Đề HSG Toán 7 THCS Quảng Trạch 2025-2026 Có Đáp Án

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2025-2026 MÔN: TOÁN 7
TRƯỜNG THCS QUẢNG THẠCH
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (4,0 điểm) 1. Tính      
a. Thực hiện phép tính: 3 4 7 4 7 7 A   :   :      7 11  11  7 11  11 2 2 2 2
b. Tính giá trị biểu thức: 2 3 4 20 B  . ... 1.3 2.4 3.5 19.21
2. Tính giá trị biểu thức
a. Tìm x : x2 x 1  x 1  6 3  4.3  3  6 .    b. Tìm x y z x y z
x, y, z biết: 3 2 2 5 5 3  
và x  y  z  50  . 5 3 2 Bài 2. (4,0 điểm)  21  19 7  4
a.Tìm x, biết:  x  2 :   1     10  10 5  5
b. Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm
sóc di tích lịch sử. Trong đó, 2 số học sinh của nhóm I bằng 8 số học sinh 3 11
của nhóm II và bằng 4 số học sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của 5
nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh.
Tính số học sinh của mỗi nhóm Bài 3. (4,0 điểm) a. Cho đa thức 2
f (x)  ax  bx  c với a,b,c Q .
Chứng minh rằng f (2) f  
3  0biết 13a  2b  c  0 .
b. Cho a,b,clà độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 2 2 2
a  b  c  2(ab  bc  ca) . Bài 4. (6,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ các tia Bx, Cy vuông góc với
BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Gọi D là một điểm nằm
giữa B và C. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt Bx và Cy theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh AEB = ADC;
b) Chứng minh tam giác EDF vuông cân; Trang 1
c) Xác định vị trí điểm D trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất.
2. Một phòng học hình hộp chữ nhật có chiều dài 10 m,chiều rộng 5m
và chiều cao 4 m. Người ta định sơn bốn bức tường căn phòng, biết giá
công sơn là 4 5000 đồng một mét vuông. Hỏi chi phí tiền công là bao
nhiêu? Cho biết căn phòng có 1 cửa chính cao 1,8 m và rộng 2m và hai
cửa sổ có cùng chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm.
Bài 5. (2,0 điểm) Tìm các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời: ab = c ; bc = 4a ; ac = 9b
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN THI: TOÁN Câu Nội dung Điểm
Câu 1 (4,0 điểm). Câu 1. 1 (2 điểm)  3  4  7  4  7  7 a. A   :   :      7 11  11  7 11  11  3  4  11  4  7  11   .   .      7 11  7  7 11  7 0,25 11  3  4   4  7          7  7 11   7 11  0,25 11  3  4    4 7          0,25 7  7 7  11 11 1 0,25 11  7  11      7  7 11  (4đ) 11   1    1  0 7 Vậy A  0 2 2 2 2 2 3 4 20 b. Ta có B  . ... 1.3 2.4 3.5 19.21 0,25 2.2 3.3 4.4 20.20  . . ... 0,25 1.3 2.4 3.5 19.21 (2.3.4...20).(2.3.4...20)  0,25 (1.2.3...19)(3.4.5...21) 0,25 20.2 40   ` 21 21 Trang 2 Câu Nội dung Điểm 40 Vậy B  21 Câu 1.2(2 điểm) a. Tìm x :  x x x x 3x x 2 1 1 6 2 6 x 3 x 2 x 6 3
 4.3  3  6  3 .3  4.3 .3
 6  3 .3  4.3 .3  3  3.6 3 0,5 x x x      6 x 7 x 7 27.3 36.3 3 3. 2.3
 64.3  64.3  3  3  x  7 . Vậy x  7 . 0,5    b. Tìm x y z x y z x, y, z biết: 3 2 2 5 5 3   và 5 3 2
x  y  z  50  . Ta có 0,25 3x  2 y 2z  5x 5 y  3z 15x 10 y 6z 15x 10 y  6z      5 3 2 25 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,25 3x  2 y 2z  5x 5 y  3z 15x 10 y 6z 15x 10 y  6z
15x 10 y  6z 15x 10 y  6z        0 5 3 2 25 9 4 25  9  4
 3x  2y  2z  5x  5y  3z  0 0,25 x y y z x y z
x  y  z 50    ;        5 2 3 3 5 2 3 5 2  3  5 10 Vì x  5   x  5.2   10  . 2 Vì y  5   y  5.  3  15  . 3 Vì z  5   z  5  .5  2  5 . 5 Vậy 0,25 x  1  0; y  1  5; z  2  5 .
