Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Hưng Yên
Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Hưng Yên mã đề 357 gồm 06 trang với 50 câu trắc nghiệm
Tài liệu liên quan:
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 2
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: Toán
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 3x − z + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây
là một vectơ pháp tuyến của (P)? A. n = (3; 1 − ;0). B. n = (3; 1 − ;2) .
C. n = (3;0; − ) 1 .
D. n = (−3;0; − ) 1 . Câu 2.
Cho a ,b, c là các số thực dương, khác 1 và thỏa mãn 2 log b = x , log
c = y . Giá trị của log a 2 a b c bằng xy 1 2 A. . B. 2xy . C. . D. . 2 2xy xy Câu 3.
Cho , là các số thực. Đồ thị hàm số y = x , y = x trên khoảng (0; +) được cho trong hình
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 1 .
B. 0 1 .
C. 0 1 .
D. 0 1 . Câu 4.
Hàmsố f ( x) = log ( 2
x − 2 có đạo hàm là 2 ) ln 2 2x
A. f ( x) = f x = . 2 x − . B. ( ) 2 ( 2x −2)ln2 1 2x ln 2
C. f ( x) = ( .
D. f ( x) = 2 x − 2)ln 2 2 x − . 2 Câu 5.
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 6z − 2 = 0 . Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là A. ( 1 − ;−2;−3) . B. ( 1 − ;2; 3 − ) . C. (1; 2;3) . D. (1; −2;3) . Câu 6.
Biết rằng hàm số f ( x) 1
= −x + 2018 − đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;4) tại x . Tính x 0 P = x + 2020 . 0 A. P = 2021. B. P = 4036 . C. P = 2020 . D. P = 2019 . Câu 7.
Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 3 5 .
i Tính môđun của z. A. z = 4 . B. z = 16 . C. z = 17 . D. z = 17 . Trang 1/29 - WordToan Câu 8. Cho các số phức z 2 3i, z 4 5 .
i Số phức liên hợp của số phức w 2 z z là 1 2 2 1
A. w = 8 −15i .
B. w = 4 + 4i .
C. w = 4 − 4i .
D. w = 8 +15i . Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2;m +1;− ) 1 và b = (1; 3 − ;2) . Với giá trị
nguyên nào của m sau đây thì . a b = 3 ? A. 0 . B. 3 − . C. 2 . D. 4 .
Câu 10. Đường thẳng x = m lần lượt cắt đồ thị hàm số y = log x và đồ thị hàm số y = log x + 4 tại các 5 ( ) 5 điểm ,
A B . Biết rằng khi 1 AB =
thì m = a + b trong đó ,
a b là các số nguyên. Tổng a + b bằng 2 A. 6 . B. 8 . C. 5 . D. 7 .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (1; −1;5) và N (0;0; ) 1 . Mặt phẳng ( )
chứa M , N và song song với trục Oy có phương trình là
A. ( ) : x + 4z −1 = 0 .
B. ( ) : 2x + z − 3 = 0 . C. ( ) : x − 4z − 2 = 0 . D. ( ) : 4x − z +1 = 0 .
Câu 12. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (3; 1
− ;2) lên trục Ox là A. (3; 0; 0) . B. (0; −1; 2) . C. (0;0; 2) . D. (0; −1;0) . 1 Câu 13. Tích phân 2 x e dx bằng 0 2 e −1 e −1 A. 2 e −1. B. . C. . D. ( 2 2 e − ) 1 . 2 2
Câu 14. Cho hàm số y f ( ) x liên tục trên
với bảng xét dấu đạo hàm như sau Hỏi hàm số y f ( )
x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B.1. C. 0 . D. 2 .
Câu 15. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở các phương án , A ,
B C, D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 O 1 2 x x + 2 x − 2 x + 2 x − 2 A. y = y = y = y = x − . B. 2 x + . C. 1 x − . D. 1 x − . 1
Câu 16. Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2z +10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 2 P = z + z . 1 2
Trang 2/29–Diễn đàn giáo viênToán A. 20 . B. 10 . C. 40 . D. 2 10 .
Câu 17. Cho cấp số nhân (u có u = 3,u = 2
− 4 và công bội q . Khẳng định nào sau đây đúng? n ) 1 4 1 1 A. q = . B. q = 2 − . C. q = − . D. q = 2 . 2 2
Câu 18. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 4 và thỏa mãn f (2) = 2, f (4) = 2020 . Tính 2 I = f
(2x)dx. 1 A. I = 1011. B. I = 1009 . C. I = 2018. D. I = 2022 .
Câu 19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y = x + x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 d : y = − x . 5
A. y = 5x + 3 .
B. y = 3x − 5 . C. y = 5 − x + 3.
D. y = 5x − 3 .
Câu 20. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , ACB = 30 và
SA = SB = SD với D là trung điểm của BC . Cạnh SA hợp với đáy một góc 45 . Thể tích khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 12 2 6 4 Câu 21. Cho hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f ( x) 2 = 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .
Câu 22. Tìm tập nghiệm S của bất phưong trình 2
log x − 5 log x + 4 0 . 2 2
A. S = 2;16 . B. S = ( ; − 1 4; +) .
C. S = (0; 2 16; +) . D. S = ( ; − 216;+) . 3
Câu 23. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6 m/s thì tăng tốc với gia tốc a (t ) = ( 2 m/s ) , trong đó t 1+ t
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần
nhất với kết quả nào sau đây? A.11m/s . B.14 m/s . C.12 m/s . D.13m/s .
Câu 24. Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối nón đã cho bằng A.12 . B. 4 . C.12 . D. 4 . Trang 3/29 - WordToan
Câu 25. Từ nhà bạn An đến nhà bạn Bình có 3 con đường đi, từ nhà bạn Bình đến nhà bạn Cường có 2 con
đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà bạn An đến nhà bạn Cường và phải đi qua nhà bạn Bình ? A. 5 . B. 6 . C. 2 . D. 3 .
Câu 26. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.Hàm số đồng biến trên ( ; − 0)và(0;+).
