Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn Có Đáp Án Và Lời Giải

Chuyên đề tích phân hàm ẩn được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 19 trang. Mỗi đề thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!

Trang1
CHUYÊN ĐỀ:TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIN THC CN NH:
1. Các tính cht tích phân:
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
vi
a c b
.
d d 0
bb
aa
k f x x kf x x k

dd
ba
ab
f x x f x x

d
b
b
a
a
f x x F x F b F a
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f z z
d
b
b
a
a
f x x f x f b f a
2. Công thức đổi biến s:
.,
ub
b
a u a
f u x u x dx f u du u u x


.
Phương pháp đổi biến s thường được s dụng theo hai cách sau đây:
Gi s cn tính
b
a
g x dx
. Nếu ta viết được
gx
dưới dng
f u x u x
thì
ub
b
a u a
g x dx f u du

. Vy bài toán quy v nh
ub
ua
f u du
, trong nhiều trường hp thì tích phân mi
này đơn giản hơn .
Gi s cn tính
f x dx
. Đặt
x x t
tha mãn
,x a x b


thì
bb
aa
f x dx f x t x t dt g t dt

, trong đó
.g t f x t x t
BÀI TP MU
MINH HA LN 1-BDG 2020-2021)Cho hàm s
2
2
1 khi 2
()
2 3 khi 2
xx
fx
x x x

. Tích phân
2
0
(2sin 1)cos df x x x
bng:
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Phân tích hướng dn gii
Trang2
1. DNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm giá tr ca tích phân ca hàm s.
2. HƯỚNG GII:
B1: Da vào biu thc bên trong du tích phân, ta s dụng phương pháp đổi biến s để x lý bài toán.
B2:S dng tính cht
d d d , ;
b c b
a a c
f x x f x x f x x c a b
.
B3:La chn hàm
fx
thích hợp để tính giá tr tích phân.
T đó, ta có thể gii bài toán c th như sau:
Ligii
Chn B
Xét
2
0
(2sin 1)cos dI f x x x

Đặt
cos
1
2sin d d1
2
xxt x t
Đổi cn:
01
3
2
xt
xt
.
3 3 2 3
22
1 1 1 2
1 1 1 23
( )d ( )d 2 d 1 d
2 2 2
3
6
I f t t f x x x x x x x



.
Bài tập tương tự và phát trin:
Mức độ 3
Câu 1. Cho hàm s
2
2
e
2
0
()
0
x
khi x
f
x
x
khi xx

. Biết tích phân
1
2
1
e
( ) d
a
f x x
bc

(
a
b
phân s ti
gin). Giá tr
abc
bng
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
10
.
Ligii
ChnC
Ta có:
1 0 1
2
22
1 1 0
4
( )dx d d
32
2
x
e
I f x x x ex x

.
Vy
9abc
.
Câu 2. Cho hàm s
2
1
3
()
3
1
4
khi x
fx
kh
xx
x
ix
. Tích phân
4
2
e
e
(ln )
d
f
x
x
x
bng:
A.
40
ln 2
3
. B.
95
ln 2
6
. C.
189
ln 2
4
. D.
189
ln 2
4
.
Ligii
Chn D
Xét
4
2
(ln )
d
e
e
f
Ix
x
x
Đặt
d d
1
ln xxtt
x
Đổi cn:
2
4
e2
e4
xt
xt
.
4 4 3 4
2 2 3
2
2
1
2( )d ( )d d d
4
189
1 ln
4
xxI f t t f x x x x
x
.
Trang3
Câu 3. Cho hàm s
1
)
1
11
(
x
khi x
fx
khi
x
x
. Tích phân
2
3
1
1( )d
m
fx
n
x
(
m
n
phân s ti gin),
khi đó
2mn
bng:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Chn A
Xét
3
1
7
( 1 )dI xfx
Đặt
3
2
31ddxxt t t
Đổi cn:
72
10
xt
xt
.
0 2 1 2
2 2 2
2 0 0 1
25
3 ( )d 3 ( )d 3 1 d d
12
I t f t t x f x x x x x x x



.
Câu 3. Cho hàm s
fx
liên tc trên
1
0
d4f x x
,
3
0
d6f x x
. Tính
1
1
2 1 dI f x x

A.
3I
. B.
5I
. C.
6I
. D.
4I
.
Li gii
Chn B
Đặt
21ux
1
dd
2
xu
. Khi
1x 
thì
1u 
. Khi
1x
thì
3u
.
Nên
3
1
1
d
2
I f u u
03
10
1
dd
2
f u u f u u





03
10
1
dd
2
f u u f u u




.
Xét
1
0
d4f x x
. Đặt
xu
ddxu
.
Khi
0x
thì
0u
. Khi
1x
thì
1u 
.
Nên
1
0
4df x x
1
0
df u u

0
1
df u u

.
Ta có
3
0
d6f x x
3
0
d6f u u
.
Nên
03
10
1
dd
2
I f u u f u u




1
4 6 5
2
.
Câu 4. Cho
Fx
mt nguyên hàm ca hàm s
11f x x x
trên tp
tha mãn
13F
. Tính tng
0 2 3F F F
.
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Li gii:
Chn C
Bng kh du giá tr tuyệt đối:
Trang4
Ta có:
2
1
d 2 1 2 3f x x F F F
22
11
d 2d 2f x x x

nên
25F
.
1
0
d 1 0 3 0f x x F F F
11
21
0
00
d 2 d 1f x x x x x

nên
02F
.
0
1
d 0 1 2 1f x x F F F
00
20
1
11
d 2 d 1f x x x x x


nên
13F 
.
1
3
d 1 3 3 3f x x F F F
11
33
d 2d 4f x x x



nên
37F 
.
Vy
0 2 3 2 5 7 14F F F
.
Câu 5. Biết
5
1
2 2 1
d 4 ln2 ln5
x
I x a b
x

vi
,ab
. Tính
S a b
.
A.
9S
. B.
11S
. C.
3S 
. D.
5S
.
Li gii:
Chn D
Ta có
2 khi 2
2
2 khi 2
xx
x
xx



.
Do đó
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
I x x
xx


.
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
xx
xx


25
12
53
2 d 2 dxx
xx

25
5ln 2 2 3ln
12
x x x x
4 8ln2 3ln5
.
8
3
a
b

5S a b
.
Câu 6. Cho hàm s
fx
đạo hàm liên tc trên
tha mãn
3
3 1 3 2f x x x
, vi mi
x
.Tích phân
5
1
dxf x x
bng
A.
31
4
. B.
17
4
. C.
33
4
. D.
49
4
.
Li gii
Chn C
T gi thiết ta có
3
3 1 3 2f x x x
nên suy ra
12f
,
55f
.
Suy ra
5 5 5
5
1
1 1 1
d d 23 dI xf x x xf x f x x f x x
.
Đặt
32
3 1 d 3 3 dx t t x t t
.
Vi
1 0; 5 1x t x t
Trang5
Do đó
5 1 1
3 2 2
1 0 0
59
d 3 1 3 3 d 3 2 3 3 d
4
f x x f t t t t t t t
.
Vy
59 33
23
44
I
.
Câu 7. Cho hàm s
y f x
xác định liên tc trên
tho
5
4 3 2 1, .f x x x x
Tích
phân
8
2
f x dx
bng
A.
2
. B.
10
. C.
32
3
. D.
72
.
Li gii
Chn B
Đặt
54
4 3 5 4x t t dx t dt
.
Đổi cn:
21
81
xt
xt
Khi đó
8 1 1
5 4 4
2 1 1
4 3 5 4 2 1 5 4 10f x dx f t t t dt t t dt
.
Câu 8. Cho hàm s
()y f x
xác định liên tc trên
tha mãn
3
2 ( ) 3 ( ) 5f x f x x
vi
x
. Tính
10
5
()I f x dx
.
A.
0I
. B.
3I
. C.
5I
. D.
6I
Li gii
Chn B
Đặt
32
( ) 2 3 5 (6 3)t f x t t x dx t dt
3
5 2 3 5 5 0x t t t
3
10 2 3 5 10 1x t t t
Vy
10 1
2
50
( ) (6 3) 3I f x dx t t dt

