Các dạng bài tập xác suất có điều kiện Toán 12 CTST
Tài liệu gồm 45 trang, tổng hợp các dạng bài tập chuyên đề xác suất có điều kiện môn Toán 12 bộ sách Chân Trời Sáng Tạo (CTST), có đáp án và lời giải chi tiết. Các bài tập trong tài liệu được biên soạn dựa trên định dạng trắc nghiệm mới nhất, với cấu trúc gồm 03 phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn; Câu trắc nghiệm đúng sai; Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 6: Xác suất có điều kiện (CTST)
Môn: Toán 12
Sách: Chân trời sáng tạo
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 6: Xác suất có điều kiện (CTST)
Môn:
Sách:
Tác giả:
Preview text:
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST CHƯƠNG 6
MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT BÀI 1
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B . Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác
suất của A với điều kiện B , kí hiệu P( A| B).
2. Công thức tính xác suất có điều kiện P A∩ B
Cho hai biến cố A và B , với P(B) > 0. Khi đó: P( A| B) ( ) = P(B) Chú ý:
• Ta cũng kí hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB
• Nếu P(B) > 0 thì P( AB) = P(B).P( A| B)
• Nếu A và B là hai biến cố bất kì thì:
P( AB) = P( A).P( A | B) = P(B).P( A | B)
Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. n A∩ B
• Cho A và B là hai biến cố với P(B) > 0. Khi đó, ta có: P( A| B) ( ) = n(B)
Trong đó n( A∩ B) là số các trường hợp thuận lợi của ( A∩ B) ; n(B) là số các trường hợp thuận lợi của B .
• Nếu A và B là hai biến cố bất kì, với P(B) > 0 thì: P( A | B) =1− P( A| B)
• Cho A và B là hai biến cố với 0 < P A <
( ) 1; 0 < P(B) <1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập
khi và chỉ khi: P( A) = P( A| B) = P( A| B)
và P(B) = P(B | A) = P(B | A)
Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến này
không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
3. Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ GIẢI TOÁN P A∩ B
1. Xác suất điều kiện: P( A| B) ( ) = P(B) P A∩ B
n( A∩ B) P( A| B) ( ) = = P(B) n(B)
2. Công thức nhân xác suất: P( A∩ B) = P( A).P( A| B) = P(B).P( A| B)
Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập A và B , với 0 < P A <
( ) 1; 0 < P(B) <1.
P( A) = P( A| B) = P( A| B)
P(B) = P(B | A) = P(B | A) Chú ý 2:
• P( A) + P( A) =1
• P( A| B) + P( A | B) =1
• P( A∩ B) + P( A∩ B) = P( A)
• P( A∩ B) + P( A ∩ B) = P(B)
• Cách ghi P( A∩ B) với P( AB) hoàn toàn như nhau Chú ý 3:
• Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể
được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của
một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
• Những bài toán xảy ra xác suất điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi
gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Câu 1. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P( A) = 0,2024 , P(B) = 0,2025.
a) Tính P( A| B) . A. 0,7976 . B. 0,7975. C. 0,2025 . D. 0,2024 .
b) Tính P(B | A). A. 0,7976 . B. 0,7975. C. 0,2025 . D. 0,2024 .
Câu 2. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,6, P(B) = 0,7 , P( A∩ B) = 0,3.
a) Tính P( A| B) . A. 3 . B. 1 . C. 6 . D. 1 . 7 2 7 7
b) Tính P(B | A). A. 3 . B. 1 . C. 6 . D. 1 . 7 2 7 7
c) Tính P( A ∩ B) . A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 7 2 5 7
Câu 3. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,8, P(B) = 0,65, P( A∩ B) = 0,55.
a) Tính P( A∩ B). A. 0,25 . B. 0,1. C. 0,15. D. 0,35.
b) Tính P( A ∩ B) . A. 0,25 . B. 0,4 . C. 0,3. D. 0,35.