B. Hàm số đồng biến trên (−1;0) và (1; +) .
C.Hàm số đồng biến trên ( 1 − ;0) (1;+) .
D.Hàm số đồng biến trên ( ; − − ) 1 (1; +) .
Câu 27. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = ( + i)2 2 3
là điểm nào dưới đây? A. Q ( 5 − ;−12) . B. P (5;12) . C. M ( 5 − ;12) .
D. N (12; − 5) .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên \ −
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A.1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 29. Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a . Thể tích khối trụ bằng 3 a 3 a 3 a A. . B. 3 a . C. . D. . 4 3 2 x − y z −
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 d : = = . Điểm nào dưới đây 1 2 − 2
không thuộc d ? A. E(2; 2 − ;3) . B. N(1;0;1) . C. F(3; 4 − ;5) . D. M (0; 2;1) .
Câu 31. Cho hai số phức z = 1+ i và z = 2 − 3i . Tính mô-đun của số phức z + z . 1 2 1 2
A. z + z = 1.
B. z + z = 5 .
C. z + z = 5 .
D. z + z = 13 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Trang 4/29–Diễn đàn giáo viênToán
Câu 32. Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = xe là 2 2 1 2 A. x e + C . B. x e + C . C. 2 x e + C . D. ( + ) 2 2 2 1 x x e + C . 2
Câu 33. Mỗi đỉnh của hình đa diệnlà đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. 3 mặt. B. 2 mặt. C. 5 mặt. D. 4 mặt.
Câu 34. Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng để đến ngày 22/02/2020 rút được khoản tiền là 50.000.000
đồng. Lãi suất ngân hàng là 0,55% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau
mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi vào ngày
22/03/2018 người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để đáp ứng nhu cầu trên, nếu lãi
suất không thay đổi trong thời gian người đó gửi tiền? (làm tròn đến hàng nghìn). A. 44.074.000 đồng. B. 44.316.000 đồng. C. 43.383.000 đồng. D. 43.593.000 đồng.
Câu 35. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' có các cạnh đều bằng a . Tính diện tích S của mặt cầu qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. 2 49 a 2 7a 2 7 a 2 49a A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 144 3 3 144
Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm đến cấp hai trên
và có bảng xét dấu của hàm số y = f '( x) như hình sau: x
Hỏi hàm số g ( x) = f ( − x) 3 2 1 +
− 2x + 3x đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? 3
A. x = 3.
B. x = 0 . C. x = 3 − . D. x =1.
Câu 37. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn x f ( 2
x ) + f ( − x) 2 4 . 3 1 = 1− x . Tính 1 I = f (x)dx . 0 A. . B. . C. . D. . 4 16 20 6 4
x + ax + a
Câu 38. Cho hàm số y =
, với a là tham số thực. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị x +1
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M 2m ? A.10 . B.14 . C. 5 . D. 20 .
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình ( x+2 3
− 3)(3x − 2m) 0 chứa không quá 9 số nguyên? A.1094. B. 3281. C.1093. D.3280. Câu 40. Cho hàm số ( ) 4 2
f x = x + ax + b có giá trị cực đại y = 9 CÑ
và giá trị cực tiểu y =1. Hỏi có bao CT
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2 ) 2 f x
= m có 4 nghiệm phân biệt. A. 2. B. 7. C. 1. D. 6. Trang 5/29 - WordToan
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BA = BC = a và BAC = 30 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ
B đến mặt phẳng ( SCD) bằng 2a 21 a 2 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 7 2 14 7
Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên
. Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
y = f ( x) và y = xf (2x − )
1 tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết hai đường thẳng d , d vuông góc 1 2
với nhau, khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 f ( ) 1 2 2. B. f ( ) 1 2 2. C. 2 f ( ) 1 2. D. f ( ) 1 2.
Câu 43. Cho tập S = 1;2;...;19;2
0 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác
suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là 5 7 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114
Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên (SAC ) là tam giác cân tại S 3
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = SC =
. Gọi D là điểm đối xứng với B qua C . 2
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD . 34 3 34 3 34 3 34 A. . B. . C. . D. . 8 4 16 8
Câu 45. Cho hình lăng trụ tam giác AB . C A B C
có đáy là tam giác vuông tại A , AB = 2 , AC = 3 . Góc
CAA = 90 , BAA = 120 . Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ). Biết CM vuông góc với A B
, tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 3(1+ 33) 3(1+ 33) 1 + 33 1 + 33 A.V = . B.V = . C.V = . D.V = . 8 8 4 4
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 có ít 3 3
nhất một nghiệm thực trong đoạn 1;27.
A. m (0;2) .
B. m 0;2 .
C. m 2;4 .
D. m (0;4) . 2
x + 2x + m
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x −
nghịch biến trên khoảng (1;3) 1
và đồng biến trên khoảng (4;6) .
Trang 6/29–Diễn đàn giáo viênToán A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . − x + Câu 48. Cho hàm số 1 ln 1 y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc −5;5 để hàm số 1− ln x + m 1
đã cho đồng biến trên khoảng ;1 . 3 e A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 .
Câu 49. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hai phương trình 2 2 1 3m x + = và x 2
m = 3 −2x + x −1 có nghiệm chung. Tính tổng các phần tử của S . 5 A. 6 B. 3 . C.1. D. . 2
Câu 50. Biết phương trình 4 3 2
x + ax + bx + cx +1= 0 có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
T = a + b + c 4 8 A. T = . B. T = 4 . C. T = 2 . D.T = . min 3 min min min 3
-----------HẾT---------- BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8.C 9.A 10.A 11.D 12.A 13.B 14.D 15.D 16.D 17.B 18.B 19.D 20.C 21.D 22.C 23.D 24.D 25.B 26.B 27.C 28.D 29.A 30.D 31.D 32.B 33.A 34.A 35.C 36.A 37.C 38.B 39.D 40.C 41.D 42.B 43.C 44.C 45.C 46.B 47.D 48.B 49.B 50.A ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 3x − z + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây
là một vectơ pháp tuyến của (P)? A. n = (3; 1 − ;0). B. n = (3; 1 − ;2) .