.
Câu 9. Cho hàm s
fx
xác định
1
\,
2



tha
2
, 0 1
21
f x f
x

1 2.f
Giá tr
ca biu thc
13ff
bng
A.
ln15.
B.
2 ln15.
C.
3 ln15.
D.
4 ln15.
Li gii
Chn C
Ta có
2
21
fx
x
1
2
1
ln 1 2 ;
2
2
ln 2 1
1
21
ln 2 1 ;
2
x C x
f x dx x C
x
x C x
1
0 1 1fC
2
1 2 2fC
.
Do đó
1
ln 1 2 1 ;
1 ln3 1
2
1
3 ln5 2
ln 2 1 2 ;
2
xx
f
fx
f
xx




Trang6
1 3 3 ln15.ff
Câu 10. Cho hàm s
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x

. Khi đó
2
2
cos sinI xf x dx
bng
A.
15
2
. B.
15
. C.
8
. D.
17
2
.
Li gii:
Chn A
Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cn
1
2
1
2
xt
xt
.
11
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x

01
2
10
15
5 3 2
2
I x dx x x dx

.
Câu 11. Cho hàm s
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx


. Khi đó
1
0
32I f x dx
bng
A.
41
2
. B.
21
. C.
41
12
. D.
41
21
.
Ligii
Chn C
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt
. Đổi cn
03
11
xt
xt
.
33
11
11
22
I f t dt f x dx

Do
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx


23
2
12
1 41
1 2 3
2 12
I x dx x x dx




.
Câu 12. Cho hàm s
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
. Khi đó
2
0
sin cos 1I xf x dx

bng
A.
35
12
. B.
3
. C.
19
4
. D.
10
3
.
Li gii:
Chn A
Đặt
cos 1 sint x dt xdx
. Đổi cn
02
1
2
xt
xt
.
Trang7
22
11
I f t dt f x dx

Do
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
3
2
2
2
3
1
2
35
22
12
I x dx x x dx

.
Câu 13. Cho hàm s
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
. Khi đó
2
2
cos sinI xf x dx
bng
A.
2
3
. B.
1
. C.
1
3
. D.
4
3
.
Li gii:
Chn A
Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cn
1
2
1
2
xt
xt
.
11
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
01
2
10
2
3
I xdx x x dx

.
Câu 14. Cho hàm s
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
. Khi đó
2
2
0
1I xf x dx
bng
A.
24
. B.
73
3
. C.
74
3
. D.
25
.
Li gii:
Chn B
Đặt
2
1
12
2
t x dt xdx xdx dt
. Đổi cn
01
25
xt
xt
.
55
11
11
22
I f t dt f x dx

Do
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
35
2
13
1 73
2 1 1
23
I x dx x x dx




.
Câu 15. Cho hàm s
1
3 3 khi
2
()
1
4 khi
2
xx
fx
xx


. Tính tích phân
2
0
sin cos df x x x
.
Trang8
A.
8
. B.
17
4
. C.
13
2
. D.
21
5
.
Li gii:
Chn B
Xét
2
0
sin cos dI f x x x
Đặt
sinxt
cos d dx x t
Với
0x
0t
2
x
1t
11
1 1 1 1
22
11
0 0 0 0
22
17
d d ( )d ( )d 3 3 d 4 d .
4
I f t t f x x f x x f x x x x x x
Câu 16. Cho hàm s
2
2
2 1 khi 0
()
2 1 khi 0
xx
fx
x x x

. Tính tích phân
3
0
3cos 2 sin df x x x
.
A.
33
2
. B.
15
23
. C.12. D.
19
24
.
Li gii:
Chn D
Xét
3
0
3cos 2 sin dI f x x x

Đặt
3cos 2xt
1
3sin d d sin d d
3
x x t x x t
Với
0x
1t
3
x
1
2
t 
1 1 0 1
1 1 1
0
2 2 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
01
22
1
0
2
1 1 19
2 1 d 2 1 d .
3 3 24
x x x x x

Câu 17. Cho hàm s
2
1 khi 1
()
2 2 khi 1
xx
fx
xx


. Tính tích phân
4
2
5sin2 1 cos2 df x x x
.
A.
11
10
. B.
43
31
. C.
31
30
. D.
31
10
.
Li gii:
Chn C
Xét
4
2
5sin 2 1 cos2 dI f x x x

Đặt
5sin2 1xt
1
10cos2 d d cos2 d d
10
x x t x x t
Trang9
Với
2
x

1t 
4
x
4t
4 4 1 4
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
10 10 10 10
I f t t f x x f x x f x x
14
2
11
1 1 31
1 d 2 2 d .
10 10 30
x x x x

Câu 18. Cho hàm s
3
2 5 khi 2
()
11 khi 2
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
1
1
2 ln d
e
e
f x x
x
.
A.
69
2
. B.
12
. C.
25
2
. D.
30
.
Li gii:
Chn A
Xét
1
1
2 ln d
e
I f x x
x

Đặt
2 lnxt
1
ddxt
x
Với
1
x
e
1t
xe
3t
3 3 2 3 2 3
3
1 1 1 2 1 2
69
d d d d 11 d 2 5 d .
2
I f t t f x x f x x f x x x x x x x
Câu 19. Cho hàm s
2
1 khi 3
()
7 5 khi 3
xx
fx
xx


. Tính tích phân
ln2
0
3 1 e d
xx
f e x
.
A.
13
15
. B.
102
33
. C.
94
9
. D.
25
9
.
Li gii:
Chn C
Xét
ln2
0
3 1 d
xx
I f e e x
Đặt
31
x
et
1
3 d d d d
3
xx
e x t e x t
Với
0x
2t
ln2x
5t
5 3 5 3 5
2
2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 94
d d d 1 d (7 5 )d .
3 3 3 3 3 9
I f t t f x x f x x x x x x
Mức độ 4
Câu 1. Giá tr ca tích phân
2
0
max sin ,cos dx x x
bng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
1
2
.
Ligii
Chn C
Trang10
Ta có phương trình
sin cos 0xx
có mt nghiệm trên đoạn
0;
2