Câu 4. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 5 . 6 2 6 6
Câu 5. Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại.
a) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . 3 7 5 7
b) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng là: A. 2 . B. 1 . C. 7 . D. 5 . 3 3 9 9
Câu 6. Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
a) Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án. A. 0,28 . B. 0,7 . C. 0,46 . D. 0,18.
b) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2. A. 0,6 . B. 0,7 . C. 0,46 . D. 0,3.
c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2. A. 0,4 . B. 0,7 . C. 0,28 . D. 0,6 .
Câu 7. Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của BIDV và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần
lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết
lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV. A. 5 . B. 2 . C. 7 . D. 4 . 9 3 9 9
Câu 8. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi
không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ? A. 3 . B. 9 . C. 9 . D. 21 . 5 16 17 80
Câu 9. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng
xe Camry”. Bạn Minh Hiền được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 20 19 190 10
Câu 10. Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt
thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần
kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai.
Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? A. 95 . B. 931 . C. 95 . D. 98 . 98 1000 100 100
Câu 11. Lớp Toán Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất
thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên
trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nữ? A. 1 . B. 11 . C. 12 . D. 11 . 5 23 23 19
Câu 12. Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong
đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi
lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai. A. 1 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . 5 3 5 2
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Câu 13. Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là
con gái là bao nhiêu? Cho biết xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. A. 3 . B. 9 . C. 9 . D. 21 . 5 16 17 80
Câu 14. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi trắng.
Xác định xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ. A. 2 . B. 1 . C. 8 . D. 2 . 9 10 9 5
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 15. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P( A) = 0,7 , P(B) = 0,6 .
a) P( A| B) = 0,6
b) P(B | A) = 0,4
c) P(B | A) = 0,4
d) P(B | A) = 0,6
Câu 16. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,4 , P(B) = 0,8, P( A∩ B) = 0,4.
a) P( A) = 0,6 và P(B) = 0,2 . b) P( A B) 1 | = 2 c) P(B A) 2 | = 3
d) P( A ∩ B) 3 = 5
Câu 17. Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2
là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi ,
A B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) A và B là hai biến độc lập.
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4 .
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 0,8.
Câu 18. Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1
bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng.
a) Xác suất để có tên Hiền là 1 . 10
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là 3 . 17
c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam là 2 . 13
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là 3 . 17
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 19. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối
lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng
trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B : “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không? .
Đán án: …………
Câu 20. Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20
viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để
lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai.
Đán án: …………
Câu 21. Có 40 phiếu thi Toán 12, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi, trong đó có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5
câu hỏi khó và 8 câu hỏi dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu hỏi khó và 15 câu hỏi dễ). Lấy ngẫu nhiên
ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết khó.
Đán án: …………
Câu 22. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con
xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm.
Đán án: …………
Câu 23. Một lô sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản
phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm.
Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.
Đán án: …………
Câu 24. Một thư viện có 35%tổng số sách là sách khoa học, 14% tổng số sách là sách khoa học tự nhiên.
Chọn ngẫu nhiên một quyển sách của thư viện. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học
tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học.
Đán án: …………
Câu 25. Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như hình vẽ. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị
hỏng với xác suất 0,02 . Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hỏng với xác suất 0,1 ;
ngược lại, nếu UPS không bị hỏng, máy tính sẽ không bị hỏng.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
Đán án: …………
Câu 26. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu nhiên ra
một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suât để người
đó rút được thẻ số 10.
Đán án: …………
Câu 27. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 .
Đán án: …………
Câu 28. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con
xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Đán án: …………
Câu 29. Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn
lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu
nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là 1313.
Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Đán án: …………
Câu 30. Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là
0,7 . Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9 . Nếu thí
nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4 . Tính xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Đán án: …………
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST CHƯƠNG 6
MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT BÀI 1
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B . Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác
suất của A với điều kiện B , kí hiệu P( A| B).
