Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Chí Linh – Hải Dương

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (1,0 điểm)  12 12 12 5 5 5 12 5  − − − + + +   1) 7 289 85 13 169 91 10 B = 81. : . 4 4 4 4 6 6 6 3  4 − − − 6 + + +   7 289 85 13 169 91 2) 1 31 1  17  1   1 1 1 1 A   9   4   ...  = − − + + + + + + 31  5  2  2  5   2 6 12 930 
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Với x ≥ 0 và x, y thỏa mãn 2 2025
8 x − 81 + 3 y +1 = 0
2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương.
Câu 3. (3,0 điểm)
1) Cho dãy tỉ số bằng nhau: a a 1 2 2024 2025 = = ... a a = =
(giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa) a a a a 2 3 2025 1
(a + a +...+ a 1 2 2025 )2
Tính giá trị biểu thức B = . 2 2 2 2
a + a + a +...+ a 1 2 3 2025
2) Cho đa thức bậc hai: ( ) 2
A x = ax + bx + c ( x là ẩn; a,b,c là hệ số)
a) Tìm a,b,c biết rằng: A(0) = 2024; A( ) 1 = 2025; A( − ) 1 = 2027
b) Cho đa thức B(x) 3 = 2 − x −1
Tìm đa thức C (x) , biết rằng: A(x) B(x) −C (x) 5 4 2 . = 4
− x + 2x − 2x .
3) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7”
b) B: “Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9”.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho 1 CD < CB . 2
Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = C .
D Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ
từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F.
a) Chứng minh rằng:CK = BF.
b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I . Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng
FK và EK //FD .
c) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với FK cắt đường cao AH của A
∆ BC (H ∈ BC)
tại O. Chứng minh: AH > AB – OH.
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = ( x − y)2010 + ( z − x)2020 + (xy + yz + zx − 0 0 )2030 7 5 2 3 2 0 + 2025 --- HẾT ---
(Lưu ý: học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay) UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 03 trang) Câu Ý Nội dung Điể m  12 12 12 5 5 5 12 5  − − − + + +  7 289 85 13 169 91 10 B = 81. : . 4 4 4 4 6 6 6 3  4 − − − 6 + + +   7 289 85 13 169 91 1   1 1 1   1 1 1  0,25 (0,5đ 12. 1− − −   5.1+ + +  7 289 85 13 169 91     10 ) B = 81. : . 4   1 1 1   1 1 1  3 4. 1− − −  6.1+ + +   7 289 85 13 169 91       12 5  10 B = 81. : . =   36 0,25  4 6  81 1 1 31 1  17  1  (1,0đ Xet M  =  9 − −   4 + 31  5  2  2  5  )  1  31 17 17 21  . .  = − 31 5 2 2 5    2 17  31− 21 17 = =   0,25 (0,5đ 31 10  31 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Xet ... N   ...  = + + + + = + + + + 2 6 12 930 2 2.3 3.4 30.31    1 1 1 1 1 1 1  1 30 = + − + − + ... + − =  1− =   2 2 3 3 4 30 31 31 31 17 30 47
A = M + N = + = 0,25 31 31 31 Ta có: 2
8 x −81 ≥ 0 với mọi x; 2025 3 y +1 ≥ 0 với mọi y Nên để 2 2025
8 x −81 + 3 y +1 = 0 0,25 1 (1,0đ Thì 2 x −81 = 0 và 2025 y +1 = 0 ) 2 Giải ra x = 9 ± và y = -1 0,5 (2,0đ
Đối chiếu điều kiện x ≥ 0 , loại x = -9 ) Vậy x = 9 và y = -1 0,25
Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 < n < 100 2
⇒18 < 2n < 200 0,25
(1,0đ Mà 2n là số chính phương chẵn ⇒ 2n ∈{36;64;100;144; } 196 0,25 ) ⇒ n ∈{18;32;50;72; } 98 0,25
Mà n + 4 là số chính phương => n = 32. Vậy n = 32 0,25 3 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : (1,0đ a a a a
