Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn Có Đáp Án Và Lời Giải

Chuyên đề tích phân hàm ẩn được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 19 trang. Mỗi đề thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

19 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile ha phan
Trang1
CHUYÊN ĐỀ:TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân:
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
với
a c b
.
d d 0
bb
aa
k f x x kf x x k

dd
ba
ab
f x x f x x

d
b
b
a
a
f x x F x F b F a
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f z z
d
b
b
a
a
f x x f x f b f a
2. Công thức đổi biến số:
.,
ub
b
a u a
f u x u x dx f u du u u x


.
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
Giả sử cần tính
b
a
g x dx
. Nếu ta viết được
gx
dưới dạng
f u x u x
thì
ub
b
a u a
g x dx f u du

. Vậy bài toán quy về tính
ub
ua
f u du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới
này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính
f x dx
. Đặt
x x t
thỏa mãn
,x a x b


thì
bb
aa
f x dx f x t x t dt g t dt

, trong đó
.g t f x t x t
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Cho hàm số
2
2
1 khi 2
()
2 3 khi 2
xx
fx
x x x

. Tích phân
2
0
(2sin 1)cos df x x x
bằng:
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Phân tích hướng dẫn giải
Trang2
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
B2:Sử dụng tính chất
d d d , ;
b c b
a a c
f x x f x x f x x c a b
.
B3:Lựa chọn hàm
fx
thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lờigiải
Chọn B
Xét
2
0
(2sin 1)cos dI f x x x

Đặt
cos
1
2sin d d1
2
xxt x t
Đổi cận:
01
3
2
xt
xt
.
3 3 2 3
22
1 1 1 2
1 1 1 23
( )d ( )d 2 d 1 d
2 2 2
3
6
I f t t f x x x x x x x



.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
Câu 1. Cho hàm số
2
2
e
2
0
()
0
x
khi x
f
x
x
khi xx

. Biết tích phân
1
2
1
e
( ) d
a
f x x
bc

(
a
b
là phân số tối
giản). Giá trị
abc
bằng
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
10
.
Lờigiải
ChọnC
Ta có:
1 0 1
2
22
1 1 0
4
( )dx d d
32
2
x
e
I f x x x ex x

.
Vậy
9abc
.
Câu 2. Cho hàm số
2
1
3
()
3
1
4
khi x
fx
kh
xx
x
ix
. Tích phân
4
2
e
e
(ln )
d
f
x
x
x
bằng:
A.
40
ln 2
3
. B.
95
ln 2
6
. C.
189
ln 2
4
. D.
189
ln 2
4
.
Lờigiải
Chọn D
Xét
4
2
(ln )
d
e
e
f
Ix
x
x
Đặt
d d
1
ln xxtt
x
Đổi cận:
2
4
e2
e4
xt
xt
.
4 4 3 4
2 2 3
2
2
1
2( )d ( )d d d
4
189
1 ln
4
xxI f t t f x x x x
x
.
Trang3
Câu 3. Cho hàm số
1
)
1
11
(
x
khi x
fx
khi
x
x
. Tích phân
2
3
1
1( )d
m
fx
n
x
(
m
n
là phân số tối giản),
khi đó
2mn
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Xét
3
1
7
( 1 )dI xfx
Đặt
3
2
31ddxxt t t
Đổi cận:
72
10
xt
xt
.
0 2 1 2
2 2 2
2 0 0 1
25
3 ( )d 3 ( )d 3 1 d d
12
I t f t t x f x x x x x x x



.
Câu 3. Cho hàm số
fx
liên tục trên
và
1
0
d4f x x
,
3
0
d6f x x
. Tính
1
1
2 1 dI f x x

A.
3I
. B.
5I
. C.
6I
. D.
4I
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
21ux
1
dd
2
xu
. Khi
1x 
thì
1u 
. Khi
1x
thì
3u
.
Nên
3
1
1
d
2
I f u u
03
10
1
dd
2
f u u f u u





03
10
1
dd
2
f u u f u u




.
Xét
1
0
d4f x x
. Đặt
xu
ddxu
.
Khi
0x
thì
0u
. Khi
1x
thì
1u 
.
Nên
1
0
4df x x
1
0
df u u

0
1
df u u

.
Ta có
3
0
d6f x x
3
0
d6f u u
.
Nên
03
10
1
dd
2
I f u u f u u




1
4 6 5
2
.
Câu 4. Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
11f x x x
trên tập
và thỏa mãn
13F
. Tính tổng
0 2 3F F F
.
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Lời giải:
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Trang4
Ta có:
2
1
d 2 1 2 3f x x F F F
mà
22
11
d 2d 2f x x x

nên
25F
.
1
0
d 1 0 3 0f x x F F F
mà
11
21
0
00
d 2 d 1f x x x x x

nên
02F
.
0
1
d 0 1 2 1f x x F F F
mà
00
20
1
11
d 2 d 1f x x x x x


nên
13F 
.
1
3
d 1 3 3 3f x x F F F
mà
11
33
d 2d 4f x x x



nên
37F 
.
Vậy
0 2 3 2 5 7 14F F F
.
Câu 5. Biết
5
1
2 2 1
d 4 ln2 ln5
x
I x a b
x

với
,ab
. Tính
S a b
.
A.
9S
. B.
11S
. C.
3S 
. D.
5S
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có
2 khi 2
2
2 khi 2
xx
x
xx



.
Do đó
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
I x x
xx


.
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
xx
xx


25
12
53
2 d 2 dxx
xx

25
5ln 2 2 3ln
12
x x x x
4 8ln2 3ln5
.
8
3
a
b

5S a b
.
Câu 6. Cho hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
3
3 1 3 2f x x x
, với mọi
x
.Tích phân
5
1
dxf x x
bằng
A.
31
4
. B.
17
4
. C.
33
4
. D.
49
4
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có
3
3 1 3 2f x x x
nên suy ra
12f
,
55f
.
Suy ra
5 5 5
5
1
1 1 1
d d 23 dI xf x x xf x f x x f x x
.
Đặt
32
3 1 d 3 3 dx t t x t t
.
Với
1 0; 5 1x t x t
Trang5
Do đó
5 1 1
3 2 2
1 0 0
59
d 3 1 3 3 d 3 2 3 3 d
4
f x x f t t t t t t t
.
Vậy
59 33
23
44
I
.
Câu 7. Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
thoả
5
4 3 2 1, .f x x x x
Tích
phân
8
2
f x dx
bằng
A.
2
. B.
10
. C.
32
3
. D.
72
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
54
4 3 5 4x t t dx t dt
.
Đổi cận:
21
81
xt
xt
Khi đó
8 1 1
5 4 4
2 1 1
4 3 5 4 2 1 5 4 10f x dx f t t t dt t t dt
.
Câu 8. Cho hàm số
()y f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
3
2 ( ) 3 ( ) 5f x f x x
với
x
. Tính
10
5
()I f x dx
.
A.
0I
. B.
3I
. C.
5I
. D.
6I
Lời giải
Chọn B
Đặt
32
( ) 2 3 5 (6 3)t f x t t x dx t dt
và
3
5 2 3 5 5 0x t t t
3
10 2 3 5 10 1x t t t
Vậy
10 1
2
50
( ) (6 3) 3I f x dx t t dt

