43 trang 3 lượt tải

Chương 4 ánh xạ tuyến tính | Bài giảng đại số tuyến tính

5

Chương 4 ánh xạ tuyến tính | Bài giảng đại số tuyến tính. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Môn: Đại số tuyến tính ( NEU ) 18 tài liệu

Trường: Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân 7.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lê Dũng

3 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/43
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
I SÈ TUYN TNH
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 1 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Nèi ti¸p kh¡i ni»m ¡nh x¤ trong ch÷ìng 1, ch÷ìng 4 nghi¶n cùu mët lo¤i
¡nh x¤ °c bi»t khi tªp nguçn v tªp ½ch l c¡c khæng gian v²c tì, ÷ñc
gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 2 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a 4.1
Cho
V, W
l hai khæng gian v²c tì.
nh x¤
f : V −→ W
÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u
f
thäa m¢n hai
i·u ki»n sau :
1
f(x + y) = f(x) + f (y) ∀x, y ∈ V
;
2
f(λx) = λf (x) ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
Mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø khæng gian v²c tì
V
vo ch½nh nâ ÷ñc gåi l
mët to¡n tû tuy¸n t½nh hay ph²p bi¸n êi t½nh t½nh tr¶n
V
.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 4 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a 4.1
Cho
V, W
l hai khæng gian v²c tì.
nh x¤
f : V −→ W
÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u
f
thäa m¢n hai
i·u ki»n sau :
1
f(x + y) = f(x) + f (y) ∀x, y ∈ V
;
2
f(λx) = λf (x) ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
Mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø khæng gian v²c tì
V
vo ch½nh nâ ÷ñc gåi l
mët to¡n tû tuy¸n t½nh hay ph²p bi¸n êi t½nh t½nh tr¶n
V
.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 4 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.1
Cho ¡nh x¤
f : R
2
→ R
3
x = (x
1
, x
2
) 7→ w = f(x) = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
Chùng minh
f
l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Líi gi£i :
L§y b§t ký
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
, λ ∈ R
Khi â :
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) ∈ R
2
, λx = (λx
1
, λx
2
) ∈ R
2
, ta câ :
f(x) = f (x
1
, x
2
) = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
f(y) = f (y
1
, y
2
) = (y
1
+ y
2
, y
1
− y
2
, 2y
1
+ y
2
)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 5 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.1
Cho ¡nh x¤
f : R
2
→ R
3
x = (x
1
, x
2
) 7→ w = f(x) = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
Chùng minh
f
l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Líi gi£i :
L§y b§t ký
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
, λ ∈ R
Khi â :
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) ∈ R
2
, λx = (λx
1
, λx
2
) ∈ R
2
, ta câ :
f(x) = f (x
1
, x
2
) = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
f(y) = f (y
1
, y
2
) = (y
1
+ y
2
, y
1
− y
2
, 2y
1
+ y
2
)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 5 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.1
Kiºm tra hai i·u ki»n :
1)
f(x + y)
=
f(x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
)
=
(x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
), (x
1
+ y
1
) − (x
2
+ y
2
), 2(x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
)
=
(x
1
+ x
2
) + (y
1
+ y
2
), (x
1
− x
2
) + (y
1
− y
2
), (2x
1
+ x
2
) + (2y
1
+ y
2
)
=
(x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
) + (y
1
+ y
2
, y
1
− y
2
, 2y
1
+ y
2
)
=
f(x
1
, x
2
) + f (y
1
, y
2
) = f(x) + f(y).
2)
f(λx)
= f (λx
1
, λx
2
) = (λx
1
+ λx
2
, λx
1
− λx
2
, 2λx
1
+ λx
2
)
=
λ(x
1
+ x
2
), λ(x
1
− x
2
), λ(2x
1
+ x
2
)
= λ(x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
) = λf(x)
Tø
1)
v
2)
ta câ
f
l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 6 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.2
Cho ¡nh x¤
f : R
2
→ R
3
x = (x
1
, x
2
) 7→ w = f(x) = (x
1
+ x
2
+ 1, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
nh x¤
f
câ ph£i l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khæng ?
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 7 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.2
Líi gi£i :
L§y b§t ký
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
Khi â :
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) ∈ R
2
f(x) = (x
1
+ x
2
+ 1, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
