






Preview text:
Chuyên đề toán 12 Viết phương trình mặt cầu
A. Cách viết phương trình mặt cầu Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định tâm I ; a ; b c.
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ; a ;
b c và bán kính R . S
x a2 y b2 z c2 2 ( ) : R Phương pháp 2 Gọi phương trình 2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. ( 2 2 2
a b c d 0 )
Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): r R d
I P 2 2 ;
B. Bài tập viết phương trình mặt cầu
Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) S có tâm I 2;2; 3
và bán kính R 3.
b) S có tâm I 1;2;0 và (S) qua P2; 2 ; 1 .
c) S có đường kính AB với A1;3; 1 , B 2 ;0; 1 Hướng dẫn giải
a) Mặt cầu tâm I 2;2; 3
và bán kính R 3, có phương trình:
(S): x 2 y 2 z 2 2 2 3 9
b) Ta có: IP 1;4; 1 IP 3 2 .
Mặt cầu tâm I 1;2;0 và bán kính R IP 3 2 , có phương trình:
(S): x 2 y 2 2 1 2 z 18
c) Ta có: AB 3;3;0 AB 3 2 . Gọi I là trung điểm AB 1 3 I ; ;1 . 2 2 Mặt cầu tâm 1 3 I ; ;1 AB và bán kính 3 2 R , có phương trình: 2 2 2 2 2 2 (S): 1 3 x y z 2 9 1 . 2 2 2
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A3;1;0, B5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng : 16x 15y 12z 75 0. c) (S) có tâm I 1
;2;0và có một tiếp tuyến là đường thẳng x 1 y 1 : z . 1 1 3 Hướng dẫn giải a) Gọi I ;
a 0;0Ox . Ta có : IA 3 a;1;0, IB 5 a;5;0 .
Do (S) đi qua A, B IA IB a2 a2 3 1 5
25 4a 40 a 10
I 10;0;0 và IA 5 2 .
Mặt cầu tâm I 10;0;0 và bán kính R 5 2 , có phương trình (S) : x 2 2 2
10 y z 50
b) Do (S) tiếp xúc với O 75 d , R R 3. 25
Mặt cầu tâm O0;0;0 và bán kính R 3, có phương trình (S) : 2 2 2
x y z 9
c) Chọn A1;1;0 IA 0;1;0 .
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u . Ta có: , IA u . 3;0; 1 1;1; 3 I , A u
Do (S) tiếp xúc với I 10 d , R R . u 11
Mặt cầu tâm I 1 ;2;0 và bán kính 10 R , có phương trình (S) : 11
x 2 y 2 2 10 1 2 z . 121
Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a) (S) qua bốn điểm A1;2; 4 , B1; 3 ;
1 , C 2;2;3, D1;0;4 .
b) (S) qua A0;8;0, B4;6;2, C0;12;4 và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz). Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Gọi I ;x ;y z là tâm mặt cầu (S) cần tìm. 2 2 IA IB IA IB
y z 1 x 2 Theo giả thiết: 2 2 IA IC IA IC x 7z 2
y 1 . 2 2 IA ID IA ID y 4z 1 z 0 Do đó: I 2
;1;0 và R IA 26 . Vậy (S): x 2 y 2 2 2 1 z 26 .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): 2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 , 2 2 2
a b c d 0 . Do A1;2; 4 S 2
a 4b 8c d 2 1 (1) Tương tự: B1; 3 ; 1 S 2
a 6b 2c d 1 1 (2)
C 2;2;3S 4
a 4b 6c d 1 7 (3)
D1;0;4S 2
a 8c d 1 7 (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :
x 2 y 2 2 2 1 z 26 .