2. Công thức tính xác suất có điều kiện P A∩ B
Cho hai biến cố A và B , với P(B) > 0. Khi đó: P( A| B) ( ) = P(B) Chú ý:
• Ta cũng kí hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB
• Nếu P(B) > 0 thì P( AB) = P(B).P( A| B)
• Nếu A và B là hai biến cố bất kì thì:
P( AB) = P( A).P( A | B) = P(B).P( A | B)
Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. n A∩ B
• Cho A và B là hai biến cố với P(B) > 0. Khi đó, ta có: P( A| B) ( ) = n(B)
Trong đó n( A∩ B) là số các trường hợp thuận lợi của ( A∩ B) ; n(B) là số các trường hợp thuận lợi của B .
• Nếu A và B là hai biến cố bất kì, với P(B) > 0 thì: P( A | B) =1− P( A| B)
• Cho A và B là hai biến cố với 0 < P A <
( ) 1; 0 < P(B) <1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập
khi và chỉ khi: P( A) = P( A| B) = P( A| B)
và P(B) = P(B | A) = P(B | A)
Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến này
không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
3. Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện
KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ GIẢI TOÁN
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST P A∩ B
1. Xác suất điều kiện: P( A| B) ( ) = P(B) P A∩ B
n( A∩ B) P( A| B) ( ) = = P(B) n(B)
2. Công thức nhân xác suất: P( A∩ B) = P( A).P( A| B) = P(B).P( A| B)
Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập A và B , với 0 < P A <
( ) 1; 0 < P(B) <1.
P( A) = P( A| B) = P( A| B)
P(B) = P(B | A) = P(B | A) Chú ý 2:
• P( A) + P( A) =1
• P( A| B) + P( A | B) =1
• P( A∩ B) + P( A∩ B) = P( A)
• P( A∩ B) + P( A ∩ B) = P(B)
• Cách ghi P( A∩ B) với P( AB) hoàn toàn như nhau Chú ý 3:
• Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể
được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của
một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
• Những bài toán xảy ra xác suất điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi
gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ GIẢI TOÁN
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST P A∩ B
1. Xác suất điều kiện: P( A| B) ( ) = P(B) P A∩ B
n( A∩ B) P( A| B) ( ) = = P(B) n(B)
2. Công thức nhân xác suất: P( A∩ B) = P( A).P( A| B) = P(B).P( A| B)
Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập A và B , với 0 < P A <
( ) 1; 0 < P(B) <1.
P( A) = P( A| B) = P( A| B)
P(B) = P(B | A) = P(B | A) Chú ý 2:
• P( A) + P( A) =1
• P( A| B) + P( A | B) =1
• P( A∩ B) + P( A∩ B) = P( A)
• P( A∩ B) + P( A ∩ B) = P(B)
• Cách ghi P( A∩ B) với P( AB) hoàn toàn như nhau Chú ý 3:
• Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể
được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của
một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
• Những bài toán xảy ra xác suất điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi
gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Câu 1. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P( A) = 0,2024 , P(B) = 0,2025.
a) Tính P( A| B) . A. 0,7976 . B. 0,7975. C. 0,2025 . D. 0,2024 .
b) Tính P(B | A). A. 0,7976 . B. 0,7975. C. 0,2025 . D. 0,2024 . Lời giải
a) Tính P( A| B) . Chọn D.
A và B là hai biến cố độc lập nên: P( A| B) = P( A) = 0,2024
b) Tính P(B | A).
A và B là hai biến cố độc lập nên: P(B | A) = P(B) = 0,2025
Câu 2. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,6, P(B) = 0,7 , P( A∩ B) = 0,3.
a) Tính P( A| B) . A. 3 . B. 1 . C. 6 . D. 1 . 7 2 7 7
b) Tính P(B | A). A. 3 . B. 1 . C. 6 . D. 1 . 7 2 7 7
c) Tính P( A ∩ B) . A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 7 2 5 7 Lời giải
a) Tính P( A| B) . Chọn A. P A∩ B Ta có: P( A B) ( ) 0,3 3 | = = = P(B) 0,7 7
b) Tính P(B | A). Chọn B. P A∩ B
Ta có: P(B A) = − P(B A) ( ) 0,3 1 1 | 1 | =1− = − = − = P( A) 1 1 0,6 2 2
c) Tính P( A ∩ B) . Chọn C.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST Cách 1:
Ta có: P( A ∩ B) = P( A | B).P(B) . P A∩ B
Mà P( A B) = − P( A B) ( ) 0,3 4 | 1 | = 1− = − = P(B) 1 0,7 7
Do đó P( A ∩ B) = P( A B) P(B) 4 2 | . = .0,7 = 0,4 = 7 5
Cách 2: P( A ∩ B) + P( A∩ B) = P(B) ⇒ P( A ∩ B) = P(B) − P( A∩ B) 2 = 0,7 − 0,3 = 5
Câu 3. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,8, P(B) = 0,65, P( A∩ B) = 0,55.
