Chủ đề giới hạn của dãy số Toán 11 KNTTVCS – Lê Bá Bảo
Tài liệu gồm 50 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm tóm tắt lý thuyết, bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm chủ đề giới hạn của dãy số môn Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTVCS), có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68
CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan
CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ
GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 : GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC ........................................................................ 4
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ................................................................................................. 4
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM.............................................................................. 4
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ..................................................................... 6
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ ............................................................................................................................ 6
1. Phương pháp .................................................................................................................... 6
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................. 6
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức ................................................................................................................. 7
1. Phương pháp .................................................................................................................... 7
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................ 8
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ ................................................................................. 9
1. Phương pháp .................................................................................................................... 9
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................. 9
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ......................................................................................... 10 GV: T
1. Phương pháp ............................................................................................................... 10 R Ầ N
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Đ
........................................................................................ 10 ÌN H
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn ................................................................ 12 C Ư –
1. Phương pháp ............................................................................................................... 12 0834
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................ 13 3321
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................. 16 33
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 20
BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 43
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM............................................................................ 43
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ................................................................... 45
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn .................................................................................................... 45
1. Phương pháp ............................................................................................................... 45
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 45
Dạng 2. Giới hạn tại vô cực ................................................................................................................... 46
1. Phương pháp .................................................................................................................. 46
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 46
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Dạng 3. giới hạn một bên ....................................................................................................................... 49
1. Phương pháp .................................................................................................................. 49
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 49 0 Dạng 4. Dạng vô định
........................................................................................................................ 51 0
1. Phương pháp .................................................................................................................. 51
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 51 Dạng 5. Dạng vô định
...................................................................................................................... 58
1. Phương pháp .................................................................................................................. 58
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 58
Dạng 6. Dạng vô định , 0. .................................................................................................... 62
1. Phương pháp .................................................................................................................. 62
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................... 63
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................. 65
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 67 GV: T
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC ........................................................................................................ 86 R Ầ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM............................................................................ 86 N Đ ÌN
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ................................................................... 86 H C
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm ............................................................................................... 86 Ư – 0834
1. Phương pháp ............................................................................................................... 86 3321
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................ 87 33
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định ......................................................................................... 89
1. Phương pháp ............................................................................................................... 89
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................ 89
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng .................................................................... 90
1. Phương pháp ............................................................................................................... 90
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................ 91
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................. 93
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 96
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3 ..................................................................................................... 109
PHẦN 1: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................... 109
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG V ........................................................................................... 114
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................... 114
PHẦN 2: TỰ LUẬN .............................................................................................................................. 133 GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG 3 : GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa
-Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau:
Dãy số u có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé n n
tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u 0 . n n
Chú ý: Ngoài kí hiệu lim u 0 , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: limu 0 hay u 0 khi n n n n n 1 Ta có: lim 0 . n
Nhận xét: Nếu u ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì limu 0 . n n
-Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau:
Dãy số u có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu lim u a , kí hiệu n 0 n n lim u a n n
Chú ý: Ngoài kí hiệu lim u a , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: limu a hay u a khi GV: T n n n n R n Ầ N Đ Chú ý: ÌN H
-Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. C Ư
-Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số . –
u với u ( 1 )n n n 0834
2. Một số giới hạn cơ bản 3321
Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau: 33 1 1 a) lim 0; lim
0 với k là số nguyên dương cho trước; k n n c c b) lim 0; lim
0 với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; k n n
c) Nếu q 1 thì lim n q 0 ; n 1 d) Dãy số u với u 1
có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e , n n n n 1 e lim 1 n
Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thương và
của một căn thức như sau:
a) Nếu limu a, limv b thì: n n
lim u v a b n n ;
lim u v a b n n .
limu .v a b n n . ; u a lim n
v 0,b 0 n . v b n
b) Nếu u 0 với mọi n và limu a thì a 0 và lim u a . n n n
III. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cấp số nhân vô hạn n 1 u , u q, , u q
, có công bội q thoả mãn q 1 được gọi là cấp số nhân lùi 1 1 1 vô hạn. u
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 2 1
S u u q u q . 1 1 1 1 q IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
-Ta có định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực như sau: GV: T
Ta nói dãy số u có giới hạn khi n
, nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể n n R
từ một số hạng nào đó trở đi. Ầ N
Kí hiệu : lim u hay . Đ limu hay u khi n n n n n ÌN H C
-Ta nói dãy số u có giới hạn khi n nếu lim u . n n Ư n – 0834
Kí hiệu lim u hay limu hay u khi n . n n n n 3321 Nhận xét 33 lim k n
với k là số nguyên dương cho trước. lim n q
với q 1 là số thực cho trước. u
Nếu limu a và limv (hoặc limv thì lim n 0 . n n n vn u
Nếu limu a, a 0 và limv 0, v 0 với mọi n thì lim n . n n n vn limu lim u . n n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k
n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.
Chú ý : Cho Pn, Qn lần lượt là các đa thức bậc ,
m k theo biến n : Px m m 1
a n a n a n a a 0 m m 1 1 0 m Qn k k 1
b n b n b n b b 0 k k 1 1 0 k Pn m Pn m Khi đó a n a n lim m , viết tắt m
, ta có các trường hợp sau : Qn lim k b n Qn k b n k k P n
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim Qn 0. Pn
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( a
m k ) thì lim m Qn . bk Pn khi a b 0
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k
m k ) thì lim Qn . khi a b 0 m k
Để ý rằng nếu Pn, Qn có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. GV: T Cụ thể m k k 1
n tì có bậc là . Ví dụ n có bậc là 3 4 ,
n có bậc là 4 ,... n 2 3 R Ầ N Đ
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách ÌN nhanh chóng ! H C Ư
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng – 0834 3 3n 2 5n 1 Ví dụ 1. Tính lim . 3321 3 2n 2 6n 4n 5 33 Giải 5 1 3 3 3n 2 5n 3 1 n 3 n lim lim 3 2n 2 6n 4n 6 4 5 5 2 2 2 3 n n n 2 Ví dụ 2: Tính n 2n lim 3 n 3n 1 Lời giải 1 2 2 2 Ta có n 2n 0 lim lim n n 0. 3 n 3n 1 3 1 1 1 2 3 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 7 2 Ví dụ 3: Tính n n lim 3 n 3n 1 Lời giải 7 2 7 n n n 4 lim n 3 3 n 3n 1 n Ví dụ 4: Cho dãy số n b u với 2 u
trong đó b là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn hữu n n n 5n 3
hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Lời giải b 2 Ta có 2n b 2 lim lim lim n u b n 5n 3 3 5 5 n Giải nhanh : 2n b 2n 2
với mọi b . 5n 3 5n 5 2 Ví dụ 5: Cho dãy số 4n n 2 u với u
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a n n 2 an 5 bằng bao nhiêu Lời giải 1 2 2 4 2 4n n 2 4 2 lim lim lim n n u
a 0 a 2. n 2 an 5 5 a a GV: T 2 n 2 2 R 4n n 2 4n 4 Ầ Giải nhanh : 2 a 2. 2 2 N an 5 an a Đ ÌN 2 n 2n 3 2n 1 4n 5 H
Ví dụ 6: Tính giới hạn L lim . C 4 n 3n 1 2 3n 7 Ư – 0834 Lời giải 3321 2 1 5 2 n 2n 3 2n 14n 1 2 4 3 5 n n n 1.2.4 8 L lim lim . 33 4 n 3n 1 2 3n 7 3 1 7 1.3 3 1 3 3 4 2 n n n 2 n 2n 3 2n 1 4n 2 3 5 Giải nhanh: n .2n .4n 8 . 4 n 3n 1 2 3n 7 4 2 n .3n 3
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 2 2 lim n 7 n 5 Giải 2 2 2 2 n 7 n 5 2
lim n 7 n 5 lim lim 0 2 2 2 2 n 7 n 5 n 7 n 5 Ví dụ 2. Tính 2 lim
n n 1 n Lời giải . 2 2
n n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 1 n lim 1 1 1 2 1 lim lim n n n n 2
n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n GV: T Giải nhanh : n 1 n 1 2
n n 1 n . 2 2 2 n n 1 n n n R Ầ N 3 2 3 Đ
Ví dụ 3. Tính lim n n n ÌN H C Lời giải Ư – 3 2 3 3 3 0834
n n n n n 0
nhân lượng liên hợp : 2 3321 n lim 1 1 3 2 3
n n n lim lim . 2 3 n n 2 2 3 2 3 2 3 3
n n n n 1 1 33 3 3 1 1 1 n n 2 2 Giải nhanh : n n 1 3 2 3
n n n . 2 3 2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 3 3 n n n n n n
n n n n Ví dụ 4. Tính lim n
n1 n Lời giải
n n 1 n n n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n n n 1 1 lim 1 lim lim n 1 n 1 2 1 1 n
Giải nhanh : n n n n n 1 1 . n 1 n n n 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phương pháp u
Trong tính giới hạn lim n mà u ;v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho n
a với a là cơ số v n n n
lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim n
q 0 với q 1.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n n 1 3 2.5 Ví dụ 1: Tính lim n 1 2 5n Lời giải n n 1 n 1 3 2.5 2.5 Giải nhanh : ~ 10 n 1 2 5n 5n n 3 10 n n 1 3 2.5 5 Cụ thể : lim lim 10. n 1 2 5n n 2 2. 1 5 n n 1 3 4.2 3 Ví dụ 2: Tính lim 3.2n 4n GV: T Lời giải R 1 n n n n Ầ 3 4.2 3 3 3 N Giải nhanh : ~ 0. n n n Đ 3.2 4 4 4 ÌN H n n n C 3 1 1 Ư 8. 3. n n 1 3 4.2 3 4 2 4 0 – Cụ thể : lim lim 0. 0834 3.2n 4n n 1 1 3. 1 3321 2 33 n 5n1 1 2 Ví dụ 3: Tính lim 5n2 3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận n 5n 1 n 1 2 n 2 2 Ta có: lim lim 1 . 0. 5n 2 3 9 3 Cách 2: Mẹo giải nhanh n 5n 1 5n 1 2 n 2 1 . 0. 5n 2 3 3 n n 1 3 4.2 3 Ví dụ 4: Tính lim . n n 3.2 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận n n 3 2 3 4.2 n n1 4 3 4.2 3 4 4 Ta có: n (chia tử và mẫu cho 4 n ). n 3.2 n n 4 2 3. 1 4 n n 1 3 4.2 3 0 Suy ra lim 0. n n 3.2 4 1 Cách 2: Mẹo giải nhanh n n n 1 n 3 4.2 3 3 3 0. n n n 3.2 4 4 4 2
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của an 1 1
a thuộc 0;20 sao cho lim 3 là một số 2 3 n 2n nguyên. Lời giải 1 2 a 2 an 1 lim lim n a 2 2 3 n 3 Ta có an 1 1 1 2 lim 3 3 a. 2 n 3 n 2n n 1 1 GV: T lim lim 0 2n 2 R Ầ a 0;20, a N Ta có a 1;6; 13 . Đ a 3 ÌN H C
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Ư – 0834 1. Phương pháp 3321
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1. 33
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) u1
S u u ... u ... 1 2 n 1 q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 n a a a 1 2 3 a
X N,a a a ...a ... N ... ... 1 2 3 n 2 3 n 10 10 10 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n1 1 1 1 1
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 Lời giải 1
Theo đề cho ta có: u 1, q . 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com u1 1 2 S . 1 q 1 3 1 2
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Lời giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: a 0,212121...
0,21 0,0021 0,000021 ... 1 1 1 21 ... 2 4 6 10 10 10 1 1 1 1 1 Tổng S
... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u , q . 2 4 6 1 10 10 10 2 2 10 10 1 u 2 1 1 10 1 7 S . Do đó A 21. . 1 q 1 99 99 33 1 2 10
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 7
Nhập vào màn hình 0,2
1 và ấn phím ta được kết quả . 33 GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ví dụ 3: Tổng 2 3 n 1 Ư S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9
... có kết quả bằng bao nhiêu? n – 0834 Hướng dẫn giải 3321
1 0,9 0,92 0,93 ... 0,9n1 S ... 33
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có u 1, q 0,9. 1 u1 1 S 10. 1 q 1 0,9
Ví dụ 4: Cho 2 3 S 1 q q q ..., q 1 T 1 Q 2 Q 3 Q ..., Q 1 E 1 qQ 2 2 q Q 3 3 q Q ...
Biểu thị biểu thức E theo S,T Hướng dẫn giải 2 3 S 1 q q
q ..., q 1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u 1, q q. 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com u 1 S 1 Khi đó: 1 S q . (1) 1 q 1 q S 1 T 1 Tương tự: T Q . (2) 1 Q T 2 2 3 3 E 1 q.Q q .Q
q .Q ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ 1 , và u 1). 1 u E 1 (3) 1 qQ u Thay (1), (2) vào (3): 1 ST E E . T 1 S 1 S T 1 1 . T S 1
Ví dụ 5: Tìm số hạng U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S 4; q . 1 2 Hướng dẫn giải u u Ta có: 1 S q 1 1 4 u 2. 1 1 q 1 1 2
Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S 6 ; U 3 . 1 Hướng dẫn giải GV: T u 3 1 Ta có: 1 S q 1 6 q . R 1 q 1 q 2 Ầ N Đ
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn ÌN H 1. Phương pháp C Ư –
1) Dạng tồng các phân số. 0834 1 1 1 Ví Dụ: A , n 2, n N 3321 2.3 3.4 n(n 1) 33 1 1 1 Ta phân tích : .(1) k(k 1) k k 1
Để tính A ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
2) Dạng tích các phân số: 2 2 2 1 3 1 Ví dụ: B , n 2, n N 2 2 2 3 2 k 1 k 1 k Ta phân tích: : .(2) 2 k k k 1
Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức:
a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:
Ví dụ: C 1.2.3 2.3.4 9 9.100.101
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ta tách:
4k(k 1)(k 2) : 4 k(k 1)(k 2)[(k 3) (k 1)] , k 1, k N
((k 1)k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 2)(k 3)) : 4 (3)
Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng
Ví dụ: D 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n 3)(2n 5), n 1, n N
Ta tách: (2k 1)(2k 3)(2k 5) (2k 1)(2k 3)(2k 5)[(2k 7) (2k 1)] : 8
((2k 1)(2k 3)(2k 5)(2k 7) (2k 1)(2k 1)(2k 3) (2k 5)) : 8 (4)
Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3,, n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng
4 ) Đơn thức dạng lũy thừa Ví Dụ: Tính 3 3 3
E 1 2 n ,
n N.n 1
Ta dùng hẳng đẳng thức : 3 3 2
(x 1) x 3x 3x 1. 3 3 2
x 1 2 1 3.1 3.11 3 3 2 x 2
3 2 3 2 3 2 1 … 3 3 2 x n
(n 1) n 3 n 3 n 1 Cộng vế theo vế 3 3 2 2 2 (n 1) 1
3 1 2 n 3(1 2 3 n) n 3n(n 1) 3 2 n 3n 3n 3E n GV: T 2 3 2
3 n(n 1)
2n 3n n 3 2 R
3E n 3n 3n n Ầ 2 2 N Đ ÌN
n(n 1)(2n 1) E H C 6 Ư –
Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh. 0834
Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này. 3321
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 33 1 1 1 Ví dụ 1: Cho u ... . Tính lim u n 1.2 2.3 nn n 1 Lời giải 1 1 1 Ta luôn có: áp dụng vào u : k k n 1 k k 1 1 1 1 1 u ... n 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 Do đó: lim u lim 1 1. n n 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho u ... . Tính lim u n 3.5 5.7 7.9 2n n 1 2n 1 Lời giải 1 1 1 1 Ta luôn có: . 2k 1 2k 1 2 2k 1 2k 1 1 1 1 1 u ... n 3.5 5.7 7.9 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 2n 1 2n 1 1 1 1 . 2 3 2n 1 1 1 1 1 Do đó lim u lim . n 2 3 2n 1 6 1 2 3 ... n Ví dụ 3: lim bằng bao nhiêu? 2 2n Lời giải nn 1 nn 1 1 2 3 ... n 1
Vì 1 2 3 ... n nên: lim lim . 2 2 2 2n 4n 4 1 1 1 GV: T
Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 1 1 ... 1 . 2 2 2 2 3 n R Ầ Lời giải N Đ 2 2 2 ÌN 1 1 1 2 1 3 1 n 1 H Ta có: 1 1 ... 1 . ... 2 2 2 2 2 2 C 2 3 n 2 3 n Ư –
2 1 . 2 1 . 3 1 . 3 1 ... n 1 n 1 0834 n 1 . 2 2 2 2 .3 ...n 2n 3321 1 1 1 1 33 Vậy lim 1 1 ... 1 . 2 2 2 2 3 n 2 U 2 1
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: . U 1 n * U ; n n 1 2 Lời giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta chứng minh dãy U là bị chặn: 1 U 2. n n Dãy U là dãy giảm. n U 1 Thật vậy ta xét U U n
U 2U U 1 U 1 (đúng). k1 k k 2 k k k
Vậy dãy U có giới hạn. Đặt limU a . n n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com U 1 a 1 Ta có: lim U n lim hay a a 1. n1 2 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị u } 1 A 1
Ghi vào màn hình: X X 1: A 2
Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy lim U 1. n U 2
Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: 1 . * U 2 U ; n n 1 n Lời giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: 2 U 2 (bằng phương pháp quy nạp). n U 3 (đúng). 1 Giả sử U 2, k 1. k Ta có: U
2 U 2 2 2 k 1 . k 1 k Vậy * U 2 n . k GV: T Tương tự: * U 2 n
. Ta chứng minh dãy U là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp). n n R Ầ N
+ U 2; U 2 2 U U . 1 2 1 2 Đ ÌN H + Giả sử U
U k 2 . Ta xét U U ; k * k1 k k k1 C Ư 2 2 U 2 U U 2 U U U 2 0 – k m k k k k 0834
1 U 2 (luôn đúng vì 2 U 2, k * ) k k 3321
Vậy dãy U tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi a limU limU . n 33 n n1
Ta có: lim U 2 LimU a 2 a 2 a 2 a n n a 2 (nhaän) 2 a a 2 0 a 1 (loaïi)
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị u } 1
Ghi vào màn hình: X X 1: A 2 A
Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy lim U 2. n U 3 1
Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: 1 3 . * U U ; n n 1 n 2 U n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Ta có: U 0, n* . n 1 3
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: * U U 3, n . n 1 n 2 U n
Vậy U là dãy bị chặn dưới. n 2 1 3 1 U Vì U 3 2 U 3 U n U U n n n1 n 2 U 2 n U n n 1 U U * U , n . n n n 2
Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt lim U lim U a. n 1 n 1 3
Ta có: lim U lim U n n 2 U n 1 3 2 a a a 3 a 3. 2 a
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1 2
Bài 1. Cho hai dãy số u , v với u 3 ;v 5
. Tính các giới hạn sau: n n n n 2 n n GV: T
a) limu , limv . n n u R
b) lim u v u v u v n n , lim n n , lim . n n , lim n Ầ N vn Đ ÌN Lời giải H C Ư 1 1 a) Ta có: lim u lim 3 lim3 lim 3 0 . 3 – n 0834 n n 3321 2 2 limv lim 5 lim5 lim 5 0 5. n 2 2 n n 33 b)
lim u v u v n n lim lim 3 5 8 n n
lim u v u v n n lim lim 3 5 2 n n lim u .v u v n n lim l . im 3.5 15 n n u limu 3 lim n n v limv 5 n n
Bài 2. Tính các giới hạn sau: 5n 1 2 6n 8n 1 a) lim ; b) lim ; 2n 2 5n 3 2 n 5n 3 1 c) lim ; d) lim 2 ; 6n 2 3n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 2 3n 2n e) lim ; g) lim n . 4.3n 3n Lời giải 5n 1 5 1 5 1 5 a) lim lim lim lim . 2n 2 2n 2 2n 2 8 1 8 1 6 lim 6 2 2 2 6n 8n 1 n n n n 6 b) lim lim . 2 5n 3 3 3 5 5 lim 5 2 2 n n 5 3 5 3 2 1 lim 1 2 2 n 5n 3 n n n n 1 c) lim lim . 6n 2 2 2 6 6 lim 6 n n n 1 1 d) lim 2 lim2 lim 2 0 2 . n 3 3 n n 2 2 lim 1 1 n n 3 3 2 3 1 e) lim lim . n 4.3 4 lim4 4 1 1 lim 2 2 GV: T g) n lim n 0 . n n 3 lim3 R Ầ N 2 1 Đ
Bài 3. a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u , với u , q . n 1 ÌN 3 4 H C
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,6 dưới dạng phân số. Ư – Lời giải 0834 2 1 3321
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u , với u , q là: n 1 3 4 33 n 2 1 1 2 3 4 8 3 S lim . 1 5 15 1 4 4 b) Ta có:
1,6 1 0,6 1 0,6 0,06 0,006 0,000006
Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u 0, 6 và công bội 1 1 q
có q 1 nên ta có: 10 0, 6 2
0, 6 0, 06 0, 006 0, 000006 . 1 3 1 10
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 5
Suy ra 1,6 1 . 3 3
Bài 4. Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 , người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông
để tạo ra hình vuông mới như Hình 3.
Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; n
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. Lời giải
a) Gọi S là diện tích của hình vuông thứ n . n 2 1 1 Ta có: S 1;S ;S ; 1 2 3 2 2 1
Dãy S lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S 1 và công bội q có công thức tổng quát n 1 2 n 1 GV: T 1 là: S . n 2 R Ầ N 1 Đ b) Ta có: q
1 nên dãy S trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có: n ÌN 2 H C 2 3 n 1 Ư 1 1 1 1 1 S 1 2. – 2 2 2 2 1 0834 1 2 3321
Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt). 33
Bài 5. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T 24000 năm thì một nửa số chất
phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021)
Gọi u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . n
a) Tìm số hạng tổng quát u của dãy số u . n n
b) Chứng minh rằng u có giối hạn là 0 . n
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu
khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10 g . Lời giải 2 1 1 a) Ta có: u 1;u ;u ; 1 2 3 2 2 1
Suy ra u lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và q có số hạng tổng quát là: n 1 2 n 1 1 u . n 2 n 1 1 b) Ta có: limu lim 0 . n 2 n 1 n 1 1 1 c) Đổi 3 u kg 10 g n 2 2 n 1 1
Để chất phóng xạ bé hơn 6 10 g thì 3 6 10 10 n>31 . 2
Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu
không còn độc hại đối với con người.
