Chuyên đề đa thức, cộng, trừ đa thức

BÀI 3. ĐA THỨC. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC. Mục tiêu  Kiến thức
+ Trình bày được khái niệm đa thức.
+ Nắm vững thứ tự ưu tiên trong việc thực hiện cộng, trừ đa thức.
+ Trình bày được khái niệm bậc của đa thức.  Kĩ năng
+ Thực hiện được cộng, trừ và thu gọn đa thức.
+ Tìm được bậc của đa thức. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đa thức
Đa thức là một tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng 2
a  a  ab là một đa thức.
là một hạng tử của đa thức đó. 2
Mỗi đơn thức được coi là một đa thức. x là một đa thức.
Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử có bậc cao 5 Đa thức 3 1 x có bậc là 3 .
nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 9 Cộng, trừ đa thức Cộng hai đa thức:
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; 3 2 2
M  4x  2x y  xy 1; N  3x y  xy ; M  N   3 2
x  x y  xy     2 4 2 1 3x y  xy
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc “dấu 3 2 2
 4x  2x y  xy 1 3x y  xy ngoặc”);
Bước 3. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp, nhóm các 3  x   2 2 4
2x y  3x y (xy  xy) 1 hạng tử đồng dạng;
Bước 4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. 3 2  4x  x y  2xy 1. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết đa thức Phương pháp giải
Để nhận biết một biểu thức là đa thức, ta căn cứ Ví dụ:
vào định nghĩa đa thức. 5 x Các biểu thức 2 3 x 1; 2x  5xy;   xyz, là 3 các đa thức. 2 3 x  2 x y 1  1 Các biểu thức ; ; .  . không x 2x 1 x phải là các đa thức. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? 1 3 1 a) 2 x  3 . b) x 1 . c) 2 x  xy . x 5 2 2 x  2 z d) 2 x yz  ax  b . e) . f)  xz . 2 2019 2 x 1 Trang 2 Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức.
Ví dụ 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau? a) 2 3 3x  xy z  z . b) 3 xy  5x yz . 2 3 x  2 y  z c) . d) 2 3 3x yz . xy 2 x  2 5 đ) (a là hằng số). e) 2xy  . 2 a 1 x Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? 1 1 a) 2 x 1. b) x  2  . c) x  xy . x 1 2 2 3x 1 3a d) 2 x z  ax  by . e) . f)  xa . 2020 2 x
Câu 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau? 2 3 x  y  3z a) 2 3 a  2ab  c . b) 2 3 xy  x z . c) . x 2 x 1 1 d) 2 100 3 100x y z . e) (a là hằng số). f) xy  . 50 a 1 x
Dạng 2: Thu gọn đa thức Phương pháp giải
Để thu gọn đa thức ta thực hiện hai bước:
Ví dụ: Thu gọn đa thức sau: 3 2 2 3
A  2x  2xy  x  5xy  x  x Hướng dẫn giải
Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng với Ta có 3 2 2 3
A  2x  2xy  x  5xy  x  x nhau.
Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong A   3 3
x  x    xy  xy   2 2 2 ( 2 5 ) x  x  từng nhóm. 3 A  (2 1)x  ( 2   5)xy  0 3 A  x  3xy . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thu gọn đa thức sau: Trang 3 1 a) 2 2 2
M  y  2y  y  5y  y . 2 1 1 1 b) 2 2 2 2
N  x y  xy  xy  xy  5xy  x y . 3 2 3 1 1 1 2 1 c) 2 2
P  5x y  3xy  x y  xy  5xy  x   x  . 2 3 2 3 4 Hướng dẫn giải 1 a) 2 2 2
M  y  2y  y  5y  y 2  1 2 2 2 
 y  y  y  (2y  5y)    2   1  2
 1 1 y  (2  5) y    2  1 2  y  3y . 2 1 1 1 b) 2 2 2 2
N  x y  xy  xy  xy  5xy  x y 3 2 3  1 1   1 2 2 2 2   x y  x y  xy  xy  (xy  5xy)      3 3   2   1  2  0  1 xy  (1 5)xy    2  3 2  xy  6xy . 2 1 1 1 2 1 c) 2 2
P  5x y  3xy  x y  xy  5xy  x   x  2 3 2 3 4  1   1 2   1 1 2 2   5x y  x y  ( 3
 xy  xy  5xy)   x  x          2   3 3   2 4   1   1 2  1 2  5  x y  ( 3  1 5)xy    x       2   3 3  4 11 1 1 2  x y  xy  x  . 2 3 4
Ví dụ 2. Thu gọn đa thức sau: 1 1 2 a) 2 2 A  2x  x  x  5x . b) 2 2
B  5xy  x y  xy  2x y . 2 2 3 Hướng dẫn giải 1 a) 2 2 A  2x  x  x  5x 2 Trang 4  1 2 2   2x  x     x  5x  2   1  2  2  x    1 5 x  2  3 2  x  6x . 2 1 2  2   1  b) 2 2 2 2
B  5xy  x y  xy  2x y  5xy  xy  x y  2x y     2 3  3   2   2   1  2  5  xy   2 x y      3   2  13 5 2  xy  x y . 3 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Thu gọn đa thức sau: a) 2 2 2
M  2y  3y  y  5y  y . 1 1 b) 2 2 2 2
N  x y  xy  xy  2xy  xy  x y . 4 4 2 1 c) 2 2
P  3x y  4xy  x y  xy  5xy  x 1 x  . 3 4
Câu 2. Thu gọn đa thức sau: 1 a) 3 2 2
A  3x  x  x  2x  2x . b) 2 2
B  3ab  a b  ab  2a b . 2
Dạng 3: Tìm bậc của đa thức Phương pháp giải
Để tìm bậc của đa thức, ta làm như sau:
Ví dụ: Tìm bậc của đa thức sau: 4 3 2 4
3x  x  2x  3  3x .
Bước 1. Viết đa thức ở dạng thu gọn. Ta có 4 3 2 4 3 2
3x  x  2x  3  3x  x  2x  3.
Bước 2. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử bậc Đa thức có bậc 3.
cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm bậc của các đa thức sau: a) 3 2 3
x  2x  5xy  3x  x . b) 4 2 4 y  4 y  3y  3y . Hướng dẫn giải Trang 5 a) 3 2 3 2
x  2x  5xy  3x  x  3x  5xy  2x . Vậy đa thức có bậc 2. b) 4 2 4 4 2
y  4 y  3y  3y  2y  4 y  3y . Vậy đa thức có bậc 4.
Ví dụ 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): 3 ax  2xy  5 . Hướng dẫn giải
Nếu a  0 , đa thức có bậc 3.
Nếu a  0 , đa thức có bậc 2.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Tìm bậc của các đa thức sau: a) 4 x  x  xy   4 2 x . b) 4 2 4 2 2 y  y  y  x y .
Câu 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): a) ax  2xy  5 . b) 2 2 ax  x 1.
Dạng 4: Tính giá trị của đa thức Phương pháp giải
Để tính giá trị của đa thức, ta làm như sau
Tính giá trị đa thức A  x  2x tại x  3 .
Bước 1. Thu gọn đa thức. A  x  2x  3x .
Bước 2. Thay giá trị đã cho của các biến vào đa
Thay x  3 vào đa thức ta được:
thức thu gọn rồi thực hiện phép tính. A  3.3  9 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho đa thức 2 2 2 2
A  6x y  50,5xy  x y  51,5xy . a) Thu gọn A . b) Tìm bậc của A . 1
c) Tính giá trị của A tại x   ; y  14 . 7 Hướng dẫn giải a) Ta có 2 2 2 2
A  6x y  50,5xy  x y  51,5xy   2 2 6x y 1.x y   2 2 50,5xy  51,5xy   6   2
1 x y  50,5  51,5 2 xy 2 2  7x y  xy b) Bậc của A bằng 3 . 1
c) Thay x   ; y  14 vào đa thức A, ta được: 7 Trang 6 2  1   1  2 A  7.  .14   .14  2  28  30     .  7   7  1 1 Ví dụ 2. Cho đa thức 2 3 3 2 2 B  2
 xy  x y  x  x y  xy  x  4x y . 3 3 a) Thu gọn B . b) Tìm bậc của B .
