Thông tin
Quiz

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Toán 12 – Lê Bá Bảo

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Toán 12 – Lê Bá Bảo gồm 113 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm lý thuyết và bài tập trắc nghiệm chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng môn Toán 12, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 học tốt chương trình môn Toán 12 và luyện thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.

Chủ đề:

Tài liệu chung 297 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

113 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Lê Phương

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Toán 12 – Lê Bá Bảo

171 86 lượt tải Tải xuống

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Chủ đề 1:

NGUYÊN HÀM

I. LÝ THUYẾT

1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số

 

xác định trên một khoảng

(hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm

số

 

được gọi là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

nếu

   

F x f x





với mọi

thuộc

Chú ý.

Trường hợp

;K a b







thì các đẳng thức

   

F a f a





và

   

F b f b





được hiểu là đạo hàm

bên phải tại điểm

xa

và đạo hàm bên trái tại điểm

xb

của hàm số

 

,Fx

tức là:

   

 

lim

F x F a











và

   

 

lim .

F x F b











Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử

 

là một nguyên hàm của

 

trên

Khi đó:

a) Với mỗi hằng số

hàm số

 

F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

b) Nếu hàm số

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

thì tồn tại một hằng số

sao cho

   

G x F x C

với mọi

.xK

Như vậy, nếu

 

là một nguyên hàm của

 

trên

thì mọi nguyên hàm của

 

trên

đều có dạng

 

,F x C C

là hằng số. Ta gọi

   

,F x C C

là họ các nguyên hàm của

 

trên

kí hiệu bởi:

 

df x x



Chú ý.

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số

 

trên

ta chỉ cần

tìm một nguyên hàm

 

của

 

trên

và khi đó:

   

df x x F x C



, với

là hằng

số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số

 

liên tục trên khoảng

thì

 

có

nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức

 

df x x

được gọi là vi phân của nguyên hàm

 

,Fx

kí hiệu kaf

 

d .Fx

Vậy

     

d d d .F x F x x f x x





d) Khi đi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập

ta hiểu là tìm nguyên hàm

của hàm số đó trên tập xác định của nó.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

a) Cho

 

là hàm số liên tục trên

là hằng số khác 0. Giả sử

 

là một nguyên hàm

của hàm số

 

trên

Lúc đó:

   

ddkf x x k f x x



 

0.k 

b) Cho

 

và

 

là hai hàm số liên tục trên

Giả sử

 

là một nguyên hàm của hàm

số

 

,fx

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Lúc đó:

       

d d d

f x g x x f x x g x x





  









  







  

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số

,,yx





được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa





tùy thuộc vào giá trị của



+) Với



nguyên dương, tập xác định là

;

+) Với



nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là

 

\ 0 ;

+) Với



không nguyên, tập xác định là

 

0; .

Đạo hàm hàm số lũy thừa:

 











 

0x

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

 

x x C







   

















b. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

tan

cos sin

cos

sin cos

cot

sin

x x C

x x x C

x x C















  



  









c. Nguyên hàm của hàm số mũ

 

d , 0 1

e x e C

a x C a









   







BẢNG TỔNG KẾT NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP

d0 xC



d1 x x C



 

x x C





   





lnx x C





e x e C



 

d , 0 1

a x C a

   



dcos sinx x x C



dsin cosx x x C  



tan

cos

x x C





cot

sin

x x C

  



II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Số nguyên hàm của hàm số

 

là

A. Vô số. B.

Câu 2. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

,.F x f x x K  

   

,.F x f x x K



  

   

,.F x f x x K



  

   

,.f x F x x K



  

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 3. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x F x C







   

d .F x x f x C



   

d .f x x F x C



   

d .F x x f x C







Câu 4. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d2 2 .f x x F x C







   

d2 2 .f x x f x C



   

d2 2 .f x x F x C



   

d2 2 .f x x F x C



Câu 5. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x f x







   

d .f x x f x C







   

d .f x x f x







   

d .f x x f x C







Câu 6. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp 2 liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x f x

 





   

d .f x x f x C

 





   

d .f x x f x

 





   

d .f x x f x C

 





Câu 7. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

d .f x x f x







 

d .f x x f x







 

d .f x x f x C







 

d .f x x f x C







Câu 8. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

dd,.kf x x k f x x k



   

dd.xf x x x f x x



   

dd,.f kx x k f x x k



     

dd, \ 0 .kf x x k f x x k



Câu 9. Cho các hàm số

   

,y f x y g x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

 

   

d d d..f x g x x f x x g x x

  

       

d d d. . .f x g x x f x x g x x

  

 

f x x

g x x





   

 

   

d d d .f x g x x f x x g x x  

  

Câu 10. Cho hàm số

 

và

 

cùng liên tục trên . Khẳng định nào sau đây đúng?

       

d d df x g x x f x x g x x  





  

. B.

 

f x x

g x x











   

d d ,kf x x k f x x k  



. D.

     

 

. d d . d .





  

f x g x x f x x g x x

Câu 11. Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên và

là một số thực. Khẳng định nào sau đây

sai?

   

df x x f x











. B.

   

df x x f x C











   

ddkf x x k f x x



. D.

   

d d df x k x f x x k x  





  

Câu 12. Cho

   

,f x g x

là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây sai?

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

       

d d d  





  

f x g x x f x x g x x

. B.

       

. d d . d





  

f x g x x f x x g x x

   

2 d 2 d



f x x f x x

. D.

       

d d d  





  

f x g x x f x x g x x

Câu 13. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên . Tìm

   

1dG x f x x







   

G x xF x x C  

. B.

   

G x F x x C  

   

1G x xF x C  

. D.

   

1G x F x C  

Câu 14. Cho biết hàm số

 

có đạo hàm là

 

'fx

và có một nguyên hàm là

 

. Tìm

   

2 ' 1 d .  







I f x f x x

   

2I F x f x x C   

. B.

   

2I F x xf x C  

 

21I xF x x  

. D.

   

2I xF x f x x C   

Câu 15. Mệnh đề nào sau đây sai?

   

ddkf x x k f x x



, (

là hằng số và

0k 

B. Nếu

 

và

 

đều là nguyên hàm của hàm số

 

thì

   

F x G x

C. Nếu

   

df x x F x C



thì

   

df u u F u C



       

1 2 1 2

dddf x f x x f x x f x x  





  

Câu 16. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

       

d d df x g x x f x x g x x



  

  

. B.

       

d d df x g x x f x x g x x



  

  

   

df x x f x C  



. D.

   

ddkf x x k f x x



k

Câu 17. Nếu hàm số

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

với mỗi hằng số

Trong

các mệnh đề sau:

     

.I G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

     

..II G x C F x

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

     

.III G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Chỉ

 

đúng. B.

     

,,I II III

đúng.

   

,I II

đúng. D.

   

,I III

đúng.

Câu 18. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x x

. Biểu thức

 

25F



bằng

A. 5. B. 625. C. 25. D. 125.

Câu 19. Khẳng định nào dưới đây đúng?

d1 0.x 



2.x x x



x x x C



d1.x x C



Câu 20. Khẳng định nào dưới đây sai?

0d .xC



2.x x x C



2x x x C



d1.x x C



Câu 21. Khẳng định nào dưới đây sai?

x x C









d .

e x e C



d1.x x C



ln .x x C





Câu 22. Khẳng định nào dưới đây sai?

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

, 1.

x x C n



   





d .

e x e C



.xC





ln .x x C





Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

d lnx x C





. B.

cos2 d sin 2

x x x C



e x C









. D.

x x C









Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dsin sin .x x x C



dsin cos .x x x C  



dsin sin .x x x C  



Câu 25. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dcos sin .x x x C  



dsin cos .x x x C  



dcos cos .x x x C  



Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin cosf x x x

là

 

sin cos C.F x x x  

 

sin cos C.F x x x  

 

sin cos C.F x x x   

 

sin cos C.F x x x   

Câu 27. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dcos sin .x x x C  



cot .

sin

x x C





tan .

cos

x x C





Câu 28. Khẳng định nào dưới đây sai?

, 1.

x x C n



   





d .

e x e C











dcos sin .x x x C



Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

   

df x x f x C







. B.

cos d sinx x x C



d , 1

x x C





    





. D.

d ln

a x a a C



 

01a

Câu 30. Hàm số nào dưới đây không phải nguyên hàm của hàm số

 

3?f x x

.yx

1.yx

1.yx

6.yx

Câu 31. Hàm số

sin2yx

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

cos2 .yx

cos2

y 

cos2

y 

2cos2 .yx

Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số

 

2f x x

là

 

2.F x x

 

2.F x x x C  

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

 

F x x C  

 

F x C  

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số

 

42f x x x

là

 

F x x C



  





 

2.F x x x C  

 

4.F x x x C  

 

.F x x x C  

Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số

 

,0f x x x x  

là

 

F x x x x x C

 

F x x x x x C  

 

F x x x x x C  

 

F x x x x x C  

Câu 35. Trên khoảng

( ; ) 

, họ nguyên hàm của hàm số

()

f x e

là

( )d .

f x x C



( )d .

f x x e C



( )d .

f x x C



( )d 2 .

f x x e C



Câu 36. Cho hàm số

 

sin3

f x e x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

d cos3

f x x e x C  



. B.

