ x)= 2 f (
¢ x) f (x); g ( ¢ x) theo BBT f (x) = 0 Û ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê ê . f ê (x)= 0 x
ê = a(a < - 2) ë
êxê = b(b > 0) ë
Bảng biến thiên của hàm số g (x )
Vậy hàm số g (x ) có 3 điểm cực trị.
Chú ý: Dấu của g (
¢ x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0 Î (- 2;b) theo do thi f ( ' x)
x = 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® f ( ¢ 0)> 0. ( ) 1
Theo giả thiết f (0)< 0. (2) Từ ( ) 1 và (2), suy ra g (
¢ 0)< 0 trên khoảng (- 2;b).
Nhận thấy x = - 2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g (
¢ x) đổi dấu khi qua các nghiệm này.
Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g (
¢ x) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên
ta bỏ qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g ( ¢ x).. Câu 50:
Cho hàm số y = f (x) 4 2
= ax + bx + c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số æ 3 8 3ö - ç ÷
y = f '(x) như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số y = f '(x) đạt cực tiểu tại điểm ç ; ÷ ç ÷. Đồ çè 3 9 ÷ø
thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành? y x 1 1 7 14 8 16 A. .. B. . . C. .. D. . . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải Chọn D
Từ đồ thị của hàm số y = f '(x) và a > 0 ta dễ dàng có được đồ thị hàm số y = f '(x) như sau: Trang 117 Ta có æ 3 8 3ö - ç ÷ f (x) 3 '
= 4ax + 2bx . Đồ thị hàm số y = f '(x) đi qua (1; ) 0 ,ç ; ÷ ç ÷ ta tìm được çè 3 9 ÷ ø a = b = - Þ f (x) 3
= x - x Þ f (x) 4 2 1; 2 ' 4 4
= x - 2x + C .
Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên f '(x)= 0 Û x = 0; x = ± 1. Do (C) đối xứng qua trục tung
nên (C)tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm (1; ) 0 ,(- 1; ) 0 .
Do đó: f ( )= Þ C = Þ f (x) 4 2 0 1 1 = x - 2x + 1.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C)với trục hoành: 4 2
x - 2x + 1= 0 Û x = ± 1. 1 16 4 2 S =
x - 2x + 1dx = . ò 15 - 1 Trang 118