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) I 0; ; b c. 2 2 Ta có: IA IB b 7
IA IB IC . 2 2 IA IC c 5
Vậy I 0;7;5 và R 26 . Vậy (S): x y 2 z 2 2 7 5 26. x t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : y 1 và z t
(S) tiếp xúc với hai mặt phẳng : x 2y 2z 3 0 và : x 2y 2z 7 0 . Hướng dẫn giải
Gọi I t; 1
;t là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: d t t
t t
I, d I, 1 5 1 5 t 3 . 3 3 1
t t 5 Suy ra: I 3; 1 ; 3
và R I 2 d ,
. Vậy (S): x 2 y 2 z 2 4 3 1 3 . 3 9
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A2;6;0, B4;0;8 và có tâm
thuộc d: x 1 y z 5 . 1 2 1 Hướng dẫn giải x 1 t
Ta có d : y 2t
. Gọi I 1t;2t; 5
td là tâm của mặt cầu (S) cần tìm. z 5 t
Ta có: IA 1t;6 2t;5t , IB 3t;2t;13t .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI
t2 t2 t2 t2 t t2 2 1 6 2 5 3 4 13 29
62 32t 178 20t 12t 116 t 3 32 58 44 2 2 2 I ; ; 32 58 44
và R IA 2 233 . Vậy (S): x y z 932 . 3 3 3 3 3 3
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt đường thẳng x 1 y 1 :
z tại hai điểm A, B với AB 16. 1 4 1 Hướng dẫn giải
Chọn M 1;1;0 IM 3;2;1 . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u . 1; 4; 1 IM, u Ta có: IM, u 2;4;14 dI, . 2 3 u
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). 2 Theo giả thiết: AB R I 2 d , 2 19. 4
Vậy (S): x 2 y 2 z 2 2 3 1 76 .
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng P: 5x 4y z 6 0, Q: 2x y z 7 0 và đường thẳng x 1 y z 1 :
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của 7 3 2
(P) và sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20 . Hướng dẫn giải
x 1 7t (1) x 1 7t Ta có y 3t (2) : y 3t
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: z 1 2t (3) z 1 2t
5x 4y z 6 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 51 7t 43t 1 2t 6 0 t 0 I 1;0; 1 .
Ta có : d I Q 5 6 , . 3
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 2
20 r r 2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: R d 2 2 2 110
I Q 2 2 330 , r .
Vậy (S) : x
1 y z 1 . 3 3 x t
Bài tập 8: Cho mặt phẳng (P) : 2x y 2z 2 0 và đường thẳng d : y 2t 1. z t 2
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2
và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. Hướng dẫn giải
Gọi I t;2t 1;t 2d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết: R d I P 2 2 ;
r 4 9 13 . 1 t
t t t
Mặt khác: d I P 2 2 1 2 4 2 6 ; 2
2 6t 5 6 4 1 4 11 t 6 2 2 2 * Với 1 t : Tâm 1 2 13 I 1 2 13 ; ;
, suy ra S : x y z 13. 1 6 1 6 3 6 6 3 6 2 2 2 * Với 11
t : Tâm 11 2 1 I 11 2 1 ; ;
, suy ra S : x y z 13 . 2 6 2 6 3 6 6 3 6
Bài tập 9: Cho điểm I 1;0;3 và đường thẳng
x 1 y 1 z 1 d : . Viết phương 2 1 2
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I. Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 2;1;2 và P1; 1 ; 1 d . u, IP Ta có: IP 20
0;1;2 u, IP 0;4;2
. Suy ra: dI;d . u 3
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I 1 1 1 2 40
R 2IH 2d I,d 2 2 2 2 IH IA IB R 3
Vậy (S) : x 2 y z 2 2 40 1 3 . 9
Bài tập 10: Cho mặt cầu (S): 2 2 2
x y z 4x 4y 4z 0 và điểm A4;4;0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Hướng dẫn giải
(S) có tâm I 2;2;2, bán kính R 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / OA 4 2 R . 3 3
Khoảng cách: d I P R R 2 2 / 2 ; . 3
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng: ax by cz 2 2 2
0 a b c 0 *
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a 4b 0 b a .
2 a b c
Lúc đó: I P 2c 2c 2 d ; 2 2 2 2 2 2 2
a b c 2a c 2a c 3 c a 2 2 2
2a c 3c
. Theo (*), suy ra P: x y z 0 hoặc x y z 0. c 1
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z 2x 3 0 cắt mặt phẳng
(P): x 2 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). Hướng dẫn giải
* Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0 và bán kính R 2 .
Ta có: dI,P 1 2 R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
* Đường thẳng d qua I 1;0;0 và vuông góc với (P) nên nhận n làm 1 P 1;0;0 x 1 t
vectơ chỉ phương, có phương trình d : y 0 . z 0 x 1 t x 2 + Tọa độ tâm y 0 /
I đường tròn là nghiệm của hệ: /
y 0 I 2;0;0 . z 0 z 0 x 2 0
+ Ta có: d I,P 1. Gọi r là bán kính của (C), ta có : r R d
I P 2 2 , 3.