Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz | Chuyên đề Toán 12

Các phương pháp viết phương trình mặt phẳng
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm  (
A 1;0;2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) . Hướng dẫn giải Mặt phẳng  (P) đi qua điểm (
A 1;0;2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) có phương
trình là: 1(x 1) 1(y  0)  2(z  2)  0  x  y  2z  3  0.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x  y  2z  3  0 .
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm M x ; y ; z và song 0  0 0 0 
song với 1 mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  0 cho trước. Phương pháp giải
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 
1. VTPT của   là n    ; A B;C.  
2.   //  nên VTPT của mặt phẳng   là n   n    ; A B;C.
3. Phương trình mặt phẳng   : Ax  x  B y  y  C z  z  0. 0   0   0  Cách 2:
1. Mặt phẳng   // nên phương trìnhP có dạng: Ax  By  Cz  D  0 (*), với D  D .
2. Vì P qua 1 điểm M x ; y ; z nên thay tọa độ M x ; y ; z vào (*) tìm được 0  0 0 0  0  0 0 0  D .
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua điểm
M (0;1;3) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x  3z 1  0 . Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng(Q) : 2x  3z 1  0 nên mặt phẳng(P) có
phương trình dạng: 2x 3z  D  0 (D 1).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình
mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 D  0  D  9 (thỏa mãn D 1 ).
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x 3z  9  0 .
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ các vectơ:   AB, AC.   
2. Vectơ pháp tuyến của  là : n     AB, AC .  
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C ). 
4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (
A 1;0;2), B(1;1;1), C(0;1;2) . Hướng dẫn giải   Ta có:  
AB  (0;1;3), AC  (1; 1: 4)  AB, AC   (7;3;1)   . 
Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có   n  AB   
  nên n cùng phương với  AB, AC  .    n  AC
Chọn n  (7;3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là:
7(x 1)  3(y  0) 1(z  2)  0
 7x  3y  z  5  0 .
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  là u.  
2. Vì     nên   có VTPT n   u. 
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm O  x  t
và vuông góc với đường thẳng d : y  1   2t  z  2  t. Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u  d (1;2;1).
Mặt phẳng() vuông góc với đường thẳng d nên () có một vectơ pháp tuyến là:   n   .  ud (1;2;1)
Đồng thời () đi qua điểm O nên có phương trình là: x  2y  z  0 .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  , vuông góc với mặt phẳng  .
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của   là n . 
2. Tìm VTCP của  là u.   
3. VTPT của mặt phẳng   là: n    n ;u   .  
4. Lấy một điểm M trên .
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () chứa đường  x  t 
thẳng d : y  1
  2t và vuông góc với   : x  2y  z 1  0.  z  2  t Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm A0;1;2 và có VTCP là: u   d ( 1;2;1). 
Mặt phẳng   có VTPT là n   .  1;2; 1
Mặt phẳng() chứa đường thẳng d và vuông góc với  nên () có một vectơ   
pháp tuyến là: n   .  u n       d ,   4;0; 4 41;0; 1  
Phương trình mặt phẳng  là: x  z  2  0 .
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  .
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của   là n . 
2. Tìm tọa độ vectơ A . B   
3. VTPT của mặt phẳng   là: n    n , AB.  
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ . Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm ( A 1;2; 2  ),B(2; 1
 ;4) và vuông góc với  : x  2y  z 1  0. Hướng dẫn giải 
Có AB  1;3;6 
Mặt phẳng   có VTPT là n    .  1; 2; 1
Mặt phẳng() chứa A , B và vuông góc với  nên () có một vectơ pháp tuyến    là: n   .  AB,n    15;7;  1  
Phương trình mặt phẳng  là: 15x  7z 1 27  0 .
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  và song song với   (  ,   chéo nhau).
Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của  và 
 là u và u .  '   
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    u   , u   .  
3. Lấy một điểm M trên .
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng(P) chứa đường  x 1 thẳng d :  x 1 y z 1
 y  1 2t và song song với đường thẳng 1 d :   . 2  1 2 2 z 1  t Hướng dẫn giải Đường thẳng 
d đi qua điểm M (1;1;1) vectơ chỉ phương u (0; 2;1) . 1 1 1 Đường thẳng 
d đi qua điểm M (1;0;1) vectơ chỉ phương u (1;2;2) . 2 2 2  
Ta có u ,u   (6;1;2) . 1 2   
Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng(P) , ta có:   n  u    1
  nên n cùng phương với u ,u  .  1 2   n  u2
Chọn n  (6;1;2) . Mặt phẳng 
(P) đi qua điểm M (1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n  (6;1; 2) có 1 phương trình:
6(x 1) 1(y 1)  2(z 1)  0
 6x  y  2z  3  0 .