4
x
.
Bng xét du
Suy ra
2 4 2
00
4
max sin ,cos d cos d sin dx x x x x x x

2
4
0
4
sin cos 2xx
.
Câu 2. Tính tích phân
2
3
0
max , dI x x x
.
A.
9
4
. B.
17
4
. C.
19
4
. D.
11
4
.
Li gii:
Chn B
Đặt
3
f x x x
ta có bng xét du sau:
.
Da vào bng xét du ta có.
3 3 3
0;1 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x
.
3 3 3 3
1;2 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x
.
Ta có:
2
3
0
max , dI x x x
12
33
01
max , d max , dx x x x x x

.
Nên
2
3
0
max , dI x x x
12
12
3 2 4
01
01
1 1 17
dd
2 4 4
x x x x x x

.
Câu 3. Cho hàm s
y f x
liên tc trên
\ 0; 1
tha mãn
2
1 2ln2
2 ln3; ,
1.
f
f a b a b
x x f x f x x x

.
Tính
22
ab
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Ligii
ChnB
Ta có
2
1.x x f x f x x x
(1)
Chia c 2 vế ca biu thc (1) cho
2
1x
ta được
2
1
.
11
1
xx
f x f x
xx
x


.
11
xx
fx
xx




, vi
\ 0; 1x
.
.
1
x
fx
x
d
1
x
x
x
. ln 1
1
x
f x x x C
x
1
ln 1
x
f x x x C
x
Trang11
Mt khác,
1 2ln2f 
2 1 ln2 2ln2C
1C 
.
Do đó
1
ln 1 1
x
f x x x
x
.
Vi
2x
thì
3 3 3
1 ln3 ln3
2 2 2
fx
. Suy ra
3
2
a
3
2
b 
.
Vy
22
9
2
ab
.
Câu 4. Cho hàm s
y f x
đạo hàm trên
tha mãn
0 0 1
31
ff
f x y f x f y xy x y

,
vi
,xy
. Tính
1
0
1df x x
.
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
7
4
.
Ligii
ChnC
Lấy đạo hàm theo hàm s
y
2
36f x y f y x xy

,
x
.
Cho
2
0 0 3y f x f x

2
13f x x

3
f x f x dx x x C
01f
1C
. Do đó
3
1f x x x
.
Vy
1
0
1df x x
0
1
df x x
0
3
1
1
1d
4
x x x
.
Câu 5. Cho hàm s
fx
đạo hàm liên tc trên
0;1
tha mãn
10f
,
1
2
0
d7f x x


1
2
0
1
d
3
x f x x
. Tích phân
1
0
df x x
bng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Li gii
Chn A
Ta có
1
11
33
2
00
0
33





xx
x f x dx f x f x dx
. Suy ra
1
3
0
1
33

x
f x dx
.
Hơn nữa ta d dàng tính được
1
6
0
1
d
9 63
x
x
.
Do đó
1 1 1
36
2
2
0 0 0
d 2.21 d 21 d 0
39
xx
f x x f x x x



1
2
3
0
7 d 0f x x x


.
Suy ra
3
7
f x x
, do đó
4
7
4
f x x C
. Vì
10f
nên
7
4
C
.
Vy
11
4
00
77
d 1 d
45
f x x x x

.
Câu 6. Xét hàm s
fx
đo hàm liên tc trên
thỏa mãn điều kin
11f
24f
.
Tính
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





.
Trang12
A.
1 ln4J 
. B.
4 ln2J 
. C.
1
ln 2
2
J 
. D.
1
ln 4
2
J 
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





2 2 2
22
1 1 1
21
d d d
f x f x
x x x
x x x x



.
Đặt
2
11
dd
dd
u u x
xx
v f x x v f x






.
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





2
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
1 2 1
. d d d
f x f x
f x x x x
x x x x x



2
1
1 1 1
2 1 2ln ln 4
22
f f x
x



.
Câu 7. Cho hàm s
()fx
xác định trên
\ 2;1
tha mãn
2
1
, 3 3 0, 0
2
1
3
f x f f f
xx

. Giá tr ca biu thc
4 1 4f f f
bng
A.
11
ln20
33
. B.
11
ln 2
33
. C.
ln80 1
. D.
18
ln 1
35
.
Ligii
ChọnB
Ta có:
2
1 1 1
2 3 1 2
1
fx
x x x x



1
2
3
1
ln 1 ln 2 ; ; 2
3
1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ln 2 ; 2;1
3 1 2 3 2 3
1
ln 1 ln 2 ; 1;
3
x x C x
x
f x dx C x x C x
x x x
x x C x











Vi
22
1 1 1 1 1
0 ln 1 0 ln 0 2 ln2
3 3 3 3 3
f C C


Vi
13
11
3 3 0 ln
3 10
f f C C
Nên
2 1 3
1 5 1 1 1 1 1
4 1 4 ln ln2 ln ln2
3 2 3 3 2 3 3
f f f C C C
.
Câu 8. Cho hàm s
fx
xác định liên tc trên
đồng thi tha mãn
2
0,
,.
1
0
2
x
f x x
f x e f x x
f
Tính giá tr ca
ln2f
.
A.
1
ln 2
4
f
. B.
1
ln 2
3
f
. C.
1
ln2 ln2
2
f 
. D.
2
1
ln2 ln 2
2
f 
.
Li gii
Chn B
Trang13
Ta có
2x
f x e f x

2
x
fx
e
fx
( do
0fx
)
2
dd
x
fx
x e x
fx

11
x
x
e C f x
f x e C
.
0
1 1 1
01
22
fC
eC
.
ln2
1 1 1
ln2
1 1 3
x
f x f
ee

.
Câu 9. Cho hai hàm
fx
gx
có đạo hàm trên
1;4
, tha mãn
1 1 4fg
g x xf x
f x xg x



vi mi
1;4x
. Tính tích phân
4
1
I f x g x dx


.
A.
3ln2
. B.
4ln2
. C.
6ln2
. D.
8ln2
.
Li gii
Chn D
T gi thiết ta có
..f x g x x f x x g x

. . 0f x x f x g x x g x

. . 0x f x x g x

..
C
x f x x g x C f x g x
x
44
11
4
1 1 4 4 8ln2f g C I f x g x dx dx
x



.
Câu 10. Cho hai hàm
()fx
()gx
có đạo hàm trên
1;2
tha mãn
(1) (1) 0fg
2
3
2
( ) 2017 ( 1) ( )
( 1)
, 1;2 .
( ) ( ) 2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x


Tính tích phân
2
1
1
( ) ( )
1
xx
I g x f x dx
xx




.
A.
1
2
I
. B.
1I
. C.
3
2
I
. D.
2I
.
Li gii
Chn A
T gi thiết ta có:
2
2
11
( ) ( ) 2017
( 1)
, 1;2 .
1
( ) ( ) 2018
1
x
g x f x
xx
x
x
g x f x
xx


Suy ra:
22
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1
( 1) 1 1
1
( ) ( ) .
1
x x x x
g x g x f x f x g x f x
x x x x x x
xx
g x f x x C
xx






(1) (1) 0 1f g C
22
11
11
( ) ( ) ( 1) .
12
xx
I g x f x dx x dx
xx




Trang14
Câu 11. Cho hàm s
3
2 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
2
2
0
3sin 1 sin2 df x x x
.
A.
21
4
. B.
13
2
. C.
20
3
. D.
5
6
.
Li gii:
Chn A
Xét
2
2
0
3sin 1 sin2 dI f x x x

