Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn Có Đáp Án Và Lời Giải
Chuyên đề tích phân hàm ẩn được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 19 trang. Mỗi đề thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ:TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân: b c b f
xdx f
xdx f
xdxvới a c b. a a c b b k f
xdx kf
xdxk 0 a a b a f
xdx f
xdx a b b b f
xdx F x F bF a a a b b b
f x g xdx f
xdx g
xdx a a a b b b f
xdx f
tdt f zdz a a a b b f
xdx f x f b f a a a
2. Công thức đổi biến số: f
ux.uxdx f
udu, u ux ub b f
ux.uxdx f
udu, u ux. a ua
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính
g x dx
. Nếu ta viết được g x dưới dạng f u xu x thì a ub b ub g
xdx f
udu. Vậy bài toán quy về tính f udu
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a ua ua này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính f
xdx. Đặt x xt thỏa mãn xa, xb thì b b f
xdx f
xtxtdt g
tdt , trong đó gt f xt.xt a a BÀI TẬP MẪU 2 x 1 khi x 2
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Cho hàm số f (x) . Tích phân 2
x 2x 3 khi x 2 2
f (2sin x 1) cos x dx bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Phân tích hướng dẫn giải Trang1
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b
B2:Sử dụng tính chất
f x dx
f x dx f x d , x c ; a b . a a c
B3:Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lờigiải Chọn B 2 Xét I
f (2sin x 1) cos x dx 0 Đặ 1
t t 2 sin x 1 dt cos d x x 2
x 0 t 1 Đổi cận: x t . 3 2 3 3 2 1 1 1 I
f (t)dt
f (x)dx
x 2x 3 3 23 2 dx 2 x 1 dx . 2 2 2 6 1 1 1 2
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 3 2 e x khi x 0 1 2 a e a Câu 1.
Cho hàm số f (x) . Biết tích phân
f (x) dx ( là phân số tối 2
x x 2 khi x 0 b c b 1
giản). Giá trị a b c bằng A. 7 . B. 8 . C. 9 . D.10 . Lờigiải ChọnC 1 0 1 2 e x 4 Ta có: I f (x)dx 2 x x 2 2
dx e dx . 3 2 1 1 0
Vậy a b c 9. x 2 1 x khi x 3 4 e f (ln x) Câu 2.
Cho hàm số f (x) 1 . Tích phân dx bằng: khi x 3 x 2 x 4 e 40 95 189 189 A. ln 2 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. ln 2 . 3 6 4 4 Lờigiải Chọn D 4 e f (ln x) Xét I dx x 2 e Đặ 1
t t ln x dt dx x 2 Đổ x e t 2 i cận: . 4
x e t 4 4 4 3 4 1 189 I
f (t)dt
f (x)dx dx x 2
1 x dx ln 2 . x 4 4 2 2 2 3 Trang2 1 khi x 1 1 m m Câu 3.
Cho hàm số f (x) x . Tích phân 3
f ( 1 x)dx ( là phân số tối giản), n n
x 1 khi x 1 2
khi đó m 2n bằng: A.1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 Xét 3 I
f ( 1 x )dx 7 Đặt 3 2
t 1 x 3
t dt dx x 7 t 2 Đổi cận: .
x 1 t 0 0 2 1 2 25 2 2 2 I 3
t f (t)dt 3 x f (x)dx 3
x x 1 dx d x x . 12 2 0 0 1 1 3 1 Câu 3.
Cho hàm số f x liên tục trên và f
xdx 4, f
xdx 6. Tính I f
2x1dx 0 0 1 A. I 3 . B. I 5 . C. I 6 . D. I 4 . Lời giải Chọn B
Đặt u 2x 1 1 d x
d u . Khi x 1 thì u 1
. Khi x 1 thì u 3. 2 3 1 0 3 1 Nên I f
u du f
u du f
u du 2 2 1 1 0 0 3 1 f u du f
udu. 2 1 0 1 Xét f
xd x 4. Đặt x u dx du . 0
Khi x 0 thì u 0 . Khi x 1 thì u 1 . 1 1 0 Nên 4
f x d x f u
du f u du. 0 0 1 3 3 Ta có f
xd x 6 f
udu 6. 0 0 0 3 1 1 Nên I f u du f
udu 46 5. 2 2 1 0 Câu 4.
