Đề luyện thi tốt nghiệp 2023 môn Toán phát triển từ đề minh họa (có lời giải)-Đề 11
Đề luyện thi tốt nghiệp 2023 môn Toán phát triển từ đề minh họa có lời giải-Đề 11. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Tài liệu liên quan:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 11 Câu 1:
Số phức z = 6 + 21i có số phức liên hợp z là
A. z = 21 - 6i .
B. z = - 6 - 21i .
C. z = - 6 + 21i .
D. z = 6 - 21i . Câu 2:
Tập xác định của hàm số y = log (2 - x) là 3 A. [0;+ ¥ ) . B. (0;+ ¥ ) . C. ¡ . D. (- ¥ ;2) . 1 3 Câu 3: Giá trị của 27 bằng A. 6. B. 81. C. 9. D. 3. Câu 4:
Nghiệm của phương trình 2x = e là A. 2e x = .
B. x = loge .
C. x = ln 2 .
D. x = log e . 2 Câu 5:
Cho cấp số cộng (u với u = 3 và u = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. - 6 . B. 3 . C. 12 . D. 6 . Câu 6:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz )?
A. y = 0
B. x = 0
C. y - z = 0
D. z = 0 Câu 7:
Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình f (x) = 3 là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 3 3
f (x )dx = 3 ò 2f (x)dx ò Câu 8: Nếu 0 thì 0 bằng A. 3 . B. 18 . C. 2 . D. 6 . Câu 9:
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y = x - 2x + 1 . B. 3
y = x - 3x + 1 . C. 3 2
y = x - 3x + 1 . D. 3
y = - x + 3x + 1 .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + (z + )2 2 2 : 2
= 9 . Bán kính của (S ) bằng A. 6 . B. 18 . C. 9 . D. 3 . Trang 1
(P ): x + 2y + 2z - 6 = 0 (P )
Câu 11: Cho mặt phẳng ; M (1;2; )
3 . Khoảng cách từ M đến là
A. d (M (P )) 5 ; = .
B. d (M (P )) 11 ; = . 9 9
C. d (M (P )) 11 ; = .
D. d (M (P )) 5 ; = . 3 3 z = 1 + 2i z = - 2 - 2i z - z
Câu 12: Cho hai số phức 1 và 2 . Môđun của số phức 1 2 là
A. z - z = 17 .
B. z - z = 2 2 . 1 2 1 2
C. z - z = 1 .
D. z - z = 5 . 1 2 1 2
Câu 13: Cho khối lập phương có cạnh bằng 4 . Diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho bằng A. 96. B. 64. C. 24 . D. 144 .
Câu 14: Cho hình chóp S.A BCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ^ (A BCD) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3 a 3 3 a 3 3 a A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 12 3 4 2 2 2
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ): (x - ) 1
+ (y + 2) + (z - 3) = 16 . Điểm nào sau
đây nằm trên mặt cầu? A. M (1;- 2; ) 1 .
B. N (1;- 2;3).
C. P (- 1;2;- 3). D. Q (1;- 2;- ) 1 .
Câu 16: Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
A. - 1 - 3i .
B. 1 - 3i .
C. - 1 + 3i .
D. 1 + 3i .
Câu 17: Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là 4 1 A. 2 pr h . B. 2 pr h . C. 2 2pr h . D. 2 pr h . 3 3 Câu 18: Trong không gian
Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng x + 1 y + 1 z + 1 D : = = ? 2 3 4
A. P(- 1;- 1;- 1) .
B. Q(1;2; 3) .
C. M (0;1;2) .
D. N (3;5;7) . Câu 19: Cho hàm số 3 2
f (x ) = ax + bx + cx + d,a ¹ 0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Giá trị cực đại của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 0 . 3x + 2
Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
có phương trình là x - 5 Trang 2
A. y = 3 .
B. x = 3 .
C. y = 5 . D. x = 5 .
Câu 21: Nghiệm của phương trình log (2x - 1) = log (3 - x) là 2 2 3 4 A. x = .
B. x = 2 .
C. x = 1. D. x = . 4 3
Câu 22: Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? A. P . B. 7 . C. 7 7 . D. 7 C . 7 7 F (x ) f (x ) Câu 23: Cho biết
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm I 2 é f ò ê (x) 1 d ù = + x ë úû .
