Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không
gian cực hay, chi tiết
1. Công thức tính tích có hướng của hai vecto trong không gian
Trong toán học tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ
ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ. Nó khác nhân vô hướng ở chỗ
là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng.
Trong không gian Oxyz cho hai vecto =(a1;a2;a3 ) và
=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto và , kí hiệu là [ ,
], được xác định bởi
= (a2b3 - a3b2; a3b1 - a1b3; a1b2 - a2b1)
Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số. Tính chất + [ , ]⊥ ; [ , ]⊥ + [ , ]=-[ , ] + [ , ]= ; [ , k→ ]= ; [ , ]= + |[ , ]|=| |.| |.sin⁡( , ) + , cùng phương ⇔ [ ,
]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto: , và đồng phẳng ⇔[ , ]. =0
+ Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD=|[ ; ]| + Diện tích tam giác ABC: SABC=1/2 |[ ; ]|
+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A'B'C'D'=|[ ; ]. |
+ Thể tích tứ diện ABCD VABCD=1/3 |[ ; ]. | Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A Lời giải: =(-2;1;1); =(-2;1; -1); =(1; -1; -3) => [ , ]=(-2;-4;0) ⇒[ , ]. =2≠0 => , , không đồng phẳng.
Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) VABCD=1/6 |[ , ]. |=2/6=1/3 Ta có: =(0;0; -2), =(3; -2; -4) => [ , ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[ , ]|=√13 VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD => d(A;(BCD))= =
Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4;
-3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau. Lời giải: + Ta có: =(3; -5; -8); =(5; -6; -11); =(7; -8; -15), =(2; -2; -4) ⇒[ , ]=(7;-7;7) ⇒[ , ].( ) =0 ⇒ , , đồng phẳng.
⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1) + [
, CD→ ]=(4; -4;4) ≠0→ ⇔ , không cùng phương (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.
Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1;
1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH) + =(1;0;1), =(2;0;1), =(-2;1; -3) => [ , ]=(0;1;0)⇒[ , ]. =1 => VABCD.EFGH=|[ , ]. |=1 + SAEFB=|[ , ]|=√3 => SDCGH=SAEFB=√3 VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH => d (A;(DCGH)) = =
2. Giáo án tích vô hướng của hai vecto trong không gian I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
Nhận biết được góc giữa hai vect, thực hiện được tích vô hướng của hai vectơ.
Vận dụng được tích vô hướng trong một số bài toán hình học.
Biết mối liên hệ giữa tích vô hướng và khái niệm công trong Vật lí. 2. Năng lực - Năng lực chung:
Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng. Năng lực riêng:
Tư duy và lập luận toán học.
Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học: chẳng hạn, được thể hiện qua vận dụng giải
thích các công sinh bởi các lực không đổi cùng tác động lên một vật làm vật chuyển động thẳng
bằng công sinh bởi lực tổng hợp. Giao tiếp toán học.
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
Áp dụng thứ tự thực hiện phép tính, tính 3. Phẩm chất
Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến
các thành viên khi hợp tác.
Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học, thước thẳng có chia khoảng, phiếu học tập.
Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 1: GÓC VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG GIỮA HAI VECTƠ
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU) a) Mục tiêu:
- Đặt vấn đề về việc xây dựng một khái niệm toán học là tích vô hướng để dùng định nghĩa khái
niệm công sinh bởi lực trong vật lí.
b) Nội dung: HS chú ý lắng nghe.
c) Sản phẩm: HS bước đầu hình dung về nội dung bài học là tìm hiểu về tích vô hướng của hai vectơ. d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV dẫn dắt:
Trong vật lí, nếu có lực không đổi tác động vào một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển
một quãng đường s = OM thì công A của lực được tính theo công thức trong đó gọi là cường độ
của lực tính bằng Newton (N), là độ dài của vectơ tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ và
còn công A tính bằng Jun (J).
Trong toán học, giá trị của biểu thức (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, có dự đoán về câu hỏi.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học
mới: "Toán học cung cấp ngôn ngữ và công cụ cho nhiều ngành khoa học. Trong các bài học trước,
ta đã dùng vectơ để biểu diễn đại lượng lực, vận tốc và dùng phép toán vectơ để tính hợp lực và
tổng hợp vận tốc. Bài học này tiếp tục xây dựng khái niệm tích vô hướng giữa hai vectơ – đối
tượng để định nghĩa khái niệm công sinh bởi một lực trong Vật lí".
3. Bài tập vận dụng tích có hướng của hai vecto trong không gian
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là: A. /2 B. C. D. 5/2
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-
2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là: A. 1 B. 2 C. 1/3 D. 1/2
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-
1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: A. B. C. D.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-
1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là: A. 3 B. 4 C. 9 D. 6
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là: A. ( )/5 B. ( )/5 C. ( )/5 D. ( )/2
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0),
M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là: A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
Bài 7: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-
1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
B. Tam giác ABD là tam giác đều. C. AB⊥CD
D. Tam giác BCD là tam giác vuông.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);
C(4; 3; 0), D(1; 2; m). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: AB→=(-3;-1;1), AC→=(4;1;2), AD→= (1;0;m+2)
Bước 2: [AB→, AC→]=(-3;10;1)
[AB→ , AC→ ]. AD→= 3+m+2 = m+5
Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng⇔[AB→, AC→]. AD→= 3+m+2 = m+5 = 0 ⇔ m= -5.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm
của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1,
S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2 A. (0; 1; 5) B. (1; 0; 5) C. (0; -1; -5) D. (-1; 0; -5)
Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1),
D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 1/2