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 1 x trên tập và thỏa mãn F
1 3. Tính tổng F 0 F 2 F 3 . A. 8 . B.12 . C.14 . D.10 . Lời giải: Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Trang3 2 2 2 Ta có: f
xdx F2F 1 F23 mà f
xdx 2dx 2
nên F 2 5 . 1 1 1 1 1 1 f
xdx F 1 F 0 3 F 0 mà f x 2 1 dx 2 d x x x 1
nên F 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0
f xdx F 0 F 1 2 F 1 mà f x 2 0 dx 2 d x x x 1 nên F 1 3. 1 1 1 1 1 1 1
f xdx F 1 F 3
3 F 3
mà f xdx 2 dx 4 nên F 3 7 . 3 3 3
Vậy F 0 F 2 F 3
2 5 7 14 . 5 2 x 2 1 Câu 5. Biết I
dx 4 a ln 2 b ln 5
với a, b . Tính S a b . x 1 A. S 9 . B. S 11. C. S 3 . D. S 5. Lời giải: Chọn D
x 2 khi x 2 Ta có x 2 .
2 x khi x 2 2 5 2 x 2 1 2 x 2 1 Do đó I dx dx . x x 1 2 2 22 x 5 1 2 x 2 1 2 5 5 3 dx dx 2 dx 2 dx x x x x 1 2 1 2
x x 2 x x 5 5ln 2 2 3ln 48ln 23ln5. 1 2 a 8
S a b 5. b 3 Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f 3 x 3x
1 3x 2 , với mọi 5
x .Tích phân xf
xdx bằng 1 31 17 33 49 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f 3 x 3x
1 3x 2 nên suy ra f
1 2 , f 5 5 . 5 5 5 5
Suy ra I xf
xdx xf x f
xdx 23 f xdx. 1 1 1 1 Đặt 3
x t t x 2 3 1 d 3t 3dt .
Với x 1 t 0; x 5 t 1 Trang4 5 1 1 59
Do đó f xdx f 3t 3t 1 2
3t 3dt 3t 2 2
3t 3dt . 4 1 0 0 59 33 Vậy I 23 . 4 4 Câu 7.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thoả f 5
x 4x 3 2x 1, x .Tích 8 phân f
xdx bằng 2 32 A. 2 . B. 10 . C. . D. 72 . 3 Lời giải Chọn B Đặt 5
x t t dx 4 4 3 5t 4dt . x 2 t 1 Đổi cận:
x 8 t 1 8 1 1 Khi đó f
xdx f
5t 4t 3 4
5t 4dt 2t 1 4
5t 4dt 10 . 2 1 1 Câu 8.
Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên thỏa mãn f x 3 2
( ) 3 f (x) 5 x với 10 x
. Tính I f (x)dx . 5 A. I 0. B. I 3 . C. I 5 . D. I 6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t f (x) 2t 3t 5 x dx (6t 3)dt và 3
x 5 2t 3t 5 5 t 0 3
x 10 2t 3t 5 10 t 1 10 1 Vậy 2 I
f (x)dx t(6t 3)dt 3 . 5 0 1 2 Câu 9.
Cho hàm số f x xác định \ , thỏa f x
, f 0 1 và f 1 2. Giá trị 2 2x 1
của biểu thức f 1 f 3 bằng A. ln15. B. 2 ln15. C. 3 ln15. D. 4 ln15. Lời giải Chọn C
Ta có f x 2 2x 1 x 1 ln 1 2 C ; x f x 1 2 2
dx ln 2x 1 C 2x 1 ln2x 1 1 C ; x 2 2
f 0 1 C 1 và f 1 2 C 2 . 1 2 x 1 ln 1 2 1 ; x f 1 ln 3 1
Do đó f x 2 x 1 f 3 ln 5 2 ln 2 1 2 ; x 2 Trang5 f
1 f 3 3 ln15. 2 3
x 2x khi x 0 2
Câu 10. Cho hàm số f (x) . Khi đó I cos xf
sin xdx bằng 5 x khi x 0 2 15 17 A. . B.15 . C. 8 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn A x t 1 Đặ 2
t t sin x dt cos xdx . Đổi cận .