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn. 2
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 6x  y  2z  3  0 .
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M
Phương pháp giải  
1. Tìm VTCP của  là u , lấy 1 điểm N trên  . Tính tọa độ MN.    
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    u   ; MN .  
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng() chứa đường  x  1
thẳng d : y 1 2t và điểm M ( 4  ;3;2).  z 1  t Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương u  . d (0; 2;1)  MN  5; 2  ;  1 .
Mặt phẳng() chứa đường thẳng d và điểm M nên () có một vectơ pháp tuyến    là: n   .  u MN   d , 4;5;10  
Phương trình mặt phẳng  là: 4x  5y 10z 19  0 .
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và  .
Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của  và 
 là u và u .  '   
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    u   ; u . '  
3. Lấy một điểm M trên .
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng(P) chứa đường  x 1 x 1 3t thẳng d :  
 y  1 2t và d : y  1 2t . 1 2  z 1   t z 1  t Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm M (1;1;1) vectơ chỉ phương u (0;2;1) . 1 1 1 
Đường thẳng d đi qua điểm M (1;1;1) vectơ chỉ phương u (3;2;1) . 2 2 2   
Ta có u ,u   0;3;6 , M M  0;0;0 1 2   1 2    
  
Do M M u ,u   0 nên đường thẳng d ,d cắt nhau. 1 2 1 2   1 2
Mặt phẳng() chứa đường thẳng d ,d cắt nhau nên  có một vectơ pháp tuyến 1 2 ( )    là: n   . 
u ,u   0;3;6  3 0;1;2 1 2      
Phương trình mặt phẳng  là: y  2z 3  0 .
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và  .
Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của  và 
 là u và u , lấy M , N  .     
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    u   ; MN .  
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () chứa đường  x 1  x  4 thẳng d :  
 y  1 2t và d : y  3 4t 1 2  z 1   t z 1  2t Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm M (1;1;1) vectơ chỉ phương u (0;2;1) . 1 1 1
Đường thẳng d đi qua điểm M 4;3;1 vectơ chỉ phương u 0;4;2 . 2   2   2    
Ta có u ,u   0 , M M  3;2;0 . 1 2   1 2     
Do u ,u   0 nên đường thẳng d ,d song song 1 2   1 2
Mặt phẳng() chứa đường thẳng d ,d song song nên  có một vectơ pháp 1 2 ( )    tuyến là: n   . 
u , M M   2;3;6   2;3;6 1 1 2      
Phương trình mặt phẳng  là: 2x  3y  6z  7  0 .
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng  đi qua một điểm M và song song với
hai đường thẳng  và chéo nhau cho trước.
Phương pháp giải  
1. Tìm VTCP của  và  ’ là u và u .  '   
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    u   ; u .  
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ . Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua điểm  x 1 
A(1;0;2) và (P) song song với hai đường thẳng d : x 1 y z 1
 y  1 2t và 1 d :   .  2 1 2 2 z 1  t Hướng dẫn giải Đường thẳng 
d đi qua điểm M (1;1;1) vectơ chỉ phương u (0; 2;1) . 1 1 1
Đường thẳng d đi qua điểm M (1;0;1) vectơ chỉ phương u (1;2;2) . 2 2 2 Ta có  
u ,u   (6;1;2) . 1 2   
Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng(P) , ta có:   n  u  1  
  nên n cùng phương với u ,u  .  1 2   n  u2
Chọn n  (6;1;2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:
6(x 1) 1( y  0)  2(z  2)  0
 6x  y  2z 10  0 .
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và vuông góc với
hai mặt phẳng P,Qcho trước.
