Đề chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông năm 2023 môn Toán; kỳ thi được diễn ra vào chiều thứ Tư ngày 28 tháng 06 năm 2023.

63 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

103 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 101
Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
x
là
A.
3
;
2

. B.
3
;
2

. C.

. D.
3
0;
2
.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1 4
3 3
x dx x C
. B.
1 4
3 3
3
d
4
x x x C
. C.
1 2
3 3
d
x x x C
. D.
1 2
3 3
3
2
x dx x C
.
Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
A.
729
. B.
20
. C.
120
. D.
216
.
Câu 4: Cho hàm số
( ) cos
f x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
( )d sin
f x x x x C
. B.
2
( )d sin
2
x
f x x x C
.
C.
2
( )d sin
f x x x x C
. D.
2
( )d sin
2
x
f x x x C
.
Câu 5: Đạo hàm của hàm số
2
log ( 1)
y x là
A.
1
ln 2
x
y
. B.
1
ln 2
y
. C.
1
( 1)ln 2
y
x
. D.
1
1
y
x
.
Câu 6: Với
,
b c
là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn
5 5
log log
b c
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
b c
. B.
b c
. C.
b c
. D.
b c
.
Câu 7: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương
trình
2
f x
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 8: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
có phương trình là
A.
2
x
. B.
2
x
. C.
3
x
. D.
1
2
x
.
Câu 9: Nếu khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích
V
thì khối chóp
.
A ABC
có thể tích bằng
A.
3
V
. B.
V
. C.
2
3
V
. D.
3
V
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 2
Câu 10: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
2 6, 4 12.
F F
Tích phân
4
2
f x dx
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
18
. D.
6
.
Câu 11: Điểm
M
trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2
i
. B.
1 2
i
. C.
1 2
i
. D.
2
i
.
Câu 12: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;0

. B.
2;

. C.
0;

. D.
1;2
.
Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao
3
h
và bán kính đáy
4
r
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng
A.
48
. B.
16
. C.
24
. D.
56
.
Câu 14: Cho khối nón có thể tích bằng
12
và diện tích đáy bằng
9
. Chiều cao của khối nón đã cho bằng:
A.
4
3
. B.
4
3
. C.
4
. D.
4
.
Câu 15: Cho hai số phức
1
2
z i
và
2
1 3
z i
. Phần thực của số phức
1 2
z z
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
1
.
Câu 16: Cho khối chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
4
và đáy
ABCD
có diện tích bằng
3
. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A.
7
. B.
5
. C.
4
. D.
4
.
Câu 17: Cho hàm số
1
2
2
2 1
y x
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm
2
x
bằng
A.
3
. B.
7
. C.
3
. D.
7
.
Câu 18: Cho dãy số
n
u
với
1
1
n
u
n
,
*
n
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
2
R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. B.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
. D.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 3
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
1;2; 2
u và
2; 2;3
v . Tọa độ của vectơ
u v
là
A.
1; 4; 5
. B.
1; 4;5
. C.
3;0;1
. D.
3;0; 1
.
Câu 21: Cho số phức
1 2 z i
. Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
Câu 22: Nếu
1
0
d 2f x x
và
3
1
d 5f x x
thì
3
0
df x x
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
7
. D.
3
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình
3 3
log 2 log 2x
là
A.
0;
. B.
1;
. C.
1;
. D.
0;1
.
Câu 24: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A.
2
x
y
x
. B.
3
3 1 y x x . C.
4 2
3 y x x . D.
2
2 1 y x
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
Oxz
có phương trình là.
A.
0x
. B.
0z
. C.
0 x y z
. D.
0y
.
Câu 26: Cho hàm số
3 2
, , , y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị
cực đại của hàm số đã cho bằng:
A.
0
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Câu 27: Trong không gia
Oxyz
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2;1; 1M
và có một véc tơ
chỉ phương
1; 2;3
u là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z
. B.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
2 1 1
x y z
. D.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 4
Câu 28: Cho hàm số bậc bốn
( )y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm
số đã cho là
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Câu 29: Với
a
,
b
là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
1a
và log 2
a
b , giá trị của
2
2
log
a
ab
bằng
A. 2. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
5
2
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
5;2;1A
và
1;0;1B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2 2
3 1 1 5 x y z
. B.
2 2 2
3 1 1 20 x y z
.
C.
2 2 2
3 1 1 5 x y z
. D.
2 2 2
3 1 1 20 x y z
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 1A
và mặt phẳng
: 2 0 P x y z
. Đường thẳng
đi qua
A
và vuông góc với
( )P
có phương trình là
A.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. B.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. C.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. D.
1
2 2
1
x t
y t
z t
.
Câu 32: Biết đường thẳng
1 y x
cắt đồ thị hàm số
5
2
x
y
x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
,x x . Giá trị
1 2
x x bằng
A.
1
. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 33: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
' 4 , f x x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
4 0f f
. B.
0 2f f
. C.
5 6f f
. D.
4 2f f
.
Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1AB
,
2BC
,
' 2AA
(tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng
A.
2
. B.
6
2
. C.
2 5
5
. D.
6
3
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 5
Câu 35: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ bằng
A.
72
143
. B.
15
143
. C.
128
143
. D.
71
143
.
Câu 36: Gọi
1 2
,z z là hai nghiệm phức của phương trình
2
6 14 0 z z
và
,M N
lần lượt là điểm biểu
diễn của
1 2
,z z trên mặt phẳng toạ độ.Trung điểm của đoạn
MN
có toạ độ là
A.
3;7
. B.
3;0
. C.
3;0
. D.
3;7
.
Câu 37: Đường gấp khúc
ABC
trong hình vẽ bên là đồ
thị của hàm số
y f x
trên đoạn
2;3
.Tích phân
3
2
f x dx bằng
A.
4
. B.
9
2
.
C.
7
2
. D.
3
.
Câu 38: Cho hình chóp đều
. DS ABC
có đáy bằng a chiều cao bằng
3
6
a
.Góc giữa mặt phẳng
DSC
và
mặt phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn điều kiện
2
3 3
7 49 log 7log 6 0
x
x x
?
A.
728
. B.
726
. C.
725
. D.
729
.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và
đường thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như trong
hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
125
9
S
. Tích phân
6
1
2 5 d
x f x x bằng
A.
830
9
. B.
178
9
.
C.
340
9
. D.
925
18
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
5
3 3
3
y x x mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng
2;5
?
A.
16
. B.
6
. C.
17
. D.
7
.
Câu 42: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;
, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln ' , f x f x x f x f x x
0;
. Biết
1 3f f
, giá trị
2f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
12;14 .
B.
4;6 .
C.
1;3 .
D.
6;8 .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 6
Câu 43: Gọi
S
là tập hợp các số phức
, z a bi a b
thỏa mãn
6
z z z z và
0
ab
. Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứr
1 2
3
z i z
bằng
A.
3 2
. B. 3. C.
3 5
. D.
3 3 2
.
Câu 44: Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
,
SA SB SC AC a
SB
tạo với
mặt phằng
SAC
một góc
3
0
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
4
a
. B.
3
8
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
24
a
.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2
A
, nhận
1; ;1
u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
1 3
;
2 2
. B.
3
;2
2
. C.
15
7;
2
. D.
1
0;
4
.
Câu 46: Trên tập số phức, xét phưong trình
2
0 , z az b a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
2 2
z
và
2
1 4 4
z i
?
A. 2. B. 3. C. 6. D. 4.
Câu 47: Gọi
S
là tập họp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
3 9
;
2 2
x
thỏa mãn
3 2 2
3 2
log 6 9 log 6 5
x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A. 7. B. 1. C. 8. D. 3.
Câu 48: Xét khối nón
có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi
có độ dài đường sinh bằng
2 3
, thể tích của nó bằng
A.
2 3
. B.
3
. C.
6 3
. D.
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
4;8;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
6
0
?
A. 6. B. 2. C. 10. D. 5.
Câu 50: Cho hàm số
4 2
32 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3;2
của phương trình
2
2 3
f x x m
bằng
4
?
A. 145. B. 142. C. 144. D. 143.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 7
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
x
là
A.
3
;
2

. B.
3
;
2

. C.

. D.
3
0;
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 3
3
2 8 2 2 2 3
2
x x
x x
.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1 4
3 3
x dx x C
. B.
1 4
3 3
3
d
4
x x x C
. C.
1 2
3 3
d
x x x C
. D.
1 2
3 3
3
2
x dx x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
11 4
1
3 3
1 3
d
1
4
1
3
x x x C x C
với
C
.
Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
A.
729
. B.
20
. C.
120
. D.
216
.
Lời giải
Chọn B
Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các
đỉnh của một lục giác đều là
3
6
20
C
tam giác.
Câu 4: Cho hàm số
( ) cos
f x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
( )d sin
f x x x x C
. B.
2
( )d sin
2
x
f x x x C
.
C.
2
( )d sin
f x x x x C
. D.
2
( )d sin
2
x
f x x x C
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
1
( ) cos sin
2
f x dx x x dx x x C
với
C
.
1.A 2. B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A 10.B
11.D 12.B 13.C 14.D 15.C 16.C 17.B 18.B 19.A 20.C
21.B 22.C 23.B 24.B 25.D 26.C 27.B 28.D 29.D 30.C
31.D 32.C 33.B 34.D 35.C 36.C 37.D 38.D 39.B 40.C
41.D 42.B 43.C 44.C 45.B 46.D 47.C 48.B 49.D 50.D
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 8
Câu 5: Đạo hàm của hàm số
2
log ( 1)
y x
là
A.
1
ln 2
x
y
. B.
1
ln 2
y
. C.
1
( 1)ln 2
y
x
. D.
1
1
y
x
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
1
1
log ( 1)
1 ln 2 1 ln 2
x
y x y
x x
.
Câu 6: Với
,
b c
là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn
5 5
log log
b c
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
b c
. B.
b c
. C.
b c
. D.
b c
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
5 5
log log
b c b c
.
Câu 7: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số nghiệm thực của phương trình
2
f x
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị.
Do số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
và đường thẳng
2
y
là 3 nên số nghiệm thực
của phương trình
2
f x
là 3.
Câu 8: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
có phương trình là
A.
2
x
. B.
2
x
. C.
3
x
. D.
1
2
x
.
Lời giải
Chọn A
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 9
Ta có
2
3 1
lim
2
x
x
x

và
2
3 1
lim
2
x
x
x

nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
có
phương trình là
2
x
.
Câu 9: Nếu khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có thể tích
V
thì khối chóp
.
A ABC
có thể tích bằng
A.
3
V
. B.
V
. C.
2
3
V
. D.
3
V
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
h
là chiều cao của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
Khi đó .
ABC
V h S
.
Ta có
'.
1 1
.
3 3
A ABC ABC
V h S V
.
Câu 10: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
2 6, 4 12.
F F
Tích phân
4
2
f x dx
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
18
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
4
2
4 2 12 6 6
f x dx F F
.
Câu 11: Điểm
M
trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2
i
. B.
1 2
i
. C.
1 2
i
. D.
2
i
.
Lời giải
Chọn D
Điểm
2;1
M
biểu diễn số
2
i
.
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;0

. B.
2;
. C.
0;

. D.
1;2
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 10
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2;
.
Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao
3
h
và bán kính đáy
4
r
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A.
48
. B.
16
. C.
24
. D.
56
.
Lời giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
2 2. .3.4 24
S hr
.
Câu 14: Cho khối nón có thể tích bằng
12
và diện tích đáy bằng
9
. Chiều cao của khối nón đã cho bằng:
A.
4
3
. B.
4
3
. C.
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Chiều cao của khối nón đã cho bằng:
3 3.12
4
9
V
h
S
.
Câu 15: Cho hai số phức
1
2
z i
và
2
1 3
z i
. Phần thực của số phức
1 2
z z
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
1 2
2 1 3 1 4
z z i i i
.
Phần thực của số phức
1 2
z z
bằng
1
.
Câu 16: Cho khối chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
4
và đáy
ABCD
có diện tích bằng
3
. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A.
7
. B.
5
. C.
4
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
.
1 1
. . .4.3 4
3 3
S ABCD ABCD
V h S
.
Câu 17: Cho hàm số
1
2
2
2 1
y x
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm
2
x
bằng
A.
3
. B.
7
. C.
3
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Giá trị của hàm số
1
2
2
2 1
y f x x
tại điểm
2
x
là:
1
1
2
2
2
2 2.2 1 7 7
f
.
Câu 18: Cho dãy số
n
u
với
1
1
n
u
n
,
*
n
. Giá trị của
3
u
bằng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 11
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
1 1
3 1 4
u
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
2
R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. B.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
. D.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
2
R
là
2 2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 4
x y z x y z
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vecto
1;2; 2
u
và
2; 2;3
v
. Tọa độ của vecto
u v
là
A.
1; 4; 5
. B.
1; 4;5
. C.
3;0;1
. D.
3;0; 1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1 2;2 2 ; 2 3 3;0;1
u v
.
Câu 21: Cho số phức
1 2
z i
. Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 2
z i
nên phần ảo của số phức
z
là
2
.
Câu 22: Nếu
1
0
d 2
f x x
và
3
1
d 5
f x x
thì
3
0
d
f x x
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
7
. D.
3
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3 1 3
0 0 1
d d d 2 5 7
f x x f x x f x x
.
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình
3 3
log 2 log 2
x
là
A.
0;
. B.
1;
. C.
1;
. D.
0;1
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện :
0
x
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 12
Ta có:
3 3
log 2 log 2x
2 2x 1x
.
Câu 24: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A.
2x
y
x
. B.
3
3 1y x x . C.
4 2
3y x x . D.
2
2 1y x
Lời giải
Chọn B
Ta có :
3
3 1y x x có
2
3 3 0y x
1x
. Vậy
1x
là các điểm cực trị của hàm
số.
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
Oxz
có phương trình là.
A.
0x
. B.
0z
. C.
0x y z
. D.
0y
.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng
Oxz
có phương trình là:
0y
.
Câu 26: Cho hàm số
3 2
, , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị
cực đại của hàm số đã cho bằng:
A.
0
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Giá trị cực đại của hàm số là
3
.
Câu 27: Trong không gia
Oxyz
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2;1; 1M
và có một véc tơ
chỉ phương
1; 2;3u
là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z
. B.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
2 1 1
x y z
. D.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
Lời giải
Chọn B
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 13
Phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2;1; 1M
và có một véc tơ chỉ phương
1; 2;3u
là
là:
2 1 1
1 2 3
x y z
.
Câu 28: Cho hàm số bậc bốn
( )y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm
số đã cho là
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2.
Câu 29: Với
a
,
b
là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
1a
và log 2
a
b , giá trị của
2
2
log
a
ab
bằng
A. 2. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2 2 2
2 2
1 5
log log log log log 2
2 2
a
a a a a
ab a b a b
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(5;2;1)A
và
(1;0;1)B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2 2
3 1 1 5 x y z
. B.
2 2 2
3 1 1 20 x y z
.
C.
2 2 2
3 1 1 5 x y z
. D.
2 2 2
3 1 1 20 x y z
.
Lời giải
Chọn C
Do
AB
là đường kính của mặt cầu nên trung điểm
3;1;1I
của
AB
là tâm mặt cầu, bán kính
của mặt cầu là:
2 2 2
5 1 2 0 1 1
5
2 2
AB
R
.
Ta có phương trình mặt cầu:
2 2 2
: 3 1 1 5C x y z
. Chọn đáp án C.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1;2; 1)A
và mặt phẳng
( ) : 2 0P x y z
. Đường thẳng đi
qua
A
và vuông góc với
( )P
có phương trình là
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 14
A.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. B.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. C.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. D.
1
2 2
1
x t
y t
z t
.
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 0
P x y z
nên nhận vector pháp tuyến
1;2;1
n
của
P
là vector chỉ phương.
Mặt khác đường thẳng đi qua
1; 2; 1
A
nên ta có phương trình
1
2 2
1
x t
y t t
z t
.
Câu 32: Biết đường thẳng
1
y x
cắt đồ thị hàm số
5
2
x
y
x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
,
x x
. Giá trị
1 2
x x
bằng
A.
1
. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm là:
2 2
2
2 2
5
1
1 2 5 0
2
3 2 5 0 2 3 0
x
x x
x
x
x x x
x
x x x x x
3
1
x
x
.
Suy ra
1 2
1 3 2
x x
.
Câu 33: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
' 4 ,f x x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
4 0
f f
. B.
0 2
f f
. C.
5 6
f f
. D.
4 2
f f
.
Lời giải
Chọn B
' 4
f x x x
nên
0
' 0
4
x
f x
x
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được
0 2
f f
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 15
Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1AB
,
2BC
,
' 2AA
(tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng
A.
2
. B.
6
2
. C.
2 5
5
. D.
6
.
3
Lời giải
Chọn D
Ta có
' ' 'AD AD B
,
' 'DC DC B
và
' ' // 'AD B DC B
nên khoảng cách giữa hai
đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng khoảng cách giữa
' 'AD B
và
'DC B
.
' ' ; ' ; ' ; 'd AD B DC B d A DC B d C DC B h
Xét tứ diện
. 'C BC D
có các cạnh
, , 'CD CB CC
đôi một vuông góc nên ta có
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 3
' 2 1 2 2h CB CD CC
6
3
h
.
Câu 35: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ bằng
A.
72
143
. B.
15
143
. C.
128
143
. D.
71
143
.
Lời giải
Chọn C
Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ
5 8 13
học sinh là
4
13
C
.
Khi đó
4
13
n C
.
Gọi
A
là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 16
Khi nó
1 3 2 2 3 1
5 8 5 8 5 8
640
n A C C C C C C
Nên
1 3 2 2 3 1
5 8 5 8 5 8
4
13
128
143
n A
C C C C C C
P A
n C
.
Câu 36: Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
6 14 0
z z
và
,
M N
lần lượt là điểm biểu
diễn của
1 2
,
z z
trên mặt phẳng toạ độ.Trung điểm của đoạn
MN
có toạ độ là
A.
3;7
. B.
3;0
. C.
3;0
. D.
3;7
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình
2
6 14 0
z z
Có
2
' 9 14 5 5
i
Suy ra
2
' 5 3
i i
Phương trình có 2 nghiệm là
1 2
3 3; 3 3
z i z i
Tọa độ
3; 3 ; 3; 3
M N
Trung điểm của đoạn thẳng
MN
có tọa độ là
3;0
.
Câu 37: Đường gấp khúc
ABC
trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y f x
trên đoạn
2;3
.
Tích phân
3
2
f x dx
bằng
A.
4
. B.
9
2
. C.
7
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
2
ABGH BGD CDE
f x dx S S S
3
2
1 1
3.1 .1.1 .1.1 3
2 2
f x dx
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 17
Câu 38: Cho hình chóp đều
. DS ABC
có đáy bằng a chiều cao bằng
3
6
a
.Góc giữa mặt phẳng
SCD
và
mặt phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
O
là tâm mặt đáy,
H
là trung điểm cạnh
CD
Suy ra
,SOH CD SHO SCD ABCD
3
3 3
6
; tan
6 2 3
2
a
a a SO
SO OH SHO
a
OH
Suy ra
30 SHO
Vậy góc giữa mặt phẳng
SCD
và
ABCD
là
30
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn điều kiện
2
3 3
7 49 log 7log 6 0
x
x x
?
A.
728
. B.
726
. C.
725
. D.
729
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
0x
2
3 3
2
3 3
2
3 3
7 49 0
log 7log 6 0
7 49 log 7log 6 0
7 49 0
log 7log 6 0
x
x
x
x x
x x
x x
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 18
6
3
3
6
3
7 49
2
1 log 6
3 3
2
7 49
0 3
log 1
3
log 6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
0 2
3 3
x
x
Mà
1;4;5;...;728
x x
Vậy có 726 số thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như trong
hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
125
9
S
. Tích phân
6
1
2 5 d
x f x x
bằng
A.
830
9
. B.
178
9
. C.
340
9
. D.
925
18
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
6
1
8 3 .5
55 55 125 245
2 2 2 9 18
hthang
S f x dx
.
Đặt
2 5 2
u x du dx
dv f x dx v f x
6 6
6
1
1 1
245
2 5 d 2 5 2 7. 6 3. 1 2.
18
x f x x x f x f x dx f f
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 19
245 340
7.8 3.3 2.
18 9
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
5
3 3
3
y x x mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng
2;5
?
A.
16
. B.
6
. C.
17
. D.
7
.
Lời giải
Chọn D
2
3 6 3
y x x m
hàm số
3 2
5
3 3
3
y x x mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng
2;5
khi và chỉ khi
0
y
có một nghiệm thuộc khoảng
2
2;5 2 0
x x m
có một nghiệm thuộc khoảng
2;5
2
2
x x m
2
2 2 2
g x x x g x x
0 2 2 0 1
g x x x
Để hàm số có 1 cực trị
8 15 15 8 14; 13; 12; 11; 10; 9; 8
m m m
Câu 42: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;

, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln ,
f x f x x f x f x x
0;

. Biết
1 3
f f
, giá trị
2
f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
12;14 .
B.
4;6 .
C.
1;3 .
D.
6;8 .
Lời giải
Chọn B
Ta có
ln ln 1 ln 1 ln
f x
f x f x x f x f x f x x f x x f x
f x
ln ln ln
x f x x f x x x f x x
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 20
Từ đó
2
1
ln
2
x f x xdx x C
.
Cho
1
x
ta được
1
ln 1
2
f C
Cho
3
x
ta được
9
3ln 3
2
f C
Theo bài ra thì
1 3
f f
, từ đó suy ra
3
2
C
nên
1 3
2 2
x
x
f x e
.
Cho
2
x
ta được
7
4
2 5,75
f e
Câu 43: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
6
z z z z
và
0
ab
. Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
3
z i z
bằng
A.
3 2.
B.
3.
C.
3 5.
D.
3 3 2.
Lời giải
Chọn C
Cách 1
Từ giả thiết suy ra
3 3
a b a b
(do
0
ab
)
Do
1 2
1
z z
i
là số thực dương nên
1 2 1 2
0
a a b b
suy ra
1 2
a a
và
1 1 2 2
a b a b
(1)
Nếu
1 1 2 2
a b a b
thì
1 2
z z
(loại);
Vậy
1 1 2 2
a b a b
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
1 2 2 1 1 2 1
,
a b a b a a b
Do đó
1 1 1 1
3 3 3
a b b a x
1
3
z x x i
,
2
3
z x xi
Vậy
2 2
2 2 2 2
1 2
3 6 3 3 6 3 5
z i z x x x x
Dấu “=” xảy ra khi
2
x
.
Cách 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 21
Từ giả thiết suy ra
3 3a b a b
(do
0ab
)
Trên mặt phẳng Oab, vẽ 2 đoạn thẳng
[AB]:
3 0 3a b a
với
3;0 , 0; 3A B
[A’B’]:
3 3 0a b a
với
' 3;0 , ' 0;3A B
Gọi
;M a b
biểu diễn cho số phức
1
z ,
'; 'N a b
biểu diễn cho số phức
2
z . Thế thì
,M N
chạy trên [AB] hoặc [A’B’].
Ta có
1 2
1
' ' ' '
1 2
z z
b b a a a a i b b i
i
Do
1 2
1
z z
i
là số thực dương nên
'
' ' 0
'
' ' 0
' '
a a
b b a a
b b
b b a a
a b a b
Khi đó
' ' ,M A B N AB
.
Vậy
; 3M a a
,
'; ' 3N a a
Ta có
' ' 3 ' ' 3 ' 3a b a b a a a a a a
nên
3;N a a
Do vậy
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2
3 6 3 6 3 z i z a a a a a a a a
2 2
3 6 3 5
Dấu “=” xảy ra khi
6
0 2
3
a a
a
a a
.
Câu 44: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
,SA SB SC AC a
SB
tạo với
mặt phẳng
SAC
một góc
30
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 22
A.
3
4
a
. B.
3
8
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
24
a
.
Lời giải
Chọn C
Vẽ
BH SAC
tại
H
suy ra
; ; 30SB SAC SB BH BSH
Từ đó ta có
. . .
2 2
S ABCD S ABC B SAC
V V V
Xét
SHB
vuông tại
H
ta có
sin sin 30
2
BH BH a
BSH BH
SB a
Ta có
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 4 24
B SAC SAC
a a a
V BH S
Vậy
3 3
. .
3 3
2 2.
24 12
S ABCD B SAC
a a
V V
.
Câu 45: Trong không gian
,Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2 ,A
nhận
1; ;1u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
1 3
;
2 2
. B.
3
; 2
2
. C.
15
7;
2
. D.
1
0;
4
.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2; 1 I
, bán kính
2R
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 23
Gọi
,
B C
là giao điểm giữa
d
và
S
, và
O
là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai
mặt tiếp diện.
Theo đề
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc
với nhau, nghĩa là tứ giác
OBIC
là hình vuông, từ đó suy ra
2 2
BC
Gọi
H
là trung điểm
BC
suy ra
2
2
BC
BH
Kẻ
IH BC
, ta có
2 2
2
IH IB BH
Từ đó ta có
; 2
d I d
Ta có
0; 2;1
AI ,
1; ;1
u a a
suy ra
; 2;1;2
AI u a
Từ đó
2
2 2
2
2
2
;
2 1 2
5 3
d ; 2 2 2 ;2
3 2
1 1
AI u
a
I d a
u
a a
.
Câu 46: Trên tập số phức, xét phưong trình
2
0 , z az b a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
2 2
z
và
2
1 4 4
z i
?
A. 2. B. 3. C. 6. D. 4.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
4
a b
TH1.
1 2
0 ,z z
1 1
1
1 1
2 2 4
2 2
2 2 0
z z
z
z z
2
2 2 2 2
1 4 4 1 16 16 1 0 1.
z i z z z
Với
1 2
4, 1
z z
có
1 2
1 2
3 tm
4 tm
a
z z a
z z b
b
Với
1 2
0, 1
z z
có
1 2
1 2
1 tm
0 tm
a
z z a
z z b
b
Vậy TH1 có 2 cặp số
;
a b
thỏa mãn.
TH2.
1
2
0
z x yi
z x yi
Vì
1
2
2 2 2 2
1 4 4 1 4 4
z x yi
z i x yi i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 24
2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 4 0 1
2 8 1 0 2
1 4 16
x y x y x
x y x y
x y
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:
6 1
6 8 1 0
8
x
x y y
2
2
6 1
4 0
8
x
x x
2
100 244 1 0
x x
1 1
2 2
61 4 231 416 24 231
50 400
61 4 231 416 24 231
50 400
x y
x y
Vậy TH2 có
2
cặp số
;
a b
thỏa mãn.
Vậy có
4
cặp số
;
a b
thỏa mãn.
Câu 47: Gọi
S
là tập họp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
3 9
;
2 2
x
thỏa mãn
3 2 2
3 2
log 6 9 log 6 5
x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A. 7. B. 1. C. 8. D. 3.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
3 2 2
3 2
log 6 9 log 6 5
f x x x x y x x
2
3 2 2
3 12 9 2 6
'
6 9 ln3 6 5 ln 2
x x x
f x
x x x y x x
3 2 2
3 3 2
' 3
6 9 ln 3 6 5 ln 2
x
f x x
x x x y x x
Xét trên tập
3 9
;
2 2
x
thì ta dễ thấy
' 0
f x
với
3
x
' 0
f x
với
3
x
Nếu
3
x
thỏa mãn điều kiện.
Ta có
3 3 2
3 27 7
3 log 2; log log
2 8 4
f y f y
;
3 2
9 81 7
log log
2 8 4
f y
TH1.
3 0 9
f y
Phương trình
0
f x
vô nghiệm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 25
TH2.
3 0 9
f y
Phương trình có nghiệm duy nhất
3.
x
TH3.
3 0
f
hoặc
3
x
không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có
nghiệm duy nhất
3 2
3 2
3 27 7
0 log log
2 8 4
7,7 0,9
9 81 7
0 log log
2 8 4
f y
y
f y
Do
y
nguyên
7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 .
y
Vậy số phần tử của
S
là
8.
Câu 48: Xét khối nón
có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi
có độ dài đường sinh bằng
2 3
, thể tích của nó bằng
A.
2 3
. B.
3
. C.
6 3
. D.
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là tâm đường tròn đáy của
N
, đỉnh
S
TH1:
I
thuộc đoạn
SH
. Đặt
, 0 2
IH x x
, suy ra
2 2 2
4
AH IA IH x
Ta có
2 2 2
SA SH HA
Suy ra
2
2
12 2 4 1 .
x x x t m
Suy ra
2
1 1
3, 3 .3.3 3
3 3
SH AH V R h
TH2:
H
thuộc đoạn
SI
. Đặt
, 0 2
IH x x
, suy ra
2 2 2
4
AH IA IH x
Ta có
2 2 2
SA SH HA
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 26
Suy ra
2
2
2
2 3 2 4 1
x x x
(loại)
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
4;8;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
6
. B.
2
. C.
10
. D.
5
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử 2 tiếp tuyến
,
OA OB
, theo giả thiết suy ra
, 60
OA OB
. Suy ra
30 60
AOH
Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
Oyz
, suy ra
0;8;12
H
, suy ra
4 13
OH
Xét tam giác
OAH
có:
sin 4 13 sin 30 2 13
HA OH AOH
Ta có
2 13 2 39
HA
2
52 156
AH
2 2
52 16 156 16
AH IH
2 2
68 172 68 172
IA R
hay
8, 24 13,11
R
.
Do
R
là số nguyên
9;10;...;13
R
.
Vậy có tất cả 5 giá trị của
R
.
Câu 50: Cho hàm số
4 2
32 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3;2
của phương trình
2
2 3
f x x m
bằng
4
?
A. 145. B. 142. C. 144. D. 143.
Lời giải
Chọn D
Phương trình
2
2 3x x a a
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thì ta có:
1 2
2
x x
Phương trình
2
2x 3 1
f x m
có tổng nghiệm bằng
4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 27
phương trình
1
có nghiệm xảy ra ở trường hợp: 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , , 2
x x x x
( do khi đó:
1 2 3 4
2 2 4
x x x x
)
Đặt
2
2 3
x x t
Điều kiện
2
Tìm
m
để phương trình
f t m
có 2 nghiệm
2 6 (2)
t
Xét
4 2
32 4
f t t t
3
0
4 64 0
4
t
f t t t f t
t
Yêu cầu bài toán
252 108
m
143
số.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 102
Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
2;2
M
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2 2
i
. B.
2 2
i
. C.
2
i
. D.
2 2
i
.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5 4
d 5
x x x C
. B.
5 6
d
x x x C
. C.
5 6
1
d
6
x x x C
. D.
5
5
d
ln5
x
x x C
.
Câu 3: Nếu
4
1
d 6
f x x
thì
4
1
2 d
f x x
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
12
. D.
8
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 log 5
x
A.
5
;
3

. B.
5
0;
3
. C.
3
;
5

. D.
3
0;
5
.
Câu 5: Với
a
là số thực dương tùy ý,
7
log 7
a
là:
A.
7
1 log
a
. B.
7
1 log
a
. C.
1
a
. D.
a
.
Câu 6: Cho khối chóp có diện tích đáy
2
9
B a
và chiều cao
2
h a
. Thể tích của khối chóp đã cho
bằng:
A.
3
3
a
. B.
3
6
a
. C.
3
18
a
. D.
3
24
a
.
Câu 7: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
1 3, 3 6
F F
. Tích phân
3
1
f x dx
bằng
A.
9
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Câu 8: Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích
V
và chiều cao
h
bằng.
A.
V
h
. B.
3
V
h
. C.
3
V
h
. D.
.
V h
.
Câu 9: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
3
' ,f x x x
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
;
 