a) Tính P( A∩ B). A. 0,25 . B. 0,1. C. 0,15. D. 0,35.
b) Tính P( A ∩ B) . A. 0,25 . B. 0,4 . C. 0,3. D. 0,35. Lời giải
a) Tính P( A∩ B). Chọn A.
Ta có: P( A∩ B) + P( A∩ B) = P( A) ⇒ P( A∩ B) = P( A) − P( A∩ B) = 0,8− 0,55 = 0,25
b) Tính P( A ∩ B) . Chọn B.
Ta có: P( A ∩ B) + P( A∩ B) = P(B) ⇒ P( A ∩ B) = P(B) − P( A∩ B) = 0,65− 0,25 = 0,4
Câu 4. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 5 . 6 2 6 6 Lời giải Chọn C.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”
Gọi B là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần
xuất hiện là 6 chấm thì P(B A) 1 | = 6
Câu 5. Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại.
a) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . 3 7 5 7
b) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng là: A. 2 . B. 1 . C. 7 . D. 5 . 3 3 9 9 Lời giải a) Chọn A.
Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.
Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”. P A∩ B
Ta đi tính P(B | A) với P(B | A) ( ) = P( A)
Không gian mẫu n(Ω) =10.9 cách chọn
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9
chọn, do đó P( A) 7.9 7 = = 10.9 10
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại
có 6 cách chọn, do đó P( A∩ B) 7.6 7 = = 10.9 15
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là 7 ( P A∩ B P B | A) ( ) 15 2 = = = P( A) 7 3 10 Cách 2:
Sau khi biết viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ. Khi đó trong hộp còn lại 9 viên: gồm 3 viên bi màu trắng
và 6 viên bi màu đỏ. Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ
nhất cũng màu đỏ là P(B A) 6 2 | = = 9 3 b) Chọn C.
Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.
Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”. P C ∩ D
Ta đi tính P(D | C) với P(D | C) ( ) = P(C)
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9
cách chọn, do đó P(C) 3.9 3 = = 10.9 10
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do
đó P( A∩ B) 3.7 7 = = 10.9 30
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ 7 P C ∩ D
là P(D | C) ( ) 30 7 = = = P(C) 3 9 10 Cách 2:
Giả sử viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng. Khi đó trong hộp còn lại 9 viên, gồm 2 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ.
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất màu trắng là P(B A) 7 | = 9
Câu 6. Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7.
a) Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án. A. 0,28 . B. 0,7 . C. 0,46 . D. 0,18.
b) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2. A. 0,6 . B. 0,7 . C. 0,46 . D. 0,3.
c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2. A. 0,4 . B. 0,7 . C. 0,28 . D. 0,6 . Lời giải a) Chọn C.
Gọi A là biến cố”thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố”thắng thầu dự án 2″
theo đề bài P( A) = 0,6 ⇒ P( A) = 0,4;P(B) = 0,7 ⇒ P(B) = 0,3 với 2 biến cố , A B độc lập
Gọi C là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”
P(C) = P( A∩ B + A ∩ B) = P( A∩ B) + P( A ∩ B) = P( A).P(B) + P( A).P(B) = 0,6.0,3+ 0,4.0,7 = 0,46 b) Chọn B.
Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do ,
A B là hai biến cố độc lập nên: P(D) = P(B | A) = P(B) = 0,7 c) Chọn B.