.
Câu 9. Cho hàm số
fx
xác định
1
\,
2



thỏa
2
, 0 1
21
f x f
x

và
1 2.f
Giá trị
của biểu thức
13ff
bằng
A.
ln15.
B.
2 ln15.
C.
3 ln15.
D.
4 ln15.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
21
fx
x
1
2
1
ln 1 2 ;
2
2
ln 2 1
1
21
ln 2 1 ;
2
x C x
f x dx x C
x
x C x
1
0 1 1fC
và
2
1 2 2fC
.
Do đó
1
ln 1 2 1 ;
1 ln3 1
2
1
3 ln5 2
ln 2 1 2 ;
2
xx
f
fx
f
xx




Trang6
1 3 3 ln15.ff
Câu 10. Cho hàm số
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x

. Khi đó
2
2
cos sinI xf x dx
bằng
A.
15
2
. B.
15
. C.
8
. D.
17
2
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cận
1
2
1
2
xt
xt
.
11
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x

01
2
10
15
5 3 2
2
I x dx x x dx

.
Câu 11. Cho hàm số
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx


. Khi đó
1
0
32I f x dx
bằng
A.
41
2
. B.
21
. C.
41
12
. D.
41
21
.
Lờigiải
Chọn C
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt
. Đổi cận
03
11
xt
xt
.
33
11
11
22
I f t dt f x dx

Do
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx


23
2
12
1 41
1 2 3
2 12
I x dx x x dx




.
Câu 12. Cho hàm số
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
. Khi đó
2
0
sin cos 1I xf x dx

bằng
A.
35
12
. B.
3
. C.
19
4
. D.
10
3
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
cos 1 sint x dt xdx
. Đổi cận
02
1
2
xt
xt
.
Trang7
22
11
I f t dt f x dx

Do
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
3
2
2
2
3
1
2
35
22
12
I x dx x x dx

.
Câu 13. Cho hàm số
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
. Khi đó
2
2
cos sinI xf x dx
bằng
A.
2
3
. B.
1
. C.
1
3
. D.
4
3
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cận
1
2
1
2
xt
xt
.
11
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
01
2
10
2
3
I xdx x x dx

.
Câu 14. Cho hàm số
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
. Khi đó
2
2
0
1I xf x dx
bằng
A.
24
. B.
73
3
. C.
74
3
. D.
25
.
Lời giải:
Chọn B
Đặt
2
1
12
2
t x dt xdx xdx dt
. Đổi cận
01
25
xt
xt
.
55
11
11
22
I f t dt f x dx

Do
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
35
2
13
1 73
2 1 1
23
I x dx x x dx




.
Câu 15. Cho hàm số
1
3 3 khi
2
()
1
4 khi
2
xx
fx
xx


. Tính tích phân
2
0
sin cos df x x x
.
Trang8
A.
8
. B.
17
4
. C.
13
2
. D.
21
5
.
Lời giải:
Chọn B
Xét
2
0
sin cos dI f x x x
Đặt
sinxt
cos d dx x t
Với
0x
0t
2
x
1t
11
1 1 1 1
22
11
0 0 0 0
22
17
d d ( )d ( )d 3 3 d 4 d .
4
I f t t f x x f x x f x x x x x x
Câu 16. Cho hàm số
2
2
2 1 khi 0
()
2 1 khi 0
xx
fx
x x x

. Tính tích phân
3
0
3cos 2 sin df x x x
.
A.
33
2
. B.
15
23
. C.12. D.
19
24
.
Lời giải:
Chọn D
Xét
3
0
3cos 2 sin dI f x x x

Đặt
3cos 2xt
1
3sin d d sin d d
3
x x t x x t
Với
0x
1t
3
x
1
2
t 
1 1 0 1
1 1 1
0
2 2 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
01
22
1
0
2
1 1 19
2 1 d 2 1 d .
3 3 24
x x x x x

Câu 17. Cho hàm số
2
1 khi 1
()
2 2 khi 1
xx
fx
xx


. Tính tích phân
4
2
5sin2 1 cos2 df x x x
.
A.
11
10
. B.
43
31
. C.
31
30
. D.
31
10
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
4
2
5sin 2 1 cos2 dI f x x x

Đặt
5sin2 1xt
1
10cos2 d d cos2 d d
10
x x t x x t
Trang9
Với
2
x

1t 
4
x
4t
4 4 1 4
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
10 10 10 10
I f t t f x x f x x f x x
14
2
11
1 1 31
1 d 2 2 d .
10 10 30
x x x x

Câu 18. Cho hàm số
3
2 5 khi 2
()
11 khi 2
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
1
1
2 ln d
e
e
f x x
x
.
A.
69
2
. B.
12
. C.
25
2
. D.
30
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
1
1
2 ln d
e
I f x x
x

Đặt
2 lnxt
1
ddxt
x
Với
1
x
e
1t
xe
3t
3 3 2 3 2 3
3
1 1 1 2 1 2
69
d d d d 11 d 2 5 d .
2
I f t t f x x f x x f x x x x x x x
Câu 19. Cho hàm số
2
1 khi 3
()
7 5 khi 3
xx
fx
xx


. Tính tích phân
ln2
0
3 1 e d
xx
f e x
.
A.
13
15
. B.
102
33
. C.
94
9
. D.
25
9
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
ln2
0
3 1 d
xx
I f e e x
Đặt
31
x
et
1
3 d d d d
3
xx
e x t e x t
Với
0x
2t
ln2x
5t
5 3 5 3 5
2
2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 94
d d d 1 d (7 5 )d .
3 3 3 3 3 9
I f t t f x x f x x x x x x
Mức độ 4
Câu 1. Giá trị của tích phân
2
0
max sin ,cos dx x x
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
1
2
.
Lờigiải
Chọn C
Trang10
Ta có phương trình
sin cos 0xx
có một nghiệm trên đoạn
0;
2



là
4
x
.
Bảng xét dấu
Suy ra
2 4 2
00
4
max sin ,cos d cos d sin dx x x x x x x

2
4
0
4
sin cos 2xx
.
Câu 2. Tính tích phân
2
3
0
max , dI x x x
.
A.
9
4
. B.
17
4
. C.
19
4
. D.
11
4
.
Lời giải:
Chọn B
Đặt
3
f x x x
ta có bảng xét dấu sau:
.
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
3 3 3
0;1 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x
.
3 3 3 3
1;2 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x
.
Ta có:
2
3
0
max , dI x x x
12
33
01
max , d max , dx x x x x x

.
Nên
2
3
0
max , dI x x x
12
12
3 2 4
01
01
1 1 17
dd
2 4 4
x x x x x x

.
Câu 3. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn
2
1 2ln2
2 ln3; ,
1.
f
f a b a b
x x f x f x x x

.
Tính
22
ab
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Lờigiải
ChọnB
Ta có
2
1.x x f x f x x x
(1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho
2
1x
ta được
2
1
.
11
1
xx
f x f x
xx
x