Câu 2 (4,0 điểm). Trang 3 Câu Nội dung Điểm  21  19 7  4 1 /  x  2 :   1     10  10 5  5 21 1 5 1   x  2  .  10 5 10 10 0,5 21 1  x  2    2 0,5 10 10 x  2  2 x  0     x  2  2 x  4 0,25 Vậy : x = 0 ; x = - 4 0,25 2 (4đ)
Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x , y , z (em) ( 0,25
x , y , z nguyên dương)
Theo đề bài, ta có : y  z  x 18 2 8 4 x  y  z 3 11 5 0,5 Vì 2 8 4 x  y 
z chia các tỉ số trên cho BCNN 2, 4,8  8 ta được 3 11 5 0,25 2.x 8.y 4.z x y z      3.8 11.8 5.8 12 11 10
Mặt khác: y  z  x 18 0,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y z
y  z  x 18      2 12 11 10 1110 12 9 x 12.2  24 0,25 
 y 11.2  22  z  10.2  20 
Vậy số học sinh: Nhóm I là 24 em; nhóm II là 22 em, nhóm 0,25 III là 20 em 3 Câu 3(4 điểm) (4đ) a. Cho đa thức 2
f (x)  ax  bx  c với a,b,c Q . Trang 4 Câu Nội dung Điểm Ta có f ( 2
 )  4a  2b  c   
f (3) 9a 3b c 1.0 Suy ra f ( 2
 )  f (3) 13a  2b  c  0. Do đó f ( 2  ) à
v f (3) là hai số đối nhau nên 1.0 f ( 2  ) f   3  0
b. Vì a,b,clà độ dài 3 cạnh của một tam giác nên 2
0  a  b  c  a  ab  ac 0,5 2
0  b  a  c  b  ab  bc 0,5 2 0,5
0  c  a  b  c  ac  bc 0,5 Do đó 2 2 2
a  b  c  2(ab  bc  ca) . Câu 4 (6 điểm) y x F A 1 3 0,25 4 E (6đ) 2 2 1 1 B H C D Câu 4.1(5 điểm) 0,25
a) Do ABC vuông cân tại A nên  ;   45o AB AC B C 1 1 0,25 Do Bx  BC nên   90o B B mà 45o B  suy ra 1 2 1 0,25  90o 
 90o  45o  45o B B 2 1 0,25 Trang 5 Câu Nội dung Điểm
Chứng minh tương tự ta được 45o C  2 0,25 Ta có:  D  90o A BA  A  B D
A  A  A 1 3 1 3
Xét AEB vàADC có: A  A ; AB  AC ;   45o B C 0,25 1 3 1 1 0,25 AEB = ADC (g -c - g)
b) b) Do AEB = ADC AE = AD mà AED vuông tại A 0,25
Suy ra AED vuông cân tại A 0,25  45o AED  0,25
Chứng minh tương tự phần a) suy ra ADB = AFC (g – c – g) 0,25
AD = AF DAF vuông cân tại A 0,25  45o DFA  0,25 EDF có  45o AED  DFA 0,25
EDF vuông cân tại D. 0,25
c) c) Kẻ AH BC  ABH vuông tại H có 45o B  1 
ABH vuông cân tại HHB = HA  0,25
ABC vuông cân tại A có đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC 0,25 mà HB = HA suy ra BC = 2AH 0,25
EF =AE + AF= AD + AD = 2AD  2AH = BC 0,25
đẳng thức xảy ra khi D  H. Câu 4.2(1 điểm)
Diện tích xung quanh của hình phòng học là:
2.(10 +5)4 = 120 m2 0,25
Diện tích cửa là: 1,8.2 + 0,8.0,6.2 = 4,56 m2 0,25 Diện tích cần sơn là
120 - 4,56 = 115,44 m2 0,25
Chi phí tiền công sơn: 45000.115,44 = 5194800 (đồng) 0,25 5 Câu 5(2 điểm) Trang 6 Câu Nội dung Điểm (2đ)
Nhân từng vế ba đẳng thức ta được abc2  36abc 0,25
Nếu abc  0 thì kết hợp với đề bài ta được a  b  c  0 0,25
Nếu abc  0 thì abc  36 0,25
Kết hợp ab  6  c  6  0,25
Kết hợp bc  4a  a  3  0,25
Kết hợp ac  9bsuy ra b  2 
a  3,b  2
Với c  6thì ab  6   0,25 a  3  ,b  2  
a  3,b  2 Với c  6
  ab  6   a  3  ,b  2  0,25
Vậy có 5 bộ a, , b cthỏa mãn là 0;0;0;3;2;6; 3  ; 2  ;6;3; 2  ; 6  ; 3  ;2; 6   0,25 Trang 7