A. I = 2F (x )+ 1 + C .
B. I = 2xF (x )+ 1 + C .
C. I = 2xF (x )+ x + C .
D. I = 2F (x )+ x + C . 5 - 1 f (x ) f ò (x)dx = 6 dx ò 3 Câu 24: Nếu - 1 thì 5 bằng 49 A. 18. B. . C. 2. D. - 2 . 8 cos 2xdx ò Câu 25: Tìm . 1 A. -
sin 2x + C .
B. 2 sin 2x + C . 2 1 1
C. sin 2x + C .
D. cos 2x + C . 2 2
Câu 26: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- 1; 0) và (0; ) 1 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ ;- ) 1 và (0; ) 1 .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0)và (1;+ ¥ ).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;- ) 1 và (0; ) 1 .
Câu 27: Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: Trang 3
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = - 2 .
B. x = 1.
C. x = 3 .
D. x = 2 .
Câu 28: Biết loga = 2 và logb = 3 . Khi đó, giá trị của ( 2 3
log a .b ) bằng A. 31. B. 13 . C. 30 . D. 108 .
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = - x + 4 và y = - x + 2 bằng 5 8 9 A. . B. . C. . D. 9 . 7 3 2
Câu 30: Cho hình lăng trụ đều A BC .A B ¢ C
¢ ¢ có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng (A B C ¢ ) ¢ và (A B ¢ C ¢ ) ¢ bằng p p p 3p A. . B. . C. . D. . 6 3 2 2
Câu 31: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau: 2 é ù
Số nghiệm của phương trình f ê (x ) - 3f ë ú (x)+ 2 = 0 û là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .
y = f (x ) y = f ( ¢ x ) Câu 32: Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số y = f (x ) nghịch biến trong khoảng nào? A. (1;4). B. (- 1; ) 1 . C. (0; 3). D. (- ¥ ; 0).
Câu 33: Cho tập S = {1;2;3;...;19;2 }
0 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S .
Xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng bằng Trang 4 7 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114 x x T = x x
Câu 34: Gọi 1 và 2 là nghiệm của phương trình (log 4x - 5 log x = 1 . Giá trị của 1 2 bằng 2 ) 2 1 1 A. T = .
B. T = 2 .
C. T = 8 . D. T = . 8 2
Câu 35: Cho các số phức z = 3 - 2i , z = 1 + 4i và z = - 1 + i có biểu diễn hình học trong mặt 1 2 3
phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm A ,B ,C . Diện tích tam giác A BC bằng A. 2 17 . B. 12. C. 4 13 . D. 9.
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho (a ): 2x - y + 2z - 3 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua
A(2;- 3;- 1) song songvới (a ) và mặt phẳng Oyz có phương trình là ìï x = 2 ì ì ì ï ï x = 2t ï x = 2 ï x = 2 - t ï ï ï ï ï ïï ïï ïï
A. í y = - 3 + 2t .
B. í y = 2 - 3t .
C. í y = - 3 - 2t . D. í y = - 3 . ïï ï ï ï ï ï ï ï z = - 1 + t ï ï ï ï î z = 1 - t ïî z = - 1 + t ïî z = - 1 + t ïî A (0; 0; ) 1 B ( ¢ 1;0;0) C ( ¢ 1;1;0)
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp A BCD.A B ¢ C ¢ D ¢ ¢ có , , .
Tọa độ của điểm D là A. D (0;1; ) 1 . B. D (0;- 1; ) 1 .
C. D (0;1;0). D. D (1;1; ) 1 .
Câu 38: Cho hình chóp S .A BC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AC = 3a và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SA C ) bằng 3 3 2 A. a . B. a . C. 3a .
D. 3 2a . 2 2
Câu 39: Bất phương trình 2
log x + log 2 - x < 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? 9 3 ( ) A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . 1 3 f ò (x)dx = 4 f ò (x)dx = 6
Câu 40: Cho hàm số f (x ) liên tục trên ¡ và 0 , 0 . Giá trị của 1 I = f ò (2x + 1)dx - 1 là A. I = 3 . B. I = 5. C. I = 6.
D. I = 4 . 3
Câu 41: Cho hàm số f (x ) biết f ( ¢ x ) 2 = x (x - ) ( 2 1
x - 2mx + m + )
6 . Số giá trị nguyên của tham số
m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là Trang 5 A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . z + 2 + 2i = 1
w + 2 - i = w - 3i
Câu 42: Xét các số phức z,w thỏa mãn và . Khi
z - w + w - 3 + 3i z + 2w
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của bằng A. 2 13 . B. 7 . C. 2 5 . D. 61 . · °
Câu 43: Cho hình lăng trụ A BC .A B ¢ C
¢ ¢, có đáy là tam giác ABC cân tại A , BA C = 120 , các cạnh
bên hợp với đáy góc 45o . Hình chiếu của A ¢ lên mặt phẳng (A BC ) trùng với tâm đường tròn 21
ngoại tiếp tam giác A BC . Biết khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A A C ¢ C ¢ ) bằng , thể 7
tích của khối lặng trụ A BC .A B ¢ C ¢ ¢ bằng 3 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3
Câu 44: Cho đồ thị hàm số f (
¢ x ) như hình vẽ. Diện tích hai hình phẳng giới hạn bởi f ( ¢ x ) và trục 4 9 5 hoành lần lượt bằng , . Biết f ( )
1 = 3 , giá trị của tích phân f
ò (¢x)f (x)dx bằng 8 4 - 1 3 12 29 15 A. . B. . C. - . D. . 7 5 128 29
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình 2 2 z +
3z + a - 2a = 0 có
nghiệm phức z thỏa z = 3 ? 0 0 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;2; ) 1 , B (3;4; ) 0 , mặt phẳng
(P ): ax + by + cz + 46 = 0. Biết rằng khoảng cách từ A,B đến mặt phẳng (P ) lần lượt bằng
6 và 3 . Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng A. - 3 . B. - 6 . C. 3 . D. 6 .
Câu 47: Xét các số a,b là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022. Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có
ít nhất 1000 giá trị của a thỏa mãn ( a+b+2 2 - 2b- a ) lo × g
b > 4b - 1 . Số giá trị b là a + 1 A. 1019 . B. 1020 . C. 1021. D. 1022 .
Câu 48: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° . Diện tích của thiết diện này bằng Trang 6 2 a 2 2 a 2 2 a 2 A. . B. . C. 2 2a . D. . 3 2 4
Câu 49: Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi (P ) là mặt phẳng cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại
A (a;0;0), B (0; ; b )
0 , C (0;0;c) sao cho 2 2 2
a + b + c = 12 và diện tích tam giác A BC lớn
nhất. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm nào sau đây? A. S (1;0; ) 1 . B. M (2;0;2). C. N (3;0; ) 3 . D. Q (2;2; ) 0 .
Câu 50: Cho hai hàm số y = (x + ) 1 (2x + ) 1 (3x + ) 1 (m + 2 x ); 4 3 2
y = - 12x - 22x - x + 10x + 3
có đồ thị lần lượt là (C , (C . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2 ) 1 ) é 2023;2023ù - êë
úû để (C cắt (C tại 3 điểm phân biệt? 2 ) 1 ) A. 4044 . B. 2022 . C. 2024 . D. 4042 .
=========HẾT========= HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
Số phức z = 6 + 21i có số phức liên hợp z là
A. z = 21 - 6i .
B. z = - 6 - 21i .
C. z = - 6 + 21i .
D. z = 6 - 21i . Lời giải Chọn D
Số phức liên hợp của z = 6 + 21i là z = 6 - 21i Câu 2:
Tập xác định của hàm số y = log (2 - x) là 3 A. [0;+ ¥ ) . B. (0;+ ¥ ) . C. ¡ . D. (- ¥ ;2) . Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2 - x > 0 Û x < 2. Vậy tập xác định D = (- ¥ ;2). 1 3 Câu 3: Giá trị của 27 bằng A. 6. B. 81. C. 9. D. 3. Lời giải Chọn D 1 Ta có 3 3 27 = 27 = 3 . Câu 4:
Nghiệm của phương trình 2x = e là A. 2e x = .
B. x = loge .
C. x = ln 2 .
D. x = log e . 2 Lời giải Chọn D Ta có : x x log e 2 2 = e Û 2 = 2 Û x = log e . 2
Vậy x = log e . 2 Câu 5:
Cho cấp số cộng (u với u = 3 và u = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. - 6 . B. 3 . C. 12 . D. 6 . Lời giải Chọn D Trang 7
Ta có: u = u + d Û 9 = 3 + d Þ d = 6 2 1 Câu 6:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz )?
