Chuyên đề toán 12 Viết phương trình mặt cầu | Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề toán 12 Viết phương trình mặt cầu
A. Cách viết phương trình mặt cầu Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định tâm I  ; a ; b c.
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I  ; a ;
b c và bán kính R . S
x  a2   y b2  z  c2 2 ( ) :  R Phương pháp 2 Gọi phương trình 2 2 2
(S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. ( 2 2 2
a  b  c  d  0 )
Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): r  R  d
 I P 2 2 ;  
B. Bài tập viết phương trình mặt cầu
Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) S có tâm I 2;2; 3
  và bán kính R  3.
b) S có tâm I 1;2;0 và (S) qua P2; 2  ;  1 .
c) S có đường kính AB với A1;3;  1 , B 2  ;0;  1 Hướng dẫn giải
a) Mặt cầu tâm I 2;2; 3
  và bán kính R  3, có phương trình:
(S): x  2   y  2  z  2 2 2 3  9 
b) Ta có: IP  1;4;  1  IP  3 2 .
Mặt cầu tâm I 1;2;0 và bán kính R  IP  3 2 , có phương trình:
(S): x  2   y  2 2 1 2  z 18 
c) Ta có: AB  3;3;0  AB  3 2 . Gọi I là trung điểm AB  1 3 I ; ;1    . 2 2    Mặt cầu tâm  1 3 I ; ;1  AB  và bán kính 3 2 R   , có phương trình: 2 2    2 2 2 2 (S):  1   3 x   y       z  2 9 1   .  2   2  2
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A3;1;0, B5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng  : 16x 15y 12z  75  0. c) (S) có tâm I  1
 ;2;0và có một tiếp tuyến là đường thẳng x 1 y 1  :   z . 1 1 3 Hướng dẫn giải   a) Gọi I  ;
a 0;0Ox . Ta có : IA  3 a;1;0, IB  5 a;5;0 .
Do (S) đi qua A, B  IA  IB    a2     a2 3 1 5
 25  4a  40  a 10
 I 10;0;0 và IA  5 2 .
Mặt cầu tâm I 10;0;0 và bán kính R  5 2 , có phương trình (S) : x  2 2 2
10  y  z  50
b) Do (S) tiếp xúc với    O   75 d ,  R  R   3. 25
Mặt cầu tâm O0;0;0 và bán kính R  3, có phương trình (S) : 2 2 2
x  y  z  9 
c) Chọn A1;1;0  IA  0;1;0 . 
Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u    . Ta có:  ,  IA u    .  3;0; 1   1;1; 3    I , A u 
Do (S) tiếp xúc với   I     10 d ,  R  R    . u 11
Mặt cầu tâm I  1  ;2;0 và bán kính 10 R  , có phương trình (S) : 11
x  2  y  2 2 10 1 2  z  . 121
Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a) (S) qua bốn điểm A1;2; 4  , B1; 3  ; 
1 , C 2;2;3, D1;0;4 .
b) (S) qua A0;8;0, B4;6;2, C0;12;4 và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz). Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Gọi I  ;x ;y z là tâm mặt cầu (S) cần tìm. 2 2 IA  IB IA  IB
y  z  1 x  2 Theo giả thiết:   2 2 IA IC IA IC  x 7z 2      
   y  1 .   2 2 IA ID IA  ID   y 4z 1     z  0  Do đó: I  2
 ;1;0 và R  IA  26 . Vậy (S): x  2   y  2 2 2 1  z  26 .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): 2 2 2
x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 ,  2 2 2
a  b  c  d  0 . Do A1;2; 4  S  2
 a  4b 8c  d  2  1 (1) Tương tự: B1; 3  ;  1 S  2
 a  6b  2c  d  1  1 (2)
C 2;2;3S  4
 a  4b  6c  d  1  7 (3)
D1;0;4S  2
 a 8c  d  1  7 (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :
x  2  y  2 2 2 1  z  26 .