C. n = (3;0; − ) 1 .
D. n = (−3;0; − ) 1 . Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( P) : 3x − z + 2 = 0 có một vec tơ pháp tuyến là n = (3;0; − ) 1 . Câu 2.
Cho a ,b, c là các số thực dương, khác 1 và thỏa mãn 2 log b = x , log
c = y . Giá trị của log a 2 a b c bằng xy 1 2 A. . B. 2xy . C. . D. . 2 2xy xy Lời giải Trang 7/29 - WordToan Chọn C x 2
log b = x log b = . a a 2 log
c = y log c = 4 y . 2 b b 1 2 1 Ta có log a = log . b log a = . = . c c b 4 y x 2xy Câu 3.
Cho , là các số thực. Đồ thị hàm số y = x , y = x trên khoảng (0; +) được cho trong hình
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 1 .
B. 0 1 .
C. 0 1 .
D. 0 1 . Lờigiải Chọn B
Ta thấy hàmsố y = x , y = x đồng biến trên khoảng (0; +) nên , 0 Loại A, D
Lạicó: vớimỗisố x 1, ta có: x
x 0 1 . 0 0 0 Câu 4.
Hàmsố f ( x) = log ( 2
x − 2 có đạo hàm là 2 ) ln 2 2x
A. f ( x) = f x = . 2 x − . B. ( ) 2 ( 2x −2)ln2 1 2x ln 2
C. f ( x) = ( .
D. f ( x) = 2 x − 2)ln 2 2 x − . 2 Lờigiải ChọnB ( 2 x − 2) 2x
Ta có: f ( x) = = . ln 2 ( 2 x − 2) ln 2( 2 x − 2) Câu 5.
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 6z − 2 = 0 . Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là A. ( 1 − ;−2;−3) . B. ( 1 − ;2; 3 − ) . C. (1; 2;3) . D. (1; −2;3) . Lời giải
Trang 8/29–Diễn đàn giáo viênToán Chọn D Mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm là I (a; ; b c) .
Khi đó mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 6z − 2 = 0 có tâm là I (1; 2 − ;3) . Câu 6.
Biết rằng hàm số f ( x) 1
= −x + 2018 − đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;4) tại x . Tính x 0 P = x + 2020 . 0 A. P = 2021. B. P = 4036 . C. P = 2020 . D. P = 2019 . Lời giải Chọn A 1 x =1
Xét hàm số f ( x) 1 = −x + 2018 −
trên khoảng (0; 4) có f ( x) = 1 − + = 0 . x 2 x x = 1 − (L)
Bảng biến thiên của hàm số f ( x) 1 = −x + 2018 − trên khoảng (0; 4) : x
Từ bảng biến thiên, ta có x = 1. Suy ra P =1+ 2020 = 2021. 0 Câu 7.
Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 3 5 .
i Tính môđun của z. A. z = 4 . B. z = 16 . C. z = 17 . D. z = 17 . Lời giải Chọn C 3 5i 2 2 Ta có: z 1 i 3 5i z 1 4i z 1 4 17 . 1 i Câu 8. Cho các số phức z 2 3i, z 4 5 .
i Số phức liên hợp của số phức w 2 z z là 1 2 2 1
A. w = 8 −15i .
B. w = 4 + 4i .
C. w = 4 − 4i .
D. w = 8 +15i . Lời giải Chọn C Ta có: w 2 z z 2 4 5i 2 3i 4 4i w 4 4i . 2 1 Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2;m +1;− ) 1 và b = (1; 3 − ;2) . Với giá trị
nguyên nào của m sau đây thì . a b = 3 ? A. 0 . B. 3 − . C. 2 . D. 4 . Trang 9/29 - WordToan Lời giải Chọn A Ta có: .
a b = 2.1+ (m + ) 1 .( 3 − ) + (− ) 1 .2 = 3 − (m + ) 1 . m =
Suy ra a b = − (m + ) 0 . 3
1 = 3 m +1 = 1 . m = 2 −
Dựa vào đáp án ta chọn m = 0 thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10. Đường thẳng x = m lần lượt cắt đồ thị hàm số y = log x và đồ thị hàm số y = log x + 4 tại các 5 ( ) 5 điểm ,
A B . Biết rằng khi 1 AB =
thì m = a + b trong đó ,
a b là các số nguyên. Tổng a + b bằng 2 A. 6 . B. 8 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn A
Ta có: A là giao điểm của đường thẳng x = m và đồ thị hàm số y = log x . 5
Suy ra điểm A có tọa độ là A( ;
m log m với m 0 . 5 )
Ta có: B là giao điểm của đường thẳng x = m và đồ thị hàm số y = log x + 4 . 5 ( )
Suy ra điểm B có tọa độ là B ( ; m log m + 4 . 5 ( )) 2 m + m + Khi đó 4 AB = ( 4 0; log
m + 4 − log m = 0; log ; AB = log . 5 ( ) 5 ) 5 m 5 m m + 4 1 2 log = 1 m + 4 1 5 m 2
Theo bài ra ta có: AB = log = 5 2 m 4 m + 4 1 log = − 5 m 2 m + 4 = m 5 m =1+ 5 . 5
(m+ 4) = m m = 5 − − 5
Dựa vào đáp án ta chọn m = 1+ 5 . Suy ra a =1;b = 5 .
Vậy a + b = 6.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (1; −1;5) và N (0;0; ) 1 . Mặt phẳng ( )
chứa M , N và song song với trục Oy có phương trình là
A. ( ) : x + 4z −1 = 0 .
B. ( ) : 2x + z − 3 = 0 . C. ( ) : x − 4z − 2 = 0 . D. ( ) : 4x − z +1 = 0 . Lời giải Chọn D
Cách 1: Giải tự luận
Trang 10/29–Diễn đàn giáo viênToán Ta có: MN = ( 1 − ;1; 4 − ) .
Trục Oy có vectơ đơn vị: j = (0;1;0) .