Bài 6. Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB 2R , C là đường gồm hai nửa đường tròn 1 AB AB GV: T đường kính
, C là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính
, C là đường gồm 2n 2 2 4 n R AB Ầ
nửa đường tròn đường kính , (Hình 4). N 2n Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Gọi p là độ dài của C , S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và đoạn thẳng AB . n n n n
a) Tính p , S . n n
b) Tìm giối hạn của các dãy số p và S . n n Lời giải R R R R R +) Ta có: p ; p ; p ; 1 2 2 3 3 2 4 2 8 2 R 1
p ) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p và công bội q 1 có số n 1 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n 1 R 1 hạng tổng quát p . n 2 2 2 2 3 R R R +) Ta có: C ;C ;C ; 1 2 2 3 3 4 4 4 2 R 1 C
lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C và công bội q 1 có số n 1 4 4 n 1 R 1 hạng tổng quát C . n 4 4 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị của giới hạn 3 lim là: 2 4n 2n 1 A. 3 . B. . C. 0. D. 1. 4 Lời giải Chọn C 3 2 Ta có 3 0 lim lim n 0. 2 4n 2n 1 2 1 4 4 GV: T 2 n n R
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Ầ N Đ 3 3n 2n 1 ÌN
Câu 2: Giá trị của giới hạn lim là: 4 H 4n 2n 1 C Ư A. . B. 0. C. 2 . D. 3 . – 7 4 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33 3 2 1 3 2 4 Ta có 3n 2n 1 0 lim lim n n n 0. 4 4n 2n 1 2 1 4 4 3 4 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 3: v
Cho hai dãy số u và v có 1 u và 2 v
. Khi đó lim n có giá trị bằng: n n n n 1 n n 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 Ta có v n 1 1 lim n lim lim n 1. u n 2 2 1 n 1 n Giải nhanh : n 1 n 1. n 2 n
Câu 4: Cho dãy số an u với 4 u
trong đó a là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn n n n 5n 3
bằng 2 , giá trị của a là: A. a 10. B. a 8. C. a 6. D. a 4. Lời giải Chọn A 4 a Ta có an 4 a lim lim lim n u . Khi đó n 5n 3 3 5 5 n a lim u 2 2 a 10 n 5 Giải nhanh : an 4 an a 2 a 10. 5n 3 5n 5 2 Câu 5: n n 5
Tính giới hạn L lim . 2 2n 1 GV: T A. 3 L . B. 1 L . C. L 2. D. L 1. 2 2 R Ầ N Lời giải Đ ÌN H Chọn B C Ư 1 5 1 – 2 2 n n 5 1 n n 0834 Ta có L lim lim 2 2n 1 1 2 2 2 3321 n 2 2 n n 5 n 1 33 Giải nhanh: . 2 2 2n 1 2n 2 2 3 Câu 6: n 3n
Tính giới hạn L lim . 3 2n 5n 2 A. 3 L . B. 1 L . C. 1 L . D. L 0. 2 5 2 Lời giải Chọn A 1 2 3 3 n 3n 3 lim lim n L 3 2n 5n 2 5 2 2 2 2 3 n n 2 3 3 Giải nhanh: n 3n 3n 3 . 3 3 2n 5n 2 2n 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 4 Câu 7: 5n 3an
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L lim 1a 0. 4 n 2n 1
A. a 0;a 1. B. 0 a 1.
C. a 0; a 1. D. 0 a 1. Lời giải Chọn C 5 2 4 3a 2 5n 3an 3a a 0 lim n L 1a lim 0 . 4 n 2n 1 a a 1 a 2 1 1 1 3 4 n n 3
2n n 2 3n 1
Câu 8: Tính giới hạn L lim . 2n 1 4 n 7 A. 3 L . B. L 1. C. L 3. D. L . 2 Lời giải Chọn A Ta có 2 1 2 1 n n 2n n 3n 3 2 3 2 1 . 3 1 3 2 2 2 2 1 n n n n 1.3 3 L lim lim lim . 2n 1 4 n 7 1 7 1 7 4 2.1 2 n2 .n 1 2 1 4 4 n n n n GV: T 3
2n n 2 3n 3 2 1 Giải nhanh: n .3n 3 . 2n 1 4 n 7 4 2 . n n 2 R Ầ N Đ 3 n 2n ÌN
Câu 9: Kết quả của giới hạn lim là: 2 H 13n C Ư A. 1 . B. . C. . D. 2 . – 3 3 0834 Lời giải 3321 Chọn C 33 2 3 2 n 1 3 2 1 2 n 2n n lim lim lim . n n . Ta có 2 1 3n 1 1 2 n 3 3 2 2 n n l im n 2 2 3 1 2 n 2 1 n n 2 1 im lim . n n 2 l im 0 1 3n 1 1 3 3 2 3 n 2 n 3 3 Giải nhanh : n 2n n 1 n . 2 2 13n 3 n 3 3 Câu 10: 2n 3n
Kết quả của giới hạn lim là: 2 4n 2n 1 A. 3 . B. . C. 0 D. 5. 4 7
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B 2 3 2 n 3 3 2 3 2 2n 3n n lim lim lim . n n . Ta có 2 4n 2n 1 2 1 2 1 2 n 4 4 2 2 n n n n l im n 2 2 3 3 2 2n 3 3 n n 2 3 im lim . n . n 2 l im 0 4n 2n 1 2 1 2 1 4 4 2 4 n n 2 n n 3 3
Giải nhanh : 2n 3n 3n 3 .n . 2 2 4n 2n 1 4n 4 4 Câu 11: 3n n
Kết quả của giới hạn lim là: 4n 5 A. 0. B. . C. . D. 3 . 4 Lời giải Chọn C 3 4 3 n 1 4 3 1 3 3n n n 3 lim lim lim . n n . Ta có 4n 5 5 5 GV: T n 4 4 n n R 3 Ầ lim n N 3 1 Đ 4 3 3 3 1 n n 3 n ÌN 3 1 lim l lim n . . l im n 0 4n 5 5 H 4 5 C 4 4 n Ư n – 0834 4 4 Giải nhanh : 3n n n 1 3 .n . 4n 5 4n 4 3321 33
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 2 3 2 4 A. 3 2n 2n 3 2n 3n 2n 3n lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 2n 1 3 2 n 4 2 2 n 1 4 2 2 n n Lời giải Chọn B
. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường
hợp « bậc tử » « bậc mẫu » ! 3 3 2n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 2.2 4 0. 2 2n 1 m k 2 2n 3 lim
0 : « bậc tử » « bậc mẫu ». 3 2 n 4 3 2n 3n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b n k 3 . 2 0. 2 2 n 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 4 2n 3n 3 3 a lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và 3 3 m . 4 2 2 n n 2 2 b 2 2 k
Câu 13: Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 3 2 4 2 A. 1 2n n 2n 1 2n 3n n 2n . B. u . C. u . D. u . 2 5n 5n n 3 n 2n n 2 3 n 2n n 5n 1 Lời giải Chọn C
Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 0. m k 2 4 2n 3n u
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 3.2 6 0 lim u . n 2 3 n 2n m k n khi a 0 Chú ý : (i) lim m m 1 n a n a n
a n a . m n 1 1 0 khi a 0 n
(ii) Giả sử q max q : i 1;2;m thì i a khi q 1 0 lim . n n n
a q a q a q a
khi a 0, q 1. m m 1 1 0
khi a 0, q1
Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.
Câu 14: Tính giới hạn 2
L lim 3n 5n 3 . GV: T A. L 3. B. L . C. L 5. D. L . R Ầ N Đ Lời giải ÌN H Chọn D C Ư 2 lim n – 5 3 2 2 0834 .
L lim3n 5n 3 lim n 2 vì 5 3 . 2 n n l im 2 2 0 2 n n 3321 Giải nhanh : 2 2
3n 5n 3 3n . 33
Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 1 0;10 để L n 2 a 3 lim 5 3 2 n . A. 17. B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải Chọn A 5 Ta có lim 5n 3 2 a 2 3 n 3 lim n 3 2 a 2 2 n 5 a lim 3 2 2 a 2 2
a 2 0 2 n a 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 16: Tính giới hạn 4 2
lim 3n 4n n 1 . A. L 7. B. L . C. L 3. D. L . Lời giải Chọn D Ta có 4 lim n lim 4 1 1 4 2
3n 4n n 4 1 lim n 3 vì 4 1 1 . 2 3 4 n n n l im 3 3 0 2 3 4 n n n Giải nhanh : 4 2 4
3n 4n n 1 3n .
Câu 17: Giá trị của giới hạn lim n 5 n 1 bằng: A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn A
n 5 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n 4 lim 5 1 lim 0
n 5 n 1
Câu 18: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 1 3n 2 là: GV: T A. 2. B. 0. C. . D. . R Ầ N Lời giải Đ ÌN Chọn C H C Ư 1 2 2 2 – lim n 1 3n 2 limn 1 3 vì 2 2 0834 n n 3321 1 2 lim n , lim 1 3 1 3 0. 2 2 n n 33 Giải nhanh : 2 2 2 2
n 1 3n 2
n 3n 1 3n .
Câu 19: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n n 2n là: A. 1. B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B 2 2 2 2
n 2n n 2n n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim 4 4 2 2
n 2n n 2n lim lim 2. 2 2
n 2n n 2n 2 2 1 1 n n Giải nhanh : 4n 4n 2 2
n 2n n 2n 2. 2 2 2 2
n 2n n 2n n n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của a để 2 2 2 lim
n a n n a 2n 1 0. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B 2 2 2
n a n n a 2 2
2 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp: 2
a a 2 n 1 Ta có lim 2 2 2
n a n n a 2n 1 lim 2 2
n n n 1 1 2
a a 2 2 a a 2 a 1 lim n 0 . 1 1 2 a 2 1 1 2 n n
Câu 21: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
2n n 1 2n 3n 2 là: A. 0. B. 2 . C. . D. . 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 0
nhân lượng liên hợp : 2n 1 2 2 GV: T lim 2n n 1 2n 3n 2 lim 2 2
2n n 1 2n 3n 2 1 R 2 Ầ 1 N lim n . Đ 1 1 3 2 2 ÌN 2 2 2 2 H n n n n C Ư Giải nhanh : – 0834 2n 1 2n 1 2 2
2n n 1 2n 3n 2 . 2 2 2 2 3321
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 2 33
Câu 22: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n 1 2n n là: A. 1. B. 1 2. C. . D. . Lời giải Chọn C Giải nhanh : 2 2 2 2
n 2n 1 2n n
n 2n 1 2n . Cụ thể : lim 2 1 1 2 2 n 2n 1
2n n lim .n 1 2 vì 2 n n n 2 1 1 lim n , lim 1 2 1 2 0 2 n n n
Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa 2 2 lim
n 8n n a 0 . A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B Nếu 2 2 2
n 8n n a n n 0
nhân lượng liên hợp : 2 2 2a 8 n Ta có a lim 2 8 2 2
n 8n n a lim lim 2
n n n 1 1 1 n 2
a 4 0 a 2 .
Câu 24: Giá trị của giới hạn 2 lim
n 2n 3 n là: A. 1. B. 0. C. 1. D. . Lời giải Chọn A 2 2
n 2n 3 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 3 n lim 2 2 3 2 2 3 lim lim n n n n 1 2
n 2n 3 n 2 3 1 1 2 n n Giải nhanh : 2n 3 2n 2
n 2n 3 n 1. 2 2
n 2n 3 n n n GV: T
Câu 25: Cho dãy số u với 2 2 u
n an 5 n 1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để n n R lim u 1. Ầ n N Đ A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. ÌN H C Lời giải Ư – Chọn C 0834 2 2 2 2
n an 5 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp : 3321 an 4 2 2 33
1 limu lim n an n n 5 1 lim 2 2
n an 5 n 1 4 a a lim n a 2. a 5 1 2 1 1 2 2 n n n Giải nhanh : an 4 an a 2 2
1 n an 5 n 1 a 2. 2 2 2 2 2 n an 5 n 1 n n
Câu 26: Giá trị của giới hạn lim3 3 3 3
n 1 n 2 bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 3 3 3 3 3 3 3
n 1 n 2 n n 0
nhân lượng liên hợp : lim 1 3 3 3 3
n 1 n 2 lim 0. 3 n 2 3 3 3 3 3 3
1 n 1. n 2 3 n 2
Câu 27: Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
n 2n n bằng: A. 1. B. 2 . C. 0. D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B 3 3 2 3 3
n 2n n n n 0
nhân lượng liên hợp : n
lim n 2n n 2 2 2 2 3 3 2 lim lim . 3 2 n 2n 2 2 3 3 2 2 3 3 .
n n 2n n 2 2 3 3 1 1 1 n n 2 2 Giải nhanh : 2n 2n 2 3 3 2
n 2n n . 3 2 2 3 6 3 3 2 3 3 2 2 3 3 n . 2 . 2 n n n n n n n n n
Câu 28: Giá trị của giới hạn lim
n n 1 n 1 là: A. 1. B. . C. 0. D. 1. Lời giải GV: T Chọn D R Ầ N
n n 1 n
1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : Đ ÌN H n C
n n n 2 2 lim 1 1 lim lim 1 Ư
n 1 n 1 1 1 1 1 – n n 0834 n n 3321
Giải nhanh : n n n 2 2 1 1 1.
n 1 n 1 n n 33
Câu 29: Giá trị của giới hạn n 2 2 lim
n 1 n 3 bằng: A. 1. B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B n 2 2
n n n 2 2 1 3
n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 4 4 2 2
n 1 n 3 lim lim 2 2 2
n 1 n 3 1 3 1 1 2 2 n n Giải nhanh : n 4n 4n 2 2
n 1 n 3 2. 2 2 2 2
n 1 n 3 n n
Câu 30: Giá trị của giới hạn n 2 2 lim
n n 1 n n 6 là:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 7 1. B. 3. C. 7 . D. . 2 Lời giải Chọn C n 2 2
n n n n n 2 2 1 6
n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 7 2 2
n n 1 n n 6 lim 2 2
n n 1 n n 6 7 7 lim . 1 1 1 6 2 1 1 2 2 n n n n Giải nhanh : n 7n 7n 7 2 2
n n 1 n n 6 . 2 2 2 2 2 n n 1 n n 6 n n
Câu 31: Giá trị của giới hạn 1 lim là: 2
n 2 n 4 A. 1. B. 0. C. . D. . Lời giải Chọn C 2 2 2
n 2 n 4 n n 0
nhân lượng liên hợp : 1 1 1 2 4 2 2 lim lim
n 2 n 4 lim . n 1 1 GV: T 2 2 2 2 2 2 4 n n n n R Ầ 1 2 4 N vì lim n , lim 1 1 1 0 2 2 Đ 2 n n ÌN H C Giải nhanh : Ư – 1 1 1 2 2 2 2 0834
n 2 n 4 n n n . 2 2 2 n 2 n 4 3321 2
Câu 32: Giá trị của giới hạn 9n n n 2 lim là: 33 3n 2 A. 1. B. 0. C. 3. D. . Lời giải Chọn A 2 2
9n n n 2 9n 3n 0 giải nhanh : 2 2
9n n n 2 9n 1 3n 2 3n 1 1 2 9 2 2 Cụ thể : 9n n n 2 n n n 9 lim lim 1. 3n 2 2 3 3 n
Câu 33: Giá trị của giới hạn 1 lim là: 3 3 n 1 n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 2. B. 0. C. . D. . Lời giải Chọn B 3 3 3 3
n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : lim 1 3 3
n 1 n lim 0 3 n 2 3 3 3 2
1 n n 1 n n2 Câu 34: 2 5
Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n 2.5n A. 25 . B. 5 . C. 1. D. 5 . 2 2 2 Lời giải Chọn A n 1 2 25 n2 Cụ thể : 2 5 5 25 lim lim . 3n 2.5n n 3 2 2 5 n2 n2 Giải nhanh : 2 5 5 25 3n 2.5n 2.5n 2 n GV: T
Câu 35: Kết quả của giới hạn 3 1 lim bằng: 2n 2.3n 1 R Ầ A. 1. B. 1 . C. 1 . D. 3 . N 2 2 2 Đ ÌN Lời giải H C Ư Chọn B – 0834 n n Giải nhanh : 3 1 3 1 2n 2.3n 1 2.3n 2 3321 n 1 33 1 3n 1 3 1 Cụ thể : lim lim . 2n 2.3n 1 n n 2 1 2 2 3 3 n 5 n 1 2 2 1 Câu 36: 2n 3 a 5 Biết rằng lim
c với a, b, c .
Tính giá trị của biểu thức n n 1 2 n 1 5.2 5 3 b 2 2 2
S a b c . A. S 26. B. S 30. C. S 21. D. S 31. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n n 2 1 n 3 n 1 1 2. 2 2 5 2 1 2 2n 3 5 5 lim lim n n n n 5.2n 5 1 2 n 1 1 3 2 1 1 5. 5 . 2 5 5 n 1 5 2 2. 5 5 Giải nhanh : n n a 5 n 1 1 2 2 1 n 5 2 3 2 2n 1 5 2 2 b 5. n n 5.2n 5 1 2 n 1 3 5 1 2 n 5 5 c 2 Vậy 2 2 2
S 1 5 2 30. n n 2n Câu 37: 3 2
Kết quả của giới hạn lim là: n n 2n2 3 3 2 A. 1. B. 1. C. . D. 1 . 3 4 Lời giải Chọn D n n 2n n n n n Giải nhanh: 3 2 3 4 4 1 n n 2n2 3 3 2 3 n
3n 4.4n 4.4n 4 n n 3 GV: T 1 n n 2n Cụ thể : 3 2 4 4 1 lim lim . n n 2n2 3 3 2 n n 3 4 R Ầ 3. 3. 4 N 4 4 Đ ÌN n n H
Câu 38: Kết quả của giới hạn lim 3 5 là: C Ư – A. 3. B. 5. C. . D. . 0834 Lời giải 3321 Chọn D 33 n
Giải nhanh : Vì 3 5 nên 3n 5 3n . li m3n n Cụ thể : n n n 5 n lim 3 5 lim 3 1 vì . 5 3 li m1 1 0 3
Câu 39: Kết quả của giới hạn 4 n 1
lim 3 .2 5.3n là: A. 2 . B. 1. C. . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn C Giải nhanh : 4 n 1 3 .2 5.3n 5
.3n 5 0 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com l im3n n Cụ thể : lim n n n 2 4 1 3 .2 5.3 lim3 16 2.
5 vì n 2 . 3 l im 16 2. 5 5 0 3 n n 1 Câu 40: 3 4.2 3
Kết quả của giới hạn lim là: 3.2 4n n A. 0. B. 1. C. . D. . Lời giải Chọn A 1 n n n n Giải nhanh : 3 4.2 3 3 3 0. 3.2 4n 4n n 4 n n 1 1 n n n n 1 Cụ thể : 3 4.2 3 8.3 3 3 4.2 3 0 24. 0 lim 0. 3.2n 4n 4n 4 3.2n 4n n 1 Câu 41: 2 3n 10
Kết quả của giới hạn lim là: 2 3n n 2 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 3 2 Lời giải Chọn A n 0 n n GV: T nn 1 n 2 3 Ta có n n k n 3 2
2 C 2 C . Khi đó: n n k 6 6 n 0 2 R 2 Ầ n N Đ 2n ÌN n lim 2 H n 1 n C 2 3. 10. n 1 n n n Ư 2 3n 10 2 2 2 lim lim . vì n 1 . 2 2 2 3. 10. – 3n n 2 n 1 2 n 2 2 2 0834 3 2 n n lim 0 1 2 3 3 2 3321 n n 33 n n 1 4 2 1 4
Câu 42: Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0;2018 để lim .
3n 4na 1024 A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. Lời giải Chọn B n 1 1 2. n n 1 4 2 2 1 1 1 4 lim lim . 4 3n 4n a n a a 3 4 2a a 2 2 4 4 n n 1 n Giải nhanh: 4 2 4 1 1 4 a 10 4
2 1024 2 a 10. n n 2 3 4 4na 2a 1024 Mà a 0;20
18 và a nên a 10;20 17
có 2008 giá trị a.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 n n 2n 1
Câu 43: Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n 1 3n A. 2 . B. 1. C. 1. D. 1 . 3 3 3 Lời giải Chọn C 2 n n n 2n 2 1 n 2n Ta có 1 lim lim lim . Ta có 3n 1 3n 3n 1 3n 2 1 2 n 2n n 1 l im lim 3n 1 1 n 2 3 n 2n 1 1 3 lim . n 3n1 3n 3 n n 1 n 1 1 0 0 lim 0 3n 3 3n n 3n 1 cos 3n
Câu 44: Kết quả của giới hạn lim bằng: n 1 A. 3 . B. 3. C. 5. D. 1. 2 Lời giải GV: T Chọn B n n R 3n 1 cos 3n 3n 1 cos 3n Ầ lim lim Ta có : . N n 1 n 1 n Đ ÌN H 3n 3 C l im 3 n Ư n 1 1 3n 1 cos 3n – lim 3. n n 0834 1 cos 3n 1 1 cos 3n n 1 0 0 lim 0 n 1 n 1 n 1 3321 n 33
Câu 45: Kết quả của giới hạn lim 2.3 n 2 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. . Lời giải Chọn D n Ta có n n n 1
lim 2.3 n 2 lim 3 . 2 2. . Vì 3n 3 lim 3n l im 3n n n n 2 n 0 0 lim 0 n , n 2 3 C nn n n 1 1 n 1 3 n lim 2 2. 2 0 3n 3 2 n 1 lim 0 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
do đó lim 2.3n n 2 .
Câu 46: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số
nhân bằng 9 . Số hạng đầu u của cấp số nhân đó là: 4 1 A. 9 u 3. B. u 4. C. u . D. u 5. 1 1 1 2 1 Lời giải Chọn A
Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có : u 1 1 2 u 2 1q q 1 1 q 2 . 3 1 q 9 2 9 3 1 q 1 S u . u 2 1 3 4 1 3 1 1 q 4 2 1 1 1
Câu 47: Tính tổng S 9 3 1 3 3 9 3n A. 27 S . B. S 14. C. S 16. D. S 15. 2 Lời giải Chọn A GV: T Ta có R Ầ N 1 1 1 1 1 1 1 1 27
S 9 3 1 9 1 9 . Đ n 3 2 4 n 1 3 9 3 3 3 3 3 1
2 ÌN 1 1 H CSN lv : h u 1 , q 3 1 3 C Ư – 1 1 1 1 0834
Câu 48: Tính tổng S 2 1 . 2 4 8 2n 3321 A. S 2 1. B. S 2. C. S 2 2. D. 1 S . 33 2 Lời giải Chọn C Ta có 1 1 1 1 1 S 2 1 2 2 2. 2 4 8 2n 1
1 1 CSN lv : h u 1 , q 2 1 2 2 4 2n
Câu 49: Tính tổng S 1 . 3 9 3n A. S 3. B. S 4. C. S 5. D. S 6. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn A Ta có 2 n 2 4 2n 2 2 2 1 S 1 1 3. 3 9 3n 3 3 3 2
1 2 3 CSN lvh: 1 u 1, q 3 n 1 1 1 1 1
Câu 50: Tổng của cấp số nhân vô hạn , , ,..., ,... bằng: n 1 2 6 18 2.3 A. 3 . B. 8. C. 2 . D. 3. 4 3 3 8 Lời giải Chon D . Ta có : n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
S 1 . n 1 2 n 1 2 6 18 2.3 2 3 3 3
2 1 8 1 1 CSN : lvh u 1 , q 3 1 3 1 1 1 1 1 1 Câu 51:
Tính tổng S ... ... . 2 3 4 9 2n 3n A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3 4 2 GV: T Lời giải R Ầ N Chọn D Đ ÌN H Ta có C Ư 1 1 1 1 1 1 – S ... ... n n 0834 2 3 4 9 2 3 3321 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 . n n 33 2 4
2 3 9 3 1 1
2 2 1 1 1 1 CSN l : vh 2 3 1 u q CSN lv : h u q 1 2 3 2 n Câu 52: 1 a a ... a
Giá trị của giới hạn lim
a 1, b 1 bằng: 2
1 b b ... n b A. b a 0. B. 1 . C. 1 . D. Không tồn tại. 1 a 1 b Lời giải Chọn B Ta có 2 1 ... n a a
a là tổng n 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1. n 1 1 a n 1 a n 1
1 và công bội là a , nên 2
1 a a ... a . 1 a 1 a n 1 1 1 b n 1 Tương tự: b n 1 2
1 b b ... b . 1 b 1 b
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n 1 1a 2 n n 1 Do đó 1 a a ... a 1 b 1 a 1 1 b lim lim a lim .
a 1, b 1 . 2 n n 1 n 1
1 b b ... b 1b 1 a 1b 1a 1b Câu 53: Rút gọn 2 4 6 2 1 cos cos cos c s o n S x x x
x với cos x 1. A. 2 1 1 S sin x. B. 2 S cos x. C. S . D. S . 2 sin x 2 cos x Lời giải Chọn C Ta có n 1 1 2 4 6 2
S 1 cos x cos x cos x cos x .
2 2 1 cos x sin x 2 CSN : lvh 1 u 1 , qcos x Câu 54: n Rút gọn 2 4 6 S
x n x sin x 2 1 sin si
1 .sin n x với sin x 1. A. 2 1 S sin x. B. 2 S cos x. C. S . D. 2 S tan x. 2 1 sin x Lời giải Chọn C Ta có n n 1 2 4 6
S 1sin x sin x sin x 2 GV: T 1 .sin x . 2
1 sin x 2 CSN lvh: 1 u 1, q sin x R Ầ N Câu 55: Thu gọn 2 3
S 1tan tan tan với 0 . Đ 4 ÌN H C A. 1 S . B. cos S . C. tan D. 2 S tan . S . Ư 1 tan 1 tan 2 sin – 4 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33
Ta có tan 0;
1 với mọi 0; , do đó 4 1 cos cos 2 3
S 1 tan tan tan .