Đặt
2
1
3sin 1 3sin 2 d d sin 2 d d
3
x t x x t x x t
Với
0x
1t 
2
x
2t
2 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
12
3
11
1 1 21
2 d 3 d .
3 3 4
x x x x x

Câu 12. Cho hàm s
2
2 1 khi 1
()
khi 1
xx
fx
xx

. Tính tích phân
13
1
3 2 df x x
.
A.
231
5
. B.
97
6
. C.
16
3
. D.
113
3
.
Li gii:
Chn B
Xét
13
1
3 2 dI f x x
Đặt
2
3 2 3 2 3 ( 2) d 2( 2)dx t x t x t x t t
Với
1x
0t
13x
2t
2 2 1 2
0 0 0 1
2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) dI t f t t x f x x x f x x x f x x
12
2
01
97
2 ( 2) d 2 (2 1)( 2)d .
6
x x x x x x

Câu 13. Cho hàm s
2 4 khi 2
()
4 2 khi 2
xx
fx
xx


. Tính tích phân
2
2
4
3 4cos sin 2 df x x x
.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
21
4
. D.
5
12
.
Li gii:
Chn A
Xét
2
2
4
3 4cos sin2 dI f x x x

Đặt
2
1
3 4cos sin 2 d d
4
x t x x t
Trang15
Với
4
x

1t
2
x
3t
3 3 2 3
1 1 1 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
4 4 4 4
I f t t f x x f x x f x x
23
12
1 1 2
4 2 d 2 4 d .
3 3 3
x x x x

Câu 14. Cho hàm s
42
2
2 1 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
4
1
1
4 ln d
e
f x x
x
.
A.
16
3
. B.
17
. C.
11
6
. D.
6
11
.
Li gii:
Chn C
Xét
4
1
1
4 ln d
e
I f x x
x

Đặt
2
1
4 ln 4 ln d 2 dx t x t x t t
x
Với
1x
2t
4
xe
0t
2 2 1 2
0 0 0 1
2 . d 2 . d 2 . ( )d 2 . ( )dI t f t t x f x x x f x x x f x x
12
4 2 2
01
11
2 2 1 d 2 3 d .
6
x x x x x x x

Câu 15. Cho hàm s
2
2 1 khi 0
( ) 1 khi 0 2
5 2 khi 2
xx
f x x x
xx


. Tính tích phân
4
2
4
1
2 7tan d
cos
f x x
x
.
A.
201
77
. B.
34
103
. C.
155
7
. D.
109
21
.
Li gii:
Chn D
Xét
4
2
4
1
2 7tan d
cos
I f x x
x

Đặt
2
11
2 7tan d d
cos 7
x t x t
x
Với
4
x

9t
4
x
5t 
9 9 0 2 9
5 5 5 0 2
1 1 1 1 1
d d ( )d ( )d ( )d
7 7 7 7 7
I f t t f x x f x x f x x f x x
0 2 9
2
5 0 2
1 1 1 109
2 1 d 1 d 5 2 d .
7 7 7 21
x x x x x x
Trang16
Câu 16. Cho hàm s
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
. Khi đó
2
2
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx

bng
A.
7
3
. B.
8
3
. C.
3
. D.
10
3
.
Li gii:
Chn D
Ta có:
2
2
12
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx I I

Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cn
00
1
2
xt
xt
.
1 1 1
1
0 1 1
2I f t dt f t dt f x dx

Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
01
2
1
10
2
3
I xdx x x dx

.
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt
. Đổi cn
03
21
xt
xt
.
33
2
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
03
2
2
10
4I xdx x x dx




.
Vy
12
10
3
I I I
Câu 17. Cho hàm s
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
. Tính tích phân
2
3 ln3
22
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx
x

A.
84
. B.
83
. C.
48
. D.
84
.
Li gii:
Chn A
Ta có:
2
3 ln3
22
12
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx I I
x

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt
. Đổi cn
01
32
xt
xt
.
222
1
111
I f t dt f t dt f x dx

Trang17
Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
2
1
1
2 12 9I x dx
.
Đặt
2 2 2
1
12
2
x x x
t e dt e dx e dx dt
. Đổi cn
ln2 5
ln3 10
xt
xt
.
10 10
2
55
11
22
I f t dt f x dx

Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
10
2
5
1
4 75
2
Ix
.
Vy
12
84I I I
Câu 18. Cho hàm s
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
. Biết
2
1
3
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
a
I dx dx
x x b

vi
a
b
là phân s ti gin. Giá tr ca tng
ab
bng
A.
69
. B.
68
. C.
67
. D.
66
.
Li gii:
Chn A
2
1
3
12
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
I dx dx I I
xx

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
. Đổi cn
1
4
3
3
xt
xt
.
33
1
11
I f t dt f x dx

Đặt
2
22
21
ln 1
1 1 2
xx
t x dt dx dx dt
xx

. Đổi cn
00
1
1
2
xt
x e t
.
11
22
2
00
11
22
I f t dt f x dx

Do
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
1
3
2
3
12
10
1 53
2 3 2 53, 16
2 16
I I I x x dx x dx a b

.
Vy
69ab
Trang18
Câu 19. Cho hàm s
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx


. Biết
2
26
2
1
3
ln
.1
e
fx
a
I dx x f x dx
xb

vi
a
b
là phân s ti gin. Giá tr ca hiu
ab
bng
A.
77
. B.
67
. C.
57
. D.
76
.
Li gii:
Chn A
2
26
2
12
1
3
ln
.1
e
fx
I dx x f x dx I I
x

Đặt
1
lnt x dt dx
x
. Đổi cn
2
10
2
xt
x e t
.
22
1
00
I f t dt f x dx

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt
. Đổi cn
32
2 6 5
xt
xt
.
55
2
22
..I t f t dt x f x dx

Do
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx


25
12
02
1 79
2 . 7 79, 2
22
I I I x dx x x dx a b




.
Vy
77ab
Câu 20. Cho hàm s
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

. Biết
2
2
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
a
I f x xdx dx
xb

vi
a
b
là phân s ti gin. Giá tr ca tích
ab
bng
A.
305
. B.
305
. C.
350
. D.
350
.
Li gii:
Chn B
2
2
12
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
I f x xdx dx I I
x

Đặt
2sin 1 2cos cos
2
dt
t x dt xdx xdx
. Đổi cn
01
1
2
xt
xt
.
11
1
11
11
22
I f t dt f x dx


Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

01
2
10
1 13
2 3 1
2 12
I x dx x x dx




.
Trang19
Đặt
1
lnt x dt dx
x
. Đổi cn
2
1
2
x e t
x e t
.
22
2
11
I f t dt f x dx

Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

2
2
1
29
1
6
I x x dx
.
12
377
377, 72
72
I I I a b
Vy
305ab
| 1/19

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ:TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân:
b c b f
 xdx f
 xdxf
 xdxvới a c b. a a c b b k f
 xdx kf
 xdxk  0 a a b a f
 xdx   f
 xdx a b b b f
 xdx F x  F bF a a a b b b
  f x g xdx f
 xdxg
 xdx a a a b b b f
 xdx f
 tdt f  zdz a a a b b f
 xdx f x  f b f aa a
2. Công thức đổi biến số: f
 ux.uxdx f
 udu, u ux ub bf
 ux.uxdx f
 udu, u ux. a ua
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính
g xdx
. Nếu ta viết được g x dưới dạng f u xu x thì a ub bubg
 xdx f
 udu. Vậy bài toán quy về tính f udu
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a uaua này đơn giản hơn . 
Giả sử cần tính f
 xdx. Đặt x xt thỏa mãn   xa,   xb thì   b b f
 xdx f
 xtxtdt g
 tdt , trong đó gt  f xt.xt a a BÀI TẬP MẪU 2 x 1 khi x  2
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Cho hàm số f (x)   . Tích phân 2
x  2x  3 khi x  2  2
f (2sin x 1) cos x dx  bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Phân tích hướng dẫn giải Trang1
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b
B2:Sử dụng tính chất
f x dx
f x dx f x d , x c   ; a b    . a a c
B3:Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lờigiải Chọn B  2 Xét I
f (2sin x 1) cos x dx  0 Đặ 1
t t  2 sin x 1  dt  cos d x x 2
x  0  t  1 Đổi cận:  x   t  . 3 2 3 3 2 1 1 1   I
f (t)dt
f (x)dx    
x  2x  3 3 23 2 dx   2 x   1 dx     . 2 2 2 6   1 1 1 2
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 3 2 e x khi x  0 1 2 a e a Câu 1.
Cho hàm số f (x)   . Biết tích phân
f (x) dx    ( là phân số tối 2
x x  2 khi x  0 b c b 1 
giản). Giá trị a b c bằng A. 7 . B. 8 . C. 9 . D.10 . Lờigiải ChọnC 1 0 1 2 e x 4 Ta có: I f (x)dx   2 x x  2 2
dx e dx      . 3 2 1  1  0
Vậy a b c  9. x 2 1 x khi x  3  4 e f (ln x) Câu 2.
Cho hàm số f (x)   1 . Tích phân dx  bằng:  khi x  3 x  2 x  4 e 40 95 189 189 A.  ln 2 . B.  ln 2 . C.  ln 2 . D.  ln 2 . 3 6 4 4 Lờigiải Chọn D 4 e f (ln x) Xét I  dxx 2 e Đặ 1
t t  ln x  dt  dx x 2    Đổ x e t 2 i cận: . 4
x  e  t  4 4 4 3 4 1 189 I
f (t)dt
f (x)dx  dx x  2
1 x  dx   ln 2     . x  4 4 2 2 2 3 Trang2 1  khi x  1 1 m m Câu 3.
Cho hàm số f (x)   x . Tích phân 3
f ( 1 x)dx   ( là phân số tối giản),  n n
x 1 khi x 1 2 
khi đó m  2n bằng: A.1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 Xét 3 I
f ( 1 x )dx  7  Đặt 3 2
t  1 x  3
t dt  dx x  7   t  2 Đổi cận: .
x  1  t  0 0 2 1 2   25 2 2 2 I  3
t f (t)dt  3 x f (x)dx  3  
x x   1 dx  d x x     . 12 2 0 0 1  1 3 1 Câu 3.
Cho hàm số f x liên tục trên  và f
 xdx  4, f
 xdx  6. Tính I f
  2x1dx 0 0 1  A. I  3 . B. I  5 . C. I  6 . D. I  4 . Lời giải Chọn B
Đặt u  2x  1 1  d x
d u . Khi x  1  thì u  1
 . Khi x 1 thì u  3. 2 3 1 0 3 1   Nên I f
  u du   f
  u du f
  u du 2 2   1  1  0 0 3 1     f   u  du f
 udu. 2  1  0  1 Xét f
 xd x  4. Đặt x  u dx du . 0
Khi x  0 thì u  0 . Khi x 1 thì u  1  . 1 1  0 Nên 4 
f x d x    f u  
du f u   du. 0 0 1  3 3 Ta có f
 xd x  6  f
 udu  6. 0 0 0 3 1   1 Nên I   f   u  du f
 udu  46  5. 2  2 1  0  Câu 4.
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  1 x  1 x trên tập  và thỏa mãn F  
1  3. Tính tổng F 0  F 2  F  3   . A. 8 . B.12 . C.14 . D.10 . Lời giải: Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Trang3 2 2 2 Ta có: f
 xdx F2F  1  F23 mà f
 xdx  2dx  2 
nên F 2  5 . 1 1 1 1 1 1  f
 xdx F  1 F 0  3 F 0 mà f  x 2 1 dx  2 d x x x 1 
nên F 0  2 . 0 0 0 0 0 0 0
f xdx F 0  F   1  2  F    1 mà f x 2 0 dx  2 d x x x  1    nên F   1  3. 1  1  1  1  1  1  1 
f xdx F   1  F  3
   3 F  3  
 mà f xdx  2  dx  4    nên F  3    7 . 3  3  3 
Vậy F 0  F 2  F  3
   2 5 7 14 . 5 2 x  2 1 Câu 5. Biết I
dx  4  a ln 2  b ln 5 
với a, b   . Tính S a b . x 1 A. S  9 . B. S 11. C. S  3  . D. S  5. Lời giải: Chọn D
x  2 khi x  2 Ta có x  2   .
2  x khi x  2 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 Do đó I  dx  dx   . x x 1 2 2 22  x 5 1 2 x  2 1 2 5   5   3  dx  dx     2 dx  2  dx     x xx   x  1 2 1 2  
x x 2  x x  5 5ln 2 2 3ln  48ln 23ln5. 1 2    a 8 
S a b  5. b   3  Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2 , với mọi 5
x  .Tích phân xf
 xdx bằng 1 31 17 33 49 A.  . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f  3 x  3x  
1  3x  2 nên suy ra f  
1  2 , f 5  5 . 5 5 5 5
Suy ra I xf
 xdx xf x  f
 xdx  23 f  xdx. 1 1 1 1 Đặt 3
x t t   x   2 3 1 d 3t  3dt .
Với x  1  t  0; x  5  t  1 Trang4 5 1 1 59
Do đó f xdx f  3t  3t   1  2
3t  3dt  3t  2 2
3t  3dt     . 4 1 0 0 59 33 Vậy I  23   . 4 4 Câu 7.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  thoả f  5
x  4x  3  2x 1, x   .Tích 8 phân f
 xdx bằng 2  32 A. 2 . B. 10 . C. . D. 72 . 3 Lời giải Chọn B Đặt 5
x t t   dx   4 4 3 5t  4dt . x  2   t  1  Đổi cận: 
x  8  t 1 8 1 1 Khi đó f
 xdx f
  5t 4t 3 4
5t  4dt   2t   1  4
5t  4dt 10 . 2  1  1  Câu 8.
Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn  f x 3 2
( )  3 f (x)  5  x với 10 x
  . Tính I f (x)dx  . 5 A. I  0. B. I  3 . C. I  5 . D. I  6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t f (x)  2t  3t  5  x dx  (6t  3)dt và 3