. B.
;1

. C.
0;

. D.
;0

.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số
3
log 1
y x
là
A.
1
ln 3
y
. B.
1
1 ln 3
y
x
. C.
1
1
y
x
. D.
1
ln3
x
y
.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp
1,2,3,4,5,6
?
A.
18
. B.
216
. C.
20
. D.
120
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 2
Câu 12: Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
,
, , ,a b c d
có đồ thị là
đường cong như hình bên.
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1x
. B.
2x
.
C.
1x
. D.
2x
.
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình
2 8
x
là
A.
3; 
. B.
3;
.
C.
3;
. D.
3; 
.
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên?
A.
3 2
3 1y x x
. B.
4 2
2 1y x x
.
C.
3 2
3y x x
. D.
4 2
2y x x
.
Câu 15: Cho hàm số
( )y f x
có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A.
1x
. B.
3x
. C.
3x
. D.
1x
.
Câu 16: Với
a
là số thực dương tùy ý, biểu thức
5 1
3 3
.a a
bằng
A.
5
a
. B.
5
9
a . C.
4
3
a . D.
2
a
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3a
. Độ dài đường sinh của hình nón
đã cho bằng
A.
2a
. B.
2a
. C.
10a
. D.
4a
.
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao
3a
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng
A.
2
8 a
. B.
2
7 a
. C.
2
6 a
. D.
2
14 a
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1M
trên trục
Ox
có toạ độ là
A.
0;0;1
. B.
2;0;0
. C.
0;3;1
. D.
0;3;0
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 1
3 5 2
x y z
P
cắt trục
Oy
tại điểm có tọa độ là
A.
0;5;0
. B.
0;3;0
. C.
0; 1;0
. D.
0;2;0
.
x
y
O
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 3
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
i
. B.
2
. C.
1 i
. D.
1 i
.
Câu 22: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số
2
2y x x
và trục hoành là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
S
có tâm
1;0; 1I
và có bán kính
2R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2
2
1 1 2x y z
. B.
2 2
2
1 1 2x y z
.
C.
2 2
2
1 1 2x y z
. D.
2 2
2
1 1 2x y z
.
Câu 24: Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm
( ) ( 2)( 1)f x x x
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số
đã cho là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 25: Cho số phức
1
2 3z i và
2
z i . Số phức
1 2
z z bằng
A.
3 2i
. B.
2 4i
. C.
2 3i
. D.
3 2i
.
Câu 26: Cho hàm số
1 2cos2f x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
d 2sin 2f x x x x C
. B.
d sin 2f x x x x C
.
C.
d sin 2f x x x x C
. D.
d 2sin 2f x x x x C
.
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1;2M
và có một
vectơ chỉ phương
4;3; 2u
là
A.
4 3 2
3 1 2
x y z
. B.
3 1 2
4 3 2
x y z
.
C.
3 1 2
4 3 2
x y z
. D.
4 3 2
3 1 2
x y z
.
Câu 28: Cho cấp số nhân
n
u với
1
2u
và
2
8u
. Công bội của cấp số nhân bằng
A.
4
. B.
6
. C.
1
4
. D.
6
.
Câu 29: Đường gấp khúc
ABC
trong hình
bên dưới là đồ thị của hàm số
y f x trên đoạn
1;4 .
Tích phân
4
1
f x dx
bằng
A.
7
2
. B.
9
2
.
C.
3
. D.
4
.
Câu 30: Hàm số
4 2
2y x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1;
. B.
; 1
. C.
1;0
. D.
;1
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 4
Câu 31: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài tất cả các cạnh bằng
a
. Góc giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho điển
1; 1;1A
và mặt phẳng
: 2 3 5 0P x y z
. Đưởng
thẳng đi qua
A
và vuông góc với
P
có phương trình là
A.
2
3
1
x t
y t
z t
. B.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. C.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. D.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
.
Câu 33: Cho hàm số bậc bốn
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, phương trình
2 f x m
có 4 nghiệm thực phân biệt?
A.
4
. B.
16
. C.
17
. D.
8
.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3A
và
1;0;5B
. Phương trình mặt cầu đường
kính
AB
là?
A.
2 2
2
1 4 3x y z
. B.
2 2
2
1 4 12x y z
.
C.
2 2
2
1 4 3x y z
. D.
2 2
2
1 4 12x y z
.
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1, 2; ' 3AB BC AA
(tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường
'AB
và
'BC
bằng?
A.
6
7
. B.
6 13
13
.
C.
7
6
. D.
3 10
10
.
Câu 36: Tập xác định của hàm số
2
5
log 30f x x
chứa bao nhiêu số nguyên?
A.
11
. B.
5
. C.
6
. D.
10
.
Câu 37: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 1 6z z i
. Môđun
z
bằng
A.
5
. B. 3 . C. 5 . D.
3
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 5
Câu 38: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng
8
là
A.
4
81
. B.
1
9
. C.
7
81
. D.
8
81
.
Câu 39: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như trong hình bên dưới.
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
32
3
S
.
Tích phân
5
1
2 5 '
x f x dx
bằng:
A.
104
3
. B.
76
3
.
C.
22
3
. D.
188
3
.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1 2
3 3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
0;6
?
A.
24
. B.
25
. C.
26
. D.
23
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
3 27 log 7 log 10 0
x
x x
A.
242
. B.
235
. C.
233
. D.
238
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2
A
nhận
1; ;4
u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
17
8;
2
. B.
51
25;
2
. C.
23
;12
2
. D.
3
;2
2
.
Câu 43: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
2
. Xét hình nón
N
có đáy nằm trên mặt
phẳng
ABCD
và mặt xung quanh đi qua bốn điểm
; ; ;
A B C D
. Khi bán kính đáy của
N
bằng
2 2
, diện tích xung quanh của
N
bằng
A.
8 2
. B.
8 3
. C.
8 6
. D.
4 2
.
Câu 44: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
4
z z z z
và
0.
ab
Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
2
z z i
bằng
A.
2 2
. B.
2
. C.
2 5
. D.
2 2 2
.
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình
2
0
z az b
,
a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
1 2
z
và
2
3 2 4
z i
?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
5
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 6
Câu 46: Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có
8
AC
, diện tích của tam giác
A BC
bằng 9 và đường thẳng
AC
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
30
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
6
. B.
18
. C.
6 3
. D.
18 3
.
Câu 47: Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
5 11
;
2 2
x
thỏa mãn
3 2 2
2 3
log 9 24 log 8 7
x x x y x x
. Số phần tử của
S
bằng
A.
8
. B.
7
. C.
3
. D.
1
.
Câu 48: Cho hàm số
( )
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
(0; )

, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
( )ln ( ) ( ) ( ) , (0; )
f x f x x f x f x x

. Biết
(1) (4)
f f
, giá trị
(2)
f
thuộc khoảng
nào dưới đây?
A.
1;3
. B.
8;10
. C.
6;8
. D.
13;15
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
3;7;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
11
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
Câu 50: Cho hàm số
4 2
18 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
4;1
của phương trình
2
4 5
f x x m
bằng
8
?
A.
63
. B.
65
. C.
62
. D.
64
.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 7
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1.
A 2.
C 3.
C 4.
A 5.
B 6.
B 7.
C 8.
A 9.
D 10.
B
11.
D 12.
A 13.
B 14.
D 15.
D 16.
D 17.
B 18.
C 19.
B 20.
A
21.
A 22.
B 23.
C 24.
A 25.
A 26.
B 27.
C 28.
A 29.
C 30.
B
31.
C 32.
B 33.
C 34.
A 35.
A 36.
A 37.
C 38.
C 39.
B 40.
A
41.
B 42.
C 43.
B 44.
C 45.
C 46.
B 47.
B 48.
C 49.
C 50.
A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
2;2
M
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2 2
i
. B.
2 2
i
. C.
2
i
. D.
2 2
i
.
Lời giải
Chọn A
Điểm
2;2
M
là điểm biễu diễn của số phức
2 2
i
trên
mặt phẳng tọa độ.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5 4
d 5
x x x C
. B.
5 6
d
x x x C
. C.
5 6
1
d
6
x x x C
. D.
5
5
d
ln5
x
x x C
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
5 6
1
d
6
x x x C
, với
C
là hằng số.
Câu 3: Nếu
4
1
d 6
f x x
thì
4
1
2 d
f x x
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
12
. D.
8
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
4 4
1 1
2 d 2 d 2 6 12
f x x f x x
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 log 5
x
A.
5
;
3

. B.
5
0;
3
. C.
3
;
5

. D.
3
0;
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2
0
0
5
log 3 log 5
5
3 5
3
3
x
x
x x
x
x
.
Câu 5: Với
a
là số thực dương tùy ý,
7
log 7
a
là:
A.
7
1 log
a
. B.
7
1 log
a
. C.
1
a
. D.
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
7 7
log 7 1 log
a a
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 8
Câu 6: Cho khối chóp có diện tích đáy
2
9
B a
và chiều cao
2
h a
. Thể tích của khối chóp đã cho
bằng:
A.
3
3
a
. B.
3
6
a
. C.
3
18
a
. D.
3
24
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có: Thể tích khối chóp là:
2 3
1 1
. .9 .2 6
3 3
V B h a a a
.
Câu 7: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
1 3, 3 6
F F
. Tích phân
3
1
f x dx
bằng
A.
9
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
3
1
3 1 6 3 3
f x dx F F
.
Câu 8: Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích
V
và chiều cao
h
bằng.
A.
V
h
. B.
3
V
h
. C.
3
V
h
. D.
.
V h
.
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối lăng trụ
.
V
V B h B
h
với
B
là diện tích đáy.
Câu 9: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
3
' ,f x x x
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
;
 
. B.
;1

. C.
0;

. D.
;0

.
Lời giải
Chọn D
Hàm số đã cho nghịch biến
3
0 0
x x
.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số
3
log 1
y x
là
A.
1
ln 3
y
. B.
1
1 ln 3
y
x
. C.
1
1
y
x
. D.
1
ln3
x
y
.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức
log
ln
a
u
u
u a
. Ta có
1
1
1 ln3 1 ln 3
x
y
x x
.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp
1,2,3,4,5,6
?
A.
18
. B.
216
. C.
20
. D.
120
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 9
Lời giải
Chọn D
Số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.
Vậy có
3
6
120A
số.
Câu 12: Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
,
, , ,a b c d
có đồ thị là đường cong như hình bên.
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1x
. B.
2x
. C.
1x
. D.
2x
.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta thấy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
1x
.
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình
2 8
x
là
A.
3; 
. B.
3;
. C.
3;
. D.
3; 
.
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình
3
2 8 2 2 3
x x
x
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3;
.
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên?
A.
3 2
3 1y x x
. B.
4 2
2 1y x x
. C.
3 2
3y x x
. D.
4 2
2y x x
.
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị của hàm số thấy đồ thị trên là đồ thị của hàm số trùng phương và
lim ( )
x
f x


suy ra hệ số
0a
. Vậy nên chọn đáp án D.
x
y
O
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 10
Câu 15: Cho hàm số
( )y f x
có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A.
1x
. B.
3x
. C.
3x
. D.
1x
.
Lời giải
Chọn D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy
1
lim ( )
x
f x

;
1
lim ( )
x
f x

.
Do đó đường thẳng
1x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x
.
Câu 16: Với
a
là số thực dương tùy ý, biểu thức
5 1
3 3
.a a
bằng
A.
5
a
. B.
5
9
a . C.
4
3
a . D.
2
a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
5 1 5 1
2
3 3 3 3
.a a a a
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3a
. Độ dài đường sinh của hình nón
đã cho bằng
A.
2a
. B.
2a
. C.
10a
. D.
4a
.
Lời giải
Chọn B
Độ dài đường sinh bằng
2
2 2 2
3 2l r h a a a
.
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao
3a
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng
A.
2
8 a
. B.
2
7 a
. C.
2
6 a
. D.
2
14 a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
2
2 2 .3 6S rh a a a
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1M
trên trục
Ox
có toạ độ là
A.
0;0;1
. B.
2;0;0
. C.
0;3;1
. D.
0;3;0
.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1M
trên trục
Ox
có toạ độ là
2;0;0
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 1
3 5 2
x y z
P
cắt trục
Oy
tại điểm có tọa độ là
A.
0;5;0
. B.
0;3;0
. C.
0; 1;0
. D.
0;2;0
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 11
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng
: 1
3 5 2
x y z
P
cắt trục
Oy
, suy ra
0
5
0
x
y
z
, nên giao điểm có tọa độ là
0;5;0
.
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
i
. B.
2
. C.
1
i
. D.
1
i
.
Lời giải
Chọn A
Số thuần ảo là
i
.
Câu 22: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số
2
2
y x x
và trục hoành là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình:
2
0
2 0 2 0
2
x
x x x x
x
Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là
2
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
S
có tâm
1;0; 1
I
và có bán kính
2
R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2
2
1 1 2
x y z
. B.
2 2
2
1 1 2
x y z
.
C.
2 2
2
1 1 2
x y z
. D.
2 2
2
1 1 2
x y z
.
Lời giải
Chọn C
Theo bài ra ta có:
1;0; 1
2
I
R
.
Do đó mặt cầu
S
có phương trình là:
2 2
2
1 1 2
x y z
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm
( ) ( 2)( 1)
f x x x
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số
đã cho là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình
( ) 0
f x
2 0 2
( ) ( 2)( 1) 0
1 0 1
x x
f x x x
x x
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có số điểm cực trị của hàm số đã cho là
2
.
Câu 25: Cho số phức
1
2 3
z i
và
2
z i
. Số phức
1 2
z z
bằng
x

2
1

'
f x
+
0
-
0
+
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 12
A.
3 2i
. B.
2 4i
. C.
2 3i
. D.
3 2i
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
1 2
2 3 2 3 3 2z z i i i i i
Câu 26: Cho hàm số
1 2cos2f x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
d 2sin 2f x x x x C
. B.
d sin 2f x x x x C
.
C.
d sin 2f x x x x C
. D.
d 2sin 2f x x x x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
d 1 2cos2 d 1d +2 cos 2 d sin 2f x x x x x x x x x C
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1;2M
và có một
vectơ chỉ phương
4;3; 2u
là
A.
4 3 2
3 1 2
x y z
. B.
3 1 2
4 3 2
x y z
.
C.
3 1 2
4 3 2
x y z
. D.
4 3 2
3 1 2
x y z
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1;2M
và có một vectơ chỉ phương
4;3; 2u
có phương
trình chính tắc là
3 1 2
4 3 2
x y z
.
Câu 28: Cho cấp số nhân
n
u với
1
2u
và
2
8u
. Công bội của cấp số nhân bằng
A.
4
. B.
6
. C.
1
4
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Công bội của cấp số nhân là
2
1
8
4
2
u
q
u
.
Câu 29: Đường gấp khúc
ABC
trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số
y f x trên đoạn
1;4 .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 13
Tích phân
4
1
f x dx
bằng
A.
7
2
. B.
9
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua
AB
có phương trình
1y
.
Đường thẳng đi qua
BC
có phương trình
3y x
.
Do đó
1 1;2
3 2;4
khi x
f x
x khi x
.
Vậy
4 2 4 2 4
1 1 2 1 2
1 3 3f x dx f x dx f x dx dx x dx
.
(*) Cách 2: đề xuất bởi GV Tu Duy:
4
1
3 1 3
ABED BEI ICJ ABED
f x dx S S S S
.
Câu 30: Hàm số
4 2
2y x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1;
. B.
; 1
. C.
1;0
. D.
;1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
4 4y x x
,
3
0
0 4 4 0 1
1
x
y x x x
x
Bảng biến thiên
Hàm số
4 2
2y x x nghịch biến trên khoảng
; 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 14
Câu 31: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài tất cả các cạnh bằng
a
. Góc giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
// CD AB
nên
, ,SB CD SB AB SBA
.
Vì tam giác
SAB
là tam giác đều có tất cả cách cạnh đều bằng
a
nên
60SBA .
Vậy góc giữa hai đưởng thẳng
SB
và
CD
bằng
60
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho điển
1; 1;1A
và mặt phẳng
: 2 3 5 0P x y z
. Đưởng
thẳng đi qua
A
và vuông góc với
P
có phương trình là
A.
2
3
1
x t
y t
z t
. B.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. C.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. D.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng đi qua
1; 1;1A
và vuông góc với
: 2 3 5 0P x y z
nhận vectơ pháp tuyến
của
P
là
2;3;1n
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
,
t
.
Câu 33: Cho hàm số bậc bốn
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, phương trình
2 f x m
có 4 nghiệm thực phân biệt?
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 15
A.
4
. B.
16
. C.
17
. D.
8
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 f x m
2
m
f x
.
Dựa vào đồ thị, phương trình trên có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
4 5 8 10
2
m
m
.
Suy ra, các giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
7; 6; ; 1;0;1; ;9.
Có tất cả
17
số
m
thỏa mãn.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3A
và
1;0;5B
. Phương trình mặt cầu đường
kính
AB
là?
A.
2 2
2
1 4 3x y z
. B.
2 2
2
1 4 12x y z
.
C.
2 2
2
1 4 3x y z
. D.
2 2
2
1 4 12x y z
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu đường kính
AB
có tâm là trung điểm
0;1;4I
của
AB
và bán kính
2 2 2
1 1 0 2 5 3
3
2 2
AB
R
, có phương trình là
2 2
2
1 4 3x y z
.
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1, 2; ' 3AB BC AA
(tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường
'AB
và
'BC
bằng?
A.
6
7
. B.
6 13
13
. C.
7
6
. D.
3 10
10
.
Lời giải
Chọn A
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 16
Ta có
'/ / ' ', ' ', ' ' '; ' '
' '
', ' ' ', ' '
' '
BC AD d AB BC d BC AB D d C AB D
C O
d A AB D d A AB D
A O
.
Lại có
' ', ' , 'A B A A A D
đôi một vuông góc với nhau tại
', ', ' 'A d A AB D h
thì
2 2 2 2
1 1 1 1 6
' ' ' ' ' 7
h
h A B A D AA
.
Câu 36: Tập xác định của hàm số
2
5
log 30f x x
chứa bao nhiêu số nguyên?
A.
11
. B.
5
. C.
6
. D.
10
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
2 2
30 0 30 30 30x x x
.
Do
5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5x x
. Vậy Chọn A
Câu 37: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 1 6z z i
. Môđun
z
bằng
A.
5
. B. 3 . C. 5 . D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
,z x yi x y
.
Theo giả thiết ta có
1
2 1 6 .
2
x
x yi x yi i
y
Do đó
1 2z i
.
Vậy
5z
.
Câu 38: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng
8
là
A.
4
81
. B.
1
9
. C.
7
81
. D.
8
81
.
Lời giải
Chọn C
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 17
Gọi
ab
là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.
Chọn
a
có
9
cách.
Chọn
b
có
9
cách.
Do đó có
9.9 81
số có hai chữ số khác nhau.
Gọi
A
là biến cố: “Chọn được số có tổng hai chữ số bằng
8
”.
Khi đó
80,71,62,53,35,26,17
A
Vậy
7
81
P A
.
Câu 39: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như trong
hình bên dưới.
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
32
3
S
. Tích phân
5
1
2 5 '
x f x dx
bằng:
A.
104
3
. B.
76
3
. C.
22
3
. D.
188
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2 5 d 2d
d d
u x u x
v f x x v f x
.
Ta có:
5 5
5
1
1 1
2 5 d 2 5 2 d
x f x x x f x f x x
3 7 .4
32 76
5 5 3 1 2
2 3 3
f f
.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1 2
3 3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
0;6
?
A.
24
. B.
25
. C.
26
. D.
23
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2
2 0 2 *
y x x m f x x x m
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 18
BBT cho hàm số
f x
Hàm số có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
0;6
khi
0 24
m
.
Vì
m
nên
0;1;2;...;23
m
. Vậy có tất cả 24 giá trị nguyên của
m
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
3 27 log 7 log 10 0
x
x x
A.
242
. B.
235
. C.
233
. D.
238
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
3 3
3 27 log 7 log 10
x
f x x x
. ĐK:
0
x
.
3
3
3 27 3
0 log 2 9
243
log 5
x
x
f x x x
x
x
.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình
0;3 9;243
S
.
Vậy
1;2;10;11;...;242
x
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2
A
nhận
1; ;4
u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
17
8;
2
. B.
51
25;
2
. C.
23
;12
2
. D.
3
;2
2
.
Lời giải
Chọn C
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 19
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2; 1
I
bán kính
2
R
Gọi
,
C D
là các giao điểm của
d
với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra
ICD
vuông cân tại
I
, có
1 2 2
2 ; 2
2 2
IC ID d I d IH CD
.
Ta lại có
2
2
,
16 69
; 2 2
2 8 17
IA u
a a
d I d
u
a a
2 2 2 2
35 23
16 69 4 16 34 3 35 ;12
3 2
a a a a a a
.
Câu 43: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
2
. Xét hình nón
N
có đáy nằm trên mặt
phẳng
ABCD
và mặt xung quanh đi qua bốn điểm
; ; ;
A B C D
. Khi bán kính đáy của
N
bằng
2 2
, diện tích xung quanh của
N
bằng
A.
8 2
. B.
8 3
. C.
8 6
. D.
4 2
.
Lời giải
Chọn B
Theo đề ra, ta có:
4 2 2
MN R
2 2
AC
.
Mặt khắc:
SO O A
SO OM
2 1
4
2
SO
SO h
SO
.
Lại có:
2
2 2 2
4 2 2 2 6
l h R .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 20
Vậy
8 3
xq
S Rl
.
Câu 44: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
4
z z z z
và
0.
ab
Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
2
z z i
bằng
A.
2 2
. B.
2
. C.
2 5
. D.
2 2 2
.
Lời giải
Chọn A
Đầu tiên ta có
,z a bi a b
thì khi đó
4 2, 0.
z z z z a b ab
Do
1 2
1
z z
i
là số thực dương nên khi
1 2
,
M z N z
thì ta có:
1OM ON NM k i kOE k
với
1;1 .
E
Do
0
ab
nên tập hợp các điểm
,
M N
thuộc
S
biểu diễn như hình vẽ sau:
Gọi
2; 2
F
là điểm đối xứng với
O
qua đoạn thẳng
CD
Suy ra
1 2
2 2 5
P z z i MO NA NO NA NF NA FA
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0
.
M M AF CD
Chọn đáp án
C
.
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình
2
0
z az b
,
a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
1 2
z
và
2
3 2 4
z i
?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
4
a b
.
TH1:
2
4 0
a b
, phương trình có hai nghiệm thực
1 2
,
z z
. Khi đó
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 21
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1 2
1 2
3
3 2 4
3 4 4
3 2 3
z
z
z
z
z i
z
z
, suy ra có 4 cặp
,
a b
thỏa mãn.
TH2:
2
4 0
a b
, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp
1
z x yi
,
2
z x yi
.
,x y
;
0
y
. Theo giả thiết, ta có:
2
2
1
2 2
2
1 2
1 2
3 2 4
3 2 4
x y
z
z i
x y
2 2
2 2
2 3 0
6 4 3 0
x y x
x y x y
2 2
2 0
1
2
2 3 0
x y
x
y
x y x
hoặc
3
5
6
5
x
y
.
Suy ra
1 2
1 2 , 1 2
z i z i
hoặc
1
3 6
5 5
z i
,
2
3 6
5 5
z i
; do đó có 2 cặp
,
a b
thỏa mãn
điều kiện
2
4 0
a b
trong trường hợp này.
Vậy có tất cả có 6 cặp
,
a b
thỏa yêu cầu bài.
Câu 46: Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có
8
AC
, diện tích của tam giác
A BC
bằng 9 và đường thẳng
AC
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
30
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
6
. B.
18
. C.
6 3
. D.
18 3
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
A C
nên
I
là trung điểm của
AC
.
Dễ thấy
. . .
A A BC C A BC B A B C
V V V
. .
3
ABC A B C A A BC
V V
.
Do đường thẳng
AC
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
30
AI
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
30
.
,
.sin 30 .sin 30 2
2
A A BC
AC
d AI
.
Vậy
. .
,
1
3 3. . . 9.2 18.
3
ABC A B C A A BC A BC
A A BC
V V S d
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 22
Câu 47: Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
5 11
;
2 2
x
thỏa mãn
3 2 2
2 3
log 9 24 log 8 7
x x x y x x
. Số phần tử của
S
bằng
A.
8
. B.
7
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
3
log 8 7
3 2
9 24 2
x x
x x x y
2
3
log 8 7
3 2
2 9 24
x x
y x x x
Xét hàm số
2
3
log 8 7
3 2
5 11
2 9 24 , ;
2 2
x x
f x x x x x
2
3
log 8 7
2
2
2 8
2 .ln 2. 3 18 24
8 7 ln 3
x x
x
f x x x
x x
2
3
log 8 7
2
2 4
3 2 4 .2 .ln 2
8 7 ln3
x x
x
x x
x x
2
3
log 8 7
2
4
2
3 2 .2 .ln 2 0
8 7 ln 3
x x
x
f x
x
x x

.
Ta có:
2
3
log 8 7
2
2
5 11 2 5 11
8 7 0, ; 3 2 .2 .ln 2 0, ;
2 2 2 2
8 7 ln3
x x
x x x x x
x x
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán suy ra
12
22.788 16.038
y
y
Do
y
nên ta được tập các giá trị của
y
là
22; 21; 20; 19; 18; 17; 12 .
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Câu 48: Cho hàm số
( )
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
(0; )

, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
( )ln ( ) ( ) ( ) , (0; )
f x f x x f x f x x

. Biết
(1) (4)
f f
, giá trị
(2)
f
thuộc khoảng
nào dưới đây?
A.
1;3
. B.
8;10
. C.
6;8
. D.
13;15
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( )ln ( ) ( ) ( ) ln ( ) 1 ln ( ) 1 (ln ( ))
( )
f x
f x f x x f x f x f x x f x x f x
f x
( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )
x f x x f x x x f x x
2
1
ln ( )
2
x f x xdx x C
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 23
Cho
1
x
ta được
1
ln (1)
2
f C
.
Cho
4
x
ta được
4ln (4) 8
f C
.
Theo đề
1 4
f f
nên suy ra
2 4 8 2
C C C
nên
2
2
x
x
f x e
.
Vậy
2
2 7,39
f e
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
3;7;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
11
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu
S
phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng
Oyz
nên
3
R
.
Gọi
J
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
Oyz
ta có
0;7;12
J
và
3
IJ
và
193
OJ .
Xét 2 tiếp tuyến đi qua
O
và tiếp xúc với
C
tại
,
K H
như hình vẽ.
Từ đề bài ta có
193 3
.sin 60 .sin 30 193.
2 2
OJ r OJ r
, với
r JK JH
.
Mà
, 3
d I Oyz IJ
nên:
2 2 2 2
193 579
, , ,
4 4
d I Oyz r d I Oyz d I Oyz
2 2
193 579 229 615
9 9
4 4 4 4
R R
229 615
7,6 12,4
4 4
R
, do
8;9;10;11;12
R R
.
Vậy, có 5 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.
Câu 50: Cho hàm số
4 2
18 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
4;1
của phương trình
2
4 5
f x x m
bằng
8
?
A.
63
. B.
65
. C.
62
. D.
64
.
Lời giải
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 24
Chọn A
Đặt
2
4 5t x x
, vì
4;1 1;10x t
.
Nhận xét: với
1 5t
ta suy ra có 2 giá trị
x
có tổng bằng
4
( vì
1 2
4x x
).
Yêu cầu bài toán tương đương
f t m
có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bảng biến thiên của hàm số
f x
trên khoảng
1;10
Nhận xét:
1 17f f và phương trình
f t m
có tối đa 2 nghiệm
1;10t
.
TH1: Nếu
f t m
chỉ có 1 nghiệm
1;10t
thì tổng các nghiệm của phương trình
2
0
4 5x x t
sẽ là
4
.
TH2: Nếu
f t m
có 2 nghiệm phân biệt
1 2 1 2
; 1;10 ; 1; 17t t t t
Khi đó mỗi phương trình
2
1
2
2
4 5
4 5
x x t
x x t
có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
4;1
. Từ đó
suy ra tổng các nghiệm là
8
.
Vậy
77; 13m
và
76;...; 14m m
có 63 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa
mãn.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 103
Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3
a
. Độ dài đường sinh của hình nón
đã cho là
A.
4
a
. B.
2
a
. C.
10
a
. D.
2
a
.
Câu 2: Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích
V
và chiều cao
h
bằng
A.
3
V
h
. B.
V
h
. C.
Vh
. D.
3
V
h
.
Câu 3: Cho hàm số
3 2
, , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm
cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1
x
. B.
2
. C.
1
x
. D.
2
x
.
Câu 4: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5 6
1
d
6
x x x C
. B.
5
5
d
ln 5
x
x x C
. C.
5 4
d 5
x x x C
. D.
5 6
d
x x x C
.
Câu 5: Nếu
4
1
6
f x dx
thì
4
1
2
f x dx
bằng
A.
3
. B.
12
. C.
4
. D.
8
.
Câu 6: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
2
9
B a
và chiều cao
2
h a
. Thể tích của khối chóp đã
cho bằng
A.
3
3
a
. B.
3
24
a
. C.
3
18
a
. D.
3
6
a
.
Câu 7: Với
a
là số thực dương tùy ý, biểu thức
5 1
3 3
.
a a
bằng
A.
4
3
a
. B.
5
a
. C.
2
a
. D.
5
9
a
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 1
3 5 2
x y z
P
cắt trục
Oy
tại điểm có tọa độ là
A.
0; 1;0
. B.
0;3;0
. C.
0;2;0
. D.
0;5;0
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1; 2
M
và có một
vectơ chỉ phương
4; 3; 2
u
là
A.
3 1 2
4 3 2
x y z
. B.
3 1 2
4 3 2
x y z
.
C.
4 3 2
3 1 2
x y z
. D.
4 3 2
3 1 2
x y z
.
Câu 10: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
3
,f x x x
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
0;
. B.
;1

. C.
;0

. D.
;

.
Câu 11: Cho số phức
1
2 3
z i
và
2
z i
. Số phức
1 2
.
z z
bằng
A.
3 2
i
. B.
2 3
i
. C.
3 2
i
D.
2 4
i
.
Câu 12: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A. 2. B.
1
i
. C.
1
i
D.
i
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 2
Câu 13: Với
a
là số thực dương tùy ý,
7
log 7a
bằng
A.
1 a
. B.
a
. C.
7
1 log a
. D.
7
1 log a
.
Câu 14: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
và
1 3F
,
3 6F
. Tích phân
3
1
df x x
bằng
A.
3
. B.
9.
C.
3.
D.
2
.
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình
2 8
x
là
A.
3; 
. B.
3; 
. C.
3;
. D.
3;
.
Câu 16: Cho hàm số
1 2cos2f x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
sin 2f x dx x x C
. B.
2sin 2f x dx x x C
.
C.
2sin 2f x dx x x C
. D.
sin 2f x dx x x C
.
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3a
. Diện tích xung quanh của hình trụ
đã cho bằng
A.
2
7 a
. B.
2
14 a
. C.
2
6 a
. D.
2
8 a
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;0; 1I
và bán kính
2R
. Phương trình
của
S
là.
A.
2 2
2
1 1 2 x y z
. B.
2 2
2
1 1 2 x y z
.
C.
2 2
2
1 1 2 x y z
. D.
2 2
2
1 1 2 x y z
.
Câu 19: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A.
1x
. B.
3x
. C.
1x
. D.
3x
.
Câu 20: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?
A.
4 2
2y x x
. B.
3 2
3y x x
. C.
3 2
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 3
Câu 21: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2 1 ,f x x x x
. Số điểm cực trị của hàm số
đã cho là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 22: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
2;2
M
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2 2
i
. B.
2
i
. C.
2 2
i
. D.
2 2
i
.
Câu 23: Đạo hàm của hàm số
3
log 1
y x
là.
A.
1
1 .ln3
y
x
. B.
1
1
y
x
. C.
1
ln3
y
. D.
1
ln3
x
y
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1
M
trên trục
Ox
có toạ độ là.
A.
0;3;0
. B.
2;0;0
. C.
0;3;1
. D.
0;0;1
.
Câu 25: Số giao điểm của đồ thị hàm số
2
2
y x x
và trục hoành là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 log 5
x
là
A.
3
;
5