1 tan sin cos CSN : lvh u 1, q tan 1 2 sin 4 Câu 56: Cho ,
m n là các số thực thuộc 1 ; 1 và các biểu thức: 2 3
M 1 m m m 2 3
N 1 n n n 2 2 3 3
A 1 mn m n m n
Khẳng định nào dưới đây đúng? A. MN MN A . B. A . C. 1 1 1 A . D. 1 1 1 A . M N 1 M N 1 M N MN M N MN
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A 1 1 M m 1 Ta có 1 m M , khi đó 1 1 N n 1 1 n N 1 1 MN A . 1 mn 1 1 M N 1 1 1 1 M N
Câu 57: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính tổng b T a . b A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải Chọn B Ta có 2 3 0,5111 0,5 10
10 10n Dãy số 2 3
10 ;10 ;...;10n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 2 u 10 , công 1 2 bội bằng u 10 1 1 q 10 nên 1 S . 1 1 q 110 90 Vậy 46 23 a 23
0,5111... 0,5 S
T a b 68. GV: T 90 45 b 45 R Ầ N
Câu 58: Số thập phân vô hạn tuần hoàn A 0,353535... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Đ b ÌN H Tính T a . b C Ư A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. – 0834 Lời giải 3321 Chọn B 33 Ta có 35 2 35 35 35 a 35 10
A 0,353535... 0, 35 0, 0035 ... ... T 3465. . 2 4 10 10 1 99 b 99 1 2 10
Câu 59: Số thập phân vô hạn tuần hoàn B 5,231231... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . b
Tính T a . b A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. Lời giải Chọn A Ta có
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
B 5, 231231... 5 0, 231 0, 000231... 231 3 231 231 231 1742 a 1742 10 5 ... 5 5 T 1409 3 6 10 10 1 999 333 b 333 1 3 10
Câu 60: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Khẳng b
định nào dưới đây đúng? A. 15 a b 2 . B. 14 a b 2 . C. 13 a b 2 . D. 12 a b 2 . Lời giải Chọn D Ta có 1 1 1
0,17232323 0,17 23 4 6 8 1 0 10 10 1 17 17 23 1706 853 10000 23. . 100 1 100 100.99 9900 4950 1100 a 853 12 13
2 T 4097 2 . b 4950
1 3 5 ... 2n 1
Câu 61: Tính giới hạn: lim . 2 3n 4 GV: T 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. R 3 3 Ầ N Đ Lời giải ÌN H C Chọn B Ư – 0834
Ta có: 2 1 3 5 ... 2n 1 n 1 . 3321 2
1 3 5 ... 2n 1 n 1 Vậy: lim lim 33 2 3n 2 4 3n 4 2 1 2 1 2 n 2n 1 n 1 n lim lim . 2 4 3n 4 3 3 2 n 1 1 1
Câu 62: Tính giới hạn: lim ... . 1.2 2.3 nn 1 3 A. 0. B. 1. C. . D. Không có giới 2 hạn. Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: lim ... lim 1 ... 1.2 2.3 nn 1 2 2 3 n n 1 1 lim 1 1. n 1 1 1 1
Câu 63: Tính giới hạn: lim ... . 1.3 3.5 n2n 1 2n 1 1 A. 1. B. 0. C. . D. 2. 2 Lời giải Chọn c 1 1 1 Ta có: lim ... 1.3 3.5 n2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 ... lim 1 . 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2 1 1 1
Câu 64: Tính giới hạn: lim ... . 1.3 2.4 nn 2 3 2 A. . B. 1. C. 0. D. . GV: T 4 3 R Lời giải Ầ N Đ Chọn A ÌN H 1 1 1 C Ta có: ... Ư 1.3 2.4 n n 2 – 0834 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3321 2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 33 1 1 1 1 1 2 2 n 1 n 2 1 1 1 3 Vậy lim ... . 1.3 2.4 nn 2 4 1 1 1
Câu 65: Tính giới hạn: lim ... . 1.4 2.5 nn 3 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 Ta có: ... 1.4 2.5 n n 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 1 4 2 5 3 6 4 7 n 3 n n 2 n 1 n 1 n 2 n n 3 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 n 1 n 2 n 3 1 1 1 11 Vậy: lim ... . 1.4 2.5 nn 3 18 1 2 3 ... n
Câu 66: Cho dãy u với u
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n n 2 n 1 1 A. lim u 0. B. lim u . C. lim u 1. D. lim u không tồn n n 2 n n tại. Lời giải Chọn B
Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 số hạng cuối cùng u n , 1 n công sai d 1. nu n n n 1 1
Khi đó S 1 2 3 ... n . n GV: T 2 2 n n 1 R Ầ Viết lại: u n 2 N 2 n 1 Đ ÌN H 2 1 C n 1 Ư nn 1 n 1 – lim u lim lim lim . n 0834 2 2 n 1 2 2 2 n 2 2 n 3321 33 1 U 1 2
Câu 67: Tìm giới hạn của dãy: . 2 1 Un * U ; n n 1 2 2 A. 2. B. 1. C. 2. D. Không có giới hạn. Lời giải Chọn B 1 5 57 Ta có: U ; U ; U ;... 1 2 3 2 8 64
Ta chứng minh: U 1 n * (bằng phương pháp quy nạp). Vậy dãy bị chặn trên. n
Ta chứng minh U là dãy tăng. Thật vậy: n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 1 U Ta có: U U n U n1 n n 2 2 2 2 U 2U 1 0 U 1 0 luôn đúng * n , vì U 1. n n n n
Vậy dãy có giới hạn. Đặt a lim U lim U . n n1 2 2 1 U 1 a Ta có: lim U lim n a 2a 1 2 a n1 2 2 2 2 2
a 2a 1 0 a 1 . U 5 1
Câu 68: Tìm giới hạn của dãy: 2 2 U . n * U ; n n 1 2U n A. 1. B. 2. C. 3. D. Không có giới hạn. Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: U
U 2 (theo bất đẳng thức Cô-si với U 0 ). Vậy U là dãy bị n n1 n U 2 n n chặn dưới.
Dấu “=” không xảy ra, nên * U 2, n . GV: T n U 2 2 U 1 1 R Lại có: n1 n . Vì 2 U 2 U 2 Ầ 2 2 n n N U 2U U 2 n Đ n n ÌN H 1 1 1 1 1 1 * C 1 U U , n . n 1 n 2 2 Ư U 2 U 2 2 2 n n – 0834
Vậy dãy giảm, khi đó U có giới hạn. Đặt lim U
lim U a a 0 . n n1 n 3321 2 2 2 U 2 a Ta có: lim U n lim a 2 2a 2 2 a 33 n1 2U 2a n 2
a 2 a 2 (vì a 0 ). U 2
Câu 69: Tìm giới hạn của dãy: 1 * U 2.U ; n n1 n 1 7 A. 2. B. 1 2. C. . D. Không có giới 2 hạn. Lời giải Chọn A
Ta có: U 2; U 2 2 ;… 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Ta sẽ chứng minh U 2 ; n * n
(bằng phương pháp quy nạp).
n 1, U 2 2 . Giả sử U 2, k 1. 1 k Ta có: U 2U 2.2 4 2. k 1 k
Vậy U 2, n . Lại có: * U 0, n . n n U 2U 2 2 Lại có: n1 n 1 dãy tăng. U U U 2 n n n
Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim U lim U a a 0 n1 n Ta có: 2 lim U
lim 2U a 2a a 2a a 2. n 1 n GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa
Ta viết khoảng K thay cho các khoảng ; a b, ;b, ; a , ; . Tổng quát ta có:
Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số f x xác định trên K hoặc trên K \x . Hàm số f x 0 0
có giới hạn là số L khi x dần tới x nếu với dãy số x bất kì, x K \ x và x x thì n o n 0 n 0
f x L . n Kí hiệu: lim
f x L hay f x L khi x x . xx 0 0
Nhận xét: lim x x ; limc c , với c là hằng số. 0 x 0 x x 0 x Chú ý:
Hàm số f x có thể không xác định tại x x nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x 0 dần tới x . 0
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Ta thừa nhận định lí sau: GV: T
a) Nếu lim f x L và lim g x M L, M thì x x x x o o R Ầ
lim f x g x L M
lim f x g x L M N ; x x x x Đ o o ÌN H f x L C
lim f x.g x . L M lim ( nếu M 0) . Ư x x x x g x M o o – 0834
b) Nếu f x 0 và lim f x L thì L 0 và lim f x L . x x xx o o 3321 3. Giới hạn một phía 33
-Trong trường hợp tổng quát, ta có các định nghĩa sau:
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ; a x . 0
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x khi x x nếu với dãy số x bất kì, n 0
a x x và x x , ta có f x L . n n 0 n 0
Kí hiệu: lim f x L . x x 0
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x ;b . 0
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x khi x x nếu với dãy số x bất kì, n 0
x x b và x x , ta có f x L . n 0 n n 0
Kí hiệu: lim f x L . x x o
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Định lí sau đây cho ta mối liên hệ giữa "giới hạn hai phía" lim f x với giới hạn bên trái x xo
lim f x và giới hạn bên phải lim f x . x x x x o o
lim f x L khi và chỉ khi lim f x lim f x L x 0 x x x x x 0 0
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
a) Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ; a .
Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi x
nếu với dãy số x bất kì, x a và n n x , ta có n
f x L . n
Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x . x
b) Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ; a .
Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi x
nếu với dãy số x bất kì, x a và n n x
, ta có f x L . n n
Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x . x Chú ý GV: T
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: R Ầ N c c Đ
lim c c; lim c c; lim 0; lim 0. k k ÌN x x x x x x H C
Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x x vẫn còn đúng khi x hoặc Ư 0 – 0834 x . 3321
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 33
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ; a .
Ta nói hàm số y f x có giới hạn là khi x a
nếu với dãy số x bất kì, x a và n n
x a , ta có f x . n n
Kí hiệu lim f x
hay f x khi x a . x a
Các trường hợp lim f x
; lim f x
; lim f x
được định nghĩa tương tự. x a x a x a
Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau: 1 1 lim ; lim . x a x a x a x a
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
-Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ; a .
Ta nói hàm số y f x có giới hạn là khi x
nếu với dãy số x bất kì, x a và n n x
, ta có f x . n n
Kí hiệu: lim f x
hay f x khi x . x
Các trường hợp lim f x
; lim f x
; lim f x
. được định nghĩa tương tự. x x x
Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau: lim k x
với k là số nguyên dương. x lim k x
với k là số nguyên dương chẵn. x lim k x
với k là số nguyên dương lẻ. x
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp
Nếu hàm số f x xác định trên K x thì lim f x f x . 0 0 xx0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng GV: T Ví dụ 1: Tính lim 2 x x 7. x1 R Ầ N Hướng dẫn giải Đ ÌN 2 H
lim x x 7 11 7 9. C x1 Ư – 4 5 0834 Ví dụ 2: Tính 3x 2x lim 4 6 x 1 5x 3x 1 3321 33 Hướng dẫn giải 4 5 3x 2x 3 2 1 lim . 4 6 x 1 5x 3x 1 5 3 1 9 Ví dụ 3: Tính 3 lim 4x 2x 3 x1 Hướng dẫn giải 3
lim 4x 2x 3 4 2 3 5. x1 3 x 1 Ví dụ 4: Tính lim x 1 3 2 x 3 2 Hướng dẫn giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 x 1 1 1 lim 0. x 1 3 3 2 4 2 x 3 2 4 2 x 4x 3 Ví dụ 5: Tính lim 2 x 2 7x 9x 1 Hướng dẫn giải 4 2 x 4x 3 16 16 3 1 lim . 2 x 2 7x 9x 1 28 18 1 3
Dạng 2. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp
Giới hạn hữu hạn tại vô cực
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) L với mọi dãy số x x x a x
lim f (x) L n , và ta đều có . n n
LƯU Ý: Định nghĩa lim f (x) L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x
Giới hạn vô cực tại vô cực GV: T
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) với mọi dãy x R
số x , x a và x ta đều có lim f (x) . Ầ n n n N Đ
LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) được phát biểu hoàn toàn ÌN x x x H C tương tự. Ư – 0834
Một số giới hạn đặc biệt 3321 c lim
0 ( c là hằng số, k nguyên dương ). k 33 x x lim k
x với k nguyên dương; lim k
x nếu k là số nguyên lẻ; lim k
x nếu k là x x x số nguyên chẵn.
Nhận xét: lim f (x) lim f (x) . x x
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính 3
lim 2x 5x x Lời giải
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của f x 3 2
x 5x tại một điểm có giá trị âm rất
nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi x ), chẳng hạn tại 20 10 . Máy hiển thị kết quả như hình:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức 3
lim 2x 5x . x 5 Cách 2: Ta có 3 3
2x 5x x 2 . 2 x 5 5 Vì 3
lim x và lim 2 2 0 nên 3 lim x 2 . x 2 x 2 x x x 5 Vậy theo Quy tắc 1, lim 3 2x 5x 3 lim x 2 . 2 x x x Ví dụ 2: Tính 4 2
lim 3x 2x 1 x Lời giải
Cách 1: Theo nhận xét trên thì 4 2
lim 3x 2x
1 ( x , k chẵn và a 0 ). k x 2 1 Thật vậy, ta có 4 2 4
3x 2x 1 x 3 . 2 4 x x 2 1 Vì 4 lim x và lim 3 3 0 nên 4 2
lim 3x 2x 1 . GV: T x 2 4 x x x x R Ầ Nhận xét: N Đ ÌN
- Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là vô cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa H C bậc cao nhất. Ư –
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. 0834
(Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức). 3321
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao 33 nhất.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f x 4 2
3x 2x 1 tại 20
x 10 , ta được kết quả như hình :
Kết quả là một số dương rất lớn. Do đó chọn đáp án A,
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 2
x 2x 5 . Tính lim f x x Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số f x 2
x 2x 5 xác định trên .
Có thể giải nhanh như sau : Vì 2
x 2x 5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà 2
x 2x 5 0 với mọi x nên giới hạn của f x 2
x 2x 5 tại chắc chắn là . 2 5 2 5 Thật vậy, ta có 2 2
x 2x 5 x 1 x 1 . 2 2 x x x x 2 5
Vì lim x và lim 1 1 0 nên 2 lim
x 2x 5 . x 2 x x x x
Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f x tại một giá trị âm rất nhỏ của x , chẳng hạn tại 20
x 10 ta được kết quả như hình:
Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị
trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT.
Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác). GV: T Lưu ý: R Ầ N
Ta có lim x . Đ x ÌN H C
Khi x thì x 0 . Ư – 2 0834
Với x 0 ta có x x . 3321
Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại của hàm chứa căn thức. 33 Ví dụ 4: 2 2 lim
x x 4x 1 x Lời giải Cách 1: Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2
x x 4x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 2 2 x x x x 1 1 x 1 4 2 x x 1 1
Mà lim x và lim 1 4 1 2 1 0 . x 2 x x x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 48
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 Vậy 2 2 lim
x x 4x 1 lim x 1 4 . x 2 x x x Lưu ý:
- Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại có định
hướng giải như vậy (mà không đi nhân chia với biểu thức liên hợp).
- Có thể thấy như sau: Vì 2 2 lim
x x ; lim 4x 1 . x x Mà hệ số của 2 x trong 2
4x 1 lớn hơn hệ số của 2 x trong 2
x x nên suy ra 2 2 lim
x x 4x 1 . x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 10
x 10 ta được kết quả như hình.
Dạng 3. giới hạn một bên 1. Phương pháp GV: T
Ta cần nắm các tính chất sau R
lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L Ầ n 0 n n 0 n N n n x x 0 Đ ÌN H
lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L n C n 0 n 0 n n n Ư xx0 –
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L 0834 xx xx xx 0 0 0 3321
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 33 x 3 Ví dụ 1: Tính lim x3 2x 6 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận x 3 x 3 1 lim lim . x 3 2x 6 x 3 2x 3 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x 3 Nhập vào màn hình và ấn 5 CALC 3 10 ta được kết quả 2x 6
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 49
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 1 x Ví dụ 2: Tính lim 2 x 1 3x x Hướng dẫn giải 3 1 x 0 lim 0. 2 x 1 3x x 4 3 x 2x 3 Ví dụ 3: Tính lim 2 x 2 x 2x Hướng dẫn giải
Tử số có giới hạn là 1
, mẫu số có giới hạn 0 và khi x 2 thì 2 x 2x 0. 3 x 2x 3 Do đó lim . 2 x 2 x 2x 2x x Ví dụ 4: Tính lim x 0 5x x GV: T Hướng dẫn giải R Ầ N Đ x 2 x 1 2 x 1 2x x 1 ÌN lim lim lim 1 . H x0 5x x x0 x 5 x 1 x0 1 5 x 1 C Ư – 2 0834 x 4x 3 Ví dụ 5: Tính lim 3 2 3321 x 1 x x 33 Hướng dẫn giải 2 x 1 x 3 x 1x 3 x 4x 3 0 lim lim lim 0. 3 2 x x 2 x x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 vôùi x 1
Ví dụ 6: Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x bằng bao nhiêu? x 1 2x 2 vôùi x 1 Hướng dẫn giải 2 x 1 lim f x lim
vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1 x 0 với x 1. x 1 x 1 1 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 50
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 0 Dạng 4. Dạng vô định 0 1. Phương pháp 0 u(x)
Nhận dạng vô định : lim
khi lim u(x) lim u(x) 0. 0 xx v(x) xx xx 0 0 0
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u(x) (x x )A(x) 0 A(x) A(x) lim lim lim vaø tính lim . xx v(x) xx (x x )B(x) xx B(x) xx o o B(x) 0 o o
Nếu phương trình f x 0 có nghiệm là x thì f x x x .g x 0 0 Đặc biệt: 2
f(x) ax bx c,maø f(x) 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
Nếu tam thức bậc hai 1 2
thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x) ax - x x - x 1 2
Phương trình bậc 3: 3 2
ax bx cx d 0 (a 0)
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích 1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1 , ñeå phaân tích 1 GV: T
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner R Ầ và
có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó N Nếu ux vx Đ ÌN
phân tích chúng thành tích để giản ước. H C Ư A B
löôïng lieân hieäp laø: A B. – 0834 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B. 3321
A B löôïng lieân hieäp laø: A B. 3 3 2 3 2 33 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B . 3 3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø: A B A B .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 x 3x 2 Ví dụ 1: Tính lim x 1 x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 x 1 x 2 x 3x 2 lim lim
lim x 2 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 51
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 X 3X 2 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả X 1 2 Ví dụ 2: Tính 2x 3x 1 L lim . 2 x 1 1 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2x 1 x 1 2x 1 2x 3x 1 1 lim lim lim . 2 x 1 x 1 1 x 1 x1 x x 1 1 x 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2
Nhập vào màn hình 2X 3X 1 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 2 1 X GV: T 2 R x 3x 2 Ầ Ví dụ 3: Tính lim N 3 x 1 x 1 Đ ÌN H Hướng dẫn giải C Ư –
Cách 1: Giải bằng tự luận 0834 2 3321 x 3x 2 x 1 x 2 x 2 1 lim lim lim . 3 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 3 33
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2
Nhập vào màn hình x 3x 2 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 3 x 1 4 4 t a Ví dụ 4: Tính lim t a t a Hướng dẫn giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 52
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 4 4 t a lim lim 3 2 2 3 t t a ta a 3 4a . ta t a ta 4 y 1 Ví dụ 5: Tính lim 3 y 1 y 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận y 1 y 1 3 2 4 y y y 1 3 2 y y y 1 4 lim lim lim . 3 y 1 y 1 y 1 y 1 2 y y 2 y 1 1 y y 1 3
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 4
Nhập vào màn hình Y 1 ấn 10 CALC 1 10 ta được kết quả 3 Y 1 2 4 x Ví dụ 6: Tính lim x2 x 7 3 GV: T Hướng dẫn giải R Ầ N Đ
Cách 1: Giải bằng tự luận ÌN H 2 C 4 x Ư lim x2 – x 7 3 0834 2 x 4 x 7 3 x 2x 2 x 7 3 3321 lim lim x2 x2 x 7 9 x 7 3 x 7 3 33 lim x 2 x 7 3 2 4. x2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4 X Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 1 10
ta được kết quả 24. X 7 3
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 2
4 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 53
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com d 2 4 X dx Nhập x2
rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 24. d X7 3 dx x2 1 x 1 Ví dụ 7: Tính lim x0 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 x 1 1 x 1 1 1 lim lim lim . x0 x
x0 x 1 x x0 1 1 x 1 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 1 x 1 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 0 10
ta được kết quả . x 2 GV: T R Ầ N Đ ÌN 1 H
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: C 2 Ư – 0834 d 1 X 1 dx 3321 1 Nhập
x0 rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 0,5 . d 2 33 X dx x0 2 x 6x 8 Ví dụ 8: Tính lim x4 x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2
x 2x 4 x 2 x 6x 8 lim lim
lim x 2 x 2 2 4 8. x4 x4 x 2 x 4 x4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 54
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 x 6x 8 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10
ta được kết quả 8. x 2
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d 2 X 6X 8 dx Nhập
x4 rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 8. d X 2 dx x4 3 2 x 4 2 Ví dụ 9: Tính lim x2 2 4 2x 8 Hướng dẫn giải GV: T
Cách 1: Giải bằng tự luận R Ầ N Đ 3 2 x 4 2 ÌN E lim H x2 2 C 4 2x 8 Ư – 0834
Nhân tử và mẫu hai lượng liên hợp: 3321 2 3 2 3 2 2 x 4 2 x 4 4 4 2x 8 33 2 3 2 3 2 3 2 2 x 4 2 x 4 2 x 4 4 4 2x 8 E lim x2 2 2 2 3 2 3 2
4 2x 8 4 2x 8 x 4 2 x 4 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 55
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x 4 8 2 4 2x 8 lim x2 2 2 16 2x 8 3 2 3 2 x 4 2 x 4 4 2 x 4 2 4 2x 8 lim x2 2 2 2x 4 3 2 3 2
x 4 2 x 4 4 2 4 2x 8 8 1 lim . x2 2 24 3 3 2 3 2 2
x 4 2 x 4 4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 3 2 x 4 2 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10
ta được kết quả . 2 4 3 2x 8
Lời bình: Nếu ta dùng quy tắc Lô-pi-tan GV: T d 3 2 x 4 2 R dx Ầ Nhập
x2 rồi ấn phím ta được kết quả N 1 0, 3 . 3 Đ d 2 4 2x 8 ÌN dx H x2 C Ư – 0834 3321 33 4 2 x 12 2 Ví dụ 10: Tính lim 2 x 2 x 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 4 2 x 12 2 E lim 2 x 2 x 4 4 2 4 2 x 12 2 x 12 2 lim x2 2 x 4 4 2 x 12 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 56
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x 12 4 0 lim
(vẫn còn dạng vô định ) x 2 2 x 4 4 2 0 x 12 2 2 2 x 12 4 x 12 4 lim
x 2 2x 44 2 2 x 12 2 x 12 4 2 x 12 16 lim x 2 2 x 4 4 2 2 x 12 2 x 12 4 1 1 lim . x 2 4 2 2 32
x 12 2 x 12 4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d 4 2 x 12 2 dx 1 Nhập x 2
rồi ấn phím ta được kết quả 0,03125 . d 2 32 x 4 dx x2 GV: T R Ầ N Đ 6 ÌN x 1 H Ví dụ 11: Tính lim 2 C x 1 x 1 Ư – 0834 Hướng dẫn giải 3321
Cách 1: Giải bằng tự luận 33 6 x 1 E lim 2 x 1 x 1 6 x 6 2 6 1 x x 1 lim x 1 2 x 6 2 6 1 x x 1 x 1 0 lim (Vẫn dạng vô định ) x 1 2 x 6 2 6 1 0 x x 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 57
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 6 2 6 1 x x 1 x 1 1 1 lim . x 1 6 2 6 12 x 1 x x 1 x 1
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d 6 X 1 dx Nhập x 1
rồi ấn phím ta được kết quả 1 0,08 3 . d 2 12 x 1 dx x 1 Để chuyển 1 0,08 3 ta bấm như sau 0.08Qs3= 12 GV: T R Ầ N Đ ÌN Dạng 5. Dạng vô định H C Ư – 1. Phương pháp 0834
Nhận biết dạng vô định 3321 33 u(x) lim
khi lim u(x) , lim v(x) . xx v(x) xx xx 0 0 0 u(x) lim
khi lim u(x) , lim v(x) . x v(x) xx xx 0 0
Chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ước)
Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ
cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x
(thường là bậc cao nhất ở mẫu).
Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 58
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 4 3 2 Ví dụ 1: Tính 2x x 2x 3 lim 4 x x 2x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 2 3 4 3 2 2 2 4 2x x 2x 3 x x x lim lim 1. 4 x x 1 x 2x 2 3 x Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 3 2 4 2x x 2x 3 2x 1. 4 4 x 2x 2x
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 3 2
Nhập vào màn hình 2x x 2x 3 ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 1. 4 x 2x GV: T 2
Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả 1 . R 2 Ầ N Đ 4 5 3x 2x ÌN Ví dụ 2: Tính lim 4 H x 5x 3x 2 C Ư – Hướng dẫn giải 0834
Cách 1: Giải bằng tự luận 3321 4 5 33 3x 2x 3 2x lim lim 4 x x 3 2 5x 3x 2 5 3 4 x x 3 2 lim 5 5 0; lim 3 2x . 3 4 x x x x 4 5 Do đó: 3x 2x lim . 4 x 5x 3x 2 Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x 2x 2x 2 x . 4 4 5x 3x 2 5x 5
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 59
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 4 5
Nhập vào màn hình 3x 2x ấn 15 CALC 10
ta được kết quả . 4 5x 3x 2
Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là . 4 5 Ví dụ 3: Tính 3x 2x lim 4 6 x 5x 3x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5 2 3x 2x x x 0 lim lim 0. 4 6 x x 5 2 5x 3x 2 3 3 2 6 x x Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x 2x 2x 2 1 . 0. 4 6 6 5x 3x 2 3x 3 x GV: T
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính R 4 5 Ầ 3x 2x N Nhập vào màn hình ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 0. 4 6 Đ 5x 3x 2 ÌN H C Ư – 0834 3321
Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0. 33 4 5 3x 4x 2 Ví dụ 4: Tính lim 5 4 x 9x 5x 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5 4 5 3x 4x 2 x 2 x lim lim . 5 4 x x 5 4 9x 5x 4 3 9 5 x x Cách 2: Mẹo giải nhanh
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 60
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 4 5 5 3x 4x 2 4x 4 2 . 5 4 5 9x 5x 4 9x 9 3
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 3x 4x 2 Nhập vào màn hình ấn 15 CALC 10
ta được kết quả 0. 5 4 9x 5x 4 2 x 2x 3x Ví dụ 5: Tính L lim . x 2 4x 1 x 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2 2 x 1 3x 1 3 x 2x 3x x x 2 lim lim lim . x 2 x x 1 1 2 3 4x 1 x 2 x 4 x 2 4 1 2 2 x x x GV: T
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính R Ầ 2 N x 2x 3x 2 Nhập vào màn hình ấn 15 Đ CALC 10 ta được kết quả . 2 3 ÌN 4x 1 x 2 H C Ư – 0834 3321 33 2 4x 1 x 5 Ví dụ 6: Tính lim x 2x 7 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 1 5 4 2 2 2 4x 1 x 5 x x x 2 0 lim lim 1. x 2x 7 x 7 2 0 2 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4x 1 x 5 Nhập vào màn hình ấn 25 CALC 10 ta được kết quả 2x 7
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 61
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x
Ví dụ 7: Tính lim x 5 3 x x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 5 x 2 1 x x 5 x lim x 5 lim lim 1. 3 3 x x x 1 x 1 x 1 1 3 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x
Nhập vào màn hình x 5 ấn 25 CALC 10 ta được kết quả 3 x 1 GV: T 3 94 2 R x 1 1 2x Ầ N Ví dụ 8: Tính lim Đ 100 x 2x 3 ÌN H C Hướng dẫn giải Ư – 3 94 0834 3 2 1 1 94 2 x 1 x 2 x 1 1 2x 2 3321 x x E lim lim 100 x x 2x 3 100 3 33 x 2 100 x 94 3 6 1 94 1 x 1 x 2 2 x x lim x 100 3 x 2 100 x 3 94 1 1 1 2 x x 3 1 . 2 94 2 lim 93 2 . x 3 2 2 100 x
Dạng 6. Dạng vô định , 0. 1. Phương pháp
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 62
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.
Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ; 0. hoặc 0
chuyển về dạng vô định ; 0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính lim x 1 x 3 x Hướng dẫn giải 4 x 1 x 3 x lim x 1 x 3 lim lim 0. x x x x 1 x 3 1 3 1 1 x x Ví dụ 2: Tính 2 lim x x 5 x x Hướng dẫn giải 2 2 2 x 5 x 5 5
lim x x 5 x lim x lim . GV: T x x 2 x 5 2 x 5 x 1 1 2 x R Ầ N Đ Ví dụ 3: Tính 2 lim x x 5x ÌN x H C Ư Hướng dẫn giải – 0834 2 E lim x x 5x 3321 x 33 Nhân và chia liên hợp 2 x x 5x 2 2 x x 5x x x 5x 2 2 x x 5x E lim lim x 2 x 5 x x 5x x x 1 x 5 x lim (Vì lim x lim x ) x 5 x x x x 1 x 5 5 5 lim . x 5 1 1 0 2 1 1 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 63
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 4: Tính 1 1 lim 1 x0 x x 1 Hướng dẫn giải 1 1 E lim 1
(Dạng vô định 0. ) x0 x x 1 1 x 1 1 lim lim 1. x0 x x 1 x0 x 1 1 Ví dụ 6: Tính 2 lim x 5 0. x x Hướng dẫn giải 1 2 5 lim x 5 lim 1 1. x x x x Ví dụ 7: Tính 2 lim x x 2 x x Hướng dẫn giải 2 2 2 x 2 x 2 2
lim x x 2 x lim x lim 1 . x x 2 x 2 2 x 2 x 1 1 GV: T 2 x R Ầ 2 N x 1 x x 1 Đ Ví dụ 8: Tính lim x0 ÌN x H C Hướng dẫn giải Ư – 0834 2 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 lim lim 3321 x0 x x0 2 x 1 x x 1 33 x 0 lim 0 x0 2 2 x 1 x x 1
Ví dụ 9: Tính lim x 5 x 7 x Hướng dẫn giải x 5 x 7 12 lim x 5 x 7 lim lim x x x x 5 x 7 x 5 x 7 12 x 0 lim 0. x 5 7 2 1 1 x x Ví dụ 10: Tính 2 lim x 5x x . x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 64
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Hướng dẫn giải 2 2 2 x x x 5 x lim x 5x x lim lim x x 2 x 2 x 5x x x 5x x 5 5 lim . x 5 2 1 1 x 1 Ví dụ 11: Tính 2 lim x 5 1. x x Hướng dẫn giải 5 5 x . 1 x 1 2 2 2 x 5 x x 5 lim lim lim lim 1 1. 2 x x x x x x x x
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: 2 x 25 a) 2 lim x b) lim x 3 x5 x 5 Lời giải a) 2 2 lim x (3) 9 x3 GV: T 2 x 25
x 5 x 5 b) lim lim lim x 5 10 . R Ầ x5 x5 x5 x 5 x 5 N Đ ÌN
Bài 2. Biết rằng hàm số f x thoả mãn lim f x 3 và lim f x 5 . Trong trường hợp này có x2 H x2 C Ư
tồn tại giới hạn lim f x hay không? Giải thích. x2 – 0834 Lời giải 3321
Ta có: lim f x 3 và lim f x 5 suy ra lim f x 3 5 lim f x nên không tồn tại x2 33 x2 x2 x2 lim f x . x2
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 2 x 5x 6 x 1 a) l 2
im x 4x 3 b) lim c) lim x2 x3 x 3 x 1 x 1 Lời giải a) l 2
im x 4x 3 2 2 4.2 3 1 . x2 2 x 5x 6
x 3 x 2 b) lim lim lim x 2 1. x3 x3 x3 x 3 x 3 x 1 x 1 1 1 c) lim l im lim . x 1 x 1 x 1 x
1 x x 1 1 x 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 65
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 9x 1 7x 11 2 x 1 a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x 3x 4 x 2x 3 x x 2 x 1 1 1 d) lim e) lim g) lim x x x 6 x 6 x 7 x 7 Lời giải 1 1 x 9 9 9x 1 x a) lim lim lim x 3 .
x 3x 4 x 4 x 4 x 3 3 x x 11 11 x 7 7 7x 11 x 7 b) lim lim lim x . x 2x 3 x 3 x 3 2 x 2 2 x x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 c) lim lim lim 1 1. 2 x x x x x x 1 2 x 1 2 x 1 d) x lim lim 1 . x x x x GV: T 1 e) lim . R x6 x 6 Ầ N Đ 1 f) lim . ÌN x 7 x 7 H C Ư
Bài 5. Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có – 50t 0834
thể lắp ráp được N t
t 0 bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim N t và t 4 t 3321
cho biết ý nghĩa của kết quả. 33 Lời giải 50t 50t 50
Ta có: lim N t lim lim lim 50 . t
t t 4 t 4 t 4 t 1 1 t t
Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.
Bài 6. Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi
hàm số: C x 50000 105x . _
a) Tính chi phí trung bình C x để sản xuất một sản phẩm. _
b) Tính lim C x và cho biết ý nghĩa của kết quả. x Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 66
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com _
a) Chi phí trung bình C x để sản xuất một sản phẩm là: _ 50000 105x C x (sản phẩm). x 50000 x 105 _ 50000 105x 50000 b) Ta có: x lim C x lim lim lim 105 105 . x x x x x x x
Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị của giới hạn lim 2 3x 7x 11 là: x 2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. Lời giải Chọn A lim 2 3x 7x 2
11 3.2 7.2 11 37 x2
Câu 2: Giá trị của giới hạn 2 lim x 4 là: x 3 GV: T A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. R Lời giải Ầ N Đ Chọn B ÌN H C lim x 4 3 4 1 Ư 2 2 x 3 – 0834 Câu 3: 1
Giá trị của giới hạn 2 lim x sin là: 3321 x 0 2 33 A. 1 sin . B. . C. . D. 0. 2 Lời giải Chọn D Ta có 1 1 2 lim x sin 0.sin 0 x0 2 2 2 Câu 4: x 3
Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 x 2 A. 1. B. 2. C. 2. D. 3 . 2 Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 67
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 3 2 2 1 3 lim 2 3 x x 2 3 1 1 2 3 Câu 5:
Giá trị của giới hạn x x lim là: x 2x 1 4 1 x 3 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3 . 2 Lời giải Chọn C 3 3 x x 11 lim 0
x 2x 1 4 x 3 2.1 1 4 1 1 3
Câu 6: Giá trị của giới hạn x 1 lim là: 4
x 1 x x 3 A. 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . 2 3 2 3 Lời giải Chọn D x 1 1 1 Ta có 2 lim 4
x1 x x 3 1 1 3 3 GV: T 2 Câu 7: 3x 1 x
Giá trị của giới hạn lim là: x 1 x 1 R Ầ N A. 3 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . Đ 2 2 2 2 ÌN H C Lời giải Ư – 0834 Chọn A 3321 2 Ta có 3x 1 x 3 1 1 3 lim x 1 x 1 1 1 2 33 2
Câu 8: Giá trị của giới hạn 9x x lim là: x 2x 1 4 3 x 3 A. 1. B. 5. C. 1 . D. 5. 5 5 Lời giải Chọn C 2 2 9x x 9.3 3 1 lim x 2x 1 4 x 3 2.3 1 4 3 3 3 5 2 Câu 9: x x 1
Giá trị của giới hạn 3 lim là: 2 x 2 x 2x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 68
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1. 4 2 3 5 Lời giải Chọn B 2 2 x x 1 2 2 1 1 3 lim 2 2 x2 x 2x 2 2.2 2 3 2 Câu 10: 3x 4 3x 2
Giá trị của giới hạn lim là: x 2 x 1 A. 3 . B. 2 . C. 0. D. . 2 3 Lời giải Chọn C 3 2 3 Ta có: 3x 4 3x 2 12 4 6 2 0 lim 0 x2 x 1 3 3
Câu 11: Giá trị của giới hạn 3
lim x x 1 là: x A. 1. B. . C. 0. D. . Lời giải GV: T Chọn D R 3 Ầ lim x N x Đ 1 1 3 3 ÌN
lim x x 1 lim x 1 vì . 2 3 1 1 x x x x H lim 1 1 0 2 3 C x x x Ư – 3 3 0834
Giải nhanh: x x 1 ~ 1 x
khi x . 3321 Câu 12: 3
Giá trị của giới hạn là: 2 lim x 2x 3 x x 33 A. 0. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn B Ta có lim x x x
x x x x x 3 2 3 2 2 3 lim 3 2 2 3 3 lim 1 . 2 x x x x Giải nhanh: 3 3 2
x 2x 3 x ~ x khi x .
Câu 13: Giá trị của giới hạn là: 2 lim x 1 x x A. 0. B. . C. 2 1. D. .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 69
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B Giải nhanh: 2 2
x : x 1 x ~
x x 2x .
Đặt x làm nhân tử chung: lim x x x x 1 2 1 lim 1 1 2 x x lim x x vì . 1 lim 1 1 2 0 2 x2 x
Câu 14: Giá trị của giới hạn là: 3 3 2 lim 3x 1 x 2 x A. 3 3 1. B. . C. 3 3 1. D. . Lời giải Chọn B Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x x x x x 3 : 3 1 2 ~ 3 3 1 x . GV: T
Đặt x làm nhân tử chung: R Ầ 1 2 3 3 2 N 3 lim 3x 1
x 2 lim x 3 1 Đ x 3 2 x x x ÌN H C Ư lim x x – 0834 vì . 1 2 3 3 lim 3 1 3 1 0 3 2 3321 x x x 33 2
Câu 15: Giá trị của giới hạn lim x là:
4x 7x 2x x A. 4. B. . C. 6. D. . Lời giải Chọn D Đặt 2
x làm nhân tử chung: lim x 7 2 4x 7x 2x 2 lim x 4 2 x x x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 70
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 lim x x vì . 7 lim 4 2 4 0 x x
Giải nhanh: x x 2
x x x x 2 x x 2 : 4 7 2 ~ 4 2 4x . 3 Câu 16: x 8
Giá trị của giới hạn lim là: 2 x 2 x 4 A. 0. B. . C. 3. D. Không xác định. Lời giải Chọn C 3 2 2 Ta có x 8 (x 2)(x 2x 4) x 2x 4 12 lim lim lim 3 2 x 2 x 2 x 2 x 4
(x 2)(x 2) x 2 4 5 Câu 17: x 1
Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 x 1 A. 3 . B. 3. C. 5 . D. 5. 5 5 3 3 Lời giải Chọn D GV: T x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 R lim lim lim . 3 2 2 Ầ x 1 x 1 x 1 x
1 x x x 1 1 x x 1 3 N Đ ÌN 3 H 2x 6 3 C
Câu 18: Biết rằng lim a 3 . b Tính 2 2 a b . 2 x 3 Ư 3 x – 0834 A. 9. B. 25. C. 5. D. 13. 3321 Lời giải 33 Chọn A 2 2 3 3
x 3 2x 3x 3 2 2 3 x 3x x 3 Ta có lim lim lim 2 x 3 x 3 3 x
3x 3 x x 3 3 x 2 2 3 3. 3 3 18 a 3 2 2 3 3 a b 9 . 3 3 2 3 b 0 2
Câu 19: Giá trị của giới hạn x x 6 lim là: 2 x 3 x 3x A. 1. B. 2 . C. 5. D. 3. 3 3 3 5 Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 71
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 3 2 5 lim lim lim . 2 x 3 x 3 x 3x x x x 3 3 x 3 3 Câu 20: 3 x
Giá trị của giới hạn lim là: x 3 3 27 x A. 1. B. 0. C. 5. D. 3. 3 3 5 Lời giải Chọn B
Ta có 3 x 0 với mọi x 3, do đó: 3 x 3 x lim lim x 3 3 x 3 27 x 3 x 2
9 3x x 3 x 3 3 lim 0. x 3 2 2 9 3x x 9 3.3 3 2 21 x 7 21 12x
Câu 21: Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x 21 21 21 21 A. 2 2 2 1 2 . B. . C. . D. . 7 9 5 7 Lời giải GV: T Chọn A R Ầ N Ta có Đ ÌN 2 21 7 21 2 21 7 H
x 12x
x 12x 21 1 2 C lim lim lim x . Ư x 0 x 0 x 0 x x 7 – 0834 2 Câu 22: x x x
Giá trị của giới hạn lim là: 2 3321 x 0 x 33 A. 0. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn D
x x x 2 2
x x x Ta có 1 lim lim lim 2 x 0 x 0 2 x x 2
x x x x0 2
x x x vì 1 0 ; lim 2
x x x và 2
x x x 0 với mọi x 0. 0 x 0 3 Câu 23: x 1
Giá trị của giới hạn lim là: x 1 3 4x 4 2 A. 1. B. 0. C. 1. D. . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 72
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn C (x 1) x x x 1 3 4 4 2 4 4 4 3 2 3 Ta có lim lim x 1 3 x 1 4x 4 2
4x 483 2 3 x x 1 34x42 3
2 4x 4 4 12 lim 1. x 1 3 2 3 x x 12 4 1 3 Câu 24: 2 1 x 8 x
Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x A. 5 . B. 13 . C. 11 . D. 13 . 6 12 12 12 Lời giải Chọn B 3 3 Ta có 2 1 x 8 x 2 1 x 2 2 8 x lim lim x 0 x 0 x x x 2 1 1 13 lim 1 . x 0 3 x 1 1 3
4 2 8 x 8 x 2 12 12 3 Câu 25: và ax 1
1 bx . Khẳng định nào dưới đây sai? GV: T Biết rằng b 0, a b 5 lim 2 x 0 x R A. 1 a 3. B. b 1. C. 2 2 a b 10.
D. a b 0. Ầ N Đ Lời giải ÌN H C Chọn A Ư – 0834 3 3 Ta có ax 1 1 bx ax 1 1 1 1 bx lim lim x 0 x 0 x x x 3321 ax bx 33 lim x 0 2 3 3 x1 1 1 1 1 x x x x a b a b lim 2. x 0 3 2 3 1 1 1 1 1 x x x 3 2 a b 5 a b Vậy ta được: 5 a b
a 3, b 2 2 2a 3b 12 3 2 2 Câu 26: 2x 5x 3
Kết quả của giới hạn lim là: 2
x x 6x 3 A. 2. B. . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 73
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 5 3 2 2 2 Ta có 2x 5x 3 lim lim x x 2 . 2
x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 2 2 Giải nhanh : khi 2x 5x 3 2x x thì : 2. 2 2 x 6x 3 x 3 2 Câu 27: 2x 5x 3
Kết quả của giới hạn lim là: 2 x x 6x 3 A. 2. B. . C. . D. 2 . Lời giải Chọn C 5 3 3 2 2 3 Ta có: 2x 5x 3 lim lim . x x x . 2 x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x 5x 3 2x x thì : 2x . 2 2 x 6x 3 x 3 2 Câu 28: 2x 7x 11
Kết quả của giới hạn lim là: 6 5
x 3x 2x 5 A. 2. B. . C. 0. D. . GV: T Lời giải R Chọn C Ầ N Đ 2 7 11 ÌN 3 2 3 4 6 2x 7x 11 0 H Ta có: lim lim x x x 0. C 6 5
x 3x 2x 5 x 2 5 3 Ư 3 6 x x – 0834 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x 7x 11 2x 2 1 x thì : . 0. 3321 6 5 6 3 3x 2x 5 3x 3 x 33 2x 3
Câu 29: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 1 x A. 2. B. . C. 3. D. 1 . Lời giải Chọn D Khi x thì 2 2 2 x x
x 1 x x x x x 2 x 0 3 2 2x 3
chia cả tử và mẫu cho x , ta được lim lim x 1 . x 2 x 1 x x 1 1 1 2 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 74
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
2ax 3 Câu 30: Biết rằng
có giới hạn là khi x (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ 2 x 1 x nhất của 2
P a 2a 4. A. P 1. B. P 3. C. P 4. D. P 5. min min min min Lời giải Chọn B Khi x thì 2 2 2 x x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp: 2 a Ta có x 3 lim lim 2 ax 3 3 1 2 x 1 x 2 lim x 2 a 1 1 . 2 x 2 1 x x x x x x 2 lim x x
2ax 3 Vì lim 1 x 2 lim 1 1 4 0 x 1 x 2 x x 3 lim 2a
2a 0 a 2 . x x Giải nhanh : ta có 2x 3 x 2 x 1 x GV: T
ax 2x x ax 2 2 3 1 2 .
x x 22ax a 2 . R Ầ N 2 Đ
Khi đó P a 2a 4 a 2
1 3 3, P 3 a 1 2 P 3. min ÌN H 2 C 4x x 1 Ư
Câu 31: Kết quả của giới hạn lim là: x x 1 – 0834 A. 2. B. 1. C. 2. D. . 3321 Lời giải 33 Chọn C 2 2 Giải nhanh: khi 4x x 1 4x 2x x 2. x 1 x x 1 1 4 2 2 Cụ thể: 4x x 1 x x 4 lim lim 2. x x 1 x 1 1 1 x 2 Câu 32:
Kết quả của giới hạn 4 x 2x 1 2 x lim là: x 2
9x 3x 2x A. 1 . B. . C. . D. 1 . 5 5 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 75
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn D Giải nhanh : khi 2 2
4 x 2x 1 2 x 4 x x 2x x 1 x . 2 2 3x 2x 5 9x 3x 2x 9x 2 x 2 1 2 4 1 2 2 Cụ thể : 4x 2x 1 2 x x x x 1 lim lim . x 2 9x 3x 2 x x 3 5 9 2 x 2 Câu 33: Biết rằng 4 x 2x 1 2 x L lim
0 là hữu hạn (với a,b là tham số). Khẳng định nào x 2
ax 3x bx dưới đây đúng. A. a 0. B. 3 L C. 3 L D. b 0. a b b a Lời giải Chọn B Ta phải có 2
ax 3x 0 trên ;
a 0. Ta có 2 2 x
4x 2x 1 2 x 4x x 3 x 0. 2 GV: T
Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó
4 x 2x 1 2 x lim 0 khi và x 2
ax 3x bx R Ầ N chỉ khi 2
ax 3x bx là đa thức bậc 1. Đ ÌN Ta có 2 2
ax 3x bx
ax bx a b x
a b 0. H C Ư 2 –
4x 2x 1 2 x 3 x 3 0834 Khi đó
L 0 b a 0 b a. 2
ax 3x bx
a bx b a 3321 3 3 2 x 2x 1 33
Câu 34: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 2x 1 A. 2 . B. 0. C. 2 . D. 1. 2 2 Lời giải Chọn C 3 3 2 3 3 Giải nhanh: x 2 x 1 x x 1 x . 2 2 2 x 1 2x 2x 2 2 1 3 1 3 3 2 3 Cụ thể: x 2x 1 x x 1 lim lim . x 2 2x 1 x 1 2 2 2 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 76
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 35: Tìm tất cả các giá trị của a để là . 2 lim 2x 1 ax x A. a 2. B. a 2. C. a 2. D. a 2. Lời giải Chọn B Giải nhanh: 2 2 x
2x 1 ax 2x x
2x ax a 2x a 2 0 a 2. Cụ thể: vì 1
lim x nên lim 2 2x 1 ax lim x 2 a x 2 x x x 1 lim 2 a
a 2 0 a 2. 2 x x
Câu 36: Giá trị của giới hạn 3 2
lim 2x x là: x A. 1. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn D Giải nhanh : 3 2 3 x
2x x 2x . GV: T 3 lim x x R 1 3 2 3 Ầ Cụ thể: lim 2x x
lim x 2 vì . 1 N x x x lim 2 2 0 Đ x x ÌN H C 1 1 Ư
Câu 37: Giá trị của giới hạn lim là: 2
x 2 x 2 x 4 – 0834 A. . B. . C. 0. D. 1. 3321 Lời giải 33 Chọn A Ta có 1 1 x 2 1 x 1 lim lim lim 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 Vì lim x 1 3 0; lim và 2
x 4 0 với mọi x 2 ;2. 2 x 4 0 x 2 x 2
Câu 38: Kết quả của giới hạn x 15 lim là: x 2 x 2 A. . B. . C. 15 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 77
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com lim x1 5 13 0 Vì x2 x 15 lim . lim x2 x2
0 & x 2 0, x 2 x 2 x2 Câu 39: x 2
Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 2 A. . B. . C. 15 . D. Không xác định. 2 Lời giải Chọn B
lim x 2 2 0 x2 x 2 lim . x2
lim x 2 0 & x 2 0, x 2 x 2 x2 3x 6
Câu 40: Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 2 A. . B. 3. C. . D. Không xác định. Lời giải Chọn B GV: T
Ta có x 2 x 2 với mọi x 2, do đó : R Ầ N 3x 6 3 x 2 3x 2 Đ lim lim lim lim 3 3 ÌN x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 H C 2 x Ư
Câu 41: Kết quả của giới hạn lim là: 2 – x 2 2x 5x 2 0834 A. . B. . C. 1 . D. 1. 3321 3 3 33 Lời giải Chọn C Ta có 2 x 2 x 1 1 lim lim lim . 2 x 2 x 2 2x 5x 2
2 x12x x 2 1 2x 3 2
Câu 42: Kết quả của giới hạn x 13x 30 lim là: x 3 x 3 2 x 5 A. 2. B. 2. C. 0. D. 2 . 15 Lời giải Chọn C
Ta có x 3 0 với mọi x 3, nên:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 78
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x 13x 30 x 3 x 1 0 x 3. x 1 0 3 3 3 7 lim lim lim 0 . x 3 x 3 2 x x 3 5 x 3 2 x x 3 2 5 x 5 2 3 5 2x víi x 1
f x 1 x . 2 Câu 43: Cho hàm số 3x 1 víi x 1
Khi đó lim f x là: x 1 A. . B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B lim f x 2 2
lim 3x 1 3.1 1 2 x 1 x 1 2 x 1 víi x 1
Câu 44: Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x là: x 1 2x 2 víi x 1 A. . B. 1. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A 2 2 lim x 1 2 f x x 1 lim lim vì x 1 . GV: T x 1 x 1 1 x
lim 1 x 0 & 1 x 0 x 1 x 1 R Ầ 2
x 3 víi x 2 N
Câu 45: Cho hàm số f x
. Khi đó lim f x là: Đ
x 1 víi x 2 x2 ÌN H C A. 1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Ư – Lời giải 0834 3321 Chọn C 2 33
lim f x lim x 3 1 x2 x2 Ta có
lim f x lim f x 1 lim f x 1.
lim f x lim x x2 x2 x2 1 1 x2 x2 Câu 46: víi Cho hàm số f x x 2 3 x 2
. Tìm a để tồn tại lim f x . ax 1 víi x 2 x 2 A. a 1. B. a 2. C. a 3. D. a 4. Lời giải Chọn B
lim f x lim ax 1 2a 1 Ta có x2 x2 .
lim f x lim x 2 3 3 x2 x2
Khi đó lim f x tồn tại lim f x lim f x 2a 1 3 a 2. x 2 x2 x2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 79
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2
x 2x 3 víi x 3 Câu 47: Cho hàm số f x 1
víi x 3. Khẳng định nào dưới đây sai? 2 3 2x víi x 3
A. lim f x 6.
B. Không tồn tại lim f x. x3 x3
C. lim f x 6.
D. lim f x 1 5. x3 x3 Lời giải Chọn C
lim f x lim x x 2 2 3 6 Ta có x3 x3
lim f x lim f x
lim f x lim x x x 2 3 2 3 3 15 x3 x3
không tồn tại giới hạn khi x 3.