f(y) = (y
1
+ y
2
+ 1, y
1
− y
2
, 2y
1
+ y
2
)
f(x + y)
= f (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
)
=
(x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
) + 1, (x
1
+ y
1
) − (x
2
+ y
2
), 2(x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
)
=
(x
1
+ x
2
) + (y
1
+ y
2
) + 1, (x
1
− x
2
) + (y
1
− y
2
), (2x
1
+ x
2
) + (2y
1
+ y
2
)
=
(x
1
+x
2
+1, x
1
−x
2
, 2x
1
+x
2
)+(y
1
+y
2
+1, y
1
−y
2
, 2y
1
+y
2
)+(−1, 0, 0)
=
f(x
1
, x
2
) + f (y
1
, y
2
) + (−1, 0, 0) = f (x) + f (y).
Vªy, ¡nh x¤
f
khæng ph£i l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 8 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Nhªn x²t 4.1
Ta câ thº gëp hai i·u ki»n trong
ành ngh¾a 4.1
bði mët i·u ki»n sau :
f(λx + γy) = λf (x) + γf (y); ∀x, y ∈ V ; ∀λ, γ ∈ R
V½ dö 4.3
Chùng minh l¤i bi to¡n trong
V½ dö 4.1
sû döng
Nhªn x²t 4.1
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 9 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Nhªn x²t 4.1
Ta câ thº gëp hai i·u ki»n trong
ành ngh¾a 4.1
bði mët i·u ki»n sau :
f(λx + γy) = λf (x) + γf (y); ∀x, y ∈ V ; ∀λ, γ ∈ R
V½ dö 4.3
Chùng minh l¤i bi to¡n trong
V½ dö 4.1
sû döng
Nhªn x²t 4.1
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 9 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 4.3
Líi gi£i :
L§y b§t ký
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
; λ, γ ∈ R
Khi â :
λx + γy = λ(x
1
, x
2
) + γ(y
1
, y
2
) = (λx
1
+ γy
1
, λx
2
+ γy
2
) ∈ R
2
,
ta câ :
f(λx + γy)
= f (λx
1
+ γy
1
, λx
2
+ γy
2
)
=
(λx
1
+ γy
1
) + (λx
2
+ γy
2
), (λx
1
+ γy
1
) − (λx
2
+ γy
2
),
2(λx
1
+ γy
1
) + (λx
2
+ γy
2
)
=
(λx
1
+ λx
2
) + (γy
1
+ γy
2
), (λx
1
− λx
2
) + (γy
1
− γy
2
),
(2λx
1
+ λx
2
) + (2γy
1
+ γy
2
)
= (λx
1
+ λx
2
, λx
1
− λx
2
, 2λx
1
+ λx
2
) + (γy
1
+ γy
2
, γy
1
− γy
2
, 2γy
1
+ γy
2
)
= λ(x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
) + γ(y
1
+ y
2
, y
1
− y
2
, 2y
1
+ y
2
)
= λf (x) + γf (y)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 10 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ 4.3
V
v
W
l hai khæng gian v²c tì. N¸u
f : V → W
l mët ¡nh x¤ tuy¸n
t½nh th¼ :
1
f(θ
V
) = θ
W
2
f(−x) = −f (x), ∀x ∈ V
3
f(x − y) = f(x) − f (y), ∀x, y ∈ V
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 11 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c ph²p to¡n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
M»nh · 4.1
N¸u
f, g : V → W
l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ :
1
φ(x) = (f + g)(x) := f(x) + g(x)
2
ψ(x) = (λf)(x) := λf (x)
l c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
M»nh · 4.2
N¸u
f : V → W
v
g : W → T
l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ ¡nh x¤ t½ch
h = g
o
f
công l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 12 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c ph²p to¡n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
M»nh · 4.1
N¸u
f, g : V → W
l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ :
1
φ(x) = (f + g)(x) := f(x) + g(x)
2
ψ(x) = (λf)(x) := λf (x)
l c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
M»nh · 4.2
N¸u
f : V → W
v
g : W → T
l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ ¡nh x¤ t½ch
h = g
o
f
công l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 12 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2.1. Kh¡i ni»m
ành ngh¾a 4.2
V
v
W
l hai khæng gian v²c tì,
f : V → W
l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Khi â :
Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa
V
câ £nh l
θ
W
∈ W
gåi l h¤t nh¥n cõa
f
, kþ hi»u
Ker(f )
:
Ker(f ) := {x ∈ V |f (x) = θ
W
}
Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa
W
l £nh cõa ½t nh§t mët ph¦n tû cõa
V
gåi l £nh cõa
f
, kþ hi»u
Im(f )
:
Im(f ) := {w ∈ W |∃x ∈ V : f(x) = w}
Nh÷ vªy
Im(f ) = f(V ).
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 13 / 30
4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2.1. Kh¡i ni»m
V½ dö 4.4
X¡c ành
Ker(f )
v
Im(f )
cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
f
trong
V½ dö 4.1
Líi gi£i :
f : R
2
→ R
3
x = (x
1
, x
2
) 7→ w = f(x) = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, 2x
1
+ x
2
)
Ta câ :
Ker(f ) = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
|f(x) = θ
R
3
= (0, 0, 0)}
L§y b§t ký
x = (x
1
, x
2
) ∈ Ker(f )
, khi â :
f(x) = (0, 0, 0) ⇔
x
1
+ x
2
= 0
x
1
− x
2
= 0
2x
1
+ x
2
= 0
⇔
(
x
1
= 0
x
2
= 0
Vªy
Ker(f ) = {x = (0, 0)} = {θ
R
2
}
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 14 / 30