A. y = 0
B. x = 0
C. y - z = 0
D. z = 0 Lời giải Chọn B r
Mặt phẳng (Oyz ) đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là i = (1; 0; 0) nên ta có
phương trình mặt phẳng (Oyz ) là 1(x - ) 0 + 0(y - )
0 + 0(z - 0) = 0 Û x = 0 . Câu 7:
Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình f (x) = 3 là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A
Gọi (C ) là đồ thị của hàm số y = f (x) và d là đường thẳng y = 3 .
Số nghiệm của phương trình f (x) = 3 chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d .
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị(C ) cắt đường thẳng d tại 2 điểm. Vậy số nghiệm của
phương trình f (x) = 3 là 2. 3 3
f (x )dx = 3 ò 2f (x)dx ò Câu 8: Nếu 0 thì 0 bằng A. 3 . B. 18 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn D Trang 8 3 3
2f (x )dx = 2
f (x )dx = 2.3 = 6 ò ò . 0 0 Câu 9:
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y = x - 2x + 1 . B. 3
y = x - 3x + 1 . C. 3 2
y = x - 3x + 1 . D. 3
y = - x + 3x + 1 . Lời giải
Đồ thị trên là đồ thị hàm bậc ba 3 2
y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0):
+ Có lim y = + ¥ Þ a > 0 . x ® + ¥ + Đi qua điểm (- 1;3).
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + (z + )2 2 2 : 2
= 9 . Bán kính của (S ) bằng A. 6 . B. 18 . C. 9 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Mặt cầu (S ) x + y + (z + )2 2 2 : 2 = 9 có bán kính r = 9 = 3 .
(P ): x + 2y + 2z - 6 = 0 (P )
Câu 11: Cho mặt phẳng ; M (1;2; )
3 . Khoảng cách từ M đến bằng
A. d (M (P )) 5 ; = .
B. d (M (P )) 11 ; = . 9 9
C. d (M (P )) 11 ; = .
D. d (M (P )) 5 ; = . 3 3 Lời giải Chọn D 1 + 2.2 + 2.3 - 6
d (M (P )) 5 ; = = . 3 4 + 4 + 1 z = 1 + 2i z = - 2 - 2i z - z
Câu 12: Cho hai số phức 1 và 2 . Môđun của số phức 1 2 bằng
A. z - z = 17 .
B. z - z = 2 2 . 1 2 1 2
C. z - z = 1 . D. z - z = 5 . 1 2 1 2 Lời giải Chọn D
Ta có z - z = (1 + 2i) - (- 2 - 2i) = 3 + 4i suy ra 2 2 z - z = 3 + 4 = 5 . 1 2 1 2 Vậy z - z = 5 . 1 2
Câu 13: Cho khối lập phương có cạnh bằng 4 . Diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho bằng Trang 9 A. 96. B. 64. C. 24 . D. 144 . Lời giải Chọn A
Mỗi mặt của khối lập phương có diện tích bằng 2 4 = 16 .
Khối lập phương có 6 mặt, nên diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho bằng 6.16 = 96.
Câu 14: Cho hình chóp S.A BCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ^ (A BCD) và
SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S.A BCD bằng 3 a 3 3 a 3 3 a A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 12 3 4 Lời giải Chọn C 1 3 1 a 3 Ta có V = SA.S 2 = a 3.a = . S .A B CD 3 A B CD 3 3 2 2 2
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ): (x - ) 1
+ (y + 2) + (z - 3) = 16 . Điểm nào sau
đây nằm trên mặt cầu? A. M (1;- 2; ) 1 .
B. N (1;- 2;3).
C. P (- 1;2;- 3). D. Q (1;- 2;- ) 1 . Lời giải Chọn D
Thay tọa độ của các điểm đã cho vào phương trình mặt cầu ta được điểm có tọa độ (1;- 2;- ) 1 nằm trên mặt cầu.