Vậy chỉ có khẳng định C sai. a b b a lim L lim 3 3 Câu 48: Biết rằng x 1 x 1
a b 4 và 1 x 1 x
hữu hạn. Tính giới hạn 1 x 1 x . A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C GV: T 2 2 Ta có a b
a ax ax b
a ax ax b lim lim lim . 3 3 R x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 1 1 1
1 x x Ầ N Đ ÌN Khi đó a b lim hữu hạn 2 1 . a 1 .1 a
b 0 2a b 1 . H 3 x 1
1 x 1 x C Ư – a b 4 a 1 a b 0834 Vậy ta có L lim 3 x 1 2a b 1 b 3
1 x 1 x 3321 2 x x 2 x 2 lim lim 1 . 33 x 1 x 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x
Câu 49: Giá trị của giới hạn 2 lim
1 2x x là: x A. 0. B. . C. 2 1. D. . Lời giải Chọn B Ta có lim 1 2
1 2x x lim x 2 1 2 x x x Vì 1 lim x ; lim 2 1 2 1 0. 2 x x x Giải nhanh : 2 2 x
1 2x x 2x x 2x x 2 1 x .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 80
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 50: Giá trị của giới hạn 2 lim
x 1 x là: x A. 0. B. . C. 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A 2 2 x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp. Giải nhanh: 1 1 1 2 x
x 1 x 0. 2 2 2 1 x x x x x 1 Cụ thể: lim 1 0 2 1 lim lim x x x 0. x x 2 x 1 x x 1 2 1 1 2 x Câu 51: Biết rằng
Tính S 5a . b 2 lim 5x 2x
x 5 a 5 .b x A. S 1. B. S 1. C. S 5. D. S 5. Lời giải Chọn A 2 2 x
5x 2x x 5
5x x 5 5x x 5 0 GV: T R
Nhân lượng liên hợp: Ầ N Đ ÌN Giải nhanh: 2 x
5x 2x x 5 H C Ư 2x 2x 2x 1 – . 0834 2 2
5x 2x x 5 5x x 5 2 5x 5 3321 Cụ thể: Ta có x lim
x x x x 2 2 5 2 5 lim x 2 33
5x 2x x 5 1 2 2 1 1 a lim 5 5 S 1. x 2 2 5 5 5 5 5 b 0 x
Câu 52: Giá trị của giới hạn 2 2 lim
x 3x x 4x là: x A. 7 . B. 1 . C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B . Khi 2 2 2 2 x
x 3x x 4x x x 0
Nhân lượng liên hợp:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 81
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Giải nhanh: 2 2 x
x 3x x 4x x x x 1 . 2 2 2 2 2x 2 x 3x x 4x x x Cụ thể: 2 2 lim
x 3x x 4x x x 1 1 lim lim . x 2 2
x 3x x 4 x x 3 4 2 1 1 x x
Câu 53: Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
3x 1 x 2 là: x A. 3 3 1. B. . C. 3 3 1. D. . Lời giải Chọn D lim 1 2 3 3 2
3x 1 x 2 3 lim x 3 1 3 2 x x x x Vì 1 2 3 3 lim x , lim 3 1 3 1 0. 3 2 x x x x Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 3 GV: T x
3x 1 x 2 3x x 3 1 x . R 2 3 3 2 Ầ
Câu 54: Giá trị của giới hạn lim x x x x là: N x Đ ÌN A. 5 . B. . C. 1. D. . H 6 C Ư – Lời giải 0834 Chọn A 3321 2 3 2 2 3 33 Khi 3 3 x
x x x x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp: 2 3 3 2
x x x x 2 3 3 2 lim lim
x x x x x x x x 2 x x 1 1 5 lim . x 2 2 3 x x
x x x 1 3 2 3 6 1 3 x 2 3 1 Giải nhanh: 2 3 3 2 2 3 3 2 x x x x x x x
x x x 2 2 x x x x 2 2 3 x 1 x 1 3 3 2 2 2 3 3 6 6 3 1 x x
x x x x x x x x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 82
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 5
x . 2 3 6
Câu 55: Giá trị của giới hạn 3 3 lim
2x 1 2x 1 là: x A. 0. B. . C. 1. D. . Lời giải Chọn A 3 3 3 3 x 2x 1 2x 1
2x 2x 0
nhân lượng liên hợp: lim 2 3 3
2x 1 2x 1 lim 0. x x 2x 2 3 1 2x 1 2x 1 2x 2 3 3 1 Giải nhanh: 3 3 2 x 1 2 x 1 2 2 2 0. 3 2x 2 3
1 4x 1 2x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1
4x 4x 4x 3 4x Câu 56:
Kết quả của giới hạn 1 lim x 1 là: x 0 x A. . B. 1. C. 0. D. . Lời giải GV: T Chọn B R 1 Ầ Ta có lim x 1
lim x 1 0 1 1. N x 0 x 0 x Đ ÌN H x C
Câu 57: Kết quả của giới hạn lim x 2 là: 2 Ư x 2 x 4 – 0834 A. 1. B. . C. 0. D. . 3321 Lời giải 33 Chọn C Ta có x x x 2 . x 0. 2 lim 2 lim 0 . 2 x 2 x 2 x 4 x 2 2
Câu 58: Kết quả của giới hạn 2 x 1 lim x là: 3 2 x 3x x 2 A. 2 . B. 6 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn B 1 2 2x 1 x x 2 2 1 6 lim lim lim x x . 3 2 3 2 x 3x x 2 x 3x x 2 x 1 2 3 3 3 x x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 83
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Giải nhanh: 2 x 1 2 x 6 1 6 1 6 x x x . .x . .x . . 3 2 2 2 3 x x 2 3 x 3 3 x 3 x Câu 59: 1
Kết quả của giới hạn 2
lim x sin x là: 2 x 0 x A. 0. B. 1 . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có 1 2
lim x sin x lim 2
x sin x 1 1. 2 x 0 x 0 x
Câu 60: Kết quả của giới hạn x lim là: 3 x 1 x 2 1 x 1 A. 3. B. . C. 0. D. . Lời giải Chọn C Với x
x 1; 0 thì x 1 0 và 0 . x 1 x x 3 2 GV: T Do đó lim x 1 lim x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 R Ầ N x 2 lim
x 1 x x 1 0 Đ x 1 x 1 ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 84
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 85
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;
a b và x ;
a b . Hàm số y f x được gọi là liên 0
tục tại x nếu lim f x f x . 0 0 xx0
Nhận xét: Hàm số y f x không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại x . 0 0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên khoảng ;
a b nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu hàm số đó liên tục trên khoảng ; a b và
lim f x f a; lim f x f b . xb xa
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng ; a b, ; a b, ; a , ; a , ; a, ; a, ;
được định nghĩa tương tự.
Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là "đường liền" trên khoảng đó. GV: T
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN R Ầ
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản N Đ ÌN
-Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: H C Ư
Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y sinx, y cosx liên tục trên . – 0834
Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y tanx, y cotx liên tục trên từng khoảng 3321 xác định của chúng. 33
Hàm căn thức y x liên tục trên nửa khoảng 0; .
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:
Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại điểm x . Khi đó: 0
a) Các hàm số y f x g x, y f x g x và y f x g x liên tục tại x ; 0 f x b) Hàm số y
liên tục tại x nếu g x 0 . 0 g x 0
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 86
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x K. Hàm số y f x gọi là liên tục tại x nếu 0 0
lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ). 0 0 xx0 xx xx o o
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho x 2 2 x f x
với x 0. Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì x
hàm số liên tục tại x 0? Lời giải x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x0 x0 x
x0 x 2 2 x 2 1 lim .
x0 x 2 2 x 2
Như vậy để hàm số liên tục tại x 0 thì phải bổ sung thêm giá trị 1 f 0 . 2 2
a x vôùi x 1 vaø a Ví dụ 2: Cho hàm số f x
. Giá trị của a để f x liên tục tại x 1 là bao 3 vôùi x 1 nhiêu? Lời giải TXĐ: D . Ta có: GV: T lim f x lim 2 a x a 1. x 1 x 1 R Ầ
Để hàm số liên tục tại x 1 lim f x f
1 a 1 3 a 4. N x 1 Đ ÌN 2 H x 1 C
Ví dụ 3: Cho hàm số vôùi x 3 vaø x 2 f x 3
. Tìm b để f x liên tục tại x 3. Ư x x 6 – b 3 vôùi x 3 vaø b 0834 Lời giải 3321 TXĐ: D . Ta có: 33 2 x 1 3 lim f x lim ; f 3 b 3. 3 x 3 x 3 x x 6 3 3 2 3
Để hàm số liên tục tại x 3 lim f x f 3 b 3 b . x 3 3 3 a 2 khi x 2 Ví dụ 4: Cho hàm số f x .
Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x 2. sin khi x 2 x Lời giải TXĐ: D . Ta có
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 87
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com f 2 sin 1 2
lim f x lim a 2 a 2 x 2 x 2
lim f x lim sin 1 x2 x2 2
Hàm số liên tục tại x 2 khi a 1 2 a 3.
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x . 0 3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ; x 2. 0 ax 2 neáu x 2 Lời giải TXĐ: D . Ta có: 3 3 x 2 3x 2 2 1 lim f x lim lim . 2 x2 x2 x 2 x2 4
x 23 3x 2 3 2 3x 2 4
lim f x ax 2 2a 2. x 2
Lại có: f 2 2a 2 . GV: T 1 7
Hàm số liên tục tại x 2 nếu 2a 2 a . 0 4 8 R Ầ x 2 N vôùi 5 x 4 Đ ÌN x 5 H
Ví dụ 6: Cho hàm số f x mx 2 vôùi x 4
. Tìm giá trị của m để f x liên tục tại x 4 . C Ư x – vôùi x 4 0834 3 3321 Lời giải 33 x 2 2 x 2 Ta có: lim f x lim ; lim . x4 x4 x 5 3 x4 3 3 Và f 4 4m 2
Để hàm số liên tục tại x 4 thì lim f x lim f x f 4 x 4 x 4 2 1 4m 2 m . 3 3 2 x 8 3 neáu x 1 Ví dụ 7: Cho hàm số f x 2 x 4x 3
. Tìm giá trị của a để f x liên tục tại x 1 1 2 cos x a x neáu x 1 6 . Lời giải TXĐ: D .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 88
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 f 2 2
1 cos a 1 a 1. 6 6 1 1 lim f x 2 2 lim cos x a x a 1. x 1 x 1 6 6 2 2 2
x 8 3 x 8 3 x 8 3 lim f x lim lim 2 x 4x 3 2 x 4x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 8 3 2 x 1 x 1 x 8 9 lim lim 2 x 4x 3 2 x 8 3 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 8 3 x 1 1 lim . 2 x 1 6 x 3 x 8 3
Để hàm số liên tục tại x 1 lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 1 2 1 a 1 a 1. 6 6
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp
Để chứng minh hàm số y f x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về GV: T
hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận. R
Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính Ầ N Đ
liên tục trên tập xác định của nó. ÌN H C
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không Ư – 0834
liên tục tại các điểm nào 3321
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc 33 khoảng đó.
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên đoạn a,b nếu nó liên tục trên và a,b
lim f(x) f(a) , lim f(x) f(b . ) x a x b
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 2 x 4 x 2 khi x 2 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x x 2
4 khi x 2 2 2 khi x 2 Lời giải
a) Hàm số f x liên tục với x 2 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 89
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x 4
x 2 x 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 4. x 2 x2 x 2 x2 x 2 x 2 f 2 4
lim f x f 2
f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
b) Hàm số f x liên tục với x 2 1 2 x
x 2x 2 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 2 2. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
f 2 2 2 lim f x f 2 f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 2 2
x x 2
x x khi x 1 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x 2 khi x 1
m khi x 2
mx 1 khi x 1 Lời giải
a) Hàm số f x liên tục với x 2 . GV: T
Do đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2 lim f x f 2 1 x2 2 R x x 2
x 2 x 1 Ầ
Ta có lim f x lim lim lim x
1 2 1 3; f 2 . m N x2 x2 x2 x2 Đ x 2 x 2 ÌN H Khi đó
1 3 m m 3 . C Ư – 2
b) Ta có: lim f x lim mx
1 m 1; lim f x lim x
x 1 1 2; f 1 2. 0834 x 1 x 1 x 1 x 1 3321
Từ YCBT lim f x lim f x f
1 m 1 2 m 1. x 1 x 1 33
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp
Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho f a.f b 0
- Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b
- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x a;b 0
Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số a ,b sao cho các khoảng a ;b rời nhau và i i i i
f(a )f(b ) 0, i 1,...,k i i
- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x a ;b . i i i
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 90
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Khi phương trình f x 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : -
f a, f b không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc f a, f b còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx
1 x 2 2x 1 0. Lời giải
Đặt f x mx 1 x 2 2x 1.
Tập xác định: D nên hàm số liên tục trên . Ta có: f 1 3; f 2 3 f 1 .f 2 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x 3 2 2 1
1 x x 3 0
b) cos x m cos 2x 0
c) m2cos x 2 2sin5x 1 Lời giải m 1 a) Xét . Phương trình có dạng 2 nên PT có nghiệm GV: T
x x 3 0 m 1 R Ầ m 1 N Với
giả sử f x m x 3 2 2 1
1 x x 3 Đ m 1 ÌN H C
f x liên tục trên R nên f x liên tục trên 1 ;0 Ư – 2 Ta có f 1
m 1 0; f 0 1 0 f 1 .f 0 0 0834 3321
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m 33
b) Đặt f x cos x mcos 2x f x liên tục trên R 1 3 1 3 Ta có f 0; f 0 f .f 0 4 2 4 2 4 4
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
c) Đặt f x m2cos x 2 2sin5x 1 f x liên tục trên R 3 Ta có f
2 1 0; f 2 1 0 f .f 0 4 4 4 4
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3
x 3x 1 0 b) 3
2x 6 1 x 3 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 91
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a Dễ thấy hàm f x 3
x 3x 1 liên tục trên R . Ta có: f 2 1
f 2. f
1 0 tồn tại một số a 2; 1 : f a 0 1 . 1 1 f 1 3 f 0 1
f 0. f
1 0 tồn tại một số a 0;1 : f a 0 2 . 2 2 f 1 1 f 1 1 f
1 . f 2 0 tồn tại một số a 1; 2 : f a 0 3 . 3 3 f 2 3 Do ba khoảng 2; 1 , 0;
1 và 1; 2 đôi một không giao nhau nên phương trình 3
x 3x 1 0
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên 3
x 3x 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. b Đặt 3 3 3
1 x t x 1 t 2t 6t 1 0 .
Xét hàm số f t 3
2t 6t 1 liên tục trên R .
f 2. f 1 3.5 0
Ta có: f 0. f
1 1.3 0 tồn tại 3 số t , t và t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một GV: T 1 2 3 f
1 . f 2 3.5 0 R Ầ N
không giao nhau là 2; 1 , 0;
1 và 1; 2 sao cho f t f t f t 0 và do đây là 1 2 3 Đ ÌN H
phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. C Ư –
Ứng với mỗi giá trị t , t và t ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn 3
x 1 t và hiển 1 2 3 0834
nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt. 3321
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 33 a) 5
x 3x 3 0 b) 4 3 2
x x 3x x 1 0 Lời giải
a Xét f x 5
x 3x 3.
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 1 1 x
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 2 2 x
Từ đó f x . f x 0 luôn tồn tại một số x x ; x : f x 0 nên phương trình 0 2 1 0 1 2 5
x 3x 3 0 luôn có nghiệm.
b Xét f x 4 3 2
x x 3x x 1 liên tục trên R Ta có: f 1 3 0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 92
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
lim f x tồn tại một số a 0 sao cho f a 0 . x 2
x x 3 0 nên luôn tồn tại một số x 0; a thỏa mãn f x 0 nên phương trình 0 0 4 3 2
x x 3x x 1 0 luôn có nghiệm. 1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 2
ax bx c 0 luôn có nghiệm x 0; với và a 0 3
2a 6b 19c 0 . Lời giải Đặt 2
f x ax bx c f x liên tục trên R x 0
Nếu c 0 thì f x 0 có 2 nghiệm là 1 x 3 1 a b 1 c
Nếu c 0 , ta có f 0 ; c f c
2a 6b 18c 3 9 3 18 18 2 1 c 1 f 0.f 0
. Do đó f x 0 có nghiệm trong 0; 3 18 3
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f x 3
2x x 1 tại điểm x 2 . GV: T Lời giải R Ầ
Hàm số f x x x xác định trên . N 3 2 1 Đ ÌN
Ta có: lim f x l 3
im 2x x 3
1 2 2 2 1 17 f 2 . H x2 x2 C Ư
Do đó hàm số liên tục tại x 2 . – 0834
Bài 2. Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a,15 ,
b 15 , hàm số nào liên tục trên tập xác định của 3321
hàm số đó? Giải thích. 33 Lời giải
+) Hình 15a): Hàm số f x 2
x 2x có tập xác định D .
Hàm số liên tục trên toàn bộ .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 93
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x
+) Hình 15b): Hàm số g x
có tập xác định D \ 1 . x 1
Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số. +) Hình 15c): Với x ;
1 có f x 2 x liên tục.
Với x 1; có f x x 1 liên tục. Tại x 1
có lim f x lim 2x 2 và f 1 1 1 0 . x 1 x 1
Suy ra lim f x f
1 . Do đó hàm số liên tục tại x 1 . x 1
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ; 1 và 1 ; .
Bài 3. Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y f x liên tục tại điểm x , còn hàm số y g x không 0
liên tục tại x , thì hàm số y f x g x không liên tục tại x ". Theo em, ý kiến của bạn Nam 0 0
đúng hay sai? Giải thích. Lời giải
Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.
Ta có: Hàm số y f x liên tục tại điểm x nên lim f x f x . 0 0 xx0
Hàm số y g x không liên tục tại x nên lim g x g x . 0 0 x x0 GV: T
Do đó lim f x g x lim f x lim g x f x g x . 0 0 x 0 x x 0 x x 0 x R Ầ N
Vì vậy hàm số không liên tục tại x . o Đ ÌN
Bài 4. Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó: H C 6 Ư a) f x 2 x sinx b) g x 4 2 x x ; – x 1 0834 2x x 1 c) . 3321 h x x 3 x 4 33 Lời giải
a) Hàm số f x 2
x sinx có tập xác định là . Hàm số 2
x và sin x liên tục trên nên hàm số f x 2
x sinx liên tục trên . 6
b) Hàm số g x 4 2 x x
có tập xác định là R \ 1 . x 1 Hàm số 4 2
x x liên tục trên toàn bộ tập xác định 6 Hàm số
liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . x 1
Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số. 2x x 1
c) Hàm số h x
có tập xác định D R \ 4; 3 . x 3 x 4 2x Hàm số
liên tục trên các khoảng ;3 và 3; . x 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 94 nếu
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 1 Hàm số
liên tục trên các khoảng ; 4 và 4; . x 4 2 x x 1 x 4
Bài 5. Cho hàm số f x 2a 1 x 4
a) Với a 0 , xét tính liên tục của hàm số tại x 4 .
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x 4 ?
c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó? Lời giải
a) Với a =0, tại x 4 , ta có:
lim f x l 2
im x x 2
1 4 4 1 21 và f 4 2.0 1 1 x4 x4
Suy ra lim f x f 4. x4
Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4 .
b) Ta có: lim f x l 2
im x x 2
1 4 4 1 21 và f 4 2 a 1 x4 x4
Để hàm số liên tục tại x 4 thì lim f x f 4 x4 21 2a 1 2a 20 a 10 GV: T
Vậy với a 10 thì hàm số liên tục tại x 4 . c) Với x
; 4 có f x 2
x x 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này. R Ầ N Đ Với x 4;
có f x 2a 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này. ÌN H
Tại x 4 thì a 10 hàm số liên tục. C Ư
Vậy với a 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó. – 0834
Bài 6. Hình 16 biểu thị độ cao h m của một quả bóng được đá lên theo thời gian t s , trong 3321 đó h t 2
2t 8t . 33
a) Chứng tỏ hàm số h t liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định l 2
im 2t 8t . t 2 Lời giải
a) Hàm số h t 2
2t 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì h t dần đến 8 . Vậy lim 2
2t 8t 8. t 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 95
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2
x x 2 Câu 1: khi x 2
Tìm giá trị thực của tham số
m để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2. m khi x 2 A. m 0. B. m 1. C. m 2. D. m 3. Lời giải Chọn D
Tập xác định: D , chứa x 2 . Theo giả thiết thì ta phải có 2
m f f x x x 2 2 lim lim limx 1 3. x2 x2 x2 x 2 3 2
x x 2x 2 Câu 2: khi x 1
Tìm giá trị thực của tham số
m để hàm số f x x 1 liên tục tại 3 x m khi x 1 x 1. A. m 0. B. m 2. C. m 4. D. m 6. Lời giải Chọn A
. Hàm số xác định với mọi x . Theo giả thiết ta phải có GV: T x 1 2 3 2 x x x x 2 2 2 R
3 m f
1 lim f x 2 Ầ lim lim limx 2 3 m 0. x 1 x 1 x 1 x 1 N x 1 x 1 Đ ÌN H x 1 C khi x 1 Ư
Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y f x x 1 liên tục tại – k 1 khi x 1 0834 3321 x 1. 1 1 33 A. k . B. k 2. C. k . D. k 0. 2 2 Lời giải Chọn C
Hàm số f x có TXĐ: D 0;. Điều kiện bài toán tương đương với x 1 1 1 1
Ta có: k 1 y 1 lim y lim lim k . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 3 x khi x 3
Câu 4: Biết rằng hàm số f x x 1 2
liên tục tại x 3 (với m là tham số). m khi x 3
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 96
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com A. m 3 ;0. B. m 3 . C. m 0;5.
