Đạo hàm và tích phân | Bài giảng môn Phương pháp tính | Đại học Bách khoa hà nội

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 1 / 1
Tính gần đúng đạo hàm x x Xét bảng số 0 x1 y y0 y1
với y0 = f (x0) và y1 = f (x1) = f (x0 + h).
Đa thức nội suy Lagrange có dạng x − x x − x L 0 1 (x ) = y1 − y0, h h với h = x1 − x0.
Do đó, với mọi ∀x ∈ [x0, x1] ta có y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0) f 0(x ) ≈ = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 2 / 1
Tính gần đúng đạo hàm Đặc biệt, tại x0 ta có y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0) f 0(x0) ≈ = h h
và được gọi là công thức sai phân tiến. Còn tại x1 ta cũng có y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0) f 0(x1) ≈ = h h
và được gọi là công thức sai phân lùi và thường được viết dưới dạng f (x0) − f (x0 − h) f 0(x0) ≈ h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 3 / 1
Tính gần đúng đạo hàm x x Xét bảng số 0 x1 x2 với y y0 y1 y2 y0 = f (x0), y1 = f (x1) = f (x0 + h), y2 = f (x2) = f (x0 + 2h)
Đa thức nội suy Lagrange có dạng (x − x (x − x (x − x L 0)(x − x1) 0)(x − x2) 1)(x − x2) (x ) = y2 − y1 + y0, 2h2 h2 2h2 x − x x − x x − x L0 0 1 2 (x ) = (y2 − 2y1) + (y2 + y0) + (y0 − 2y1) 2h2 h2 2h2 y L00 2 − 2y1 + y0 (x ) = . h2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 4 / 1
Tính gần đúng đạo hàm Đặc biệt, tại x0 ta có −3y0 + 4y1 − y2 f 0(x0) ≈ L0(x0) = 2h
và được gọi là công thức sai phân tiến. Còn tại x1 ta cũng có y2 − y0 f 0(x1) ≈ L0(x1) = 2h
và được gọi là công thức sai phân hướng tâm và thường được viết dưới dạng f (x0 + h) − f (x0 − h) f 0(x0) ≈ 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 5 / 1
Tính gần đúng đạo hàm Còn tại x2 ta cũng có y0 − 4y1 + 3y2 f 0(x2) ≈ L0(x2) = 2h
và được gọi là công thức sai phân lùi và thường được viết dưới dạng
f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0) f 0(x0) ≈ 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 6 / 1 Giải.
Ở đây h = 5. Theo công thức sai phân tiến ta có 1 y 0(50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2) 2h 1 =
(−3x 1.6990 + 4x 1.1704 − 1.7782) = −0.21936 2x 5 Tính gần đúng đạo hàm Ví dụ
Tính gần đúng y 0(50) của hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60
dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7 / 1
Tính gần đúng đạo hàm Ví dụ
Tính gần đúng y 0(50) của hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60
dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 Giải.
Ở đây h = 5. Theo công thức sai phân tiến ta có 1 y 0(50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2) 2h 1 =
(−3x 1.6990 + 4x 1.1704 − 1.7782) = −0.21936 2x 5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Tính gần đúng tích phân xác định
Theo công thức Newton-Leibnitz thì Z b
f (x )dx = F (x )|ba = F (b) − F (a) a
với F 0(x ) = f (x ), F là nguyên hàm của f .