Gọi E là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1” do ,
A B là hai biến cố độc lập nên: P(E) = P(B | A) = P(B) = 0,7
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Câu 7. Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của BIDV và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần
lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết
lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV. A. 5 . B. 2 . C. 7 . D. 4 . 9 3 9 9 Lời giải Chọn D.
Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ
ATM của BIDV “. Ta cần tìm P( A | B)
Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên P( A B) 4 | = 9
Câu 8. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi
không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ? A. 3 . B. 9 . C. 9 . D. 21 . 5 16 17 80 Lời giải Chọn A.
Gọi A là biến cố “lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ”.
Gọi B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi màu xanh”.
Ta cần tìm P(B | A)
Không gian mẫu n(Ω) =16.15 cách chọn
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi rong 15 bi còn lại có 15 cách
chọn, do đó P( A) 7.15 7 = = 16.15 16
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu xanh có 9 cách chọn, do
đó P( A∩ B) 7.9 21 = = 16.15 80
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu xanh nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ là 21 ( P A∩ B P B | A) ( ) 80 3 = = = P( A) 7 5 16
Câu 9. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng
xe Camry”. Bạn Minh Hiền được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 20 19 190 10 Lời giải
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST Chọn C.
Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”
Gọi B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”.
Ta đi tính P( A∩ B)
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó P( A) 2 1 = = 20 10
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó: P(B A) 1 | = 19 P A∩ B ta có P(B A) ( ) = ⇒ ∩ = = = P( A)
P( A B) P(B A) P( A) 1 1 1 | | . . 19 10 190
Câu 10. Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt
thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần
kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai.
Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? A. 95 . B. 931 . C. 95 . D. 98 . 98 1000 100 100 Lời giải Chọn B.
Gọi A là biến cố ” qua được lần kiểm tra đầu tiên” ⇒ P( A) = 0,98
Gọi B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2” ⇒ P(B | A) = 0,95
chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên hay ta đi tính P( A∩ B) P A∩ B ta có P(B A) ( ) = ⇒ ∩ = = = P( A)
P( A B) P(B A) P( A) 931 | | . 0,95.0,98 1000
Câu 11. Lớp Toán Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất
thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên
trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nữ? A. 1 . B. 11 . C. 12 . D. 11 . 5 23 23 19 Lời giải Chọn A.
Gọi A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”
Gọi B là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê”,
Ta đi tính P(B | A) ta có: n( A) 55 =
; n( A∩ B) 11 = 95 95
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST P A∩ B
n( A∩ B) Do đó: P(B A) ( ) 11 55 11 1 | = = = = = P( A) n( A) : 95 95 55 5
Câu 12. Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong
đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi
lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai. A. 1 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . 5 3 5 2 Lời giải Chọn D. Cách 1:
Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”
Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”,
Ta đi tính P(B | A)
ta có: P( A) 3.4 3 =
= ; P( A∩ B) 3.2 3 = = 5.4 5 5.4 10 3 P A∩ B
Do đó: P(B | A) ( ) 10 1 = = = P( A) 3 2 5 Cách 2:
Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”. Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ
nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2. Do đó, xác suất cần tìm là P(C) 2 1 = = 4 2
Câu 13. Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là
con gái là bao nhiêu? Cho biết xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. A. 3 . B. 9 . C. 9 . D. 21 . 5 16 17 80 Lời giải Chọn D.
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.
Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:
(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).
Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái”
Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái” Ta có P( A) 1 = P(B) 3 ; = 4 4
Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
P( A∩ B) = P( A) 1 = 4
Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là 1 ( P A∩ B P A | B) ( ) 4 1 = = = P(B) 3 3 4
Câu 14. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi trắng.
Xác định xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ. A. 2 . B. 1 . C. 8 . D. 2 . 9 10 9 5 Lời giải Chọn A.
Gọi A là biến cố lần 1 bốc được bi trắng
Gọi B là biến cố lần 2 bốc được bi đỏ.