x t 1 2 1 1 I f
tdt f xdx 1 1 2 3
x 2x khi x 0 Do f (x) 5 x khi x 0 0 1
I 5 xdx 15 2
3x 2xdx . 2 1 0 2
x 2x 3 khi x 2 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) . Khi đó I f
32xdx bằng x 1 khi x 2 0 41 41 41 A. . B. 21 . C. . D. . 2 12 21 Lờigiải Chọn C 1
x 0 t 3
Đặt t 3 2x dt 2dx dx dt . Đổi cận . 2
x 1 t 1 3 3 1 I f t 1 dt f xdx 2 2 1 1 2
x 2x 3 khi x 2 Do f (x) x 1 khi x 2 2 3 1
I x 1dx 41 2
x 2x 3 dx . 2 12 1 2 3 2 x 2x khi x 2 2
Câu 12. Cho hàm số f (x)
. Khi đó I sin xf cos x 1 dx bằng 3 x 2 khi x 0 2 35 19 10 A. . B. 3 . C. . D. . 12 4 3 Lời giải: Chọn A
x 0 t 2
Đặt t cos x 1 dt sin xdx . Đổi cận . x t 1 2 Trang6 2 2 I f
tdt f xdx 1 1 3 2 x 2x khi x 2 Do f (x) 3 x 2 khi x 2 3 2 2
I x 2dx 35 2
x 2xdx . 12 1 3 2 2
x x khi x 0 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) . Khi đó I cos xf
sin xdx bằng x khi x 0 2 2 1 4 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn A x t 1 Đặ 2
t t sin x dt cos xdx . Đổi cận .
x t 1 2 1 1 I f
tdt f xdx 1 1 2
x x khi x 0 Do f (x) x khi x 0 0 1
I xdx 2 2
x xdx . 3 1 0 2
x x 1 khi x 3 2
Câu 14. Cho hàm số f (x)
. Khi đó I xf 2 x 1dx bằng 2x 1 khi x 3 0 73 74 A. 24 . B. . C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B 1
x 0 t 1 Đặt 2
t x 1 dt 2xdx xdx dt . Đổi cận . 2
x 2 t 5 5 5 1 I f t 1 dt f xdx 2 2 1 1 2
x x 1 khi x 3 Do f (x) 2x 1 khi x 3 3 5 1
I 2x 1dx 73 2 x x 1 dx . 2 3 1 3 1
3x 3 khi x 2 2
Câu 15. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f sin xcos d x x . 1
x 4 khi x 0 2 Trang7 17 13 21 A. 8 . B. . C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B 2 Xét I f sin xcos d x x 0
Đặt sin x t cos d x x dt
Với x 0 t 0 x t 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 I f
t t f
x x f x x f x x
x x x 17 d d ( )d ( )d 3 3 d 4 dx . 4 0 0 0 1 0 1 2 2 2 2x 1 khi x 0 3
Câu 16. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f
3cosx2sin d x x . 2
2x x 1 khi x 0 0 33 15 19 A. . B. . C.12. D. . 2 23 24 Lời giải: Chọn D 3 Xét I f
3cosx2sin d x x 0
Đặt 3cos x 2 t 1 3sin d
x x dt sin d x x dt 3
Với x 0 t 1 x 1 t 3 2 1 1 0 1 1 I f t 1 t f x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx 3 3 3 3 1 1 1 0 2 2 2 0 1
2x x 1 1 19 2 1 dx 2 2x 1 dx . 3 3 24 1 0 2 2 1
x khi x 1 4
Câu 17. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 5sin 2x 1cos2 d x x .