Câu 16: Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
A. - 1 - 3i .
B. 1 - 3i .
C. - 1 + 3i .
D. 1 + 3i . Lời giải Chọn D
Câu 17: Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là 4 1 A. 2 pr h . B. 2 pr h . C. 2 2pr h . D. 2 pr h . 3 3 Lời giải Chọn D 1
Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là 2 V = pr h . 3 Trang 10 Câu 18: Trong không gian
Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng x + 1 y + 1 z + 1 D : = = ? 2 3 4
A. P(- 1;- 1;- 1) .
B. Q(1;2; 3) .
C. M (0;1;2) .
D. N (3;5;7) . Lời giải Chọn C x + 1 y + 1 z + 1
+) Thay toạ độ điểm P(- 1;- 1;- 1) vào D : = = ta có 2 3 4 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = = . 2 3 4
Vậy điểm P thuộc đường thẳng D . x + 1 y + 1 z + 1 +) Thay toạ
độ điểm Q(1;2;3) vào D : = = ta có 2 3 4 1 + 1 2 + 1 3 + 1 = = . 2 3 4
Vậy điểm Q thuộc đường thẳng D . x + 1 y + 1 z + 1 +) Thay toạ độ điểm M (0;1;2) vào D : = = ta có 2 3 4 0 + 1 1 + 1 2 + 1 ¹ ¹ . 2 3 4
Vậy điểm M không thuộc đường thẳng D . x + 1 y + 1 z + 1 +) Thay toạ độ điểm N (3;5;7) vào D : = = ta có 2 3 4 3 + 1 5 + 1 7 + 1 = = . 2 3 4
Vậy điểm N thuộc đường thẳng D . Câu 19: Cho hàm số 3 2
f (x ) = ax + bx + cx + d,a ¹ 0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Giá trị cực đại của hàm số là A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị ta thấy giá trị cực đại của hàm số là 5. 3x + 2
Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
có phương trình là x - 5
A. y = 3 .
B. x = 3 .
C. y = 5 . D. x = 5 . Lời giải Trang 11 Chọn D 3x + 2
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x = 5 . x - 5
Câu 21: Nghiệm của phương trình log (2x - 1) = log (3 - x) là 2 2 3 4 A. x = .
B. x = 2 .
C. x = 1. D. x = . 4 3 Lời giải Chọn D ì ì ï ï x < 3 3 - x > 0 ï ïï 4
log (2x - 1) = log (3 - x) Û í Û í Û x = 2 2 ï 4 2x - 1 = 3 - x ï ï î ï x = 3 ïî 3
Câu 22: Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? A. P . B. 7 . C. 7 7 . D. 7 C . 7 7 Lời giải Chọn A
Ta thấy mỗi cách xếp 7 học sinh là một hoán vị của 7 phần tử.
Suy ra số cách xếp 7 học sinh là số hoán vị của 7 phần tử, tức P . 7 F (x ) f (x ) Câu 23: Cho biết
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm I 2 é f ò ê (x) 1 d ù = + x ë úû .
A. I = 2F (x )+ 1 + C .
B. I = 2xF (x )+ 1 + C .
C. I = 2xF (x )+ x + C .
D. I = 2F (x )+ x + C . Lời giải Chọn D Ta có: I 2 é f ò ê (x) 1 d ù = + x ë úû = 2 f
ò (x)dx + 1dx ò
= 2F (x )+ x + C . 5 - 1 f (x ) f ò (x)dx = 6 dx ò 3 Câu 24: Nếu - 1 thì 5 bằng 49 A. 18. B. . C. 2. D. - 2 . 8 Lời giải Chọn D - 1 f (x ) 5 1 1 Ta có dx = - f ò
ò (x)dx = - .6 = - 2. 3 3 3 5 - 1 cos 2xdx ò Câu 25: Tìm . 1 A. -
sin 2x + C .
B. 2 sin 2x + C . 2 1 1
C. sin 2x + C .
D. cos 2x + C . 2 2 Lời giải Chọn C Trang 12 1 1 Với k ¹ 0 , cos kxdx = sin kx + C ò . Như vậy cos 2xdx = sin 2x + C ò . k 2
Câu 26: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- 1; 0) và (0; ) 1 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ ;- ) 1 và (0; ) 1 .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0)và (1;+ ¥ ).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;- ) 1 và (0; ) 1 . Lời giải Chọn B
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trong các khoảng (- ¥ ;- ) 1 và (0; ) 1 .
Câu 27: Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = - 2 .