 

d cos3

f x x e x C  



 

sin3

f x x C  



. D.

 

cos3

f x x C  



Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số

 

fx

là

 

f x x C









 

d 5.

f x x C



 

ln5

f x x C



 

d 5 ln5 .

f x x C



Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số

 

f x e

là

 

f x x e C



 

f x x e C



 

f x x C



 

f x x C  



Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số

 

f x e e

là

 

f x x e C  



 

f x x e C  



 

f x x e e C  



 

f x x e C  



Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4 2 5





là

 

2 2 .

f x x e e C

   



 

4 2 .

f x x e e C

   



 

f x x e e C

   



 

4 2 .

f x x e e C

   



Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin3f x x

là

 

d cos3 .f x x x C  



 

d 3sin3 .f x x x C



 

cos3

f x x C



 

cos3

f x x C  



Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos3f x x

là

 

sin3

f x x C



 

sin3

f x x C  



 

d sin3 .f x x x C



 

cos3

f x x C  



Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin2 cos3f x x x

là

 

2cos2 3sin3 .F x x x C  

 

cos2 sin3

F x C   

 

cos2 sin3

F x C  

 

cos2 sin3

F x C  

Câu 44. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sinf x x

là

 

4sin

f x x C



 

d 2 sin2 .f x x x x C  



 

cos2

f x x C



 

d 2 2sin2 .f x x x x C  



Câu 45. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos sinf x x x

là

 

sin2

f x x C



 

sin2

f x x C  



 

cos2

f x x C



 

cos2

f x x C  



Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos sinf x x x

là

 

sin2

f x x C



 

sin2

f x x C  



 

cos2

f x x C



 

cos2

f x x C  



Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sin cos3f x x x

là

 

cos4

cos2 .

f x x x C   



 

cos4

cos2 .

f x x x C   



 

cos4

cos2 .

f x x x C  



 

cos4

cos2 .

f x x x C  



Câu 48. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sin cos 3f x x x

là

 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C    



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C    



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C   



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C   



Câu 49. Cho hàm số

   

2cos 2 3f x x x



  





. Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d 2sin 2



   







f x x x x C

. B.

 

d sin2  



f x x x x C

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

   

d sin 2



    







f x x x x C

. D.

   

d 4sin 2 6



    







f x x x x C

Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số

 

3 2 5

f x x





là

 

2 5ln .F x x x x C   

 

5ln .F x x x x C   

 

5ln .F x x x x C   

2 5ln .x x x C  

Câu 51. Trên khoảng

(0; )

, họ nguyên hàm của hàm số

(

)

fx



là

 







f xx x x C

. B.

 



  



f xx x x C

 



  



f xx x x C

. D.

 



  



f xx x x C

Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số

 





là

 

F x C

  



   

ln 2 3 .F x x C  

 

ln 2 3 .F x x C  

 

ln 2 3

F x C





Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số

 





là

 

F x C





   

ln 1 3 .F x x C  

 

ln 1 3 .F x x C  

 

ln 1 3

F x C



  

Câu 54. Xác định

 









F x x

 

2 ln 3 1 .

   F x x x C

 

2 4ln 3 1F x x x C   

 

ln 3 1

F x x C  

   

2 4ln 3 1F x x x C   

Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số

()

( 1)





là

 

ln .

f x x







 

ln .f x x









 

ln .f x x









 

ln .

xx 





Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số

 





2ln 4xC

. B.

 





. C.

 







. D.

ln 4

xC

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 57. Xác định







ln 1x x C  

. B.

ln 1

xC  

 





. D.





Câu 58. Họ các nguyên hàm

 

x 



là







. B.





. C.







. D.





Câu 59. Cho









ln 2ax b x C  

với

,ab

. Giá trị của

S a b

là:

4S 

. B.

7S 

. C.

1S 

. D.

2S 

Câu 60. Xác định

 

2 7 5

F x x









 

2ln 3 .F x x x x C    

 

2ln 3 .F x x x x C    

 

2 2ln 3 .F x x x x C    

 

2 2ln 3 .F x x x x C    

Câu 61. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 









. B.



. C.







. D.







Câu 62. Biết



  



.ln 1 .ln 2a x b x C    

. Tính

ab

1ab

. B.

5ab

. C.

5ab  

. D.

1ab  

Câu 63. Cho biết

 

d ln 2 ln 3 ,

x a x b x C a b



     





. Tính

P a ab b  

3P 

. B.

12P 

. C.

7P 

. D.

13P 

Câu 64. Cho biết

2 13

d ln 1 ln 2



    





x a x b x C

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

28ab

. B.

8ab

. C.

28ab

. D.

8ab

Câu 65. Họ nguyên hàm của hàm số

 

()







trên khoảng

(2; )

là

3ln( 2)

  



. B.

3ln( 2)

  



3ln( 2)

  



. D.

3ln( 2)

  



Câu 66. Biết

ln 2 ; ; , .

x a x C a b C

     







Giá trị

ab

bằng

1.

Câu 67. Biết

ln 1 ; ; ; .

x a x C a b C



     







Tính

.ab

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

1.

Câu 68. Biết

ln ln 2 ln 2 ; ; ; ; .

x a x b x c x C a b c C



       





Giá trị

4a b c

bằng

3.

4.

Câu 69. Biết

 

d3sin2 2cos3 cos2 sin3 ; ; ; .x x x a x b x C a b C     



Giá trị

23ab

bằng

1.

Câu 70. Biết

d4sin cos3 cos2 cos4 ; ; ; .x x x a x b x C a b C    



Giá trị

2ab

bằng

2.

Câu 71. Cho hàm số

 

y f x

có

 

d sinf x x x x C



. Tính













. B.

. C.

. D.





Câu 72. Gọi

()Fx

là họ các nguyên hàm của hàm số

( ) 8sin3 cosf x x x

. Biết rằng

()Fx

có dạng

( ) cos4 cos2F x a x b x C  

. Khi đó,

ab

bằng

. B.

. C.

. D.

1

Câu 73. Cho

 

3.f x x x x C  



Tìm

 

d .

f e x





 

x x x

f e x e e C

  

  



 

d 2 3 .

f e x e x C



  



 

d 2 3 .

f e x e x C



   



 

d 2 3 .

x x x

f e x e e C

  

   



Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của

để hàm số

3 2 2

( ) 2 ( 1)F x x x m x C    

(

là hằng số) là

nguyên hàm của hàm số

( ) 3 4 3f x x x  

trên .

2m 

. B.

4m 

. C.

4m 

. D.

2m 

Câu 75. Biết

   

1, ;F x ax bx a b   

là nguyên hàm của hàm số

 

2 1.f x x

Tổng

ab

bằng

Câu 76. Biết

   

1, ; ;F x ax bx cx a b c    

là nguyên hàm của hàm số

 

6 2 1.f x x x  

Tổng

a b c

bằng

Câu 77. Biết

 

y F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

21f x x

thỏa mãn

 

1 2.F 

Giá trị

 

bằng

Câu 78. Biết

 

y F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

3 2 4f x x x  

thỏa mãn

 

0 1.F 

Giá trị

   

23FF

bằng

67.

70.

45.

90.

Câu 79. Biết

 

y F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

2sin 2f x x

thỏa mãn











Giá trị









bằng

Câu 80. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x e

và

 

00F 

. Giá trị của

 

ln3F

bằng

. C.

. D.

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 81. Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

12 4 2





f x e x x

. Hàm số

 

đồng biến

trên khoảng nào sau đây?

 

;0

. B.

 

2;

. C.

 

2;0

. D.

 

0;

Câu 82. Cho hai hàm số

 

2 x

F x x ax b e  

 

f x x x e  

. Biết

là các số thực để

 

là một nguyên hàm của

 

. Tính

S a b

12S 

. B.

6S 

. C.

6S 

. D.

4S 

Câu 83. Gọi

 

32 x

F x ax bx cx d e   

là một nguyên hàm của hàm số

 

2 9 2 5

f x x x x e   

Tính

2 2 2 2

.  a b c d

245

. B.

246

. C.

248

. D.

249

Câu 84. Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 





thỏa mãn

 

52F 

và

 

01F 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

1 2 ln 2F   

. B.

 

2 2 2ln2F 

. C.

 

3 1 ln2F 

. D.

 

32F 

Câu 85. Cho hàm số

 

có đạo hàm là

 









 

\2x

thỏa mãn

 

11f 

và

 

32f 

Giá trị của biểu thức

   

0 2 4ff

bằng

. B.

. C.

7 3ln 2

. D.

5 7ln 2

Câu 86. Cho hàm số

 

có đạo hàm trên mỗi khoảng

;



 





;



 





đồng thời thỏa mãn

 









  





, và

   

1 2 0 2ln674ff  

. Giá trị của biểu thức

     

2 1 4S f f f   

bằng

2ln3 ln 674

. B.

ln 2022

. C.

2ln 2022

. D.

3ln3

Câu 87. Cho hàm số

 

2 5 khi 1

3 4 khi 1













. Giả sử

là nguyên hàm của

trên thỏa mãn

 

02F 

. Giá trị của

   

1 2 2FF

bằng

A. 27. B. 29. C. 12. D. 33.

Câu 88. Cho hàm số

 

2 3 khi 1

3 2 khi 1













. Giả sử

 

là một nguyên hàm của

 

trên

thỏa mãn

 

02F

. Tính giá trị của biểu thức

   

2 2 3FF

. B.