D. m 5;. Lời giải Chọn B
Hàm số f x có tập xác định là 1
; . Theo giả thiết ta phải có x
3 x x 1 2 3
m f 3 lim f x lim lim
lim x 1 2 4. x 3 x3 x3 x 3 x 1 2 x 3 3 khi x 1 4 x x
Câu 5: Hàm số f x khi x 1
, x 0 liên tục tại: 2 x x 1 khi x 0
A. mọi điểm trừ x 0, x 1.
B. mọi điểm x .
C. mọi điểm trừ x 1 . D. mọi điểm trừ x 0. Lời giải Chọn B
Hàm số y f x có TXĐ: D . GV: T Dễ thấy hàm số
liên tục trên mỗi khoảng và . R
y f x ; 1 , 1 ;0 0; Ầ N Đ (i) Xét tại x 1 , ta có ÌN H C 2 4 Ư x x 1 x x x x 1 2 –
lim f x lim lim
lim x x 1 3 f 1 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 0834 x x x x 1 3321
hàm số y f x liên tục tại x 1 . 33
(ii) Xét tại x 0 , ta có x x 1 2 4 x x x x 1
lim f x lim lim lim 2
x x 1 1 f 0 . 2 x0 x0 x0 x x x x x0 1
hàm số y f x liên tục tại x 0 . 0,5 khi x 1
x x 1
Câu 6: Số điểm gián đoạn của hàm số f x khi x 1 , x 1 là: 2 x 1 1 khi x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 97
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Chọn B
Hàm số y f x có TXĐ D . x x 1
Hàm số f x
liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1 ;1 và 1; . 2 x 1 x x 1 x 1 (i) Xét tại x 1
, ta có lim f x lim lim f 1 Hàm số liên 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 tục tại x 1 . x x 1 x
lim f x lim lim 2 (ii) Xét tại x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 , ta có x x 1 x
lim f x lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số y f x gián đoạn tại x 1. 2 2 m x khi x 2
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f x liên tục
1 m x khi x 2 trên ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải GV: T Chọn A R Ầ N Đ
TXĐ: D . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ; 2 ; 2; . ÌN H C
Khi đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2 Ư – 0834
lim f x f 2 lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 x 2 3321 2 f 2 4m 33 m 1
Ta có lim f x lim 1 m x 21 m * 2 4m 21 m 1 . x2 x2 m f x 2 2 2 2 lim
lim m x 4m x2 x2 x khi x 0; 4
Câu 8: Biết rằng hàm số f x
tục trên 0;6. Khẳng định nào sau đây 1 m khi x 4;6 đúng? A. m 2. B. 2 m 3. C. 3 m 5. D. m 5. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 98
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng 0;4 và 4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
0;6 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 4, x 0, x 6 .
lim f x f 0 x0
Tức là ta cần có lim f x f 6 . * x6
lim f x lim f x f 4 x4 x4
lim f x lim x 0
lim f x lim 1 m 1 m x0 x0 • ; x6 x6 • ;
f 0 0 0
f 6 1 m
lim f x lim x 2 x4 x4
• lim f x lim 1 m 1 m; Khi đó
* trở thành 1 m 2 m 1 2. x4 x4
f 4 1 m 2
x 3x 2 khi x 1
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số
a để hàm số f x x 1 liên tục trên . a khi x 1 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải GV: T Chọn C R Ầ N Đ
Hàm số f x liên tục trên ;1 và 1;
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khi ÌN H
và chỉ khi nó liê tục tại x 1, tức là ta cần có C Ư –
lim f x f
1 lim f x lim f x f 1 . * 0834 x 1 x 1 x 1 3321
x 2 khi x 1
lim f x lim 2 x 1 Ta có f x x 1 x 1 a khi x 1
* không tỏa mãn với mọi 33
lim f x lim x 2 1 2
x khi x 1 x 1 x 1 a .
Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. 2 x 1 khi x 1 Câu 10: Biết rằng
f x x 1
liên tục trên đoạn 0;
1 (với a là tham số). Khẳng định a khi x 1
nào dưới đây về giá trị a là đúng?
A. a là một số nguyên.
B. a là một số vô tỉ. C. a 5. D. a 0. Lời giải Chọn A
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 99
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số xác định và liên tục trên 0;
1 . Khi đó f x liên tục trên 0; 1 khi và chỉ khi
lim f x f 1 . * x 1 f 1 a Ta có 2 * a 4. f x x 1 lim lim lim x 1 x 1 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 khi x 1 Câu 11:
Xét tính liên tục của hàm số f x 2 x 1
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x khi x 1
A. f x không liên tục trên .
B. f x không liên tục trên 0;2.
C. f x gián đoạn tại x 1.
D. f x liên tục trên . Lời giải Chọn D
f 1 2
Ta có lim f x lim 2 x 2
f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 f x x 1 lim lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1
Vậy hàm số f x liên tục trên . GV: T 2
x 5x 6 R khi x 3 Ầ
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f x 4x 3 x
liên tục tại x 3 . N 2 Đ 1 a x khi x 3 ÌN H C A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 4 . Ư 3 3 3 3 – 0834 Lời giải 3321 Chọn A 33
Điều kiện bài toán trở thành: lim f x lim f x f 3 . * x 3 x 3 f 2 3 13a 2 x 2 4x 3 5 6 x x x
Ta có lim f x lim lim 3 x3 x 3 x 3 4x 3 x 1 x
lim f x lim 2 1 a x 3 1 3a . x3 x 3 * 2 2 a a . min 3 3 3 3x 2 2 khi x 2
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của
a để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2. 1 2 a x khi x 2 4 A. a 3. B. a 0. C. a 1. D. a 2. max max max max
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 100
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Ta cần có lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 f 2 7 2 2a 4 3 Ta có f x 3x 2 2 1 lim lim
* a 1 a 1. max x2 x 2 x 2 4
lim f x 1 7 2 2 lim a x 2a x 2 x 2 4 4 1
cos x khi x 0
Câu 14: Xét tính liên tục của hàm số
f x
. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 khi x 0
A. f x liên tục tại x 0.
B. f x liên tục trên ;1 .
C. f x không liên tục trên .
D. f x gián đoạn tại x 1. Lời giải Chọn C
Hàm số xác định với mọi x .
Ta có f x liên tục trên ; 0 và 0; . GV: T
f 01 R Ầ
Mặt khác lim f x lim 1cos x 1cos 0 0
f x gián đoạn tại x 0. N x0 x 0 Đ
lim f x ÌN lim x 1 0 1 1 x0 x 0 H C Ư x x –
Câu 15: Tìm các khoảng liên tục của hàm số f x cos khi 1 2
. Mệnh đề nào sau đây là 0834
x1 khi x 1 3321 sai? 33
A. Hàm số liên tục tại x 1 .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng , 1 ; 1; .
C. Hàm số liên tục tại x 1 .
D. Hàm số liên tục trên khoảng 1 , 1 . Lời giải Chọn A
Ta có f x liên tục trên ; 1 , 1 ; 1 , 1; . f 1 cos 0 Ta có 2
f x gián đoạn tại x 1.
lim f x lim x 1 2 x 1 x 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 101
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com f 1 cos 0 2
Ta có lim f x lim x 1 0
f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 x
lim f x lim cos 0 x 1 x 1 2
Câu 16: Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? y 3 x 1 O 1 2 A. x 0. B. x 1. C. x 2. D. x 3. Lời giải Chọn B
Dễ thấy tại điểm có hoành độ x 1 đồ thị của hàm số bị ' đứt ' nên hàm số không liên tục tại đó.
Cụ thể: lim f x 0
3 lim f x nên f x gián đoạn tại x 1. x 1 x 1 GV: T 2 x
khi x 1, x 0 x R Ầ
Câu 17: Cho hàm số f x 0 khi x 0
. Hàm số f x liên tục tại: N Đ x khi x 1 ÌN H C Ư
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 0 . – 0834
C. mọi điểm trừ x 1 .
D. mọi điểm trừ x 0 và x 1 . 3321 Lời giải 33 Chọn A
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0; 1 và 1; .
f 00 2 Ta có x
lim f x lim lim x 0
f x liên tục tại x 0. x 0 x 0 x 0 x 2 x
lim f x lim lim x 0 x0 x 0 x 0 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 102
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
f 11 2 Ta có x
lim f x lim lim x 1 f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 x 1 x
lim f x lim x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số y f x liên tục trên . 2 x 1
khi x 3, x 1 x 1 Câu 18: Cho hàm số
f x 4 khi x 1
. Hàm số f x liên tục tại:
x1 khi x 3
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 1 .
C. mọi điểm trừ x 3 .
D. mọi điểm trừ x 1 và x 3 . Lời giải Chọn D
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 ,1; 3 và 3; . f 1 4 Ta có 2 f x x 1 gián đoạn tại x 1. GV: T lim f x lim lim x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 R Ầ f 3 2 N Đ Ta có 2 f x x 1 gián đoạn tại x 3. ÌN
lim f x lim lim x 1 4 x3 x 3 x 3 x 1 H C Ư 2
x khi x 0 – 0834
Câu 19: Số điểm gián đoạn của hàm số hx 2
x 1 khi 0 x 2 là:
3x 1 khi x 2 3321 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 33 Lời giải Chọn A
Hàm số y hx có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y hx liên tục trên mỗi khoảng ;
0,0;2 và 2; . h 0 1 Ta có
f x không liên tục tại x 0 .
lim h x lim 2x 0 x 0 x 0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 103
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com h2 5
Ta có lim h x lim x
f x liên tục tại x 2 . 2 1 5 x2 x2
lim h x lim 3x 1 5 x2 x2 2
x x khi x 1 Câu 20: Tính tổng
S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f x 2
khi x 1 liên tục tại x 1 2 m
x 1 khi x 1 . A. S 1. B. S 0. C. S 1. D. S 2. Lời giải Chọn B
Hàm số xác định với mọi x .
Điều kiện bài toán trở thành lim f x lim f x f 1 . * x 1 x 1 f 1 2
Ta có lim f x lim m x m m 2 2 1 1 * 2 1 2 x 1 x 1
lim f x lim x x 2 2 x 1 x 1 GV: T m 1 S 0. R Ầ N
x cos x khi x 0 Đ ÌN 2 x H
Câu 21: Cho hàm số f x
khi 0 x 1. Hàm số f x liên tục tại: C 1 x Ư 3 x khi x 1 – 0834
A. mọi điểm thuộc x .
B. mọi điểm trừ x 0. 3321
C. mọi điểm trừ x 1.
D. mọi điểm trừ x 0; x 1. 33 Lời giải Chọn C
Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0; 1 và 1; . f 0 0
Ta có lim f x lim x cos x 0
f x liên tục tại x 0 . x0 x0 2 x
lim f x lim 0 x0 x0 1 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 104
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com f 1 1 2 x 1
Ta có lim f x lim
f x không liên tục tại x 1 . x 1 x 1 1 x 2
lim f x 3 lim x 1 x 1 x 1
Câu 22: Cho hàm số f x 3 4
x 4x 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho liên tục trên .
B. Phương trình f x 0 không có nghiệm trên khoảng ;1 .
C. Phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng 2 ;0. 1 D. Phương trình
f x 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3; . 2 Lời giải Chọn B
(i) Hàm f x là hàm đa thức nên liên tục trên A đúng. f 1 1 0 (ii) Ta có
f x có nghiệm , mà x trên 2 ;1 1 f 0 2 23 0 2 ; 1 2 ; 0 ; 1 B sai và C đúng GV: T
f 0 1 0 R Ầ (iii) Ta có
f x 0 1 1 có nghiệm
Kết hợp với (1) suy ra x thuộc 1 0; . 2 N f 0 2 Đ 2 2 ÌN H 1 C
f x 0 có các nghiệm x , x thỏa: 3 x 1 0 x D đúng. 1 2 1 2 Ư 2 – 0834
Câu 23: Cho phương trình 4 2
2x 5x x 1 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3321
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 1 ;1 . 33
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 2 ;0.
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2 ;1 .
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2. Lời giải Chọn D
Hàm số f x 4 2
2x 5x x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Ta có f 0 1 (i) f
1 . f 0 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 1 ; 0 . 1 f 1 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 105
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com f 0 1 (ii)
f 0. f 1 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 0; 1 . 2 f 1 1 f 1 1 (iii) f
1 . f 2 0
f x 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc 1; 2. 3 f 2 15
Vậy phương trình f x 0 đã cho có các nghiệm x , x , x thỏa 1 2 3
1 x 0 x 1 x 2 1 2 3 Câu 24: Cho hàm số 3
f (x ) x 3x 1 . Số nghiệm của phương trình f x 0 trên là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D
Hàm số f x 3
x 3x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Do đó
hàm số liên tục trên mỗi khoảng 2 ; 1 , 1 ;0, 0;2. Ta có f 2 3 f 2 f 1 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 2 ; 1 . f 1 1 GV: T f 1 1 R f
1 f 0 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1 ;0. Ầ f 01 N Đ ÌN f 21 H
f 2 f 0 0
1 có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2. C f 0 1 Ư – 0834
Như vậy phương trình
1 có ít nhất ba thuộc khoảng 2;2 . Tuy nhiên phương trình 3321
f x 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f x 0 có 33 đúng nghiệm trên .
Câu 25: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1
;4 sao cho f
1 2 , f 4 7 . Có thể nói gì về
số nghiệm của phương trình f x 5 trên đoạn [1;4] : A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm. Lời giải Chọn B
Ta có f x 5 f x5 0 . Đặt gx f x5. Khi đó
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 106
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com g 1 f 1 5 2 5 3 g 1 g 4 0.
g4 f 45 75 2
Vậy phương trình gx 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 hay phương trình
f x 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 .
Câu 26: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 1
0;10 để phương trình 3 2
x 3x 2m 2x m 3 0 có ba nghiệm phân biệt x , x , x thỏa mãn x 1 x x ? 1 2 3 1 2 3 A. 19. B. 18. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f x 3 2
x 3x 2m2x m3 liên tục trên .
● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x sao cho x 1 x x . Khi đó 1 2 3 1 2 3
f x x x x x x x . 1 2 3 Ta có f 1 1 x 1 x 1
x 0 (do x 1 x x ). 1 2 3 1 2 3 Mà f 1 m 5 nên suy ra m
5 0 m 5.
● Thử lại: Với m 5 , ta có GV: T
▪ lim f x nên tồn tại a 1 sao cho f a 0 . 1 x R Ầ N Đ
▪ Do m 5 nên f 1 m 5 0 . 2 ÌN H C
▪ f 0 m 3 0 . 3 Ư – 0834
▪ lim f x nên tồn tại b 0 sao cho f b 0 . 4 x 3321 Từ
1 và 2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 1 ; Từ 2 và 3 , suy 33
ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1 ;0 ; Từ
3 và 4 , suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng 0; .
Vậy khi m 5 thỏa mãn m
m 9;8;7;6 m . 10;10
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 107
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 108
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3
PHẦN 1: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Câu 1: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x a;b . Điều kiện cần và đủ để 0
hàm số y f x liên tục tại x là: 0
A. lim f x f x .
B. lim f x f x . 0 0 x 0 x x 0 x
C. lim f x lim f x .
D. lim f x lim f x f x . 0 x x 0 x 0 x x 0 x x 0 x Lời giải Chọn D
Câu 2: Tính các giới hạn sau: 2 2n 6n 1 2 4n 3n 1 2 4n n 3 a) lim b) lim ; c) lim 2 8n 5 3 2
3n 5n 2 8n 5 4 n 1 2 2 n n2 4.5 2 3 d) lim 4 n e) lim g) lim . 3n n 6.5 6n Lời giải 2 6 1 6 1 n 2 2 2 2 GV: T 2n 6n 1 n n 2 1 a) lim lim lim n n 2 8n 5 5 5 2 8 4 R n 8 8 2 Ầ n n N Đ ÌN 4 3 1 3 4 3 1 n H 2 2 3 2 3 4n 3n 1 C n n n b) lim lim lim n n n 0. Ư 3 2 3n 6n 2 6 2 6 2 3 – n 3 3 3 3 0834 n n n n 3321 1 3 2 n 4 2 4n n 3 n n 2 1 33 c) lim lim . 8n 5 5 8 4 n 8 n n n 1 2 2 d) lim 4 lim 4 2 4 . n 3 3 n 2 4 2 n n2 n n 4.5 2 4.5 2.2 5 2 e) lim lim lim . n n 6.5 6.5 6 3 4 2 n 3 4 1 g) lim n lim 2 lim 2 0 0 . n 3 6 n 6
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 109
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 2x 5x 2 x 2 a) lim 2
4x 5x 6 ; b) lim ; c) lim . 2 x3 x2 x 2 x4 x 16 Lời giải a) lim 2
4x 5x 6 2
4(3) 5 3 6 3 . x3 2 2x 5x 2
x 22x 1 b) lim lim li m 2x 1 3 . x2 x2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 1 c) lim lim lim lim 2 x4 x4 x 16
x 4 x 4 x4 x 2 x 2x 4 x4 x 2x 4 32
Câu 4: Tính các giới hạn sau: 6x 8 6x 8 2 9x x 1 a) lim b) lim ; c) lim x 5x 2 x 5x 2 x 3x 2 2 9x x 1 2 3x 4 2 3x 4 d) lim ; e) lim g) lim . x 3x 2 x 2 2x 4 x2 2x 4 Lời giải 8 x 6 6x 8 x 6 a) lim lim x 5x 2 x 2 5 x 5 GV: T x 8 R 8 Ầ x 6 6 N 6x 8 x 6 x Đ b) lim lim lim . ÌN x 5x 2 x 2 x 2 5 x 5 5 H C x x Ư – 1 1 0834 2 x 9 2 9x x 1 x x 3 c) lim lim 1 . 3321 x 3x 2 x 2 3 x 3 33 x 1 1 2 x 9 2 9x x 1 x x 3 d) lim lim 1. x 3x 2 x 2 3 x 3 x 2 3x 4 e) lim x 2 2x 4 2 3x 4 g) lim . x 2 2x 4 2x a n ếu x 2 Câu 5:
Cho hàm số f x 4 nếu x 2 3
x b nếu x 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 110
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
a) Với a 0,b 1 , xét tính liên tục của hàm số tại x 2 .
b) Với giá trị nào của a,b thì hàm số liên tục tại x 2 ?
c) Với giá trị nào của a,b thì hàm số liên tục trên tập xác định? Lời giải 2x a khi x 2
a) Với a 0,b 1 , hàm số f x 4 khi x 2 .
3x b khi x 2
Với x 2 thì f x 2x là hàm liên tục.
Với x 2 thì f x 3x 1 là hàm liên tục. Tại x = 2 ta có:
lim f x lim2x 4, x2 x2
lim f x lim 3 x 1 5. x2 x2
Suy ra lim f x lim f x . Do đó không tồn tại lim f x . x 2 x2 x2
Vậy hàm số tiên tục trên ; 2 và 2; . b) Ta có: GV: T
lim f x lim2x a 4 a, x2 x2 R
lim f x lim 3
x b 6 b Ầ x2 x2 N Đ ÌN
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì: H C Ư 4 a 4 a 0
lim f x lim f x f 2 – x2 x2 6 b 4 b 10 0834 3321
Vậy với a 0 và b 10 thì hàm số liên tục tại x 2 . 33
c) Tập xác định của hàm số là: .
Để hàm số liên tục trên thì hàm số liên tục tại x 2 . Vì vậy với a 0 và b 10 thỏa mãn điều kiện.
Câu 6: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su
chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
1 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi S là tổng độ dài quãng đường di chuyển 10 n
của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 111
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Gọi u là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất. n 2 n 1 1 1 1 Ta có:
u 55,8, u u ;u u ;;u u . 1 2 1 3 1 n 1 10 10 10
Khi đó dãy u lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u 55,8 và công n 1 1 bội q thỏa mãn q 1 . 10 55,8
Suy ra S u u u 62 m . n 1 2 n 1 1 10
Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến
khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m. GV: T
Câu 7: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Tam giác A B C có các đỉnh là trung điểm các 1 1 1 R Ầ
cạnh của tam giác ABC , tam giác A B C có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam N 2 2 2 Đ ÌN
giác A B C ,, tam giác A B C
có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác 1 1 1 n 1 n 1 n 1 H C Ư
A B C , Gọi p , p , ,
p , và S , S , ,
S , theo thứ tự là chu vi và diện tích của n n n 1 2 n 1 2 n – 0834
các tam giác A B C , A B C , , A B C ,. 1 1 1 2 2 2 n n n 3321 33
a) Tìm giới hạn của các dãy số p và S . n n
b) Tìm các tổng p p p và S S S 1 2 n 1 2 n Lời giải a)
) p là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A B C , n 1 1 1 Ta có: p p
a a a 3a ; 1 A BC
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 112
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com a a a 1 1 p p 3a p 2 ΔA B C 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a a a 1 1 p p 3a p ; ; 3 ΔA B C 2 2 2 1 4 4 4 2 2 n 1 1 p p ; ΔA B C 1 n n n 2 Suy ra: n 1 n 1 1 1 lim p lim a a a . n 3 lim l im 3 0.3 0 n n 2 n 2 n
S là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A B C , n 1 1 1 a 3
Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h . 2 Ta có: 1 S S ; ah 1 A BC 2 ; 1 a h 1 1 1 S S ah S 2 ΔA B C 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4 n 1 1 GV: T S S S S ; ; 3 Δ 2 A 2 B 2 C ΔA B C 1 n n n 2 R n 1 Ầ N 1 Đ S S ; ΔA B C 1 n n n ÌN 2 H C Suy ra Ư – n 1 n 1 0834 1 1 1 1 limS lim S lim lim ah 0 ah 0. n 1 n n 4 n 4 n 2 2 3321 33 b)
+) Ta có p ) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p 3a và công bội n 1 1 q
thỏa mãn q 1 có tổng: 2 3a
P p p p 6a n 1 2 n 1 1 2 1
+) Ta cũng có S là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S ah và công n 1 2 1 bội q
thỏa mãn q 1 có tổng: 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 113
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 ah 2 2
S S S S ah n 1 2 n 1 3 1 4
Câu 8: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f . Gọi d và d lần lượt là khoảng cách từ một vật
thật AB và từ ảnh AB ' của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức 1 1 1 thấu kính là . d d f
a) Tìm biểu thức xác định hàm số d d .
b) Tìm lim d , lim d và lim d . Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được. d f d f d f Lời giải 1 1 1 1 d f df a) Ta có: d . d f d d df d f GV: T b) Ta có: R Ầ N df df Đ
lim d lim
; lim d lim ; ÌN d f d f d f d f d f d f H C df Ư lim d lim d f d f – d f 0834
Giải thích ý nghĩa: Khi khoảng cách của vật tới thấu kính mà gần với tiêu cự thì 3321
khoảng cách ảnh của vật đến thấu kính ra xa vô tận nên lúc đó bằng mắt thường 33 mình không nhìn thấy.
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG V PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM n n 1 3 4.2 3
Câu 1: Kết quả của lim bằng: 3.2n 4n A. . B. . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 114
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n n n 3 1 1 n n 1 n n 2. 3. 3 4.2 3 3 2.2 3 4 2 4 lim lim lim 0 3.2n 4n 3.2n 4n n 1 3. 1 2
Câu 2: Giá trị đúng của 2 2 lim
n 1 3n 2 là: A. . B. . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B lim 1 2 2 2
n 1 3n 2 lim n 1 3 . 2 2 n n 1 2
Vì lim n ; lim 1 3 1 3 0 . 2 2 n n
Câu 3: Giá trị đúng của lim 3n 5n là: A. . B. . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B GV: T n R n n n Ầ 3 lim 3 5 lim 5 1 . N 5 Đ ÌN H n C n 3 Ư Vì lim5 ; lim 1 1 . – 5 0834 3321
Câu 4: Tính giới hạn n 1 n n 1 lim 16 4 16 3n T 33 1 1 1 A. T 0 B. T C. T D. T 4 8 16 Lời giải Chọn C 4n 3n Ta có T n 1 n n 1 lim 16 4 16 3 lim n 1 n n 1 16 4 16 3n n 3 1 4n 3n 4 1 1 lim lim .