.
11
xx
fx
xx




, với
\ 0; 1x
.
.
1
x
fx
x
d
1
x
x
x
. ln 1
1
x
f x x x C
x
1
ln 1
x
f x x x C
x
Trang11
Mặt khác,
1 2ln2f 
2 1 ln2 2ln2C
1C 
.
Do đó
1
ln 1 1
x
f x x x
x
.
Với
2x
thì
3 3 3
1 ln3 ln3
2 2 2
fx
. Suy ra
3
2
a
và
3
2
b 
.
Vậy
22
9
2
ab
.
Câu 4. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
0 0 1
31
ff
f x y f x f y xy x y

,
với
,xy
. Tính
1
0
1df x x
.
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
7
4
.
Lờigiải
ChọnC
Lấy đạo hàm theo hàm số
y
2
36f x y f y x xy

,
x
.
Cho
2
0 0 3y f x f x

2
13f x x

3
f x f x dx x x C
mà
01f
1C
. Do đó
3
1f x x x
.
Vậy
1
0
1df x x
0
1
df x x
0
3
1
1
1d
4
x x x
.
Câu 5. Cho hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
10f
,
1
2
0
d7f x x


và
1
2
0
1
d
3
x f x x
. Tích phân
1
0
df x x
bằng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
11
33
2
00
0
33





xx
x f x dx f x f x dx
. Suy ra
1
3
0
1
33

x
f x dx
.
Hơn nữa ta dễ dàng tính được
1
6
0
1
d
9 63
x
x
.
Do đó
1 1 1
36
2
2
0 0 0
d 2.21 d 21 d 0
39
xx
f x x f x x x



1
2
3
0
7 d 0f x x x


.
Suy ra
3
7
f x x
, do đó
4
7
4
f x x C
. Vì
10f
nên
7
4
C
.
Vậy
11
4
00
77
d 1 d
45
f x x x x

.
Câu 6. Xét hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện
11f
và
24f
.
Tính
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





.
Trang12
A.
1 ln4J 
. B.
4 ln2J 
. C.
1
ln 2
2
J 
. D.
1
ln 4
2
J 
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





2 2 2
22
1 1 1
21
d d d
f x f x
x x x
x x x x



.
Đặt
2
11
dd
dd
u u x
xx
v f x x v f x






.
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx





2
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
1 2 1
. d d d
f x f x
f x x x x
x x x x x



2
1
1 1 1
2 1 2ln ln 4
22
f f x
x



.
Câu 7. Cho hàm số
()fx
xác định trên
\ 2;1
thỏa mãn
2
1
, 3 3 0, 0
2
1
3
f x f f f
xx

. Giá trị của biểu thức
4 1 4f f f
bằng
A.
11
ln20
33
. B.
11
ln 2
33
. C.
ln80 1
. D.
18
ln 1
35
.
Lờigiải
ChọnB
Ta có:
2
1 1 1
2 3 1 2
1
fx
x x x x



1
2
3
1
ln 1 ln 2 ; ; 2
3
1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ln 2 ; 2;1
3 1 2 3 2 3
1
ln 1 ln 2 ; 1;
3
x x C x
x
f x dx C x x C x
x x x
x x C x











Với
22
1 1 1 1 1
0 ln 1 0 ln 0 2 ln2
3 3 3 3 3
f C C


Với
13
11
3 3 0 ln
3 10
f f C C
Nên
2 1 3
1 5 1 1 1 1 1
4 1 4 ln ln2 ln ln2
3 2 3 3 2 3 3
f f f C C C
.
Câu 8. Cho hàm số
fx
xác định và liên tục trên
đồng thời thỏa mãn
2
0,
,.
1
0
2
x
f x x
f x e f x x
f
Tính giá trị của
ln2f
.
A.
1
ln 2
4
f
. B.
1
ln 2
3
f
. C.
1
ln2 ln2
2
f 
. D.
2
1
ln2 ln 2
2
f 
.
Lời giải
Chọn B
Trang13
Ta có
2x
f x e f x

2
x
fx
e
fx
( do
0fx
)
2
dd
x
fx
x e x
fx

11
x
x
e C f x
f x e C
.
Mà
0
1 1 1
01
22
fC
eC
.
ln2
1 1 1
ln2
1 1 3
x
f x f
ee

.
Câu 9. Cho hai hàm
fx
và
gx
có đạo hàm trên
1;4
, thỏa mãn
1 1 4fg
g x xf x
f x xg x



với mọi
1;4x
. Tính tích phân
4
1
I f x g x dx


.
A.
3ln2
. B.
4ln2
. C.
6ln2
. D.
8ln2
.
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có
..f x g x x f x x g x

. . 0f x x f x g x x g x

. . 0x f x x g x

..
C
x f x x g x C f x g x
x
Mà
44
11
4
1 1 4 4 8ln2f g C I f x g x dx dx
x



.
Câu 10. Cho hai hàm
()fx
và
()gx
có đạo hàm trên
1;2
thỏa mãn
(1) (1) 0fg
và
2
3
2
( ) 2017 ( 1) ( )
( 1)
, 1;2 .
( ) ( ) 2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x


Tính tích phân
2
1
1
( ) ( )
1
xx
I g x f x dx
xx




.
A.
1
2
I
. B.
1I
. C.
3
2
I
. D.
2I
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta có:
2
2
11
( ) ( ) 2017
( 1)
, 1;2 .
1
( ) ( ) 2018
1
x
g x f x
xx
x
x
g x f x
xx


Suy ra:
22
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1
( 1) 1 1
1
( ) ( ) .
1
x x x x
g x g x f x f x g x f x
x x x x x x
xx
g x f x x C
xx






Mà
(1) (1) 0 1f g C
22
11
11
( ) ( ) ( 1) .
12
xx
I g x f x dx x dx
xx




Trang14
Câu 11. Cho hàm số
3
2 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
2
2
0
3sin 1 sin2 df x x x
.
A.
21
4
. B.
13
2
. C.
20
3
. D.
5
6
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
2
2
0
3sin 1 sin2 dI f x x x

Đặt
2
1
3sin 1 3sin 2 d d sin 2 d d
3
x t x x t x x t
Với
0x
1t 
2
x
2t
2 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
12
3
11
1 1 21
2 d 3 d .
3 3 4
x x x x x

Câu 12. Cho hàm số
2
2 1 khi 1
()
khi 1
xx
fx
xx

. Tính tích phân
13
1
3 2 df x x
.
A.
231
5
. B.
97
6
. C.
16
3
. D.
113
3
.
Lời giải:
Chọn B
Xét
13
1
3 2 dI f x x
Đặt
2
3 2 3 2 3 ( 2) d 2( 2)dx t x t x t x t t
Với
1x
0t
13x
2t
2 2 1 2
0 0 0 1
2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) dI t f t t x f x x x f x x x f x x
12
2
01
97
2 ( 2) d 2 (2 1)( 2)d .
6
x x x x x x

Câu 13. Cho hàm số
2 4 khi 2
()
4 2 khi 2
xx
fx
xx


. Tính tích phân
2
2
4
3 4cos sin 2 df x x x
.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
21
4
. D.
5
12
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
2
2
4
3 4cos sin2 dI f x x x