. C.

1

. D.

48

Câu 89. Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f

và

   









f x x f x

với mọi

x

. Giá trị của

 

bằng

391

400



400



Câu 90. Cho hàm số

 

y f x

liên tục và khác không với mọi

thỏa mãn

 

01f 

và

   

f x e f x x



  

. Giá trị của

 

1f 

bằng

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

1

. B.

e

. C.

. D.



Câu 91. Cho hàm số

()fx

thỏa mãn

(1) 3f 

và

 

41x f x f x



  

với mọi

0x 

. Giá trị

(2)f

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 92. Cho hàm số

 

thỏa mãn

     

e2.

f x x f x f x





với

 

0,f x x

và

 

01f 

. Khi đó

 

bằng

e 1.



e 1.



Câu 93. Giả sử hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên

nhận giá trị dương trên khoảng

 

0;

và

thỏa mãn

     

1 1, ' 3 1f f x f x x  

với mọi

0.x 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

4 5 5.f

 

1 5 2.f

 

3 5 4.f

 

2 5 3.f

Câu 94. Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

       

1 2 1 1x x f x x f x



    

và

 

11f 

Biết

 

2 ln 2f a b

. Khi đó,

ab

bằng

. B.

. C.

. D.

III. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Số nguyên hàm của hàm số

 

là

A. Vô số. B.

Lời giải:

Hàm số

 

y f x

liên tục trên thì có vô số nguyên hàm trên

Câu 2. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

,.F x f x x K  

   

,.F x f x x K



  

   

,.F x f x x K



  

   

,.f x F x x K



  

Câu 3. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x F x C







   

d .F x x f x C



   

d .f x x F x C



   

d .F x x f x C







Câu 4. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d2 2 .f x x F x C







   

d2 2 .f x x f x C



   

d2 2 .f x x F x C



   

d2 2 .f x x F x C



Câu 5. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x f x







   

d .f x x f x C







   

d .f x x f x







   

d .f x x f x C







Câu 6. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp 2 liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d .f x x f x

 





   

d .f x x f x C

 





   

d .f x x f x

 





   

d .f x x f x C

 





Câu 7. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

 

d .f x x f x







 

d .f x x f x







 

d .f x x f x C







 

d .f x x f x C







Câu 8. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

dd,.kf x x k f x x k



   

dd.xf x x x f x x



   

dd,.f kx x k f x x k



     

dd, \ 0 .kf x x k f x x k



Câu 9. Cho các hàm số

   

,y f x y g x

liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

 

   

d d d..f x g x x f x x g x x

  

       

d d d. . .f x g x x f x x g x x

  

 

f x x

g x x





   

 

   

d d d .f x g x x f x x g x x  

  

Câu 10. Cho hàm số

 

và

 

cùng liên tục trên . Khẳng định nào sau đây đúng?

       

d d df x g x x f x x g x x  





  

. B.

 

f x x

g x x











   

d d ,kf x x k f x x k  



. D.

     

 

. d d . d .





  

f x g x x f x x g x x

Lời giải:

Nhận định đúng là

       

d d df x g x x f x x g x x  





  

Câu 11. Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên và

là một số thực. Khẳng định nào sau đây

sai?

   

df x x f x











. B.

   

df x x f x C











   

ddkf x x k f x x



. D.

   

d d df x k x f x x k x  





  

Lời giải:

Theo tính chất của nguyên hàm thì khẳng định

   

ddkf x x k f x x



là sai vì thiếu điều

kiện

0k 

Câu 12. Cho

   

,f x g x

là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây sai?

       

d d d  





  

f x g x x f x x g x x

. B.

       

. d d . d





  

f x g x x f x x g x x

   

2 d 2 d



f x x f x x

. D.

       

d d d  





  

f x g x x f x x g x x

Lời giải:

       

. d d . d





  

f x g x x f x x g x x

sai vì không đúng tính chất.

Câu 13. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên . Tìm

   

1dG x f x x







   

G x xF x x C  

. B.

   

G x F x x C  

   

1G x xF x C  

. D.

   

1G x F x C  

Lời giải:

Ta có

   

1dG x f x x







 

F x x C  

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 14. Cho biết hàm số

 

có đạo hàm là

 

'fx

và có một nguyên hàm là

 

. Tìm

   

2 ' 1 d .  







I f x f x x

   

2I F x f x x C   

. B.

   

2I F x xf x C  

 

21I xF x x  

. D.

   

2I xF x f x x C   

Lời giải:

Ta có

           

2 ' 1 d 2 d ' d d 2         





   

I f x f x x f x x f x x x F x f x x C

Câu 15. Mệnh đề nào sau đây sai?

   

ddkf x x k f x x



, (

là hằng số và

0k 

B. Nếu

 

và

 

đều là nguyên hàm của hàm số

 

thì

   

F x G x

C. Nếu

   

df x x F x C



thì

   

df u u F u C



       

1 2 1 2

dddf x f x x f x x f x x  





  

Lời giải:

Chọn

 

f x x

ta thấy:

   

f x x x x C F x   



   

f x x x x C G x   



Khi

CC

thì

   

F x G x

Câu 16. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

       

d d df x g x x f x x g x x



  

  

. B.

       

d d df x g x x f x x g x x



  

  

   

df x x f x C  



. D.

   

ddkf x x k f x x



k

Lời giải:

   

ddkf x x k f x x



0k

Câu 17. Nếu hàm số

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

với mỗi hằng số

Trong

các mệnh đề sau:

     

.I G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

     

..II G x C F x

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

     

.III G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Chỉ

 

đúng. B.

     

,,I II III

đúng.

   

,I II

đúng. D.

   

,I III

đúng.

Lời giải:

Theo định nghĩa về nguyên hàm thì

 

và

 

III

là đúng,

 

sai.

Câu 18. Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x x

. Biểu thức

 

25F



bằng

A. 5. B. 625. C. 25. D. 125.

Lời giải:

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

+) Vì

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x x

nên

     

25 25 625.F x f x x F



    

Câu 19. Khẳng định nào dưới đây đúng?

d1 0.x 



2.x x x



x x x C



d1.x x C



Câu 20. Khẳng định nào dưới đây sai?

0d .xC



2.x x x C



2x x x C



d1.x x C



Câu 21. Khẳng định nào dưới đây sai?

x x C









d .

e x e C



d1.x x C



ln .x x C





Câu 22. Khẳng định nào dưới đây sai?

, 1.

x x C n



   





d .

e x e C



.xC





ln .x x C





Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

d lnx x C





. B.

cos2 d sin2

x x x C



e x C









. D.

x x C









Lời giải:

Ta có:

e x e C



nên C sai.

Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dsin sin .x x x C



dsin cos .x x x C  



dsin sin .x x x C  



Câu 25. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dcos sin .x x x C  



dsin cos .x x x C  



dcos cos .x x x C  



Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin cosf x x x

là

 

sin cos C.F x x x  

 

sin cos C.F x x x  

 

sin cos C.F x x x   

 

sin cos C.F x x x   

Câu 27. Khẳng định nào dưới đây đúng?

dsin cos .x x x C



dcos sin .x x x C  



cot .

sin

x x C





tan .

cos

x x C





Câu 28. Khẳng định nào dưới đây sai?

, 1.

x x C n



   





d .

e x e C











dcos sin .x x x C



Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

   

df x x f x C







. B.

cos d sinx x x C



d , 1

x x C





    





. D.

d ln

a x a a C



 

01a

Lời giải:

Ta có

a x C





 

01a

nên phương án

d ln

a x a a C



 

01a

sai.

Câu 30. Hàm số nào dưới đây không phải nguyên hàm của hàm số

 

3?f x x

.yx

1.yx

1.yx

6.yx

Câu 31. Hàm số

sin2yx

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

cos2 .yx

cos2

y 

cos2

y 

2cos2 .yx

Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số

 

2f x x

là

 

2.F x x

 

2.F x x x C  

 

F x x C  

 

F x C  

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số

 

42f x x x

là

 

F x x C



  





 

2.F x x x C  

 

4.F x x x C  

 

.F x x x C  

Lời giải:

Ta có:

 

3 4 2

4 2 .f x x x x x x x C    



Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số

 

,0f x x x x  

là

 

F x x x x x C

 

F x x x x x C  

 

F x x x x x C  

 

F x x x x x C  

Lời giải:

Ta có:

 

f x x x x x C x x x x C



       







Câu 35. Trên khoảng

( ; ) 

, họ nguyên hàm của hàm số

()

f x e

là

( )d .

f x x C



( )d .

f x x e C



( )d .

f x x C



( )d 2 .

f x x e C



Câu 36. Cho hàm số

 

sin3

f x e x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

d cos3

f x x e x C  



. B.

 

d cos3

f x x e x C  



 

sin3

f x x C  



. D.