2x 2 khi x 1 2 11 43 31 31 A. . B. . C. . D. . 10 31 30 10 Lời giải: Chọn C 4 Xét I f 5sin 2x 1cos2 d x x 2
Đặt 5sin 2x 1 t 1 10 cos 2 d
x x dt cos 2 d x x dt 10 Trang8 Với x t 1 2 x t 4 4 4 4 1 4 1 I f t 1 t f x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 x 4 1 31 2 dx
2x2dx . 10 10 30 1 1 3
2x x 5 khi x 2 e 1
Câu 18. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f
2ln x dx. 11 x khi x 2 x 1 e 69 25 A. . B.12 . C. . D. 30 . 2 2 Lời giải: Chọn A e 1 Xét I f
2ln x dx x 1
Đặt 2 ln x t 1 dx dt x 1
Với x t 1 e
x e t 3 3 3 2 3 2 3 I f
tdt f
xdx f
xdx f
xdx 11 xdx 69 3
2x x 5dx . 2 1 1 1 2 1 2 2 1
x khi x 3 ln 2
Câu 19. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân 3 x 1ex f e dx .
7 5x khi x 3 0 13 102 94 25 A. . B. . C. . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét 3 x 1 x I f e e dx 0 Đặt 3 x e 1 t x x 1
3e dx dt e dx dt 3
Với x 0 t 2
x ln 2 t 5 5 3 5 3 5 1 I f t 1 dt f x 1 dx f x 1 dx 1 94 2 1 x dx
(7 5x)dx . 3 3 3 3 3 9 2 2 3 2 3 Mức độ 4 2 Câu 1.
Giá trị của tích phân max sin ,xcos x dx bằng 0 1 A. 0 . B.1. C. 2 . D. . 2 Lờigiải Chọn C Trang9
Ta có phương trình sin x cos x 0 có một nghiệm trên đoạn 0; là x . 2 4 Bảng xét dấu 2 4 2 Suy ra max sin x,cos x dx cos d x x sin d x x
sin x 4 cos x 2 2 . 0 0 0 4 4 2 Câu 2.
Tính tích phân I max
3x, xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt 3
f x x x ta có bảng xét dấu sau: .
Dựa vào bảng xét dấu ta có. x
f x 3 3
x x x x 3 0;1 , 0 0 max x , x x . x
f x 3 3
x x x x 3x 3 1; 2 , 0 0 max , x x . 2 1 2 Ta có: I max
3x, xdx max
3x, xdx max
3x, xdx. 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 17 Nên I max
3x, xdx 3 2 4 d
x x x dx x x . 2 4 4 0 0 1 0 1 f 1 2 ln 2 Câu 3.
Cho hàm số y f x liên tục trên \ 0;
1 thỏa mãn f 2 a b ln 3; a,b . x x
1 . f x f x 2 x x Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lờigiải ChọnB
Ta có x x f x f x 2 1 .
x x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho x 2 1 ta được
. f x f x 2 x 1 x 1 x 1 x x x x . f x , với x \0; 1 . . f x dx x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1
. f x x ln x 1 C f x
x ln x 1 C x 1 x Trang10 Mặt khác, f 1 2
ln 2 21 ln 2 C 2 ln 2 C 1 . x 1
Do đó f x
x ln x 1 1. x 3 3 3 3 3
Với x 2 thì f x 1 ln 3
ln 3. Suy ra a và b . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a b . 2 f
0 f 0 1 Câu 4.
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên thỏa mãn , f
x y f x f y 3xy x y 1 1
với x, y . Tính f
x1dx. 0 1 1 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Lờigiải ChọnC
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f x y f y 2
3x 6xy , x .
Cho y f x f 2 0
0 3x f x 2 1 3x 3 f x f
x dx x x C mà f 0 1 C 1. Do đó f x 3
x x 1 . 1 0 0 1 Vậy f x 1 dx
f xdx
3x x 1dx . 4 0 1 1 1 2 Câu 5.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa mãn f 1 0 , f
x dx 7 và 0 1 1 1 2
x f x dx . Tích phân
f x dx bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3 x x 1 3 1 Ta có 2
x f xdx f x f
xdx . Suy ra x f x dx . 3 3 3 3 0 0 0 0 1 6 Hơn nữ x 1
a ta dễ dàng tính được dx . 9 63 0 1 1 3 1 6 x x 1 Do đó 2 f
x 2 dx2.21 f x 2 dx 21 dx 0 f x 3
7x dx 0 . 3 9 0 0 0 0 7 7
Suy ra f x 3 7
x , do đó f x 4
x C . Vì f 1 0 nên C . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f xdx
4x 1dx . 4 5 0 0 Câu 6.
Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện f
1 1 và f 2 4 .
2 f x 2
f x 1 Tính J dx . 2 x x 1 Trang11 1 1
A. J 1 ln 4 .
B. J 4 ln 2 .
C. J ln 2 . D. J ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2 f x 2
f x 1 2 2 2 f x f x 2 1 Ta có J dx dx dx dx . 2 x x 2 2 x x x x 1 1 1 1 1 1 u du dx Đặt 2 x x . dv f
xdx v f x
2 f x 2
f x 1 2 2 2 2 1 f x f x 2 1 J
dx . f x dx dx dx 2 x x 2 2 2 x x x x x 1 1 1 1 1 2 1
f f 1 1 2 1 2 ln x ln 4 . 2 x 2 1 Câu 7.
Cho hàm số f (x) xác định trên \ 2 ; 1 thỏa mãn f x 1 1 , f 3
f 3 0, f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 2 x x 2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20 . B. ln 2 . C. ln80 1 . D. ln 1. 3 3 3 3 3 5 Lờigiải ChọnB 1 1 1 1
Ta có: f x 2 x x 2
3 x 1 x 2 1 ln
1 x ln x 2 C ; x ; 2 1 3 f x 1 1 1 1 x 1 1 dx ln C ln
1 x ln x 2 C ; x 2 ;1 2
3 x 1 x 2 3 x 2 3 1 ln x
1 ln x 2 C ; x 1; 3 3 1 1 1 1 1
Với f 0 ln
1 0 ln 0 2 C C ln 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 Với f 3
f 3 0 C C ln 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Nên f 4 f
1 f 4 ln ln 2 ln C C C ln 2 . 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Câu 8. Cho hàm số
f x xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
f x 0, x
f x x 2
e f x, x . f 1 0 2
Tính giá trị của f ln 2 . 1 A. f 1 ln 2 . B. f 1 ln 2 . C. f 1 ln 2 ln 2
. D. f ln 2 2 ln 2 . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B Trang12 f x
Ta có f x x 2 e f x x
e ( do f x 0 ) 2 f x f x 1 x 1 d x
x e dx
e C f x 2 f x f x xe . C 1 1 1 Mà f 0 C 1. 0 2 e C 2 f x 1 f . x 1 1 ln 2 ln 2 e 1 e 1 3 f 1 g 1 4 Câu 9.
Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1; 4, thỏa mãn g x xf x với mọi f
x xg x 4
x 1;4 . Tính tích phân I f
x gxdx . 1 A. 3ln 2 . B. 4 ln 2 . C. 6ln 2 . D. 8ln 2 . Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f x g x .
x f x . x g x f x .
x f x g x .
x g x 0 . x f
x .xg x 0 C .
x f x .
x g x C f x g x x 4 4 4 Mà f 1 g
1 4 C 4 I f
x gxdx dx 8ln2 . x 1 1
Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g(x) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f (1) g(1) 0 và x
g(x) 2017x (x 1) f ( x) 2 (x 1) , x 1;2. 3 x 2 g (
x) f (x) 2018x x 1 2 x x 1 Tính tích phân I g(x) f (x) dx . x 1 x 1 1 3 A. I
. B. I 1. C. I . D. I 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 x 1 g(x) f ( x) 201 7 2 (x 1) x Từ giả thiết ta có: , x 1;2. x 1 g ( x) f (x) 2018 2 x 1 x Suy ra: 1 x x 1 1 x x 1 g(x) g ( x) f ( x) f (x) 1 g(x) f (x) 1 2 2 (x 1) x 1 x x x 1 x x x 1 g(x)
f (x) x C. x 1 x 2 2 x x 1 1
Mà f (1) g(1) 0 C 1 I g(x)
f (x) dx (x 1)dx . x 1 x 2 1 1 Trang13 3
x x 2 khi x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 2 3sin x 1sin2 dxx. x 3 khi x 1 0 21 13 20 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A 2 Xét I f 2 3sin x 1sin2 dxx 0 1 Đặt 2
3sin x 1 t 3sin 2 d
x x dt sin 2 d x x dt 3
Với x 0 t 1 x t 2 2 2 2 1 2 1 I f t 1 t f x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
x x 2 2 1 21 3 dx
x3dx . 3 3 4 1 1
2x 1 khi x 1 13
Câu 12. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f
x3 2dx. 2 x khi x 1 1 231 97 16 113 A. . B. . C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B 13 Xét I f
x3 2dx 1 Đặt 2
x 3 2 t x 3 t 2 x 3 (t 2) dx 2(t 2)dt
Với x 1 t 0
x 13 t 2 2 2 1 2
I 2 (t 2) f
tdt 2 (x 2) f
xdx 2 (x 2) f
xdx 2 (x 2) f xdx 0 0 0 1 1 2 97 2
2 (x 2)x dx 2 (2x 1)(x 2)dx . 6 0 1
2x 4 khi x 2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 2 3 4 cos xsin 2 d x x .