c) Tính giá trị của B tại x  1; y  2 . Hướng dẫn giải 1 1 a) Ta có 2 3 3 2 2 B  2
 xy  x y  x  x y  xy  x  4x y 3 3   1 1 2 2   2  xy  xy  3 3  x y  x y    x  x 2  4x y  3 3    2    2 2 1 xy  0  0  4x y 2 2  xy  4x y b) Bậc của B bằng 3 .
c) Thay x  1, y  2 vào đa thức B, ta được: 2 2 B  1
 .2  4.1 .2  4  8  1  2.
Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Cho đa thức 2 2
A  3x  2x  x 1 2x . a) Thu gọn A .
b) Tính giá trị của A tại x  1. Câu 2: Cho đa thức 2 2 2
M  ab  3a b  2a  2ab  3a b . a) Thu gọn M .
b) Tìm bậc của M và tính giá trị của M tại a  2;b  1. Câu 3: Cho đa thức 3 2 3 2
M  2x  3x 1 x  5x  2 . a) Thu gọn M . b) Tìm bậc của M .
c) Tính giá trị của M tại x  2 . 1 1 Câu 4: Cho đa thức 3 2 3 2
P  2xy  x y  xy  x y  y 1. 2 2 a) Thu gọn P .
b) Tính giá trị của P tại x  0,1; y  2 .
Câu 5: Cho a,b, c là những hằng số thỏa mãn a  b  c  2006 . Tính giá trị của các đa thức sau: a) 3 3 2 2
A  ax y  bx y  cxy tại x  1; y  1. b) 2 2 4 6
B  ax y  bx y  cxy tại x  1; y  1. Trang 7 c) 2 2 4
C  axy  bx y  cx y tại x  1  ; y  1.
Dạng 5: Tính tổng, hiệu của hai đa thức Phương pháp giải
Để tính tổng (hiệu) của hai đa thức, ta thực hiện
Tính tổng P(x)  Q(x) biết:
cộng (trừ) hai đa thức đó:
P(x)  2x 1;Q(x)  3x 1. Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
P(x)  Q(x)  (2x 1)  (3x 1)
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc
P(x)  Q(x)  2x 1 3x 1 dấu ngoặc);
Bước 3. Nhóm các hạng tử đồng dạng;
P(x)  Q(x)  (2x  3x)  (11)
Bước 4. Cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng. P(x)  Q(x)  5x  2 . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính tổng P(x)  Q(x) và hiệu P(x)  Q(x) biết: 4 3 2
P(x)  x  3x  x  2x  2 và 4 3 2
Q(x)  x  x  2x  2x 1. Hướng dẫn giải P x  Q x   4 3 2
x  x  x  x     4 3 2 ( ) ( ) 3 2 2 x  x  2x  2x   1 4 3 2 4 3 2
 x  3x  x  2x  2  x  x  2x  2x 1   4 4 x  x    3 3 x  x    2 2 3
x  2x   (2x  2x)  (2 1) 4 3 2
 2x  4x  3x  4x  3 . P x  Q x   4 3 2
x  x  x  x     4 3 2 ( ) ( ) 3 2 2 x  x  2x  2x   1 4 3 2 4 3 2
 x  3x  x  2x  2  x  x  2x  2x 1   4 4 x  x    3 3 x  x    2 2 3
x  2x   (2x  2x)  (2 1) 3 2  0  2x  x  0 1 3 2  2x  x 1.