 

cos3

f x x C  



Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Lời giải:

Ta có:

 

cos3

d sin3 d

f x x e x x C    



Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số

 

fx

là

 

f x x C









 

d 5.

f x x C



 

ln5

f x x C



 

d 5 ln5 .

f x x C



Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số

 

f x e

là

 

f x x e C



 

f x x e C



 

f x x C



 

f x x C  



Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số

 

f x e e

là

 

f x x e C  



 

f x x e C  



 

f x x e e C  



 

f x x e C  



Lời giải:

Ta có:

 

2 3 2 3

x x x x

f x e e e e   

Lúc đó:

 

2 3 3 .

x x x

f x x e e x e C    



Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4 2 5





là

 

2 2 .

f x x e e C

   



 

4 2 .

f x x e e C

   



 

f x x e e C

   



 

4 2 .

f x x e e C

   



Lời giải:

Ta có:

 

4 2 5 5

4 2 4 2 5 .

x x x x x

f x e e e e e





      

Lúc đó:

 

4 5 5

4 2 5 2 2 2 .

x x x x x x

f x x e e e x e C e e C



          





Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin3f x x

là

 

d cos3 .f x x x C  



 

d 3sin3 .f x x x C



 

cos3

f x x C



 

cos3

f x x C  



Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos3f x x

là

 

sin3

f x x C



 

sin3

f x x C  



Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

 

d sin3 .f x x x C



 

cos3

f x x C  



Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số

 

sin2 cos3f x x x

là

 

2cos2 3sin3 .F x x x C  

 

cos2 sin3

F x C   

 

cos2 sin3

F x C  

 

cos2 sin3

F x C  

Câu 44. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sinf x x

là

 

4sin

f x x C



 

d 2 sin2 .f x x x x C  



 

cos2

f x x C



 

d 2 2sin2 .f x x x x C  



Lời giải:

Ta có:

   

4sin 2 1 cos2 2 2cos2 .f x x x x    

Lúc đó:

   

dd2 2cos2 2 sin2 .f x x x x x x C    



Câu 45. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos sinf x x x

là

 

sin2

f x x C



 

sin2

f x x C  



 

cos2

f x x C



 

cos2

f x x C  



Lời giải:

Ta có:

 

cos sin cos2 .f x x x x  

Lúc đó:

 

sin2

cos2 .

f x x x x C  



Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số

 

cos sinf x x x

là

 

sin2

f x x C



 

sin2

f x x C  



 

cos2

f x x C



 

cos2

f x x C  



Lời giải:

Ta có:

 

  

4 4 2 2 2 2

cos sin cos sin cos sin cos2 .f x x x x x x x x     

Lúc đó:

 

sin2

cos2 .

f x x x x C  



Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sin cos3f x x x

là

 

cos4

cos2 .

f x x x C   



 

cos4

cos2 .

f x x x C   



 

cos4

cos2 .

f x x x C  



 

cos4

cos2 .

f x x x C  



Lời giải:

Ta có:

   

 

4sin cos3 4. sin 2 sin4 2sin4 2sin2 .

f x x x x x x x     

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Lúc đó:

   

cos4

2sin4 2sin2 cos2 .

f x x x x x x C     



Câu 48. Họ nguyên hàm của hàm số

 

4sin cos 3f x x x

là

 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C    



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C    



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C   



 

cos7 cos5

2cos .

f x x x C   



Lời giải:

Ta có:

   

1 cos6

4sin cos 3 4sin . 2sin 1 cos6

f x x x x x x



   

 

2sin 2sin cos6 2sin sin7 sin5 sin7 sin5 2sin .x x x x x x x x x       

Lúc đó:

   

cos7 cos5

sin7 sin5 2sin 2cos .

f x x x x x x x C       



Câu 49. Cho hàm số

   

2cos 2 3f x x x



  





. Khẳng định nào dưới đây đúng?

   

d 2sin 2



   







f x x x x C

. B.

 

d sin2  



f x x x x C

   

d sin 2



    







f x x x x C

. D.

   

d 4sin 2 6



    







f x x x x C

Lời giải:

Ta có

   

d 2cos 2 2 3 d





  





f x x x x x

2cos2 3 d sin 2 .



    





x x x x x C

Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số

 

3 2 5

f x x





là

 

2 5ln .F x x x x C   

 

5ln .F x x x x C   

 

5ln .F x x x x C   

2 5ln .x x x C  

Lời giải:

Ta có:

 

d d d

2 3 2

3 2 5 5

3 2 5ln .

f x x x x x x x x x C





       





  

Câu 51. Trên khoảng

(0; )

, họ nguyên hàm của hàm số

(

)

fx



là

 







f xx x x C

. B.

 



  



f xx x x C

 



  



f xx x x C

. D.

 



  



f xx x x C

Lời giải:

Ta có:

 

d d d





















   

  

x x x x x x

Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số

 





là

 

F x C

  



   

ln 2 3 .F x x C  

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

 

ln 2 3 .F x x C  

 

ln 2 3

F x C





Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số

 





là

 

F x C





   

ln 1 3 .F x x C  

 

ln 1 3 .F x x C  

 

ln 1 3

F x C



  

Câu 54. Xác định

 









F x x

 

2 ln 3 1 .

   F x x x C

 

2 4ln 3 1F x x x C   

 

ln 3 1

F x x C  

   

2 4ln 3 1F x x x C   

Lời giải:

Ta có:



















2 ln 3 1

x x C   

Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số

()

( 1)





là

 

ln .

f x x







 

ln .f x x









 

ln .f x x









 

ln .

xx 





Lời giải:

Ta có:

d d d

( 1) 1

ln 1 ln ln

( 1) ( 1) 1

x x x x x x

x x x C C

x x x x x x x

  

        

  

   

Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số

 





2ln 4xC

. B.

 





. C.

 







. D.

ln 4

xC

Lời giải:

Ta có

x 



 









ln 4

xC  

Câu 57. Xác định







ln 1x x C  

. B.

ln 1

xC  

 





. D.





Lời giải:

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/113

| | Tải xuống

Preview text:

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM I. LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm của một hàm số
Cho hàm số f x xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm
số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x với mọi x thuộc K. Chú ý.
Trường hợp K  a; b 
 thì các đẳng thức Fa  f a và Fb  f b được hiểu là đạo hàm
bên phải tại điểm x  a và đạo hàm bên trái tại điểm x  b của hàm số F x , tức là:
F x  F a
F x  F b lim  f và lim  f  b.  a xa x  a xb x  b
Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số
Giả sử F x là một nguyên hàm của f x trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C , hàm số F x  C cũng là một nguyên hàm của f x trên K;
b) Nếu hàm số G x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì tồn tại một hằng số C
sao cho Gx  F x  C với mọi x  K.
Như vậy, nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên
K đều có dạng F x  C,C là hằng số. Ta gọi F x  C,C   là họ các nguyên hàm của f x
trên K, kí hiệu bởi:
f xdx  Chú ý.
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f x trên K, ta chỉ cần
tìm một nguyên hàm F x của f x trên K và khi đó: f
 xdx  FxC , với C là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f x liên tục trên khoảng K thì f x có
nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức f xdx được gọi là vi phân của nguyên hàm F x , kí hiệu kaf dF x. Vậy
dF x  F xdx  f  xd . x
d) Khi đi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm
của hàm số đó trên tập xác định của nó.
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
a) Cho f x là hàm số liên tục trên K, k là hằng số khác 0. Giả sử F x là một nguyên hàm
của hàm số f x trên K. Lúc đó: kf
 xdx  k f
 xdx , k  0.
b) Cho f x và gx là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm
số f x , Gx là một nguyên hàm của hàm số gx trên K.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025   f
  x  gx dx  f 
 xdx  g  xdx Lúc đó:    f
  x  gx  dx  f 
 xdx  g  xdx
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
Hàm số y  x ,  , được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số lũy thừa y x 
tùy thuộc vào giá trị của  :
+) Với  nguyên dương, tập xác định là ;
+) Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \  0 ;
+) Với  không nguyên, tập xác định là 0; . 
Đạo hàm hàm số lũy thừa:     1 x  x ,  x   0  1   x  x dx   C,    1     
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa: 1 
 1 dx  ln x C   x
b. Nguyên hàm của hàm số lượng giác  1  d   d x tan cos  sin x C x x x  C    2   cos x    sin d
x x  cos x  C 1   
dx   cot x  C  2  sin x
c. Nguyên hàm của hàm số mũ x  e d x
x  e  C    x x a  a dx   C,  0  a  1  ln a
BẢNG TỔNG KẾT NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 0dx  C  d
1 x  x  C   1  x 1 x dx   C,     1
x  ln x  C   d  1 x xd x
e x  e  C  x x a a dx   C, 
0  a  1 ln a cos d
x x  sin x  C  sin d
x x  cos x  C  1 1
dx  tan x  C 
dx   cot x  C  2 cos x 2 sin x
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Số nguyên hàm của hàm số f x là A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 2.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. F x  f x , x  K.
B. Fx  f x , x  K.
C. Fx  f x , x  K.
D. f x  F x , x  K.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Câu 3.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
 xdx  FxC. B. F
 xdx  f xC. C. f
 xdx  FxC. D. F
 xdx  fxC. Câu 4.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 2 f
 xdx  2FxC. B. 2 f
 xdx  2 f xC. C. 2 f
 xdx  2FxC. D. 2 f
 xdx  F2xC. Câu 5.
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f 
 xdx  f x. B. f 
 xdx  fxC. C. f 
 xdx  fx. D. f 
 xdx  f xC. Câu 6.
Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f 
 xdx  fx. B. f 
 xdx  fxC. C. f 
 xdx  f x. D. f 
 xdx  f xC. Câu 7.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng?   A.  f
 xdx  f x. B.  f
 xdx  fx.   C.  f
 xdx  f xC. D.  f
 xdx  fxC. Câu 8.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. kf
 xdx  k f
 xdx,k . B. xf
 xdx  x f
 xd .x C. f
 kxdx  k f
 xdx,k .
D. kf xdx  k f xdx,k     \  0 . Câu 9.
Cho các hàm số y  f x ,y  gx liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  f x  gxdx  f
 xd .x g
 xd .x B. f
 x.gxdx  f
 xd .x g
 xd .x f x f  xdx
C.    dx 
D.  f x  gxdx  f
 xdx  g
 xd .x g x g  x . dx
Câu 10. Cho hàm số f  x và g  x cùng liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?  f x f  xdx A.  f
 x gxdx  f 
 xdx g
 xdx. B.  .     dx  g x g   xdx
C. kf  x dx  k f  x dx, k     . D. 
 f x.gxdx  
 f xdx.gxdx.
Câu 11. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên
và k là một số thực. Khẳng định nào sau đây sai?   A.  f
 xdx  f x   . B.  f
 x dx  f  xC . C. kf
 xdx  k f  xdx . D.  f
 x kdx  f 
 xdx d k x  .
Câu 12. Cho f  x, g  x là các hàm số xác định và liên tục trên
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 A. 
 f x gxdx  
 f xdx gxdx . B. 
 f x.gxdx  
 f xd .x gxdx. C. 2
 f xdx  2 f xdx . D. 
 f x gxdx  
 f xdx  gxdx.
Câu 13. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên . Tìm G  x   f
 x1dx  .
A. G  x  xF  x  x  C .
B. G  x  F  x  x  C .
C. G  x  xF  x 1 C .
D. G  x  F  x 1 C .
Câu 14. Cho biết hàm số f  x có đạo hàm là f ' x và có một nguyên hàm là F  x . Tìm I  2
 f x f 'x1 d .  x
A. I  2F  x  f  x  x  C .
B. I  2F  x  xf  x  C .
C. I  2xF  x  x 1.
D. I  2xF  x  f  x  x  C .
Câu 15. Mệnh đề nào sau đây sai? A. kf
 xdx  k f
 xdx , (k là hằng số và k  0).
B. Nếu F  x và G  x đều là nguyên hàm của hàm số f  x thì F  x  G  x .
C. Nếu f
 xdx  F xC thì f
 udu  F uC .
D.  f x  f x  dx  f x dx  f x dx    . 1   2   1   2  
Câu 16. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A.  f
 x gx dx  f 
 x dx  g
 x dx . B.  f
 x gx dx  f 
 x dx  g
 x dx . C. f 
 x dx  f xC . D. kf
 x dx  k f
 x dx , k  .
Câu 17. Nếu hàm số F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên K, với mỗi hằng số C. Trong các mệnh đề sau:
I .Gx  F xC cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
II .Gx  C.F x cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
III .Gx  F xC cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B.  I , II , III  đúng.
C.  I , II  đúng.
D.  I , III  đúng.
Câu 18. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số   2
f x  x . Biểu thức F25 bằng A. 5. B. 625. C. 25. D. 125.
Câu 19. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. d 1 x  0.  B. 2 x dx  2 . x  C. d 2
x x  x  C  D. d
1 x  x  C. 
Câu 20. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. 0dx  C.  B. 2
x dx  2x  C.  C. d 2
2x x  x  C  D. d
1 x  x  C. 
Câu 21. Khẳng định nào dưới đây sai? n1 1 A. n x x dx   C.  B. xd x
e x  e  C.  C. d
1 x  x  C.  D.
dx  ln x  C.  n  1 x
Câu 22. Khẳng định nào dưới đây sai?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 n1 A. n x x dx   C,n  1  .  B. xd x
e x  e  C.  n  1 1 1 1 C. dx   C.  D.
dx  ln x  C.  2 x x x
Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 A.
dx  ln x  C  . B. cos 2 d
x x  sin 2x  C  . x 2 x 1 e  e 1 x  C. x e dx   C  . D. e x dx   C  . x 1 e 1
Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. sin d
x x  sin x  C.  C. sin d
x x   cos x  C.  D. sin d
x x   sin x  C. 
Câu 25. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. cos d
x x  sin x  C.  C. sin d
x x   cos x  C.  D. cos d
x x  cos x  C. 
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin x  cos x là
A. F x  sin x  cos x  C.
B. F x  sin x  cos x  C.
C. F x  sin x  cos x  C.
D. F x  sin x  cos x  C.
Câu 27. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. cos d
x x  sin x  C.  1 1 C.
dx  cot x  C.  D.
dx  tan x  C.  2 sin x 2 cos x
Câu 28. Khẳng định nào dưới đây sai? n1 A. n x x dx   C,n  1  .  B. xd x
e x  e  C.  n  1 x1 x 7 C. 7 dx   C.  D. cos d
x x  sin x  C.  x  1
Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f 
 xdx  f xC . B. cos d
x x  sin x  C  .  1   x
C. x dx   C,    1   x x      a x a a C  0 a  1  . D. d ln . 1
Câu 30. Hàm số nào dưới đây không phải nguyên hàm của hàm số f x 2  3x ? A. 3
y  x . B. 3
y  x  1. C. 3
y  x  1. D. y  6 . x
Câu 31. Hàm số y  sin 2x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? cos 2x cos 2x A. y  cos 2 . x B. y   . C. y  .