Tài liệu khác của Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân

Preview text:

4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh I SÈ TUYN TNH
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 1 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Nèi ti¸p kh¡i ni»m ¡nh x¤ trong ch÷ìng 1, ch÷ìng 4 nghi¶n cùu mët lo¤i
¡nh x¤ °c bi»t khi tªp nguçn v tªp ½ch l c¡c khæng gian v²c tì, ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 2 / 30
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 3 / 30
Mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø khæng gian v²c tì V v o ch½nh nâ ÷ñc gåi l
mët to¡n tû tuy¸n t½nh hay ph²p bi¸n êi t½nh t½nh tr¶n V . 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ành ngh¾a 4.1
Cho V, W l hai khæng gian v²c tì.
nh x¤ f : V −→ W ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u f thäa m¢n hai i·u ki»n sau : 1
f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ V ; 2
f (λx) = λf (x) ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 4 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ành ngh¾a 4.1
Cho V, W l hai khæng gian v²c tì.
nh x¤ f : V −→ W ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u f thäa m¢n hai i·u ki»n sau : 1
f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ V ; 2
f (λx) = λf (x) ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
Mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø khæng gian v²c tì V v o ch½nh nâ ÷ñc gåi l
mët to¡n tû tuy¸n t½nh hay ph²p bi¸n êi t½nh t½nh tr¶n V .
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 4 / 30 Líi gi£i : L§y b§t ký x = (x 2 2
1, x2) ∈ R , y = (y1, y2) ∈ R , λ ∈ R Khi â : x + y = (x 2 2
1 + y1, x2 + y2) ∈ R , λx = (λx1, λx2) ∈ R , ta câ :
f (x) = f (x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2)
f (y) = f (y1, y2) = (y1 + y2, y1 − y2, 2y1 + y2) 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.1 Cho ¡nh x¤ f : 2 3 R → R
x = (x1, x2) 7→ w = f (x) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2)
Chùng minh f l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 5 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.1 Cho ¡nh x¤ f : 2 3 R → R
x = (x1, x2) 7→ w = f (x) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2)
Chùng minh f l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh. Líi gi£i : L§y b§t ký x = (x 2 2
1, x2) ∈ R , y = (y1, y2) ∈ R , λ ∈ R Khi â : x + y = (x 2 2
1 + y1, x2 + y2) ∈ R , λx = (λx1, λx2) ∈ R , ta câ :
f (x) = f (x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2)
f (y) = f (y1, y2) = (y1 + y2, y1 − y2, 2y1 + y2)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 5 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.1 Kiºm tra hai i·u ki»n : 1)f(x + y) =f(x1 + y1, x2 + y2) =
(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 + y1) − (x2 + y2), 2(x1 + y1) + (x2 + y2) =
(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 − x2) + (y1 − y2), (2x1 + x2) + (2y1 + y2)
=(x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2) + (y1 + y2, y1 − y2, 2y1 + y2)
=f(x1, x2) + f(y1, y2) = f(x) + f(y). 2)f(λx)
= f (λx1, λx2) = (λx1 + λx2, λx1 − λx2, 2λx1 + λx2)
= λ(x1 + x2), λ(x1 − x2), λ(2x1 + x2)
= λ(x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2) = λf (x)
Tø 1) v 2) ta câ f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 6 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.2 Cho ¡nh x¤ f : 2 3 R → R
x = (x1, x2) 7→ w = f (x) = (x1 + x2 + 1, x1 − x2, 2x1 + x2)
nh x¤ f câ ph£i l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khæng ?
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 7 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.2 Líi gi£i : L§y b§t ký x = (x 2 2
1, x2) ∈ R , y = (y1, y2) ∈ R Khi â : x + y = (x 2 1 + y1, x2 + y2) ∈ R
f (x) = (x1 + x2 + 1, x1 − x2, 2x1 + x2)
f (y) = (y1 + y2 + 1, y1 − y2, 2y1 + y2) f (x + y) = f (x1 + y1, x2 + y2)
= (x1 + y1) + (x2 + y2) + 1, (x1 + y1) − (x2 + y2), 2(x1 + y1) + (x2 + y2) =
(x1 + x2) + (y1 + y2) + 1, (x1 − x2) + (y1 − y2), (2x1 + x2) + (2y1 + y2)
=(x1 +x2 +1, x1 −x2, 2x1 +x2)+(y1 +y2 +1, y1 −y2, 2y1 +y2)+(−1, 0, 0)
=f(x1, x2) + f(y1, y2) + (−1, 0, 0) ̸= f(x) + f(y).