Do ( ) chứa giá của vectơ MN và song song với giá của vectơ j nên ( ) có một vectơ pháp
tuyến là: n = MN j = (4;0;− ) 1 .
Vậy ( ) là mặt phẳng đi qua điểm N (0;0; )
1 và có vectơ pháp tuyến là n = (4;0; − ) 1 nên có
phương trình là: 4( x − 0) + 0( y − 0) − ( z − )
1 = 0 4x − z +1 = 0 .
Cách 2: Giải trắc nghiệm
Bước 1: Kiểm tra tính chất song song với trục Oy (phương trình khuyết ẩn y ) cả 4 phương án đều thỏa mãn.
Bước 2: Kiểm tra tính chất đi qua điểm N (0;0; )
1 (điểm nào dễ nhẩm thì kiểm tra trước).
Phương án A: 0 + 4 −1= 0 (sai) loại A.
Phương án B: 0 +1−3 = 0 (sai) loại B.
Phương án C: 0 − 4 − 2 = 0(sai) loại C. Vậy chọn D.
Câu 12. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (3; 1
− ;2) lên trục Ox là A. (3; 0; 0) . B. (0; −1; 2) . C. (0;0; 2) . D. (0; −1; 0) . Lời giải Chọn A
Hình chiếu của M (a; ;
b c) lên các trục O , x O ,
y Oz lần lượt có tọa độ là: (a; 0; 0) , (0; ; b 0) , (0;0;c) .
Vậy hình chiếu của M (3; 1
− ;2) lên trục Ox có tọa độ là (3;0;0). 1 Câu 13. Tích phân 2 x e dx bằng 0 2 e −1 e −1 A. 2 e −1. B. . C. . D. ( 2 2 e − ) 1 . 2 2 Lời giải Chọn B 1 1 2 e x 1 x 1 Ta có 2 2 e dx e 2 2 0 0
Câu 14. Cho hàm số y f ( ) x liên tục trên
với bảng xét dấu đạo hàm như sau Hỏi hàm số y f ( )
x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B.1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Đạo hàm qua các điểm x 3, x 2 đổi dấu nên x 3, x
2 là các điểm cực trị.
Qua điểm x 1đạo hàm không đổi dấu nên x 1không là điểm cực trị. Trang 11/29 - WordToan Vậy hàm số y f ( )
x có 2 điểm cực trị.
Câu 15. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở các phương án , A ,
B C, D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 O 1 2 x x + 2 x − 2 x + 2 x − 2 A. y = y = y = y = x − . B. 2 x + . C. 1 x − . D. 1 x − . 1 Lời giải Chọn D
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là: x =1. Loại , A B .
Ta có, hàm số là hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Loại C .
Câu 16. Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2z +10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 2 P = z + z . 1 2 A. 20 . B. 10 . C. 40 . D. 2 10 . Lời giải Chọn D Phương trình 2
z + 2z +10 = 0 có hai nghiệm là z = 1
− −3i và z = 1 − + 3i . Vậy 1 2 2 2 P = z + z = 2 10 . 1 2
Câu 17. Cho cấp số nhân (u có u = 3,u = 2
− 4 và công bội q . Khẳng định nào sau đây đúng? n ) 1 4 1 1 A. q = . B. q = 2 − . C. q = − . D. q = 2 . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3
u = u .q 24
− = 3q q = 8 − q = −2 . 4 1
Câu 18. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 4 và thỏa mãn f (2) = 2, f (4) = 2020 . Tính 2 I = f
(2x)dx. 1
A. I = 1011.B. I = 1009 .C. I = 2018.D. I = 2022 . Lời giải Chọn B 2 1 2 1 1 Ta có I = f
(2x)dx = f (2x) = f (4)− f (2) = (2020− 2) =1009. 2 1 2 2 1
Trang 12/29–Diễn đàn giáo viênToán
Câu 19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y = x + x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 d : y = − x . 5
A. y = 5x + 3 .
B. y = 3x − 5 . C. y = 5 − x + 3.
D. y = 5x − 3 . Lời giải Chọn D Ta có: 3 y = 4x +1
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên ta có: k . 1 k = 1 − k = − = 5 3
4x +1 = 5 x =1 y = 2 . d kd
Phương trình tiếp tuyến là: y = 5( x − )
1 + 2 y = 5x − 3 .
Câu 20. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , ACB = 30 và
SA = SB = SD với D là trung điểm của BC . Cạnh SA hợp với đáy một góc 45 . Thể tích khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 12 2 6 4 Lời giải Chọn C S A B H D C
Ta có: ACB = 30 ABC = 60
AB = a BC = 2a BD = a A
BD là tam giác đều cạnh bằng . a
SA = SB = SD , suy ra hình chiếu H của S trên mặt đáy là trọng tâm tam giác ABD . 2 a 3 a 3 a AH = . =
. Góc giữa SA và mặt đáy là góc 3
SAH = 45 SH = AH = . 3 2 3 3 Trang 13/29 - WordToan 3 1 1 a 3 1 a
Thể tích khối chóp S.ABC bằng V = .SH.S = . . . . a a 3 = . 3 ABC 3 3 2 6 Câu 23. Cho hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f ( x) 2 = 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D f x = 2 2 ( ) Ta có: f ( x) = 4 . f ( x) = 2 −
Từ đồ thị hàm số f ( x) ta có đồ thị hàm số f ( x) cắt đường thẳng y = 2 tại một điểm và cắt đường thẳng y = 2
− tại ba điểm phân biệt (hoành độ các giao điểm khác nhau) nên phương trình
f ( x) = 2 có một nghiệm và phương trình f ( x) = 2 − có ba nghiệm.
Vậy phương trình f ( x) 2 = 4 có 4 nghiệm.
Câu 24. Tìm tập nghiệm S của bất phưong trình 2
log x − 5 log x + 4 0 . 2 2
A. S = 2;16 . B. S = ( ; − 1 4; +) .
C. S = (0; 2 16; +) . D. S = ( ; − 216;+) . Lời giải Chọn C
Điều kiện: x 0 . log x 1 x 2 Ta có: 2 2
log x − 5log x + 4 0 . 2 2 log x 4 x 16 2 0 x 2
So với điều kiện x 0 ta có: x 16
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (0;216;+) . 3
Câu 23. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6 m/s thì tăng tốc với gia tốc a (t ) = ( 2 m/s ) , trong đó t 1+ t
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần
nhất với kết quả nào sau đây?