. B.
5
0;
3
. C.
5
;
3

. D.
3
0;
5
.
Câu 27: Cho cấp số nhân
n
u
với
1
2
u
và
2
8
u
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A.
1
4
. B.
6
. C.
6
. D.
4
.
Câu 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp
1,2,3,4,5,6
?
A.
120
. B.
20
. C.
216
. D.
18
.
Câu 29: Trong không gian
,
Oxyz
cho hai điểm
1;2;3
A
và
1;0;5
B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2
2
1 4 3
x y z
. B.
2 2
2
1 4 12
x y z
.
C.
2 2
2
1 4 3
x y z
. D.
2 2
2
1 4 12
x y z
.
Câu 30: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có độ dài tất cả các cạnh bằng
a
. Góc giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
bằng
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Câu 31: Tập xác định của hàm số
2
5
log 30
f x x
chứa bao nhiêu số nguyên?
A.
10
. B.
11
. C.
5
. D.
6
.
Câu 32: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng
8
là
A.
1
9
. B.
4
81
. C.
8
81
. D.
7
81
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 4
Câu 33: Cho hàm số
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
sao cho ứng với mỗi giá trị của
m
, phương trình
2
f x m
có
4
nghiệm thực phân
biệt?
A.
4
. B.
17
. C.
16
. D.
8
.
Câu 34: Cho đường gấp khúc
ABC
trong hình vẽ là đồ thị của
hàm số
y f x
trên đoạn
1;4
. Tích phân
4
1
I f x dx
bằng
A.
4
. B.
3
.
C.
9
2
. D.
7
2
.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 1;1
A
và mặt phẳng
: 2 3 5 0
P x y z
. Đường
thẳng đi qua
A
và vuông góc với
P
có phương trình là
A.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. B.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. C.
2
3
1
x t
y t
z t
. D.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
.
Câu 36: Hàm số
4 2
2
y x x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A.
;1

. B.
1;0
. C.
; 1

. D.
1;

.
Câu 37: Số phức
z
thoả mãn
2 1 6
z z i
. Mô đun của
z
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
5
. D.
5
.
Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
1, 2,AA =3
AB BC
(tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
bằng
A.
3 10
10
. B.
6
7
. C.
7
6
. D.
6 13
13
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 5
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1 4
2
3 3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;8
?
A.
26
. B.
36
. C.
35
. D.
27
.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường
thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như hình vẽ bên. Biết rằng
hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
9
2
S
.
Tích phân
6
3
2 3 dx f x x
bằng
A.
33
. B.
51
.
C.
39
. D.
27
.
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
2 16 log 9log 18 0
x
x x
?
A.
704
. B.
701
. C.
707
. D.
728
.
Câu 42: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn 2z z z z và
0.ab
Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
z z i
bằng:
A.
5
. B.
1 2
. C.
1
. D.
2
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4S x y z
và đường thẳng d đi
qua điểm
1; 0; 2A
nhận vectơ
(1; ; 2 )u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
2 2
;
5 3
. B.
19
;10
2
. C.
5
2;
2
. D.
7
;4
2
.
Câu 44: Xét khối nón
N
có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2 3 .
Khi
N
có độ dài đường sinh bằng 6, thể tích của nó bằng
A.
18
. B. 9 3
. C. 27 3
. D.
54
.
Câu 45: Trên tập số phức xét phương trình
2
0 ,z az b a b
. Có bao nhiêu cặp số thực
,a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,z z thỏa mãn
1 2
1 2, 3 2 3z z i
?
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
6
.
Câu 46: Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
5 11
;
2 2
x
thoả mãn
3 2 2
3 2
log 9 24 log 8 12x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
1
. D.
7
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 6
Câu 47: Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
SA SB SC AC a
,
SB
tạo với
mặt phẳng
( )
SAC
một góc
60
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
3
24
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
8
a
D.
3
4
a
.
Câu 48: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;

có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln 2 ' , 0;f x f x x f x f x x

. Biết
1 3
f f
, giá trị
2
f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
40;42
. B.
3;5
. C.
32;34
. D.
1;3
.
Câu 49: Cho hàm số
4 2
32 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
4;1
của phương trình
2
4 5
f x x m
bằng
8
?
A.
81
. B.
82
. C.
80
. D.
79
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
5;6;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
9
. B.
4
. C.
2
. D.
6
.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 7
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
B
B A
A
B D
C
D
B C
C
D
D
C
D
A
C
A
C
A
C
C
A
B A
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
9
5
0
C
D
A
C
A
B
D
B B D
C
D
B D
D
A
A
D
B D
B D
C
C
B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO
Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3 a
. Độ dài đường sinh của hình nón
đã cho là
A.
4a
. B.
2a
. C. 10a . D.
2a
.
Lời giải
Chọn B
Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là
2
2 2 2
3 2l r h a a a
.
Câu 2: Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích
V
và chiều cao
h
bằng
A.
3
V
h
. B.
V
h
. C.
Vh
. D.
3V
h
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
V
V Sh S
h
.
Câu 3: Cho hàm số
3 2
, , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm
cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1x
. B.
2
. C.
1x
. D.
2x
.
Lời giải
Chọn A
Câu 4: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5 6
1
d
6
x x x C
. B.
5
5
d
ln 5
x
x x C
. C.
5 4
d 5x x x C
. D.
5 6
dx x x C
.
Lời giải
Chọn A
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 8
Câu 5: Nếu
4
1
6
f x dx
thì
4
1
2
f x dx
bằng
A.
3
. B.
12
. C.
4
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
4 4
1 1
2 2 2.6 12
f x dx f x dx
.
Câu 6: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
2
9
B a
và chiều cao
2
h a
. Thể tích của khối chóp đã
cho bằng
A.
3
3
a
. B.
3
24
a
. C.
3
18
a
. D.
3
6
a
.
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2 3
1 1
.9 .2 6
3 3
V Bh a a a
.
Câu 7: Với
a
là số thực dương tùy ý, biểu thức
5 1
3 3
.
a a
bằng
A.
4
3
a
. B.
5
a
. C.
2
a
. D.
5
9
a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
5 1 5 1
2
3 3 3 3
.
a a a a
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 1
3 5 2
x y z
P
cắt trục
Oy
tại điểm có tọa độ là
A.
0; 1;0
. B.
0;3;0
. C.
0;2;0
. D.
0;5;0
.
Lời giải
Chọn D
Ta có phương trình trục
Oy
:
0
,
0
x
t
y t
z
.
Xét phương trình:
0 0
1 5
3 5 2
t
t
.
Giao điểm của mặt phẳng
P
và trục
Oy
là
0;5;0
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1; 2
M
và có một
vectơ chỉ phương
4; 3; 2
u
là
A.
3 1 2
4 3 2
x y z
. B.
3 1 2
4 3 2
x y z
.
C.
4 3 2
3 1 2
x y z
. D.
4 3 2
3 1 2
x y z
.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1; 2
M
và có một vectơ chỉ phương
4; 3; 2
u
có
phương trình chính tắc là:
3 1 2
4 3 2
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 9
Câu 10: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
3
,f x x x
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
0;
. B.
;1

. C.
;0

. D.
;

.
Lời giải
Chọn C
Ta có
3
0 0 0
f x x x
.
Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu của
f x
suy ra hàm
y f x
nghịch biến trên khoảng
;0

.
Câu 11: Cho số phức
1
2 3
z i
và
2
z i
. Số phức
1 2
.
z z
bằng
A.
3 2
i
. B.
2 3
i
. C.
3 2
i
. D.
2 4
i
.
Lời giải
Chọn C
2
1 2
. 2 3 . 2 3 2 3 1 3 2
z z i i i i i i
.
Câu 12: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A. 2. B.
1
i
. C.
1
i
D.
i
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
0 1.
z i i
.
Số phức này có phần thực bằng 0, phần ảo bằng
1
, khác
0
nên nó là số thuần ảo.
Câu 13: Với
a
là số thực dương tùy ý,
7
log 7
a
bằng
A.
1
a
. B.
a
. C.
7
1 log
a
. D.
7
1 log
a
.
Lời giải
Chọn D
7 7 7 7
log 7 log 7 log 1 log
a a a
.
Câu 14: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
và
1 3
F
,
3 6
F
. Tích phân
3
1
d
f x x
bằng
A.
3
. B.
9.
C.
3.
D.
2
.
Lời giải
Chọn C
3
3
1
1
d 3 1 6 3 3.
f x x F x F F
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình
2 8
x
là
A.
3;

. B.
3;

. C.
3;

. D.
3;

.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
2 8 2 2 3
x x
x
.
Vạy tập nghiệm của bất phương trình là
3;S

.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 10
Câu 16: Cho hàm số
1 2cos2f x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
sin 2f x dx x x C
. B.
2sin 2f x dx x x C
.
C.
2sin 2f x dx x x C
. D.
sin 2f x dx x x C
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
cos2 2
1 2cos 2 1 2cos 2 2 sin 2
2
xd x
x dx dx xdx x x x C
.
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3a
. Diện tích xung quanh của hình trụ
đã cho bằng
A.
2
7 a
. B.
2
14 a
. C.
2
6 a
. D.
2
8 a
.
Lời giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
2
2 2 . .3 6
xq
S Rh a a a
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;0; 1I
và bán kính
2R
. Phương trình
của
S
là.
A.
2 2
2
1 1 2 x y z
. B.
2 2
2
1 1 2 x y z
.
C.
2 2
2
1 1 2 x y z
. D.
2 2
2
1 1 2 x y z
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt cầu tâm
1;0; 1I
và bán kính
2R
là
2 2
2
1 1 2 x y z
.
Câu 19: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A.
1x
. B.
3x
. C.
1x
. D.
3x
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
lim
x
y
và
1
lim
x
y
nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng có
phương trình là
1x
.
Câu 20: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 11
A.
4 2
2y x x
. B.
3 2
3y x x
. C.
3 2
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn A
Hình vẽ là đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c với
0, 0, 0a b c
.
Câu 21: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2 1 ,f x x x x
. Số điểm cực trị của hàm số
đã cho là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn C
Do
2 1 ,f x x x x
nên hàm số
y f x
liên tục trên
. Ta lập được bảng biến
thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Câu 22: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
2;2M
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A.
2 2i
. B.
2i
. C.
2 2i
. D.
2 2i
.
Lời giải
Chọn C
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
2;2M
là điểm biểu diễn của số phức
2 2i
.
Câu 23: Đạo hàm của hàm số
3
log 1y x
là.
A.
1
1 .ln3
y
x
. B.
1
1
y
x
. C.
1
ln3
y
. D.
1
ln3
x
y
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
1
1 .ln 3 1 ln 3
x
y
x x
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1M
trên trục
Ox
có toạ độ là.
A.
0;3;0
. B.
2;0;0
. C.
0;3;1
. D.
0;0;1
.
Lời giải
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 12
Chọn B
Dễ thấy hình chiếu của
M
lên trục
Ox
là
2;0;0
M
Câu 25: Số giao điểm của đồ thị hàm số
2
2
y x x
và trục hoành là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
2
y x x
và trục hoành, ta có
2
0
2 0
2
x
x x
x
.
Đồ thị hàm số
2
2
y x x
cắt trục hoành tại 2 điểm.
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 log 5
x
là
A.
3
;
5

. B.
5
0;
3
. C.
5
;
3

. D.
3
0;
5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2
5
log 3 log 5 3 5
3
x x x
.
Tập nghiệm của bất phương trình là
5
;
3

.
Câu 27: Cho cấp số nhân
n
u
với
1
2
u
và
2
8
u
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A.
1
4
. B.
6
. C.
6
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2 1
1
8
. 4
2
u
u u q q
u
.
Câu 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp
1,2,3,4,5,6
?
A.
120
. B.
20
. C.
216
. D.
18
.
Lời giải
Chọn A
Gọi số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là
abc
a
có 6 cách chọn 1 số từ tập hợp trên
b
có 5 cách chọn 1 số khác
a
c
có 4 cách chọn 1 số khác
,
a b
Áp dụng quy tắc nhân ta có:
6 5 4 120
số.
Câu 29: Trong không gian
,
Oxyz
cho hai điểm
1;2;3
A
và
1;0;5
B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2
2
1 4 3
x y z
. B.
2 2
2
1 4 12
x y z
.
C.
2 2
2
1 4 3
x y z
. D.
2 2
2
1 4 12
x y z
.
Lời giải
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 13
Chọn C
Ta có
2; 2;2 2 3AB AB
.
Gọi
I
là trung điểm của
AB
suy ra tọa độ của
I
là
0;1;4I
Mặt cầu đường kính
AB
có tâm
0;1;4I
và bán kính
3
2
AB
R
.
Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2
2
1 4 3x y z
.
Câu 30: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài tất cả các cạnh bằng
a
. Góc giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
bằng
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
AB CD
∥
Do đó
, ,SB CD SB AB
.
Mà
SAB
đều suy ra
60SBA .
Vậy
, , 60SB CD SB AB SBA
.
Câu 31: Tập xác định của hàm số
2
5
log 30f x x
chứa bao nhiêu số nguyên?
A.
10
. B.
11
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định:
2
30 0 30 30x x
.
Tập xác định:
30 ; 30D .
Vậy
D
chứa 11 số nguyên:
0; 1; 2; 3; 4; 5
.
Câu 32: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng
8
là
A.
1
9
. B.
4
81
. C.
8
81
. D.
7
81
.
Lời giải
Chọn D
Trong
90
số tự nhiên có hai chữ số, có
9
số gồm hai chữ số giống nhau.
Suy ra tập
S
có
81
số.
Các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau có tổng hai chữ số bằng
8
bao gồm:
17
;
26
;
35
;
53
;
62
;
71
và
80
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 14
Vậy xác suất để chọn được số từ
S
có tổng hai chữ số bằng
8
là
7
81
.
Câu 33: Cho hàm số
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
sao cho ứng với mỗi giá trị của
m
, phương trình
2
f x m
có
4
nghiệm thực phân
biệt?
A.
4
. B.
17
. C.
16
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình
2
2
m
f x m f x
.
Phương trình
2
f x m
có
4
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
4 5 8 10
2
m
m
.
Do
m
nên
7; 6;...;7;8;9
m
.
Vậy có
17
giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
f x m
có
4
nghiệm thực phân
biệt.
Câu 34: Cho đường gấp khúc
ABC
trong hình vẽ là đồ thị của hàm số
y f x
trên đoạn
1;4
. Tích
phân
4
1
I f x dx
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
9
2
. D.
7
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 , 1;2
3 , 2;4
x
f x
x x
.
Khi đó
4 2 4
1 1 2
1. 3 3
I f x dx dx x dx
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 15
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 1;1
A
và mặt phẳng
: 2 3 5 0
P x y z
. Đường
thẳng đi qua
A
và vuông góc với
P
có phương trình là
A.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. B.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
. C.
2
3
1
x t
y t
z t
. D.
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
.
Lời giải
Chọn D
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với
P
nên nhận vectơ pháp tuyến
2;3;1
P
u n
làm
vectơ chỉ phương.
Đường thẳng đi qua
1; 1;1
A
có vectơ chỉ phương
2;3;1
u
có dạng:
1 2
1 3
1
x t
y t
z t
.
Câu 36: Hàm số
4 2
2
y x x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A.
;1

. B.
1;0
. C.
; 1

. D.
1;

.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3
4 4
y x x
Cho
3
0
0 4 4 0 1
1
x
y x x x
x
Bảng xét dấu:
Hàm số
4 2
2
y x x
nghịch biến trên các khoảng
; 1

và
0;1
.
Câu 37: Số phức
z
thoả mãn
2 1 6
z z i
. Mô đun của
z
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
5
. D.
5
.
Lời giải
Chọn D
Gọi số phức
, ,
z x yi z x yi x y R
thay vào
2 1 6
z z i
ta có:
2 1 6 2( ) 1 6
z z i x yi x yi i
2 1 1
2 6 2
x x x
y y y
.
Vậy số phức
2 2
1 2 | | ( 1) 2 5
z i z
.
Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
1, 2,AA =3
AB BC
(tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
bằng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 16
A.
3 10
10
. B.
6
7
. C.
7
6
. D.
6 13
13
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Ta có
'/ / ' ', ' ', ' ' '; ' '
' '
', ' ' ', ' '
' '
BC AD d AB BC d BC AB D d C AB D
C O
d A AB D d A AB D
A O
.
Lại có
' ', ' , 'A B A A A D
đôi một vuông góc với nhau tại
', ', ' 'A d A AB D h
thì
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 6
' ' ' ' ' 1 2 3 7
h
h A B A D AA
.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 17
Chọn hệ trục
Oxyz
sao cho
0;0;0A
,
1;0;0B
,
0;2;0D
(do
2 2BC AD
),
0;0;3A
.
Ta có:
1;0;3B
;
1;2;3C
;
0;2;3 ; 1;2;0BC BD
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
là khoảng cách giữa đường thẳng
AB
và
BC D
chứa
BC
và song song với
AB
. Ta có
;
; ;
AB BC
AB BC D A BC D
d d d
.
Mặt phẳng
BC D
đi qua
1;0;0B
và nhận vectơ
; 6; 3;2n BC BD
làm VTPT có
phương trình là
6 3 2 6 0x y z
.
;
; ;
2 2
2
6.0 3.0 2.0 6
6
7
6 3 2
AB BC
AB BC D A BC D
d d d
.
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1 4
2
3 3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;8
?
A.
26
. B.
36
. C.
35
. D.
27
.
Lời giải
Chọn D
3 2
1 4
2
3 3
y x x mx
2
4y x x m
.
2
0 4y m x x
.
Xét hàm số
2
4g x x x
2 4g x x
.
0 2g x x
.
Bảng biến thiên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 18
Hàm số
3 2
1 4
2
3 3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;8
khi và chỉ khi
0y
có đúng một nghiệm bội lẻ thuộc khoảng
1;8
.
Suy ra
5 32m
.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt
P
tại hai điểm như hình
vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
9
2
S
. Tích phân
6
3
2 3 dx f x x
bằng
A.
33
. B.
51
. C.
39
. D.
27
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử
:d y mx n
,
2
:P f x ax bx c
Tư đồ thị ta có:
Đường thẳng
d
đi qua
3;2 , 6;5A B
nên có
3 2 1
6 5 1
m n m
m n n
: 1d y x
.
Đồ thị
P
đi qua
3;2 , 6;5A B
nên có
9 3 2
36 6 5
a b c
a b c
Và
6
2
3
9
1 d
2
S x ax bx c x
6
2 3 2
3
9
2 3 2 2
x ax bx
x cx
27
63 3 6
2
a b c
Do đó ta có hệ phương trình
9 3 2 1
36 6 5 8
27 17
63 3 6
2
a b c a
a b c b
c
a b c
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 19
2
8 17 2 8f x x x f x x
.
Suy ra
6 6
3 3
2 3 d 2 3 2 8 dx f x x x x x
6
2
3
4 22 24 dx x x
6
3
2
3
4
11 24 27
3
x
x x
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
2 16 log 9log 18 0
x
x x
?
A.
704
. B.
701
. C.
707
. D.
728
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
0x
.
Ta có
2
3 3
2 16 log 9log 18 0
x
x x
.
Trường hợp 1.
2
3
3 3
2 16 0 4
4
27 729
3 log 6
27 729
log 9log 18 0
x
x
x
x
x
x
x x
Vì
x
nguyên nên
28;29;...;728x
, có
701
giá trị nguyên của
x
.
Trường hợp 2.
3
2
3 3
3
4
4
2 16 0
log 3
4
27
log 9log 18 0
log 6 729
x
x
x
x
x
x
x x
x x
Vì
x
nguyên nên
1;2;3x
, có
3
giá trị nguyên của
x
.
Vậy có tất cả
704
giá trị nguyên của
x
.
Câu 42: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn 2z z z z và
0.ab
Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
z z i
bằng:
A.
5
. B.
1 2
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
,z a bi a b
.
Khi đó 2 2 2 2 1, 0.z z z z a b a b ab
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 20
Do
0.ab
nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức
,z a bi a b
là hai cạnh hình vuông
ABCD
với
1;0 , 0;1 , 1;0 , 0; 1A B C D
Gọi
1 2
,M z N z
ta có:
1 2
, 0
1
z z
k k MN kv
i
với
1;1v
nên
MN
cùng hướng với
// //v MN AD BC
Gọi
1; 1E
là điểm đối xứng với
O
qua đoạn thẳng
CD
Suy ra
1 2
5P z z i MO NB NO NB NE NB BE
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0
.N N BE CD
Vậy
min
5P
khi
; ;E N B
thẳng hàng.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4S x y z
và đường thẳng d đi
qua điểm
1; 0; 2A
nhận vectơ
(1; ; 2 )u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
2 2
;
5 3
. B.
19
;10
2
. C.
5
2;
2
. D.
7
;4
2
.
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu
S
có tâm
1 2 1; ;I
, bán kính
2R
. Suy ra
0 2 1IA ; ;
,
4 1 2IA u a
, ; ;
.
Ta có
IM IN
và
2 2 2 2IM IN MN IH ;
2
2 2
4 1 4
2 2 2
1 2
IA u
a
d I d
u
a a
,
( )
( ; )
( )
2 2 2 2
11 7
8a 21 2 2a 4a 5 3a 11 3 67 4
3 2
a a
( ) , ;
.
Câu 44: Xét khối nón
N
có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2 3 .
Khi
N
có độ dài đường sinh bằng 6, thể tích của nó bằng
A.
18
. B. 9 3
. C. 27 3
. D.
54
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 21
Lời giải
Chọn B
+) Mặt cầu tâm
,
I R
. Có
2 3, 6
R SA
như hình vẽ trên
+) Có
2
2 3 12
SH SI IH HA
+) Có
2 2 2 2 2 2
12 4 36 3 12 36
SH HA SA HA HA HA
2
36 3 3 3 3 3.
HA HA SH
+) Vậy
2
1
.3 .3 3 9 3
3
V
Câu 45: Trên tập số phức xét phương trình
2
0 ,z az b a b
. Có bao nhiêu cặp số thực
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
z z
thỏa mãn
1 2
1 2, 3 2 3
z z i
?
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
4
a b
Trường hợp 1:
2
0 4 0
a b
phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1 2
,
z z
. Khi đó:
2 2
1 1
1 1
1 1
1 2 1
1 4 1 4
1 2 3
z z
z z
z z
.
2 2
2 2
3 2 3 3 2 9
z i z
2
2
2
2
3 5
3 5
2 5
z
z
z
Vậy có 4 cặp nghiệm
1 2
,
z z
nên có 4 cặp
,
a b
tương ứng.
Trường hợp 2:
2
0 4 0
a b
. Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp
1 2
, ,z x yi z x yi x y
2
2
2 2
1 4
3 2 9
x y
x y
2 2
2 2
2 2
4 4 7 0
2 3
2 3 0
6 4 4
x y d
x y x
x y x C
x y x y
I
Xét đường tròn
:
C
Tâm
1;0 , 2
I R
Ta có
2 2
4 7
3 2
; 2
8
4 4
d I d R
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 22
Suy ra đường thẳng
d
và đường tròn
C
có 2 điểm chung. Nên hệ
I
có 2 nghiệm phân biệt.
Suy ra có 2 cặp
1 2
,z z
nên có 2 cặp
,a b
tương ứng.
Vậy có 6 cặp
,a b
thỏa mãn.
Câu 46: Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
5 11
;
2 2
x
thoả mãn
3 2 2
3 2
log 9 24 log 8 12x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
1
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
ĐK:
3 2
2
9 24 0
8 12 0 2 6
x x x y
x x x
Ta có:
3 2 2
3 2
log 9 24 log 8 12x x x y x x
2
2
log 8 12
3 2
9 24 3
x x
x x x y
2
2
log 8 12
3 2
3 9 24
x x
y x x x
.
Xét hàm số
2
2
log 8 12
3 2
3 9 24
x x
f x x x x
với
5 11
;
2 2
x
.
Ta có:
2
2
log 8 12
2
2
2 8
3 .ln3. 3 18 24
8 12 .ln2
x x
x
f x x x
x x
2
2
log 8 12
2
2 4
3 .ln3. 3 4 2
8 12 .ln2
x x
x
x x
x x
2
2
log 8 12
2
2
4 3 .ln3. 3 2
8 12 .ln2
x x
x x
x x
Vì
2 6x
nên
2
2
log 8 12
2
2
3 .ln3. 3 2 0
8 12 .ln2
x x
x
x x
Do đó,
0 4f x x
.
Bảng biến thiên
Để với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
5 11
;
2 2
x
thì
7y
hoặc
23,7 16,95y
.
Mà
7; 23; 22;...; 17y y
.
Vậy tập
S
có
8
phần tử.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 23
Câu 47: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
SA SB SC AC a
,
SB
tạo với
mặt phẳng
( )SAC
một góc
60
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
3
24
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
8
a
D.
3
4
a
.
Lời giải
Chọn D
Do
ABCD
là hình bình hành
.
2
SS ABCD ABC
V V
.
Lại có
SA SC AC a
SAC
đều cạnh
a
2
3
4
SAC
a
S
.
Mặt khác
SB
tạo với mặt phẳng
( )SAC
một góc
60
3
, sin 60
2
a
d B SAC SB
.
Suy ra
2 3
.
1 1 3 3
,
3 3 2 4 8
B SAC SAC
a a a
V d B SAC S
.
Vậy
3
.
2
4
CS ABCD SAB
a
V V
.
Câu 48: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;
có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln 2 ' , 0;f x f x x f x f x x 
. Biết
1 3f f
, giá trị
2f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
40;42
. B.
3;5
. C.
32;34
. D.
1;3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
0;x 
ln 2 'f x f x x f x f x
ln 2 'f x f x xf x xf x
ln ' 2f x f x xf x xf x
'
ln 2
xf x
f x x
f x
ln ' 2x f x x
2
lnx f x x C
.
Có:
1ln 1 1 3ln 1 3 3
3ln 3 9 3ln 3 9
f C f C
f C f C
0 6 2 3C C
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 24
Vậy:
2
3
ln 3 lnx f x x f x x
x
3
x
x
f x e
3
2
2
2 33,12f e
.
Câu 49: Cho hàm số
4 2
32 4f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
4;1
của phương trình
2
4 5f x x m
bằng
8
?
A.
81
. B.
82
. C.
80
. D.
79
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
4 5t x x
, với
4;1x
2
4 5 0x x t
*
.
Ta có:
2 4t x
.
0 2t x
.
Bảng biến thiên:
Do đó, với
1t
, phương trình
*
vô nghiệm.
Với
1t
hoặc
5 10t
, phương trình
*
có nghiệm duy nhất.
Với
1 5t
, phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
1 2
4x x .
Yêu cầu bài toán
f t m
có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng
1;5
.
Xét hàm số
4 2
32 4f t t t
với
1;5t
.
3
4 64f t t t
.
0 4f t t
(Do
1;5t
).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có yêu cầu bài toán
252 171m
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 25
Mà
251; 250;...; 172
m m
.
Vậy có
80
giá trị cần tìm.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
S
có tâm
5;6;12
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
S
trong
mặt phẳng
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
9
. B.
4
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
J
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
Oyz
ta có
0;6;12
J
và
5
IJ
;
6 5
OJ .
Đường tròn giao tuyến của
S
với
Oyz
là
C
có tâm
J
và có bán kính
r
tính theo công
thức
2 2
25
r R
.
Xét hai tiếp tuyến đi qua
O
và tiếp xúc với
C
tại
,
K H
như hình vẽ.
Từ đề bài ta có
60 120 30 60
KOH JOH
2 2
2
1 3 1 3 1 25 3
sin
2 2 4 4 4 180 4
r R
JOH
OJ
2
70 160 70 4 10
R R .
Do
9;10;11;12
R R
.
Vậy có
4
giá trị nguyên của
R
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 104
Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Cho số phức
1 2
z i
.Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
. D.
2
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
1;2; 2
u
và
2; 2;3
v
. Tọa độ của vectơ
u v
là
A.
1; 4;5
. B.
3;0; 1
. C.
3;0;1
. D.
1; 4; 5
.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình
3 3
log 2 log 2
x
là
A.
1;

. B.
1;

. C.
0;

. D.
0;1
.
Câu 4: Cho hai số phức
1
2
z i
và
2
1 3
z i
. Phần thực của số phức
1 2
z z
bằng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Câu 5: Nếu
1
0
d 2
f x x
và
3
1
d 5
f x x
thì
3
0
d
f x x
bằng
A.
3
. B.
10
. C.
7
. D.
3
.
Câu 6: Cho hàm số
cos
f x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
d sin
f x x x x C
. B.
2
d sin
2
x
f x x x C
.
C.
2
d sin
f x x x x C
. D.
2
d sin
2
x
f x x x C
.
Câu 7: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
2 6, 4 12
F F
. Tích phân
4
2
d
f x x
bằng
A.
6
. B.
2
.
C.
18
. D.
6
.
Câu 8: Điểm
M
trong hình bên biểu diễn số phức nào dưới đây?
A.
1 2
i
. B.
1 2
i
.
C.
2
i
. D.
2
i
.
Câu 9: Cho hàm số
3 2
, , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là
đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A.
3
. B.
0
.
C.
1
. D.
1
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 2
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
Oxz
có phương trình là
A.
0z
. B.
0y
. C.
0x y z
. D.
0y
.
Câu 11: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Số nghiệm thực của phương trình
2f x
là
A. 0. B. 1.
C. 2. D. 3.
Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A.
2
2 1y x . B.
2x
y
x
. C.
4 2
3y x x . D.
3
3 1y x x .
Câu 13: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1 4
3 3
dx x x C
. B.
1 2
3 3
dx x x C
. C.
1 4
3 3
3
d
4
x x x C
. D.
1 2
3 3
3
d
2
x x x C
.
Câu 14: Với b, c là hai số thực dương tuỳ ý thoả mãn
5 5
log logb c , khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
b c
. B.
b c
. C.
b c
. D.
b c
.
Câu 15: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
A.
729
. B.
216
. C.
120
. D.
20
.
Câu 16: Cho hàm số
1
2
2
2 1y x
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm
2x
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
7
. D.
7
.
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
x
là
A.
3
0;
2
. B.
3
;
2

