Con lắc đơn là gì? Công thức tính chu kì, tần số góc của dao động và bài tập

Con lắc đơn là gì? Công thức tính chu kì, tần số
góc của dao động và bài tập
1. Khái niệm về con lắc đơn
Con lắc đơn là một hệ bao gồm một vật nhỏ có khối lượng m, được treo ở
đầu một sợi dây không dãn, khối lượng của nó nhỏ không đáng kể, chiều dài
là l, đầu trên của sợi dây được treo vào một điểm cố định.
2. Vị trí cân bằng của con lắc đơn
Vị trí cân bằng của con lắc đơn chính là vị trí dây treo có phương thẳng đứng.
Hoặc khi kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch ra khỏi vị trí cân bằng một góc rồi
thả tay ra, ta thấy sự dao động của con lắc quanh vị trí cân bằng trong mặt
phẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật. Từ đó ta hãy xem dao
động của con lắc đơn đó có phải là dao động điều hòa hay không.
3. Phương trình dao động của con lắc đơn
Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa là góc lệch cực đại của dây treo: α0 < hoặc = 10º
- Phương trình dao động của con lắc: s =s0.cos(ωt +φ) 
Với s = α . l ( alpha tính bằng radian) là li độ dao động 
s0 = l.α0l à biên độ dao động.
- Phương trình dao động theo li độ góc: α = α0.cos(ωt +φ) 
Với α là li độ góc của dao động 
α0 là biên độ góc của dao động
4. Phương trình vận tốc và gia tốc
- Phương trình vận tốc của dao động: v = s' = ω . So . sin(ω . t + φ + π/2)
=> vmax = ω. So khi vật qua vị trí cân bằng. 
Vận tốc v và li độ s (hoặc li độ góc alpha) vuông pha nhau nên ta có hệ thức:
(v/vmax)^2 + (s/So)2 = 1 hoặc (v/vmax)^2 + ( α/ αo)^2 = 1 - Phương trình gia tốc
Trong quá trình chuyển động của con lắc, nó chịu 2 gia tốc là: gia tốc hướng
tâm và gia tốc tiếp tuyến.
Phương trình gia tốc tiếp tuyến là: att = v' = -ω ^ 2.So.cos(ω.t + phi) = - ω^2. s 
Gia tốc at và vận tốc v vuông pha nhau nên ta có hệ thức: (a/att max)^2 + (v/vmax)^2 = 1
Phương trình gia tốc hướng tâm: aht = v^2/ l 
Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến vuông pha nhau.
Vậy ta có gia tốc tổng hợp là: ath = căn (aht2 + att2)
Nhận xét: Trong quá trình dao động, gia tốc nhỏ nhất của con lắc luôn lớn hơn 0.
5. Công thức tính chu kỳ và tần số
Chu kỳ: (Đơn vị tính: s)
Tần số: (Đơn vị tính: Hz)
6. Công thức tính năng lượng của con lắc đơn
Các công thức tính năng lượng của con lắc đơn dao động điều hòa là: 
Động năng của con lắc đơn dao động điều hòa là: 
Thế năng của con lắc đơn (chọn mốc tính thế năng ở vị trí cân bằng, thế
năng của con lắc khi con lắc ở vị trí có li độ góc alpha bất kì) là: 
Cơ năng của con lắc đơn là tổng động năng và thế năng của con lắc. Khi
động năng bằng 0 thì thế năng cực đại và ngược lại, khi thế năng bằng 0 thì
động năng cực đại. Do đó, cơ năng bằng động năng cực đại và cũng bằng thế năng cực đại: Lưu ý: 
Nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của con lắc đơn bảo toàn; 
Công thức trên đúng với mọi alpha < hoặc = 900.
7. Công thức tính vận tốc và lực căng dây
Khi vật ở vị trí có li độ góc alpha, các lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực P =
mg và lực căng T của sợi dây. Hợp của hai lực này chính là lực hướng tâm,
vật chuyển động trên quỹ đạo tròn có bán kính R = 1. Ta có: P + T = Fht
v = căn 2gl(cos alpha - cos alphao) => vmax = căn 2gl.(1 - cos alphao)
Công thức tính lực căng dây của con lắc đơn
T = mg.(3.cos alpha - 2.cos alphao)
=> Tmax = mg(3 - 2.cos alphao). (Khi vật đi ngang qua vị trí cân bằng)
=> Tmin = mg.cos alphao (Khi vật ở vị trí biên)
8. Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do
Trong lĩnh vực địa chất, các nhà địa chất quan tâm đến những tính chất đặc
biệt của lớp bề mặt Trái Đất và thường xuyên phải đo gia tốc trọng trường ở
một nơi nào đó. Sau đây là một ví dụ.