D. y  2 cos 2 . x 2 2
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  x  2 là
A. F x  2 . x
B. F x 3
 x  2x  C.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 x x
C. F x 3 
 2x  C.
D. F x 3   2  C. 3 3
Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f x  x 2 4x  2 là x  x 
A. F x 2 3 4  
 2x  C.
B. F x 4 2
 x  2x  C. 2  3 
C. F x 4 2
 4x  x  C.
D. F x 4 2
 x  x  C.
Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3
 x  x,x  0 là 1 3 2 1
A. F x 3
 x x  x x  C.
B. F x 3
 x x  x x  C. 3 4 3 4 2 3 2 3
C. F x 3
 x x  x x  C.
D. F x 3
 x x  x x  C. 3 2 3 4
Câu 35. Trên khoảng ( ;
 ) , họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x f x  e là x e 2 x e
A. f (x)dx   C.  B. 2 ( )d x f x x  e  C. 
C. f (x)dx   C.  D. 2 ( )d  2 x f x x e  C.  2 2
Câu 36. Cho hàm số   2 x f x  e
 sin 3x . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 1 A. f  x 2 dx  e
 cos3x  C . B.    2 d x f x x  e
 cos3x  C . 3 x e x x e x C. f  x 2 sin 3 dx    C . D. f  x 2 cos 3 dx    C . 2 3 2 3
Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số   5x f x  là x1 5 A. f
 xdx   C.
B.   d  5x f x x  C. x  1 5x C. f
 xdx   C.
D.   d  5x f x x ln 5  C. ln 5
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số   4x f x  e là A.   d 4 x
f x x  e  C. B.   d 4  4 x f x x
e  C. 4x e 4x e C. f
 xdx  C. D. f
 xdx   C. 4 4
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số   x   2 2 x f x e e  3 là 3 2 x e 3 2 x e A. f
 xdx   3 x
e  C. B. f
 xdx   3 x
e  C. 3 3 3x e C.   d x   2x
f x x e e  3  C. D. f
 xdx   3 xe C. 3 x x e  e 
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2 4 2 5  là x e A. f  xd 2x x 5
x  2e  2e   C. B. f  xd 2x x 5
x  4e  2e   C. x e x e C. f  xd 2x x 5
x  2e  e   C. D. f  xd 2x x 5
x  4e  2e   C. x e x e
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin 3x là A. f
 xdx  cos3x C. B. f
 xdx  3sin3x C. cos 3x cos 3x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 3 3
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos3x là sin 3x sin 3x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 3 3 cos 3x C. f
 xdx  sin3x C. D. f
 xdx    C. 3
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin 2x  cos3x là x x
A. F x  2cos 2x  3sin 3x  C.
B. F x cos 2 sin 3     C. 2 3 x x x x
C. F x cos2 sin 3    C.
D. F x cos2 sin 3    C. 2 3 2 3
Câu 44. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  4sin x là 3 4sin x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx  2x sin2x C. 3 cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx  2x  2sin2x C. 2
Câu 45. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2
 cos x  sin x là sin 2x sin 2x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 2 2 cos 2x cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 2 2
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f x 4 4
 cos x  sin x là sin 2x sin 2x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 2 2 cos 2x cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 2 2
Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số f x  4sin xcos3x là cos 4x cos 4x A. f
 xdx  
 cos2x  C. B. f
 xdx  
 cos2x  C. 2 2 cos 4x cos 4x C. f
 xdx 
 cos2x  C. D. f
 xdx 
 cos2x  C. 2 2
Câu 48. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 4sin xcos 3x là cos7x cos 5x cos7x cos 5x A. f
 xdx   
 2cosx  C. B. f
 xdx   
 2cosx  C. 7 5 7 5 cos7x cos 5x cos7x cos 5x C. f
 xdx  
 2cosx  C. D. f
 xdx  
 2cosx  C. 7 5 7 5
Câu 49. Cho hàm số f  x   x   2 2 cos 2   3x 
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  f x x   x   3 d 2 sin 2    x   C . B.   3 d  sin 2    f x x x x C .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
C.  f x x    x   3 d sin 2    x   C .
D.  f xdx  4  sin 2
  x    6x   C . x  x 
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2 3 2 5  , x  0 là x
A. F x 3 2
 x  2x  5ln x  C.
B. F x 3 2
 x  x  5ln x  C.
C. F x 3 2
 x  x  5ln x  C. D. 3 2
x  2x  5ln x  C. x 1
Câu 51. Trên khoảng (0; ) , họ nguyên hàm của hàm số f (x)  là 3 x 3 2  3 2 
A.  f x 2 2 dx x  2   x  C .
B.  f x 2 2 dx x  2    x  C . 3 3 3 2  3 3 
C.  f x 2 2 dx x  2    x  C .
D.  f x 2 2 dx x  2    x  C . 3 2
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là 2x  3 2
A. F x        C
B. F x ln2x 3 C. 2x  3 . 2 x 
C. F x  ln 2x  3  C.
D. F x ln 2 3   C. 2
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là 1  3x 3
A. F x       C
B. F x ln1 3x C. 1  3x . 2  x
C. F x  ln 1  3x  C.
D. F x ln 1 3    C. 3  Câu 54. Xác định   6 2  d  x F x x . 3x 1
A. F  x 4
 2x  ln 3x 1  C.
B. F  x  2x  4 ln 3x 1  C 3
C. F  x 4
 ln 3x 1  C
D. F  x  2x  4 ln 3x   1  C 3 1
Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  là ( x x  1) 1 x  1 x  1 A. f
 xdx  ln  C. B. f
 xdx  ln  C. 2 x x x  1 1 x C. f
 xdx  ln  C. D. f
 xdx  ln  C. x 2 x  1 x
Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  . 2 x  4 1 1  1 A. 2
2 ln x  4  C . B.  C . C.  C . D. 2
ln x  4  C . 2 2 x  4 4 x  42 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 2  1 Câu 57. Xác định d .  x x x x 1 2 x A. 2
x  ln x 1  C . B.
 ln x 1  C . 2 1 1 C.1     . D. x C . x   C 2 1 x 1 1
Câu 58. Họ các nguyên hàm   x là 2x   d 2 1 1  1 1  1 A.  C  C  C  C 4x  . B. 2 2x  . C. 1 2x  . D. 1 4x  . 2 2 1 Câu 59. Cho d  x
x  ax  b ln x  2  C với a, b 
. Giá trị của S  a  b là: x  2 A. S  4 .
B. S  7 .
C. S  1 .
D. S  2 . 2 2x  7x  5
Câu 60. Xác định F x  d . x  x  3
A. F x 2
 x  x  2ln x  3  C.
B. F x 2
 x  x  2ln x  3  C.
C. F x 2
 2x  x  2ln x  3  C.
D. F x 2
 2x  x  2ln x  3  C. 1
Câu 61. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  . 2 x  4x  3 1 x  3 1 x  3 1 x  3 1 x  3 A. ln  C . B. ln  C . C.  ln  C . D. ln  C . 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 Câu 62. Biết d  x x  .
a ln x 1  .
b ln x  2  C . Tính a  b . 2
x  3x  2
A. a  b  1.
B. a  b  5 .
C. a  b  5  .
D. a  b  1. 2x  7 Câu 63. Cho biết
dx  a ln x  2  b ln x  3  C a,b   . Tính 2 2
P  a  ab  b . 2   x  5x  6 A. P  3 .
B. P  12 .
C. P  7 .
D. P  13 . 2 13 Câu 64. Cho biết d  ln 1  ln  2   x x a x b x
C . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x  x  2
A. a  2b  8 .
B. a  b  8 .
C. 2a  b  8 .
D. a  b  8 . 3x  2
Câu 65. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)    trên khoảng (2; ) là x  22 2 2
A. 3ln(x  2)   C .
B. 3ln(x  2)   C . x  2 x  2 4 4
C. 3ln(x  2)   C .
D. 3ln(x  2)   C . x  2 x  2 x b Câu 66. Biết
dx  aln x  2 
 C; a;b ,C  . 
Giá trị a  b bằng 2 x  4x  4 x  2 A. 1. B. 1. C. 2. D. 0. 4x  1 b Câu 67. Biết
dx  a ln x  1 
 C;a;b ;C  .  Tính a  . b 2 x  2x  1 x  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 A. 1. B. 1. C. 2. D. 3. 2x  3 Câu 68. Biết
dx  a ln x  bln x  2  c ln x  2  C; a; b; c  ;C  . 
Giá trị 4a  b  c bằng 3 x  4x A. 3. B. 4. C. 2. D. 4.
Câu 69. Biết 3sin2x  2cos3xdx  a cos2x  b sin3x  C; a;b ;C . Giá trị 2a  3b bằng A. 5. B. 1. C. 2. D. 1.
Câu 70. Biết 4 sin x cos 3 d
x x  a cos 2x  b cos 4x  C ; a;b ;C  . 
Giá trị a  2b bằng A. 2. B. 1. C. 2. D. 0.   
Câu 71. Cho hàm số y  f x có f
 xdx  xsinx C . Tính f  .  2    A. 1  . B. 0 . C. 1 . D. 1  . 2 2
Câu 72. Gọi F (x) là họ các nguyên hàm của hàm số f (x)  8sin 3x cos x . Biết rằng F (x) có dạng
F (x)  a cos 4x  b cos 2x  C . Khi đó, a  b bằng A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 1  . Câu 73. Cho f  xd 2
x  x  3x  C. Tìm   x f e d . x
A.   x d 2  x   3 x f e x e e  C.
B.   x d  2 x f e x e  3x  C.
C.   x d  2 x f e x  e
 3x  C.
D.   x d  2 x   3 x f e x e e  C.
Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2 2
F (x)  x  2x  (m 1)x  C ( C là hằng số) là nguyên hàm của hàm số 2
f (x)  3x  4x  3 trên . A. m  2 .
B. m  4 .
C. m  4 .
D. m  2 .
Câu 75. Biết F x 2
 ax  bx  1, ;ab  là nguyên hàm của hàm số f x  2x  1. Tổng a  b bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 76. Biết F x 3 2
 ax  bx  cx  1,a;b;c  là nguyên hàm của hàm số f x 2
 6x  2x  1. Tổng
a  b  c bằng A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Câu 77. Biết y  F x là một nguyên hàm của hàm số f x  2x  1 thỏa mãn F 1  2. Giá trị F 2 bằng A. 6. B. 8. C. 3. D. 2.