. C.
3
;
2

. D.
;2
.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
2
log 1y x
là
A.
1
'
( 1)ln 2
y
x
. B.
1
'
ln 2
x
y
. C.
1
'
1
y
x
. D.
1
'
ln 2
y
.
Câu 19: Cho hình trụ có chiều cao
3h
và bán kính đáy
4r
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A.
16
. B.
56
. C.
24
. D.
48
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2;1; 1M
và có một vectơ
chỉ phương
1; 2;3u
là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z
. B.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
2 1 1
x y z
. D.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 3
Câu 21: Nếu khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích
V
thì khối chóp
.
A ABC
có thể tích bằng
A.
2
3
V
. B.
3
V
. C.
3
V
. D.
V
.
Câu 22: Cho dãy số
n
u
với
1
, *
1
n
u n
n
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
1
3
. B.
4
. C.
2
7
u
. D.
1
4
.
Câu 23: Cho hàm số bậc bốn
y f x
có đồ thị như đường cong
trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
3
. B.
1
.
C.
2
. D.
0
.
Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
có phương trình là
A.
1
2
x
. B.
2
x
. C.
3
x
. D.
2
x
.
Câu 25: Cho khối nón có thể tích bằng
12
và diện tích đáy bằng
9
. Chiều cao của khối nón đã cho bằng
A.
4
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
4
.
Câu 26: Cho khối chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
4
và đáy
ABCD
có diện tích bằng
3
. Thể tích của
khối chóp đã cho bằng
A.
7
. B.
12
. C.
4
. D.
5
.
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
2
R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. B.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. D.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
Câu 28: Cho hàm số
y x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2;

. B.
0;

. C.
;0

. D.
1;2
.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
5;2;1
A
và
1;0;1
B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2 2
3 1 1 5
x y z
. B.
2 2 2
3 1 1 5
x y z
.
C.
2 2 2
3 1 1 20
x y z
. D.
2 2 2
3 1 1 20
x y z
.
x
y
O
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 4
Câu 30: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3
6
a
. Góc giữa mặt phẳng
SCD
và mặt phẳng đáy bằng
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2; 1A
và mặt phẳng
: 2 0P x y z
. Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là
A.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. B.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. C.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. D.
1
2 2
1
x t
y t
z t
.
Câu 32: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
1a
và
log 2
a
b
, giá trị của
2
2
log
a
ab
bằng:
A.
1
2
. B.
2
. C.
5
2
. D.
3
2
.
Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1, 2, ' 2AB BC AA
(tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa
hai đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng:
A.
6
3
. B.
2
.
C.
2 5
5
. D.
6
2
.
Câu 34: Gọi
1 2
,z z là hai nghiệm phức của phương trình
2
6 14 0 z z
và
,M N
lần lượt là điểm biểu
diễn của
1 2
,z z trên mặt phẳng tọa độ. Trung điểm của đoạn thẳng
MN
có tọa độ là
A.
3;0
. B.
3;0
. C.
3;7
. D.
3;7
.
Câu 35: Biết đường thẳng
1 y x
cắt đồ thị hàm số
5
2
x
y
x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
,x x . Giá trị
1 2
x x
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Câu 36: Từ một nhóm học sinh gồm
5
nam và
8
nữ, chọn ngẫu nhiên
4
học sinh. Xác suất để trong
4
học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng:
A.
71
143
B.
72
143
C.
128
143
D.
15
143
Câu 37: Đường gấp khúc
ABC
trong hình bên là đồ thị của hàm số
y f x
trên đoạn
2;3
. Tích
phân
3
2
df x x
bằng
A.
9
2
B.
3
C.
4
D.
7
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 5
Câu 38: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
' 4f x x x
,
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5 6f f
. B.
0 2f f
. C.
4 0f f
. D.
4 2f f
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
5 125 log 8log 15 0
x
x x
A.
242
. B.
217
. C.
220
. D.
215
.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt tại hai điểm như trong hình
bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
125
6
S
. Tích phân
7
2
2 3x f x dx
bằng
A.
215
3
. B.
265
3
. C.
245
3
. D.
415
3
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1
3 3
3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;5
?
A.
17
. B.
12
. C.
16
. D.
11
.
Câu 42: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;
, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln 2f x f x x f x f x
,
0;x 
. Biết
1 4f f
, giá trị
2f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
54;56
. B.
74;76
. C.
10;12
. D.
3;5
.
Câu 43: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn 8z z z z và
0ab
. Xét
1
z và
2
z thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
4z i z
bằng
A.
4.
B.
4 2.
C. 4 5. D.
4 4 2.
Câu 44: Gọi
S
là tập họp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
3 9
;
2 2
x
thỏa mãn
3
3 2 2
2
log 6 9 log 6x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
7
. D.
1
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 6
Câu 45: Trong không gian
,
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2 ,
A
nhận
1; ;3
u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
13 15
;
2 2
. B.
49
24;
2
. C.
1 3
;
2 2
. D.
31 33
;
2 2
.
Câu 46: Trên tập số phức, xét phương trình
2
0
z az b
,a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
;
z z
thỏa mãn
1
1 2
z
và
2
2 3 3
z i
?
A.
4
. B.
3
. C.
6
. D.
2
.
Câu 47: Cho khối lăng trụ
ABC A B C
có
8
AC
, diện tích của tam giác
A BC
bằng
9
và đường
thẳng
AC
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
60
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
12
. B.
18
. C.
18 3
. D.
12 3
.
Câu 48: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng 4. Xét hình nón
N
có đáy nằm trên mặt
phẳng
ABCD
và mặt xung quanh đi qua bốn điểm
, , ,
A B C D
. Khi bán kính đáy của
N
bằng
3 2
, diện tích xung quanh của
N
bằng
A.
72
. B.
54
. C.
36 2
. D.
108
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
( )
S
có tâm
(3;5;12)
I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
( )
S
trong
mặt phẳng
( )
Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
4
. B.
2
. C.
10
. D.
6
.
Câu 50: Cho hàm số
4 2
18 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3;2
của phương trình
2
2 3
f x x m
bằng
4
A.
24
. B.
23
. C.
26
. D.
25
.
---------- HẾT ----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 7
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1.D 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.B
11.D 12.D 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.A 19.C 20.B
21.C 22.D 23.C 24.D 25.D 26.C 27.A 28.A 29.B 30.C
31.B 32.C 33.A 34.B 35.A 36.C 37.B 38.B 39.B 40.A
41.B 42.A 43.C 44.C 45.A 46.A 47.C 48.B 49.A 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO
Câu 1: Cho số phức
1 2
z i
.Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
1 2 1 2
z i z i
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
1;2; 2
u
và
2; 2;3
v
. Tọa độ của vectơ
u v
là
A.
1; 4;5
. B.
3;0; 1
. C.
3;0;1
. D.
1; 4; 5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3;0;1
u v
.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình
3 3
log 2 log 2
x
là
A.
1;

. B.
1;

. C.
0;

. D.
0;1
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
0
x
Ta có:
3 3
log 2 log 2 2 2 1
x x x
Câu 4: Cho hai số phức
1
2
z i
và
2
1 3
z i
. Phần thực của số phức
1 2
z z
bằng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1 2
2 1 3 1 4
z z i i i
Câu 5: Nếu
1
0
d 2
f x x
và
3
1
d 5
f x x
thì
3
0
d
f x x
bằng
A.
3
. B.
10
. C.
7
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3 1 3
0 0 1
d d d 2 5 7
f x x f x x f x x
.
Câu 6: Cho hàm số
cos
f x x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
d sin
f x x x x C
. B.
2
d sin
2
x
f x x x C
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 8
C.
2
d sin
f x x x x C
. D.
2
d sin
2
x
f x x x C
.
Lời giải
Chọn B
2
d sin
2
x
f x x x C
.
Câu 7: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
2 6, 4 12
F F
. Tích phân
4
2
d
f x x
bằng
A.
6
. B.
2
. C.
18
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
4
2
d 4 2 12 6 6
f x x F F
.
Câu 8: Điểm
M
trong hình bên biểu diễn số phức nào dưới đây?
A.
1 2
i
. B.
1 2
i
. C.
2
i
. D.
2
i
.
Lời giải
Chọn D
Điểm
2;1
M
nên biểu diễn số phức
2
i
.
Câu 9: Cho hàm số
3 2
, , ,y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị, giá trị cực đại của hàm số bằng
3
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
Oxz
có phương trình là
A.
0
z
. B.
0
y
. C.
0
x y z
. D.
0
y
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 9
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng
Oxz
đi qua gốc
0;0;0O
, nhận
0;1;0j
làm VTPT nên có phương trình là
0y
.
Câu 11: Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương
trình
2f x
là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn D
Số nghiệm thực của phương trình
2f x
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
và
đồ thị đường thẳng
2y
. Do đó phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A.
2
2 1y x . B.
2x
y
x
. C.
4 2
3y x x . D.
3
3 1y x x .
Lời giải
Chọn D
Bảng biến thiên trên là đặc trưng của hàm số bậc 3.
Câu 13: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1 4
3 3
dx x x C
. B.
1 2
3 3
dx x x C
. C.
1 4
3 3
3
d
4
x x x C
. D.
1 2
3 3
3
d
2
x x x C
.
Lời giải
Chọn C
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 10
Áp dụng công thức
1
d , 1
1
x
x x C
.
Câu 14: Với b, c là hai số thực dương tuỳ ý thoả mãn
5 5
log log
b c
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
b c
. B.
b c
. C.
b c
. D.
b c
.
Lời giải
Chọn A
5 5
log log
b c b c
Câu 15: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
A.
729
. B.
216
. C.
120
. D.
20
.
Lời giải
Chọn D
Số tam giác:
3
6
20
C
Câu 16: Cho hàm số
1
2
2
2 1
y x
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm
2
x
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
7
. D.
7
.
Lời giải
Chọn C
Giá trị của hàm số đã cho tại điểm
2
x
bằng
1
2
2
2.2 1 7
y
.
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
x
là
A.
3
0;
2
. B.
3
;
2

. C.
3
;
2

. D.
;2

.
Lời giải
Chọn B
2 2 3
3
2 8 2 2 2 3
2
x x
x x
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
2
log 1
y x
là
A.
1
'
( 1)ln 2
y
x
. B.
1
'
ln 2
x
y
. C.
1
'
1
y
x
. D.
1
'
ln 2
y
.
Lời giải
Chọn A
'
2
1
' log 1
( 1)ln 2
y x
x
Câu 19: Cho hình trụ có chiều cao
3
h
và bán kính đáy
4
r
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A.
16
. B.
56
. C.
24
. D.
48
.
Lời giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ
2 2 .4.3 24
xq
S rh
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2;1; 1
M
và có một vectơ
chỉ phương
1; 2;3
u
là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z
. B.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 11
C.
1 2 3
2 1 1
x y z
. D.
2 1 1
1 2 3
x y z
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình đường thẳng
d
là
2 1 1
1 2 3
x y z
.
Câu 21: Nếu khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích
V
thì khối chóp
.
A ABC
có thể tích bằng
A.
2
3
V
. B.
3
V
. C.
3
V
. D.
V
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
. .
1 1 1
, . . , .
3 3 3 3
A ABC ABC ABC ABC A B C
V
V d A ABC S d A B C ABC S V
.
Câu 22: Cho dãy số
n
u
với
1
, *
1
n
u n
n
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
1
3
. B.
4
. C.
2
7
u
. D.
1
4
.
Lời giải
Chọn D
3
1 1
3 1 4
u
.
Câu 23: Cho hàm số bậc bốn
y f x
có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của
hàm số đã cho là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn C
Số cực tiểu là
2
.
Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
có phương trình là
A.
1
2
x
. B.
2
x
. C.
3
x
. D.
2
x
.
Lời giải
Chọn D
Do
2
3 1
lim
2
x
x
x
nên ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
2
x
.
Câu 25: Cho khối nón có thể tích bằng
12
và diện tích đáy bằng
9
. Chiều cao của khối nón đã cho bằng
x
y
O
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 12
A.
4
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
1 3 3 12
4
3 9
V
V Sh h
S
.
Câu 26: Cho khối chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
4
và đáy
ABCD
có diện tích bằng
3
. Thể tích của
khối chóp đã cho bằng
A.
7
. B.
12
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
1 1
3 4 4
3 3
V Sh
.
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
2
R
. Phương trình
của
S
là
A.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. B.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 1 4
x y z
. D.
2 2 2
1 2 1 2
x y z
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
S
tâm
1;2; 1
I
,
2
R
có phương trình:
2 2 2
1 2 1 4
x y z
.
Câu 28: Cho hàm số
y x
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2;

. B.
0;

. C.
;0

. D.
1;2
.
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy
0
f x
với
2;x

nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2;

.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
5;2;1
A
và
1;0;1
B
. Phương trình của mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
2 2 2
3 1 1 5
x y z
. B.
2 2 2
3 1 1 5
x y z
.
C.
2 2 2
3 1 1 20
x y z
. D.
2 2 2
3 1 1 20
x y z
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
I
là trung điểm của
AB
, ta có
3;1;1
I
và
2 2 2
5 3 2 1 1 1 5
IA
.
Mặt cầu đường kính
AB
có tâm là
3;1;1
I
và bán kính là
5
R IA có phương trình là:
2 2 2
3 1 1 5
x y z
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 13
Câu 30: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3
6
a
. Góc giữa mặt phẳng
SCD
và mặt phẳng đáy bằng
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Lời giải
Chọn C
Gọi O là tâm của đáy ABCD
3
6
a
SO ABCD SO
.
Gọi M là trung điểm CD
,
OM CD
SCD ABCD SMO
SM CD
Trong tam giác SOM vuông tại O ta có
3
3
6
tan 30
1
3
2 2
a
SO SO
SMO SMO
a
OM
CD
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2; 1A
và mặt phẳng
: 2 0P x y z
. Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là
A.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. B.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. C.
1
2 2
1
x t
y t
z t
. D.
1
2 2
1
x t
y t
z t
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
d
là đường thẳng đi qua
1;2; 1A
và vuông góc với mặt phẳng
P
.
Khi đó:
: 2 0d P x y z
Đường thẳng d nhận véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm
một véc tơ chỉ phương, hay
1;2;1
d
u
Phương trình đường thẳng d là
1
2 2
1
x t
y t
z t
Câu 32: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
1a
và
log 2
a
b
, giá trị của
2
2
log
a
ab
bằng:
A.
1
2
. B.
2
. C.
5
2
. D.
3
2
.
Lời giải
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 14
Chọn C
2 2 2
2 2
1 5
log log log 2
2 2
a a a
ab a b
.
Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
1, 2, ' 2AB BC AA
(tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng:
A.
6
3
. B.
2
. C.
2 5
5
. D.
6
2
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có
/ / ; ; ; ,DC AB d DC AD d DC AB D d C AB D d A AB D h
.
Lại có
' ', ' , 'A B A A A D
đôi một vuông góc với nhau tại
A
thì
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 6
' ' ' ' ' 1 2 2 3
h
h A B A D AA
.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
với
, , 'AB Ox AD Oy AA Oz
.
Suy ra
0;0;0 , ' 0;2;2 , ' 1;2;2 , 0;2;0A D C D
.
Do
'AD
đi qua
0;0;0A
và nhận
0;1;1u
làm vec tơ chỉ phương.
Do
'DC
đi qua
0;2;0D
và nhận
' 1;0;2u
làm vec tơ chỉ phương.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'AD
và
'DC
bằng:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 15
'; '
2
2 2
; ' .
2 6
3
; '
2 1 1
AD DC
u u AD
d
u u
Trong đó:
; ' 2;1; 1
u u
;
0;2;0
AD
Câu 34: Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
6 14 0
z z
và
,
M N
lần lượt là điểm biểu
diễn của
1 2
,
z z
trên mặt phẳng tọa độ. Trung điểm của đoạn thẳng
MN
có tọa độ là
A.
3;0
. B.
3;0
. C.
3;7
. D.
3;7
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
' 9 14 5
có một căn bậc hai là
5
i
do đó phương trình có hai nghiệm là
1
3 5
z i
và
2
3 5
z i
.
Suy ra tọa độ các điểm biểu diễn của
1 2
,
z z
lần lượt là
3; 5 , 3; 5
M N
. Vậy trung điểm
của đoạn thẳng
MN
có tọa độ là
3;0
.
Câu 35: Biết đường thẳng
1
y x
cắt đồ thị hàm số
5
2
x
y
x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
,
x x
. Giá trị
1 2
x x
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
1
5
1 2 3 0
3
2
x
x
x x x
x
x
. Vậy
1 2
2
x x
.
Câu 36: Từ một nhóm học sinh gồm
5
nam và
8
nữ, chọn ngẫu nhiên
4
học sinh. Xác suất để trong
4
học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng:
A.
71
143
. B.
72
143
. C.
128
143
. D.
15
143
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
là không gian mẫu
Ta có:
4
13
715
n C
Gọi
:"4
A
học sinh được chọn có cả nam và nữ
"
1 3 2 2 3 1
5 8 5 8 5 8
. . . 640
n A C C C C C C
Xác suất cấn tìm là:
640 128
715 143
n A
p A
n
.
Câu 37: Đường gấp khúc
ABC
trong hình bên là đồ thị của hàm số
y f x
trên đoạn
2;3
. Tích
phân
3
2
d
f x x
bằng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 16
A.
9
2
. B.
3
. C.
4
. D.
7
2
.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có:
3 1
2 2
1
d 1.d 1 2 3
2
f x x x x
Câu 38: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
' 4f x x x
,
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5 6f f
. B.
0 2f f
. C.
4 0f f
. D.
4 2f f
.
Lời giải
Chọn B
Ta lập bảng xét dấu của
f x
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
0f
là cực đại nên
0 2f f
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3 3
5 125 log 8log 15 0
x
x x
A.
242
. B.
217
. C.
220
. D.
215
.
Lời giải
Chọn B
Giải phương trình
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 17
2
3 3
2 2
3 3 3 3
3
3
3
3
3
5 125 log 8log 15 0
: 0
5 125 0 5 125 0
log 8log 15 0 log 8log 15 0
5 5
5 5
log 3
3 log 5
log 5
3
3
3 27 243
27
27 243
243
x
x x
x
x
x x
Dk x
pt hay
x x x x
hay
x
x
x
x
x
hay x hay x
x
x
x
x
nguyên
1,2,28,29,...,242x
có 217 số.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai
y f x
có đồ thị
P
và đường thẳng
d
cắt tại hai điểm như trong hình
bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
125
6
S
. Tích phân
7
2
2 3x f x dx
bằng
A.
215
3
. B.
265
3
. C.
245
3
. D.
415
3
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Đặt
2 3 d 2d
d d
u x u x
v f x x v f x
.
Ta có:
7 7
7
2
2 2
2 3 d 2 3 2 dx f x x x f x f x x
5 10 .5
125 215
11 7 2 2
2 6 3
f f
.
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm
2;5A
và
7;10B
thuộc đường thẳng
d
và Parabol
P
Suy ra đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
5;5AB
Phương trình đường thẳng
: 3d y x
Gọi
P
có phương trình:
2
,( 0)y ax bx c a
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 18
,A B P
Hệ phương trình:
4 2 5 4 2 5
49 7 10 49 7 5 4 2 10
a b c c a b
a b c a b a b
4 2 5 3 14
1 9 1 9
c a b c a
b a b a
Hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
có diện tích
125
6
S
7
2
2
7
2
2
7
7
3 2
2
2
2
125
3
6
125
3 1 9 3 14
6
125 9 125
9 14 14
6 3 2 6
125 125
1 8; 17
6 6
x ax bx c dx
x ax a x a dx
ax ax
ax ax a dx ax
a a b c

P
có phương trình:
2
8 17 2 8
y f x x x f x x
7
2
215
2 3
3
x f x dx
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với mỗi
m
, hàm số
3 2
1
3 3
3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;5
?
A.
17
. B.
12
. C.
16
. D.
11
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
2
' 3 6 3
y x x m
9 9
m
2
' 3 6 3 0
y x x m
có 2 nghiệm phân biệt
1 2 1 2
, ( )
x x x x
9 9 0 1
m m
1 2
3 9 9 3 9 9
1 1 1 , 1 1
3 3
m m
m x m x m
Hàm số
3 2
1
3 3
3
y x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng
1;5
khi và chỉ khi
TH1.
1 2
1
0
1 1 1 5
1 5
5 1 1
m
m
x x
m
1 1
2 1 4 2 1 4
1 4 1 4
m m
m m
m m
Loại.
TH2.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 19
1 2
1 1
0
1 1 1 5 2 1 4
1 5
1 1 1 1 2
1
1 1
15 3
4 1 16 3 15
2 1 4
14; 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3
m m
m m
x x
m m
m
m m
m
m m
m
m
Cách 2:
2
' 3 6 3
y x x m
YCBT
2
PT 3 6 3 0
x x m
có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng
1;5
.
Xét
2 2
3 6 3 0 2
x x m f x x x m
.
Hàm số
2
2
f x x x
có
' 2 2
f x x
. Cho
' 0 1
f x x
. Ta có bảng biến thiên
Từ BBT suy ra điều kiện
3 15 15 3 14; 13;...; 3
m m m
. Vậy có 12 giá
trị thỏa mãn.
Câu 42: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên khoảng
0;

, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn
ln 2
f x f x x f x f x
,
0;x

. Biết
1 4
f f
, giá trị
2
f
thuộc
khoảng nào dưới đây?
A.
54;56
. B.
74;76
. C.
10;12
. D.
3;5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
ln 2 ln 2
ln 2 ln 2
ln
f x
f x f x x f x f x f x x x
f x
f x
f x x x x f x x
f x
x f x x C
Từ
1 4
f f
ta có
ln 1 1
4 1 16 4
4ln 4 16
f C
C C C
f C
.
Do đó
4
2 4
ln 4 2 54,598 54;56
x
x
x f x x f x e f e
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 20
Câu 43: Gọi
S
là tập hợp các số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
8
z z z z
và
0
ab
. Xét
1
z
và
2
z
thuộc
S
sao cho
1 2
1
z z
i
là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
4
z i z
bằng
A.
4.
B.
4 2.
C.
4 5.
D.
4 4 2.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết suy ra
4 4
a b a b
(do
0
ab
)
Đặt
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
, ; , , ,z a ib z a ib a b a b
.
Do
1 2
1
z z
i
là số thực dương nên
1 2 1 2
a a b b
và
1 1 2 2
a b a b
Do đó
2 1
1 1
2 1
4
4
a a
a b
b a
1
4
z x x i
,
2
4
z x xi
Vậy
2 2
2 2 2 2
1 2
4 8 4 4 8 4 5
z i z x x x x
Dấu “=” xảy ra khi
8
3
x
.
Câu 44: Gọi
S
là tập họp các giá trị nguyên của
y
sao cho ứng với mỗi
y
, tồn tại duy nhất một giá trị
3 9
;
2 2
x
thỏa mãn
3
3 2 2
2
log 6 9 log 6
x x x y x x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
7
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
2
3
3 2 2
2 3
log 6
3 2
log 6 9 log 6
2 6 9
x x
x x x y x x
y x x
Xét
2
3
log 6
3 2
3 9
2 6 9, ;
2 2
x x
f x x x x
2
3
log 6
2
2
' 3 .2 3 1
6 ln3
x x
f x x x
x x
.
Ta thấy
2
3
log 6
2
2 3 9
.2 3 1 0 ;
2 2
6 ln 3
x x
x x
x x
. Khi đó
' 0 3
f x x
Bảng biến thiên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 21
Yêu cầu bài toán
4
6,8 0,04
y
y
.
Do
y
nguyên
6; 5; 4; 3; 2; 1;4 .
y
Vậy số phần tử của
S
là
7
.
Câu 45: Trong không gian
,
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi
qua điểm
1;0; 2 ,
A
nhận
1; ;3
u a a
(với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
2
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
13 15
;
2 2
. B.
49
24;
2
. C.
1 3
;
2 2
. D.
31 33
;
2 2
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2; 1
I
, bán kính
2
R
Gọi
,
B C
là giao điểm giữa
d
và
S
, và
O
là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai
mặt tiếp diện.
Theo đề
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
S
tại hai điểm đó vuông góc
với nhau, nghĩa là tứ giác
OBIC
là hình vuông, từ đó suy ra
2 2
BC
Gọi
H
là trung điểm
BC
suy ra
2
2
BC
BH
Kẻ
IH BC
, ta có
2 2
2
IH IB BH
Từ đó ta có
; 2
d I d
Ta có
0; 2;1
AI ,
1; ;3
u a a
suy ra
; 6;1;2
AI u a
Từ đó
2
2 2
2
2
2
;
6 1 2
13 15
d ; 2 2 2 7 ;
2 2
1 3
AI u
a
I d a
u
a a
.
Câu 46: Trên tập số phức, xét phương trình
2
0
z az b
,a b
. Có bao nhiêu cặp số
,
a b
để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1 2
;
z z
thỏa mãn
1
1 2
z
và
2
2 3 3
z i
?
A.
4
. B.
3
. C.
6
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
2
0
z az b
2
4
.
Trường hợp 1:
0
, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó ta có
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1 2
3
1 2
1 2
1
2 3 3
2
2 9 3
z
z
z
z
z
z i
z
z
Nếu
1
2
3
2
z
z
, khi đó theo Viet ta có:
1 2
1 2
5
. 6
a z z
b z z
(nhận)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 22
Nếu
1
2
1
2
z
z
, khi đó theo Viet ta có:
1 2
1 2
1
. 2
a z z
b z z
(nhận)
Trường hợp
0
, phương trình có 2 nghiệm không thực. Khi đó ta có
2 1
z z
.
Gọi
1 2
,z x yi x y z x yi
.
Ta có
2
2
2
2
2 2
1 4
1 4
2 6 7
2 3 9
x y
x y
x y
x y
25 9 15
20
15 3 15
20
25 9 15
20
15 3 15
20
x
y
x
y

. Do đó ta có.
1
2
1
2
25 9 15 15 3 15
20 20
25 9 15 15 3 15
20 20
25 9 15 15 3 15
20 20
25 9 15 15 3 15
20 20
z i
z i
z i
z i