Vªy, ¡nh x¤ f khæng ph£i l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 8 / 30 V½ dö 4.3
Chùng minh l¤i b i to¡n trong V½ dö 4.1 sû döng Nhªn x²t 4.1 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Nhªn x²t 4.1
Ta câ thº gëp hai i·u ki»n trong ành ngh¾a 4.1 bði mët i·u ki»n sau :
f (λx + γy) = λf (x) + γf (y); ∀x, y ∈ V ; ∀λ, γ ∈ R
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 9 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Nhªn x²t 4.1
Ta câ thº gëp hai i·u ki»n trong ành ngh¾a 4.1 bði mët i·u ki»n sau :
f (λx + γy) = λf (x) + γf (y); ∀x, y ∈ V ; ∀λ, γ ∈ R V½ dö 4.3
Chùng minh l¤i b i to¡n trong V½ dö 4.1 sû döng Nhªn x²t 4.1
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 9 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.1. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ tuy¸n t½nh V½ dö 4.3 Líi gi£i : L§y b§t ký x = (x 2 2
1, x2) ∈ R , y = (y1, y2) ∈ R ; λ, γ ∈ R Khi â : λx + γy = λ(x 2
1, x2) + γ(y1, y2) = (λx1 + γy1, λx2 + γy2) ∈ R , ta câ : f (λx + γy) = f (λx1 + γy1, λx2 + γy2)
= (λx1 + γy1) + (λx2 + γy2), (λx1 + γy1) − (λx2 + γy2), 2(λx1 + γy1) + (λx2 + γy2)
= (λx1 + λx2) + (γy1 + γy2), (λx1 − λx2) + (γy1 − γy2),
(2λx1 + λx2) + (2γy1 + γy2)
= (λx1 + λx2, λx1 − λx2, 2λx1 + λx2) + (γy1 + γy2, γy1 − γy2, 2γy1 + γy2)
= λ(x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2) + γ(y1 + y2, y1 − y2, 2y1 + y2) = λf (x) + γf (y)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 10 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ành lþ 4.3
V v W l hai khæng gian v²c tì. N¸u f : V → W l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ : 1 f (θV ) = θW 2 f (−x) = −f (x), ∀x ∈ V 3 f (x − y) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ V
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 11 / 30 M»nh · 4.2
N¸u f : V → W v g : W → T l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ ¡nh x¤ t½ch
h = gof công l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh. 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c ph²p to¡n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh M»nh · 4.1
N¸u f, g : V → W l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ : 1
φ(x) = (f + g)(x) := f (x) + g(x) 2 ψ(x) = (λf )(x) := λf (x) l c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 12 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.1.2. T½nh ch§t v c¡c ph²p to¡n
C¡c ph²p to¡n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh M»nh · 4.1
N¸u f, g : V → W l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ : 1
φ(x) = (f + g)(x) := f (x) + g(x) 2 ψ(x) = (λf )(x) := λf (x) l c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh M»nh · 4.2
N¸u f : V → W v g : W → T l hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh th¼ ¡nh x¤ t½ch
h = gof công l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 12 / 30 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2.1. Kh¡i ni»m ành ngh¾a 4.2
V v W l hai khæng gian v²c tì, f : V → W l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh. Khi â :
Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa V câ £nh l θW ∈ W gåi l h¤t nh¥n cõa f , kþ hi»u Ker(f ) :
Ker(f ) := {x ∈ V |f (x) = θW }
Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa W l £nh cõa ½t nh§t mët ph¦n tû cõa V
gåi l £nh cõa f, kþ hi»u Im(f) :
Im(f ) := {w ∈ W |∃x ∈ V : f (x) = w} Nh÷ vªy Im(f) = f(V ).
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 13 / 30 Ta câ : Ker(f ) = {x = (x 2
1, x2) ∈ R |f (x) = θ 3 = (0, 0, 0)} R
L§y b§t ký x = (x1, x2) ∈ Ker(f), khi â : x (  1 + x2 = 0  x1 = 0 f (x) = (0, 0, 0) ⇔ x1 − x2 = 0 ⇔ x  2 = 0 2x1 + x2 = 0
Vªy Ker(f) = {x = (0, 0)} = {θ 2} R 4.1. nh x¤ tuy¸n t½nh
4.2. H¤t nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
4.3. Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 4.2.1. Kh¡i ni»m V½ dö 4.4
X¡c ành Ker(f) v Im(f) cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong V½ dö 4.1 Líi gi£i : f : 2 3 R → R
x = (x1, x2) 7→ w = f (x) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2)
Ch÷ìng 4. nh x¤ tuy¸n t½nh H÷ng Y¶n - 2025 14 / 30

Tài liệu liên quan: