PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 LẦN 2
CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 6 NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: Toán 7
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18 tháng 01 năm 2024
Câu 1(4,0 điểm): 1. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): 3  1 − 1  3  1 − 1  0 a) : − + : −    1 5 15 6 5 3 15  ;
𝑏𝑏) � 4 . �−1� + � 9 � . 0, (6) − � 1 �: 82     25 25 10 −22 44 1 3 1 5 3 5 c) + + + + + . 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21
2. Cho a,b,c thỏa mãn 𝑏𝑏−𝑐𝑐 + 𝑐𝑐−𝑎𝑎 + 𝑎𝑎−𝑏𝑏 = 2024
(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐)
(𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)
(𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏)
Tính giá trị biểu thức 1 1 1 Q = + +
a − b b − c c − a
Câu 2(4,0 điểm): a, Tìm x, y, z biết (2x – y + z)2024 + |𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| + (z – 4)2022 = 0
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: x + y − 2xy = 4
c. Tìm tất cả các số nguyên tố x, y thoả mãn: 3x2 + 1 = 19y2
Câu 3(4,0 điểm):
a.Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2bz −3cy 3cx − az ay − 2bx = = Chứng minh: x y z = = . a 2b 3c a 2b 3c
b. Bác An chia một khu đất thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau cho ba
người con trai. Biết rằng chiều rộng của các mảnh đất lần lượt là 6m, 8m, 10m. Tổng
chiều dài các mảnh đất là 47m. Tính diện tích khu đất đó.
Câu 4(6,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, kẻ BE vuông góc với AC tại E(E ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴), kẻ
CF vuông góc với AB tại F(F ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia
MF lấy điểm D sao cho MF = . MD
a) Chứng minh CD = BF và CD / /BF.
b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP = .
MQ Chứng minh D,Q,C thẳng hàng.
c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK = FI.
Chứng minh tam giác MIK cân.
Câu 5. (2,0 điểm) a. Cho P = 1 1 1 1 1+ + + + ... + và Q = 1 1 1 1 1+ + + + ... + 2 3 4 4034 3 5 7 4033 Chứng tỏ rằng: P 2017 < 1 Q 2018
b. Cho ba số chính phương x, y, z. Chứng minh rằng A = (x – y)(y – z)(z – x)  12
…………………………………………. Hết………………………………………..
Họ và tên........................................................ SBD: ……………
PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU
CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 6
HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán 7 Câu Đáp án Thang Điểm a. 3  1 − 1  3  1 − 1  : − + : −    1 5 15 6 5 3 15      3  2 − 5  3  5 − 16  = : − +   : −
5  30 30  5  15 15  0.25  3 7 − 3 2 − 1 = : + : 5 30 5 15 0.25 3 3 − 0 3 5 − 3  30 − 5 −  3 35 − = . + . = . + = . = 3 − 5 7 5 7 5  7 7  5 7 0.5  0 2 4  1 −  9  1  8 ⋅ + ⋅0,(6) −     : 2 4 25  25  10  2 −  4 b. 6 2 9 2  1  2 = .1+ . −   : 2 8 5 10 3  2 −  2 0.5 2 3  1  2 = + − 2 3  .2 = + +1 = 2 1 2 5 5  2 −  5 5 0.5 1 3 1 5 3 5  1 3 1 5 3 5  c. + + + + + = 4. + + + + + 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21
 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21   0.25
 4 − 3 7 − 4 8 − 7 13 −8 16 −13 21−16 4.  = + + + + +
 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21    0.25  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4.  = − + − + − + − + − + − 
3 4 4 7 7 8 8 13 13 16 16 21   0.25  1 1  2 8 = 4. − =  4. =   3 21 7 7 0.25 2. 𝑏𝑏−𝑐𝑐
+ 𝑐𝑐−𝑎𝑎 + 𝑎𝑎−𝑏𝑏 = 2024
(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐)
(𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)
(𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏)
(𝑏𝑏−𝑎𝑎)−(𝑐𝑐−𝑎𝑎) + 0.25
(𝑐𝑐−𝑏𝑏)−(𝑎𝑎−𝑏𝑏) + (𝑎𝑎−𝑐𝑐)−(𝑏𝑏−𝑐𝑐) = 2024
(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐)
(𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)
(𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2024 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎 0.25 2( 1 + 1 + 1 ) = 2024 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎 0.25 1 1 1 𝑄𝑄 =
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 = 1012 0.25
a.Vì (2x – y +z)2024 ≥ 0∀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
|𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| ≥ 0∀ 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
(z – 4)2022≥ 0∀ 𝑧𝑧
Do đó (2x – y +z)2024 + |𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| + (z – 4)2022 ≥ 0∀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 0.25
Nên để (2x – y + z)2024 + |𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| + (z – 4)2022 = 0 thì (2x – y + z)2024 = 0
, |𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| = 0 và (z – 4)2022 = 0 0.25
+ Nếu (z – 4)2022 = 0 suy ra z = 4 0.25
+|𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧| = 0 suy ra |𝑦𝑦2 − 4| = 0, do đó y =2; y= -2 0.25
+ (2x – y + z)2024 = 0 thì 2x – y + z = 0 0.25
Nếu y = 2, z =4 suy ra x = -1
Nếu y = -2, z =4 suy ra x = -3
Vậy (x; y; z) ∈ {(−1; 2; 4); (−3; −2; 4)} 0.25
b Ta có: x + y − 2xy = 4 suy ra x − 2xy + y − 4 = 0 2
⇔ 2x − 4xy + 2y − 8 = 0 ⇔ 2x − 4xy + 2y −1= 7 0.5
⇔ 2x(1− 2y) − (1− 2y) = 7 ⇔ (2x − ) 1 (1− 2y) = 7 Lập bảng 2x −1 1 7 -1 -7 1− 2y 7 1 -7 -1 x 1 4 0 -3 0.5 y -3 0 4 1
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Vậy (x; y) cần tìm là (1; -3) ; (4; 0) ; (0; 4) ; (-3; 1) c) Từ 3x2 + 1 = 19y2 0.5 suy ra 19y2 - 3x2 = 1
c.Vì 1 là số lẻ nên 19y2 - 3x2 là số lẻ, do đó 19y2 và 3x2 không cùng tính 0.25
chẵn lẻ, mà 19 và 3 là số lẻ nên x và y không cùng tính chẵn lẻ. + Nếu x chẵn thì y lẻ. 0.25
Vì x chẵn mà x là số nguyên tố nên x = 2, thay vào tính được y2 = 13(KTM) 19 + Nếu y chẵn thì x lẻ. 0.25
Vì y chẵn mà y là số nguyên tố nên y = 2, thay vào tính được x = 5
Vậy x = 5, y = 2 là các số nguyên tố cần tìm. 0.25 a.
2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx = = ⇔
Tử gt suy ra a, b, c khác 0, do đó a 2b 3c
2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx = = 2 2 2 a 4b 9c
2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx 0.5 = = 0 2 2 2
a + 4b + 9c z y 0.5 ⇒ 2bz - 3cy = 0 ⇒ = (1) 3c 2b 0.5 ⇒ 3cx - az = 0 ⇒ x z = (2) a 3c 0.5
Từ (1) và (2) suy ra: x y z = = a 2b 3c
3 b. Gọi chiều dài của 3 mảnh đất lần lượt là x, y, z(m) ĐK: (x, y, z > 0 và x, y, z < 47) 0.5
Không mất tính tổng quát ta giả sử : x < y < z.
