Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Chí Linh – Hải Dương

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Chí Linh – Hải Dương; đề thi có đáp án + lời giải chi tiết + hướng dẫn chấm điểm.

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Tìm x biết:
a)
2
1 1
x 0
3 16
b)
3 1
x 2017
4 2
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho
a b c
b c c a a b
. Tính :
a b b c c a
P
c a b
.
b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx - 2
Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.
b) Cho đa thức
2 2
A x xy y y
và
2 2
5 8 2017 3 2018
B x xy y y
.
Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM
BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME
AD + AE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn
25
a b c d
.
Tìm giá trị lớn nhất của
c d
M
b a
.
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN - LỚP 7
(Hư
ớng dẫn chấm v
à bi
ểu điểm gồm 03
trang)
Câu
Ý
Nội dung Điểm
1
a
2
1 1
x
3 16
1 1
1
x
x
3 4
12
1 1 7
x x
3 4 12
0,5
0,5
b
3 1 3 1 4035
x 2017 x 2017
4 2 4 2 2
0,25
3 4035 8067
x x
4 2 4
3 4035 8073
x x
4 2 4
0,25
0,5
2
a
Ta có:
a b c a b c
b c c a a b 2(a b c)
0,25
+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b
Khi đó
P ( 1) ( 1) ( 1) 3
0,25
+ Nếu
0
a b c
thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c
Khi đó
a b b c c a 2c 2a 2b
P 6
c a b c a b
0,25
Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25
b
Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.
Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z
x y z
6 4 3
0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
x y z x y z
6 4 3 6 4 3
0,25
26
2
13
x = 12, y = 8, z = 6.
0,25
0,25
3 a
Đa thức f(x) = ax
2
+ bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.
f(-1) = 0
a.(-1)
2
+b.(-1) -2 =0
a - b -2 = 0
a = b + 2.
0,25
Đa thức f(x) = ax
2
+ bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm.
0,25
f(2)=0
a.(2)
2
+b.(2) -2 =0
4a + 2b -2 = 0
4(b +2) + 2b - 2 = 0
4b +8 + 2b - 2 = 0
6b +6 = 0
0,25
b = -1
a = 1. Vậy a = 1; b = -1
0,25
b
C = A – B
2 2 2 2
10 2017 2 5 8 2017 3 2018
x xy y y x xy y y
0,25
2 2 2 2
x 10xy 2017y 2y 5x 8xy 2017y 3y 2018
2
4x 2xy y 2018
2
C 4x 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C
2x y 2018
(2x y) 2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được
C 1 2018 2017
0,25
0,25
0,25
4
F
5
4
3
2
1
E
H
D
M
CB
A
0,25
a
Xét
ABM và
ACM có:
AM chung; AB = AC (
ABC vuông cân); MB = MC (gt)
ABM =
ACM (c.c.c)
0,25
AMB AMC
. Mà
0 0
AMB AMC 180 AMB AMC 90
AM
BC
0,25
-
AMC có
0 0
AMC 90 ; ACM 45
(
ABC vuông cân tại A)
AMC vuông cân tại M
MA = MC (1)
0,5
b
Ta có:
0
2 3
M M 90
(MD
ME) và
0
3 4
M M 90
(AM
BC)
2 4
M M
(2)
0,25
- Do
ABM =
ACM
0
BAC
MAB MAC 45
2
0,25
Xét
AMD và
CME có:
AM = CM (theo (1));
2 4
M M
(theo (2));
0
MAD ACM 45
AMD =
CME (g.c.g)
MD = ME
0,5
c
Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH
AB tại H. 0,25
- Chứng minh
MDB =
MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC
AC.
- Chứng minh
HAC =
CFH từ đó suy ra HF = AC
0,25
Do
AMD =
CME
AD = CE
AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF
HF
DF
AC hay MD + ME
AD + AE
- Dấu “=” khi MD
AB.
0,25
5
Vì a + b = c + d = 25 nên
1 , , , 24
a b c d
Nếu cả hai phân số
c
b
và
d
a
đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết.
Vậy có một phân số không vượt quá 1.