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) I 0; ; b c. 2 2  Ta có: IA  IB b  7
IA  IB  IC     . 2 2 IA  IC c  5
Vậy I 0;7;5 và R  26 . Vậy (S): x   y  2  z  2 2 7 5  26. x  t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng :   y  1 và z    t
(S) tiếp xúc với hai mặt phẳng  : x  2y  2z 3  0 và  : x  2y  2z  7  0 . Hướng dẫn giải
Gọi I t; 1
 ;t là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: d   t  t
  t   t
I,   d I,  1 5 1 5     t   3 . 3 3 1
  t  t  5 Suy ra: I 3; 1  ; 3
  và R  I   2 d ,
 . Vậy (S): x  2   y  2  z  2 4 3 1 3  . 3 9
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A2;6;0, B4;0;8 và có tâm
thuộc d: x 1 y z  5   . 1 2 1 Hướng dẫn giải x  1 t
Ta có d : y  2t
. Gọi I 1t;2t; 5
  td là tâm của mặt cầu (S) cần tìm. z  5  t  
Ta có: IA  1t;6 2t;5t , IB  3t;2t;13t  .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B  AI  BI
   t2    t2   t2    t2  t   t2 2 1 6 2 5 3 4 13 29
 62  32t 178  20t  12t  116  t   3  32 58 44 2 2 2 I ; ;      32   58   44  
và R  IA  2 233 . Vậy (S): x   y   z         932 . 3 3 3     3   3   3 
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3;  1  và cắt đường thẳng x 1 y 1  : 
 z tại hai điểm A, B với AB 16. 1 4 1 Hướng dẫn giải 
Chọn M 1;1;0  IM  3;2;1 . Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là  u   .  1; 4; 1    IM, u  Ta có: IM, u 2;4;14 dI,             .  2 3   u
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). 2 Theo giả thiết:   AB R  I  2 d ,    2 19.  4
Vậy (S): x  2   y  2  z  2 2 3 1  76 .
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng P: 5x  4y  z 6  0, Q: 2x  y  z  7  0 và đường thẳng x 1 y z 1  :  
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của 7 3 2
(P) và  sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20 . Hướng dẫn giải
x  1 7t (1) x  1 7t  Ta có  y  3t (2) :   y  3t
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:   z 1 2t (3) z 1   2t
5x 4y  z 6  0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 51 7t  43t 1 2t 6  0  t  0  I 1;0;  1 .
Ta có : d I Q 5 6 ,  . 3
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 2
20   r  r  2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: R  d 2 2 2 110
 I Q 2 2 330 ,   r  . 
Vậy (S) : x  
1  y  z   1  . 3 3 x  t
Bài tập 8: Cho mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  2  0 và đường thẳng d : y  2t 1. z  t   2
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2
và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. Hướng dẫn giải
Gọi I t;2t 1;t  2d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết: R  d I P 2 2 ;
  r  4 9  13  .  1 t 
 t  t   t   
Mặt khác: d I P 2 2 1 2 4 2 6 ;  2 
 2  6t  5  6   4 1 4  11 t    6 2 2 2 * Với 1 t  : Tâm  1 2 13 I  1   2   13   ; ;   
, suy ra S : x   y   z         13. 1  6 1 6 3 6     6   3   6  2 2 2 * Với 11
t   : Tâm 11 2 1 I  11  2   1   ; ;  
, suy ra S : x   y   z         13 . 2  6 2 6 3 6     6   3   6 
Bài tập 9: Cho điểm I 1;0;3 và đường thẳng
x 1 y 1 z 1 d :   . Viết phương 2 1 2
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I. Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u  2;1;2 và P1; 1  ;  1 d .     u, IP Ta có: IP   20
 0;1;2   u, IP  0;4;2  
. Suy ra: dI;d     . u 3
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I 1 1 1 2 40    
 R  2IH  2d I,d  2 2 2 2   IH IA IB R 3
Vậy (S) : x  2  y  z  2 2 40 1 3  . 9
Bài tập 10: Cho mặt cầu (S): 2 2 2
x  y  z  4x  4y  4z  0 và điểm A4;4;0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Hướng dẫn giải
(S) có tâm I 2;2;2, bán kính R  2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / OA 4 2 R   . 3 3
Khoảng cách: d I P  R  R 2 2 / 2 ;  . 3
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng: ax  by  cz   2 2 2
0 a  b  c  0 *
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a  4b  0  b  a .
2 a  b  c
Lúc đó: I P   2c 2c 2 d ;     2 2 2 2 2 2 2
a  b  c 2a  c 2a  c 3 c  a 2 2 2
 2a  c  3c  
. Theo (*), suy ra P: x  y  z  0 hoặc x  y  z  0. c  1
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu 2 2 2
(S) : x  y  z  2x 3  0 cắt mặt phẳng
(P): x  2  0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). Hướng dẫn giải
* Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0 và bán kính R  2 .
Ta có: dI,P 1 2  R  mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
* Đường thẳng d qua I 1;0;0 và vuông góc với (P) nên nhận n  làm 1 P 1;0;0 x  1 t
vectơ chỉ phương, có phương trình d : y  0 . z   0 x  1 t  x  2 + Tọa độ tâm  y  0 /
I đường tròn là nghiệm của hệ:  / 
  y  0  I 2;0;0 . z  0  z   0 x  2  0
+ Ta có: d I,P 1. Gọi r là bán kính của (C), ta có : r  R  d
 I P  2 2 ,   3. 