Đặt
2
1
3 4cos sin 2 d d
4
x t x x t
Trang15
Với
4
x

1t
2
x
3t
3 3 2 3
1 1 1 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
4 4 4 4
I f t t f x x f x x f x x
23
12
1 1 2
4 2 d 2 4 d .
3 3 3
x x x x

Câu 14. Cho hàm số
42
2
2 1 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx

. Tính tích phân
4
1
1
4 ln d
e
f x x
x
.
A.
16
3
. B.
17
. C.
11
6
. D.
6
11
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
4
1
1
4 ln d
e
I f x x
x

Đặt
2
1
4 ln 4 ln d 2 dx t x t x t t
x
Với
1x
2t
4
xe
0t
2 2 1 2
0 0 0 1
2 . d 2 . d 2 . ( )d 2 . ( )dI t f t t x f x x x f x x x f x x
12
4 2 2
01
11
2 2 1 d 2 3 d .
6
x x x x x x x

Câu 15. Cho hàm số
2
2 1 khi 0
( ) 1 khi 0 2
5 2 khi 2
xx
f x x x
xx


. Tính tích phân
4
2
4
1
2 7tan d
cos
f x x
x
.
A.
201
77
. B.
34
103
. C.
155
7
. D.
109
21
.
Lời giải:
Chọn D
Xét
4
2
4
1
2 7tan d
cos
I f x x
x

Đặt
2
11
2 7tan d d
cos 7
x t x t
x
Với
4
x

9t
4
x
5t 
9 9 0 2 9
5 5 5 0 2
1 1 1 1 1
d d ( )d ( )d ( )d
7 7 7 7 7
I f t t f x x f x x f x x f x x
0 2 9
2
5 0 2
1 1 1 109
2 1 d 1 d 5 2 d .
7 7 7 21
x x x x x x
Trang16
Câu 16. Cho hàm số
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
. Khi đó
2
2
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx

bằng
A.
7
3
. B.
8
3
. C.
3
. D.
10
3
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có:
2
2
12
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx I I

Đặt
sin cost x dt xdx
. Đổi cận
00
1
2
xt
xt
.
1 1 1
1
0 1 1
2I f t dt f t dt f x dx

Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
01
2
1
10
2
3
I xdx x x dx

.
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt
. Đổi cận
03
21
xt
xt
.
33
2
11
I f t dt f x dx


Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x
03
2
2
10
4I xdx x x dx




.
Vậy
12
10
3
I I I
Câu 17. Cho hàm số
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
. Tính tích phân
2
3 ln3
22
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx
x

A.
84
. B.
83
. C.
48
. D.
84
.
Lời giải:
Chọn A
Ta có:
2
3 ln3
22
12
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx I I
x

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt
. Đổi cận
01
32
xt
xt
.
222
1
111
I f t dt f t dt f x dx

Trang17
Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
2
1
1
2 12 9I x dx
.
Đặt
2 2 2
1
12
2
x x x
t e dt e dx e dx dt
. Đổi cận
ln2 5
ln3 10
xt
xt
.
10 10
2
55
11
22
I f t dt f x dx

Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
10
2
5
1
4 75
2
Ix
.
Vậy
12
84I I I
Câu 18. Cho hàm số
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
. Biết
2
1
3
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
a
I dx dx
x x b

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của tổng
ab
bằng
A.
69
. B.
68
. C.
67
. D.
66
.
Lời giải:
Chọn A
2
1
3
12
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
I dx dx I I
xx

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
. Đổi cận
1
4
3
3
xt
xt
.
33
1
11
I f t dt f x dx

Đặt
2
22
21
ln 1
1 1 2
xx
t x dt dx dx dt
xx

. Đổi cận
00
1
1
2
xt
x e t
.
11
22
2
00
11
22
I f t dt f x dx

Do
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
1
3
2
3
12
10
1 53
2 3 2 53, 16
2 16
I I I x x dx x dx a b

.
Vậy
69ab
Trang18
Câu 19. Cho hàm số
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx


. Biết
2
26
2
1
3
ln
.1
e
fx
a
I dx x f x dx
xb

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của hiệu
ab
bằng
A.
77
. B.
67
. C.
57
. D.
76
.
Lời giải:
Chọn A
2
26
2
12
1
3
ln
.1
e
fx
I dx x f x dx I I
x

Đặt
1
lnt x dt dx
x
. Đổi cận
2
10
2
xt
x e t
.
22
1
00
I f t dt f x dx

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt
. Đổi cận
32
2 6 5
xt
xt
.
55
2
22
..I t f t dt x f x dx

Do
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx


25
12
02
1 79
2 . 7 79, 2
22
I I I x dx x x dx a b




.
Vậy
77ab
Câu 20. Cho hàm số
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

. Biết
2
2
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
a
I f x xdx dx
xb

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của tích
ab
bằng
A.
305
. B.
305
. C.
350
. D.
350
.
Lời giải:
Chọn B
2
2
12
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
I f x xdx dx I I
x

Đặt
2sin 1 2cos cos
2
dt
t x dt xdx xdx
. Đổi cận
01
1
2
xt
xt
.
11
1
11
11
22
I f t dt f x dx


Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

01
2
10
1 13
2 3 1
2 12
I x dx x x dx




.
Trang19
Đặt
1
lnt x dt dx
x
. Đổi cận
2
1
2
x e t
x e t
.
22
2
11
I f t dt f x dx

Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx

2
2
1
29
1
6
I x x dx
.
12
377
377, 72
72
I I I a b
Vậy
305ab
| 1/19
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ:TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân: b c b f
 xdx f
 xdxf
 xdxvới a c b. a a c b b k f
 xdx kf
 xdxk  0 a a b a f
 xdx   f
 xdx a b b b f
 xdx F x  F bF a a a b b b
  f x g xdx f
 xdxg
 xdx a a a b b b f
 xdx f
 tdt f  zdz a a a b b f
 xdx f x  f b f aa a
2. Công thức đổi biến số: f
 ux.uxdx f
 udu, u ux ub bf
 ux.uxdx f
 udu, u ux. a ua
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính
g xdx
. Nếu ta viết được g x dưới dạng f u xu x thì a ub bubg
 xdx f
 udu. Vậy bài toán quy về tính f udu
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a uaua này đơn giản hơn . 
Giả sử cần tính f
 xdx. Đặt x xt thỏa mãn   xa,   xb thì   b b f
 xdx f
 xtxtdt g
 tdt , trong đó gt  f xt.xt a a BÀI TẬP MẪU 2 x 1 khi x  2
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Cho hàm số f (x)   . Tích phân 2
x  2x  3 khi x  2  2
f (2sin x 1) cos x dx  bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Phân tích hướng dẫn giải Trang1
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b
B2:Sử dụng tính chất
f x dx
f x dx f x d , x c   ; a b    . a a c
B3:Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lờigiải Chọn B  2 Xét I
f (2sin x 1) cos x dx  0 Đặ 1
t t  2 sin x 1  dt  cos d x x 2
x  0  t  1 Đổi cận:  x   t  . 3 2 3 3 2 1 1 1   I
f (t)dt
f (x)dx    
x  2x  3 3 23 2 dx   2 x   1 dx     . 2 2 2 6   1 1 1 2
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 3 2 e x khi x  0 1 2 a e a Câu 1.
Cho hàm số f (x)   . Biết tích phân
f (x) dx    ( là phân số tối 2
x x  2 khi x  0 b c b 1 
giản). Giá trị a b c bằng A. 7 . B. 8 . C. 9 . D.10 . Lờigiải ChọnC 1 0 1 2 e x 4 Ta có: I f (x)dx   2 x x  2 2
dx e dx      . 3 2 1  1  0
Vậy a b c  9. x 2 1 x khi x  3  4 e f (ln x) Câu 2.
Cho hàm số f (x)   1 . Tích phân dx  bằng:  khi x  3 x  2 x  4 e 40 95 189 189 A.  ln 2 . B.  ln 2 . C.  ln 2 . D.  ln 2 . 3 6 4 4 Lờigiải Chọn D 4 e f (ln x) Xét I  dxx 2 e Đặ 1
t t  ln x  dt  dx x 2    Đổ x e t 2 i cận: . 4
x  e  t  4 4 4 3 4 1 189 I
f (t)dt
f (x)dx  dx x  2
1 x  dx   ln 2     . x  4 4 2 2 2 3 Trang2 1  khi x  1 1 m m Câu 3.
Cho hàm số f (x)   x . Tích phân 3
f ( 1 x)dx   ( là phân số tối giản),  n n
x 1 khi x 1 2 
khi đó m  2n bằng: A.1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 Xét 3 I
f ( 1 x )dx  7  Đặt 3 2
t  1 x  3
t dt  dx x  7   t  2 Đổi cận: .
x  1  t  0 0 2 1 2   25 2 2 2 I  3
t f (t)dt  3 x f (x)dx  3  
x x   1 dx  d x x     . 12 2 0 0 1  1 3 1 Câu 3.
Cho hàm số f x liên tục trên  và f
 xdx  4, f
 xdx  6. Tính I f
  2x1dx 0 0 1  A. I  3 . B. I  5 . C. I  6 . D. I  4 . Lời giải Chọn B
Đặt u  2x  1 1  d x
d u . Khi x  1  thì u  1
 . Khi x 1 thì u  3. 2 3 1 0 3 1   Nên I f
  u du   f
  u du f
  u du 2 2   1  1  0 0 3 1     f   u  du f
 udu. 2  1  0  1 Xét f
 xd x  4. Đặt x  u dx du . 0
Khi x  0 thì u  0 . Khi x 1 thì u  1  . 1 1  0 Nên 4 
f x d x    f u  
du f u   du. 0 0 1  3 3 Ta có f
 xd x  6  f
 udu  6. 0 0 0 3 1   1 Nên I   f   u  du f
 udu  46  5. 2  2 1  0  Câu 4.
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  1 x  1 x trên tập  và thỏa mãn F  
1  3. Tính tổng F 0  F 2  F  3   . A. 8 . B.12 . C.14 . D.10 . Lời giải: Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Trang3 2 2 2 Ta có: f
 xdx F2F  1  F23 mà f
 xdx  2dx  2 
nên F 2  5 . 1 1 1 1 1 1  f
 xdx F  1 F 0  3 F 0 mà f  x 2 1 dx  2 d x x x 1 
nên F 0  2 . 0 0 0 0 0 0 0
f xdx F 0  F   1  2  F    1 mà f x 2 0 dx  2 d x x x  1    nên F   1  3. 1  1  1  1  1  1  1 
f xdx F   1  F  3
   3 F  3  
 mà f xdx  2  dx  4    nên F  3    7 . 3  3  3 
Vậy F 0  F 2  F  3
   2 5 7 14 . 5 2 x  2 1 Câu 5. Biết I
dx  4  a ln 2  b ln 5 
với a, b   . Tính S a b . x 1 A. S  9 . B. S 11. C. S  3  . D. S  5. Lời giải: Chọn D
x  2 khi x  2 Ta có x  2   .
2  x khi x  2 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 Do đó I  dx  dx   . x x 1 2 2 22  x 5 1 2 x  2 1 2 5   5   3  dx  dx     2 dx  2  dx     x xx   x  1 2 1 2  
x x 2  x x  5 5ln 2 2 3ln  48ln 23ln5. 1 2    a 8 
S a b  5. b   3  Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2 , với mọi 5
x  .Tích phân xf
 xdx bằng 1 31 17 33 49 A.  . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f  3 x  3x  
1  3x  2 nên suy ra f  
1  2 , f 5  5 . 5 5 5 5
Suy ra I xf
 xdx xf x  f
 xdx  23 f  xdx. 1 1 1 1 Đặt 3
x t t   x   2 3 1 d 3t  3dt .
Với x  1  t  0; x  5  t  1 Trang4 5 1 1 59
Do đó f xdx f  3t  3t   1  2
3t  3dt  3t  2 2
3t  3dt     . 4 1 0 0 59 33 Vậy I  23   . 4 4 Câu 7.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  thoả f  5
x  4x  3  2x 1, x   .Tích 8 phân f
 xdx bằng 2  32 A. 2 . B. 10 . C. . D. 72 . 3 Lời giải Chọn B Đặt 5
x t t   dx   4 4 3 5t  4dt . x  2   t  1  Đổi cận: 
x  8  t 1 8 1 1 Khi đó f
 xdx f
  5t 4t 3 4
5t  4dt   2t   1  4
5t  4dt 10 . 2  1  1  Câu 8.
Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn  f x 3 2
( )  3 f (x)  5  x với 10 x
  . Tính I f (x)dx  . 5 A. I  0. B. I  3 . C. I  5 . D. I  6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t f (x)  2t  3t  5  x dx  (6t  3)dt và 3