Không mất tính tổng quát giả sử
1
c
b
0,25
+ Nếu
23
d
thì
23
d
a
(vì
1
a
)
1 23 24
c d
M
b a
(1)
0,25
+ Nếu
24
d
thì c = 1
1 24
M
b a
- Nếu a > 1 thì
24
1 13
2
M
(2)
- Nếu a = 1 thì b = 24
1 24 577
24 1 24
M
(3)
0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra
577
( )
24
Max M
Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24
hoặc a = c = 24; b = d = 1.
0,25
Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Tìm x biết: 2  1  1 3 1 a) x    0   b) x    2017  3  16 4 2 Câu 2 (2,0 điểm) a b c a  b b  c c  a a) Cho   . Tính : P    . b  c c  a a  b c a b
b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4. Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2
Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm. b) Cho đa thức 2 2
A  x 10xy  2017 y  2 y và 2 2
B  5x 8xy  2017y  3y  2018 .
Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE. Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  25 .
Tìm giá trị lớn nhất của c d M   . b a
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:………………………….. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm  1 1  1  x   x  0,5 2  1  1  3 4  12 a x          3  16 1 1 7 x     x   0,5  3 4  12 3 1 3 1 4035 1 x    2017  x    2017  0,25 4 2 4 2 2 b  3 4035  8067 x   x   0,25 4 2  4     3 4035 8073 x    x   0,5 4 2  4 a b c a  b  c Ta có:    0,25 b  c c  a a  b 2(a  b  c)
+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 0,25
Khi đó P  (1)  (1)  (1)  3
a + Nếu abc 0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c a  b b  c c  a 2c 2a 2b 0,25 Khi đó P        6 c a b c a b Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25 2
Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z. x y z 0,25
Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z    6 4 3 x y z x  y  z
b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau    6 4 3 6  4  0,25 3 26 0,25   2 13  x = 12, y = 8, z = 6. 0,25
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm. 0,25 3
a  f(-1) = 0  a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0  a - b -2 = 0  a = b + 2.
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25
 f(2)=0  a.(2)2 +b.(2) -2 =0  4a + 2b -2 = 0 0,25
 4(b +2) + 2b - 2 = 0  4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0
 b = -1  a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25 C = A – B   2 2 x  xy  y  y  2 2 10 2017 2
5x  8xy  2017 y  3y  2018 0,25  2   2   2   2 x 10xy 2017y 2y 5x 8xy 2017y  3y  2018 b   2 4x  2xy  y  2018 0,25   2 C
4x  2xy  y  2018  2x(2x  y)  y  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  2x  y  2018  (2x  y)  2018 0,25
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  1  2018  2017 0,25 A H E D 0,25 3 2 1 4 5 B M C F Xét  ABM và  ACM có:
AM chung; AB = AC (  ABC vuông cân); MB = MC (gt) 0,25   ABM =  ACM (c.c.c) a   AMB   AMC . Mà    0      0 AMB AMC 180 AMB AMC  90 4 0,25  AM  BC -  AMC có  0   0
AMC 90 ; ACM  45 (  ABC vuông cân tại A) 0,5
  AMC vuông cân tại M  MA = MC (1) Ta có:  M   0 M  90 (MD  ME) và  M   0 M  90 (AM  BC) 2 3 3 4 0,25   M   M (2) 2 4 BAC
b - Do  ABM =  ACM   MAB    0 MAC   45 0,25 2 Xét  AMD và  CME có: AM = CM (theo (1));  M   M (theo (2));    0 MAD ACM  45 0,5 2 4
  AMD =  CME (g.c.g)  MD = ME
Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25
- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC. 0,25
- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC
c Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,25
Mặt khác DF  HF  DF  AC hay MD + ME  AD + AE
- Dấu “=” khi MD  AB.
Vì a + b = c + d = 25 nên 1  a,b,c, d  24
Nếu cả hai phân số c và d đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết. b a 0,25
Vậy có một phân số không vượt quá 1.
Không mất tính tổng quát giả sử c  1 b 0,25 + Nếu d c d
d  23 thì  23 (vì a 1)  M    1 23  24 (1) a b a 5 + Nếu d  24 thì c = 1 1 24  M   b a - Nếu a > 1 thì 24  M  1  13 (2) 0,25 2 - Nếu a = 1 thì b = 24 1 24 577  M    (3) 24 1 24 Từ (1), (2) và (3) suy ra 577 Max(M )  24 0,25
Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24 hoặc a = c = 24; b = d = 1.
Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.