Dạng bài chứng minh đẳng thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

CHUYÊN ĐỀ 4:
CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
ÔN HÈ MÔN: TOÁN - LỚP 7
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức A. Lý thuyết
* Tính chất của tỉ lệ thức: - Nếu a c thì ad bc . b d
- Nếu ad bc (với a,b, c, d 0 ) thì ta có bốn tỉ lệ thức: a
c ;a b ;d c ;d b . b d c d b a c a
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
- Từ tỉ lệ thức a c suy ra a c a c
a c (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d b d b d b d a
- Từ dãy tỉ số bằng nhau c e suy ra: b d f a c e a b e a c e
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d f b d f b df * Đặt “k”
Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.
Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.
Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức đúng. B. Bài tập
Bài 1: Cho ba dc . Chứng minh: d a) a b c b) a c
( a b 0, c d 0 ). b d a b c d
Bài 2: Cho a c . Chứng minh: b d a a c ac a 2 c2 a) b) . b b d bd b2 d 2
Bài 3: Cho a c . Chứng minh: b d a) a b c d b) 3a 2c a 3c a b c d
3b 2d b 3d c a
Bài 4: Chứng minh rằng nếu a2 bc (với a b và a c) thì a b . a b c a
Bài 5: Cho a c . Chứng minh a c . b d 3a b 3c d a c ab a b 2 Bài 6: Cho . Chứng minh c d . b d cd 2
Bài 7: Cho bz cy cx az
ay bx . Chứng minh x y z . a b c a b c Bài 8: Cho x y
z . Chứng minh x 1 . y z z x x y y z 2 a b c a b c 3 a Bài 9: Cho . Chứng minh rằng . b c d b c d d
Bài 10: Cho a b c a 2 b2 c 2 1 và x : y : z a : b : c .
Chứng minh rằng x y z
2 x 2 y 2 z 2 . --------Hết--------
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1: Cho a c . Chứng minh: b d a) a b c d b) a c
( a b 0, c d 0 ). b d a b c d Phương pháp d c a) a b a b a 1; c d c 1 . b b b b dd d d
Từ đó viết lại a c nên a 1
c 1 suy ra điều phải chứng minh. b d b d
b) Nếu a c thì b d . b d a c Lời giải a) Ta có: a
c nên a 1 c1 . b d b d Do đó a b c d . b d b b d b) Ta có: ba 1 dc
nên a dc , suy ra a c 1. Do đó b a
d c , vì vậy a c . a c a b c d
Bài 2: Cho a c . Chứng minh: b d a) a a c b b 2 d a b) ac 2 c . bd b 2 2 d Phương pháp
a) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức, đưa ba về ad bc . dc
Cộng cả hai vế của đẳng thức với ab , đưa về dạng tỉ lệ thức.
b) Đặt ba dc t , biểu diễn a, c theo t.
Thay hai vế của đẳng thức bởi t để chứng minh. Lời giải a) a a c b b d
Vì a c nên ad bc , dó đó ad ab bc ab b d a a c
Suy ra a d b b c a , do đó . b b d ac a2 c 2 b) . bd b 2 d 2
Đặt a c t , suy ra a bt ; c dt . b d Xét vế trái:
ac bt .dt bdt 2 t 2. bd bd bd Xét vế phải: a 2 c 2 bt 2 dt 2
b 2 t 2 d 2 t 2
b2 d2 t 2 t 2 . b 2 d 2 b 2 d 2 b 2 d 2 b 2 d 2 ac a 2 c 2 Do đó . bd b 2 d 2
Bài 3: Cho ba dc . Chứng minh: a) a b c d b) 3a 2c a 3c a b c d
3b 2d b 3d Phương pháp
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh. Lời giải
a) Vì ba dc nên ba dc ba dc ba dc . b) Ta có: a
c nên a 3a 2c c 3a 2c . b d b 3b 2d d 3b 2d Tương tự ta có: a c 3c a 3c . b d 3d b 3d Do đó 3a 2c a 3c . 3b 2d b 3d a b c a
Bài 4: Chứng minh rằng nếu a 2 bc (với a b và a c ) thì . a b c a Phương pháp
Từ a 2 bc lập tỉ lệ thức.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh. Lời giải Vì a 2 bc nên a b . c a
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b a b a b c a c a c a Do đó a b c a . a b c a
Bài 5: Cho a c . Chứng minh a c . b d 3a b 3c d Phương pháp
Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh. Lời giải b
Ta có: a c nên a b . Do đó a 3a . b d c d c 3c d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a 3a b 3a b 3c d 3c dc a
Suy ra c 33ca db . Do đó a c 3a b 3c d b2 Bài 6: Cho a
c . Chứng minh ab a d . b d cd c 2 Phương pháp
Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh. Lời giải Vì a c nên a b a b . b d c d c d a b2 Ta có: ab a b a b . .a b c d . cd c d c d c d 2 ab a b 2 Vậy . cd c d 2
Bài 7: Cho bz cy cx az
ay bx . Chứng minh x y z. a b c a b c Phương pháp
Nhân cả tử và mẫu của bz cy với x ; a cx
Nhân cả tử và mẫu của với y ; az b với z .
Nhân cả tử và mẫu của ay bx c bz a cy cx az ay bx 0 bằng nhau để chứng minh
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số b c
Suy ra các tỉ số tương ứng cần chứng minh. Lời giải Ta có: bz cy cx az ay bx a b c bxz cxy cxy ayz ayz bxz axbycz
bxz cxy cxy ayz ayz bxz ax by cz 0 ax by cz 0
+) bz cy 0 suy ra bz cy 0 nên bz cy , suy ra z y (1) a c b
+) cx az 0 suy ra cx az 0
nên cx az, suy ra x z (2) b a c +) ay bx
0 suy ra ay bx 0 nên ay bx , suy ra y x (3) c b a
Từ (1), (2), (3) suy ra x y z. a b c Bài 8: Cho x y
z . Chứng minh x 1 . y z z x x y y z 2 Phương pháp
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e . b d f b d f Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z x y z x y z 1 . y z z x x y y z z x x y
2 x 2 y 2 z 2 x y z 2 Vậy x 1 . y z 2 a b c a b c 3 a Bài 9: Cho . Chứng minh rằng . b c d b c d d Phương pháp
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e . b d f b d f Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a b c b c d b c d a b c 3 Ta có: a abc . d bcd c db : c .
Bài 10: Cho a b c a
Chứng minh rằng x y z 2 Phương pháp a c e . b d f
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Lời giải
Vì x : y : z a : b : c nên x y z x y z x y z (do a b c 1) a b c a b c x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 suy ra z2 2 2 2 x y a b c a b c x2
y 2 z 2 x 2 y2 z 2 x 2y 2 z 2 Ta lại có
(do a 2 b 2 c 2 1 )
a2 b 2 c 2 a2 b2 c 2
Vậy x y z 2 x 2 y 2 z2 .