4 2x khi x 2 4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12 Lời giải: Chọn A 2 Xét I f 2 3 4 cos xsin 2 d x x 4 1 Đặt 2
3 4 cos x t sin 2 d x x dt 4 Trang14 Với x t 1 4 x t 3 2 3 3 2 3 1 I f t 1 t f x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx 4 4 4 4 1 1 1 2 2 3 1 x 1 x x 2 4 2 d 2 4 dx . 3 3 3 1 2 4 2 4
x 2x 1 khi x 1 e 1
Câu 14. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f
4ln x dx. 2 3 x khi x 1 x 1 16 11 6 A. . B.17 . C. . D. . 3 6 11 Lời giải: Chọn C 4 e 1 Xét I f
4ln x dx x 1 1 Đặt 2
4 ln x t 4 ln x t
dx 2tdt x
Với x 1 t 2 4
x e t 0 2 2 1 2
I 2 t. f
tdt 2 .xf
xdx 2 .xf (x)dx 2 .xf (x)dx 0 0 0 1 1 2 x
x 2x 2 11 4 2 1 dx 2 x 2
3 x dx . 6 0 1 2 2x 1 khi x 0 4 1
Câu 15. Cho hàm số f (x) x 1
khi 0 x 2 . Tính tích phân f 27tan x dx . 2 cos x 5 2x khi x 2 4 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D 4 1 Xét I f 27tan x dx 2 cos x 4 1 1
Đặt 2 7 tan x t dx dt 2 cos x 7 Với x t 9 4 x t 5 4 9 9 0 2 9 1 I f t 1 t f x 1 1 1 d dx
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx 7 7 7 7 7 5 5 5 0 2 0 1 2x 2 9 1 1 109 2 1 dx
x 1dx 52xdx . 7 7 7 21 5 0 2 Trang15 2
x x khi x 0 2 2
Câu 16. Cho hàm số f (x)
. Khi đó I 2 cos xf
sin xdx 2 f
32xdx bằng x khi x 0 0 0 7 8 10 A. . B. . C. 3 . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D 2 2
Ta có: I 2 cos xf
sin xdx 2 f
32xdx I I 1 2 0 0
x 0 t 0
Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận . x t 1 2 1 1 1
I 2 f t dt f t dt f x dx 1 0 1 1 2
x x khi x 0 Do f (x) x khi x 0 0 1
I xdx 2 2
x x dx . 1 3 1 0 1
x 0 t 3
Đặt t 3 2x dt 2dx dx dt . Đổi cận . 2
x 2 t 1 3 3
I f t dt f x dx 2 1 1 2
x x khi x 0 Do f (x) x khi x 0 0 3
I xdx
2x x dx 4. 2 1 0 10
Vậy I I I 1 2 3 4x khi x 2
Câu 17. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân 2
x 12 khi x 2 . x f 2 3 x 1 ln 3 2 x I dx e . f 2 1 x
e dx 2 0 x 1 ln 2 A. 84 . B. 83 . C. 48 . D. 84 . Lời giải: Chọn A . x f 2 3 x 1 ln 3 Ta có: 2 x I dx e . f 2 1 x
e dx I I 1 2 2 0 x 1 ln 2
x 0 t 1 Đặt 2 2 2 t
x 1 t x 1 2tdt 2xdx xdx tdt . Đổi cận .