16.16n 4n 16.16n 3n n n 1 3 4 4 8 16 16 4 4 3u 1
Câu 5: Cho dãy số u có lim u 2 . Tính giới hạn lim n . n n 2u 5 n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 115
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 3 5 A. B. C. D. 5 2 9 Lời giải Chọn C 3u 1 3.2 1 5
Từ lim u 2 ta có lim n . n 2u 5 2.2 5 9 n 3 2 2n n 4 1 Câu 6: Biết lim
với a là tham số. Khi đó 2 a a bằng 3 an 2 2 A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn A 1 4 3 3 2 n 2 3 Ta có 2n n 4 n n 2 1 lim lim . 3 an 2 2 3 a 2
n a 3 n
Suy ra a 4 . Khi đó 2 2
a a 4 4 12 . 1 1 1 Câu 7: Tìm L lim ... 1 1 2
1 2 ... n 5 3 A. L . B. L . C. L 2 . D. L . GV: T 2 2 Lời giải R Ầ N Đ Chọn C ÌN H C
Ta có 1 2 3 ... k là tổng của cấp số cộng có u 1, d 1 nên Ư 1 – 0834 1 k k
1 2 3 ... k 2 3321 2 2 33 1 2 , * k . 1 2 ... k k k 1 k k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L lim ... lim 2 . 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 Câu 8: Tính I n 2 2 lim n 2 n 1 . 3 A. I B. I C. I 1, 499 D. I 0 2 Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 116
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3n 3 3 Ta có: I n 2 2 lim n 2 n 1 lim lim 2 2
n 2 n 1 2 1 2 1 1 2 2 n n
Câu 9: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại? 3n 1 2n 1 4n 1 n 1 A. lim B. lim C. lim D. lim 3n 1 2n 1 3n 1 n 1 Lời giải Chọn C Ta có 1 1 3 2 3n 1 3 1 2n 1 2 1 lim lim
n 1 vì lim 0 ; lim lim
n 1 vì lim 0 3n 1 1 3 n 2n 1 1 2 n 3 2 n n 1 1 4 1 4n 1 4 1 n 1 1 lim lim
n vì lim 0 ; lim lim n 1 vì lim 0 . 3n 1 1 3 n n 1 1 n 3 1 n n Câu 10: Tính n 2 3 3 lim
4n 3 8n n . GV: T 2 A. . B. 1. C. . D. . R 3 Ầ N Lời giải Đ ÌN H C Chọn D Ư – 2 3 3 0834 Ta có: n 2 3 3 lim
4n 3 8n n lim n 4n 3 2n 2n 8n n 3321 2 3 3 33 lim n .
4n 3 2n n 2n 8n n 3n 3 3 Ta có: n 2 lim
4n 3 2n lim lim . 2
4n 3 2n 3 4 4 2 2 n 2 n Ta có: n 3 3 lim
2n 8n n lim 2 3
4n 2n 8n n 3 3 8n n2 3 1 1 lim . 2 12 1 1 3 3 4 2 8 8 2 2 n n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 117
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 1 2 Vậy lim n 2 3 3
4n 3 8n n . 4 12 3 x 2
Câu 11: Giới hạn lim bằng 2 x2 x 4 1 A. 2 . B. 4 . C. . D. 0 . 4 Lời giải Chọn C x 2 x 2 1 1 lim lim lim . 2 x2 x2 x 4
x 2 x 2 x2 x 2 4 x 3
Câu 12: Tính giới hạn L lim x3 x 3 A. L B. L 0 C. L D. L 1 Lời giải Chọn B x 3 3 3 Ta có L lim 0 . x3 x 3 3 3 4x 1 Câu 13: lim bằng x GV: T x 1 A. 2 B. 4 C. 1 D. 4 R Ầ N Lời giải Đ ÌN Chọn D H C 1 Ư 4 – 4x 1 x lim lim 0834 4 .
x x 1 x 1 1 3321 x 3x 2 33 Câu 14: lim bằng x 2x 4 1 3 3 A. . B. . C. 1. D. . 2 4 2 Lời giải Chọn D 2 3 3x 2 3 Ta có: lim lim x .
x 2x 4 x 4 2 2 x
Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 5 x 0 x x 0 x x0 x x 0 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 118
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim
do lim x 0 và x 0 . Vậy đáp án A đúng. x 0 x x 0 Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A . 2x 1
Câu 16: Tính giới hạn lim . x x 1 1 A. . B. 1. C. 2 . D. 1 . 2 Lời giải Chọn C 1 2 2x 1 lim lim x 2. x x 1 x 1 1 x x
Câu 17: Xác định lim . 2 x0 x A. 0 . B. . C. Không tồn tại. D. . GV: T Lời giải R Ầ N Chọn C Đ ÌN H x x 1 C Ta có lim lim lim . 2 2 Ư x0 x0 x0 x x x – 0834 x x 1 lim lim lim . 3321 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x 33 x Vậy không tồn tại lim . 2 x0 x 2
a 2x 3 2017 1
Câu 18: Cho số thực a thỏa mãn lim
. Khi đó giá trị của a là x 2x 2018 2 2 2 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 3 2017 a 2 2
a 2x 3 2017 1 2 x x 1 a 2 1 2 Ta có: lim lim a . x 2x 2018 2 x 2018 2 2 2 2 2 x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 119
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 19: Cho các giới hạn: lim f x 2 ; lim g x 3 , hỏi lim 3 f x 4g x bằng x 0 x x 0 x x 0 x A. 5 . B. 2 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Ta có lim 3 f x 4g x
lim 3 f x lim 4g x 3 lim f x 4 lim g x 6 . x xx xx xx xx 0 x 0 0 0 0
Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 4 x x 4 x x 4 x x 4 x x A. lim . B. lim 1. C. lim . D. lim 0 . x 1 2x x 1 2x x 1 2x x 1 2x Lời giải Chọn A 1 1 2 2 4 . x x x x x Vì x x lim lim lim . Vậy A đúng. x 1 2 x x 1 x 1 x 2x 2x x x x 1
Câu 21: Giới hạn lim bằng
x x 22 2 GV: T 3 A. . B. . C. 0 . D. . 16 R Ầ N Lời giải Đ ÌN Chọn A H C x 1 1 Ư Ta có: lim lim . x 1 . 2 2 – x 2 x2 x 2 x 2 0834 1 3321 Do lim
và lim x 1 1 0 .
x x 22 2 x 2 33 2 3x 1 1 2 x x 2
Câu 22: Cho I lim và J lim
. Tính I J . x0 x x 1 x 1 A. 6. B. 3. C. 6 . D. 0. Lời giải Chọn A Ta có 2 3x 1 1 6x 6 I lim lim lim 3 . x0 x0 x
x 3x 1 x0 1 3x 1 1 2 x x 2 x 1 x 2 J lim lim
lim x 2 3 . x 1 x1 x 1 x 1 x 1
Khi đó I J 6 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 120
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 4x 3
Câu 23: Tìm giới hạn lim x 1 x 1 A. . B. 2 . C. . D. 2 . Lời giải Chọn A 4x 3 Ta có lim
vì lim 4x 3 1 , lim x
1 0 , x 1 0 khi x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 cos x
Câu 24: Tìm giới hạn L lim . x 2 x 2 A. L 1 B. L 1 C. L 0 D. L 2 Lời giải Chọn B
Đặt: t x . 2 cos t 2 sin t Khi x
thì t 0 . Vậy L lim lim 1. GV: T 2 t0 t0 t t R 2 Ầ
Câu 25: Tìm giới hạn I lim . x 1 x x 2 x N Đ ÌN A. I 1 2 . B. I 46 31 . C. I 17 11. D. I 3 2 . H C Ư Lời giải – 0834 Chọn D 2 2 3321 x x x 2 Ta có: I I lim 1 2 lim x 1 x x 2 x x 2
x x x 2 33 2 1 x 2 3 I lim x
1 I lim 1 I . x 2
x x x 2 x 1 2 2 1 1 2 x x 3
x 1 x 5
Câu 26: Giới hạn lim bằng x3 x 3 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 121
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 3
x 1 x 5
x 12 x 5 2 Ta có: lim lim x3 x 3 x3 x 3 x 1 4 x 5 8 lim lim x
x 3 x 1 2 2 3
x3 x 3 3 x 5 3 2. x 5 4 1 1 1 1 1 lim lim . x 1 2 x x x 52 3 3 3 3 2. x 5 4 4 12 6 4 2020 x a Câu 27: Tính lim . 505 505 xa x a A. 2010 2a . B. 1515 4a . C. . D. 505 4a . Lời giải Chọn B 4 2020 505 505 2 1010 x a
x a x a x a lim lim 505 505 505 xa x a 505 xa x a 505 2 1010 2 lim x a x a 505 505 a a 505 a 1010 a 1515 4a . 505 xa 2 2x 3x 2 Câu 28: lim bằng 2 x2 x 4 GV: T 5 5 1 A. . B. . C. . D. 2 . R Ầ 4 4 4 N Đ Lời giải ÌN H C Chọn A Ư – 0834 2 2x 3x 2 2x 1 x 2 2x 1 5 Ta có lim lim lim . 2 x2 x 2 x 2 3321 x 4
x 2 x 2 x 2 4 33 2 x 3x 4 Câu 29: lim bằng. 2 x4 x 4x 5 5 A. 1. B. 1 . C. . D. . 4 4 Lời giải Chọn C 2 x 3x 4 x 1 5 Ta có: lim lim . 2 x4 x 4x x 4 x 4 2x 3 Câu 30: Tính lim . x 2 2x 3 1 1 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 122
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D 3 3 x 2 3 x 2 2 2x 3 x x 2 Ta có: lim lim lim lim x 2 x 2 2x 3 x 3 x 3 x 3 2 . x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 x
Câu 31: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai 3 A. lim
x x x . B. . 2 lim x x 1 x 2 x x 2 1 2 2 3x 2 3x 2 C. lim . D. lim . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Chọn C 2 2
x x 1 x 4x 4
+ Với đáp án A ta có: lim
x x x x 2 1 2 lim x 2
x x 1 x 2 3 x 3 3x 3 x 3 lim lim A đúng. x 2
x x 1 x 2 x 1 1 2 2 GV: T x 1 1 2 x x x R Ầ N 2 2
x x 1 x 4x 4 Đ + Với đáp án B ta có: 2 lim
x x 1 x 2 lim ÌN x x 2
x x 1 x 2 H C Ư – 3 0834 x 3 3x 3 x 3 lim lim lim B đúng. 3321 x 2
x x 1 x 2 x 1 1 2 x 0 x 1 1 2 33 x x x
+ Với đáp án C ta có lim x
1 0 , x 1 0 với mọi x 1và lim 3x 2 1 0 . x 1 x 1 3x 2 Vậy lim C sai. x 1 x 1
+ Với đáp án D ta có lim x
1 0 , x 1 0 với mọi x 1 và lim 3x 2 1 0 . x 1 x 1 3x 2 Vậy lim D đúng. x 1 x 1 4x 1 1
Câu 32: Tính giới hạn K lim . 2 x0 x 3x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 123
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 2 4 A. K . B. K . C. K . D. K 0 . 3 3 3 Lời giải Chọn A 4x 1 1 4x 4 2 Ta có K lim lim lim . 2 x0 x 3x
x0 x x 3 4x 1 1
x0 x 3 4x 1 1 3 2
ax bx khi x 1
Câu 33: Cho hàm số f (x)
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x 1 thì 2a b
2x 1 khi x 1 bằng: A. 2 . B. 5 . C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn A
f x f 1 2x 11 lim lim 2 ; x 1 x 1 x 1 x 1 2
f x f 1 2
ax bx a b a x
1 b x 1 x
1 a x 1 b lim lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 GV: T
lim a x 1 b
2a b x 1 R Ầ
f x f 1
f x f 1 N
Theo yêu cầu bài toán: lim lim
2a b 2 . Đ x 1 x 1 x 1 x 1 ÌN H C x 1 Ư Câu 34: lim bằng –
x 6x 2 0834 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 3321 2 6 3 33 Lời giải Chọn B 1 1 x 1 1 Ta có lim lim x .
x 6x 2 x 2 6 6 x Câu 35: Tính 2 lim x 4x 2 x x A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 124
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 4
x 4x 2 x 4 x 2 lim lim lim x 2 lim x 4x 2 x x
x 2x 4x2x x 2x 4x2x x 4 2 1 1 2 x x 2 . 2 x 4x 4 Câu 36: Tìm lim . x2 x 2 A. Không tồn tại. B. 1 . C. 1 . D. 1. Lời giải Chọn A 2 x 4x 4 x 22 x 2 lim lim lim . x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 Xét: x 2 x 2 lim lim 1. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim lim 1 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 GV: T Ta có: lim lim nên không tồn tại lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 2 R Ầ N x 1 Đ Câu 37: Tính lim . 2018 ÌN x x 1 H C A. 1 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Ư – Lời giải 0834 3321 Chọn D 33 1 1 2 x 1 1 lim lim . x x 0 . 2018 2017 x x 1 x x 1 1 2017 x
Câu 38: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f x liên tục trên đoạn ;
a b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm.
II. f x không liên tục trên ;
a b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Lời giải Chọn A
Câu 39: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 125
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 1
I . f x
liên tục với mọi x 1. x 1
II . f x sin x liên tục trên . x
III . f x
liên tục tại x 1. x
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . Lời giải Chọn D
Ta có II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
x , khi x 0 x Ta có x
III đúng vì f x . x x , khi x 0 x
Khi đó lim f x lim f x f 1 1. x 1 x 1 x
Vậy hàm số y f x
liên tục tại x 1. x x 2 khi x 4 Câu 40: Cho hàm số x 4 f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? 1 GV: T khi x 4 4 R
A. Hàm số liên tục tại x 4 . Ầ N Đ
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4 . ÌN H
C. Hàm số không liên tục tại x 4 . C Ư D. Tất cả đều sai. – 0834 Lời giải 3321 Chọn A 33 x 2 1 1
Ta có : lim f (x) lim lim f (4) x4 x4 x4 x 4 x 2 4
Hàm số liên tục tại điểm x 4 . 2
x 3x 2 2 khi x 1
Câu 41: Cho hàm số f (x) x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? 2
3x x 1 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại x 1 .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.
C. Hàm số không liên tục tại x 1 . D. Tất cả đều sai. Lời giải Chọn C
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 126
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
(x 1)(x 2)
lim f (x) lim 2 2 x 1 x 1 x 1
lim f (x) lim 2 3x x 1 3 lim f (x) x 1 x 1 x 1
Hàm số không liên tục tại x 1 .
2 x m khi x 0
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x liên mx 2 khi x 0 tục trên . A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 0 . Lời giải Chọn C
Trên khoảng 0; hàm số f x 2 x m là hàm số liên tục. Trên khoảng ;
0 hàm số f x mx 2 là hàm số liên tục.
Ta có lim f x lim
x m m f
và lim f x lim mx 2 2 . 2 0 x0 x0 x 0 x 0
Hàm số f x liên tục trên khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 0 m 2 m 2 . x 0 x 0 2
2x 7x 6 khi x 2 x 2 GV: T
Câu 43: Cho hàm số y f x
. Biết a là giá trị để hàm số f x liên 1 x a khi x 2 R 2 x Ầ N Đ 7 ÌN
tục tại x 2 , tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x ax 0 . 0 4 H C Ư A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . – 0834 Lời giải 3321 Chọn D 33
Tại x 2 , ta có: 0 1
f 2 a 4 1 x 1
lim f x lim a a . x 2 x 2 2 x 4 2 2x 7x 6
x 22x 3
lim f x lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x 22x 3 lim
lim 2x 3 1 . x 2 x 2 x 2
Để hàm số liên tục tại x 2 thì f 2 lim f x lim f x 0 x 2 x 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 127
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 3 a 1 a . 4 4 3 3 7 7
Với a , xét bất phương trình 2 x x 0 x 1 4 4 4 4
Mà x nên x 1 ; 0 .
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.
Câu 44: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng ;
a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn ; a b là?
A. lim f x f a và lim f x f b .
B. lim f x f a và lim f x f b . x a x b x a x b
C. lim f x f a và lim f x f b .
D. lim f x f a và lim f x f b . x a x b x a x b Lời giải Chọn A
Hàm số f xác định trên đoạn ;
a b được gọi là liên tục trên đoạn ;
a b nếu nó liên tục trên khoảng ;
a b, đồng thời lim f x f a và lim f x f b . x a x b
1 x 1 x khi x 0
Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số x f x liên tục tại GV: T 1 x m khi x 0 1 x R Ầ N x 0 . Đ ÌN A. m 1. B. m 2 . C. m 1. D. m 0 . H C Ư Lời giải – 0834 Chọn B 3321 Ta có 33 1 x
lim f x lim m m 1 . x 0 x 0 1 x
1 x 1 x 2 x 2
lim f x lim lim lim 1 . x 0 x 0 x x0
x 1 x 1 x x0 1 x 1 x
f 0 m 1
Để hàm liên tục tại x 0 thì lim f x lim f x f 0 m 1 1 m 2 . x 0 x 0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 128
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2 x
khi x 1, x 0 x
Câu 46: Cho hàm số f x 0 khi x 0 . Khẳng định nào đúng x khi x 1
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0 ;1 .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc .
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1 . Lời giải Chọn C
Tập xác định D .
Nếu x 0 , x 1 thì hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0, 0;1 và 1; . 2 2 x x
Nếu x 0 thì f 0 0 và lim f x lim
lim x 0; lim f x lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x . GV: T
Suy ra: lim f x 0 f 0 . x0 R Ầ N Đ
Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 0 . ÌN H C 2 x Ư lim f x lim lim x 1 – x 1 x 1 x 1 x
Nếu x 1 thì f 1 1 và
lim f x 1 f 1 . 0834 x 1
lim f x lim x 1 x 1 x 1 3321 33
Do đó, hàm số y f x liên tục tại x 1 .
Vậy hàm số y f x liên tục trên . 1 cos x khi x 0
Câu 47: Cho hàm số f x 2 x . 1 khi x 0
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f x có đạo hàm tại x 0 . B. f 2 0.
C. f x liên tục tại x 0 .
D. f x gián đoạn tại x 0 . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 129
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Hàm số xác định trên x 2 2sin 1 cos x 1
Ta có f 0 1 và f x 2 lim lim lim 2 2 x0 x0 x0 x x 2 4. 2
Vì f 0 lim f x nên f x gián đoạn tại x 0 . Do đó f x không có đạo hàm tại x0 x 0 . 1 cos x x
0 f x
0 nên f 2 0.VậyA, B,C sai. 2 x 2
x x 2 khi x 1
Câu 48: Cho hàm số f x x 1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 3 m khi x 1
hàm số gián đoạn tại x 1. A. m 2. B. m 1. C. m 2. D. m 3. Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm số là . 2 GV: T x x 2
Hàm số gián đoạn tại x 1 khi lim f x f 1 lim 3m x 1 x 1 x 1 R Ầ N x 1 x 2 Đ lim
3m lim x 2 3m 3 3m m 1. ÌN x 1 x 1 x 1 H 2 C
x x 12 Ư khi x 4 Câu 49: liên tục tại điểm –
Tìm tham số thực m để hàm số y f x x 4 0834
mx 1 khi x 4 3321 x 4 . 0 33 A. m 4 . B. m 3 . C. m 2 . D. m 5 . Lời giải Chọn C
Tập xác định: D . Ta có: 2 x x 12
x 3 x 4
+ lim f x lim lim
lim x 3 7 . x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 + f 4 4 m 1.
Hàm số f x liên tục tại điểm x 4
khi và chỉ khi lim f x f 4
4m 1 7 0 x 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 130
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com m 2 . 2
x ax b x 1
Câu 50: Cho a,b là hai số thực sao cho hàm số f x x 1
liên tục trên . Tính
2ax 1, x 1 a b . A. 0 B. 1 C. 5 D. 7 Lời giải Chọn D Ta có f 1 2a 1. 2
x ax b
Để hàm số liên tục trên thì phải tồn tại lim
và lim f x f 1 . x 1 x 1 x 1 2
x ax b Để tồn tại lim thì 2
x ax b x 1 1 a b 0 b a 1 . x 1 x 1 2
x ax b x
1 x a 1 Suy ra lim lim
lim x a 1 a 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Do đó để hàm số liên tục trên thì t . 2 GV: T 2 x 1 neáu x 1 R
Câu 51: Giá trị của m sao cho hàm số f x x 1
liên tục tại điểm x 1 là Ầ N 3
x m neáu x 1 Đ ÌN H A. 5 . B. 1. C. 1 . D. 5 . C Ư Lời giải – 0834 Chọn B 3321 2 x 1 33 Ta có f
1 3 m và lim f x lim lim x 1 2 . x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số f x liên tục tại điểm x 1 lim f x f
1 3 m 2 m 1 . x 1 2
x 3x 4 khi x 1
Câu 52: Cho hàm số f x x 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm 2 ax 1 khi x 1 x 1. A. a 3. B. a 2. C. a 2. D. a 1. Lời giải: Chọn C
Tập xác định D .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 131
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Ta có f 1 1 2a 2 x 3x 4
và lim f x lim 2 ax
1 1 2a; lim f x lim
lim x 4 5. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số đã cho liên tục tại x 1 f
1 lim f x lim f x 1 2a 5 a 2 . x 1 x 1
Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên x 1 khi x 1
f x ln x x 1 2 . m e 1 2mx khi x 1 1 A. m 1. B. m 1. C. m . D. m 0 . 2 Lời giải Chọn D
Tập xác định D , f 1 1 m .
Ta thấy hàm số f x liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; . x 1 lim f x lim
1, lim f x lim . x 1 2 . m e 1 2mx 1 m x 1 x 1 ln x x 1 x 1
Hàm số f x liên tục trên khi và chỉ khi hàm số f x liên tục tại x 1 GV: T
lim f x lim f x f 1 . R x 1 x 1 Ầ N Đ
1 m 1 m 0 . ÌN H C 2 Ư
x 4x 3 khi x 1 –
Câu 54: Tìm m để hàm số f (x)
liên tục tại điểm x 1 . x 1 0834 mx 2 khi x 1 3321 A. m 2 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 4 . 33 Lời giải Chọn A 2 x 4x 3 x 1 x 3
Ta có: lim f x lim lim
lim x 3 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim f x lim mx 2 m 2 . x 1 x 1 f 1 m 2 .
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x 1 thì lim f x lim f x f 1 x 1 x 1
2 m 2 m 0 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 132
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
3x a 1, khi x 0
Câu 55: Cho hàm số f x 1 2x 1
. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho , khi x 0 x
liên tục tại điểm x 0 . A. a 1 . B. a 3 . C. a 2 . D. a 4 . Lời giải Chọn C Ta có:
f 0 lim f x lim 3x a 1 a 1 . x 0 x 0 1 2x 1 2x 2
lim f x lim lim lim 1. x 0 x 0 x x 0
x 1 2x 1 x 0 1 2x 1
Hàm số liên tục tại x 0 f 0 lim f x lim f x a 1 1 a 2 . x 0 x 0 2 2 m x khi x 2
Câu 56: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f x liên tục 1 m
x khi x 2 trên ? GV: T A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải R Ầ N Đ Chọn B ÌN H C
Ta có hàm số luôn liên tục x 2 . Ư – 0834
Tại x 2 , ta có lim f x lim 1 m x 1 m2 ; x 2 x 2 3321
lim f x lim ; f 2 2 4m . 2 2 m x 2 4m 33 x2 x2
Hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 2 2
4m 1 m 2
2 4m 2m 2 0 1 x 2 x 2
Phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m . PHẦN 2: TỰ LUẬN
Câu 57: Tính các giới hạn sau 2
3n 4n 1 a) lim . 2 2n 3n 7 3 n 4 b) lim . 3 5n n 8
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 133
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n 1 2n 1 c) lim .
3n 2n 3 Lời giải 4 1 2 3 2 3
n 4n 1 3 a) lim lim n n . 2 2n 3n 7 3 7 2 2 2 n n 1 3 1 3 n 4 1 b) lim lim n . 3 5n n 8 1 8 5 5 2 3 n n 1 1 1 2 n 1 2n 1 n n 1.2 2 c) lim lim .