.
Nếu
1
2
25 9 15 15 3 15
20 20
25 9 15 15 3 15
20 20
z i
z i
, ta có
25 9 15
20
55 9 15
10
a
b
(nhận)
Nếu
1
2
25 9 15 15 3 15
20 20
25 9 15 15 3 15
20 20
z i
z i
, ta có
25 9 15
20
55 9 15
10
a
b
(Nhận)
Câu 47: Cho khối lăng trụ
ABC A B C
có
8AC
, diện tích của tam giác
A BC
bằng
9
và đường
thẳng
AC
tạo với mặt phẳng
A BC
một góc
60
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
12
. B.
18
. C. 18 3 . D. 12 3 .
Lời giải
Chọn C
Gọi
I
là hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
A BC
và
M
là giao điểm của
A C
và
AC
. Vì
8AC
nên
4AM
.
Ta có
, 60AC A BC AMI
.
Từ đó ta có:
360
3
sin 4 2
2
AI AM
.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 23
.
1 1
9 2 3 6 3
3 3
A A BC A BC
V AI S
.
Mặt khác
. .
3 3 6 3 18 3
ABC A B C A A BC
V V
.
Câu 48: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng 4. Xét hình nón
N
có đáy nằm trên mặt
phẳng
ABCD
và mặt xung quanh đi qua bốn điểm
, , ,A B C D
. Khi bán kính đáy của
N
bằng
3 2
, diện tích xung quanh của
N
bằng
A.
72
. B.
54
. C.
36 2
. D.
108
.
Lời giải
Chọn B
Gọi I là đỉnh của hình nón, O và
O
lần lượt là tâm của các hình vuông
ABCD
,
A B C D
.
Ta thấy
I OO
.
Gọi E là giao điểm của
IA
với
ABCD . Suy ra
A OE
.
N
có bán kính OE và đường cao IO.
Ta có
IOE IO A
2 2
8
4
3 2
IO O A IO O A IO
IO
IO OE IO OO OE IO
.
8 4 12IO
.
Do đó độ dài đường sinh của
N
bằng
2 2 2
12 18 9 2IE IO OE
.
Vậy diện tích xung quanh của
N
là
.9 2.3 2 54
xq
S
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, xét mặt cầu
( )S
có tâm
(3;5;12)I
và bán kính
R
thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
R
sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của
( )S
trong
mặt phẳng
( )Oyz
mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua
O
và góc giữa chúng không nhỏ hơn
60
?
A.
4
. B.
2
. C.
10
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 24
TH1: Mặt cầu
( )
S
tiếp xúc với mặt phẳng
( )
Oyz
tại 178O R OI
(loại)
TH2: Mặt cầu (S) cắt
( )
Oyz
theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính là
r
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
I
lên mặt phẳng
( )
Oyz
ta có
0;5;12H
2
169
OH
.
Ta có
2 2
9
r R
.
Mặt khác,
2
2
2 2 2 2
2 2
2
4 9
4 4
4 4
169 169 169
R
OA r OA r AB r
AB AK
OH OA
Từ đó suy ra:
2 2 2 2 2
2
2
2
2
2 187 2
cos 1
2 . 2 2 169
OA AB OA AB AB R
AOB
OA OB OA A
OB
O
Góc giữa hai đường thẳng
, 60 ;90
OA OB
2
2
1 187 2 1 169 169
60 120 187 2
2 169 2 2 2
R
AOB R
2
205 543
{8;9;10;11}
4 4
R R
.
Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu
S
phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng
Oyz
nên
3
R
.
Gọi
J
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
Oyz
ta có
0;5;12
J
và
3
IJ
và
13
OJ
.
Xét 2 tiếp tuyến đi qua
O
và tiếp xúc với
C
tại
,
K H
như hình vẽ.
Từ đề bài ta có
0 0
13 13 3
.sin 60 .sin 30
2 2
OJ r OJ r
, với
r JK JH
.
Mà
, 3
d I Oyz IJ
nên:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 25
2 2 2 2
169 507
, , ,
4 4
d I Oyz r d I Oyz d I Oyz
2 2
169 507 205 543
9 9
4 4 4 4
R R
205 543
4 4
R
, do
8;9;10;11
R R
.
Vậy, có
4
giá trị nguyên thỏa yêu cầu
Câu 50: Cho hàm số
4 2
18 4
f x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao cho ứng với
mỗi
m
, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3;2
của phương trình
2
2 3
f x x m
bằng
4
A.
24
. B.
23
. C.
26
. D.
25
.
Lời giải
Chọn A
4 2
18 4
f x x x
, TXĐ
D
.
3
4 36
f x x x
3
0
0 4 36 0
3
x
f x x x
x
Đặt
2
2 3
g x f x x
, TXĐ
D
.
2
2 2 2 3
g x x f x x
2
2 2 0
0
2 3 0
x
g x
f x x
2
2
2
1
1
2 3 0
0
2 3 3
2
2 3 3
x
x
x x
x
x x
x
x x
Ta có bảng biến thiên:
1 2 52
g f
2 3 77;
g f
0 3 77;
g f
3 6 652;
g f
2 11 12467
g f
Ta thấy hàm số
g x
nhận đường thẳng
1
x
làm trục đối xứng.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 26
Do đó tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3;2
của phương trình
2
2 3
f x x m
bằng
4
khi nó có bốn nghiệm phân biệt.
Yêu cầu bài toán tương đương với
77 52
m
.
Kết luận: Vậy có 24 giá trị
m
nguyên thỏa mãn đề bài.
---------- HẾT ----------
| 1/103
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Đề chính thức
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 101 Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề) Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x  8 là  3   3   3  A. ;   . B. ;    . C. ( ;  2) . D. 0;   .  2   2   2  Câu 2:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 4 1 4 3 1 2 1 2 3 A. 3 3    x dx x C . B. 3 3 d    x x x C . C. 3 3 d    x x x C . D. 3 3    x dx x C . 4 2 Câu 3:
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều? A. 729 . B. 20 . C. 120 . D. 216 . Câu 4:
Cho hàm số f (x)  cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 x A. 2 ( )d   sin    f x x x x C . B.
f (x)dx   sin x    C . 2 2 x C. 2 ( )d  sin    f x x x x C . D.
f (x)dx  sin x    C . 2 Câu 5:
Đạo hàm của hàm số y  log (x 1) là 2 x 1 1 1 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . ln 2 ln 2 (x 1) ln 2 x 1 Câu 6: Với ,
b c là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn log b  log c , khẳng định nào dưới đây là đúng? 5 5
A. b c .
B. b c .
C. b c .
D. b c . Câu 7:
Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương
trình f x  2 là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . 3x 1 Câu 8:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có phương trình là x  2 1 A. x  2 . B. x  2 . C. x  3 . D. x  . 2 Câu 9:
Nếu khối lăng trụ ABC. 
A BC có thể tích V thì khối chóp .
A ABC có thể tích bằng V 2V A. . B. V . C. . D. 3V . 3 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 4
F 2  6, F 4  12. Tích phân    f x dx bằng 2 A. 2 . B. 6 . C. 18 . D. 6 .
Câu 11: Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. 2  i . B. 1  2i . C. 1  2i . D. 2  i .
Câu 12: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;0 . B. 2;  . C. 0;  . D. 1; 2 .
Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao h  3 và bán kính đáy r  4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48 . B. 16 . C. 24 . D. 56 .
Câu 14: Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối nón đã cho bằng: 4 4 A. . B. . C. 4 . D. 4 . 3 3
Câu 15: Cho hai số phức z  2  i và z  1 3i . Phần thực của số phức z z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 4  . C. 1. D. 1  .
Câu 16: Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 4 . 1
Câu 17: Cho hàm số y   2 x  2 2 1
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x  2 bằng A. 3 . B. 7 . C. 3 . D. 7 . 1
Câu 18: Cho dãy số u với u  , *
n   . Giá trị của u bằng n n n 1 3 1 1 1 A. 4 . B. . C. . D. . 4 3 2
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của S  là 2 2 2 2 2 2 A. x   1
  y  2   z   1  4 . B. x   1
  y  2   z   1  2 . 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  2   z   1  2 . D. x   1
  y  2   z   1  4 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023    
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1; 2; 2
  và v  2; 2;3 . Tọa độ của vectơ u v là
A. 1; 4; 5 . B. 1; 4;5 . C. 3; 0;  1 . D. 3;0;   1 .
Câu 21: Cho số phức z  1 2i . Phần ảo của số phức z bằng A. 1  . B. 2 . C. 1. D. 2  1 3 3 Câu 22: Nếu
f xdx  2  và
f xdx  5  thì
f xdx  bằng 0 1 0 A. 10 . B. 3 . C. 7 . D. 3
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình log 2x  log 2 là 3   3 A. 0;   . B. 1;   . C. 1;   . D. 0;  1 .
Câu 24: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x  2 A. y  . B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  3x . D. 2
y  2x 1 x
Câu 25: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là. A. x  0 . B. z  0 .
C. x y z  0 . D. y  0 . Câu 26: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a, b, c, d   có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị
cực đại của hàm số đã cho bằng: A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 1  .
Câu 27: Trong không gia Oxyz phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1;   1 và có một véc tơ 
chỉ phương u  1; 2  ;3 là x 1 y  2 z  3 x  2 y 1 z 1 A.   . B.   . 2 1 1  1 2  3 x 1 y  2 z  3 x  2 y 1 z 1 C.   . D.   . 2 1 1  1 2  3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 3
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 28: Cho hàm số bậc bốn y f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 29: Với a , b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  1 và log b  2 , giá trị của 2 log ab bằng 2 a   a 3 1 5 A. 2. B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A5; 2;  1 và B 1;0; 
1 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2
A. x  3   y   1   z   1  5 .
B. x  3   y   1   z   1  20 . 2 2 2 2 2 2
C. x  3   y   1   z   1  5 .
D. x  3   y   1   z   1  20 .
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;  
1 và mặt phẳng  P : x  2 y z  0 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là x  1 tx  1 tx  1 tx  1 t    
A. y  2  2t .
B. y  2  2t .
C. y  2  2t .
D. y  2  2t . z  1     t z  1  t z  1  t z  1    tx  5
Câu 32: Biết đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x  2
x , x . Giá trị x x bằng 1 2 1 2 A. 1  . B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x  x x  4, x   . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f 4  f 0 .
B. f 0  f 2 .
C. f 5  f 6 .
D. f 4  f 2 .
Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có AB  1, BC  2 , AA'  2 (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD ' và DC ' bằng 6 2 5 6 A. 2 . B. . C. . D. . 2 5 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 35: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ bằng 72 15 128 71 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143
Câu 36: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6z 14  0 và M , N lần lượt là điểm biểu 1 2
diễn của z , z trên mặt phẳng toạ độ.Trung điểm của đoạn MN có toạ độ là 1 2 A. 3; 7 .
B. 3;0 . C. 3; 0 . D. 3;7 .
Câu 37: Đường gấp khúc ABC trong hình vẽ bên là đồ
thị của hàm số y f x trên đoạn 2;3 3 .Tích phân    f x dx bằng 2  9 A. 4 . B. . 2 7 C. . D. 3 . 2 3a
Câu 38: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a chiều cao bằng
.Góc giữa mặt phẳng SCD và 6
mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn điều kiện 7x  49 2
log x  7 log x  6  0 ? 3 3  A. 728 . B. 726 . C. 725 . D. 729 .
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và
đường thẳng d cắt  P tại hai điểm như trong
hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P 125
và d có diện tích S  . Tích phân 9 6 2  5  d  x f x x bằng 1 830 178 A. . B. . 9 9 340 925 C. . D. . 9 18
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 5 3 2
y  x  3x  3mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng 2;5 ? 3 A. 16 . B. 6 . C. 17 . D. 7 .
Câu 42: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0;  , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f x ln f x  x f x  f ' x, x  0;  . Biết f  
1  f 3 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 12;14. B. 4;6. C. 1;3. D. 6;8.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Gọi S là tập hợp các số phức z a bi a, b    thỏa mãn z z z z  6 và ab  0 . Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứr z  3i z 1 2 1   i 1 2 bằng A. 3 2 . B. 3. C. 3 5 . D. 3  3 2 .
Câu 44: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SC AC  ,
a SB tạo với
mặt phằng SAC  một góc 30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 8 12 24 2 2 2
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A 1; 0; 2 , nhận u  1; a;1 a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  1 3   3   15   1  A. ;   . B. ; 2   . C. 7;   . D. 0;   .  2 2   2   2   4 
Câu 46: Trên tập số phức, xét phưong trình 2
z az b  0 a, b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z  2  2 và z  1 4i  4 ? 1 2 1 2 A. 2. B. 3. C. 6. D. 4.
Câu 47: Gọi S là tập họp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  3 9  x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  6x  9x y  log
x  6x  5 . Số phần tử của S là 3   2   2 2    A. 7. B. 1. C. 8. D. 3.
Câu 48: Xét khối nón    có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi
   có độ dài đường sinh bằng 2 3 , thể tích của nó bằng A. 2 3 . B. 3 . C. 6 3 . D.  .
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S  có tâm I 4;8;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của S  trong
mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 6. B. 2. C. 10. D. 5.
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x  32x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3; 2 của phương trình f  2
x  2x  3  m bằng 4  ? A. 145. B. 142. C. 144. D. 143.
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 6
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1.A 2. B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A 10.B
11.D 12.B 13.C 14.D 15.C 16.C 17.B 18.B 19.A 20.C
21.B 22.C 23.B 24.B 25.D 26.C 27.B 28.D 29.D 30.C
31.D 32.C 33.B 34.D 35.C 36.C 37.D 38.D 39.B 40.C
41.D 42.B 43.C 44.C 45.B 46.D 47.C 48.B 49.D 50.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x  8 là  3   3   3  A. ;   . B. ;    . C. ( ;  2) . D. 0;   .  2   2   2  Lời giải Chọn A x x 3 Ta có 2 2 3 2  8  2
 2  2x  3  x  . 2 Câu 2:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 4 1 4 3 1 2 1 2 3 A. 3 3
x dx x C  . B. 3 3 x dx x C  . C. 3 3
x dx x C  . D. 3 3 x dx x C  . 4 2 Lời giải Chọn B 1 1 4 1 1  3 Ta có 3 3 3 x dx xC x C  với C   . 1 4 1 3 Câu 3:
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều? A. 729 . B. 20 . C. 120 . D. 216 . Lời giải Chọn B
Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các
đỉnh của một lục giác đều là 3 C  20 tam giác. 6 Câu 4:
Cho hàm số f (x)  cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 x A. 2
f (x)dx   sin x x C  . B.
f (x)dx   sin x   C  . 2 2 x C. 2
f (x)dx  sin x x C  . D.
f (x)dx  sin x   C  . 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có
f (x)dx  cos x x 2 dx  sin x x C   với C   . 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 7
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 5:
Đạo hàm của hàm số y  log (x 1) là 2 x 1 1 1 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . ln 2 ln 2 (x 1) ln 2 x 1 Lời giải Chọn C x  1   1
Ta có y  log (x 1)  y   . 2  x   1 ln 2  x   1 ln 2 Câu 6: Với ,
b c là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn log b  log c , khẳng định nào dưới đây là đúng? 5 5
A. b c .
B. b c .
C. b c .
D. b c . Lời giải Chọn A
Ta có: log b  log c b c . 5 5 Câu 7:
Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số nghiệm thực của phương trình f x  2 là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị.
Do số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y  2 là 3 nên số nghiệm thực
của phương trình f x  2 là 3. 3x 1 Câu 8:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có phương trình là x  2 1 A. x  2 . B. x  2 . C. x  3 . D. x  . 2 Lời giải Chọn A
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 8
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3x 1 3x 1 3x 1 Ta có lim   và lim
  nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có x 2  x  2 x 2  x  2 x  2
phương trình là x  2 . Câu 9:
Nếu khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có thể tích V thì khối chóp .
A ABC có thể tích bằng V 2V A. . B. V . C. . D. 3V . 3 3 Lời giải Chọn A
Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' . Khi đó V  . h S . ABC 1 1 Ta có V  . h SV . A'. ABC 3 ABC 3
Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 4
F 2  6, F 4  12. Tích phân f xdx  bằng 2 A. 2 . B. 6 . C. 18 . D. 6 . Lời giải Chọn B 4
f xdx F 4  F 2  12  6  6  . 2
Câu 11: Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. 2  i . B. 1  2i . C. 1  2i . D. 2  i . Lời giải Chọn D Điểm M 2; 
1 biểu diễn số 2  i .
Câu 12: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;0 . B. 2;  . C. 0;  . D. 1; 2 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 9
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;  .
Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao h  3 và bán kính đáy r  4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48 . B. 16 . C. 24 . D. 56 . Lời giải Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng S  2 hr  2. .3.4  24 .
Câu 14: Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối nón đã cho bằng: 4 4 A. . B. . C. 4 . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn D 3V 3.12
Chiều cao của khối nón đã cho bằng: h    4 . S 9
Câu 15: Cho hai số phức z  2  i và z  1 3i . Phần thực của số phức z z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 1  . Lời giải Chọn C
z z  2  i  1  3i  1  4i . 1 2  
Phần thực của số phức z z bằng 1 . 1 2
Câu 16: Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 12. Lời giải Chọn C 1 1 Ta có V  . . h S  .4.3  4 . S . ABCD 3 ABCD 3 1
Câu 17: Cho hàm số y   2 x  2 2 1
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x  2 bằng A. 3 . B. 7 . C. 3 . D. 7 . Lời giải Chọn B 1
Giá trị của hàm số y f x   2 x  2 2
1 tại điểm x  2 là: 1 1 f 2   2 2.2  2 2 1  7  7 . 1
Câu 18: Cho dãy số u với u  , * n
   . Giá trị của u bằng n n n 1 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 10
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1 1 1 A. 4 . B. . C. . D. . 4 3 2 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có u   . 3 3 1 4
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của S  là 2 2 2 2 2 2 A. x   1
  y  2   z   1  4 . B. x   1
  y  2   z   1  2 . 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  2   z   1  2 . D. x   1
  y  2   z   1  4 . Lời giải Chọn A
Phương trình mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 và bán kính R  2 là
x  2   y  2   z  2 
  x  2   y  2   z  2 2 1 2 1 2 1 2 1  4 .    
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u  1; 2; 2
  và v  2; 2;3 . Tọa độ của vecto u v là
A. 1; 4; 5 . B. 1; 4;5 . C. 3; 0;  1 . D. 3;0;   1 . Lời giải Chọn C  
Ta có u v  1 2; 2   2  ; 2   3  3;0  ;1 .
Câu 21: Cho số phức z  1 2i . Phần ảo của số phức z bằng A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2  Lời giải Chọn B
Ta có z  1 2i nên phần ảo của số phức z là 2 . 1 3 3 Câu 22: Nếu
f xdx  2  và
f xdx  5  thì
f xdx  bằng 0 1 0 A. 10 . B. 3 . C. 7 . D. 3 Lời giải Chọn C 3 1 3 Ta có:
f xdx f xdx f xdx  2  5  7    . 0 0 1
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình log 2x  log 2 là 3   3 A. 0;   . B. 1;   . C. 1;   . D. 0 ;  1 . Lời giải Chọn B
Điều kiện : x  0 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Ta có: log
2x  log 2  2x  2  x  1 . 3   3
Câu 24: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x  2 A. y  . B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2
y x  3x . D. 2
y  2x 1 x Lời giải Chọn B Ta có : 3
y  x  3x 1 có 2
y  3x  3  0  x  1 . Vậy x  1 là các điểm cực trị của hàm số.
Câu 25: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là. A. x  0 . B. z  0 .
C. x y z  0 . D. y  0 . Lời giải Chọn D
Mặt phẳng Oxz có phương trình là: y  0 . Câu 26: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a, b, c, d   có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị
cực đại của hàm số đã cho bằng: A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn C
Giá trị cực đại của hàm số là 3 .
Câu 27: Trong không gia Oxyz phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1;   1 và có một véc tơ 
chỉ phương u  1; 2  ;3 là x 1 y  2 z  3 x  2 y  1 z  1 A.   . B.   . 2 1 1 1 2 3 x  1 y  2 z  3 x  2 y 1 z 1 C.   . D.   . 2 1 1 1 2  3 Lời giải Chọn B
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 12
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1;  
1 và có một véc tơ chỉ phương u  1; 2  ;3 là x  2 y 1 z 1 là:   . 1 2  3
Câu 28: Cho hàm số bậc bốn y f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2.
Câu 29: Với a , b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  1 và log b  2 , giá trị của 2 log ab bằng 2 a   a 3 1 5 A. 2. B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 5 Ta có 2 2 log ab
 log a  log b  log a  log b   2  . 2   2 2 2 a a a a a 2 2
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (
A 5; 2;1) và B(1; 0;1) . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2
A. x  3   y   1   z   1  5 .
B. x  3   y   1   z   1  20 . 2 2 2 2 2 2
C. x  3   y   1   z   1  5 .
D. x  3   y   1   z   1  20 . Lời giải Chọn C
Do AB là đường kính của mặt cầu nên trung điểm I 3;1; 
1 của AB là tâm mặt cầu, bán kính AB
  2    2    2 5 1 2 0 1 1
của mặt cầu là: R    5 . 2 2 2 2 2
Ta có phương trình mặt cầu: C  :  x  3   y   1   z   1
 5 . Chọn đáp án C.
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm ( A 1; 2; 1
 ) và mặt phẳng (P) : x  2 y z  0 . Đường thẳng đi
qua A và vuông góc với (P) có phương trình là
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 13
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 x  1 tx  1 tx  1 tx  1 t    
A. y  2  2t .
B. y  2  2t .
C. y  2  2t .
D. y  2  2t .
z  1 t     z  1 tz  1 tz  1   tLời giải Chọn D
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) : x  2 y z  0 nên nhận vector pháp tuyến n 1;2 
;1 của  P là vector chỉ phương. x  1 t
Mặt khác đường thẳng đi qua A 1; 2;  
1 nên ta có phương trình  y  2  2t t   . z  1   t  x  5
Câu 32: Biết đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x  2
x , x . Giá trị x x bằng 1 2 1 2 A. 1. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm là:   x  2 x 5  x  2 x  2 x 1        x  2  x    1  x  2 2 2  x  5  0
x  3x  2  x  5  0
x  2x  3  0     x  3   . x  1  
Suy ra x x  1 3  2 . 1 2
Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x  x x  4, x   . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f 4  f 0 .
B. f 0  f 2 .
C. f 5  f 6 .
D. f 4  f 2 . Lời giải Chọn B x  0
f ' x  x x  4 nên f ' x  0   . x  4  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được f 0  f 2 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 14
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có AB  1, BC  2 , AA'  2 (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD ' và DC ' bằng 6 2 5 6 A. 2 . B. . C. . D. . 2 5 3 Lời giải Chọn D
Ta có AD '   AD ' B ' , DC '   DC ' B và  AD ' B ' //  DC ' B nên khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD ' và DC ' bằng khoảng cách giữa  AD ' B ' và  DC ' B .
d  AD ' B '; DC ' B  d  ;
A DC ' B   d C; DC ' B  h
Xét tứ diện C.BC ' D có các cạnh C ,
D CB,CC ' đôi một vuông góc nên ta có 1 1 1 1 1 1 1 3 6         h  . 2 2 2 2 2 2 2 h CB CD CC ' 2 1 2 2 3
Câu 35: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ bằng 72 15 128 71 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 Lời giải Chọn C
Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 5  8  13 học sinh là 4 C . 13 Khi đó n  4  C . 13
Gọi A là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 15
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Khi nó n A 1 3 2 2 3 1
C C C C C C  640 5 8 5 8 5 8 n A 1 3 2 2 3 1
C C C C C C 128 Nên P A 5 8 5 8 5 8    . n  4 C 143 13
Câu 36: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6z 14  0 và M , N lần lượt là điểm biểu 1 2
diễn của z , z trên mặt phẳng toạ độ.Trung điểm của đoạn MN có toạ độ là 1 2 A. 3;7 . B.  3  ;0 . C. 3;0 . D.  3  ;7 . Lời giải Chọn C Phương trình 2
z  6z 14  0 Có 2  '  9 14  5   5i Suy ra 2
 '  5i i 3
Phương trình có 2 nghiệm là z  3  i 3; z  3  i 3 1 2
Tọa độ M 3; 3; N 3; 3
Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là 3; 0 .
Câu 37: Đường gấp khúc ABC trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 2;3 . 3 Tích phân
f xdx  bằng 2 9 7 A. 4 . B. . C. . D. 3 . 2 2 Lời giải Chọn D Ta có 3
f xdx SSS ABGH BGD CDE  2  3 1 1
f xdx  3.1 .1.1 .1.1  3  . 2 2 2 
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 16
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3a
Câu 38: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a chiều cao bằng
.Góc giữa mặt phẳng SCD và 6
mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Chọn D
Gọi O là tâm mặt đáy, H là trung điểm cạnh CD
Suy ra SOH   CD SHO  SCD, ABCD 3a 3a a SO 3 SO OH   SHO 6 ; tan    Suy ra  SHO  30 6 2 OH a 3 2
Vậy góc giữa mặt phẳng SCD và  ABCD là 30 .
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn điều kiện 7x  49 2
log x  7 log x  6  0 ? 3 3  A. 728 . B. 726 . C. 725 . D. 729 . Lời giải Chọn B
Điều kiện: x  0  7x  49  0  2
log x  7 log x  6  0  
7x  49log x  7 log x  6 3 3 2  0  3 3  7x  49  0  2
 log x  7 log x  6  0  3 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 17
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  7x  49  x  2   6 1  log x  6 3  x  3  3    7x  49     x  2       log x 1 0  x  3 3    6 log x  6 x  3   3   0  x  2   6 3  x  3 
Mà x    x 1; 4;5;...;72  8
Vậy có 726 số thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt  P tại hai điểm như trong 125
hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . Tích phân 9 6
2x  5 f  xdx  bằng 1 830 178 340 925 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 18 Lời giải Chọn C 8  3 6 .5 55 55 125 245 Ta có S   
f xdx     . hthang 2 2 2 9 18 1
u  2x  5  du  2dx Đặt 
dv f  xdx v f x  6 6 245
2x  5 f  xdx  2x  5 f x 6  2 f xdx  7. f 6  3. f   1  2.   1 18 1 1
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 18
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 245 340  7.8  3.3  2.  . 18 9
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 5 3 2
y  x  3x  3mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng 2;5 ? 3 A. 16 . B. 6 . C. 17 . D. 7 . Lời giải Chọn D 2
y  3x  6x  3m 5 hàm số 3 2
y  x  3x  3mx
có đúng một cực trị thuộc khoảng 2;5 khi và chỉ khi 3
y  0 có một nghiệm thuộc khoảng   2
2;5  x  2x m  0 có một nghiệm thuộc khoảng 2;5 2
x  2x  m g x 2
x  2x g x  2x  2
g x  0  2x  2  0  x  1
Để hàm số có 1 cực trị  8  m  15  15  m  8  m 14; 13; 12; 11; 10; 9;   8
Câu 42: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0;  , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f x ln f x  x f x  f  x, x  0;  . Biết f  
1  f 3 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 12;14. B. 4;6. C. 1;3. D. 6;8. Lời giải Chọn B Ta có 
f  x  f x   
ln f x  x f x  f  x  ln f x  x 1
  ln f x  x 1 
ln f x f x         x 
ln f x  x ln f x  x   x ln f x  x .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 19
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1
Từ đó x ln f x 2  xdx x C  . 2 1
Cho x  1 ta được ln f   1   C 2 9
Cho x  3 ta được 3ln f 3   C 2 3 1 3 x
Theo bài ra thì f  
1  f 3 , từ đó suy ra C  nên   2 2 x f x e . 2 7
Cho x  2 ta được f   4 2  e  5, 75
Câu 43: Gọi S là tập hợp các số phức z a bi a, b    thỏa mãn z z z z  6 và ab  0 . Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  3i z 1 2 1   i 1 2 bằng A. 3 2. B. 3. C. 3 5. D. 3  3 2. Lời giải Chọn C Cách 1
Từ giả thiết suy ra a b  3  a b  3 (do ab  0 ) z z Do 1
2 là số thực dương nên a a   b b  0 suy ra a a và a b a b (1) 1 2  1 2  1   i 1 2 1 1 2 2
Nếu a b a b thì z z (loại); 1 1 2 2 1 2
Vậy a b   a b (2) 1 1  2 2 
Từ (1) và (2) suy ra a b , a b a a b 1 2 2 1 1 2 1
Do đó a b  3  b a  3  x  3 1 1 1 1
z x x  3 i , z x  3  xi 1   2 2 2 Vậy 2
z  3i z
x   x  6   x  3 2 2 2
x  3  6  3 5 1 2
Dấu “=” xảy ra khi x  2  . Cách 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 20
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Từ giả thiết suy ra a b  3  a b  3 (do ab  0 )
Trên mặt phẳng Oab, vẽ 2 đoạn thẳng
[AB]: a b  3 0  a  3 với A3;0, B 0; 3
[A’B’]: a b  3 3  a  0 với A'3; 0, B '0;3
Gọi M a;b biểu diễn cho số phức z , N a ';b ' biểu diễn cho số phức z . Thế thì M , N 1 2
chạy trên [AB] hoặc [A’B’]. z z 1 Ta có 1 2 
b b '  a a '  a a 'i  b b 'i 1 i 2     a a ' z z   b b ' 
  a a '  0  Do 1
2 là số thực dương nên   b   b ' 1   ib b' 
  a a '  0 
a b a ' b' 
Khi đó M   A' B ', N  AB .
Vậy M a; a  3 , N a '; a ' 3
Ta có a b a ' b '  a a  3  a ' a ' 3  a '  a  3 nên N a  3; a Do vậy
z  3i z a  a  62  a  32  a  a2  a  62  a  32  a2 2 2 1 2 2 2  3  6  3 5 a  6 a Dấu “=” xảy ra khi   0  a  2 . a a  3
Câu 44: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SC AC  ,
a SB tạo với
mặt phẳng SAC  một góc 30 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 21
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3 a 3 a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 8 12 24 Lời giải Chọn C
Vẽ BH  SAC  tại H suy ra SB SAC   SB BH   ; ;  BSH  30 Từ đó ta có V  2V  2V S . ABCD S . ABC B.SACBH BH a Xét S
HB vuông tại H ta có sin BSH   sin 30   BH SB a 2 2 3 1 1 a a 3 a 3 Ta có VBH .S  . .  B.SAC 3 SAC 3 2 4 24 3 3 a 3 a 3 Vậy V  2V  2.  . S . ABCD B.SAC 24 12 2 2 2
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A 1; 0; 2, nhận u  1; ;
a 1 a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  1 3   3   15   1  A. ;   . B. ; 2   . C. 7;   . D. 0;   .  2 2   2   2   4  Lời giải Chọn B
Mặt cầu S  có tâm I 1; 2;   1 , bán kính R  2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 22
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Gọi B, C là giao điểm giữa d và S  , và O là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề d cắt S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc
với nhau, nghĩa là tứ giác OBIC là hình vuông, từ đó suy ra BC  2 2 BC
Gọi H là trung điểm BC suy ra BH   2 2
Kẻ IH BC , ta có 2 2 IH IB BH  2
Từ đó ta có d I; d   2    
Ta có AI  0; 2;  1 , u  1; ;
a 1 a suy ra  AI;u  a  2;1; 2      AI;u   a  22 2 2 1  2 5  3 
Từ đó d  I; d  2  2    2   2  a   ; 2   . u aa2 2 3  2 1 1    
Câu 46: Trên tập số phức, xét phưong trình 2
z az b  0 a, b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z  2  2 và z  1 4i  4 ? 1 2 1 2 A. 2. B. 3. C. 6. D. 4. Lời giải Chọn D Ta có 2
  a  4b
TH1.   0  z , z   1 2 z  2  2  z  4 1 1 z  2  2   1   z  2  2  z  0  1  1
z 1 4i  4   z  2
1 16  16  z 1  0  z  1. 2 2 2 2
z z  aa  3  tm
Với z  4, z  1 có 1 2   1 2  z z   b b  4 tm 1 2    
z z  aa  1  tm
Với z  0, z  1  có 1 2   1 2  z z   b b  0 tm 1 2    
Vậy TH1 có 2 cặp số a;b thỏa mãn.
z x yi TH2. 1   0  
z x yi  2  z  2  2
x yi  2  2  1  Vì   
z 1 4i  4
x yi 1 4i  4   2  
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 23
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023   x  2  2 2 2 2  y  4
x y  4x  0    1       x  2 1   y  42 2 2  16
x y  2x  8 y 1  0  2   6  x 1
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: 6x  8y 1  0  y  8 2  6x 1 2   x   4x  0    8  2
 100x  244x 1  0  61 4 231  41  6  24 231 x y   1  1  50  400      61 4 231  4  16  24 231 x y  2 2  50    400
Vậy TH2 có 2 cặp số a;b thỏa mãn.
Vậy có 4 cặp số a;b thỏa mãn.
Câu 47: Gọi S là tập họp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  3 9  x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  6x  9x y  log
x  6x  5 . Số phần tử của S là 3   2   2 2    A. 7. B. 1. C. 8. D. 3. Lời giải Chọn C Xét hàm số
f x  log  3 2
x  6x  9x y   log  2
x  6x  5 3 2  2 3x 12x  9 2x  6
f ' x    3 2
x  6x  9x yln 3  2
x  6x  5ln 2  3x 3 2  
f ' x   x  3      3 2
x  6x  9x y ln 3  2
x  6x  5ln 2     3 9  Xét trên tập x  ;  thì ta dễ thấy 2 2   
f ' x  0 với x  3
f ' x  0 với x  3
Nếu x  3 thỏa mãn điều kiện.  3   27  7  9   81  7
Ta có f 3  log y  2; f  log  y  log ; f  log  y  log 3   3   2   3   2  2   8  4  2   8  4
TH1. f 3  0  y  9  Phương trình f x  0 vô nghiệm.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 24