Ví dụ 2. Tính tổng P(x)  Q(x) và hiệu P(x)  Q(x) biết: 4 3 2
P(x)  x  5x  x  x 1 và 4 3 2
Q(x)  x  2x  2x  3x  2 . Hướng dẫn giải P x  Q x   4 3 2
x  x  x  x     4 3 2 ( ) ( ) 5 1
x  2x  2x  3x  2 4 3 2 4 3 2
 x  5x  x  x 1 x  2x  2x  3x  2   4 4 x  x    3 3 x  x    2 2 5 2
x  2x   (x 3x)  (1 2) 4 3 2
 2x  7x  3x  4x  3. Trang 8 P x  Q x   4 3 2
x  x  x  x     4 3 2 ( ) ( ) 5 1
x  2x  2x  3x  2 4 3 2 4 3 2
 x  5x  x  x 1 x  2x  2x  3x  2   4 4 x  x    3 3 x  x    2 2 5 2
x  2x   (x  3x)  (1 2) 3 2
 0  3x  x  2x 1 3 2  3x  x  2x 1.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1. Tìm tổng A  B và hiệu A  B của hai đa thức rồi tìm bậc của chúng biết: 1 1 3 2 2 4 3 2 4
A  2x  4x y 1 xy  y 1; B  2  x 1 x y  y  3 . 3 2 Câu 2. Cho hai đa thức: 2 2
A  x  4x 1; B  2x  2x . a) Tính C  A  B . b) Tìm bậc của C.
c) Tính giá trị của C tại x  1.
Dạng 6: Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại Phương pháp giải
Tìm đa thức A biết A  x  2x 1.
Nếu M  B  A thì M  A  B . Hướng dẫn giải
Nếu M  B  A thì M  A  B . A  2x 1 x
Nếu A  M  B thì M  A  B . A  x 1. Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tìm đa thức P; Q biết: a) P   2 2 x  y  2 2 2 2  x  y  3xy 1. b) Q   2 x  xyz 2 5
 xy  2x  3xyz  5 . Hướng dẫn giải a) Ta có P   2 2 x  y  2 2 2 2  x  y  3xy 1 2 2 2
P  x  y  xy    2 2 3 1 x  2 y  2 2 2 2 2
 x  y  3xy 1 x  2y   2 2 x  x    2 2 y  y  2 2  3xy 1 2 2  0  y  3xy 1 2 2  y  3xy 1. b) Ta có Q   2 x  xyz 2 5  xy  2x  3xyz  5 Trang 9 2
Q  xy  x  xyz    2 2 3 5 5x  xyz 2 2
 xy  2x  3xyz  5  5x  xyz  xy   2 2
2x  5x   (3xyz  xyz)  5 2
 xy  7x  4xyz  5 .
Bài tập tự luyện dạng 6 Câu 1. Tìm M biết: a) M   2 x  xy 2 2 5 2  6x  9xy  y . b) M   2 x  xy 2 2 6 4  7x 8xy  y . Câu 2. Tìm A biết: a) 2 2
3ab  b a  A  ab  b a . b) 2 2
2A  x  3x 1  3x  x  3 . PHẦN ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết đa thức
Câu 1. Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức.
Câu 2. Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức.
Dạng 2. Thu gọn đa thức Câu 1. a) 2 2 2
M  2y  3y  y  5y  y M   2 2 2 2y  y  y   ( 3  y  5y) 2 M  2y  2y . 1 1 b) 2 2 2 2
N  x y  xy  xy  2xy  xy  x y 4 4  1 1  2 2 N  x y  x y     2 2
xy  2xy   (xy  xy)  4 4  2 N  3xy . 2 1 c) 2 2
P  3x y  4xy  x y  xy  5xy  x 1 x  3 4  2   1  P   2 2 3x y  x y  ( 4
 xy  xy  5xy)  x  x  1      3   4  x 3 2 P  4x y   . 3 4 Câu 2. a) 3 2 2
A  3x  x  x  2x  2x 3 2 2
A  3x  x  x  2x  2x Trang 10 3 A  x   2 2 3 x  2x   (x  2x) 3 2 A  3x  x  3x . 1 b) 2 2
B  3ab  a b  ab  2a b 2 1 2 2
B  3ab  a b  ab  2a b 2  1 2 2  B  (3ab  ab)  a b  2a b    2  5 2 B  2ab  a b . 2
Dạng 3. Tìm bậc của đa thức Câu 1. a) 4 4
x  2x  xy  x  xy  2x
Suy ra bậc của đa thức là 2. b) 4 2 4 2 2 2 2 2
y  y  y  x y  x y  y
Suy ra bậc của đa thức là 4. Câu 2.