Trang 14/29–Diễn đàn giáo viênToán A.11m/s . B.14 m/s . C.12 m/s . D.13m/s . Lời giải Chọn D
Vận tốc của vật là v (t) = a (t) 3dt dt = = 3ln t +1 + C . t +1
Tại thời điểm vật bắt đầu tăng tốc v (0) = C = 6 . Suy ra v(t) = 3ln t +1 + 6 (m/s)
Vậy vận tốc của vật sau 10 giây bằng v (10) = 3ln11+ 6 13(m/s) .
Câu 24. Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối nón đã cho bằng A.12 . B. 4 . C.12 . D. 4 . Lời giải Chọn D 1 1
Thể tích của khối nón đã cho là V = r h = ( 3)2 2 4 = 4 . 3 3
Câu 25. Từ nhà bạn An đến nhà bạn Bình có 3 con đường đi, từ nhà bạn Bình đến nhà bạn Cường có 2 con
đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà bạn An đến nhà bạn Cường và phải đi qua nhà bạn Bình ? A. 5 . B. 6 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B
Số cách chọn đường đi từ nhà bạn An đến nhà bạn Cường và phải đi qua nhà bạn Bình : 3.2 = 6 ( cách).
Câu 26. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.Hàm số đồng biến trên ( ; − 0)và(0;+).
B. Hàm số đồng biến trên (−1;0) và (1; +) .
C.Hàm số đồng biến trên ( 1 − ;0) (1;+) .
D.Hàm số đồng biến trên ( ; − − ) 1 (1; +) . Lời giải Chọn B
Hàm số đồng biến trên (−1;0) và(1;+) .
Câu 27. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = ( + i)2 2 3
là điểm nào dưới đây? A. Q ( 5 − ;−12) . B. P (5;12) . C. M ( 5 − ;12) .
D. N (12; − 5) . Trang 15/29 - WordToan Lời giải Chọn C
Ta có: z = ( + i)2 2 2 3
= 4 +12i + 9i = 5 − +12i .
Do đó, điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ là điểm M ( 5 − ;12) .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên \ −
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A.1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có:
lim y = − nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = 1 − . + x→(− ) 1
lim y = 2 và lim y = 1
− nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = 2 và y = 1 − . x→− x→+
Vậy, đồ thị hàm số có số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3 .
Câu 29. Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a . Thể tích khối trụ bằng 3 a 3 a 3 a A. . B. 3 a . C. . D. . 4 3 2 Lời giải Chọn A
Khối trụ có bán kính đáy a r =
và chiều cao h = a . 2 2 3 Thể tích khối trụ a a 2 V r h = = a = . 2 4 x − y z −
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 d : = = . Điểm nào dưới đây 1 2 − 2
không thuộc d ? A. E(2; 2 − ;3) . B. N(1;0;1) . C. F(3; 4 − ;5) . D. M (0; 2;1) . Lời giải Chọn D
Trang 16/29–Diễn đàn giáo viênToán
Thay tọa độ các điểm E, N, F vào phương trình đường thẳng d ta thấy thỏa mãn nên E, N, F thuộc d.
Thay tọa độ các điểm M vào phương trình đường thẳng d ta thấy không thỏa mãn nên M không thuộc d.
Câu 31. Cho hai số phức z = 1+ i và z = 2 − 3i . Tính mô-đun của số phức z + z . 1 2 1 2
A. z + z = 1.
B. z + z = 5 .
C. z + z = 5 .
D. z + z = 13 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải Chọn D
Ta có z + z = 1+ i + 2 − 3i = 3 − 2i . 1 2 ( ) ( )
Vậy z + z = 3 − 2i = 3 + ( 2 − )2 2 = 13 1 2
Câu 32. Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = xe là 2 2 1 2 A. x e + C . B. x e + C . C. 2 x e + C . D. ( + ) 2 2 2 1 x x e + C . 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 x 1 x 1 Ta có ( ) = = ( 2) x f x dx xe dx e d x = e + C . 2 2
Câu 33. Mỗi đỉnh của hình đa diệnlà đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. 3 mặt. B. 2 mặt. C. 5 mặt. D. 4 mặt. Lời giải Chọn A
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.
Câu 34. Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng để đến ngày 22/02/2020 rút được khoản tiền là 50.000.000
đồng. Lãi suất ngân hàng là 0,55% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau
mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi vào ngày
22/03/2018 người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để đáp ứng nhu cầu trên, nếu lãi
suất không thay đổi trong thời gian người đó gửi tiền? (làm tròn đến hàng nghìn). A. 44.074.000 đồng. B. 44.316.000 đồng. C. 43.383.000 đồng. D. 43.593.000 đồng. Lời giải Chọn A
Thời gian người đó gửi tiền từ 22/03/2018 đến 22/02/2020 là 23 tháng.
Ngươi đó gửi tiền vào ngân hàng theo hình thức lãi kép nên ta có: A
A = A .(1+ r )23 50.000.000 23 A = = 44.073.981đồng. 23 0 0 (1+ r)23 (1+0,55%)23
Vậy người đó cần phải gửi vào ban đầu 44.074.000 đồng.
Câu 35. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' có các cạnh đều bằng a . Tính diện tích S của mặt cầu qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. 2 49 a 2 7a 2 7 a 2 49a A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 144 3 3 144 Lời giải Trang 17/29 - WordToan Chọn C
Gọi I, I lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B
'C ' , O là trung điểm II .
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. a 3 a Ta có AI = , OI = 3 2 2 2
a 3 a 7a Suy ra OA = + = . 3 2 12 2 7 a
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là 2 S = 4 OA = . 3
Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm đến cấp hai trên
và có bảng xét dấu của hàm số y = f '( x) như hình sau: x
Hỏi hàm số g ( x) = f ( − x) 3 2 1 +
− 2x + 3x đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? 3
A. x = 3.
B. x = 0 . C. x = 3 − . D. x =1. Lời giải Chọn A
g( x) = − f ( − x) 2 1
+ x − 4x + 3 . − − − x 3
f ( − x) f ( − x) 1 x 2 1 0 1 0 0 1− x 4 3 − x 1
Bảng xét dấu g( x) :
Từ bảng xét dấu g( x) ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Trang 18/29–Diễn đàn giáo viênToán
Câu 37. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn x f ( 2
x ) + f ( − x) 2 4 . 3 1 = 1− x . Tính 1 I = f (x)dx . 0 A. . B. . C. . D. . 4 16 20 6 Lời giải Chọn C 1 1
Lấy tích phân hai vế, ta có 4 . x f
( 2x)+3f (1− x) 2 dx = 1− x dx (*) . 0 0 1 Xét tích phân 2 J = 1− x dx
. Đặt x = sint dx = cos d t t . Khi đó, ta có 0 1 2 2 2 2 1 1 sin 2t 2 2 2 J = 1− x dx =
1− sin t .cos tdt = cos tdt
= (1+cos2t)dt = t + = . 2 2 2 4 0 0 0 0 0 1
Xét tích phân K = 4 . x f ( 2x)dx. Đặt 2
t = x dt = 2 d x x . Khi đó, ta có 0 1 K = 4 . x f (x ) 1 1 2 dx = 2 f
(t)dt = 2 f (x)dx . 0 0 0 1
Xét tích phân L = 3 f
(1− x)dx . Đặt t =1−x dt = d
− x . Khi đó, ta có 0 1 0 1 1 L = 3 f
(1− x)dx = 3 f
(t)(−dt) = 3 f
(t)dt = 3 f (x)dx. 0 1 0 0 1 1 Vậy ( )
* 5 f ( x) dx =
f (x)dx = . 4 20 0 0 4
x + ax + a
Câu 38. Cho hàm số y =
, với a là tham số thực. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị x +1
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M 2m ? A.10 . B.14 . C. 5 . D. 20 . Lời giải Chọn B 4 4
x + ax + a x Xét hàm số y = = + a . x +1 x +1 Trang 19/29 - WordToan 4 4 3 3x + 4x x = − Ta có = y = ( . x ) y 0 3 2 1 + x = 0 Bảng biến thiên 1 16 1 16
Dựa vào bảng biến thiên suy ra M = max a + ; a +
và m = min a + ; a + . 2 3 2 3 16 16 M = a + = a + 3 3 Trườ 1 1 ng hợp 1. a +
0 a − . 2 2 1 1
m = a + = a + 2 2 Khi đó 16 1 13
M 2m a + 2 a + a . 3 2 3 1 13
Kết hợp điều kiện, ta có − a
có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện. 2 3 1 1 M = a + = −a − 16 16 2 2 Trường hợp 2. a + 0 a − . 3 3 16 16 m = a + = −a − 3 3 1 16 61
M 2m −a − 2 −a − a − . 2 3 6 61 16
Kết hợp điều kiện ta có − a −
. Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 6 3 1 a + 0 Trườ 2 16 1 ng hợp 3. − a − . 16 3 2 a + 0 3 1 16 1 16 35 Nếu a + a +
−a − a + a − thì 2 3 2 3 12
Trang 20/29–Diễn đàn giáo viênToán 1 M = −a − 2 1 16 67
M 2m −a − 2 a + a − . 16 2 3 18 m = a + 3 16 67
Kết hợp điều kiện, ta có − a −
. Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 3 18 1 16 1 16 35 Nếu a + a +
−a − a + a − thì 2 3 2 3 12 16 M = a + 3 16 1 19
M 2m a + 2 −a − a − . 1 3 2 9 m = −a − 2 19 1
Kết hợp điều kiện, ta có −
a − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 9 2
Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình ( x+2 3
− 3)(3x − 2m) 0 chứa không quá 9 số nguyên? A.1094. B. 3281. C.1093. D.3280. Lời giải. Chọn D Đặt = 3x t
, (t 0) bất phương trình ( x+2 3
− 3)(3x − 2m) 0( )
1 trở thành (9t − 3)(t − 2m) 0(2) . Nếu 3 2m 3 m
1 thì không có số nguyên dương m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9 18 Nếu 3 2m 3 m thì bất phương trình ( ) 3 2 t 2m . 9 18 9
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình ( ) 3 1 là S = − ; log 2m . 3 ( ) 2 Để 3
S chứa không quá 9 số nguyên thì log (2m) 8 8 0 m 3 2
Vậy có 3280 số nguyên dương m thỏa mãn. Câu 40. Cho hàm số ( ) 4 2
f x = x + ax + b có giá trị cực đại y = 9 CÑ
và giá trị cực tiểu y =1. Hỏi có bao CT
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2 ) 2 f x
= m có 4 nghiệm phân biệt. B. 2. B. 7. C. 1. D. 6. Lời giải. Chọn C Hàm số ( ) 4 2
f x = x + ax + b là hàm số trùng phương có giá trị cực đại y = 9 CÑ và giá trị cực tiểu y
=1, suy ra bảng biến thiên của f ( x) như sau CT Trang 21/29 - WordToan Đặt 2
t = x , (t 0) phương trình ( 2 ) 2 f x = m trở thành ( ) 2
f t = m . Phương trình ( 2) 2 f x = m có 4
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 2
f t = m có 2 nghiệm t 0 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x) trên nửa khoảng 0;+) , phương trình ( ) 2 f t = m có 2
nghiệm t 0 khi và chỉ khi 2
1 m 9 1 m 3 .
Vậy có 1 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BA = BC = a và BAC = 30 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ
B đến mặt phẳng ( SCD) bằng 2a 21 a 2 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 7 2 14 7 Lời giải Chọn D
Tam giác ABC cân tại B có BAC = 30 và D đối xứng với B qua AC nên tứ giác ABCD là
hình thoi có ADC = ABC = 120 .