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
TH2. f 3  0  y  9  Phương trình có nghiệm duy nhất x  3.
TH3. f 3  0 hoặc x  3 không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có   3    27  7 f  0 log  y  log     3   2   2    8  4 nghiệm duy nhất    
 7, 7  y  0,9  9   81  7  f 0   log  y  log   3   2  2       8  4
Do y nguyên  y 7; 6; 5; 4; 3; 2;   1 .
Vậy số phần tử của S là 8.
Câu 48: Xét khối nón    có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi
   có độ dài đường sinh bằng 2 3 , thể tích của nó bằng A. 2 3 . B. 3 . C. 6 3 . D.  . Lời giải Chọn B
Gọi H là tâm đường tròn đáy của  N  , đỉnh S
TH1: I thuộc đoạn SH . Đặt IH x, 0  x  2 , suy ra 2 2 2 AH IA IH  4  x Ta có 2 2 2
SA SH HA 2 Suy ra    x 2 12 2
 4  x x  1t.m 1 1 Suy ra 2
SH  3, AH  3  V   R h  .3.3  3 3 3
TH2: H thuộc đoạn SI . Đặt IH x, 0  x  2 , suy ra 2 2 2 AH IA IH  4  x Ta có 2 2 2
SA SH HA
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 25
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 2 Suy ra      x 2 2 3 2
 4  x x  1  (loại)
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S  có tâm I 4;8;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của S  trong
mặt phẳng Oyz  mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 6 . B. 2 . C. 10 . D. 5 . Lời giải Chọn D  
Giả sử 2 tiếp tuyến O ,
A OB , theo giả thiết suy ra O ,
A OB  60 . Suy ra 
30  AOH  60
Gọi H là hình chiếu của I trên Oyz  , suy ra H 0;8;12 , suy ra OH  4 13
Xét tam giác OAH có: 
HA OH sin AOH  4 13 sin 30  2 13
Ta có 2 13  HA  2 39 2  52  AH  156 2 2
 52 16  AH IH  156  16 2 2
 68  IA  172  68  R  172 hay 8, 24  R  13,11.
Do R là số nguyên  R 9;10;...;  13 .
Vậy có tất cả 5 giá trị của R .
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x  32x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3; 2 của phương trình f  2
x  2x  3  m bằng 4  ? A. 145. B. 142. C. 144. D. 143. Lời giải Chọn D Phương trình 2
x  2x  3  a a    có hai nghiệm x , x thì ta có: x x  2 1 2 1 2 Phương trình f  2
x  2x  3  m   1 có tổng nghiệm bằng 4 
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 26
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  phương trình  
1 có nghiệm xảy ra ở trường hợp: 4 nghiệm phân biệt x , x , x , x 2 1 2 3 4  
( do khi đó:  x x x x  2  2  4 ) 1 2   3 4    Đặt 2
x  2x  3  t
Điều kiện 2  Tìm m để phương trình f t   m có 2 nghiệm 2  t  6 (2) Xét f t  4 2
t  32t  4 t  0
f t  3
 4t  64t f t   0  t  4 
Yêu cầu bài toán  252  m  108 143 số.
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 101 Page 27
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Đề chính thức
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 102 Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề) Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M 2; 2 là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. 2  2i . B. 2  2i . C. 2i . D. 2  2i . Câu 2:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 x A. 5 4
x dx  5x C  . B. 5 6
x dx x C  . C. 5 6 x dx x C  . D. 5 x dx   C  . 6 ln 5 4 4 Câu 3: Nếu
f x dx  6 
thì 2 f xdx  bằng 1 1 A. 3 . B. 4 . C. 12 . D. 8 . Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình log 3x  log 5 2   2  5   5   3   3  A. ;    . B. 0;   . C. ;    . D. 0;   .  3   3   5   5  Câu 5:
Với a là số thực dương tùy ý, log 7a là: 7   A. 1 log a . B. 1 log a . C. 1  a . D. a . 7 7 Câu 6:
Cho khối chóp có diện tích đáy 2
B  9a và chiều cao h  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: A. 3 3a . B. 3 6a . C. 3 18a . D. 3 24a . Câu 7:
Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 3 F  
1  3, F 3  6. Tích phân f xdx  bằng 1 A. 9 . B. 3  . C. 3 . D. 2 . Câu 8:
Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích V và chiều cao h bằng. V 3V V A. . B. . C. .
D. V .h . h h 3h Câu 9:
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 3 '  x , x
  . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;   . B.   ;1 . C. 0;  . D.  ;  0 .
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y  log x 1 là 3   1 1 1 x  1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . ln 3  x   1 ln 3 x 1 ln 3
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp 1, 2,3, 4,5,  6 ? A. 18 . B. 216 . C. 20 . D. 120 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 12: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d , a,b, c, d   có đồ thị là
đường cong như hình bên.
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  1 . B. x  2  . C. x  1  . D. x  2 .
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  8 là A.  3  ;  . B. 3;  . C. 3;  . D.  3  ;  . y
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên? A. 3 2
y  x  3x 1. B. 4 2
y x  2x 1. x C. 3 2
y x  3x . D. 4 2
y  x  2x . O
Câu 15: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A. x  1 . B. x  3 . C. x  3 . D. x  1 . 5 1
Câu 16: Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức 3 3 a .a bằng 5 4 A. 5 a . B. 9 a . C. 3 a . D. 2 a .
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng A. 2a . B. 2a . C. 10a . D. 4a .
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao 3a . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 2 8 a  . B. 2 7 a  . C. 2 6 a  . D. 2 14 a  .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3; 
1 trên trục Ox có toạ độ là A. 0; 0;  1 . B. 2; 0; 0 . C. 0;3;  1 . D. 0;3;0 . x y z
Câu 20: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P :  
 1 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là 3 5 2 A. 0;5; 0 . B. 0;3;0 . C. 0; 1; 0 . D. 0; 2; 0 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. i  . B. 2 . C. 1  i . D. 1  i .
Câu 22: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số 2
y x  2x và trục hoành là A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  
1 và có bán kính R  2 . Phương trình của  S  là 2 2 A. x   2 1
y   z   1  2 .
B. x  2  y   z  2 2 1 1  2 . 2 2 2 2 C. x   2 1
y   z   1  2 . D. x   2 1
y   z   1  2 .
Câu 24: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (
x)  (x  2)(x 1) , x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1.
Câu 25: Cho số phức z  2  3i và z i . Số phức z z bằng 1 2 1 2 A. 3   2i . B. 2  4i . C. 2  3i . D. 3  2i .
Câu 26: Cho hàm số f x  1 2 cos 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.
f x dx x  2sin 2x C  . B.
f x dx x  sin 2x C  . C.
f x dx x  sin 2x C  . D.
f x dx x  2sin 2x C  .
Câu 27: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một 
vectơ chỉ phương u  4;3;  2 là x  4 y  3 z  2 x  3 y 1 z  2 A.   . B.   . 3 1 2 4 3 2 x  3 y 1 z  2 x  4 y  3 z  2 C.   . D.   . 4 3 2  3  1  2
Câu 28: Cho cấp số nhân  u
với u  2 và u  8 . Công bội của cấp số nhân bằng n  1 2 1 A. 4 . B. 6  . C. . D. 6 . 4
Câu 29: Đường gấp khúc ABC trong hình
bên dưới là đồ thị của hàm số
y f x  trên đoạn  1  ; 4  . 4 Tích phân
f x dx  bằng 1 7 9 A. . B. . 2 2 C. 3 . D. 4 . Câu 30: Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;  . B.  ;    1 . C.  1  ; 0 . D.  ;   1 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 3
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 31: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điển A1;1; 
1 và mặt phẳng  P : 2x  3y z  5  0 . Đưởng
thẳng đi qua A và vuông góc với  P  có phương trình là x  2  t
x  1  2t
x  1  2tx  1 2t    
A. y  3  t .
B. y  1  3t .
C. y  1  3t .
D. y  1 3t . z  1 t     z  1  tz  1  tz  1  t
Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , phương trình 2 f x  m
có 4 nghiệm thực phân biệt? A. 4 . B. 16 . C. 17 . D. 8 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2;3 và B  1
 ;0;5 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là? 2 2 2 2 A. 2
x   y  
1   z  4  3 . B. 2
x   y   1
  z  4  12 . 2 2 2 2 C. 2
x   y  
1   z  4  3 . D. 2
x   y  
1   z  4  12 .
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật AB .
CD A' B 'C ' D ' có
AB  1, BC  2; AA'  3 (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường AB ' và BC ' bằng? 6 6 13 A. . B. . 7 13 7 3 10 C. . D. . 6 10
Câu 36: Tập xác định của hàm số f x  log  2 30  x
chứa bao nhiêu số nguyên? 5  A. 11. B. 5 . C. 6 . D. 10 .
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z  2z  1  6i . Môđun z bằng A. 5 . B. 3 . C. 5 . D. 3 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 38: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 là 4 1 7 8 A. . B. . C. . D. . 81 9 81 81
Câu 39: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt
P tại hai điểm như trong hình bên dưới. 32
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . 3 5
Tích phân 2x  5 f ' xdx  bằng: 1 104 76 A. . B. . 3 3 22 188 C. . D. . 3 3
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 2 3 2 y
x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 0;6 ? 3 3 A. 24 . B. 25 . C. 26 . D. 23 .
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị số nguyên x thỏa mãn 3x  27 2
log x  7 log x 10  0 3 3  A. 242 . B. 235 . C. 233 . D. 238 . 2 2 2
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A1;0; 2 nhận u  1; ;
a 4  a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  17   51   23   3  A. 8;   . B. 25;   . C. ;12   . D. ; 2   .  2   2   2   2 
Câu 43: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng 2 . Xét hình nón  N  có đáy nằm trên mặt
phẳng  ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A ; B ;C ; D . Khi bán kính đáy của  N
bằng 2 2 , diện tích xung quanh của  N  bằng A. 8 2 . B. 8 3 . C. 8 6 . D. 4 2 .
Câu 44: Gọi S là tập hợp các số phức z a bia,b   thỏa mãn z z z z  4 và ab  0. Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z  2i 1 2 1 i 1 2 bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 2 5 . D. 2  2 2 .
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z 1  2 và z  3  2i  4 ? 1 2 1 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 5 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 46: Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có AC  8 , diện tích của tam giác ABC bằng 9 và đường thẳng
AC tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 30 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 6 . B. 18 . C. 6 3 . D. 18 3 .
Câu 47: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  5 11 x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  9x  24x y  log
x  8x  7 . Số phần tử của S bằng 2   3   2 2    A. 8 . B. 7 . C. 3 . D. 1.
Câu 48: Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương trên khoảng (0; ) , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f (x) ln f (x)  x f (x)  f (  x), x
  (0; ) . Biết f (1)  f (4) , giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? A. 1;3 . B. 8;10 . C. 6;8 . D. 13;15 .
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S  có tâm I 3;7;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của S  trong
mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 11. B. 7 . C. 5 . D. 3 .
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x 18x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  4   ;1 của phương trình f  2
x  4x  5  m bằng 8 ? A. 63 . B. 65 . C. 62 . D. 64 .
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 6
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1. A 2. C 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 11. D 12. A 13. B 14. D 15. D 16. D 17. B 18. C 19. B 20. A 21. A 22. B 23. C 24. A 25. A 26. B 27. C 28. A 29. C 30. B 31. C 32. B 33. C 34. A 35. A 36. A 37. C 38. C 39. B 40. A 41. B 42. C 43. B 44. C 45. C 46. B 47. B 48. C 49. C 50. A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M 2; 2 là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. 2  2i . B. 2  2i . C. 2i . D. 2  2i . Lời giải Chọn A
Điểm M 2; 2 là điểm biễu diễn của số phức 2  2i trên mặt phẳng tọa độ. Câu 2:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 x A. 5 4
x dx  5x C  . B. 5 6
x dx x C  . C. 5 6 x dx x C  . D. 5 x dx   C  . 6 ln 5 Lời giải Chọn C 1 Ta có 5 6 x dx x C
, với C là hằng số. 6 4 4 Câu 3: Nếu
f x dx  6 
thì 2 f xdx  bằng 1 1 A. 3 . B. 4 . C. 12 . D. 8 . Lời giải Chọn C 4 4
Ta có 2 f x dx  2  f x dx  2  6  12   . 1 1 Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình log 3x  log 5 2   2  5   5   3   3  A. ;    . B. 0;   . C. ;    . D. 0;   .  3   3   5   5  Lời giải Chọn A x  0 x  0  5
Ta có: log 3x  log 5      x  . 2   2 5 3x  5 x  3    3 Câu 5:
Với a là số thực dương tùy ý, log 7a là: 7   A. 1 log a . B. 1 log a . C. 1  a . D. a . 7 7 Lời giải Chọn B Ta có: log
7a  1 log a 7   7
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 7
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 6:
Cho khối chóp có diện tích đáy 2
B  9a và chiều cao h  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: A. 3 3a . B. 3 6a . C. 3 18a . D. 3 24a . Lời giải Chọn B 1 1
Ta có: Thể tích khối chóp là: 2 3 V  . B h
.9a .2a  6a . 3 3 Câu 7:
Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 3 F  
1  3, F 3  6. Tích phân f xdx  bằng 1 A. 9 . B. 3  . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn C 3
f xdx F   3  F   1  6  3  3  . 1 Câu 8:
Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích V và chiều cao h bằng. V 3V V A. . B. . C. .
D. V .h . h h 3h Lời giải Chọn A V
Thể tích của khối lăng trụ V  . B h B
với B là diện tích đáy. h Câu 9:
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 3 '  x , x
  . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;   . B.   ;1 . C. 0;  . D.  ;  0 . Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho nghịch biến 3
x  0  x  0 .
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y  log x 1 là 3   1 1 1 x  1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . ln 3  x   1 ln 3 x 1 ln 3 Lời giải Chọn B u
Áp dụng công thức log u   . Ta có au ln ax  1   1 y   .  x   1 ln 3  x   1 ln 3
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp 1, 2,3, 4,5,  6 ? A. 18 . B. 216 . C. 20 . D. 120 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 8
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn D
Số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy có 3 A  120 số. 6 Câu 12: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d , a,b, c, d   có đồ thị là đường cong như hình bên.
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  1 . B. x  2  . C. x  1  . D. x  2 . Lời giải Chọn A
Từ đồ thị ta thấy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x  1 .
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  8 là A.  3  ;  . B. 3;  . C. 3;  . D.  3  ;  . Lời giải Chọn B Bất phương trình x x 3
2  8  2  2  x  3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3; .
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên? y x O A. 3 2
y  x  3x 1. B. 4 2
y x  2x 1. C. 3 2
y x  3x . D. 4 2
y  x  2x . Lời giải Chọn D
Quan sát đồ thị của hàm số thấy đồ thị trên là đồ thị của hàm số trùng phương và lim f (x)   x
suy ra hệ số a  0 . Vậy nên chọn đáp án D.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 9
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 15: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A. x  1 . B. x  3 . C. x  3 . D. x  1 . Lời giải Chọn D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy lim f (x)   ; lim f (x)   . x 1  x 1 
Do đó đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) . 5 1
Câu 16: Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức 3 3 a .a bằng 5 4 A. 5 a . B. 9 a . C. 3 a . D. 2 a . Lời giải Chọn D 5 1 5 1  Ta có 2 3 3 3 3
a .a aa .
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng A. 2a . B. 2a . C. 10a . D. 4a . Lời giải Chọn B
Độ dài đường sinh bằng l r h a  a2 2 2 2 3  2a .
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao 3a . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 2 8 a  . B. 2 7 a  . C. 2 6 a  . D. 2 14 a  . Lời giải Chọn C
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là 2
S  2rh  2.3 a a  6a .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3; 
1 trên trục Ox có toạ độ là A. 0; 0;  1 . B. 2; 0; 0 . C. 0;3;  1 . D. 0;3;0 . Lời giải Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3; 
1 trên trục Ox có toạ độ là 2; 0; 0 . x y z
Câu 20: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P :  
 1 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là 3 5 2 A. 0;5; 0 . B. 0;3;0 . C. 0; 1; 0 . D. 0; 2; 0 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 10
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn A x  0 x y z
Mặt phẳng  P :  
 1 cắt trục Oy , suy ra  y  5 , nên giao điểm có tọa độ là 0;5;0 . 3 5 2 z  0 
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. i  . B. 2 . C. 1  i . D. 1  i . Lời giải Chọn A
Số thuần ảo là i  .
Câu 22: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số 2
y x  2x và trục hoành là A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B x  0 Xét phương trình: 2
x  2x  0  x x  2  0   x  2  
Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là 2 .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  
1 và có bán kính R  2 . Phương trình của  S  là 2 2 A. x   2 1
y   z   1  2 .
B. x  2  y   z  2 2 1 1  2 . 2 2 2 2 C. x   2 1
y   z   1  2 . D. x   2 1
y   z   1  2 . Lời giải Chọn C I  1; 0;   1 Theo bài ra ta có:  . R  2 
Do đó mặt cầu  S  có phương trình là:  x  2  y   z  2 2 1 1  2 .
Câu 24: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (
x)  (x  2)(x 1) , x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A
Xét phương trình f (  x)  0 x  2  0 x  2   f (
x)  (x  2)(x 1)  0     x 1  0 x  1   Ta có bảng xét dấu x  2 1  f ' x + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu ta có số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2 .
Câu 25: Cho số phức z  2  3i và z i . Số phức z z bằng 1 2 1 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A. 3   2i . B. 2  4i . C. 2  3i . D. 3  2i . Lời giải Chọn A
Ta có z z  2  3i 2
i  2i  3i  3   2i 1 2
Câu 26: Cho hàm số f x  1 2 cos 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.
f x dx x  2sin 2x C  . B.
f x dx x  sin 2x C  . C.
f x dx x  sin 2x C  . D.
f x dx x  2sin 2x C  . Lời giải Chọn B Ta có
f x dx  1 2 cos 2x dx  1dx +2 cos 2 d
x x x  sin 2x C    
Câu 27: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một 
vectơ chỉ phương u  4;3;  2 là x  4 y  3 z  2 x  3 y 1 z  2 A.   . B.   . 3 1 2 4 3 2 x  3 y 1 z  2 x  4 y  3 z  2 C.   . D.   . 4 3 2  3  1  2 Lời giải Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một vectơ chỉ phương u  4;3;  2 có phương x  3 y 1 z  2 trình chính tắc là   . 4 3 2 
Câu 28: Cho cấp số nhân  u
với u  2 và u  8 . Công bội của cấp số nhân bằng n  1 2 1 A. 4 . B. 6  . C. . D. 6 . 4 Lời giải Chọn A u 8
Công bội của cấp số nhân là 2 q    4 . u 2 1
Câu 29: Đường gấp khúc ABC trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số y f x  trên đoạn  1  ; 4  .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 12
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 4 Tích phân
f x dx  bằng 1 7 9 A. . B. . C. 3 . D. 4 . 2 2 Lời giải Chọn C
Đường thẳng đi qua AB có phương trình y  1 .
Đường thẳng đi qua BC có phương trình y  x  3 . 1 khi x   1  ; 2 
Do đó f x    .
x  3 khi x    2; 4  4 2 4 2 4 Vậy
f x dx
f x dx
f x dx  1dx   x  3  dx  3      . 1  1  2 1  2
(*) Cách 2: đề xuất bởi GV Tu Duy: 4
f x dx SSSS  3  1  3 ABED BEI ICJ ABED  . 1 Câu 30: Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;  . B.  ;    1 . C.  1  ; 0 . D.  ;   1 . Lời giải Chọn B x  0 Ta có 3
y  4x  4x , 3 y 0 4x 4x 0        x  1   x  1  Bảng biến thiên Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên khoảng  ;    1
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 13
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 31: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C
Ta có CD // AB nên SB CD   SB AB  , ,  SBA .
Vì tam giác SAB là tam giác đều có tất cả cách cạnh đều bằng a nên  SBA  60 .
Vậy góc giữa hai đưởng thẳng SB và CD bằng 60 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điển A1;1; 
1 và mặt phẳng  P : 2x  3y z  5  0 . Đưởng
thẳng đi qua A và vuông góc với  P  có phương trình là x  2  t
x  1  2t
x  1  2tx  1 2t    
A. y  3  t .
B. y  1  3t .
C. y  1  3t .
D. y  1 3t . z  1 t     z  1  tz  1  tz  1  tLời giải Chọn B
Đường thẳng đi qua A1;1; 
1 và vuông góc với  P : 2x  3y z  5  0 nhận vectơ pháp tuyến 
x  1  2t
của  P  là n  2;3; 
1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là  y  1  3t , t   . z  1 t
Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , phương trình 2 f x  m
có 4 nghiệm thực phân biệt?
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 14
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A. 4 . B. 16 . C. 17 . D. 8 . Lời giải Chọn C m
Ta có 2 f x  m f x  . 2
Dựa vào đồ thị, phương trình trên có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m 4    5  8   m  10 . 2
Suy ra, các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7
 ;  6;; 1;0;1;;9.
Có tất cả 17 số m thỏa mãn.
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2;3 và B  1
 ;0;5 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là? 2 2 2 2 A. 2
x   y  
1   z  4  3 . B. 2
x   y   1
  z  4  12 . 2 2 2 2 C. 2
x   y  
1   z  4  3 . D. 2
x   y  
1   z  4  12 . Lời giải Chọn A
Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I 0;1; 4 của AB và bán kính AB
  2    2    2 1 1 0 2 5 3 R 2 2  
 3 , có phương trình là 2
x   y  
1   z  4  3 . 2 2
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật AB .
CD A' B 'C ' D ' có AB  1, BC  2; AA'  3 (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường AB ' và BC ' bằng? 6 6 13 7 3 10 A. . B. . C. . D. . 7 13 6 10 Lời giải Chọn A
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 15
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Ta có
BC '/ / AD '  d AB ', BC '  d BC ', AB ' D '  d C '; AB ' D ' C 'O ' . 
d A', AB ' D '  d A', AB ' D ' A'O '
Lại có A' B ', A' ,
A A' D đôi một vuông góc với nhau tại A', d A', AB ' D '  h thì 1 1 1 1 6     h  . 2 2 2 2 h A' B ' A' D ' AA ' 7
Câu 36: Tập xác định của hàm số f x  log  2 30  x
chứa bao nhiêu số nguyên? 5  A. 11. B. 5 . C. 6 . D. 10 . Lời giải Chọn A Điều kiện 2 2
30  x  0  x  30   30  x  30 .
Do x    x  5  ; 4  ; 3  ; 2  ; 1  ; 0;1; 2;3; 4;  5 . Vậy Chọn A
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z  2z  1  6i . Môđun z bằng A. 5 . B. 3 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Đặt z x yix, y  . x  1 
Theo giả thiết ta có x yi  2 x yi  1 6i   . y  2  Do đó z  1   2i . Vậy z  5 .
Câu 38: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 là 4 1 7 8 A. . B. . C. . D. . 81 9 81 81 Lời giải Chọn C
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 16
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Gọi ab là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn a có 9 cách. Chọn b có 9 cách.
Do đó có 9.9  81 số có hai chữ số khác nhau.
Gọi A là biến cố: “Chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 ”.
Khi đó A  80, 71, 62,53,35, 26,  17 7
Vậy P A  . 81
Câu 39: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt  P tại hai điểm như trong hình bên dưới. 32 5
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S
. Tích phân 2x  5 f ' xdx  3 1 bằng: 104 76 22 188 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B u   2x  5  du  2dx  Đặt    . dv f    xdx v f    x  5 5 5
Ta có: 2x  5 f  xdx  
 2x  5 f x  2 f xdx     1 1 1  3  7.4 32  76
 5 f 5  3 f   1  2     . 2 3 3  
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 2 3 2 y
x x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 0;6 ? 3 3 A. 24 . B. 25 . C. 26 . D. 23 . Lời giải Chọn A Ta có: 2
y  x x m   f x 2 2 0
x  2x m   * .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 17
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BBT cho hàm số f x
Hàm số có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 0;6 khi 0  m  24 .
Vì m   nên m 0;1; 2;...; 
23 . Vậy có tất cả 24 giá trị nguyên của m .
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị số nguyên x thỏa mãn 3x  27 2
log x  7 log x 10  0 3 3  A. 242 . B. 235 . C. 233 . D. 238 . Lời giải Chọn B Đặt    3x f x  27 2
log x  7 log x 10 . ĐK: x  0 . 3 3  3x  27  x  3  
f x  0  log x  2  x  9 . 3   log x  5  x  243 3   Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình S  0;3  9; 243 .
Vậy x 1; 2;10;11;...; 24  2 . 2 2 2
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A1;0; 2 nhận u  1; ;
a 4  a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  17   51   23   3  A. 8;   . B. 25;   . C. ;12   . D. ; 2   .  2   2   2   2  Lời giải Chọn C
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 18
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Mặt cầu S  có tâm I 1; 2  ;   1 bán kính R  2
Gọi C, D là các giao điểm của d với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra ICD vuông cân tại I 1 2 2
, có IC ID  2  d I;d   IH CD   2 . 2 2   I , A u 2   a 16a  69
Ta lại có d I;d     2   2 2 u 2a  8a 17 35  23 2 2 2 2 
a 16a  69  4a 16a  34  3a  35  a   ;12   . 3  2 
Câu 43: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng 2 . Xét hình nón  N  có đáy nằm trên mặt
phẳng  ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A ; B ;C ; D . Khi bán kính đáy của  N
bằng 2 2 , diện tích xung quanh của  N  bằng A. 8 2 . B. 8 3 . C. 8 6 . D. 4 2 . Lời giải Chọn B
Theo đề ra, ta có: MN  4 2  2R AC  2 2 . SOO A   SO  2 1 Mặt khắc:   
SO  4  h . SO OM SO 2 Lại có: l h R    2 2 2 2 4 2 2  2 6 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 19
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Vậy SRl   8 3 . xq
Câu 44: Gọi S là tập hợp các số phức z a bia,b   thỏa mãn z z z z  4 và ab  0. Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z  2i 1 2 1 i 1 2 bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 2 5 . D. 2  2 2 . Lời giải Chọn A
Đầu tiên ta có z a bia,b   thì khi đó z z z z  4  a b  2, ab  0. z z Do 1
2 là số thực dương nên khi M z , N z thì ta có: 1   2  1 i     OM ON NM
k 1 ikOE k      
   với E 1;  1 .
Do ab  0 nên tập hợp các điểm M , N thuộc S biểu diễn như hình vẽ sau: Gọi F 2; 2
  là điểm đối xứng với O qua đoạn thẳng CD
Suy ra P z z  2i MO NA NO NA NF NA FA  2 5 1 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M M AF  .
CD Chọn đáp án C . 0
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z 1  2 và z  3  2i  4 ? 1 2 1 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn C Ta có 2
  a  4b . TH1: 2
a  4b  0 , phương trình có hai nghiệm thực z , z . Khi đó 1 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 20
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 z  1 1  z   z 1  2 1 2  1  1       z  3  a,b 1 , suy ra có 4 cặp   thỏa mãn.
z  3  2i  4  
  z  32  4  4 2 2   z  3  2 3  2 TH2: 2
a  4b  0 , phương trình có hai nghiệm phức liên hợp z x yi , z x yi . , x y   ; 1 2   z 1  2  x  2 2 1  y  2  1 
y  0 . Theo giả thiết, ta có:   
z  3  2i  4  
  x  32   y  22 2  4   3 2 2 x  
x y  2x  3  0
2x y  0 x  1    5       hoặc  . 2 2 2 2
x y  6x  4 y  3  0 
x y  2x  3  0 y  2   6  y     5 3 6 3 6
Suy ra z  1 2i, z  1
  2i hoặc z   i , z  
i ; do đó có 2 cặp a,b thỏa mãn 1 2 1 5 5 2 5 5 điều kiện 2
a  4b  0 trong trường hợp này.
Vậy có tất cả có 6 cặp a,b thỏa yêu cầu bài.
Câu 46: Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có AC  8 , diện tích của tam giác ABC bằng 9 và đường thẳng
AC tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 30 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 6 . B. 18 . C. 6 3 . D. 18 3 . Lời giải Chọn B
Gọi I là giao điểm của AC và AC nên I là trung điểm của AC . Dễ thấy VVVV  3V . . A A BCC .  A BC
B. AB C   ABC. A BC   . A A BC
Do đường thẳng AC tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 30
AI tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 30 . AC  dAI.sin 30  .sin 30  2 .  A, A BC  2 1 Vậy V  3V  3. .S .d  9.2  18. ABC. A BC   . A A BC ABCA, A BC   3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 21
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 47: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  5 11 x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  9x  24x y  log
x  8x  7 . Số phần tử của S bằng 2   3   2 2    A. 8 . B. 7 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn B log  2  x 8x7 2 3 2
log  x 8 x7 3  3  
Ta có x  9x  24x y  2 3 2  y  2
x  9x  24x 2 log  x 8 x7  5 11
Xét hàm số f x 3   3 2  2
x  9x  24x, x   ;  2 2    2  x x 2x  8 f  x log3  8 7 2  2 .ln 2.
 3x 18x  24  2
x  8x  7ln 3 2 x  4 2  x x
 3 x  2 x  4 log 8 7 3    .2 .ln 2  2
x  8x  7ln 3 x  4  f  x 2  2  x x  . 3 x  2 log3 8 7  .2 .ln 2  0   2
x  8x  7ln 3  Ta có: 2  5 11 2  x x  5 11
x  8x  7  0, x   ;  3   x  2 log 8 7 2 3    .2 .ln 2  0, x   ;   2 2   2 x 8x 7ln 3   2 2      Bảng biến thiên  y  12 
Yêu cầu bài toán suy ra 
22.788  y  16.038 
Do y   nên ta được tập các giá trị của y là  22  ; 21  ; 20  ; 19  ; 18  ; 17  ;   12 .
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Câu 48: Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương trên khoảng (0; ) , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f (x) ln f (x)  x f (x)  f (  x), x
  (0; ) . Biết f (1)  f (4) , giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? A. 1;3 . B. 8;10 . C. 6;8 . D. 13;15 . Lời giải Chọn C f (  x) 
Ta có f (x) ln f (x)  x f (x)  f (
x)  ln f (x)  x 1
 ln f (x)  x  
1 (ln f (x)) f (x)   1
 (x) ln f (x)  xln f (x)  x  x ln f (x)   x  2
x ln f (x)  xdx x C  . 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 22
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1
Cho x  1 ta được ln f (1)   C . 2
Cho x  4 ta được 4 ln f (4)  8  C . x 2  Theo đề f  
1  f 4 nên suy ra 2  4C  8  C C  2 nên   2 x f x e . Vậy f   2 2  e  7,39 .
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S  có tâm I 3;7;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của S  trong
mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 11. B. 7 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu S  phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng Oyz nên R  3 .
Gọi J là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oyz ta có J 0;7;12 và IJ  3 và OJ  193 .
Xét 2 tiếp tuyến đi qua O và tiếp xúc với C  tại K, H như hình vẽ. 193 3
Từ đề bài ta có OJ.sin 60  r OJ.sin 30   r  193.
, với r JK JH . 2 2
Mà d I ,Oyz  IJ  3 nên: 193 579 2
d I ,Oyz 2 2
r d I ,Oyz 2 
d I ,Oyz 4 4 193 579 229 615 2 2   9  R   9   R  4 4 4 4 229 615  7, 6   R
 12, 4 , do R    R 8;9;10;11  ;12 . 4 4
Vậy, có 5 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x 18x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  4   ;1 của phương trình f  2
x  4x  5  m bằng 8 ? A. 63 . B. 65 . C. 62 . D. 64 . Lời giải
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 23
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Chọn A Đặt 2
t x  4x  5 , vì x   4  
;1  t 1;10 .
Nhận xét: với 1  t  5 ta suy ra có 2 giá trị x có tổng bằng 4
 ( vì x x  4  ). 1 2
Yêu cầu bài toán tương đương f t   m có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bảng biến thiên của hàm số f x trên khoảng 1;10 Nhận xét: f  
1  f  17  và phương trình f t  m có tối đa 2 nghiệm t 1;10 .