x  5  2t  3t  5  5  t  0 3
x  10  2t  3t  5  10  t  1 10 1 Vậy 2 I
f (x)dx t(6t  3)dt  3   . 5 0 1  2 Câu 9.
Cho hàm số f x xác định  \  , thỏa f  x 
, f 0 1 và f   1  2. Giá trị 2 2x 1
của biểu thức f   1  f 3 bằng A. ln15. B. 2  ln15. C. 3  ln15. D. 4  ln15. Lời giải Chọn C
Ta có f  x 2  2x 1    x 1 ln 1 2  C ; x    f x 1 2 2 
dx  ln 2x 1  C    2x 1 ln2x   1 1  C ; x  2  2
f 0  1 C  1 và f   1  2  C  2 . 1 2    x 1 ln 1 2 1 ; x    f     1  ln 3 1
Do đó f x 2          x   1 f    3 ln 5 2 ln 2 1 2 ; x  2 Trang5f  
1  f 3  3  ln15.  2 3
x  2x khi x  0 2
Câu 10. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I  cos xf
sin xdx bằng 5   x khi x  0   2 15 17 A. . B.15 . C. 8 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn A   x    t  1   Đặ 2
t t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   .
x   t 1  2 1 1  I f
 tdt f  xdx 1  1  2 3
x  2x khi x  0 Do f (x)   5   x khi x  0 0 1
I  5 xdx   15 2
3x  2xdx    . 2 1  0 2
x  2x  3 khi x  2 1
Câu 11. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I f
 32xdx bằng x 1 khi x  2 0 41 41 41 A. . B. 21 . C. . D. . 2 12 21 Lờigiải Chọn C 1
x  0  t  3
Đặt t  3  2x dt  2dx dx   dt . Đổi cận  . 2
x 1 t 1 3 3 1  I f  t 1 dt f  xdx 2 2 1 1 2
x  2x  3 khi x  2 Do f (x)   x 1 khi x  2 2 3 1  
I   x  1dx   41 2
x  2x  3 dx   . 2 12  1 2   3 2  x  2x khi x   2 2
Câu 12. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I  sin xf cos x    1 dx bằng 3 x  2 khi x  0  2 35 19 10 A. . B. 3 . C. . D. . 12 4 3 Lời giải: Chọn A
x  0  t  2 
Đặt t  cos x 1 dt  sin xdx . Đổi cận   . x   t  1  2 Trang6 2 2  I f
 tdt f  xdx 1 1  3 2 x  2x khi x   2 Do f (x)   3 x  2 khi x   2 3 2 2
I  x  2dx   35 2
x  2xdx    . 12 1 3 2  2
x x khi x  0 2
Câu 13. Cho hàm số f (x)   . Khi đó I  cos xf
sin xdx bằng x khi x  0   2 2 1 4 A.  . B. 1. C.  . D.  . 3 3 3 Lời giải: Chọn A   x    t  1   Đặ 2
t t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   .
x   t 1  2 1 1  I f
 tdt f  xdx 1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 1
I xdx   2 2
x xdx     . 3 1  0 2
x x 1 khi x  3 2
Câu 14. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I xf  2 x   1dx bằng 2x 1 khi x  3 0 73 74 A. 24 . B. . C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B 1
x  0  t 1 Đặt 2
t x 1  dt  2xdx xdx dt . Đổi cận  . 2
x  2  t  5 5 5 1  I f  t 1 dt f  xdx 2 2 1 1 2
x x 1 khi x  3 Do f (x)   2x 1 khi x  3 3 5 1  
I   2x  1dx   73 2 x x   1 dx   . 2 3  1 3   1 
3x  3 khi x   2 2
Câu 15. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f  sin xcos d x x . 1
x  4 khi x  0  2 Trang7 17 13 21 A. 8 . B. . C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B  2 Xét I f  sin xcos d x x 0
Đặt sin x t  cos d x x  dt
Với x  0  t  0  x   t 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1  I f
 tt f
 xx f x x f x x   
 x   x  x   17 d d ( )d ( )d 3 3 d 4 dx  . 4 0 0 0 1 0 1 2 2  2 2x 1 khi x  0 3
Câu 16. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
 3cosx2sin d x x . 2
2x x 1 khi x  0 0 33 15 19 A. . B. . C.12. D. . 2 23 24 Lời giải: Chọn D  3 Xét I f
 3cosx2sin d x x 0
Đặt 3cos x  2  t  1 3sin d
x x  dt  sin d x x   dt 3
Với x  0  t 1  x   1 t   3 2 1 1 0 1  1 I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   3 3 3 3 1 1 1 0    2 2 2 0 1
  2x x  1 1 19 2 1 dx   2 2x   1 dx  . 3 3 24 1 0 2  2 1
  x khi x 1 4
Câu 17. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f 5sin 2x   1cos2 d x x .
2x  2 khi x 1   2 11 43 31 31 A. . B. . C. . D. . 10 31 30 10 Lời giải: Chọn C  4 Xét I f 5sin 2x   1cos2 d x x   2
Đặt 5sin 2x 1 t  1 10 cos 2 d
x x  dt  cos 2 d x x  dt 10 Trang8  Với x    t  1  2  x   t  4 4 4 4 1 4 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   10 10 10 10 1  1  1  1 1 1   1 x  4 1 31 2 dx
2x2dx  . 10 10 30 1  1 3
2x x  5 khi x  2 e 1
Câu 18. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
 2ln x dx. 11   x khi x  2 x 1 e 69 25 A. . B.12 . C. . D. 30 . 2 2 Lời giải: Chọn A e 1 Xét I f
 2ln x dx x 1
Đặt 2  ln x t  1 dx  dt x 1
Với x   t 1 e
x e t  3 3 3 2 3 2 3  I f
 tdt f
 xdx f
 xdxf
 xdx  11 xdx  69 3
2x x  5dx  . 2 1 1 1 2 1 2 2 1
  x khi x  3 ln 2
Câu 19. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân 3 x   1ex f e dx .
7  5x khi x  3 0 13 102 94 25 A. . B.  . C.  . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét  3 x   1 x I f e e dx 0 Đặt 3 x e 1  t x x 1
3e dx  dt e dx  dt 3
Với x  0  t  2
x  ln 2  t  5 5 3 5 3 5  1 I f  t 1 dt f  x 1 dx f  x 1 dx   1 94 2 1 x dx
(7  5x)dx   .  3 3 3 3 3 9 2 2 3 2 3  Mức độ 4  2 Câu 1.
Giá trị của tích phân max  sin ,xcos  x dx bằng 0 1 A. 0 . B.1. C. 2 . D. . 2 Lờigiải Chọn C Trang9    
Ta có phương trình sin x cos x  0 có một nghiệm trên đoạn 0;   là x  .  2  4 Bảng xét dấu    2 4 2   Suy ra max  sin x,cos  x dx  cos d x x  sin d x x  
 sin x 4 cos x 2  2  . 0 0 0  4 4 2 Câu 2.
Tính tích phân I  max 
 3x, xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt   3
f x x x ta có bảng xét dấu sau: .
Dựa vào bảng xét dấu ta có. x
   f x 3 3
  x x   x x   3 0;1 , 0 0 max x ,  x x . x
   f x 3 3
  x x   x x   3x  3 1; 2 , 0 0 max , x x . 2 1 2 Ta có: I  max 
 3x, xdx  max 
 3x, xdx max 