Câu 78. Biết y  F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x  2x  4 thỏa mãn F 0  1. Giá trị
F 2  F 3 bằng A. 67. B. 70. C. 45. D. 90.      
Câu 79. Biết y  F x là một nguyên hàm của hàm số f x  2sin 2x thỏa mãn F 
  2. Giá trị F    2   6  bằng 1 3 A. . B. 1. C. . D. 2. 2 2
Câu 80. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x  e và F 0  0 . Giá trị của F ln 3 bằng A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 3
Câu 81. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   x 1  2  x f x e  4 2
x  4x  . Hàm số F  x đồng biến
trên khoảng nào sau đây? A.  ;  0.
B. 2;  .
C. 2;0 .
D. 0;  .
Câu 82. Cho hai hàm số
    2    x F x x ax b e ,
    2 3  4 x f x x x
e . Biết a , b là các số thực để
F  x là một nguyên hàm của f  x . Tính S  a  b . A. S  12 .
B. S  6 .
C. S  6 .
D. S  4 . Câu 83. Gọi     3 2     x F x ax bx cx
d e là một nguyên hàm của hàm số     3 2 2  9  2  5 x f x x x x e . Tính 2 2 2 2
a  b  c  d . A. 245 . B. 246 . C. 248 . D. 249 .
Câu 84. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x 1 
thỏa mãn F 5  2 và F 0  1. x 1
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F   1  2  ln 2 .
B. F 2  2  2 ln 2 . C. F 3  1 ln 2 . D. F  3    2 . x 
Câu 85. Cho hàm số f  x có đạo hàm là f  x 2 3  x
  \ 2 thỏa mãn f  
1  1 và f 3  2 . x  ,   2
Giá trị của biểu thức f 0  2 f 4 bằng A. 3 . B. 5 .
C. 7  3ln 2 . D. 5   7 ln 2 .  1   1 
Câu 86. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên mỗi khoảng  ;     ,  ; 
 đồng thời thỏa mãn  2   2   1  f  x 1  x      , và f  
1  2 f 0  2ln 674 . Giá trị của biểu thức 2x  1  2  S  f  2    f   1  f 4 bằng
A. 2 ln 3  ln 674 . B. ln 2022 . C. 2 ln 2022 . D. 3ln 3 .
2x  5 khi x 1
Câu 87. Cho hàm số f  x  
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn 2 3
 x  4 khi x 1
F 0  2 . Giá trị của F  
1  2F 2 bằng A. 27. B. 29. C. 12. D. 33.
2x  3 khi x  1
Câu 88. Cho hàm số f  x  
. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên 2 3
 x  2 khi x  1
thỏa mãn F 0  2 . Tính giá trị của biểu thức F 2  2F 3 . A. 60 . B. 28 . C. 1  . D. 48 .
Câu 89. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   1 2  
và f  x  x  f  x 2 3 4  
 với mọi x  . Giá trị của 25 f   1 bằng 391 1 41 1 A.  . B.  . C.  . D.  . 400 40 400 10
Câu 90. Cho hàm số y  f  x liên tục và khác không với mọi x thỏa mãn f 0  1  và f  x x 2
 e . f x, x
  . Giá trị của f   1 bằng
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 1 A. 1  . B. e  . C. e . D.  . e
Câu 91. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1)  3 và x4  f x  f x  1 với mọi x  0 . Giá trị f (2) bằng A. 6 . B. 2 . C. 5 . D. 3 .
Câu 92. Cho hàm số f x thỏa mãn    2 .    ex f x x f x
f x với f x  0, x
 và f 0  1. Khi đó f 1 bằng A.   e  1. B. e e 2 . C. e  1. D. e e 1.
Câu 93. Giả sử hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên , nhận giá trị dương trên khoảng 0;  và thỏa mãn f  
1  1, f  x  f ' x 3x 1 với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f 5  5.
B. 1  f 5  2.
C. 3  f 5  4.
D. 2  f 5  3.
Câu 94. Cho hàm số f  x liên tục trên
thỏa mãn x  x   f  x   x   f  x 1 1 2 1  1 và f   1  1. x
Biết f 2  a  b ln 2 . Khi đó, a  b bằng 1 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 2
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Số nguyên hàm của hàm số f x là A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải:
Hàm số y  f x liên tục trên thì có vô số nguyên hàm trên . Câu 2.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. F x  f x , x  K.
B. Fx  f x , x  K.
C. Fx  f x , x  K.
D. f x  F x , x  K. Câu 3.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
 xdx  FxC. B. F
 xdx  f xC. C. f
 xdx  FxC. D. F
 xdx  fxC. Câu 4.
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 2 f
 xdx  2FxC. B. 2 f
 xdx  2 f xC. C. 2 f
 xdx  2FxC. D. 2 f
 xdx  F2xC. Câu 5.
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f 
 xdx  f x. B. f 
 xdx  fxC. C. f 
 xdx  fx. D. f 
 xdx  f xC. Câu 6.
Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f 
 xdx  fx. B. f 
 xdx  fxC. C. f 
 xdx  f x. D. f 
 xdx  f xC. Câu 7.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025   A.  f
 xdx  f x. B.  f
 xdx  fx.   C.  f
 xdx  f xC. D.  f
 xdx  fxC. Câu 8.
Cho hàm số y  f x liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. kf
 xdx  k f
 xdx,k . B. xf
 xdx  x f
 xd .x C. f
 kxdx  k f
 xdx,k .
D. kf xdx  k f xdx,k     \  0 . Câu 9.
Cho các hàm số y  f x ,y  gx liên tục trên . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  f x  gxdx  f
 xd .x g
 xd .x B. f
 x.gxdx  f
 xd .x g
 xd .x f x f  xdx
C.    dx 
D.  f x  gxdx  f
 xdx  g
 xd .x g x g  x . dx
Câu 10. Cho hàm số f  x và g  x cùng liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?  f x f  xdx A.  f
 x gxdx  f 
 xdx g
 xdx. B.  .     dx  g x g   xdx
C. kf  x dx  k f  x dx, k     . D. 
 f x.gxdx  
 f xdx.gxdx. Lời giải:
Nhận định đúng là  f
 x gxdx  f 
 xdx g  xdx.
Câu 11. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên
và k là một số thực. Khẳng định nào sau đây sai?   A.  f
 xdx  f x   . B.  f
 x dx  f  xC . C. kf
 xdx  k f  xdx . D.  f
 xkdx  f 
 xdx d k x  . Lời giải:
Theo tính chất của nguyên hàm thì khẳng định kf
 xdx  k f
 xdx là sai vì thiếu điều kiện k  0 .
Câu 12. Cho f  x, g  x là các hàm số xác định và liên tục trên
. Mệnh đề nào sau đây sai? A. 
 f x gxdx  
 f xdx gxdx . B. 
 f x.gxdx  
 f xd .x gxdx. C. 2
 f xdx  2 f xdx . D. 
 f x gxdx  
 f xdx  gxdx. Lời giải: 
 f x.gxdx  
 f xd .x gxdx sai vì không đúng tính chất.
Câu 13. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên . Tìm G  x   f
 x1dx  .
A. G  x  xF  x  x  C .
B. G  x  F  x  x  C .
C. G  x  xF  x 1 C .
D. G  x  F  x 1 C . Lời giải:
Ta có G  x   f
 x1dx 
 F x  x  C .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
Câu 14. Cho biết hàm số f  x có đạo hàm là f ' x và có một nguyên hàm là F  x . Tìm I  2
 f x f 'x1 d .  x
A. I  2F  x  f  x  x  C .
B. I  2F  x  xf  x  C .
C. I  2xF  x  x 1.
D. I  2xF  x  f  x  x  C . Lời giải: Ta có I  2
 f x f 'x1dx  2 
 f xdx f '
 xdx dx  2 
F  x  f  x  x  C .
Câu 15. Mệnh đề nào sau đây sai? A. kf
 xdx  k f
 xdx , (k là hằng số và k  0).
B. Nếu F  x và G  x đều là nguyên hàm của hàm số f  x thì F  x  G  x .
C. Nếu f
 xdx  F xC thì f
 udu  F uC .
D.  f x  f x  dx  f x dx  f x dx    . 1   2   1   2   Lời giải:
Chọn f  x  x ta thấy: 2 x + f
 xdx  d x x   C  F x  . 1   2 2 x + f
 xdx  d x x   C  G x  . 2   2
Khi C  C thì F  x  G  x . 1 2
Câu 16. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A.  f
 x gx dx  f 
 x dx  g
 x dx . B.  f
 x gx dx  f 
 x dx  g
 x dx . C. f 
 x dx  f xC . D. kf
 x dx  k f
 x dx , k  . Lời giải: kf
 x dx  k f
 x dx , k  0.
Câu 17. Nếu hàm số F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên K, với mỗi hằng số C. Trong các mệnh đề sau:
I .Gx  F xC cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
II .Gx  C.F x cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
III .Gx  F xC cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B.  I , II , III  đúng.
C.  I , II  đúng.
D.  I , III  đúng. Lời giải:
Theo định nghĩa về nguyên hàm thì  I  và  III  là đúng,  II  sai.
Câu 18. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số   2
f x  x . Biểu thức F25 bằng A. 5. B. 625. C. 25. D. 125. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
+) Vì F  x là một nguyên hàm của hàm số   2 f x  x nên
F  x  f  x 2
 x  F  2 25  25  625.
Câu 19. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. d 1 x  0.  B. 2 x dx  2 . x  C. d 2
x x  x  C  D. d
1 x  x  C. 
Câu 20. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. 0dx  C.  B. 2
x dx  2x  C.  C. d 2
2x x  x  C  D. d
1 x  x  C. 
Câu 21. Khẳng định nào dưới đây sai? n1 1 A. n x x dx   C.  B. xd x
e x  e  C.  C. d
1 x  x  C.  D.
dx  ln x  C.  n  1 x
Câu 22. Khẳng định nào dưới đây sai? n1 A. n x x dx   C,n  1  .  B. xd x
e x  e  C.  n  1 1 1 1 C. dx   C.  D.
dx  ln x  C.  2 x x x
Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 A.
dx  ln x  C  . B. cos 2 d
x x  sin 2x  C  . x 2 x 1 e  e 1 x  C. x e dx   C  . D. e x dx   C  . x 1 e 1 Lời giải: Ta có: xd x e x e   C  nên C sai.
Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. sin d