x 3 t 2 2 2 2
I f t dt f t dt f x dx 1 1 1 1 Trang16 4x khi x 2 Do f (x) 2
x 12 khi x 2 2 I 2
x 12 dx 9 . 1 1
x ln 2 t 5 x x x 1 Đặt 2 2 2 t 1 e
dt 2e dx e dx dt . Đổi cận . 2
x ln3 t 10 10 10 1 1 I f t dt f x dx 2 2 2 5 5 4x khi x 2 Do f (x) 2
x 12 khi x 2 10 1 I 4x 75 . 2 2 5
Vậy I I I 84 1 2 3 3 e . x f f x 2 1 ln x 1 tan 2x x khi x 1 a
Câu 18. Cho hàm số f (x) . Biết I dx dx 3
x 2 khi x 1 2 2 cos x x 1 b 0 4 a với
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a b bằng b A. 69 . B. 68 . C. 67 . D. 66 . Lời giải: Chọn A 3 e . x f ln 2 1 x f x 1 tan I dx
dx I I 2 2 1 2 cos x x 1 0 4 x t 1 1 Đặ 4
t t tan x dt dx . Đổi cận . 2 cos x
x t 3 3 3 3 I f t dt f x dx 1 1 1
x 0 t 0 2x x 1 Đặt t ln 2 x 1 dt dx dx dt . Đổi cận . 2 2 1 x 1 x 1 2 x e 1 t 2 1 1 2 1 I f t 2 1 dt f x dx 2 2 2 0 0 3
2x x khi x 1 Do f (x) 3
x 2 khi x 1 1 3
I I I 2x x 2 1 53 3 dx 3
x 2 dx
a 53, b 16 . 1 2 2 16 1 0
Vậy a b 69 Trang17 1 2 x 2 khi 0 x<2 e f ln x 2 6 a
Câu 19. Cho hàm số f (x) 2 . Biết I dx . x f 2 x 1dx với x b x 7 kh 2 i x 5 1 3
a là phân số tối giản. Giá trị của hiệu ab bằng b A. 77 . B. 67 . C. 57 . D. 76 . Lời giải: Chọn A 2 e f ln x 2 6 I dx . x f
2x 1dx I I 1 2 x 1 3 1
x 1 t 0
Đặt t ln x dt dx . Đổi cận . x 2
x e t 2 2 2
I f t dt f x dx 1 0 0
x 3 t 2 Đặt 2 2 2 t
x 1 t x 1 2tdt 2xdx xdx tdt . Đổi cận .
x 2 6 t 5 5 5
I t. f t dt . x f x dx 2 2 2 1
x 2 khi 0 x<2
Do f (x) 2 x 7 kh 2 i x 5 2 5 1 79
I I I x 2 dx .
x x 7 dx
a 79, b 2 . 1 2 2 2 0 2
Vậy a b 77 2 2
x x 1 khi x 0 2 e f ln x a
Câu 20. Cho hàm số f (x) . Biết I
f (2sin x 1) cos x dx dx 2x 3 khi x 0 x b 0 e a với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a b bằng b A. 305 . B. 305 . C. 350 . D. 350 . Lời giải: Chọn B 2 2 e f ln x I
f (2sin x 1) cos x dx
dx I I 1 2 x 0 e
x 0 t 1 dt
Đặt t 2sin x 1 dt 2cos xdx cos xdx . Đổi cận . 2 x t 1 2 1 1 1 1 I f t dt f x dx 1 2 2 1 1 2
x x 1 khi x 0 Do f (x) 2x 3 khi x 0 0 1 1
I 2x 3dx 13 2 x x 1 dx . 2 12 1 0 Trang18 1
x e t 1
Đặt t ln x dt dx . Đổi cận . x 2
x e t 2 2 2
I f t dt f x dx 2 1 1 2
x x 1 khi x 0 Do f (x) 2x 3 khi x 0 2 I 29 2 x x 1 dx . 6 1 377
I I I
a 377, b 72 1 2 72
Vậy a b 305 Trang19