 3x, xdx. 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 17 Nên I  max 
 3x, xdx 3 2 4  d
x x x dx xx    . 2 4 4 0 0 1 0 1  f   1  2  ln 2  Câu 3.
Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 0;  
1 thỏa mãn  f 2  a b ln 3; a,b   . x   x  
1 . f  x  f x 2  x x Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lờigiải ChọnB
Ta có x x   f  x  f x 2 1 .
x x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho  x  2 1 ta được
. f  x  f x  2   x 1 x  1 x 1    xx x x . f x    , với x   \0;   1 .  . f x  dx   x 1  x 1 x 1 x 1   x x 1
. f x  x  ln x 1  C f x 
x ln x 1 Cx 1 x Trang10 Mặt khác, f   1  2
 ln 2  21 ln 2  C  2  ln 2  C  1  . x 1
Do đó f x 
x ln x 1  1. x 3 3 3 3 3
Với x  2 thì f x  1 ln 3 
 ln 3. Suy ra a  và b   . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a b  . 2  f
 0  f 0 1 Câu 4.
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  thỏa mãn  ,  f
  x y  f x  f y  3xy x y 1 1
với x, y   . Tính f
 x1dx. 0 1 1 1 7 A. . B.  . C. . D. . 2 4 4 4 Lờigiải ChọnC
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f  x y  f  y 2
 3x  6xy , x   .
Cho y   f  x  f   2 0
0  3x f  x 2 1 3x         3 f x f
x dx x x C mà f 0  1  C  1. Do đó f x 3
x x  1 . 1 0 0 1 Vậy f x   1 dx  
f xdx  
 3x x 1dx   . 4 0 1  1  1 2 Câu 5.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0 ,  f
 x dx  7  và 0 1 1 1 2
x f x dx   . Tích phân
f x dx  bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3  xx 1 3 1 Ta có 2
x f xdx   f x  f   
xdx . Suy ra      x f x dx .  3  3 3 3 0 0 0 0 1 6 Hơn nữ x 1
a ta dễ dàng tính được dx   . 9 63 0 1 1 3 1 6 x x 1 Do đó  2 f
 x 2 dx2.21 f    x 2 dx  21 dx  0    f   x 3
 7x  dx  0   . 3 9 0 0 0 0 7 7
Suy ra f  x 3  7
x , do đó f x 4
  x C . Vì f   1  0 nên C  . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f xdx  
 4x  1dx    . 4 5 0 0 Câu 6.
Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f  
1  1 và f 2  4 .
2  f  x  2
f x 1 Tính J    dx . 2 x x   1 Trang11 1 1
A. J 1 ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2  f  x  2
f x 1 2 2 2 f x f x  2 1  Ta có J         dx  dx  dx   dx     . 2 x x   2 2 x xx x  1 1 1 1  1  1 u   du   dx Đặt 2  x   x . dv f  
xdx v f  x
2  f  x  2
f x 1 2 2 2 2 1 f x f x  2 1  J   
dx  . f x      dx  dx   dx     2 x x   2 2 2 x x xx x  1 1 1 1 1 2 1  
f    f   1 1 2 1  2 ln x    ln 4   . 2  x  2 1 Câu 7.
Cho hàm số f (x) xác định trên  \  2  ;  1 thỏa mãn f  x 1 1  , f 3
  f 3  0, f 0  . Giá trị của biểu thức f  4    f   1  f 4 2       x x  2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20  . B. ln 2  . C. ln80 1 . D. ln 1. 3 3 3 3 3 5 Lờigiải ChọnB 1 1  1 1 
Ta có: f  x      2 x x  2
3  x 1 x  2  1 ln
  1 x  ln x  2  C ; x   ;  2   1   3      f x 1 1 1 1 x 1 1   dx  ln  C     ln
 1 x  ln  x  2  C ; x  2  ;1  2  
3  x 1 x  2  3 x  2 3  1 ln    x  
1  ln  x  2  C ; x  1;   3   3 1 1 1 1 1
Với f 0   ln
 1 0  ln 0  2  C   C  ln 2   2 2 3 3 3 3 3 1 1 Với f  3
   f 3  0  C C  ln 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Nên f  4    f  
1  f 4  ln  ln 2  ln  C C C  ln 2  . 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Câu 8. Cho hàm số
f x xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn 
f x  0, x    
f  xx 2
 e f x, x    .   f   1 0   2
Tính giá trị của f ln 2 . 1 A. f   1 ln 2  . B. f   1 ln 2  . C. f   1 ln 2  ln 2 
. D. f ln 2 2  ln 2  . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B Trang12 f  x
Ta có f  xx 2  ef xx
 e ( do f x  0 ) 2 f xf  x  1 x 1 d x
x  e dx    
 e C f x  2 f xf x   xe  . C 1 1 1 Mà f 0     C  1. 0 2 e C 2  f x 1   f   . x   1 1 ln 2 ln 2 e 1 e 1 3  f   1  g   1  4  Câu 9.
Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1; 4, thỏa mãn  g x  xf  x với mọi  f
  x  xg x 4
x 1;4 . Tính tích phân I   f
 x gxdx  . 1 A. 3ln 2 . B. 4 ln 2 . C. 6ln 2 . D. 8ln 2 . Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f x  g x   .
x f  x  . x g x     f  x  .
x f  x  g   x  .
x g x  0    . x f
x   .xg   x  0  C  .
x f x  .
x g x  C f x  g x  x 4 4 4 Mà f   1  g  
1  4  C  4  I   f
 x gxdx dx 8ln2   . x 1 1
Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g(x) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f (1)  g(1)  0 và  x
g(x)  2017x  (x 1) f (  x)  2 (x 1)  , x  1;2. 3  x 2 g (
x)  f (x)  2018x  x 1 2  x x 1  Tính tích phân I g(x)  f (x) dx   .  x 1 x  1 1 3 A. I
. B. I  1. C. I  . D. I  2 . 2 2 Lời giải Chọn A  1 x 1 g(x)  f (  x)  201  7  2 (x 1) x Từ giả thiết ta có:  , x  1;2. x 1  g (  x)  f (x)  2018 2  x 1 x Suy ra:    1 x   x 1 1   x   x 1  g(x)  g (  x)  f (  x)  f (x)  1  g(x)  f (x) 1   2  2                 (x 1) x 1 x x x 1 x x x 1  g(x) 
f (x)  x C. x 1 x 2 2  x x 1  1
Mà f (1)  g(1)  0  C  1   I g(x) 
f (x) dx  (x 1)dx  .     x 1 x  2 1 1 Trang13  3
x x  2 khi x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f  2 3sin x   1sin2 dxx. x  3 khi x  1 0 21 13 20 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A  2 Xét I f  2 3sin x   1sin2 dxx 0 1 Đặt 2
3sin x 1  t  3sin 2 d
x x  dt  sin 2 d x x  dt 3
Với x  0  t  1   x   t  2 2 2 2 1 2 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   3 3 3 3 1  1  1  1 1 1
  x x  2 2 1 21 3 dx