x  5  2t  3t  5  5  t  0 3
x  10  2t  3t  5  10  t  1 10 1 Vậy 2 I
f (x)dx t(6t  3)dt  3   . 5 0 1  2 Câu 9.
Cho hàm số f x xác định  \  , thỏa f  x 
, f 0 1 và f   1  2. Giá trị 2 2x 1
của biểu thức f   1  f 3 bằng A. ln15. B. 2  ln15. C. 3  ln15. D. 4  ln15. Lời giải Chọn C
Ta có f  x 2  2x 1    x 1 ln 1 2  C ; x    f x 1 2 2 
dx  ln 2x 1  C    2x 1 ln2x   1 1  C ; x  2  2
f 0  1 C  1 và f   1  2  C  2 . 1 2    x 1 ln 1 2 1 ; x    f     1  ln 3 1
Do đó f x 2          x   1 f    3 ln 5 2 ln 2 1 2 ; x  2 Trang5f  
1  f 3  3  ln15.  2 3
x  2x khi x  0 2
Câu 10. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I  cos xf
sin xdx bằng 5   x khi x  0   2 15 17 A. . B.15 . C. 8 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn A   x    t  1   Đặ 2
t t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   .
x   t 1  2 1 1  I f
 tdt f  xdx 1  1  2 3
x  2x khi x  0 Do f (x)   5   x khi x  0 0 1
I  5 xdx   15 2
3x  2xdx    . 2 1  0 2
x  2x  3 khi x  2 1
Câu 11. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I f
 32xdx bằng x 1 khi x  2 0 41 41 41 A. . B. 21 . C. . D. . 2 12 21 Lờigiải Chọn C 1
x  0  t  3
Đặt t  3  2x dt  2dx dx   dt . Đổi cận  . 2
x 1 t 1 3 3 1  I f  t 1 dt f  xdx 2 2 1 1 2
x  2x  3 khi x  2 Do f (x)   x 1 khi x  2 2 3 1  
I   x  1dx   41 2
x  2x  3 dx   . 2 12  1 2   3 2  x  2x khi x   2 2
Câu 12. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I  sin xf cos x    1 dx bằng 3 x  2 khi x  0  2 35 19 10 A. . B. 3 . C. . D. . 12 4 3 Lời giải: Chọn A
x  0  t  2 
Đặt t  cos x 1 dt  sin xdx . Đổi cận   . x   t  1  2 Trang6 2 2  I f
 tdt f  xdx 1 1  3 2 x  2x khi x   2 Do f (x)   3 x  2 khi x   2 3 2 2
I  x  2dx   35 2
x  2xdx    . 12 1 3 2  2
x x khi x  0 2
Câu 13. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I  cos xf
sin xdx bằng x khi x  0   2 2 1 4 A.  . B. 1. C.  . D.  . 3 3 3 Lời giải: Chọn A   x    t  1   Đặ 2
t t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   .
x   t 1  2 1 1  I f
 tdt f  xdx 1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 1
I xdx   2 2
x xdx     . 3 1  0 2
x x 1 khi x  3 2
Câu 14. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I xf  2 x   1dx bằng 2x 1 khi x  3 0 73 74 A. 24 . B. . C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B 1
x  0  t 1 Đặt 2
t x 1  dt  2xdx xdx dt . Đổi cận  . 2
x  2  t  5 5 5 1  I f  t 1 dt f  xdx 2 2 1 1 2
x x 1 khi x  3 Do f (x)   2x 1 khi x  3 3 5 1  
I   2x  1dx   73 2 x x   1 dx   . 2 3  1 3   1 
3x  3 khi x   2 2
Câu 15. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f  sin xcos d x x . 1
x  4 khi x  0  2 Trang7 17 13 21 A. 8 . B. . C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B  2 Xét I f  sin xcos d x x 0
Đặt sin x t  cos d x x  dt
Với x  0  t  0  x   t 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1  I f
 tt f
 xx f x x f x x   
 x   x  x   17 d d ( )d ( )d 3 3 d 4 dx  . 4 0 0 0 1 0 1 2 2  2 2x 1 khi x  0 3
Câu 16. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
 3cosx2sin d x x . 2
2x x 1 khi x  0 0 33 15 19 A. . B. . C.12. D. . 2 23 24 Lời giải: Chọn D  3 Xét I f
 3cosx2sin d x x 0
Đặt 3cos x  2  t  1 3sin d
x x  dt  sin d x x   dt 3
Với x  0  t 1  x   1 t   3 2 1 1 0 1  1 I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   3 3 3 3 1 1 1 0    2 2 2 0 1
  2x x  1 1 19 2 1 dx   2 2x   1 dx  . 3 3 24 1 0 2  2 1
  x khi x 1 4
Câu 17. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f 5sin 2x   1cos2 d x x .
2x  2 khi x 1   2 11 43 31 31 A. . B. . C. . D. . 10 31 30 10 Lời giải: Chọn C  4 Xét I f 5sin 2x   1cos2 d x x   2
Đặt 5sin 2x 1 t  1 10 cos 2 d
x x  dt  cos 2 d x x  dt 10 Trang8  Với x    t  1  2  x   t  4 4 4 4 1 4 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   10 10 10 10 1  1  1  1 1 1   1 x  4 1 31 2 dx
2x2dx  . 10 10 30 1  1 3
2x x  5 khi x  2 e 1
Câu 18. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
 2ln x dx. 11   x khi x  2 x 1 e 69 25 A. . B.12 . C. . D. 30 . 2 2 Lời giải: Chọn A e 1 Xét I f
 2ln x dx x 1
Đặt 2  ln x t  1 dx  dt x 1
Với x   t 1 e
x e t  3 3 3 2 3 2 3  I f
 tdt f
 xdx f
 xdxf
 xdx  11 xdx  69 3
2x x  5dx  . 2 1 1 1 2 1 2 2 1
  x khi x  3 ln 2
Câu 19. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân 3 x   1ex f e dx .
7  5x khi x  3 0 13 102 94 25 A. . B.  . C.  . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét  3 x   1 x I f e e dx 0 Đặt 3 x e 1  t x x 1
3e dx  dt e dx  dt 3
Với x  0  t  2
x  ln 2  t  5 5 3 5 3 5  1 I f  t 1 dt f  x 1 dx f  x 1 dx   1 94 2 1 x dx
(7  5x)dx   .  3 3 3 3 3 9 2 2 3 2 3  Mức độ 4  2 Câu 1.
Giá trị của tích phân max  sin ,xcos  x dx bằng 0 1 A. 0 . B.1. C. 2 . D. . 2 Lờigiải Chọn C Trang9    
Ta có phương trình sin x cos x  0 có một nghiệm trên đoạn 0;   là x  .  2  4 Bảng xét dấu    2 4 2   Suy ra max  sin x,cos  x dx  cos d x x  sin d x x  
 sin x 4 cos x 2  2  . 0 0 0  4 4 2 Câu 2.
Tính tích phân I  max 
 3x, xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt   3
f x x x ta có bảng xét dấu sau: .
Dựa vào bảng xét dấu ta có. x
   f x 3 3
  x x   x x   3 0;1 , 0 0 max x ,  x x . x
   f x 3 3
  x x   x x   3x  3 1; 2 , 0 0 max , x x . 2 1 2 Ta có: I  max 
 3x, xdx  max 
 3x, xdx max 