TH1: Nếu f t   m chỉ có 1 nghiệm t 1;10 thì tổng các nghiệm của phương trình 2
x  4x  5  t sẽ là 4  . 0
TH2: Nếu f t   m có 2 nghiệm phân biệt t ;t  1;10 t ;t  1; 17 1 2   1 2   2 
x  4x  5  t
Khi đó mỗi phương trình 1 
có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng  4   ;1 . Từ đó 2
x  4x  5  t  2
suy ra tổng các nghiệm là 8 . Vậy m   77 
; 13 và m    m 76;...; 1  
4  có 63 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 102 Page 24
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Đề chính thức
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 103 Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề) Câu 1:
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3 a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là A. 4a . B. 2a . C. 10a . D. 2a . Câu 2:
Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích V và chiều cao h bằng V V 3V A. . B. . C. Vh . D. . 3h h h Câu 3: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a ,b,c , d   có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm
cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  1 . B. 2 . C. x  1  . D. x  2 . Câu 4:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 x A. 5 6 x dx x C  . B. 5 x dx   C  . C. 5 4
x dx  5x C  . D. 5 6
x dx x C  . 6 ln 5 4 4
f xdx  6 
2 f xdxCâu 5: Nếu 1 thì 1 bằng A. 3 . B. 12 . C. 4 . D. 8 . Câu 6:
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 2
B  9a và chiều cao h  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 3a . B. 3 24a . C. 3 18a . D. 3 6a . 5 1 Câu 7:
Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức 3 3 a .a bằng 4 5 A. 3 a . B. 5 a . C. 2 a . D. 9 a . x y z Câu 8:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P :  
 1 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là 3 5 2 A. 0; 1  ;0 . B. 0;3;0 . C. 0; 2;0 .
D. 0;5;0 . Câu 9:
Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một 
vectơ chỉ phương u  4; 3;  2 là x  3 y 1 z  2 x  3 y 1 z  2 A.   . B.   . 4 3 2 4 3 2  x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 C.   . D.   . 3 1 2 3 1 2
Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 3  x , x
   . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;    . B.   ;1 . C.  ;  0 . D.  ;     .
Câu 11: Cho số phức z  2  3i và z i . Số phức z .z bằng 1 2 1 2 A. 3  2i . B. 2  3i . C. 3  2i D. 2  4i .
Câu 12: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. 2. B. 1  i . C. 1  i D. i .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 13: Với a là số thực dương tùy ý, log 7a bằng 7   A. 1 a . B. a . C. 1 log a . D. 1 log a . 7 7
Câu 14: Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên 3  và F   1  3, F  
3  6 . Tích phân f x dx  bằng 1 A. 3  . B. 9. C. 3. D. 2 .
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  8 là A.  3  ;  . B.  3  ;  . C. 3; . D. 3;  .
Câu 16: Cho hàm số f x  1 2 cos 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.
f xdx x  sin 2x C  . B.
f xdx x  2sin 2x C  . C.
f xdx x  2sin 2x C  . D.
f xdx x  sin 2x C  .
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 2 7 a . B. 2 14 a . C. 2 6 a . D. 2 8 a .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của  S  là. 2 2 2 2 A. x   2
1  y   z   1  2 . B. x   2
1  y   z   1  2 . 2 2 2 2 C. x   2
1  y   z   1  2 . D. x   2
1  y   z   1  2 .
Câu 19: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A. x  1 . B. x  3 . C. x  1 . D. x  3 .
Câu 20: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y  x  2x . B. 3 2
y x  3x . C. 3 2
y  x  3x  1 . D. 4 2
y x  2x  1 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x  2 x   1 , x
   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 22: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M  2; 2 là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. 2  2i . B. 2i .
C.  2  2i . D. 2  2i .
Câu 23: Đạo hàm của hàm số y  log x 1 là. 3   1 1 1 x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x   1 .ln 3 x 1 ln 3 ln 3
Câu 24: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M  2  ;3 
;1 trên trục Ox có toạ độ là. A. 0;3;0 . B.  2  ;0; 0 . C. 0;3;  1 . D. 0;0  ;1 .
Câu 25: Số giao điểm của đồ thị hàm số 2
y x  2x và trục hoành là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình log 3x  log 5 là 2   2  3   5   5   3  A. ;    . B. 0;   . C. ;    . D. 0;   .  5   3   3   5 
Câu 27: Cho cấp số nhân u với u  2 và u  8 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n  1 2 1 A. . B. 6  . C. 6 . D. 4 . 4
Câu 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp 1,2,3,4,5,  6 ? A. 120 . B. 20 . C. 216 . D. 18 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3 và B  1
 ;0;5 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 A. 2
x   y  
1   z  4  3 . B. 2
x   y  
1   z  4  12 . 2 2 2 2 C. 2
x   y  
1   z  4  3 . D. 2
x   y  
1   z  4  12 .
Câu 30: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .
Câu 31: Tập xác định của hàm số f x  log  2 30  x
chứa bao nhiêu số nguyên? 5  A. 10 . B. 11. C. 5 . D. 6 .
Câu 32: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 là 1 4 8 7 A. . B. . C. . D. . 9 81 81 81
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 3
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 33: Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m sao cho ứng với mỗi giá trị của m , phương trình 2 f x  m có 4 nghiệm thực phân biệt? A. 4 . B. 17 . C. 16 . D. 8 .
Câu 34: Cho đường gấp khúc ABC trong hình vẽ là đồ thị của
hàm số y f x trên đoạn  1  ; 4. Tích phân 4 I
f xdx  bằng 1 A. 4 . B. 3 . 9 7 C. . D. . 2 2
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 1; 
1 và mặt phẳng  P : 2x  3y z  5  0 . Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với  P có phương trình là
x  1  2t
x  1  2t
x  2  t
x  1  2t    
A. y  1 3t .
B. y  1 3t .
C. y  3  t .
D. y  1 3t .
z  1 t     z  1  tz  1  tz  1  tCâu 36: Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A. ;  1 . B. 1; 0 . C. ;   1 . D. 1;  .
Câu 37: Số phức z thoả mãn z  2z  1 6i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 5 .
Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB  1, BC  2, AA =
 3 (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng 3 10 6 7 6 13 A. . B. . C. . D. . 10 7 6 13
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 4 3 2
y   x  2x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng  1  ;8 ? 3 3 A. 26 . B. 36 . C. 35 . D. 27 .
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường
thẳng d cắt  P tại hai điểm như hình vẽ bên. Biết rằng 9
hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . 2 6
Tích phân 2x  3 f  x dx  bằng 3 A. 33 . B. 51. C. 39 . D. 27 .
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x 16 2
log x  9 log x 18  0 ? 3 3  A. 704 . B. 701 . C. 707 . D. 728 .
Câu 42: Gọi S là tập hợp các số phức z a bia,b    thỏa mãn z z z z  2 và ab  0. Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z i 1 2 1   i 1 2 bằng: A. 5 . B. 1 2 . C. 1. D. 2 . 2 2 2
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A1; 0;  2 nhận vectơ u  (1; a; 2  a) (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d cắt  S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của  S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2
a thuộc khoảng nào dưới đây?  2 2   19   5   7  A. ;   . B. ;10   . C. 2;   . D. ; 4   .  5 3   2   2   2 
Câu 44: Xét khối nón  N  có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2 3 .
Khi  N  có độ dài đường sinh bằng 6, thể tích của nó bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 27 3 . D. 54 .
Câu 45: Trên tập số phức xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số thực a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z 1  2, z  3  2i  3 ? 1 2 1 2 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 .
Câu 46: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  5 11 x  ; 3 2 2  thoả mãn log
x  9x  24x y  log
x  8x  12 . Số phần tử của S là 3   2   2 2    A. 3 . B. 8 . C. 1 . D. 7 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 47: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SC AC a , SB tạo với
mặt phẳng (SAC) một góc 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. D. . 24 12 8 4
Câu 48: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0; có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f x ln f x  x 2 f x  f ' x, x
 0; . Biết f  
1  f 3 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 40; 42 . B. 3;5 . C. 32;34 . D. 1;3 .
Câu 49: Cho hàm số f x 4 2
x  32x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  4   ;1 của phương trình f  2
x  4x  5  m bằng 8  ? A. 81. B. 82 . C. 80 . D. 79 .
Câu 50: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I 5;6;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong
mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 9 . B. 4 . C. 2 . D. 6 .
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 6
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
B B A A B D C D B C C D D C D A C A C A C C A B A 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
C D A C A B D B B D C D B D D A A D B D B D C C B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO Câu 1:
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3 a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là A. 4a . B. 2a . C. 10a . D. 2a . Lời giải Chọn B
Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là l r h a   a2 2 2 2 3  2a . Câu 2:
Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích V và chiều cao h bằng V V 3V A. . B. . C. Vh . D. . 3h h h Lời giải Chọn B V
Ta có V Sh S  . h Câu 3: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a ,b,c , d   có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm
cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  1 . B. 2 . C. x  1  . D. x  2 . Lời giải Chọn A Câu 4:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 x A. 5 6 x dx x C  . B. 5 x dx   C  . C. 5 4
x dx  5x C  . D. 5 6
x dx x C  . 6 ln 5 Lời giải Chọn A
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 7
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 4 4 Câu 5: Nếu
f xdx  6 
thì 2 f xdx  bằng 1 1 A. 3 . B. 12 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B 4 4
Ta có: 2 f xdx  2 f xdx  2.6  12   . 1 1 Câu 6:
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 2
B  9a và chiều cao h  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 3a . B. 3 24a . C. 3 18a . D. 3 6a . Lời giải Chọn D 1 1
Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 3 V
Bh  .9a .2a  6a . 3 3 5 1 Câu 7:
Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức 3 3 a .a bằng 4 5 A. 3 a . B. 5 a . C. 2 a . D. 9 a . Lời giải Chọn C 5 1 5 1  Ta có: 2 3 3 3 3
a .a aa . x y z Câu 8:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P :  
 1 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là 3 5 2 A. 0; 1  ;0 . B. 0;3;0 . C. 0; 2;0 .
D. 0;5;0 . Lời giải Chọn D x  0 
Ta có phương trình trục Oy :  y t ,t   . z  0  0 t 0 Xét phương trình:    1  t  5 . 3 5 2
 Giao điểm của mặt phẳng  P và trục Oy là 0;5;0 . Câu 9:
Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một 
vectơ chỉ phương u  4; 3;  2 là x  3 y 1 z  2 x  3 y 1 z  2 A.   . B.   . 4 3 2 4 3 2  x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 C.   . D.   . 3 1 2 3 1 2 Lời giải Chọn B
Đường thẳng d đi qua điểm M  3
 ; 1; 2 và có một vectơ chỉ phương u 4; 3;  2 có x  3 y 1 z  2
phương trình chính tắc là:   . 4 3 2 
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 8
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 3  x , x
   . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;    . B.   ;1 . C.  ;  0 . D.  ;     . Lời giải Chọn C
Ta có f  x 3
 0  x  0  x  0 . Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu của f  x suy ra hàm y f x nghịch biến trên khoảng  ;  0 .
Câu 11: Cho số phức z  2  3i và z i . Số phức z .z bằng 1 2 1 2 A. 3  2i . B. 2  3i .
C. 3  2i . D. 2  4i . Lời giải Chọn C
z .z  2  3i 2
.i  2i  3i  2i  3 1  3  2i . 1 2  
Câu 12: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. 2. B. 1  i . C. 1  i D. i . Lời giải Chọn D
Ta có: z  i  0 1.i .
Số phức này có phần thực bằng 0, phần ảo bằng 1, khác 0 nên nó là số thuần ảo.
Câu 13: Với a là số thực dương tùy ý, log 7a bằng 7   A. 1 a . B. a . C. 1 log a . D. 1 log a . 7 7 Lời giải Chọn D log
7a  log 7  log a  1 log a . 7   7 7 7
Câu 14: Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên 3  và F   1  3, F  
3  6 . Tích phân f x dx  bằng 1 A. 3  . B. 9. C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn C 3
f x dx F x 3 F 3  F 1  6  3  3. 1      1
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  8 là A.  3  ;  . B.  3  ;  . C. 3; . D. 3;  . Lời giải Chọn D Ta có: x x 3
2  8  2  2  x  3 .
Vạy tập nghiệm của bất phương trình là S  3;  .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 9
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 16: Cho hàm số f x  1 2 cos 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.
f xdx x  sin 2x C  . B.
f xdx x  2sin 2x C  . C.
f xdx x  2sin 2x C  . D.
f xdx x  sin 2x C  . Lời giải Chọn A cos 2xd 2x
Ta có 1 2 cos 2xdx  1dx  2 cos 2xdx x  2
x  sin 2x C     . 2
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 2 7 a . B. 2 14 a . C. 2 6 a . D. 2 8 a . Lời giải Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: 2 S
 2 Rh  2 . .3
a a  6 a . xq
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của  S  là. 2 2 2 2 A. x   2
1  y   z   1  2 . B. x   2
1  y   z   1  2 . 2 2 2 2 C. x   2
1  y   z   1  2 . D. x   2
1  y   z   1  2 . Lời giải Chọn A 2 2
Phương trình mặt cầu tâm I 1;0;  
1 và bán kính R  2 là  x   2
1  y   z   1  2 .
Câu 19: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A. x  1 . B. x  3 . C. x  1 . D. x  3 . Lời giải Chọn C
Ta có lim y   và lim y   nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng có x 1  x 1 
phương trình là x  1 .
Câu 20: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 10
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A. 4 2
y  x  2x . B. 3 2
y x  3x . C. 3 2
y  x  3x  1 . D. 4 2
y x  2x  1 . Lời giải Chọn A
Hình vẽ là đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c với a  0, b  0, c  0 .
Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x  2 x   1 , x
   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C
Do f  x   x  2 x   1 , x
   nên hàm số y f x liên tục trên  . Ta lập được bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Câu 22: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M  2; 2 là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. 2  2i . B. 2i .
C.  2  2i . D. 2  2i . Lời giải Chọn C
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M  2; 2 là điểm biểu diễn của số phức  2  2i .
Câu 23: Đạo hàm của hàm số y  log x 1 là. 3   1 1 1 x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x   1 .ln 3 x 1 ln 3 ln 3 Lời giải Chọn A x  1   1 Ta có y    x   1 .ln 3  x   1 ln 3
Câu 24: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M  2  ;3 
;1 trên trục Ox có toạ độ là. A. 0;3;0 . B.  2  ;0; 0 . C. 0;3;  1 . D. 0;0  ;1 . Lời giải
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Chọn B
Dễ thấy hình chiếu của M lên trục Ox là M  2  ;0; 0
Câu 25: Số giao điểm của đồ thị hàm số 2
y x  2x và trục hoành là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y x  2x và trục hoành, ta có x  0 2
x  2x  0   . x  2   Đồ thị hàm số 2
y x  2x cắt trục hoành tại 2 điểm.
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình log 3x  log 5 là 2   2  3   5   5   3  A. ;    . B. 0;   . C. ;    . D. 0;   .  5   3   3   5  Lời giải Chọn C 5 Ta có log
3x  log 5  3x  5  x  . 2   2 3  5 
Tập nghiệm của bất phương trình là ;    .  3 
Câu 27: Cho cấp số nhân u với u  2 và u  8 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n  1 2 1 A. . B. 6  . C. 6 . D. 4 . 4 Lời giải Chọn D u 8 Ta có 2
u u .q q    4 . 2 1 u 2 1
Câu 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp 1,2,3,4,5,  6 ? A. 120 . B. 20 . C. 216 . D. 18 . Lời giải Chọn A
Gọi số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là abc
a có 6 cách chọn 1 số từ tập hợp trên
b có 5 cách chọn 1 số khác a
c có 4 cách chọn 1 số khác a, b
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6 5 4  120 số.
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3 và B  1
 ;0;5 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 A. 2
x   y  
1   z  4  3 . B. 2
x   y  
1   z  4  12 . 2 2 2 2 C. 2
x   y  
1   z  4  3 . D. 2
x   y  
1   z  4  12 . Lời giải
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 12
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Chọn C 
Ta có AB  2; 2; 2  AB  2 3 .
Gọi I là trung điểm của AB suy ra tọa độ của I là I 0;1;4 AB
Mặt cầu đường kính AB có tâm I 0;1;4 và bán kính R   3 . 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là: 2
x   y  
1   z  4  3 .
Câu 30: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn A
Ta có AB∥ CD Do đó  SB,CD 
 SB, AB .
Mà SAB đều suy ra  SBA  60 . Vậy  SB CD   SB AB  , ,  SBA  60 .
Câu 31: Tập xác định của hàm số f x  log  2 30  x
chứa bao nhiêu số nguyên? 5  A. 10 . B. 11. C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: 2
30  x  0   30  x  30 .
Tập xác định: D   30 ; 30  .
Vậy D chứa 11 số nguyên: 0; 1;  2;  3;  4;  5 .
Câu 32: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 là 1 4 8 7 A. . B. . C. . D. . 9 81 81 81 Lời giải Chọn D
Trong 90 số tự nhiên có hai chữ số, có 9 số gồm hai chữ số giống nhau.
Suy ra tập S có 81 số.
Các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau có tổng hai chữ số bằng 8 bao gồm: 17 ; 26 ; 35 ; 53 ; 62 ; 71 và 80 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 13
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 7
Vậy xác suất để chọn được số từ S có tổng hai chữ số bằng 8 là . 81
Câu 33: Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m sao cho ứng với mỗi giá trị của m , phương trình 2 f x  m có 4 nghiệm thực phân biệt? A. 4 . B. 17 . C. 16 . D. 8 . Lời giải Chọn B m
Xét phương trình 2 f x  m f x  . 2 m
Phương trình 2 f x  m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 4 
 5  8  m  10 . 2
Do m   nên m  7  ; 6  ;...;7;8;  9 .
Vậy có 17 giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f x  m có 4 nghiệm thực phân biệt.
Câu 34: Cho đường gấp khúc ABC trong hình vẽ là đồ thị của hàm số y f x trên đoạn  1  ; 4. Tích 4 phân I
f xdx  bằng 1  9 7 A. 4 . B. 3 . C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B 1  , x   1;2
Ta có f x   .
x  3 , x   2;4  4 2 4 Khi đó I
f xdx  1.dx  x  3dx  3    . 1 1 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 14
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 1; 
1 và mặt phẳng  P : 2x  3y z  5  0 . Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với  P có phương trình là
x  1  2t
x  1  2t
x  2  t
x  1  2t    
A. y  1 3t .
B. y  1 3t .
C. y  3  t .
D. y  1 3t .
z  1 t     z  1  tz  1  tz  1  tLời giải Chọn D  
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với  P nên nhận vectơ pháp tuyến u n  làm P 2;3;  1 vectơ chỉ phương. 
x  1  2t
Đường thẳng đi qua A1; 1; 
1 có vectơ chỉ phương u  2;3 
;1 có dạng:  y  1 3t .  z  1 tCâu 36: Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A. ;  1 . B. 1; 0 . C. ;   1 . D. 1;  . Lời giải Chọn C Ta có: 3
y  4x  4x x  0 Cho 3 
y  0  4x  4x  0  x  1  x  1   Bảng xét dấu: Hàm số 4 2
y x  2x nghịch biến trên các khoảng ;   1 và 0;  1 .
Câu 37: Số phức z thoả mãn z  2z  1 6i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 5 . Lời giải Chọn D
Gọi số phức z x yi z x yi,  x, y R thay vào z  2z  1 6i ta có:
x  2x  1 x  1 
z  2z  1 6i x yi  2(x yi)  1 6i     . y  2 y  6 y  2   Vậy số phức 2 2 z  1   2i |  z | ( 1  )  2  5 .
Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB  1, BC  2, AA =
 3 (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 15
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3 10 6 7 6 13 A. . B. . C. . D. . 10 7 6 13 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có
BC '/ / AD '  d AB ', BC '  d BC ', AB ' D '  d C '; AB ' D ' C 'O ' . 
d A', AB ' D '  d A', AB ' D ' A'O '
Lại có A' B ', A' ,
A A' D đôi một vuông góc với nhau tại A', d A', AB ' D '  h thì 1 1 1 1 1 1 1 6        h  . 2 2 2 2 2 2 2 h A' B ' A' D ' AA' 1 2 3 7
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 16
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Chọn hệ trục Oxyz sao cho A0; 0;0 , B 1; 0; 0 , D 0; 2;0 (do BC  2  AD  2 ), A0; 0;3 .  
Ta có: B1;0;3 ; C1; 2;3 ; BC0; 2;3; BD 1; 2;0
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC là khoảng cách giữa đường thẳng AB và BC D
  chứa BC và song song với AB . Ta có ddd  . AB ;  BC
AB ;BC D    A ;BC D      Mặt phẳng  BC D
  đi qua B 1;0;0 và nhận vectơ n  BC ; BD  6;3;2 làm VTPT có   phương trình là 6
x  3y  2z  6  0 . 6  .0  3.0  2.0  6 6 ddd    . AB;BC
AB ;BC D    A ;BC D    2   2 2 7 6 3  2
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 4 3 2
y   x  2x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng  1  ;8 ? 3 3 A. 26 . B. 36 . C. 35 . D. 27 . Lời giải Chọn D 1 4 3 2
y   x  2x mx  2
y  x  4x m . 3 3 2
y  0  m x  4x .
Xét hàm số g x 2
x  4x g x  2x  4 .
g x  0  x  2 . Bảng biến thiên
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 17
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1 4 Hàm số 3 2
y   x  2x mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng  1  ;8 khi và chỉ khi 3 3
y  0 có đúng một nghiệm bội lẻ thuộc khoảng  1  ;8 .
Suy ra 5  m  32 .
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt  P tại hai điểm như hình 9
vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . Tích phân 2 6
2x  3 f  xdx  bằng 3 A. 33 . B. 51. C. 39 . D. 27 . Lời giải Chọn D
Giả sử d : y mx n ,  Pf x 2 :
ax bx c Tư đồ thị ta có: 3
m n  2 m  1
Đường thẳng d đi qua A3; 2, B 6;5 nên có   
d : y x 1 . 6m n  5 n  1   9
a  3b c  2
Đồ thị  P đi qua A3; 2, B 6;5 nên có 
36a  6b c  5  6 6 9 2 3 2  x ax bx  9 Và S   2
x 1 ax bx cdx     x    cx    2 2 3 2 2 3   3 27  63a b  3c  6 2  9
a  3b c  2 a  1  
Do đó ta có hệ phương trình 36 
a  6b c  5  b   8   27 c 17 63a b 3c 6       2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 18
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 f x 2
x  8x 17  f  x  2x  8 . 6 6 6
Suy ra 2x  3 f  x dx  2x  32x  8 dx     2
4x  22x  24dx 3 3 3 6 3  4x  2  11x  24x  27   3   3
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x 16 2
log x  9 log x 18  0 ? 3 3  A. 704 . B. 701 . C. 707 . D. 728 . Lời giải Chọn A
Điều kiện: x  0 .
Ta có 2x 16 2
log x  9 log x 18  0 . 3 3  Trường hợp 1.  x 2 16  0 x  4 x  4       27  x  729 2
log x  9 log x 18  0 3  log x  6 27  x  729   3 3 3 
Vì x nguyên nên x  28; 29;...; 728 , có 701 giá trị nguyên của x . Trường hợp 2. x  4 x  4  x 2 16  0   
 log x  3  x  27  x  4 3 2
log x  9 log x 18  0  3 3   log x  6 x  729  3 
Vì x nguyên nên x  1; 2;3 , có 3 giá trị nguyên của x .
Vậy có tất cả 704 giá trị nguyên của x .
Câu 42: Gọi S là tập hợp các số phức z a bia,b    thỏa mãn z z z z  2 và ab  0. Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z i 1 2 1   i 1 2 bằng: A. 5 . B. 1 2 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A
Ta có z a bia,b   .
Khi đó z z z z  2  2 a  2 b  2  a b  1, ab  0.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 19
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Do ab  0. nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z a bia,b   là hai cạnh hình vuông
ABCD với A 1  ;0, B0; 
1 , C 1;0, D0;  1 z z   
Gọi M z , N z ta có: 1
2  k , k  0  MN kv với v   1   ;1 1   2  1   i  
nên MN cùng hướng với v MN // AD // BC Gọi E 1;  
1 là điểm đối xứng với O qua đoạn thẳng CD
Suy ra P z z i MO NB NO NB NE NB BE  5 1 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N N BE C . D 0 Vậy P
 5 khi E ; N ; B thẳng hàng. min 2 2 2
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi 
qua điểm A1; 0;  2 nhận vectơ u  (1; a; 2  a) (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d cắt  S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của  S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2
a thuộc khoảng nào dưới đây?  2 2   19   5   7  A. ;   . B. ;10   . C. 2;   . D. ; 4   .  5 3   2   2   2  Lời giải Chọn D 
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 
1 , bán kính R  2 . Suy ra IA  0; 2;   1 ,  
IA,u  4  a; 1;  2 .  
Ta có IM IN và IM IN  2  MN  2 2 ; IH  2    ,  2 IA u  
(4  a) 1 4
d(I;d )  2    2   2 2 2 u
1 a (2  a) 11  7 2 2 2 2 
a  8a  21  2(2a  4a  5)  3a  11  a   3, 67  ;4   . 3  2 
Câu 44: Xét khối nón  N  có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2 3 .
Khi  N  có độ dài đường sinh bằng 6, thể tích của nó bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 27 3 . D. 54 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 20
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn B
+) Mặt cầu tâm  I, R . Có R  2 3, SA  6 như hình vẽ trên +) Có 2
SH SI IH  2 3  12  HA +) Có 2 2 2 2 2 2
SH HA SA  12  4 36  3HA 12  HA HA  36 2
 36  3HA  3  HA  3  SH  3 3. 1 +) Vậy 2
V   .3 .3 3  9 3 3
Câu 45: Trên tập số phức xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số thực a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z 1  2, z  3  2i  3 ? 1 2 1 2 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn D Ta có 2
  a  4b Trường hợp 1: 2
  0  a  4b  0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z , z . Khi đó: 1 2 2  z 1  2 z  1
z 1  4   z  2 1 1 1  4   . 1 1   z 1  2 z  3  1  1 z  3  5
z  3  2i  3   z  32   2
 2  9   z  3  5   2 2 2 2 2 z  2  5  2
Vậy có 4 cặp nghiệm  z , z nên có 4 cặp a,b tương ứng. 1 2  Trường hợp 2: 2
  0  a  4b  0 . Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp
z x yi, z x yi x, y   1 2     x  2 2  2 2 1  y  4 
x y  2x  3
4x  4 y  7  0  d        I   2 2 2 2
x  32   y  22  9
x y  6x  4 y  4
x y  2x  3  0   C  
Xét đường tròn C  : Tâm I 1;0, R  2 4  7 3 2
Ta có d I; d     R  2 2 2 8 4  4
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 21
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Suy ra đường thẳng d và đường tròn C có 2 điểm chung. Nên hệ  I  có 2 nghiệm phân biệt.
Suy ra có 2 cặp  z , z nên có 2 cặp a,b tương ứng. 1 2 
Vậy có 6 cặp a,b thỏa mãn.
Câu 46: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  5 11 x  ; 3 2 2  thoả mãn log
x  9x  24x y  log
x  8x  12 . Số phần tử của S là 3   2   2 2    A. 3 . B. 8 . C. 1 . D. 7 . Lời giải Chọn B 3 2 
x  9x  24x y  0 ĐK:  2
 x  8x  12  0  2  x  6  Ta có: log  3 2
x  9x  24x y   log  2
x  8x  12 3 2  log  2 2  x 8 x 12 3 2 
x  9x  24x y  3 log  2 2  x 8 x 12 3 2  y  3
x  9x  24x . 2 log
x 8 x 12  5 11
Xét hàm số f x 2   3 2  3
x  9x  24x với x  ;  . 2 2    2 log  x 8x 1  2 2  x  8
Ta có: f  x 2   2  3 .ln 3.
 3x  18x  24  2
x  8x  12.ln2 log  2  x x  2  x  4 2 8 12    3 .ln 3.
 3 x  4 x  2  2
x  8x  12.ln2  2   x x  2
  x  4 log2  8 12 3 .ln 3.  3 x  2   2
x  8x  12.ln 2    log  2  x x  2 2 8 12
Vì 2  x  6 nên 3 .ln 3.
 3 x  2  0  2
x  8x  12.ln 2
Do đó, f  x  0  x  4 . Bảng biến thiên  5 11
Để với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị x  ;  thì y  7  hoặc 2  3,7  y  1  6,95 . 2 2   
Mà y    y  7  ; 2  3; 2  2;...; 1   7 .
Vậy tập S có 8 phần tử.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 22
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 47: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SC AC a , SB tạo với
mặt phẳng (SAC) một góc 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. D. . 24 12 8 4 Lời giải Chọn D
Do ABCD là hình bình hành  V  2 V . S . ABCD SABC 2 3a
Lại có SA SC AC a S
AC đều cạnh a S  . SAC 4 a
Mặt khác SB tạo với mặt phẳng (SAC) một góc 60  d B SAC  3 ,
 sin 60  SB  . 2 2 3 1 1 3a 3a a Suy ra V   d B, SACS     . B.SAC    3 SAC 3 2 4 8 3 a Vậy V  2 V  . S . ABCD SA C B 4
Câu 48: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0; có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f x ln f x  x 2 f x  f ' x, x
 0; . Biết f  
1  f 3 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 40; 42 . B. 3;5 . C. 32;34 . D. 1;3 . Lời giải Chọn C Ta có: x  0;
f x ln f x  x2 f x  f ' x
f x ln f x  2xf x  xf ' x
f x ln f x  xf ' x  2xf xxf ' x
 ln f x   2x f x
  x ln f x'  2x x f x 2 ln  x C . Có: 1  ln f    1  1 C 3  ln f    1  3  3C     0  6
  2C C  3 . 3ln f  3  9  C 3ln f   3  9  C
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 23
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 3
Vậy: x ln f x 2
x  3  ln f x  x x 3 x    x f x e 3 2 f   2 2  e  33,12 .
Câu 49: Cho hàm số f x 4 2
x  32x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  4   ;1 của phương trình f  2
x  4x  5  m bằng 8  ? A. 81. B. 82 . C. 80 . D. 79 . Lời giải Chọn C Đặt 2
t x  4x  5 , với x  4   ;1 2
x  4x  5  t  0   * .
Ta có: t  2x  4 .
t  0  x  2  . Bảng biến thiên:
Do đó, với t  1, phương trình   * vô nghiệm.
Với t  1 hoặc 5  t  10 , phương trình   * có nghiệm duy nhất.
Với 1  t  5 , phương trình  
* có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x x  4 . 1 2
Yêu cầu bài toán  f t   m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 1;5 .
Xét hàm số f t  4 2
t  32t  4 với t 1;5 . f t 3
 4t  64t .
f t   0  t  4 (Do t 1;5 ). Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có yêu cầu bài toán  2  52  m  1  71.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 24
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Mà m    m  2  51; 2  50;...; 1  7  2 .
Vậy có 80 giá trị cần tìm.
Câu 50: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I 5;6;12 và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong
mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 9 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn B
Gọi J là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oyz ta có J 0;6;12 và IJ  5; OJ  6 5 .
Đường tròn giao tuyến của S  với Oyz là C  có tâm J và có bán kính r tính theo công thức 2 2
r  25  R .
Xét hai tiếp tuyến đi qua O và tiếp xúc với C  tại K, H như hình vẽ. Từ đề bài ta có  
60  KOH  120  30  JOH  60 1  2 2 3 1 r 3 1 R  25 3   sin JOH        2 2 2 4 OJ 4 4 180 4 2
 70  R  160  70  R  4 10 .
Do R    R 9;10;11;1  2 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của R thỏa mãn yêu cầu bài toán.
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 103 Page 25
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Đề chính thức
Bài thi: TOÁN – Mã đề: 104 Ngày thi: 28/6/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề) Câu 1:
Cho số phức z  1  2i .Phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. 1  . C. 1. D. 2 .     Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1;2; 2
  và v  2; 2
 ;3 . Tọa độ của vectơ u v là A. 1;  4;5 . B. 3; 0;   1 . C. 3; 0;  1 .
D. 1; 4;  5 . Câu 3:
Tập nghiệm của bất phương trình log 2x  log 2 là 3   3 A. 1;  . B. 1;  . C. 0;  . D. 0;  1 . Câu 4:
Cho hai số phức z  2  i và z  1  3i . Phần thực của số phức z z bằng 1 2 1 2 A. 1  . B. 3 . C. 4 . D. 1. 1 3 3 Câu 5: Nếu
f x dx  2  và
f xdx  5 
thì f xdx  bằng 0 1 0 A. 3 . B. 10 . C. 7 . D. 3 . Câu 6:
Cho hàm số f x  cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 x A. f x 2