Xác suất lần 2 bốc được bi đỏ khi lần 1 đã bốc được bi trắng là P(B | A)
ta có: P( A) 8.9 4 =
= ; P( A∩ B) 8.2 8 = = 10.9 5 10.9 45 8 P A∩ B
Do đó: P(B | A) ( ) 45 2 = = = P( A) 4 9 5
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 15. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P( A) = 0,7 , P(B) = 0,6 .
a) P( A| B) = 0,6
b) P(B | A) = 0,4
c) P(B | A) = 0,4
d) P(B | A) = 0,6 Lời giải a) b) c) d) SAI ĐÚNG ĐÚNG ĐÚNG
P( A) = 0,7 ⇒ P( A) =1− 0,7 = 0,3
P(B) = 0,6 ⇒ P(B) =1− 0,6 = 0,4 .
Do A và B độc lập nên A và B độc lập, B và A độc lập, B và A độc lập.
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
a) A và B là hai biến cố độc lập nên: P( A| B) = P( A) = 0,7 ≠ 0,6
b) A và B là hai biến cố độc lập nên: P(B | A) = P(B) = 0,4
c) A và B là hai biến cố độc lập nên: P( A | B) = P( A) = 0,3
d) A và B là hai biến cố độc lập nên: P(B | A) = P(B) = 0,6
Câu 16. Cho hai biến cố A và B , với P( A) = 0,4 , P(B) = 0,8, P( A∩ B) = 0,4.
a) P( A) = 0,6 và P(B) = 0,2 . b) P( A B) 1 | = 2 c) P(B A) 2 | = 3
d) P( A ∩ B) 3 = 5 Lời giải a) b) c) d) ĐÚNG ĐÚNG SAI SAI a) Ta có:
P( A) = 0,4 ⇒ P( A) =1− 0,4 = 0,6
P(B) = 0,8 ⇒ P(B) =1− 0,8 = 0,2 .
P( A∩ B) = 0,4 P A∩ B
b) Ta có: P( A B) ( ) 0,4 1 | = = = P(B) 0,8 2 P A∩ B
c) Ta có: P(B A) = − P(B A) ( ) 0,4 1 | 1 | =1− = − = P( A) 1 0,6 3 d) Cách 1:
Ta có: P( A ∩ B) = P( A | B).P(B) . P A∩ B
Mà P( A B) = − P( A B) ( ) 0,4 1 | 1 | = 1− = − = P(B) 1 0,8 2
Do đó P( A ∩ B) = P( A B) P(B) 1 2 | . = .0,8 = 2 5
Cách 2: P( A ∩ B) + P( A∩ B) = P(B) ⇒ P( A ∩ B) = P(B) − P( A∩ B) 2 = 0,8 − 0,4 = 5
Thống kê và xác suất 12 - Chương 6 – Một số yếu tố xác suất- Bài tập theo chương trình mới 2025 CTST
Câu 17. Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2
là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi ,
A B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) A và B là hai biến độc lập.
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4 .
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 0,8. Lời giải a) b) c) d) ĐÚNG ĐÚNG SAI SAI
Đề bài: P( A) = 0,5 ⇒ P( A) = 0,5;P(B) = 0,6 ⇒ P(B) = 0,4
P( A∩ B) = 0,4 a) ,
A B độc lập ⇔ P( A∩ B) = P( A).P(B) mà 0,4 ≠ 0,5.0,6 nên ,
A B không độc lập
b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
P(C) = P( A∩ B) + P( A ∩ B) = P( A) − P( A∩ B) + P(B) − P( A∩ B)
= P( A) + P(B) − 2P( A∩ B) = 0,5 + 0,6 − 2.0,4 = 0,3
c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1 ∩
P(D) = P(B A) P(B A) 0,4 | = = = P( A) 0,8 0,5
d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1” ∩ − ∩
P(E) = P(B A) P(B A) P(B) P( A B) 0,6 − 0,4 | = = = = P( A) P( A) 0,4 0,5
Câu 18. Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1
bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng.
a) Xác suất để có tên Hiền là 1 . 10
b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là 3 . 17
c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam là 2 . 13
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là 3 . 17 Lời giải