Trong mặt phẳng ( ABC ) , kẻ AH vuông góc với đường thẳng CD tại H . Khi đó CD ⊥ AH và
CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAH ) . Do đó (SCD) ⊥ (SAH ) .
Trong mặt phẳng (SAH ) , kẻ AK ⊥ SH tại K . Khi đó, AK ⊥ (SCD) và AK = d , A (SCD) . a 3 Ta có AH = A . D sin 60 = . 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 1 1 1 7 SAH , ta có = + = . Từ đó, 2 2 2 2 AK AH SA 3a a 21 AK = . 7 a
Vì AB// ( SCD) nên d B
(SCD) = d A (SCD) 21 , , = AK = . 7
Trang 22/29–Diễn đàn giáo viênToán
Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên
. Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
y = f ( x) và y = xf (2x − )
1 tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết hai đường thẳng d , d vuông góc 1 2
với nhau, khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 f ( ) 1 2 2. B. f ( ) 1 2 2. C. 2 f ( ) 1 2. D. f ( ) 1 2. Lời giải Chọn B
Vì d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 1 nên d có hệ số góc 1 1 k = f 1 . 1 ( ) Ta có xf (2x − ) 1 = f (2x − )
1 + 2xf (2x − ) 1 .
Vì d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xf (2x − )
1 tại điểm có hoành độ bằng 1 nên d có hệ số 2 2
góc k = f 1 + 2 f 1 . 2 ( ) ( )
Mặt khác, hai đường thẳng d , d vuông góc với nhau nên k .k = 1 − . 1 2 1 2 Từ đó, f ( ) 2 2 1 + f ( ) 1 . f ( ) 1 = 1 − . 2 1 1 2 Suy ra 2 f ( ) 1 + f ( ) 1 = f ( ) 1 −1 . Dẫn đến, f ( ) 1 2 2. 4 8
Câu 43. Cho tập S = 1;2;...;19;2
0 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác
suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là 5 7 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114 Lời giải Chọn C Ta có: 3 n() = C20 .
Gọi A là biến cố: “ba số lấy được lập thành cấp số cộng “. Giả sử ba số ,
a b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, khi đó ta có a + c = 2b . Hay a + c là một
số chẵn và mỗi cách chọn 2 số a và c thỏa mãn a + c là số chẵn sẽ có duy nhất cách chọn b . Số
cách chọn hai số có tổng chẵn sẽ là số cách chọn ba số tạo thành cấp số cộng.
TH1: Hai số lấy được đều là số chẵn, có: 2 C10 cách lấy.
TH2: Hai số lấy được đều là số lẻ, có: 2 C10 cách lấy. 2 2
n(A) = C +C 10 10 2 2
n(A) C +C 3 10 10 P(A) = = = . 3 n() C 38 10
Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên (SAC ) là tam giác cân tại S 3
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = SC =
. Gọi D là điểm đối xứng với B qua C . 2
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD . Trang 23/29 - WordToan 34 3 34 3 34 3 34 A. . B. . C. . D. . 8 4 16 8 Lời giải Chọn C S d K I D A H C B
Gọi H là trung điểm của AC, do SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với 9 1
đáy nên SH ⊥ AC SH ⊥ (ABC) và 2 2
SH = SA − AH = − = 2 . 4 4 1
Tam giác ABD có AC là đường trung tuyến và AC =
BD nên ABD là tam giác vuông tại A, suy 2
ra C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Dựng trục (d) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S.ABD I d và IA = IS = ID = IB = R . 1
Kẻ IK ⊥ SH IK = CH = 2 1 Giả sử 2 2 2
HK = x SK = 2 − x IS = SK + HC = ( 2 − x) + = R 4 2 2 2
Mặt khác: R = IA =
AC + IC = 1+ x . 1 5 2 Ta có phương trình: 2 2 ( 2 − x) + = 1+ x x = 4 16 3 2 2 Suy ra: R =
+1 R = x +1 = 3 34 . 16 16 Vậy phương án C đúng.
Câu 45. Cho hình lăng trụ tam giác AB . C A B C
có đáy là tam giác vuông tại A , AB = 2 , AC = 3 . Góc
CAA = 90 , BAA = 120 . Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ). Biết CM vuông góc với A B
, tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Trang 24/29–Diễn đàn giáo viênToán 3(1+ 33) 3(1+ 33) 1 + 33 1 + 33 A.V = . B.V = . C.V = . D.V = . 8 8 4 4 Lời giải Chọn C
Do AC ⊥ AB , AC ⊥ AA nên AC ⊥ ( ABB A
) . Mà AB ( ABB A
) nên AC ⊥ A B . Có A B ⊥ AC , A B
⊥ CM nên AB ⊥ ( AMC) A B ⊥ AM . Đặ 1
t AA = x ( x 0) . Ta có A B
= AB − AA và AM = AB + BM = AB + AA . 2 1 1 Suy ra A .
B AM = ( AB − AA) 1 AB + AA 2 2
= AB − AA − A . B AA 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2
= AB − AA − A .
B AA .cos BAA 2 2 = 2 − x − .2. . x cos120 2 = − x + x + 4 2 2 2 2 2 2 1 1 + Do A B
⊥ AM nên A . B AM = 0 2
− x + x + 4 = 1 33 0 x = . 2 2 2 3 (1+ 33) 1 + 33 Lại có S = = = A . B AA .sin BAA 2. .sin120 (đvdt). ABB A 2 2 3 (1+ 33 1 1 ) 1+ 33
Do AC ⊥ ( ABB A ) nên V = = = .AC.S . 3. (đvtt). C.ABB A 3 ABB A 3 2 2 Trang 25/29 - WordToan 1 2 Mà V = = − = V V V V V . C. A B C ABC. 3 A B C C. ABB A ABC. A B C C.A B C ABC. 3 A B C 3 + (1+ 33 3 3 1 33 ) Vậy V = = = V . (đvtt). ABC. A B C C. 2 ABB A 2 2 4
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 có ít 3 3
nhất một nghiệm thực trong đoạn 1;27.