B. x = 1.
C. x = 3 .
D. x = 2 . Lời giải Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số là x = 3 .
Câu 28: Biết loga = 2 và logb = 3 . Khi đó giá trị của ( 2 3
log a .b ) bằng A. 31. B. 13 . C. 30 . D. 108 . Lời giải Chọn B Ta có ( 2 3 a b ) 2 3 log .
= loga + logb = 2 loga + 3 logb = 2.2 + 3.3 = 13 .
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = - x + 4 và y = - x + 2 bằng 5 8 9 A. . B. . C. . D. 9 . 7 3 2 Lời giải Chọn C Trang 13
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: x é = - 1 2 2 x 4 x 2 x x 2 0 ê - + = - + Û - - = Û . x ê = 2 êë
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = - x + 4 và y = - x + 2 là: 2 2 2 3 2 æ ö ç ÷ S = ò ( x x 9 2
- x + 4)- (- x + ) 2 dx = ò ( 2 - x + x + ) 2 dx = - ç + + 2x ÷ = ç ÷ . çè 3 2 ÷ ø 2 - 1 - 1 - 1
Câu 30: Cho hình lăng trụ đều A BC .A B ¢ C
¢ ¢ có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng (A B C ¢ ) ¢ và (A B ¢ C ¢ ) ¢ bằng p p p 3p A. . B. . C. . D. . 6 3 2 2 Lời giải Chọn A A C B A C I B
Gọi I là trung điểm của B’C’ ta có ìï AI ^ B C ¢ ¢ ï · í Þ ( ( AB C ¢ ) ¢ (A B ¢ C ¢ ) ¢)= (AI A I¢ ) · ; ; = A IA ¢
ï A 'I ^ B C ¢ ¢ ïî
Xét tam giác A IA ¢ vuông tại A ¢ ta có: · A A ¢ a 1 · · p t an A IA ¢= = = Þ A IA¢= ( ( AB C ¢ ) ¢ ,(ABC ))= . A I ¢ 6 a 3 3
Câu 31: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau: 2 é ù
Số nghiệm của phương trình f ê (x ) - 3f ë ú (x)+ 2 = 0 û là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A é 2 f é ù ê (x ) = 1
Phương trình fê (x) - 3f ë ú (x)+ 2 = 0 Û ê û . f ê (x ) = 2 ë Trang 14
Phương trình f (x)= 1 có hai nghiệm phân biệt và f (x ) = 2 có ba nghiệm phân biệt và các
nghiệm đôi một khác nhau. 2 Vậy phương trình f é ê (x )ù - 3f ë ú (x)+ 2 = 0 û
có 5 nghiệm phân biệt.
y = f (x ) y = f ( ¢ x ) Câu 32: Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số y = f (x ) nghịch biến trong khoảng nào? A. (1;4). B. (- 1; ) 1 . C. (0; 3). D. (- ¥ ; 0). Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (
¢ x ) ta thấy f (
¢ x )< 0, " x Î (1;4) nên hàm số y = f (x ) nghịch biến trong khoảng (1; 4).
Câu 33: Cho tập S = {1;2;3;...;19;2 }
0 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S .
Xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng bằng 7 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114 Lời giải Chọn C
Số phần tử không gian mẫu n ( ) 3 W = C . 20 a + c Gọi , a ,
b c là ba số lấy ra theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, nên b = Î ¥ . Do đó a 2
và c cùng chẵn hoặc cùng lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị.
Số cách chọn bộ (a; ;
b c) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng bằng số cặp (a;c) cùng chẵn 2 2C 3
hoặc cùng lẻ, số cách chọn là 2
2.C . Vậy xác suất cần tính là 10 P = = . 10 3 C 38 20 x x T = x x
Câu 34: Gọi 1 và 2 là nghiệm của phương trình (log 4x - 5 log x = 1 . Giá trị của 1 2 bằng 2 ) 2 1 1 A. T = .