a) Bậc của đa thức là 2, không phụ thuộc vào a. b) 2 2 2
ax  x 1  (a 1)x 1. Nếu a  1
 , bậc của đa thức là 2 .
Nếu a  1, bậc của đa thức là 0 .
Dạng 4. Tính giá trị của đa thức Câu 1. a) 2 A  4x 1. b) A  5 . Câu 2. a) 2 M  2a  ab . b) 2 M  2.2  2.1  6 . Câu 3. a) 3 2 M  x  2x 1 b) Bậc của M là 3 . c) M  15 . Câu 4. 1 1  1 1  a) 3 2 3 2 3 2 3 2
P  2xy  x y  xy  x y  y 1  x y  x y  
 2xy  xy  y 1  xy  y 1. 2 2  2 2 
b) Thay giá trị x  0; y  2
 vào biểu thức P đã thu gọn, ta có: P  0,1. 2     2   1 3  ,2 . Câu 5. Trang 11
a) Thay x  1; y  1 vào biểu thức 3 3 2 2
A  ax y  bx y  cxy ta có 3 3 2 2 A  . a 1 .1  . b 1 .1 . c 1.1  a  b  c  2006 .
b) Thay x  1; y  1 vào biểu thức 2 2 4 6
B  ax y  bx y  cxy ta có 2 2 4 6 B  . a 1 ( . 1)  . b 1 ( . 1)  . c 1.(1)  a  (b)  c  a  b  c  2006 . c) Thay x  1  ; y  1  vào biểu thức 2 2 4
C  axy  bx y  cx y ta có 2 2 4 C  . a ( 1  ).(1)  b(1) ( 1  )  . c ( 1  ) .(1)  a  b  c  2006 .
Dạng 5. Tính tổng, hiệu của hai đa thức Câu 1.  1   1  11 4 3 2 2 4 3 2 4 4 2 2
A  B  2x  4x y 1 xy  y 1  2x 1 x y  y  3  2y  x y  xy  2     .  3   2  2 3
Do đó tổng hai đa thức có bậc là 4.  1   1  5 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 2
A  B  2x  4x y 1 xy  y 1  2
 x 1 x y  y  3  4x  x y  xy  4     .  3   2  2 3
Do đó hiệu hai đa thức có bậc là 3. Câu 2. a) Ta có C   2 x  x     2 4 1 2x  2x 2 2
 x  4x 1 2x  2x   2 2
x  2x   (4x  2x) 1 2  3x  2x 1. b) Bậc của C bằng 2 .
c) Thay x  1 vào C ta được 2 C  3.( 1  )  2.( 1  ) 1  6 .
Dạng 6. Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại Câu 1. a) Ta có b) Ta có M   2 2 x  xy  y    2 6 9 5x  2xy M   2 2 x  xy  y    2 7 8 6x  4xy Trang 12 2 2 2
 6x  9xy  y  5x  2xy 2 2 2
 7x 8xy  y  6x  4xy   2 2
x  x    xy  xy 2 6 5 9 2  y   2 2
x  x    xy  xy 2 7 6 8 4  y 2 2  x 11xy  y . 2 2  13x 12xy  y . Câu 2. a) 2 2
3ab  b a  A  ab  b a b) 2 2
2A  x  3x 1  3x  x  3 2 2
A  3ab  b a  ab  b a A   2 x  x     2 2 3 3 x  3x   1 2  2ab  2b a . 2 2A  2x  4x  2 2 A  x  2x 1. Trang 13