A. m (0;2) .
B. m 0;2 .
C. m 2;4 .
D. m (0;4) . Lời giải Chọn B
Đặt t = log x + 1 . Với x 1;27 thì t 1;2 . 3
Phương trình đã cho trở thành 2
t + t − 2m − 2 = 0 2
2m + 2 = t + t (*) Xét hàm số ( ) 2
f t = t + t trên đoạn 1;2 .
Ta có f (t ) = 2t + 1 0, t
1;2 nên hàm số ( ) 2
f t = t + t đồng biến trên 1;2 . Bảng biến thiên:
Để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thực trong đoạn 1;27 thì phương trình (*) phải có
ít nhất một nghiệm thực trong đoạn 1;2 .
Từ bảng biến thiên, suy ra 2 2m + 2 6 0 m 2 . 2
x + 2x + m
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng (1;3) x −1
và đồng biến trên khoảng (4;6) . A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D 2
x − 2x − 2 − m Ta có y = 2 (x − . 1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6) khi và chỉ khi y 0, x (1;3) y 0, x (4;6)
Trang 26/29–Diễn đàn giáo viênToán 2 2
x − 2x − 2 − m 0, x (1;3)
m x − 2x − 2, x (1;3) (*) 2 2
x − 2x − 2 − m 0, x (4;6)
m x − 2x − 2, x (4;6) Xét hàm số 2
g(x) = x − 2x − 2, g ( )
x = 2x − 2 ta có bảng biến thiên của g(x) như sau
Từ bảng biến thiên của g(x) ta có (*) 3 m 6 , và vì m là số nguyên nên chọn m 3;4;5; 6 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. − x + Câu 48. Cho hàm số 1 ln 1 y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc −5;5 để hàm số 1− ln x + m 1
đã cho đồng biến trên khoảng ;1 . 3 e A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B − + − Ta có đạo hàm của 1 ln x 1 1 m y = là y = . 1− ln x + m 2
2x 1− ln x ( 1− ln x + ) m 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1
;1 khi và chỉ khi y 0, x ;1 3 e 3 e 1− m 0 m 1 1 1 (*)
1− ln x + m 0,x ;1
1− ln x + m 0,x ;1 3 3 e e − Xét hàm số 1 1 1
g(x) = 1− ln x, x ;1
, ta có g (x) = 0, x ;1 do đó ta có bảng 3 e 3 2x 1− ln x e
biến thiên của hàm số g(x) như sau Trang 27/29 - WordToan m 1
Qua bảng biến thiên ta có (*)
, kết hợp với m 5
− ;5 ta có 6 giá trị nguyên của m m( 2 − ; 1 − ) là m 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ; 0 .
Câu 49. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hai phương trình 2 2 1 3m x + = và x 2
m = 3 −2x + x −1 có nghiệm chung. Tính tổng các phần tử của S . 5 A. 6 B. 3 . C.1. D. . 2 Lời giải Chọn B
Vì hai phương trình đã cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm 2 2x +1 = 3m
m = log 2x +1 3 ( 2 )
log 2x +1 = 3x − 2x + x −1 x 2 3 ( 2 ) 2 x 2
m = 3 − 2x + x −1
m = 3 − 2x + x −1 log (2 + ) log ( 2 3 2 x x + )1 2 2 1 + 2 +1 = 3 + 3 + log ( 2 2 +1 = 3x x x x x + x 3 3 ) . Xét hàm số ( ) = 3t f t + t xác định trên '( ) = 3t f t
.ln3 +1 0 suy ra hàm ( ) = 3t f t + t đồng biến trên suy ra log ( 2 2 + ) 2 1 = 2 +1 = 3x x x x 3 . Xét hàm số ( ) 2 = 2 +1− 3x g x x
xác định và liên tục trên . Ta có g ( x) x = x − g (x) x 2 = − g (x) x 3 ' 4 3 ln3 '' 4 3 ln 3 ''' = 3
− ln 3 0 . Suy ra hàm số g''(x) nghịch biến trên
. Do đó g ( x) = 0có nhiều nhất là 3 nghiệm. x = 0 m = 0
Ta lại có g(0) = g( )
1 = g(2) = 0 . Suy ra phương trình 2
2x +1 = 3x x = 1 m = 1 x . = 2 m = 2 Vậy S = 3 .
Câu 50. Biết phương trình 4 3 2
x + ax + bx + cx +1= 0 có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
T = a + b + c 4 8 A. T = . B. T = 4 . C. T = 2 . D.T = . min 3 min min min 3 Lời giải Chọn A
Trang 28/29–Diễn đàn giáo viênToán 4 3 2
Ta có x + ax + bx + cx +1 = 0 .
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho 2 x ta được 2 2 c 1 1 c 1 c 2 2 2
x + ax + b + + = 0 x +
= −ax − b − x +
= −ax − b − . 2 2 2 x x x x x x 2 c 1
Ta có −ax − b − ( 2 2 2
a + b + c ) 2 x +1+
.(theo BĐT Cauchy - Schwarz) 2 x x 1 2 2 x + 2 2 x Khi đó 1 1 2 2 2 2 x + ( 2 2 2
a + b + c ) 2 x + +1
a + b + c .(1) 2 2 x x 1 2 x + + 1 2 x Đặ 1 t 2 t = x + 2 (theo BĐT Cô Si). 2 x 2 2 t t + 2t
Khảo sát hàm số f (t ) =
,t 2; +) có f ' (t ) = 0, t 2 ; + . 2 ) t +1 (t + )1 4 4
Do đó min f (t ) = f (2) = 2 2 2
a + b + c . 2; + ) 3 3 Dấu =
a = −b = c = 2 " " . 3
Phương trình có nghiệm thi T min f (t) . 2;+ ) 2 2 2 4 x + 3 x − 2
x + x + 1 = 0 có nghiệm x = 1
− t = 2 thỏa mãn. 3 3 3 4 Vậy T = . min 3
-------------HẾT------------- Trang 29/29 - WordToan