B. T = 2 .
C. T = 8 . D. T = . 8 2 Lời giải Chọn C
(log 4x - 5)log x = 1 Û (log x - 3)log x - 1 = 0 Û (log x )2 - 3 log x - 1 = 0 . 2 2 2 2 2 2
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn log x . 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Trang 15 - b
Theo vi-ét ta có log x + log x =
= 3 Þ log x x = 3 Þ x x = 8 . 2 1 2 2 2 ( 1 2 ) 1 2 a
Câu 35: Cho các số phức z = 3 - 2i , z = 1 + 4i và z = - 1 + i có biểu diễn hình học trong mặt 1 2 3
phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm A ,B ,C . Diện tích tam giác A BC bằng A. 2 17 . B. 12. C. 4 13 . D. 9. Lời giải Chọn D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn các số phứcz , z , z lần lượt là A (3;- 2), 1 2 3
B (1; 4), C (- 1; ) 1 . uuur
BC = (- 2;- 3) Þ BC = 13 .
Phương trình đường thẳng BC là: 3x - 2y + 5 = 0. 3.3 - 2(- 2)+ 5 18
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là: h = = . + (- )2 2 13 3 2 1
Diện tích tam giác A BC là: S = h.B C = 9 . 2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho (a ): 2x - y + 2z - 3 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua
A(2;- 3;- 1) song songvới (a ) và mặt phẳng Oyz có phương trình là ìï x = 2 ì ì ì ï ï x = 2t ï x = 2 ï x = 2 - t ï ï ï ï ï ïï ïï ïï
A. í y = - 3 + 2t .
B. í y = 2 - 3t .
C. í y = - 3 - 2t . D. í y = - 3 . ïï ï ï ï ï ï ï ï z = - 1 + t ï ï ï ï î z = 1 - t ïî z = - 1 + t ïî z = - 1 + t ïî Lời giải Chọn A uur
Mặt phẳng (a ): 2x - y + 2z - 3 = 0 có VTPTn 2;- 1;2 . 1 ( ) uur
Mặt phẳng Oyz có phương VTPTn 1; 0; 0 . 2 ( ) r r éuur uurù
Gọi u là VTCP của d suy ra u = n ê ;n = ú (0;2;1) . 1 2 ë û r
Vậy đường thẳngd đi qua A(2;- 3;- 1) có VTCP u = (0;2;1) nên PTTS của d là: ìï x = 2
ïïïíy = - 3+ 2t ï . ïï z = - 1 + t ïî A (0;0; ) 1 B ( ¢ 1;0;0) C ( ¢ 1;1;0)
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp A BCD.A B ¢ C ¢ D ¢ ¢ có , , .
Tọa độ của điểm D là Trang 16 A. D (0;1; ) 1 . B. D (0;- 1; ) 1 .
C. D (0;1;0). D. D (1;1; ) 1 . Lời giải Chọn A
Gọi tọa độ điểm D (a; ; b c). uuur uuur Suy ra C D
¢ = (a - 1;b - 1;c) và B A ¢ = (- 1;0; ) 1 . ìï a - 1 = - 1 ìï a = 0 uuur uuur ïï ï ï ïï Ta có C D ¢ = B A
¢ Û íb - 1 = 0 Û íb = 1 . ïï ï ï ï c = 1 ï ï î c = 1 ïî
Vậy tọa độ điểm D (0;1; ) 1 .
Câu 38: Cho hình chóp S .A BC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AC = 3a và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SA C ) bằng 3 3 2 A. a . B. a . C. 3a .
D. 3 2a . 2 2 Lời giải Chọn C ìï BC ^ AC ï Ta có í Þ BC ^ (SAC ). ï BC ^ SA ïî
Suy ra d (B,(SAC )) = BC = AC = 3a .
Câu 39: Bất phương trình 2
log x + log 2 - x < 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? 9 3 ( ) A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn C 2
log x + log 2 - x < 1 9 3 ( ) Trang 17 ìï 0 ¹ x < 2 ï ìï 0 ¹ x < 2 ï ï Û í 1 Û í . 2
ïï log x + log 2 - x < 1 ï log x + log 2 - x < 1 ï 3 3 ( ) 3 3 ( ) ï ï ïî 2 î ìï 0 ¹ x < 2 ìï 0 ¹ x < 2 ï ï Û í Û í .
ï log x 2 - x < 1
ï x 2 - x < 3 * ï 3 ( ) ï ï ( ) ( ) î ïî
Trường hợp 1: Với 0 < x < 2.
Bất phương trình (*) trở thành: x ( - x ) 2 2
< 3 Û - x + 2x - 3 < 0 (luôn đúng).
Trường hợp 2: Với x < 0.