Nhưng thường thì ta phải tính tích phân của hàm số y = f (x ) được xác
định bằng bảng số. Khi đó khái niệm nguyên hàm không còn ý nghĩa. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 8 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Để tích gần đúng tích phân xác định trên [a, b], ta thay hàm số f (x ) bằng
đa thức nội suy Pn(x) và xem Z b Z b f (x )dx ≈ Pn(x)dx. a a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 9 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định Công thức hình thang Công thức hình thang b
Để tích gần đúng tích phân R f (x )dx ta thay hàm dưới dấu tích phân f (x ) a
bằng đa thức nội suy Newton tiến bậc 1 đi qua 2 điểm (a, f (a)) và
(b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy f (b) − f (a)
P1(x) = f (a) + f [a, b](x − a) = f (a) + (x − a). b − a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 10 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định Công thức hình thang Z b Z b P1(x)dx = (f (a) + f [a, b](x − a))dx a a b x 2 = f (a)x + f [a, b] − ax 2 a f (b) − f (a) b2 a2 = f (a)(b − a) + . − ab − + a2 b − a 2 2 b − a = (f (a) + f (b)) 2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 11 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức hình thang mở rộng b − a
Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước chia h = . n
Khi đó a = x0, x1 = x0 + h, . . . , xk = x0 + kh, . . . , xn = x0 + nh và
yk = f (xk ), k = 0, 1, . . . , n
Sử dụng công thức hình thang cho từng đoạn [xk , xk+1] ta được Z b Z x1 Z x2 Z xn f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx + . . . + f (x )dx a x0 x1 xn−1 y0 + y1 y1 + y2 yn−1 + yn ≈ h. + h. + . . . + h. 2 2 2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 12 / 1 Giải.b − a 1 − 0 1 k h = = = , x0 = 0, xk = , n 10 10 10 1 10 yk = f (xk) = = 1 + k 10 + k 10 Vậy 9 9 h X 1 X 10 10 I ≈ (yk + yk+1) = + ≈ 0.6938 2 20 10 + k 10 + (k + 1) k=0 k=0
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức hình thang mở rộng Ví dụ 1 dx
Tính gần đúng tích phân I = R
bằng công thức hình thang mở rộng 1 + x 0
khi chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức hình thang mở rộng Ví dụ 1 dx
Tính gần đúng tích phân I = R
bằng công thức hình thang mở rộng 1 + x 0
khi chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ. Giải.b − a 1 − 0 1 k h = = = , x0 = 0, xk = , n 10 10 10 1 10 yk = f (xk) = = 1 + k 10 + k 10 Vậy 9 9 h X 1 X 10 10 I ≈ (yk + yk+1) = + ≈ 0.6938 2 20 10 + k 10 + (k + 1) k=0 k=0 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức hình thang mở rộng h
I ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + 2y8 + 2y9 + y10) 2
Bấm máy. Với h = 0.1, ta có h A = A + .B.(1 ÷ (1 + X )) : X = X + h 2 CALC A=0, X=0, B=1=. A=, X=, B=2=. . . . , . . . , . . . A=, X=1, B=1=. Kêt quả: I ≈ 0.6938 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 14 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định Công thức Simpson Công thức Simpson b
Để tích gần đúng tích phân R f (x )dx ta chia [a, b] thành 2 đoạn bằng a nhau bởi điểm b − a a, x1 = a + h, b với h = . 2
Thay hàm dưới dấu tích phân f (x ) bằng đa thức nội suy Newton tiến bậc
2 đi qua 3 điểm (a, f (a)), (x1, f (x1)) và (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy
P2(x) = f (a) + f [a, x1](x − a) + f [a, x1, b](x − a)(x − x1) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 15 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định Công thức Simpson Z b Z b P2(x)dx =
f (a) + f [a, x1](x − a) + f [a, x1, b](x − a)(x − x1)dx a a
Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2] Z b Z 2 P2(x)dx =
(f (a) + f [a, x1]ht + f [a, x1, b]h2t(t − 1))hdt a 0 trong đó f [a, x1]h = y1 − f (a), f (b) − 2f (x1) + f (a) f [a, x1, b]h2 = . 2 Vậy Z b h P2(x)dx = (f (a) + 4f (x1) + f (b)) a 3 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 16 / 1
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức Simpson mở rộng
Công thức Simpson mở rộng b − a
Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước chia h = . 2n Khi đó
a = x0, x1 = x0 + h, . . . , xk = x0 + kh và yk = f (xk ), k = 0, 1, . . . , 2n
Sử dụng công thức Simpson cho từng đoạn [xk , xk+2] ta được Z b Z x2 Z x4 Z x2n f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx + . . . + f (x )dx a x0 x2 x2n−2 h h h ≈
(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + .. + (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n). 3 3 3 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 17 / 1 b − a 1 − 0 1 k h = = = , x0 = 0, xk = , 2n 20 20 20 1 20 yk = f (xk ) = = . 1 + k 20 + k 20
Tính gần đúng tích phân xác định
Công thức Simpson mở rộng Ví dụ 1 dx
Tính gần đúng tích phân I = R
bằng công thức Simpson mở rộng 1 + x 0
khi chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 18 / 1