 3x, xdx. 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 17 Nên I  max 
 3x, xdx 3 2 4  d
x x x dx xx    . 2 4 4 0 0 1 0 1  f   1  2  ln 2  Câu 3.
Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 0;  
1 thỏa mãn  f 2  a b ln 3; a,b   . x   x  
1 . f  x  f x 2  x x Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lờigiải ChọnB
Ta có x x   f  x  f x 2 1 .
x x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho  x  2 1 ta được
. f  x  f x  2   x 1 x  1 x 1    xx x x . f x    , với x   \0;   1 .  . f x  dx   x 1  x 1 x 1 x 1   x x 1
. f x  x  ln x 1  C f x 
x ln x 1 Cx 1 x Trang10 Mặt khác, f   1  2
 ln 2  21 ln 2  C  2  ln 2  C  1  . x 1
Do đó f x 
x ln x 1  1. x 3 3 3 3 3
Với x  2 thì f x  1 ln 3 
 ln 3. Suy ra a  và b   . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a b  . 2  f
 0  f 0 1 Câu 4.
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  thỏa mãn  ,  f
  x y  f x  f y  3xy x y 1 1
với x, y   . Tính f
 x1dx. 0 1 1 1 7 A. . B.  . C. . D. . 2 4 4 4 Lờigiải ChọnC
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f  x y  f  y 2
 3x  6xy , x   .
Cho y   f  x  f   2 0
0  3x f  x 2 1 3x         3 f x f
x dx x x C f 0  1  C  1. Do đó f x 3
x x  1 . 1 0 0 1 Vậy f x   1 dx  
f xdx  
 3x x 1dx   . 4 0 1  1  1 2 Câu 5.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0 ,  f
 x dx  7  và 0 1 1 1 2
x f x dx   . Tích phân
f x dx  bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3  xx 1 3 1 Ta có 2
x f xdx   f x  f   
xdx . Suy ra      x f x dx .  3  3 3 3 0 0 0 0 1 6 Hơn nữ x 1
a ta dễ dàng tính được dx   . 9 63 0 1 1 3 1 6 x x 1 Do đó  2 f
 x 2 dx2.21 f    x 2 dx  21 dx  0    f   x 3
 7x  dx  0   . 3 9 0 0 0 0 7 7
Suy ra f  x 3  7
x , do đó f x 4
  x C . Vì f   1  0 nên C  . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f xdx  
 4x  1dx    . 4 5 0 0 Câu 6.
Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f  
1  1 và f 2  4 .
2  f  x  2
f x 1 Tính J    dx . 2 x x   1 Trang11 1 1
A. J 1 ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2  f  x  2
f x 1 2 2 2 f x f x  2 1  Ta có J         dx  dx  dx   dx     . 2 x x   2 2 x xx x  1 1 1 1  1  1 u   du   dx Đặt 2  x   x . dv f  
xdx v f  x
2  f  x  2
f x 1 2 2 2 2 1 f x f x  2 1  J   
dx  . f x      dx  dx   dx     2 x x   2 2 2 x x xx x  1 1 1 1 1 2 1  
f    f   1 1 2 1  2 ln x    ln 4   . 2  x  2 1 Câu 7.
Cho hàm số f (x) xác định trên  \  2  ;  1 thỏa mãn f  x 1 1  , f 3
  f 3  0, f 0  . Giá trị của biểu thức f  4    f   1  f 4 2       x x  2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20  . B. ln 2  . C. ln80 1 . D. ln 1. 3 3 3 3 3 5 Lờigiải ChọnB 1 1  1 1 
Ta có: f  x      2 x x  2
3  x 1 x  2  1 ln
  1 x  ln x  2  C ; x   ;  2   1   3      f x 1 1 1 1 x 1 1   dx  ln  C     ln
 1 x  ln  x  2  C ; x  2  ;1  2  
3  x 1 x  2  3 x  2 3  1 ln    x  
1  ln  x  2  C ; x  1;   3   3 1 1 1 1 1
Với f 0   ln
 1 0  ln 0  2  C   C  ln 2   2 2 3 3 3 3 3 1 1 Với f  3
   f 3  0  C C  ln 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Nên f  4    f  
1  f 4  ln  ln 2  ln  C C C  ln 2  . 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Câu 8. Cho hàm số
f x xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn 
f x  0, x    
f  xx 2
 e f x, x    .   f   1 0   2
Tính giá trị của f ln 2 . 1 A. f   1 ln 2  . B. f   1 ln 2  . C. f   1 ln 2  ln 2 
. D. f ln 2 2  ln 2  . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B Trang12 f  x
Ta có f  xx 2  ef xx
 e ( do f x  0 ) 2 f xf  x  1 x 1 d x
x  e dx    
 e C f x  2 f xf x   xe  . C 1 1 1 Mà f 0     C  1. 0 2 e C 2  f x 1   f   . x   1 1 ln 2 ln 2 e 1 e 1 3  f   1  g   1  4  Câu 9.
Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1; 4, thỏa mãn  g x  xf  x với mọi  f
  x  xg x 4
x 1;4 . Tính tích phân I   f
 x gxdx  . 1 A. 3ln 2 . B. 4 ln 2 . C. 6ln 2 . D. 8ln 2 . Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f x  g x   .
x f  x  . x g x     f  x  .
x f  x  g   x  .
x g x  0    . x f
x   .xg   x  0  C  .
x f x  .
x g x  C f x  g x  x 4 4 4 f   1  g  
1  4  C  4  I   f
 x gxdx dx 8ln2   . x 1 1
Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g(x) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f (1)  g(1)  0 và  x
g(x)  2017x  (x 1) f (  x)  2 (x 1)  , x  1;2. 3  x 2 g (
x)  f (x)  2018x  x 1 2  x x 1  Tính tích phân I g(x)  f (x) dx   .  x 1 x  1 1 3 A. I
. B. I  1. C. I  . D. I  2 . 2 2 Lời giải Chọn A  1 x 1 g(x)  f (  x)  201  7  2 (x 1) x Từ giả thiết ta có:  , x  1;2. x 1  g (  x)  f (x)  2018 2  x 1 x Suy ra:    1 x   x 1 1   x   x 1  g(x)  g (  x)  f (  x)  f (x)  1  g(x)  f (x) 1   2  2                 (x 1) x 1 x x x 1 x x x 1  g(x) 
f (x)  x C. x 1 x 2 2  x x 1  1
f (1)  g(1)  0  C  1   I g(x) 
f (x) dx  (x 1)dx  .     x 1 x  2 1 1 Trang13  3
x x  2 khi x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f  2 3sin x   1sin2 dxx. x  3 khi x  1 0 21 13 20 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A  2 Xét I f  2 3sin x   1sin2 dxx 0 1 Đặt 2
3sin x 1  t  3sin 2 d
x x  dt  sin 2 d x x  dt 3
Với x  0  t  1   x   t  2 2 2 2 1 2 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   3 3 3 3 1  1  1  1 1 1
  x x  2 2 1 21 3 dx
x3dx  . 3 3 4 1  1
2x 1 khi x 1 13