3n 2n 3 2 3 3.1 3 3 1 n n
Câu 58: Tính các giới hạn sau 2 2
n n 3 n 1 3 3
8n n 2n 1 2 2
n n 1 2n 3 a) lim . b) lim . c) lim . n 1 3n 1 2 3n n 1 Lời giải 2 2
n n 3 n 1 1 1 GV: T 2 2 1 3 1 2
n n 3 n 1 n n n 1 3 1 a) lim lim lim 4. n 1 1 1 R 1 Ầ 1 1 N n n Đ ÌN 1 1 H 3 3 3 8 2 C 2 2
8n n 2n 1 n n 8 2 4 Ư b) lim lim . – 3n 1 1 3 3 0834 3 n 3321 2 2
n n 1 2n 3 1 3 2 2 1 2 2 2 2 33
n n 1 2n 3 n n n 1 2 c) lim lim lim 1. 2 2 3n n 1 3n n 1 1 1 3 3 2 2 n n n
Câu 59: Tính các giới hạn sau n 2n 1 3n 2 2n
1 n 2 n a) lim . b) lim . 3 6n 3 1 n n Lời giải 1 2 2 3 n 2n 1 3n 2 n n 2.3 1 a) lim lim . 6n 3 3 3 1 1 6 36 6 n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 134
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 1 2 1 2 1 2n 1 n 2 2 n n n n n b) lim lim 0. 3 n n 1 1 2 n
Câu 60: Tính các giới hạn sau 2 2
4n n 3n 2
9n n 3n 1 a) lim . b) lim . 2 n 1 2 n 2 Lời giải 4 1 2 2 3 2 3
4n n 3n a) n n lim lim 3. 2 n 1 1 1 2 n 9 1 3 1 2 2 3 2
9n n 3n 1 b) n n n n lim lim 0. 2 n 2 2 1 2 n
Câu 61: Tính các giới hạn sau n 1 2 2n n 2 n 1 2
3n 2n 3 2 n a) lim . b) lim . n 1 2 n 2 3 3n 3 2n 1 Lời giải GV: T 1 1 1 1 R 2 2 1 2 Ầ n 1 2n n 3 n 1 n n n n 1.2 N a) lim lim 1. Đ 2 3
n 1 n 2 3n 1 2 1.1 3 ÌN 1 1 3 2 H n n C Ư – 2 3 1 0834 2 3n 2n 3 2 3 1 2 n n n n b) lim lim 3. 3 3321 2n 1 1 1 3 n 33
Câu 62: Tính các giới hạn sau 1 4n 2n 5.3n 3n 4n a) lim . b) lim . c) lim . 1 4n 3n 1 3n 4n Lời giải 1 n 1 1 4 n 1 a) 4 lim lim 1 1 4n 1 1 1 4n n 2 5 2n 5.3n b) 3 lim lim 5 3n 1 1 1 3n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 135
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com n 3 1 3n 4n c) 4 lim lim 1 3n 4n n 3 1 4
Câu 63: Tính các giới hạn sau a) 3 3 2 lim
n 3n n. b) 3 3 2 lim
n 3 n 2 . Lời giải 3 2 3
n 3n n 3 a) lim 3 3 2
n 3n n lim lim 3 2 n 3n 2 2 2 3 3 2 3 n . n n 3n 3 3 3 3 1 1 1 n n 2 1 3 3 3 Khi n thì: 3 3 3 lim 0 lim 1 1 lim 1 1 1 1 n n n n Do đó, 3 3 2 lim
n 3n n 3 b) 3 3 2
n n
3 3n n 2 lim 3 2 lim 3
lim n n 2 GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33 3 3 2 2 n 3 n n n 2 3 2 lim lim lim lim 2 2 2 2 3 n 2 3 3 n n 2
n n n 3 n 2 3 3 3 3 n n 2 3 . 3 3 n . n n 3 2 Khi n thì: 3 n 2 3 3
n n n 2 3 lim 3 . 3
; lim n n 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 136
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 3 2 lim lim 0. Do đó, 3 3 2 lim
n 3 n 2 0 2 2 3 2 3 3 3 2 3 . 3 n n n n n n
Câu 64: Tính các giới hạn sau 2
n n n a) 2
lim n 1 n n . b) lim . 2
4n 3n 2n Lời giải 1 2 2 1 n 1 n n n 1 1 a) lim 2 1 lim lim lim n n n n 2
n 1 n n
n 1 n n 1 1 1 2 1 1 n n 1 Do đó, lim 2
n 1 n n . 2 3 2 2 2 2 4 2
n n n
n n n
4n 3n 2n 1 n 2 b) lim lim . lim 2 2 2 2
4n 3n 4n 3
4n 3n 2n
n n n 1 3 1 1 n 2
n n n 2 Do đó, lim 2 3
4n 3n 2n GV: T
Câu 65: Tính các giới hạn sau R Ầ 3 2 3 N
2n n n 2 3 Đ a) 2 3 lim
4n n 2n 8n . b) lim . ÌN 2
n n n H C Ư Lời giải – 0834 a) 2 3 2 3 n n n n
2n n n 3 2 3 lim 4 2 8 lim 4 2 lim
2n 8n 2n 3321 2 2 2 3 3 33
4n n 4n
2n 8n 8n lim lim 2 2
4n n 2n 2 3 2n 8n 2 3 2 3
3 4n 2n 2n 8n 2 n 2n lim lim 2
4n n 2n 2n 8n 2 2 3 2 3 1 3 3 4n 2 . n 8n 1 4n 1 1 2 1 1 3 3 1 1 lim 4 2 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 137
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 lim 4 2 2 2 0 n 1 Khi n thì: lim 0 2 1 n 3 3 1 1 lim 2. 1 2 2 1 2 2 2 2 4n 4n 1 1 2 1 1 3 3 1 1 lim 4 2 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n Do đó, 2 3 2 3 lim
4n n 2n 8n 3 2 3 2 3 3 2
2n n n
2n n n
n n n b) lim lim . 2 2 2
n n n
n n n 2 3 2n n 2 2 3 2 3 3
n n 2n n 1 1 n n 1 n 1 1 n n lim lim 2 2 2 2 3 6 2 3 2 2 3 3 n . 1 n . n n 1 3 1 1 1 n n n n GV: T 2 3 2 2 3 lim 1 1 1 1 11 1 R Ầ 1 n n N Khi n thì: lim 0 Đ n ÌN 1 H lim 1 1 1 C n Ư – 0834 1 1 1 3 2 3 3321 n
2n n n lim 1. Do đó, lim 1 2 2
n n n 33 3 2 2 3 1 1 1 n n
Câu 66: Tìm các giới hạn sau 2 x 3x 2 2 x 2x a) lim b) lim x2 x 2 2 x2 2
x 6x 4 3 x 3x 2 3 2
x x x 1 c) lim d) lim 4 x 1 x 4x 3 2 x 1
x 3x 2 Lời giải 2 x 3x 2 x 1 x 2 a) lim lim lim x 1 1 x2 x2 x2 x 2 x 2 2 x 2x x x 2 x x 2 x b) lim lim lim lim 1 2 x
2x 6x 4 x 2 2 2 2
x 3x 2 x2 2 x 1 x 2
x2 2 x 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 138
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 1 c) lim lim lim 4 x 1 x 1 x 4x 3 x 2
1 x 2x 3 2 2 x 1
x 2x 3 6 2
x x x 1 x 2 3 2 1 x 1 x 1 x 1 d) lim lim lim 0 2 x 1 x 1
x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
Câu 67: Tìm giới hạn các hàm số sau: 4 2 x x 72 3 2
x 5x 3x 9 a) lim b) lim 2 x3 x 2x 3 4 2 x3 x 8x 9 2 6
x 5x 4x 4 4 x a c) lim d) lim x 1 x2 1 xa x a Lời giải x x x 3 3 2 4 2
x 3x 8x 24 72 3 2
x 3x 8x 24 51 a) lim lim lim 2 x3 x3 x 2x 3 x 1 x 3 x3 x 1 2
x x x x 3 2 3 2 x 2x 3 5 3 9 2 x 2x 3 b) lim lim lim 0 4 2 x x 8x 9 x x 3 3 2 3 3
x 3x x 3 3 2
x3 x 3x x 3 c) GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33 x 1 5 4 3 2 2 6
4x 4x 4x 4 5 4 x x x x x 5 4 3 2
4x 4x 4x 4x x lim lim lim x 1 x2 x 1 x2 1 1 x 1 x 1
x a 3 2 2 3 4 4
x ax a x a x a d) 3 2 2 3
x ax a x a 3 lim lim lim 4a xa xa xa x a x a
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 139
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com
Câu 68: Tính các giới hạn sau 2 x 16 2 4 x 2 x 3x 2 a) lim b) lim c) lim 2
x4 x x 20 3 x 2 x 8 2 x 2
2x x 6 Lời giải 2 x 16
x 4 x 4 x 4 8 a) lim lim lim 2 x4 x4 x x 20
x 4 x 5 x4 x 5 9 2 4 x
2 x2 x 2 x 1 b) lim lim lim 3 x x 8
x x 2 2 2 2
x 2x 4 2 x 2 x 2x 4 3 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x2 2x x 6
x 22x 3 x 2 2x 3 9
Câu 69: Tính các giới hạn sau 2 x x 30 2 2x 5x 2 2 2x 3x 1 a) lim b) lim c) lim 2 x 5 2x 9x 5 2 1 2 x 1 x 4x 1
x 4x 5 2 Lời giải 2 x x 30
x 5 x 6 x 6 a) lim lim lim 1 2 x5 x5 2x 9x 5
x 52x x5 1 2x 1 2 2x 5x 2 2x 1 x 2 x 2 3 b) lim lim lim 2 GV: T 1 1 x 4x 1 x 2x 1 2x 1 1 x 2x 1 4 2 2 2 R 2 Ầ 2x 3x 1 2x 1 x 1 2x 1 1 N c) lim lim lim Đ 2 x 1 x1
x 4x 5 x 1 5 x x 1 5 x 6 ÌN H C
Câu 70: Tính các giới hạn sau Ư – 3 3 2 x 3x 2
x x 2x 4 0834 a) lim b) lim c) 3 2 x 1
x x x 1 2 x1 x 3x 4 3321 4 2 x 6x 27 lim 33 3 2 x 3
x 3x x 3 Lời giải x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 a) lim lim lim 3 2 x
x x x 1 x x 2 1 1 1 x x 1 1 x 1 2
x x x x 1 2 3 2 x 2x 4 2 4 2 x 2x 4 7 b) lim lim lim 2 x 1 x1 x 3x 4 x 1 x 4 x1 x 4 5 x x 2 x 3 2 x 9 2 4 2
x 3 x 3 6 27 36 c) lim lim lim 3 2 x
x 3x x 3 x 2 3 3 x 1 x 3 2 x 3 x 1 5
Câu 71: Tính các giới hạn sau 3 x 3x 2 2 4x x 18 4 2 x x 72 a) lim b) lim c) lim 4 x 1 x 4x 3 3 x2 x 8 2 x3 x 2x 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 140
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải x 3x 2 x 2 3 1 x 2 x 2 3 1 a) lim lim lim 4 x 1 x 1 x 4x 3 x 2
1 x 2x 3 2 2 x 1 x 2x 3 6 2 2 4x x 18
x 24x 9 4x 9 17 b) lim lim lim 3 x x 8 x x 2 2 2 2
x 2x 4 2
x2 x 2x 4 12 x x 2
x 8 x 3 x 3 2 4 2
x 8 x 3 72 51 c) lim lim lim 2 x3 x3 x 2x 3 x 1 x 3 x3 x 1 2
Câu 72: Tính các giới hạn sau 5 x 1 5 x 1 a) lim b) lim 3 x1 x 1 3 x 1 x 1 3 2
x 5x 3x 9 c) lim 4 2 x3 x 8x 9 Lời giải x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 a) lim lim lim 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x1 1 x x 1 3 x 1 4 3 2 5
x x x x x 4 3 2 1 1
x x x x 1 5 b) lim lim lim 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x 1 3 GV: T
x x x x 3 2 3 2 x 2x 3 5 3 9 2 x 2x 3 R c) lim lim lim 0 Ầ 4 2 2 2 x3 x3 x3 N x 8x 9 x
1 x 3 x 3 x 1 x 3 Đ ÌN H
Câu 73: Tính các giới hạn sau C Ư 2 1 1 3 – a) lim b) lim c) 0834 2 x 1 x 1 x 1 3 x 1 1 x 1 x 3321 1 4 lim 2
x2 x 2 x 4 33 Lời giải 2 1 2 x 1 1 x 1 1 a) lim lim lim lim 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 3 2
1 x x 3 x 1 x 2 b) lim lim lim 3 x 1 x 1 x x 1 x 2
1 x x x 1 x 2 1 1 1
1 x x x 2 lim 1 2 x 1
1 x x 1 4 x 2 4 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x 2 x 2 x 4
x 2 x 2 x 2 x 2 4
Câu 74: Tìm giới hạn các hàm số sau
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 141
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com x 3 2 2 x 2 2x 7 3 a) lim b) lim c) lim 2 x7 49 x 2
x2 x 3x 2 3 2 x 1 x 4x 3 Lời giải x
x 3 2 x 3 2 3 2 1 1 a) lim lim lim 2 x7 x7 49 x
x 3 27 x7 x x7 7 x x 3 2 56 x
2 x 22 x 2 2 2 1 1 b) lim lim lim 2 x2 x2 x 3x 2 x
1 x 22 x 2 x2 x 1 2 x 2 4 c) x
2x 7 3 2x 7 3 2 7 3 2 1 lim lim lim 3 2 x 1 x 1 x 4x 3 x 1 2
x 3x 3 2x 7 3 x 1 2
x 3x 3 2x 7 3 15
Câu 75: Tìm giới hạn các hàm số sau 2 1 x 3 4x 1 3 x x 2 a) lim b) lim c) lim 2 x 1
x 3x 2 2 x2 x 4 3 x2 x 8 Lời giải x 2 2 3x 3 2 2 2 x 3 2 3 x 1 1 a) lim lim lim 2 x 1 x 1
x 3x 2 2
x x x x 1 2
x x 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 GV: T R x
4x 1 3 4x 1 3 4 1 3 4 1 Ầ b) lim lim lim N 2 x2 x2 x2 Đ x 4
x 2 x 2 4x 1 3
x 2 4x 1 3 6 ÌN H C c) Ư – x x 2 x 2 x 2 0834 x x 2 x 1 1 lim lim lim 3 x2 x2 2 x2 2 x 8 16 x 2 x 2x 4 x x 2 x 2x 4 x x 2 3321 33
Câu 76: Tìm giới hạn các hàm số sau 3 x 1 3 1 1 x a) lim b) lim 3
x1 2x 5x 3 2 x0 2x x
3 2x 12 x 4 x 1 c) lim d) lim 2 x 2 x 2x 3 2 x 1 x x 2 Lời giải x
3 x 13 2 3 3 x x.1 1 1 1 a) lim lim lim 1 2 x 1 x 1 2x 5x 3 x
1 2x 3 3 2 3
x x.1 x 1 1
2x 3 3 2 3 x x.1 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 142
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com b)
1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 2 3 3 3 3 1 1 lim lim lim 2 x0 x0 2x x x x x 2 3
1 1 x 1 x 2 0 x 2 3
1 1 x 1 x 2 3 3 6
3 2x 12 x 3 3 2x 12 x x 2 3 2 x 2x 12 x 2 12 c) lim lim 2 x 2 x2 x 2x
x x 2 2 3 3 2
(2x 12) x 2x 12 x x 2 2
x 2x 12 2 x 2x 12 5 lim lim x 2
x x 2 3 3 2 x x x
x x2 2 3 3 2 x x x x 6 2 (2 12) 2 12 (2 12) 2 12 x 4 x 1 4 4 x 1 x x 1 1 d) lim lim 3 2 x 1 x 1 x x 2 x 1 2
x x 2 4 x 1 x 1
x 1 x 1 1 1 lim lim x 1 x 2
x x 4 x x x 1 2
x x 4 x x 12 1 2 1 1 2 1 1
Câu 77: Tính các giới hạn sau
2x 7 x 4 3 x 3x 2 2 3
x 3 x 3x a) lim b) lim c) lim 3 2 x 1 x 4x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 GV: T Lời giải R 2 Ầ
2x 7 x 4
2x 7 x 4 N a) Ta có lim lim Đ 3 2 x 1 x 1 3 2 2 x 4x 3 ÌN
x x 3x 3 2x 7 x 4 H C 2 Ư
x 10x 9 x 1 9 x – lim x 1 2 2 0834
x 3x
1 2x 7 x 4 x
1 x 3 x
1 2x 7 x 4 3321 9 x 9 1 4 lim x 1 2 33
x x x x 1 3.231 4 15 3 1 2 7 4 2 3 6 6
x 3 x 3x x 3x 2
x 1 3x 3 b) lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 3
x 3x 2 x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 2 x x 1 3 lim lim x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 x 1 x 1 x 1 3
x 3x 2 3 x 1 2 2 x x 1 3 1 1 1 1 1 3 2.3 3 3 lim x 1 x 3 x x 1 1 1 1 2.2 4 1 3 2 x 3 x 3 3 3 x x x x 2 2 3 2 3 2 6 4 2
x 3 x 6x 9x c) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 143
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 6 4 2 6 4 4 2 2
x 6x 8x 3
x x 5x 5x 3 3x lim lim x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x x 1 x 1 2 3
x 3 x 3x 2 x 1 4 2
x 5x 3 x 1 4 2
x 5x 3 1 1 1 5 3 1 lim lim x 1 x 2 3 x
x x x 1 2 3 x x x 2 1 3 2 1 3 3 3 3
Câu 78: Tính các giới hạn sau 2x 1 2 x 1 x x 1 a) lim b) lim c) lim x x 1 2
x 1 3x 5x 2
x x x 1 Lời giải 1 2 2x 1 2 0 a) lim lim x 2 x x 1 x 1 1 0 1 x 1 2 1 2 x 1 1 0 1 b) lim lim x 2
x 1 3x 5 x x 1 3 0 3.0 5 5 5 2 x x 1 1 2 x x 1 x x 0 0 c) lim lim 0 2
x x x 1 x 1 1 1 0 0 1 GV: T 2 x x R
Câu 79: Tính các giới hạn sau Ầ N 2 Đ 3x 2x 1 3 2 3x 2x 1 3 3x 2x 2 ÌN a) lim b) lim c) lim H 2 x 4
x 4x 3x 2 3 2
x 2x 2x 1 C 5x
1 x 2x Ư – Lời giải 0834 3 3321 x 2 x 6 3 2 1 2 6 3.0 6 a) lim lim x 33
x 5x 1 2 x 2x x 1 2 5 01 2.0 5 5 1 x x 3 2 1 3 2 2 4 3x 2x 1 3.0 2.0 0 b) lim lim x x x 0 4
x 4x 3x 2 x 3 2 4 3.0 2.0 4 3 4 x x 2 2 3 3 2 3 3x 2x 2 3 2.0 2.0 3 c) lim lim x x 3 2
x 2x 2x 1 x 2 1 2 2.0 0 2 2 3 x x
Câu 80: Tính các giới hạn sau 2
x 3x 2x 2
x x 2 3x 1 x x 3 a) lim b) lim c) lim x 3x 1 x 2 2
4x 1 1 x x x 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 144
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) Đặt x t
. Với x t 3 2 2 1 2
x 3x 2x
t 3t 2t t 1 3.0 2 1 Khi đó lim lim lim x 3x 1 t 3t 1 t 1 3 0 3 3 t 1 2 1 1 3 2 2
x x 2 3x 1 b) x x x lim lim 4 x 2 4x 1 1 x x 1 1 4 1 2 x x Đặt x t
. Với x t . Khi đó 1 2 1 1 3 2 2 2
x x 2 3x 1
t t 2 3t 1 t t t 2 lim lim lim x 2 t 2
4x 1 1 x 4t 1 1 t t 1 1 3 4 1 2 t t 1 3 2 x x 3 x x 0 3.0 c) lim lim 0 2 x x 1 x 1 1 0 1 2 x
Câu 81: Tính các giới hạn sau GV: T 2 x 4 2 x 2 x R a) lim b) lim c) lim Ầ 2 2 x 2 x2 x2 N x 2 2x 5x 2 2x 5x 2 Đ ÌN Lời giải H C 2 Ư x 4 x 2 a) – lim lim x2 x2 0834 x 2 x 2 3321 2 x x 2 1 1 b) lim lim lim 2 x 2 x 2 2x 5x 2
x 22x x 2 1 2x 1 3 33 2 x 2 x 1 1 c) lim lim lim 2 x 2 x 2 2x 5x 2
x 22x x 2 1 2x 1 3
Câu 82: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : x 3 khi x 1 a)
f x x 1 (tại x 1 ) 1 khi x 1
x 3 2 khi x 1 b) f x x 1 (tại x 1 ) 1 khi x 1 4 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 145
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 1 3
a Ta có: f 1 1 1 1 x 3
lim f x lim 1 f
1 hàm số liên tục tại x 1 x 1 x1 x 1 1
b Ta có : f 1 . 4 x 3 2
x 3 2 x 3 2 1
lim f x lim lim lim f 1 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 3 2 x 1 x 3 2
Vậy hàm số liên tục tại x 1 .
Câu 83: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 2 3
2 7x 5x x khi x 2 a) f x 2 x 3x 2 (tại x 2 ) 1 khi x 2 x 5 khi x 5
b) f x 2x 1 3 (tại x 5 )
x 52 3 khi x 5 Lời giải
a Ta có: f 2 1 GV: T x 2 2 2 3 x 3x x x x 2 1 2 7 5 x 3x 1 R
Mà lim f x lim lim lim 1 f 2 2 Ầ x2 x2 x2 x 3x 2
x 2 x x2 1 x 1 N Đ ÌN
Vậy hàm số liên tục tại x 2 H C Ư
b Ta có: f 2 5 5 5 3 3 . – 0834
Lại có lim f x lim x 52 3 3 x 5 x 5 3321 x 5 2x 1 3 33 x 5 2x 1 3 Và lim f x lim lim lim 3 x 5 x 5 x 5 2x 1 3
2x 1 3 2x 1 3 x 5 2
Từ đó f 5 lim f x hàm số liên tục tại x 5 . x 5
Câu 84: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 3
x x 2 khi x 1 3 a) f x x 1 4
khi x 1 3 2
x 3x 4 khi x 2
b) f x 5 khi x 2
2x 1 khi x 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 146
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 3 3 x x 2
x 1 x 1 1 4
a lim f x lim lim lim 1 3 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 3
Do đó, hàm số này liên tục tại x 1 b lim 2 x 3x 4 =2; lim 2x 1 5 x 2 x 2
Mà f x 5 khi x 2 nên lim f x lim f x lim f x x2 x 2 x2
Do đó, hàm số đã cho liên tục khi x 2
Câu 85: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 2 x 4 x 2 khi x 2 khi x 2 a)
f x x 2
b) f x x 2 4 khi x 2 2 2 khi x 2 Lời giải
a Hàm số f x liên tục với x 2 1 2 x 4
x 2 x 2
lim f x lim lim
lim x 2 2 2 4. GV: T x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 R Ầ f 2 4
lim f x f 2
f x liên tục tại x 2 2 N x 2 Đ ÌN H Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên . C Ư –
b Hàm số f x liên tục với x 2 1 0834 3321 2 x
x 2x 2 2
lim f x lim lim lim x 2 2 2 2 2. 33 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
f 2 2 2 lim f x f 2 f x liên tục tại x 2 2 x 2 Từ
1 và 2 ta có f x liên tục trên .
Câu 86: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3
x 3x 1 0 b) 3
2x 6 1 x 3 Lời giải
a Dễ thấy hàm f x 3
x 3x 1 liên tục trên R . Ta có:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 147
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com f 2 1
f 2. f
1 0 tồn tại một số a 2 ; 1 : f a 0 1 . 1 1 f 1 3 f 0 1
f 0. f
1 0 tồn tại một số a 0;1 : f a 0 2 . 2 2 f 1 1 f 1 1 f
1 . f 2 0 tồn tại một số a 1; 2 : f a 0 3 . 3 3 f 2 3 Do ba khoảng 2 ; 1 , 0;
1 và 1;2 đôi một không giao nhau nên phương trình 3
x 3x 1 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên 3
x 3x 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. b Đặt 3 3 3
1 x t x 1 t 2t 6t 1 0 .
Xét hàm số f t 3
2t 6t 1 liên tục trên R .
f 2. f 1 3.5 0
Ta có: f 0. f
1 1.3 0 tồn tại 3 số t , t và t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi 1 2 3 f
1 . f 2 3.5 0
một không giao nhau là 2 ; 1 , 0;
1 và 1;2 sao cho f t f t f t 0 và 1 2 3 GV: T
do đây là phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. R Ầ
Ứng với mỗi giá trị t , t và t ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn 3 x 1 t N 1 2 3 Đ ÌN
và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt. H C
Câu 87: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: Ư – 0834 a) 5
x 3x 3 0 3321 b) 4 3 2
x x 3x x 1 0 33 Lời giải
a Xét f x 5
x 3x 3.
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 1 1 x
lim f x tồn tại một số x 0 sao cho f x 0. 2 2 x
Từ đó f x . f x 0 luôn tồn tại một số x x ; x : f x 0 nên phương trình 0 2 1 0 1 2 5
x 3x 3 0 luôn có nghiệm.
b Xét f x 4 3 2
x x 3x x 1 liên tục trên R Ta có: f 1 3 0
lim f x tồn tại một số a 0 sao cho f a 0 . x
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 148
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
WEB: Toanthaycu.com 2
x x 3 0 nên luôn tồn tại một số x 0; a thỏa mãn f x 0 nên phương 0 0 trình 4 3 2
x x 3x x 1 0 luôn có nghiệm. GV: T R Ầ N Đ ÌN H C Ư – 0834 3321 33
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 149