x x  sin x  C.  C. sin d
x x   cos x  C.  D. sin d
x x   sin x  C. 
Câu 25. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. cos d
x x  sin x  C.  C. sin d
x x   cos x  C.  D. cos d
x x  cos x  C. 
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin x  cos x là
A. F x  sin x  cos x  C.
B. F x  sin x  cos x  C.
C. F x  sin x  cos x  C.
D. F x  sin x  cos x  C.
Câu 27. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. sin d
x x  cos x  C.  B. cos d
x x  sin x  C.  1 1 C.
dx  cot x  C.  D.
dx  tan x  C.  2 sin x 2 cos x
Câu 28. Khẳng định nào dưới đây sai? n1 A. n x x dx   C,n  1  .  B. xd x
e x  e  C.  n  1 x1 x 7 C. 7 dx   C.  D. cos d
x x  sin x  C.  x  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025
Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f 
 xdx  f xC . B. cos d
x x  sin x  C  .  1   x
C. x dx   C,    1   x x      . D. a dx a ln a C  0 a  1 . 1 Lời giải: x a Ta có x a dx   C  0  a   1 nên phương án xd x
a x  a ln a  C  0  a   1 sai. ln a
Câu 30. Hàm số nào dưới đây không phải nguyên hàm của hàm số f x 2  3x ? A. 3
y  x . B. 3
y  x  1. C. 3
y  x  1. D. y  6 . x
Câu 31. Hàm số y  sin 2x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? cos 2x cos 2x A. y  cos 2 . x B. y   . C. y  .
D. y  2 cos 2 . x 2 2
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  x  2 là
A. F x  2 . x
B. F x 3
 x  2x  C. x x
C. F x 3 
 2x  C.
D. F x 3   2  C. 3 3
Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f x  x 2 4x  2 là x  x 
A. F x 2 3 4  
 2x  C.
B. F x 4 2
 x  2x  C. 2  3 
C. F x 4 2
 4x  x  C.
D. F x 4 2
 x  x  C. Lời giải: Ta có: f
 xdx   3x  xd 4 2 4 2
x  x  x  C.
Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3
 x  x,x  0 là 1 3 2 1
A. F x 3
 x x  x x  C.
B. F x 3
 x x  x x  C. 3 4 3 4 2 3 2 3
C. F x 3
 x x  x x  C.
D. F x 3
 x x  x x  C. 3 2 3 4 Lời giải: 3 4 1 1   2 3 x x 2 3 Ta có: f  xd 2
x   x  x d 3 3 x  
 C  x x  x x  C.   3 4 3 4   2 3
Câu 35. Trên khoảng ( ;
 ) , họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x f x  e là x e 2 x e
A. f (x)dx   C.  B. 2 ( )d x f x x  e  C. 
C. f (x)dx   C.  D. 2 ( )d  2 x f x x e  C.  2 2
Câu 36. Cho hàm số   2 x f x  e
 sin 3x . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 1 A. f  x 2 dx  e
 cos3x  C . B.    2 d x f x x  e
 cos3x  C . 3 x e x x e x C. f  x 2 sin 3 dx    C . D. f  x 2 cos 3 dx    C . 2 3 2 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lời giải: x e x x cos 3 Ta có: f
 xdx  e sin3x 2 2 dx    C . 2 3
Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số   5x f x  là x1 5 A. f
 xdx   C.
B.   d  5x f x x  C. x  1 5x C. f
 xdx   C.
D.   d  5x f x x ln 5  C. ln 5
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số   4x f x  e là A.   d 4 x
f x x  e  C. B.   d 4  4 x f x x
e  C. 4x e 4x e C. f
 xdx  C. D. f
 xdx   C. 4 4
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số   x   2 2 x f x e e  3 là 3 2 x e 3 2 x e A. f
 xdx   3 x
e  C. B. f
 xdx   3 x
e  C. 3 3 3x e C.   d x   2x
f x x e e  3  C. D. f
 xdx   3 xe C. 3 Lời giải: Ta có:   x   2x   3 2
3  2 x  3 x f x e e e e 3 x x 2 x e Lúc đó: f
 xdx   3
2e  3e dx   3 x e  C. 3 x x e  e 
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2 4 2 5  là x e A. f  xd 2x x 5
x  2e  2e   C. B. f  xd 2x x 5
x  4e  2e   C. x e x e C. f  xd 2x x 5
x  2e  e   C. D. f  xd 2x x 5
x  4e  2e   C. x e x e Lời giải: 4 x e  2 x e  5 x x 5
Ta có: f x 3 2 2 2 
 4e  2e   4 x e  2 x e  5 x e . x x e e 2  4 x e 5 x x x x x e x x 5 Lúc đó: f
 xdx   2
4e  2e  5e d 2 x   2e 
 C  2e  2e   C. 2 1 x  e
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin 3x là A. f
 xdx  cos3x C. B. f
 xdx  3sin3x C. cos 3x cos 3x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 3 3
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos 3x là sin 3x sin 3x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 3 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 cos 3x C. f
 xdx  sin3x C. D. f
 xdx    C. 3
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin 2x  cos3x là x x
A. F x  2cos 2x  3sin 3x  C.
B. F x cos 2 sin 3     C. 2 3 x x x x
C. F x cos2 sin 3    C.
D. F x cos2 sin 3    C. 2 3 2 3
Câu 44. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  4sin x là 3 4sin x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx  2x sin2x C. 3 cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx  2x  2sin2x C. 2 Lời giải:
Ta có: f x 2
 4sin x  21 cos2x  2  2cos2 . x Lúc đó: f
 xdx  2  2cos2xdx  2x sin2x C.
Câu 45. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2
 cos x  sin x là sin 2x sin 2x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 2 2 cos 2x cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 2 2 Lời giải:
Ta có: f x 2 2
 cos x  sin x  cos2 . x sin 2x Lúc đó: f
 xdx  cos2 d x x   C.  2
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f x 4 4
 cos x  sin x là sin 2x sin 2x A. f
 xdx   C. B. f
 xdx    C. 2 2 cos 2x cos 2x C. f
 xdx   C. D. f
 xdx    C. 2 2 Lời giải:
Ta có: f x 4 4  x  x   2 2 x  x 2 2 cos sin cos sin
cos x  sin x  cos2 . x sin 2x Lúc đó: f
 xdx  cos2 d x x   C.  2
Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số f x  4sin xcos3x là cos 4x cos 4x A. f
 xdx  
 cos2x  C. B. f
 xdx  
 cos2x  C. 2 2 cos 4x cos 4x C. f
 xdx 
 cos2x  C. D. f
 xdx 
 cos2x  C. 2 2 Lời giải: 1
Ta có: f x  4sin xcos3x  4. sin 2
 x  sin4x  2sin4x  2sin2 .x 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 cos 4x Lúc đó: f
 xdx  2sin4x 2sin2xdx  
 cos2x  C. 2
Câu 48. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 4sin xcos 3x là cos7x cos 5x cos7x cos 5x A. f
 xdx   
 2cosx  C. B. f
 xdx   
 2cosx  C. 7 5 7 5 cos7x cos 5x cos7x cos 5x C. f
 xdx  
 2cosx  C. D. f
 xdx  
 2cosx  C. 7 5 7 5 Lời giải:  x
Ta có: f x 2 1 cos6
 4sin xcos 3x  4sin . x
 2sin x1 cos6x 2
 2sin x  2sin xcos6x  2sin x  sin7x  sin5x  sin7x  sin5x  2sin .x cos7x cos 5x Lúc đó: f
 xdx  sin7x sin5x  2sinxdx   
 2cosx  C. 7 5
Câu 49. Cho hàm số f  x   x   2 2 cos 2   3x 
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  f x x   x   3 d 2 sin 2    x   C . B.   3 d  sin 2    f x x x x C .
C.  f x x    x   3 d sin 2    x   C .
D.  f xdx  4  sin 2
  x    6x   C . Lời giải:
Ta có  f x x     x    2 d 2 cos 2 2  3x  d   x 2 3
 2cos 2x  3x  dx  sin 2x  x  C.   x  x 
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 2 3 2 5  , x  0 là x
A. F x 3 2
 x  2x  5ln x  C.
B. F x 3 2
 x  x  5ln x  C.
C. F x 3 2
 x  x  5ln x  C. D. 3 2
x  2x  5ln x  C. Lời giải: 3 2 3x  2x  5  5  Ta có: f
 xdx  d 2 x  3x  2x  d 3 2
x  x  x  5ln x     C. x  x  x 1
Câu 51. Trên khoảng (0; ) , họ nguyên hàm của hàm số f (x)  là 3 x 3 2  3 2 
A.  f x 2 2 dx x  2   x  C .
B.  f x 2 2 dx x  2    x  C . 3 3 3 2  3 3 
C.  f x 2 2 dx x  2    x  C .
D.  f x 2 2 dx x  2    x  C . 3 2 Lời giải: 5 3 x 1     2 
Ta có: f  x 3 2 2 2 dx 
dx   x  x dx   x  2  x     C . 3 x 3  
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là 2x  3 2
A. F x        C
B. F x ln2x 3 C. 2x  3 . 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 x 
C. F x  ln 2x  3  C.
D. F x ln 2 3   C. 2
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là 1  3x 3
A. F x       C
B. F x ln1 3x C. 1  3x . 2  x
C. F x  ln 1  3x  C.
D. F x ln 1 3    C. 3  Câu 54. Xác định   6 2  d  x F x x . 3x 1
A. F  x 4
 2x  ln 3x 1  C.
B. F  x  2x  4 ln 3x 1  C 3
C. F  x 4
 ln 3x 1  C
D. F  x  2x  4 ln 3x   1  C 3 Lời giải: 6x  2   Ta có: dx  4  2  dx  4  
 2x  ln 3x 1  C . 3x 1  3x 1  3 1
Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  là ( x x  1) 1 x  1 x  1 A. f
 xdx  ln  C. B. f
 xdx  ln  C. 2 x x x  1 1 x C. f
 xdx  ln  C. D. f
 xdx  ln  C. x 2 x  1 Lời giải: dx x  (x  1) dx dx x  1 Ta có:  dx  
 ln x  1  ln x  C  ln  C     . ( x x  1) ( x x  1) x  1 x x x
Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  . 2 x  4 1 1  1 A. 2
2 ln x  4  C . B.  C . C.  C . D. 2
ln x  4  C . 2 2 x  4 4 x  42 2 2 Lời giải: d  2 x  4 1  x 1 Ta có dx   dx  2
 ln x  4  C 2 x  4 2 2 x  4 2 2  1 Câu 57. Xác định d .  x x x x 1 2 x A. 2
x  ln x 1  C . B.
 ln x 1  C . 2 1 1 C.1     . D. x C . x   C 2 1 x 1 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115