dx   sin x x C  . B.
f xdx  sin x   C  . 2 2 x C. f x 2
dx  sin x x C  . D.
f xdx  sin x   C  . 2 Câu 7:
Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 4 F   2  6, F   4 12 . Tích phân
f xdx  bằng 2 A. 6 . B. 2 . C. 18 . D. 6 . Câu 8:
Điểm M trong hình bên biểu diễn số phức nào dưới đây? A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2  i . D. 2  i . Câu 9: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a, , b ,
c d   có đồ thị là
đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 1.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 10: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là A. z  0 . B. y  0 .
C. x y z  0 . D. y  0 .
Câu 11: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Số nghiệm thực của phương trình f x  2 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x  2 A. 2 y  2  x 1. B. y  . C. 4 2
y x  3x . D. 3
y  x  3x 1. x
Câu 13: Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 4 1 2 1 4 3 1 2 3 A. 3 3
x dx x C  . B. 3 3
x dx x C  . C. 3 3 x dx x C  . D. 3 3 x dx x C  . 4 2
Câu 14: Với b, c là hai số thực dương tuỳ ý thoả mãn log b  log c , khẳng định nào dưới đây là đúng? 5 5
A. b c .
B. b c .
C. b c .
D. b c .
Câu 15: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều? A. 729 . B. 216 . C. 120 . D. 20 . 1
Câu 16: Cho hàm số y   2 x  2 2 1
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x  2 bằng A. 3 . B. 3 . C. 7 . D. 7 .
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x  8 là  3   3   3  A. 0;   . B. ;   . C. ;    . D.  ;  2 .  2   2   2  y  log x 1 2  
Câu 18: Đạo hàm của hàm số là 1 x 1 1 1 A. y '  . B. y '  . C. y '  . D. y '  . (x 1) ln 2 ln 2 x 1 ln 2
Câu 19: Cho hình trụ có chiều cao h  3 và bán kính đáy r  4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 16 . B. 56 . C. 24 . D. 48 .
Câu 20: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1;   1 và có một vectơ 
chỉ phương u  1; 2  ;  3 là x  1 y  2 z  3 x  2 y  1 z  1 A.   . B.   . 2 1 1 1 2 3 x  1 y  2 z  3 x  2 y  1 z  1 C.   . D.   . 2 1 1 1 2 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 21: Nếu khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích V thì khối chóp A .ABC có thể tích bằng 2V V A. . B. 3V . C. . D. V . 3 3 1
Câu 22: Cho dãy số u với u  , n
   * . Giá trị của u bằng n n n 1 3 1 1 A. . B. 4 . C. u  7 . D. . 3 2 4
Câu 23: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như đường cong y
trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . O x 3x 1 
Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có phương trình là x  2 1 A. x  . B. x  2 . C. x  3 . D. x  2 . 2
Câu 25: Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối nón đã cho bằng 4 4 A. 4 . B. . C. . D. 4 . 3 3
Câu 26: Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 7 . B. 12 . C. 4 . D. 5 .
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của S  là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  2   z   1  4 . B. x   1
  y  2   z   1  2 . 2 2 2 2 2 2 C. x   1
  y  2   z   1  4 . D. x  
1   y  2   z   1  2 . Câu 28: Cho hàm số y   x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;  . B. 0;  . C.  ;  0 . D.  1  ; 2 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A5; 2;  1 và B 1; 0 
;1 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2
A. x  3   y   1   z   1  5 .
B. x  3   y   1   z   1  5 . 2 2 2 2 2 2
C. x  3   y   1   z   1  20 .
D. x  3   y   1   z   1  20 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 3
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 a 3
Câu 30: Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Góc giữa mặt phẳng 6
SCD  và mặt phẳng đáy bằng A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;  
1 và mặt phẳng  P : x  2y z  0 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là x  1 tx  1 tx  1 tx  1 t    
A. y  2  2t .
B. y  2  2t .
C. y  2  2t .
D. y  2  2t . z  1   t     z  1   tz  1 tz  1 t
Câu 32: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  1 và log b  2 , giá trị của 2 log ab bằng: 2 a   a 1 5 3 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A ' B 'C ' D ' có
AB  1, BC  2, AA'  2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AD ' và DC ' bằng: 6 A. . B. 2 . 3 2 5 6 C. . D. . 5 2
Câu 34: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6z 14  0 và M , N lần lượt là điểm biểu 1 2
diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là 1 2 A. 3; 0 . B. 3;0 . C. 3;7 . D.  3  ;7 . x  5
Câu 35: Biết đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x  2
x , x . Giá trị x x bằng 1 2 1 2 A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1 .
Câu 36: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4
học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng: 71 72 128 15 A. B. C. D. 143 143 143 143
Câu 37: Đường gấp khúc ABC trong hình bên là đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 2;  3 . Tích 3 phân
f xdx  bằng 2  9 A. B. 3 2 7 C. 4 D. 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 38: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x  x x  4 , x   . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f 5  f 6 .
B. f 0  f 2 .
C. f 4  f 0 .
D. f 4  f 2 .
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 5x 125 2
log x  8log x 15  0 3 3  A. 242 . B. 217 . C. 220 . D. 215 .
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt tại hai điểm như trong hình 125
bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . Tích phân 6 7
2x  3 f  xdx  bằng 2 215 265 245 415 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 3 2
y x  3x  3mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 1;5 ? 3 A. 17 . B. 12 . C. 16 . D. 11.
Câu 42: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0;  , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f xln f x  x 2 f x  f  x , x
 0;  . Biết f  
1  f 4 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 54;56 . B. 74;76 . C. 10;12 . D. 3;5 .
Câu 43: Gọi S là tập hợp các số phức z a bi a,b   thỏa mãn z z z z  8 và ab  0 . Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  4i z 1 2 1  i 1 2 bằng A. 4. B. 4 2. C. 4 5. D. 4  4 2.
Câu 44: Gọi S là tập họp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  3 9  x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  6x  9x y  log
x  6x . Số phần tử của S là 2   3   2 2    A. 3 . B. 8 . C. 7 . D. 1.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 2 2
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi  qua điểm A1;0; 2
 , nhận u  1; ;
a 3  a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  13 15   49   1 3   31 33  A. ;   . B. 24;   . C. ;   . D. ;   .  2 2   2   2 2   2 2 
Câu 46: Trên tập số phức, xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z ; z thỏa mãn z 1  2 và z  2  3i  3 ? 1 2 1 2 A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 .
Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC AB C
  có AC  8 , diện tích của tam giác A B
C bằng 9 và đường
thẳng AC tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 12 . B. 18 . C. 18 3 . D. 12 3 .
Câu 48: Cho hình lập phương ABCD.AB CD
  có cạnh bằng 4. Xét hình nón  N  có đáy nằm trên mặt
phẳng  ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A , B ,C , D . Khi bán kính đáy của  N
bằng 3 2 , diện tích xung quanh của  N  bằng A. 72 . B. 54 . C. 36 2 . D. 108 .
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu (S) có tâm I (3;5;12) và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của (S) trong
mặt phẳng (Oyz) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 4 . B. 2 . C. 10 . D. 6 .
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x 18x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  3
 ; 2 của phương trình f  2
x  2x  3  m bằng 4 A. 24 . B. 23 . C. 26 . D. 25 .
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 6
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1.D 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.B 11.D 12.D 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.A 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.D 25.D 26.C 27.A 28.A 29.B 30.C 31.B 32.C 33.A 34.B 35.A 36.C 37.B 38.B 39.B 40.A 41.B 42.A 43.C 44.C 45.A 46.A 47.C 48.B 49.A 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO Câu 1:
Cho số phức z  1  2i .Phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. 1  . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D
z  1 2i z  1 2i .     Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1;2; 2
  và v  2; 2
 ;3 . Tọa độ của vectơ u v là A. 1;  4;5 . B. 3; 0;   1 . C. 3; 0;  1 .
D. 1; 4;  5 . Lời giải Chọn C  
Ta có: u v  3;0  ;1 . Câu 3:
Tập nghiệm của bất phương trình log 2x  log 2 là 3   3 A. 1;  . B. 1;  . C. 0;  . D. 0;  1 . Lời giải Chọn A
Điều kiện: x  0 Ta có: log
2x  log 2  2x  2  x  1 3   3 Câu 4:
Cho hai số phức z  2  i và z  1  3i . Phần thực của số phức z z bằng 1 2 1 2 A. 1  . B. 3 . C. 4 . D. 1. Lời giải Chọn D
Ta có: z z  2  i 1  3i  1  4i 1 2 1 3 3 Câu 5: Nếu
f x dx  2  và
f xdx  5 
thì f xdx  bằng 0 1 0 A. 3 . B. 10 . C. 7 . D. 3 . Lời giải Chọn C 3 1 3 Ta có:
f x dx f xdx f x dx  2  5  7    . 0 0 1 Câu 6:
Cho hàm số f x  cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 x A. f x 2
dx   sin x x C  . B.
f xdx  sin x   C  . 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 7
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 x C. f x 2
dx  sin x x C  . D.
f xdx  sin x   C  . 2 Lời giải Chọn B 2 x
f xdx  sin x   C  . 2 Câu 7:
Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  và 4 F   2  6, F   4 12 . Tích phân
f xdx  bằng 2 A. 6 . B. 2 . C. 18 . D. 6 . Lời giải Chọn D 4 Ta có
f xdx F 4 F   2  12 6  6  . 2 Câu 8:
Điểm M trong hình bên biểu diễn số phức nào dưới đây? A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2  i . D. 2  i . Lời giải Chọn D Điểm M 2; 
1 nên biểu diễn số phức 2  i . Câu 9: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a, , b ,
c d   có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị, giá trị cực đại của hàm số bằng 3 .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là A. z  0 . B. y  0 .
C. x y z  0 . D. y  0 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 8
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải Chọn B
Mặt phẳng Oxz đi qua gốc O0;0; 
0 , nhận j  0;1;0 làm VTPT nên có phương trình là y  0 .
Câu 11: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương
trình f x  2 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D
Số nghiệm thực của phương trình f x  2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và
đồ thị đường thẳng y  2 . Do đó phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x  2 A. 2 y  2  x 1. B. y  . C. 4 2
y x  3x . D. 3
y  x  3x 1. x Lời giải Chọn D
Bảng biến thiên trên là đặc trưng của hàm số bậc 3.
Câu 13: Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 4 1 2 1 4 3 1 2 3 A. 3 3
x dx x C  . B. 3 3
x dx x C  . C. 3 3 x dx x C  . D. 3 3 x dx x C  . 4 2 Lời giải Chọn C
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 9
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  1  x
Áp dụng công thức x dx   C,   1  .   1
Câu 14: Với b, c là hai số thực dương tuỳ ý thoả mãn log b  log c , khẳng định nào dưới đây là đúng? 5 5
A. b c .
B. b c .
C. b c .
D. b c . Lời giải Chọn A
log b  log c b c 5 5
Câu 15: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều? A. 729 . B. 216 . C. 120 . D. 20 . Lời giải Chọn D Số tam giác: 3 C  20 6 1
Câu 16: Cho hàm số y   2 x  2 2 1
. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x  2 bằng A. 3 . B. 3 . C. 7 . D. 7 . Lời giải Chọn C 1
Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x  2 bằng y   2  2 2.2 1  7 .
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x  8 là  3   3   3  A. 0;   . B. ;   . C. ;    . D.  ;  2 .  2   2   2  Lời giải Chọn B x x 3 2 2 3 2  8  2
 2  2x  3  x 2 y  log x 1 2  
Câu 18: Đạo hàm của hàm số là 1 x 1 1 1 A. y '  . B. y '  . C. y '  . D. y '  . (x 1) ln 2 ln 2 x 1 ln 2 Lời giải Chọn A 1
y '  log  x   ' 1    2  (x 1) ln 2
Câu 19: Cho hình trụ có chiều cao h  3 và bán kính đáy r  4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 16 . B. 56 . C. 24 . D. 48 . Lời giải Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ S
 2 rh  2 .4.3  24 . xq
Câu 20: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1;   1 và có một vectơ 
chỉ phương u  1; 2  ;  3 là x  1 y  2 z  3 x  2 y  1 z  1 A.   . B.   . 2 1 1 1 2 3
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 10
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 x  1 y  2 z  3 x  2 y  1 z  1 C.   . D.   . 2 1 1 1 2 3 Lời giải Chọn B x  2 y  1 z  1
Phương trình đường thẳng d là   . 1 2 3
Câu 21: Nếu khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích V thì khối chóp A .ABC có thể tích bằng 2V V A. . B. 3V . C. . D. V . 3 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 V Ta có V
d A , ABC .S  .d AB C   , ABC .SV  . A .  ABC    ABC      ABCABC. 3 3 3 AB C   3 1
Câu 22: Cho dãy số u với u  , n
   * . Giá trị của u bằng n n n 1 3 1 1 A. . B. 4 . C. u  7 . D. . 3 2 4 Lời giải Chọn D 1 1 u   . 3 3 1 4
Câu 23: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là y O x A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C Số cực tiểu là 2 . 3x 1 
Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có phương trình là x  2 1 A. x  . B. x  2 . C. x  3 . D. x  2 . 2 Lời giải Chọn D 3x 1 Do lim
  nên ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x  2 . x 2  x  2
Câu 25: Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối nón đã cho bằng
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 4 4 A. 4 . B. . C. . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn D 1 3V 312 V Sh h    4 . 3 S 9
Câu 26: Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 7 . B. 12 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C 1 1 V Sh  3 4  4 . 3 3
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 và bán kính R  2 . Phương trình của S  là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  2   z   1  4 . B. x   1
  y  2   z   1  2 . 2 2 2 2 2 2 C. x   1
  y  2   z   1  4 . D. x  
1   y  2   z   1  2 . Lời giải Chọn A 2 2 2
Mặt cầu S  tâm I 1; 2;  
1 , R  2 có phương trình:  x  
1   y  2   z   1  4 . Câu 28: Cho hàm số y   x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;  . B. 0;  . C.  ;  0 . D.  1  ; 2 . Lời giải Chọn A
Nhận thấy f  x  0 với x 2;  nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;  .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A5; 2;  1 và B 1; 0 
;1 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2
A. x  3   y   1   z   1  5 .
B. x  3   y   1   z   1  5 . 2 2 2 2 2 2
C. x  3   y   1   z   1  20 .
D. x  3   y   1   z   1  20 . Lời giải Chọn B 2 2 2
Gọi I là trung điểm của AB , ta có I 3;1 
;1 và IA  5  3  2   1  1  1  5 .
Mặt cầu đường kính AB có tâm là I 3;1 
;1 và bán kính là R IA  5 có phương trình là:
x  2   y  2   z  2 3 1 1  5 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 12
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 a 3
Câu 30: Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Góc giữa mặt phẳng 6
SCD  và mặt phẳng đáy bằng A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn C a 3
Gọi O là tâm của đáy ABCDSO   ABCD  SO  . 6 OM CD
Gọi M là trung điểm CD  
 SCD  ABCD     ,  SMO SM CDa 3 SO SO 3
Trong tam giác SOM vuông tại O ta có  6  tan SMO      SMO  30 OM 1 a 3 CD 2 2
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;  
1 và mặt phẳng  P : x  2y z  0 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là x  1 tx  1 tx  1 tx  1 t    
A. y  2  2t .
B. y  2  2t .
C. y  2  2t .
D. y  2  2t . z  1   t     z  1   tz  1 tz  1 tLời giải Chọn B
Gọi d là đường thẳng đi qua A1; 2;  
1 và vuông góc với mặt phẳng  P .
Khi đó: d   P : x  2 y z  0  Đường thẳng d nhận véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm  x  1 t
một véc tơ chỉ phương, hay u 1; 2 
;1  Phương trình đường thẳng d là  y  2  2t dz  1   t
Câu 32: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  1 và log b  2 , giá trị của 2 log ab bằng: 2 a   a 1 5 3 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 13
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Chọn C 1 5 2 2 log ab  log a  log b   2  . 2 a   2   2 a a   2 2
Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A ' B 'C ' D ' có AB  1, BC  2, AA'  2 (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD ' và DC ' bằng: 6 2 5 6 A. . B. 2 . C. . D. . 3 5 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có
DC / / AB  d DC ; AD  d DC ; AB D
   d C ; AB D
   d A , AB D    h .
Lại có A' B ', A' ,
A A' D đôi một vuông góc với nhau tại A thì 1 1 1 1 1 1 1 6        h  . 2 2 2 2 2 2 2 h A' B ' A' D ' AA' 1 2 2 3
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa      
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với AB Ox, AD Oy, AA '  Oz .
Suy ra A0;0;0, D '0; 2; 2,C '1; 2; 2, D 0; 2;0 . 
Do AD ' đi qua A0;0;0 và nhận u  0;1; 
1 làm vec tơ chỉ phương. 
Do DC ' đi qua D 0; 2;0 và nhận u '  1;0; 2 làm vec tơ chỉ phương.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD ' và DC ' bằng:
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 14
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023   
u;u '.AD   2 6 d       AD ';DC ' u u     2 2 2 3 ; ' 2 1 1     
Trong đó: u;u '  2;1;  1   ; AD  0; 2;0
Câu 34: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6z 14  0 và M , N lần lượt là điểm biểu 1 2
diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là 1 2 A. 3; 0 . B. 3;0 . C. 3;7 . D.  3  ;7 . Lời giải Chọn B
Ta có  '  9 14  5 có một căn bậc hai là i 5 do đó phương trình có hai nghiệm là
z  3  i 5 và z  3  i 5 . 1 2
Suy ra tọa độ các điểm biểu diễn của z , z lần lượt là M 3; 5, N 3; 5 . Vậy trung điểm 1 2
của đoạn thẳng MN có tọa độ là 3;0 . x  5
Câu 35: Biết đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x  2
x , x . Giá trị x x bằng 1 2 1 2 A. 2 . B. 3 . C. 1  . D. 1 . Lời giải Chọn A x  5 x  1
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2
x 1  x  2x  3  0  
. Vậy x x  2 x  2 x  3 1 2  .
Câu 36: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4
học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng: 71 72 128 15 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 Lời giải Chọn C
Gọi  là không gian mẫu Ta có: n  4  C  715 13
Gọi A : "4 học sinh được chọn có cả nam và nữ " n A 1 3 2 2 3 1
C .C C .C C .C  640 5 8 5 8 5 8 n A 640 128
Xác suất cấn tìm là: p A    . n  715 143
Câu 37: Đường gấp khúc ABC trong hình bên là đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 2;  3 . Tích 3 phân
f xdx  bằng 2 
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 15
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 9 7 A. . B. 3 . C. 4 . D. . 2 2 Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có: 3 1 1
f xdx  1.dx x  1   2    3   2  2  2 
Câu 38: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x  x x  4 , x   . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f 5  f 6 .
B. f 0  f 2 .
C. f 4  f 0 .
D. f 4  f 2 . Lời giải Chọn B
Ta lập bảng xét dấu của f x
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f 0 là cực đại nên f 0  f 2
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 5x 125 2
log x  8log x 15  0 3 3  A. 242 . B. 217 . C. 220 . D. 215 . Lời giải Chọn B Giải phương trình
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 16
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 5x 125 2 log
x  8log x 15  0 3 3  Dk : x  0  5x 125  0  5x 125  0 pt   hay  2 2 log
x  8 log x 15  0 log
x  8log x 15  0  3 3  3 3 x 3  5  5 x 3   5  5
 log x  3 hay 3 3  log x  5   3 log x  5  3  x  3   x  3
  x  27 hay
x  3 hay 27  x  243 27  x  243   x  243 
x nguyên  x  1, 2, 28, 29,..., 242 có 217 số.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị  P và đường thẳng d cắt tại hai điểm như trong hình 125
bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  . Tích phân 6 7
2x  3 f  xdx  bằng 2 215 265 245 415 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
u  2x  3  du  2dxCách 1: Đặt    . dv f    xdx v f    x  7 7 7
Ta có: 2x  3 f  xdx  
 2x  3 f x  2 f xdx     2 2 2 5 10.5 125 215
 11 f 7  f 2  2     . 2 6 3  
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm A 2;5 và B 7;10 thuộc đường thẳng d và Parabol  P 
Suy ra đường thẳng d có vectơ chỉ phương AB  5;5
Phương trình đường thẳng d : y x  3
Gọi  P có phương trình: 2
y ax bx c, (a  0)
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 17
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
4a  2b c  5 c   4
a  2b  5
A, B   P   Hệ phương trình:   
49a  7b c  10
49a  7b  5  4a  2b  10   c   4
a  2b  5 c   3 14a     b  1 9a b  1 9a   125
Hình phẳng giới hạn bởi  P và d có diện tích S  6 7  x  3    125 2
ax bx cdx  6 2 7 125 2 
x  3  ax  1 9ax  3 14a dx     6 2 7 7 3 2 125  ax 9ax  125 2
 ax  9ax 14adx     14ax       6 3 2 6 2   2 125 125  a
a  1  b  8; c  17 6 6
P có phương trình: y f x 2
x  8x  17  f   x   2x  8 7 215
 2x  3 f  xdx   3 2
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
sao cho ứng với mỗi m , hàm số 1 3 2
y x  3x  3mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 1;5 ? 3 A. 17 . B. 12 . C. 16 . D. 11. Lời giải Chọn B Cách 1: 2
y '  3x  6x  3m   9  9m 2
y '  3x  6x  3m  0 có 2 nghiệm phân biệt x , x (x x )  9  9m  0  m  1 1 2 1 2 3  9  9m 3  9  9m
m  1  x
 1 1 m, x   1 1 m 1 2 3 3 1 Hàm số 3 2
y x  3x  3mx
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng 1;5 khi và chỉ khi 3 TH1. m  1   0  
 1  1 1 m  5
1  x  5  x  1 2 5 1 1 m  m  1 m  1     2
   1 m  4  2  1 m  4  Loại.   1 m  4 1 m  4   TH2.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 18
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 m  1 m  1   0      1
  1 1 m  5   2   1 m  4
x  1  x  5  1 2   1 1 m  1 1 m  2   m  1  m  1 m  1      
 15  m  3 2  1 m  4 4  1 m  16 3  m  15   
m 14; 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4;   3 Cách 2: 2
y '  3x  6x  3m YCBT 2
 PT 3x  6x  3m  0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng 1; 5 .   Xét 2
x x m   f x 2 3 6 3 0
x  2x  m .
Hàm số f x 2
x  2x có f ' x  2x  2 . Cho f ' x  0  x  1. Ta có bảng biến thiên
Từ BBT suy ra điều kiện 3  m  15  15   m  3   m  1  4; 1  3;...;   3 . Vậy có 12 giá trị thỏa mãn.
Câu 42: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0;  , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa
mãn f xln f x  x 2 f x  f  x , x
 0;  . Biết f  
1  f 4 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 54;56 . B. 74;76 . C. 10;12 . D. 3;5 . Lời giải Chọn A Ta có f  x
f xln f x  x 2 f x  f  x  ln f x  2x x f xf  x
ln f xx 2x
xln f x      2x f x
x ln f x 2  x C ln f    1  1 C Từ f  
1  f 4 ta có 
 41 C   16  C C  4 . 4 ln f  4  16  C  4 x Do đó   2      x x f x x f x ef   4 ln 4
2  e  54,598  54;56 .
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 19
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Gọi S là tập hợp các số phức z a bi a,b   thỏa mãn z z z z  8 và ab  0 . Xét z z
z và z thuộc S sao cho 1
2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  4i z 1 2 1  i 1 2 bằng A. 4. B. 4 2. C. 4 5. D. 4  4 2. Lời giải Chọn C
Từ giả thiết suy ra a b  4  a b   4 (do ab  0 )
Đặt z a ib , z a ib ; a ,b , a ,b   . 1 1 1 2 2 2  1 1 2 2  z z Do 1
2 là số thực dương nên a a b b và a b a b 1  i 1 2 1 2 1 1 2 2 a a  4 Do đó 2 1
a b  4  1 1 b a  2 1
z x  4  x i , z x  4  xi 1   2 2 2 Vậy 2
z  4i z
x  8  x   x  4 2 2 2
x  4  8  4 5 1 2 8
Dấu “=” xảy ra khi x  . 3
Câu 44: Gọi S là tập họp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị  3 9  x  ; 3 2 2  thỏa mãn log
x  6x  9x y  log
x  6x . Số phần tử của S là 2   3   2 2    A. 3 . B. 8 . C. 7 . D. 1. Lời giải Chọn C log  3 2
x  6x  9x y  log  2 x  6x 2 3  log  2
3  x  6 x  3 2  y  2
x  6x  9 2 log  x 6 x  3 9  Xét f x 3   3 2  2
x  6x  9, x  ;  2 2      2 2  x x
f ' x  3  x log3  6   .2  3 x   1  .   2
x  6xln 3    2 log  2  x x  3 9 3 6   Ta thấy .2  3 x   1  0 x   ;
. Khi đó f ' x  0  x  3  2 x 6xln 3  2 2     Bảng biến thiên
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 20
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 y  4 Yêu cầu bài toán   . 6,8  y  0, 04 
Do y nguyên  y  6  ; 5  ; 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;  4 .
Vậy số phần tử của S là 7 . 2 2 2
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  :  x  
1   y  2   z   1
 4 và đường thẳng d đi  qua điểm A1;0; 2
 , nhận u  1; ;
a 3  a (với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt
S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi 2 a
thuộc khoảng nào dưới đây?  13 15   49   1 3   31 33  A. ;   . B. 24;   . C. ;   . D. ;   .  2 2   2   2 2   2 2  Lời giải Chọn A
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2  ;   1 , bán kính R  2 Gọi ,
B C là giao điểm giữa d và S  , và O là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề d cắt  S  tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của  S  tại hai điểm đó vuông góc
với nhau, nghĩa là tứ giác OBIC là hình vuông, từ đó suy ra BC  2 2 BC
Gọi H là trung điểm BC suy ra BH   2 2
Kẻ IH BC , ta có 2 2 IH IB BH  2
Từ đó ta có d I; d   2    
Ta có AI  0; 2;  1 , u  1; ;
a 3  a suy ra  AI;u  a  6;1; 2      AI;u   a  62 2 2 1  2  13 15 
Từ đó d  I; d  2  2    2   2  a  7  ;   . u aa2 2  2 2 1 3    
Câu 46: Trên tập số phức, xét phương trình 2
z az b  0 a,b   . Có bao nhiêu cặp số a,b để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z ; z thỏa mãn z 1  2 và z  2  3i  3 ? 1 2 1 2 A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn A 2
z az b  0 2
  a 4b .
Trường hợp 1:   0 , phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt. z 1 2  1  z  3   1  z 1  2      1     Khi đó ta có z 1 2      1  z  1  1
z 23i  3    2     z  22  9  3 z  2  2 2  z  3 
a  z z  5  1 2  Nếu 1 
, khi đó theo Viet ta có:  (nhận) z  2     2 bz .z 6  1 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 21
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 z  1  
a  z z  1  1 2  Nếu 1 
, khi đó theo Viet ta có:  (nhận) z  2      2 bz .z 2  1 2
Trường hợp   0 , phương trình có 2 nghiệm không thực. Khi đó ta có z z . 2 1
Gọi z x yi
x, y    z x yi . 1   2   x 2 2 1  y  4    x 2 2 1  y  4 Ta có      
x22  y  2 3  9
2x  6y  7     25  9 15     25  9 15 15 3 15   x    z   i   20 1    20 20        153 15    25  9 15 153 15 y   z   i    20 2     20 20  . Do đó ta có. .    259 15     259 15 15  3 15   x   z   i  20 1     20 20     15  3 15        25 9 15 15 3 15 y     z   i    20 2   20 20  25  9 15 153 15    25  9 15   z   ia   1  20 20  20 Nếu  , ta có  (nhận)   25  9 15 15 3 15   55  9 15 z   ib   2   20 20  10  25 9 15 15  3 15    259 15   z   ia   1  20 20  20 Nếu  , ta có  (Nhận)   259 15 15  3 15   559 15 z   ib   2   20 20  10
Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC AB C
  có AC  8 , diện tích của tam giác A B
C bằng 9 và đường
thẳng AC tạo với mặt phẳng  A B
C  một góc 60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 12 . B. 18 . C. 18 3 . D. 12 3 . Lời giải Chọn C
Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B
C và M là giao điểm của AC và
AC . Vì AC  8 nên AM  4 .
Ta có  AC  ABC  ,  AMI  60 . 3
Từ đó ta có: AI AM  sin 60  4   2 3 . 2
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 22
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1 1 VAI S   9  2 3  6 3 . . A A BC    3 A BC 3 Mặt khác V  3V  3 6 3  18 3 . ABC.A BC   . A A BC
Câu 48: Cho hình lập phương ABCD.AB CD
  có cạnh bằng 4. Xét hình nón  N  có đáy nằm trên mặt
phẳng  ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A , B ,C , D . Khi bán kính đáy của  N
bằng 3 2 , diện tích xung quanh của  N  bằng A. 72 . B. 54 . C. 36 2 . D. 108 . Lời giải Chọn B
Gọi I là đỉnh của hình nón, O và O lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD , AB CD   .
Ta thấy I OO .
Gọi E là giao điểm của IA với  ABCD . Suy ra AOE .
N  có bán kính OE và đường cao IO. IOO A   IOO A   IO 2 2
Ta có IOE IOA          IO  8 . IO OE IO  OOOE IO  4 3 2
IO  8  4  12 .
Do đó độ dài đường sinh của  N  bằng 2 2 2 IE
IO OE  12 18  9 2 .
Vậy diện tích xung quanh của  N  là S  .9 2.3 2  54 . xq
Câu 49: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu (S) có tâm I (3;5;12) và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của (S) trong
mặt phẳng (Oyz) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 4 . B. 2 . C. 10 . D. 6 . Lời giải Chọn A Cách 1.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 23
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
TH1: Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) tại O R OI  178   (loại)
TH2: Mặt cầu (S) cắt (Oyz) theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính là r .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oyz) ta có H 0;5;12  2 OH  169 . Ta có 2 2 r R  9 . 2 2 2 2 2 4 R  9  OAr  4OA r AB 4r 2 2  2 
Mặt khác, AB  4AK  4        2  OH  169 OA 169 169 2 2
OA OB AB 2OA AB AB 187  2R Từ đó suy ra:  2 2 2 2 2 cos AOB    1  2 2 2 . OA OB 2OA 2 A O 169
Góc giữa hai đường thẳng O , A OB 60;90        2  1 187 2R 1 169 169 2
 60  AOB  120        187  2R  2 169 2 2 2 205 543 2   R   R {8;9;10;11}. 4 4
Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu  S  phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng Oyz  nên R  3 .
Gọi J là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oyz ta có J 0;5;12 và IJ  3 và OJ  13 .
Xét 2 tiếp tuyến đi qua O và tiếp xúc với C  tại K , H như hình vẽ. 13 13 3 Từ đề bài ta có 0 0
OJ .sin 60  r OJ.sin 30   r
, với r JK JH . 2 2
Mà d I ,Oyz  IJ  3 nên:
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 24
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 169 507 2
d I ,Oyz 2 2
r d I ,Oyz 2 
d I ,Oyz 4 4 169 507 205 543 2 2   9  R   9   R  4 4 4 4 205 543   R
, do R    R 8;9;10;1  1 . 4 4
Vậy, có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu
Câu 50: Cho hàm số f x 4 2
x 18x  4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với
mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  3
 ; 2 của phương trình f  2
x  2x  3  m bằng 4 A. 24 . B. 23 . C. 26 . D. 25 . Lời giải Chọn A f x 4 2
x 18x  4 , TXĐ D   . f  x 3  4x  36x x  0 f  x 3
 0  4x  36x  0   x   3 
Đặt g x  f  2
x  2x  3 , TXĐ D   .
g x   x   f  2 2 2
x  2x  3 2x  2  0
g x  0   f    2
x  2x  3  0  x  1   x  1  2
x  2x  3  0     x  0 2
x  2x  3  3   x  2   2
x  2x  3  3   Ta có bảng biến thiên: g   1  f 2  5  2 g  2
   f 3  7
 7; g 0  f 3  7  7; g  3
   f 6  652; g 2  f   11  12467
Ta thấy hàm số g x nhận đường thẳng x  1
 làm trục đối xứng.
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 25
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO – KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Do đó tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng  3
 ; 2 của phương trình f  2
x  2x  3  m bằng 4 khi nó có bốn nghiệm phân biệt.
Yêu cầu bài toán tương đương với 77  m  52 .
Kết luận: Vậy có 24 giá trị m nguyên thỏa mãn đề bài.
---------- HẾT ----------
Bài thi môn Toán – Mã đề thi: 104 Page 26