x3dx  . 3 3 4 1  1
2x 1 khi x 1 13
Câu 12. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
  x3 2dx. 2 x khi x  1 1 231 97 16 113 A.  . B. . C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B 13 Xét I f
  x3 2dx 1 Đặt 2
x  3  2  t x  3  t  2  x  3  (t  2)  dx  2(t  2)dt
Với x 1  t  0
x 13  t  2 2 2 1 2
I  2 (t  2) f
tdt  2 (x  2) f
xdx  2 (x  2) f
xdx  2 (x  2) f  xdx 0 0 0 1 1 2 97 2
 2 (x  2)x dx  2 (2x 1)(x  2)dx  .   6 0 1 
2x  4 khi x  2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f   2 3  4 cos xsin 2 d x x .
4  2x khi x  2   4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12 Lời giải: Chọn A  2 Xét I f   2 3  4 cos xsin 2 d x x   4 1 Đặt 2
3  4 cos x t  sin 2 d x x  dt 4 Trang14  Với x    t 1 4  x   t  3 2 3 3 2 3 1  I f  t 1 t f  x 1 1 d dx
f (x)dx f (x)dx   4 4 4 4 1 1 1 2 2 3 1    x 1 x   x  2 4 2 d 2 4 dx  . 3 3 3 1 2 4 2  4
x  2x 1 khi x  1 e 1
Câu 14. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân f
  4ln x dx. 2 3   x khi x  1 x 1 16 11 6 A. . B.17 . C. . D. . 3 6 11 Lời giải: Chọn C 4 e 1 Xét I f
  4ln x dx x 1 1 Đặt 2
4  ln x t  4  ln x t
dx  2tdt x
Với x 1  t  2 4
x e t  0 2 2 1 2
I  2 t. f
 tdt  2 .xf
 xdx  2 .xf (x)dx 2 .xf (x)dx   0 0 0 1 1  2 x
 x 2x   2 11 4 2 1 dx  2 x   2
3  x dx  . 6 0 1 2   2x 1 khi x  0  4 1
Câu 15. Cho hàm số f (x)  x 1
khi 0  x  2 . Tính tích phân f  27tan x dx .  2  cos x 5  2x khi x  2   4 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D  4 1 Xét I f  27tan x dx 2  cos x  4 1 1
Đặt 2  7 tan x t  dx   dt 2 cos x 7  Với x    t  9 4  x   t  5  4 9 9 0 2 9 1  I f  t 1 t f  x 1 1 1 d dx
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx    7 7 7 7 7 5  5  5  0 2 0 1   2x   2 9 1 1 109 2 1 dx
x 1dx 52xdx  . 7 7 7 21 5  0 2 Trang15  2
x x khi x  0 2 2
Câu 16. Cho hàm số f (x)  
. Khi đó I  2 cos xf
sin xdx 2 f
 32xdx bằng x khi x  0 0 0 7 8 10 A. . B. . C. 3 . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D  2 2
Ta có: I  2 cos xf
sin xdx  2 f
 32xdx I I 1 2 0 0
x  0  t  0 
Đặt t  sin x dt  cos xdx . Đổi cận   . x   t  1  2 1 1 1
I  2 f t dt f t dt f x dx    1       0 1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 1
I xdx   2 2
x x dx     . 1  3 1  0 1
x  0  t  3
Đặt t  3  2x dt  2dx dx   dt . Đổi cận  . 2
x  2  t  1  3 3
I f t dt f x dx   2     1  1  2
x x khi x  0 Do f (x)   x khi x  0 0 3  
I   xdx  
 2x x dx  4. 2   1 0  10
Vậy I I I 1 2 3 4x khi x  2
Câu 17. Cho hàm số f (x)   . Tính tích phân  2
x 12 khi x  2 . x f  2 3 x 1 ln 3 2 x I dx e . f    2 1 x
e dx 2  0 x 1 ln 2 A. 84 . B. 83 . C. 48 . D. 84  . Lời giải: Chọn A . x f  2 3 x 1 ln 3 Ta có: 2 x I dx e . f    2 1 x
e dx I I 1 2 2  0 x 1 ln 2
x  0  t 1  Đặt 2 2 2 t
x 1  t x 1 2tdt  2xdx xdx tdt . Đổi cận  .
x  3  t  2 2 2 2
I f t dt f t dt f x dx    1       1 1 1 Trang16 4x khi x  2 Do f (x)    2
x 12 khi x  2 2  I  2
x 12 dx  9  . 1   1
x  ln 2  t  5 x x x 1 Đặt 2 2 2 t  1 e
dt  2e dx e dx dt . Đổi cận  . 2
x  ln3  t 10 10 10 1 1  I f t dt f x dx   2     2 2 5 5 4x khi x  2 Do f (x)    2
x 12 khi x  2 10 1  I  4x  75  . 2 2 5
Vậy I I I  84 1 2  3  3 e  . x f f x  2 1 ln x 1 tan  2x x khi x  1    a
Câu 18. Cho hàm số f (x)   . Biết I dx dx     3
x  2 khi x 1 2 2   cos x x 1 b 0 4 a với
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a b bằng b A. 69 . B. 68 . C. 67 . D. 66 . Lời giải: Chọn A  3   e  . x f ln  2 1 x f x   1 tan I dx
dx I I   2 2 1 2   cos x x 1 0 4   x   t 1 1  Đặ 4
t t  tan x dt dx . Đổi cận  . 2 cos x
x   t  3  3 3 3  I f t dt f x dx   1     1 1
x  0  t  0 2x x 1  Đặt t  ln  2 x   1  dt dx dx dt . Đổi cận  . 2 2 1 x 1 x 1 2 x e 1  t   2 1 1 2 1  I f  t 2 1 dt f x dx  2   2 2 0 0 3
2x x khi x 1 Do f (x)    3
x  2 khi x 1 1 3
I I I   2x x 2 1 53 3 dx  3
x  2 dx
a  53, b 16  . 1 2   2 16 1 0
Vậy a b  69 Trang17 1  2 x  2 khi 0  x<2 e f ln x 2 6 a
Câu 19. Cho hàm số f (x)  2 . Biết I dx  . x f  2 x 1dx    với  x b x  7 kh 2 i  x  5 1 3
a là phân số tối giản. Giá trị của hiệu ab bằng b A. 77 . B. 67 . C. 57 . D. 76 . Lời giải: Chọn A 2 e f ln x 2 6 I dx  . x f  
 2x 1dxI I 1 2 x 1 3 1
x  1 t  0
Đặt t  ln x dt dx . Đổi cận  . x 2
x e t  2 2 2
I f t dt f x dx   1     0 0
x  3  t  2 Đặt 2 2 2 t
x 1  t x 1 2tdt  2xdx xdx tdt . Đổi cận  .
x  2 6  t  5 5 5
I t. f t dt  . x f x dx   2     2 2 1
x  2 khi 0  x<2
Do f (x)  2 x 7 kh 2 i  x  5 2 5  1  79
I I I x  2 dx  .
x x  7 dx
a  79, b  2   . 1 2      2  2 0 2
Vậy a b  77  2  2
x x 1 khi x  0 2 e f ln xa
Câu 20. Cho hàm số f (x)   . Biết I
f (2sin x 1) cos x dx dx    2x  3 khi x  0 x b 0 e a với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a b bằng b A. 305 . B. 305  . C. 350 . D. 350  . Lời giải: Chọn B  2 2 e f ln xI
f (2sin x 1) cos x dx
dx I I   1 2 x 0 e
x  0  t  1  dt
Đặt t  2sin x 1 dt  2cos xdx  cos xdx  . Đổi cận   . 2 x   t 1  2 1 1 1 1  I f t dt f x dx   1     2 2 1  1  2
x x 1 khi x  0 Do f (x)   2x  3 khi x  0 0 1 1  
I    2x 3dx  13 2 x x   1 dx    . 2 12  1 0  Trang18 1
x e t  1
Đặt t  ln x dt dx . Đổi cận  . x 2
x e t  2 2 2
I f t dt f x dx   2     1 1 2
x x 1 khi x  0 Do f (x)   2x  3 khi x  0 2  I   29 2 x x   1 dx   . 6 1 377
I I I  
a  377, b  72 1 2 72
Vậy a b  305  Trang19