Phương pháp giải  
1. Tìm VTPT của P và Q là n và nQ. P   
2. VTPT của mặt phẳng   là: n    n n  P ; Q .  
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) : x  2 y  3z 1  0 và
(R) : 2x  3y  z 1  0 . Hướng dẫn giải  
VTPT của (Q) là n
 , VTPT của (R) là n  R (2; 3;1). Q (1; 2; 3)   Ta có 
n n      nên mặt phẳng (P) nhận n(1;1;1) là một VTPT và (P) đi Q , R ( 7; 7; 7)  
qua điểm M(1;2;5) nên có phương trình là: x  y  z  2  0 .
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng  và cách
: Ax  By  Cz  D  0 một khoảng k cho trước. Phương pháp giải
1. Trên mặt phẳng  chọn 1 điểm M.
2. Do  // nên  có phương trình Ax  By  Cz  D  0 ( D  D ).
3. Sử dụng công thức khoảng cách d ,  d M ,  k để tìm D.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
mặt phẳng (Q) : x  2y  2z 1  0 và cách (Q) một khoảng bằng 3. Hướng dẫn giải
Trên mặt phẳng (Q) : x  2y  2z 1  0 chọn điểm M(1;0;0) .
Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có
dạng: x  2y  2z  D  0 với D¹ 1.
Vì d((P),(Q)) = 3 Û d(M ,(P)) = 3 |- 1+ D | D é = - 8 Û
= 3 Û |- 1+ D |= 9 Û ê 2 2 2 1 + 2 + (- 2) D ê = 10 ë
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x  2y  2z  8  0 và
x  2 y  2z 10  0 .
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng
: Ax  By  Cz  D  0cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước. Phương pháp giải
1. Do  // nên  có phương trình Ax  By  Cz  D  0 ( D  D ).
2. Sử dụng công thức khoảng cách d M ,  k để tìm D.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
mặt phẳng (Q) : x  2y  2z 1  0 và (P) cách điểm M 1
( ; 2;1) một khoảng bằng 3. Hướng dẫn giải
Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có
dạng: x  2y  2z  D  0 với D¹ 1. D é = - 4 Vì |1- 4- 2+ D |
d(M ,(P)) = 3 Û = 3 Û ê 2 2 2 1 + 2 + (- 2) D ê = 14 ë
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x  2y  2z  4  0 và
x  2 y  2z 14  0 .
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu S. Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu S .
2. Nếu mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu S tại M S  thì mặt phẳng   đi 
qua điểm M và có VTPT là MI.
3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán
tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng:
Ax  By  Cz  D  0 ( D chưa biết).
Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I,   R để tìm D .
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
mặt phẳng (Q) : x  2y  2z 1  0 và tiếp xúc với mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z  2x  4y  2z  3  0 Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S)có tâm I(- 1;2;1) và bán kính 2 2 2
R = (- 1) + 2 + 1 + 3 = 3
Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có
dạng: x  2y  2z  D  0 với D¹ 1.
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P)) = R = 3 |- 1+ 4- 2+ D | D é = - 10 Û = 3 Û |1+ D |= 9 Û ê 2 2 2 1 + 2 + (- 2) D ê = 8 ë
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x  2y  2z 10  0 và
x  2 y  2z  8  0 .
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  và tạo với
một mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  0 cho trước một góc  cho trước.
Phương pháp giải 
Tìm VTPT của  là n . 
Gọi n (A ; B ;C ).   (n      ; n )
Dùng phương pháp vô định giải hệ:    n n  u   
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P và đường thẳng d lần lượt có
phương trình P: x  2y  z  5  0 và x 1 d :
 y 1  z  3 . Viết phương trình mặt 2
phẳng Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng P một góc 0 60 . Hướng dẫn giải
Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax  By  Cz  D  0  2 2 2
A  B  C  0.
Chọn hai điểm M 1;1;3, N 1;0;4 d.
Mặt phẳng Q chứa d nên M , N Q  . A   1  B 
1  C.3 D  0 C   2  A B      . A 1 .
B 0  C.4  D  0
D  7A 4B
Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax  By  2A  B z  7A  4B  0 và có VTPT 
n  A B  A  B Q  ; ; 2 .
Q tạo với mặt phẳng P một góc
A 2B  2A B 1 0 60 0   cos60  2 2 2 2 2 2
A  B  (2A B) 1  2  ( 1  ) 2  A  (4  2 3)B
Cho B 1 ta được A  (4  2 3).
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng
(4  2 3)x  y   9
  4 3 z 3214 3  0
(4  2 3)x  y   9
  4 3 z 32 14 3  0