Theo bài ra tổng chiều dài các mảnh đất là 47m nên ta có x + y + z = 47
Vì các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau, do đó chiều dài và chiều rộng
của mỗi hình chữ nhật tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có : 10.x = 8.y = 6.z 0.5
⇒ 10𝑥𝑥 = 8𝑦𝑦 = 6𝑧𝑧 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 120 120 120 12 15 20
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 47 ta có : 𝑥𝑥
= 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧 = 47 = 1 12 15 20 12+15+20 47 ⇒ x = 12; y = 15; z = 20 0.5
Vậy các mảnh đất hình chữ nhật có kích thước như sau
Rộng 6m, dài 20m; rộng 8m, dài 15m; rộng 10m, dài 12m
Các mảnh đất này có diện tích bằng nhau và bằng 6.20 = 120 (m2) 0.5
⇒ Diện tích khu đất là 120.3 = 360 (m2) A K E F I P B C M Q D 4 a. Xét B ∆ MF và C ∆ MD
Có: BM = CM ( Vì M là trung điểm của BC ) 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 � (Hai góc đối đỉnh)
MF = MD(gt) 1 ⇒ B ∆ MF = C
∆ MD(c − g − c) 0. 5 0.5 ⇒ CD = BF Và 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
� mà chúng ở vị trí so le trong⇒ CD / /BF b. Xét B ∆ MP và C ∆ MQ Có:
MB = MC (Vì M là trung điểm của BC ) 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑄𝑄
� ( hai góc đối đỉnh)
MP = MQ(gt) 1 ⇒ B ∆ MP = C
∆ MQ(c − g − c) 0.5 0.5 ⇒ 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 𝐵𝐵𝐴𝐴𝑄𝑄
� mà chúng ở vị trí so le trong ⇒ BP / /CQ
Mà CD / /BF theo tiên đề ơclit⇒ C,Q, D thẳng hàng c. CM được B ∆ FC = DC ∆ F (c.g.c) 0.5
⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐵𝐵
Mà DF = 2FM (Vì M là trung điểm FD) 1 ⇒ FM = BC (1) 2 0.25 Chứng minh tương tự: 1 ME = BC (2). 2 Từ (1) và (2) 0.25
⇒ MF = ME ⇒ MF ∆ E cân tại M ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑀𝑀 � = 𝐵𝐵𝑀𝑀𝐵𝐵
� do đó 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑀𝑀 � = 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀 � Xét MF ∆ I và ME ∆ K 0.5
Có: MF = ME (chứng minh trên) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑀𝑀 � = 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀 � (chứng minh trên)
FI = EK (gt) 0.5 ⇒ MF ∆ I = ME ∆
K (c − g − c) ⇒ MI = MK ⇒ MIK ∆ cân tại M a. Đặt K = P – Q = 1 1 1 1 + + + ... + 2 4 6 4034 Ta có : Q = 1 1 1 1 1+ + + + ... + > 1 1 1 1+ + + ... + = 1 + K (1) 0.25 3 5 7 4033 4 6 4034 2
Lại có: 2017 = 1 + 1 + 1 +...+ 1 1  + 1 + 1 + + 1 ... = K 2 2 2 2 2 2 4 6 4034 1 K ⇒  (2) 0.25 2 2017
Từ (1) và (2) suy ra Q > K + K 2018 = K 0.25 2017 2017 5 Do đó K 2017
K + Q 2017 + 2018 P 2017  ⇒  ⇔ 1 Q 2018 Q 2018 Q 2018 0.25
B Theo bài ra x, y, z là ba số chính phương, mà một số chính phương khi
chia cho 3, 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Do đó trong 3 số chính phương x, y,
z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên trong 3 số x – y ; y – z ; 0.25
z – x phải có ít nhất một số chia hết cho 3
Do vậy (x – y)(y – z)(z – x)  3
Chứng minh tương tự ta có 0.25
(x – y)(y – z)(z – x)  4
Mà (3,4) =1 nên A = (x – y)(y – z)(z – x)  3.4 0.25 Hay
A = (x – y)(y – z)(z – x)  12 0.25