chuyen de ve 2 tam giac dong dang

BÀI 1. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Tam giác gọi là đồng dạng với tam giác nếu: .

- Tam giác đồng dạng với tam giác được kí hiệu là: ∽ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

- Tỉ số được gọi là tỉ số đồng dạng của với .

2. Nhận xét

+ ∽ theo tỉ số đồng dạng thì với tỉ số đồng dạng là .

+ Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng . Đặc biệt mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

+ Nếu ∽ với tỉ số đồng dạng và ∽ với tỉ số đồng dạng thì ∽ với tỉ số đồng dạng k.m.

3. Định lý

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Chứng minh hai tam giác đồng dạng, tìm tỉ số đồng dạng

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất hoặc định lý để chứng minh các tam giác đồng dạng.

1A. Cho tam giác . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Chứng minh ∽ . Tìm tỉ số đồng dạng.

1B. Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh , . Tìm các cặp tam giác đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng của mỗi cặp tam giác đó.

2A. Cho tam giác . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Kẻ song song với cắt tại . Chứng minh . Tìm tỉ số đồng dạng.

2B. Cho tam giác . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt kéo dài tại . Chứng minh , tìm tỉ số đồng dạng.

Dạng 2. Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất, định lý của hai tam giác đồng dạng.

3A. Cho tam giác có . Kẻ một đường thẳng song song với cắt các cạnh và lần lượt tại và . Biết . Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác và , từ đó tính độ dài các cạnh .

3B. Cho tam giác có . Lấy điểm nằm trên sao cho . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

a) Chứng minh .

b) Tính chu vi của tứ giác DNPE.

Dạng 3. Chứng minh các đẳng thức thông qua tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

Bước 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng (từ định lý hoặc tính chất).

Bước 2. Tìm tỉ số đồng dạng từ các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng.

Bước 3. Áp dụng tính chất tỉ lệ thức hoặc tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

4A. Cho hình bình hành có . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Kẻ tia cắt tia tại điểm .

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính độ dài cạnh .

c) Chứng minh rằng và .

4B. Cho tam giác . Từ điểm kẻ tia song song với . Gọi là trung điểm của cạnh . Qua kẻ đường thẳng bất kỳ cắt tại , cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng .

Dạng 4. Toán liên hệ thực tế

Phương pháp giải: Vận dụng tam giác đồng dạng để giải thích, chứng minh, tính toán.

5. Để đo chiều cao của một toà nhà cao tầng (hình vẽ) người ta đặt cọc có gắn thước ngắm quay được quanh cái chốt của cọc. Điều khiển thước ngắm sao cho hướng thước đi qua đỉnh của toà nhà, sau đó tiến hành đo đạc khoảng cách và được kết quả như sau: và . Tính chiều cao của toà nhà.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

6. Từ điểm trên cạnh của tam giác kẻ một đường thẳng song song với cạnh , cắt ở và cắt đường thẳng qua song song với tại cắt ở . Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

7. Cho tam giác đồng dạng với tam giác theo tỉ số . Chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác và cũng bằng 2 .

8. Cho . Gọi và là hai điểm lần lượt thuộc cạnh và sao cho . Xác định vị trí của điểm để chu vi của tam giác bằng chu vi của tam giác . Tính chu vi của mỗi tam giác biết tổng chu vi của hai tam giác là .

9. Cho tam giác , có các cạnh và đồng dạng với tam giác . Tính các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác bằng .

10. Cho tam giác vuông tại , có và đồng dạng với tam giác vuông tại có cạnh nhỏ nhất bằng . Tính các cạnh còn lại và chu vi của mỗi tam giác.

11. Cho tam giác . Điểm thuộc cạnh sao cho . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt cạnh ở . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt ở .

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính chu vi tam giác biết chu vi tam giác bằng .

12. Cho hình bình hành . Trên đường chéo lấy điểm sao cho . Qua điểm kẻ đường thẳng song song với , cắt và theo thứ tự tại và .

a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác và tìm tỉ số đồng dạng.

b) Điểm nằm ở vị trí nào trên thì là trung điểm của ?

13. Qua điểm thuộc cạnh của tam giác kẻ đường thẳng song song với cắt tại , qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong hình vẽ.

b) Biết . Tính độ dài và chứng tỏ rằng tam giác là tam giác cân.

14. Cho tam giác có canh . Tam giác đồng dạng với tam giác có cạnh nhỏ nhất là . Tính các cạnh còn lại của tam giác .

15. Cho tam giác có và đồng dạng với tam giác . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác là .

16. Tính chiều cao của một toà nhà chung cư với các thông số như trên hình vẽ.

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

1A. Ta có nên .

Xét có

suy ra với tỉ số

đồng dạng (định lý).

1B. Đáp án: với tỉ số đồng dạng .

2A. Vì nên .

Vì // (gt) nên suy ra

với tỉ số đồng dạng .

2B. Tương tự bài 2A. HS tự làm.

Đáp án với tỉ số đồng dạng .

3A. Vì nên .

Mà do vậy theo tỉ số đồng dạng .

Khi đó nên

3B. a) Vì và nên .

Do vậy theo tỉ số đồng dạng .

b) Vì theo tỉ số đồng dạng nên

Suy ra .

Do vậy chu vi tứ giác là:

4A. a) Vì nên ;

Vì // nên

Vì và nên .

b) Vì theo tỉ số đồng dạng nên dễ dàng tính được .

Do vậy .

c) Có nên ...

Có nên .

4B. Ta có nên , suy ra:

(1)

Tương tự, có nên suy ra:

(2)

Mà là trung điểm của nên (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra .

5. Ta có nên

Từ đó tính được .

Vậy chiều cao của tòa nhà là .

6. Vì nên . Vì nên

Vì và

nên

Vì nên .

Vì nên .

7. Vì theo tỉ số đồng dạng nên

Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác và cũng bằng tỉ số đồng dạng .

8. Chứng minh tương tự bài 7. Ta có

.

Từ đó tính được chu vi là và chu vi là .

9. Tương tự bài 7,8.

Chu vi tam giác là: , chu vi của tam giác là (gt)

Vì tam giác đồng dạng với tam giác nên tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi của hai tam giác, nghĩa là .

Do đó .

Từ đó tính được .

10. Vì (gt) nên tỉ số đồng dạng

Từ đó tính được .

Do đó chu vi tam giác là

Chu vi tam giác là .

11. a) Ta có nên

nên .

Vì và

nên .

b) Vì (gt) nên .

Do vậy theo tỉ số đồng dạng .

Khi đó chu vi là

Tương tự ta có với tỉ số đồng dạng

Khi đó chu vi là .

12. a) Có nên theo tỉ số .

Có nên theo tỉ số đồng dạng .

b) Chứng minh ; ; Khi là trung điểm của thì , khi đó .

13. a) Vì nên

Vì nên

Từ đó suy ra

b) Vì nên .

nên suy ra ,

.

Vì nên

.

nên tam giác cân tại .

14. Tương tự bài 10. HS tự làm.

15. Tương tự bài 9. HS tự làm.

16. Ta có nên suy ra

Vậy chiều cao của tòa chung cư đó là 37,5m .