Câu 12. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
  x3 2dx. 2 x khi x  1 1 231 97 16 113 A.  . B. . C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B 13 Xét I f
  x3 2dx 1 Đặt 2
x  3  2  t x  3  t  2  x  3  (t  2)  dx  2(t  2)dt
Với x 1  t  0
x 13  t  2 2 2 1 2
I  2 (t  2) f
tdt  2 (x  2) f
xdx  2 (x  2) f
xdx  2 (x  2) f  xdx 0 0 0 1 1 2 97 2
 2 (x  2)x dx  2 (2x 1)(x  2)dx  .   6 0 1 
2x  4 khi x  2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f   2 3  4 cos xsin 2 d x x .
4  2x khi x  2   4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12 Lời giải: Chọn A  2 Xét I f   2 3  4 cos xsin 2 d x x   4 1 Đặt 2
3  4 cos x t  sin 2 d x x  dt 4 Trang14  Với x    t 1 4  x   t  3 2 3 3 2 3 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   4 4 4 4 1 1 1 2 2 3 1    x 1 x   x  2 4 2 d 2 4 dx  . 3 3 3 1 2 4 2  4
x  2x 1 khi x  1 e 1
Câu 14. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
  4ln x dx. 2 3   x khi x  1 x 1 16 11 6 A. . B.17 . C. . D. . 3 6 11 Lời giải: Chọn C 4 e 1 Xét I f
  4ln x dx x 1 1 Đặt 2
4  ln x t  4  ln x t
dx  2tdt x
Với x 1  t  2 4
x e t  0 2 2 1 2
I  2 t. f
 tdt  2 .xf
 xdx  2 .xf (x)dx 2 .xf (x)dx   0 0 0 1 1  2 x
 x 2x   2 11 4 2 1 dx  2 x   2
3  x dx  . 6 0 1 2   2x 1 khi x  0  4 1
Câu 15. Cho hàm số f (x)  x 1
khi 0  x  2 . Tính tích phân f  27tan x dx .  2  cos x 5  2x khi x  2   4 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D  4 1 Xét I f  27tan x dx 2  cos x  4 1 1
Đặt 2  7 tan x t  dx   dt 2 cos x 7  Với x    t  9 4  x   t  5  4 9 9 0 2 9 1  I f  t 1 t f  x 1 1 1 d dx
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx    7 7 7 7 7 5  5  5  0 2 0 1   2x   2 9 1 1 109 2 1 dx
x 1dx 52xdx  . 7 7 7 21 5  0 2 Trang15  2
x x khi x  0 2 2
Câu 16. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I  2 cos xf
sin xdx 2 f
 32xdx bằng x khi x  0 0 0 7 8 10 A. . B. . C. 3 . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D  2 2
Ta có: I  2 cos xf
sin xdx  2 f
 32xdx I I 1 2 0 0
x  0  t  0 
Đặt t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   . x   t  1  2 1 1 1
I  2 f t dt f t dt f x dx    1       0 1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 1
I xdx   2 2
x x dx     . 1  3 1  0 1
x  0  t  3
Đặt t  3  2x dt  2dx dx   dt . Đổi cận  . 2
x  2  t  1  3 3
I f t dt f x dx   2     1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 3  
I   xdx  
 2x x dx  4. 2   1 0  10
Vậy I I I 1 2 3 4x khi x  2
Câu 17. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân  2
x 12 khi x  2 . x f  2 3 x 1 ln 3 2 x I dx e . f    2 1 x
e dx 2  0 x 1 ln 2 A. 84 . B. 83 . C. 48 . D. 84  . Lời giải: Chọn A . x f  2 3 x 1 ln 3 Ta có: 2 x I dx e . f    2 1 x
e dx I I 1 2 2  0 x 1 ln 2
x  0  t 1  Đặt 2 2 2 t
x 1  t x 1 2tdt  2xdx xdx tdt . Đổi cận  .
x  3  t  2 2 2 2
I f t dt f t dt f x dx    1       1 1 1 Trang16 4x khi x  2 Do f (x)    2
x 12 khi x  2 2  I  2
x 12 dx  9  . 1   1
x  ln 2  t  5 x x x 1 Đặt 2 2 2 t  1 e
dt  2e dx e dx dt . Đổi cận  . 2
x  ln3  t 10 10 10 1 1  I f t dt f x dx   2     2 2 5 5 4x khi x  2 Do f (x)    2
x 12 khi x  2 10 1  I  4x  75  . 2 2 5
Vậy I I I  84 1 2  3  3 e  . x f f x  2 1 ln x 1 tan  2x x khi x  1    a
Câu 18. Cho hàm số f (x)   . Biết I dx dx     3
x  2 khi x 1 2 2   cos x x 1 b 0 4 a với
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a b bằng b A. 69 . B. 68 . C. 67 . D. 66 . Lời giải: Chọn A  3   e  . x f ln  2 1 x f x   1 tan I dx
dx I I   2 2 1 2   cos x x 1 0 4   x   t 1 1  Đặ 4
t t  tan x dt dx . Đổi cận  . 2 cos x
x   t  3  3 3 3  I f t dt f x dx   1     1 1
x  0  t  0 2x x 1  Đặt t  ln  2 x   1  dt dx dx dt . Đổi cận  . 2 2 1 x 1 x 1 2 x e 1  t   2 1 1 2 1  I f  t 2 1 dt f x dx  2   2 2 0 0 3
2x x khi x 1 Do f (x)    3
x  2 khi x 1 1 3
I I I   2x x 2 1 53 3 dx  3
x  2 dx
a  53, b 16  . 1 2   2 16 1 0
Vậy a b  69 Trang17 1  2 x  2 khi 0  x<2 e f ln x 2 6 a
Câu 19. Cho hàm số f (x)  2 . Biết I dx  . x f  2 x 1dx    với  x b x  7 kh 2 i  x  5 1 3
a là phân số tối giản. Giá trị của hiệu ab bằng b A. 77 . B. 67 . C. 57 . D. 76 . Lời giải: Chọn A 2 e f ln x 2 6 I dx  . x f  
 2x 1dxI I 1 2 x 1 3 1
x  1 t  0
Đặt t  ln x dt dx . Đổi cận  . x 2
x e t  2 2 2
I f t dt f x dx   1     0 0
x  3  t  2 Đặt 2 2 2 t
x 1  t x 1 2tdt  2xdx xdx tdt . Đổi cận  .
x  2 6  t  5 5 5
I t. f t dt  . x f x dx   2     2 2 1
x  2 khi 0  x<2
Do f (x)  2 x 7 kh 2 i  x  5 2 5  1  79
I I I x  2 dx  .
x x  7 dx
a  79, b  2   . 1 2      2  2 0 2
Vậy a b  77  2  2
x x 1 khi x  0 2 e f ln xa
Câu 20. Cho hàm số f (x)   . Biết I
f (2sin x 1) cos x dx dx    2x  3 khi x  0 x b 0 e a với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a b bằng b A. 305 . B. 305  . C. 350 . D. 350  . Lời giải: Chọn B  2 2 e f ln xI
f (2sin x 1) cos x dx
dx I I   1 2 x 0 e
x  0  t  1  dt
Đặt t  2sin x 1 dt  2cos xdx  cos xdx  . Đổi cận   . 2 x   t 1  2 1 1 1 1  I f t dt f x dx   1     2 2 1  1  2
x x 1 khi x  0 Do f (x)   2x  3 khi x  0 0 1 1  
I    2x 3dx  13 2 x x   1 dx    . 2 12  1 0  Trang18 1
x e t  1
Đặt t  ln x dt dx . Đổi cận  . x 2
x e t  2 2 2
I f t dt f x dx   2     1 1 2
x x 1 khi x  0 Do f (x)   2x  3 khi x  0 2  I   29 2 x x   1 dx   . 6 1 377
I I I  
a  377, b  72 1 2 72
Vậy a b  305  Trang19