Dùng một con lắc có chiều dài l tính đến tâm của quả cầu. Đo thời gian của
một số dao động toàn phần, từ đó suy ra chu kì T. Sau đó ta tính g ttheo công
thức g = 4pi2.l/T2. Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, mỗi lần rút ngắn chiều dài con
lắc đi một đoạn. Lấy giá trị trung bình g ở các lần đo, ta được gia tốc rơi tự do tại nơi đó.
9. Bài tập con lắc đơn
Bài 1: Một con lắc đơn có chiều dài 16 cm. Kéo con lắc này di chuyển
khỏi vị trí cân bằng một góc 9 rồi thả nhẹ cho con lắc dao động. Bỏ qua
các loại ma sát, lấy g = 10 m/s2. Chọn mốc thời gian là lúc thả vật, chiều
dương là chiều chuyển động lúc đầu của con lắc. Các em hãy biểu diễn
phương trình dao động của con lắc trên theo li độ góc. Hướng dẫn giải:
Tần số góc của con lắc là: omega = căn (g/l) = 2.5pi (rad/s)
Li độ cực đại là: alphao = 9pi/180 = 0.157 (rad)
Vì gốc thời gian lúc thả vật và vật chuyển động theo chiều dương nên: alpha = - alphao
Ta có: cos phi = alpha/ alphao = - alphao/ alphao = -1 => phi = pi (rad)
Vậy phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ góc là:
alpha = 0.157cos(2.5pi.t + pi) (rad).
Bài 2: Một con lắc đơn có chiều dài được kí hiệu l, thực hiện được 6 dao
động trong khoảng thời gian delta(t). Nếu giảm độ dài của con lắc đi 16
cm thì trong khoảng thời gian delta(t) như ban đầu nó thực hiện được
10 dao động. Các em hãy cho biết chiều dài của con lắc ban đầu là bao nhiêu? Hướng dẫn giải:
Con lắc thực hiện 6 dao động trong khoảng thời gian delta(t), nếu giảm bớt
độ dài đi 16 cm thì cũng trong khoảng thời gian delta(t) đó nó thực hiện được
10 dao động. Vậy ta có biểu thức như sau:
delta(t) = 6.T1 = 10.T2 ⇔ 6.2pi. căn(l/g) = 10.2pi. căn (l - 0,16)/g ⇔ l = 0,25 m = 25 cm
Bài 3: Một con lắc đơn có chiều dài l = 15 cm. Từ vị trí cân bằng con lắc
được truyền vận tốc 10 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Chọn
gốc thời gian lúc thả vật và g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của
con lắc đơn theo li độ dài. Hướng dẫn giải:
Tần số góc của con lắc: omega = căn (g/l) = 8 (rad/s)
Li độ cực đại: so = vo/omega = 0,1/8 = 0,08 (m) = 8 (cm)
Ta có: cos(phi) = s/so = 0 => phi = - pi/2 (do v > 0)
Vậy phương trình dao động của con lắc theo li độ dài là: s = 8 cos(8t - pi/2) (cm).
Bài 4: Trong các phát biểu sau phát biểu nào không đúng về con lắc đơn dao đông điều hòa?
A. Chu kỳ của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều dài dây treo.
B. Chu kỳ của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng.
C. Chu kỳ của con lắc đơn phụ thuộc vào biên độ của dao động.
D. Chu kỳ của con lắc đơn phụ thuộc vào vị trí thực hiện thí nghiệm. Hướng dẫn giải:
Ta có T = 2pi. căn (l/g) không phụ thuộc vào m mà chỉ phụ thuộc vào chiều
dài dây và gia tốc trọng trường. Chọn đáp án C.
Bài 5: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m dao động điều hòa với chu
kỳ T tại nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 = pi2 m/s2. Khi dao động
qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng đinh tại vị trí l/2 và con lắc tiếp tục
dao động. Xác định chu kỳ của con lắc đơn khi này? Hướng dẫn giải:
- Gọi T1 là chu kỳ dao động ban đầu của con lắc đơn T1 = 2pi. căn (l/g) = 2s.
- Trong quá trình thực hiện dao động của vật nó sẽ gồm hai phần:
+ Phần 1 thực hiện một nửa chu kỳ của T1.
+ Phần 2 thực hiện một nửa chu kỳ của T2. T2 = T1/ căn 2 = căn 2 s. Trong đó:
=> T là chu kỳ của con lắc bị vướng đinh lúc này là: T = (T1 + T2)/2 = ( 2+ căn 2)/2 s.
Document Outline

• Con lắc đơn là gì? Công thức tính chu kì, tần số g
  • 1. Khái niệm về con lắc đơn
  • 2. Vị trí cân bằng của con lắc đơn
  • 3. Phương trình dao động của con lắc đơn
  • 4. Phương trình vận tốc và gia tốc
  • 5. Công thức tính chu kỳ và tần số
  • 6. Công thức tính năng lượng của con lắc đơn
  • 7. Công thức tính vận tốc và lực căng dây
  • 8. Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do
  • 9. Bài tập con lắc đơn