a + a + ... + a + a ) 1 = 2 = ... = 2024 = 2025 = 1 2 2024 2025 = 1 a a a a
a + a + ... + a + a 2 3 2025 1 2 3 2025 1 0,25
Suy ra : a = a = ... = a = a 1 2 2014 2025 0,25
(a + a +...+ a 1 1 1 )2 2 2 2025 a Do đó B = = 1 = 2025 2 a + 2 a + ... + 2 2 a 2025.a 0,25 1 1 1 1 Vậy B = 2025
a) A(0) = 2024 suy ra c = 2024 A( )
1 = 2025 suy ra a + b =1 0,25 A(− )
1 = 2027suy ra a − b = 3 a = 2 2  b = 1 − 0,25 (1,0đ c =  2024 ) b) ( ) 2 A x = 2x − x + 2024 ( ) ( ) − ( ) 5 4 2 A x .B x C x = 4x − + 2x − 2x 0,25 ( ) = ( 2 − + ) ( 3 − − ) − ( 5 4 2 C x 2x x 2024 . 2x 1 4x − + 2x − 2x ) ( ) 3 C x = 4048 − x + x − 2024 0,25
a) Số kết quả có thể xảy ra là: 59
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 0,25 91; 98. 3
Có 9 kết quả. Xác suất của biến cố A là: 9 (1,0đ 0,25 59 )
b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 45; 54; 63; 72; 81; 90 0,25
Có 6 kết quả. Xác suất của biến cố B là: 6 0,25 59 0,25 4
Ta có: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � ( A
∆ BC cân tại A) (1) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐸𝐸
� (Hai góc đối đỉnh) (2) 0,25 a
Từ (1), (2) suy ra 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐸𝐸
� hay 𝐾𝐾𝐴𝐴𝐾𝐾 � = 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐸𝐸 � (1,0đ Xét C ∆ DK và E B ∆ F có: )  =  KDC FEB = 90 ; DC = EB (GT); 0,25 𝐾𝐾𝐴𝐴𝐾𝐾 � = 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐸𝐸 � (C/m trên) C ∆ DK = E B ∆ F(g.c.g)
⇒ CK = BF (hai cạnh tương ứng) 0,25 Xét D ∆ IK và E ∆ IF có  =  IDK IEF = 90
DK = EF ( C ∆ DK = E B ∆ F); 0,25  = 
EFI KCI (cùng phụ  =  DIK EIF ) b Suy ra D ∆ IK = E ∆ IF
(1,0đ ⇒ IK = IFvà IE = ID (hai cạnh tương ứng) 0,25 ) Xét E ∆ IK và D ∆ IF có: IE = ID (chứng minh trên) IF = IK (chứng minh trên) 0,25  = 
EIK DIF (đối đỉnh) Suy ra E ∆ IK = D ∆ IF (c.g.c) Suy ra  =  EKI IFD 0,25 Suy ra EK // FD Ta có A ∆ HB = A
∆ HC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên 𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴 � Ta có 0,5 OA ∆ B = OA ∆
C (c.g.c) suy ra 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 � (3) c O ∆ IF = O
∆ IK (hai cạnh góc vuông bằng nhau) ⇒ OF = OK ,
(1,0đ từ đó suy ra OB ∆ F = OC ∆
K (c.c.c) suy ra 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐸𝐸 � = 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐾𝐾 � (4) )
Từ (3) và (4) suyra 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐸𝐸
� = 900⇒ OB ⊥ AB Xét A
∆ BO vuông tại B có OA là cạnh huyền 0,5
Nên OA > AB, mà OA = OH + AH Suy ra AH > AB – OH
Ta có ( x y)2010 ≥ ( z x)2020 7 – 5 0; 2 – 3 ≥ 0và
(xy + yz + zx − )2030 2000 ≥ 0 0,25 Nên
M = (7x −5y)2010 + (2z −3x)2020 + (xy + yz + zx − 000)2030 2 + 2025 ≥ 2025 Dấu bằng xảy ra khi:
( x − y)2010 +( z − x)2020 +(xy + yz + zx − )2030 7 5 2 3 2000 = 0
7 –5 = 0 suy ra 7 = 5 suy ra x y x y x y =  5 5 7  0,25
suy ra 2 – 3 = 0 suy ra 2 = 3 suy ra z x z x z x = 3 2 
xy + yz + zx − 2000 = 0 suy ra xy + yz + zx = 2000 
Từ đó tìm được x = 20, y = 28, z = 30 hoặc x = 20 − , y = 28 − , z = 30 − 0,25
Vậy GTNN của M là 2025⇔ (x, y, z) = (20;28;30) 0,25
hoặc (x, y, z) = ( 20 − ; 28 − ; 30 − )
Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 7
https://thcs.toanmath.com/de-thi-hsg-toan-7
Document Outline

• 29.3 Toán 7
• HSG 7