Bất phương trình (*) trở thành: - x ( - x ) 2 2
< 3 Û x - 2x - 3 < 0 Û - 1 < x < 3 .
Kết hợp với điều kiện: - 1 < x < 0 .
Tập nghiệm của bất phương trình: S = (- 1; ) 2 \ { } 0 .
Vậy có một giá trị nguyên của x thỏa mãn.` 1 3 f ò (x)dx = 4 f ò (x)dx = 6
Câu 40: Cho hàm số f (x ) liên tục trên ¡ và 0 , 0 . Giá trị của 1 I = f ò (2x + 1)dx - 1 là A. I = 3 . B. I = 5. C. I = 6.
D. I = 4 . Lời giải Chọn B Đặ 1
t u = 2x + 1 Þ d x =
d u . Khi x = - 1 thì u = - 1. Khi x = 1 thì u = 3 . 2 3 0 3 æ ö 1 1 ç ÷ Nên I = f
ò (u )du = ç f çò (u )d u + f ò (u )du÷÷ 2 2 ç ÷ ç ÷ è ø - 1 - 1 0 0 3 æ ö 1 ç ÷ = ç f çò (- u)d u + f ò (u)du÷÷. 2 ç ÷ ç ÷ è ø - 1 0 1 Xét f
ò (x)dx = 4 . Đặt x = - u Þ dx = - du . 0
Khi x = 0 thì u = 0 . Khi x = 1 thì u = - 1. 1 - 1 0 Nên 4 =
f (x )d x = ò - f
ò (- u)du = f ò (- u)du . 0 0 - 1 3 3 Ta có f ò (x)dx = 6 Þ f ò (u)du = 6 . 0 0 0 3 æ ö 1 ç ÷ 1 Nên I = ç f çò (- u)d u + f
ò (u)du÷÷= (4 + 6)= 5. 2 ç ÷ ç ÷ è ø 2 - 1 0 3
Câu 41: Cho hàm số f (x ) biết f ( ¢ x ) 2 = x (x - ) ( 2 1
x - 2mx + m + )
6 . Số giá trị nguyên của tham số
m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là Trang 18 A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn A éx = 0 ê ê Cho f (
¢ x ) = 0 Þ xê = 1 . ê 2 x
ê - 2mx + m + 6 = 0 ë
Trong đó x = 0 là nghiệm bội chẵn, x = 1là nghiệm bội lẻ.
Để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị thì f (
¢ x ) = 0 chỉ đổi dấu 1 lần. Trường hợp 1: 2
x - 2mx + m + 6 ³ 0 , " x Î ¡ . 2
Û m - m - 6 £ 0 Û - 2 £ m £ 3 .
Do m Î ¢ nên m Î {- 2;- 1;0;1;2; }
3 . Suy ra có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Trường hợp 2: g (x) 2
= x - 2mx + m + 6 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x = 1Khi đó 2
1 - 2m.1 + m + 6 = 0 Þ m = 7 .
Vậy m Î {- 2;- 1;0;1;2;3;7}. z + 2 + 2i = 1
w + 2 - i = w - 3i
Câu 42: Xét các số phức z,w thỏa mãn và . Khi
z - w + w - 3 + 3i z + 2w
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của bằng A. 2 13 . B. 7 . C. 2 5 . D. 61 . Lời giải Chọn D
Giả sử điểm biểu diễn của z,w lần lượt là M, F .
Do z + 2 + 2i = 1 nên M nằm trên đường tròn (C ) tâm I (- 2;- 2), bán kính R = 1 . Gọi A (- 2; )
1 , B (0;3). Do w + 2 - i = w - 3i nên F nằm trên đường thẳng
d : x + y - 1 = 0 là đường trung trực của đoạn thẳng AB .
Gọi C (3;- 3). Khi đó z - w + w - 3 + 3i = MF + FC . Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai đoạn thẳng này. Giả sử (C )
¢ là đường tròn đối xứng với (C ) qua đường thẳng d . Suy ra (C ) ¢ có tâm I ( ¢ 3;3),
bán kính R ¢= R = 1 . Khi đó ứng với mỗi M Î (C ) luôn tồn tại M ¢Î (C ) ¢ sao cho MF = M F ¢ . Trang 19
Suy ra z - w + w - 3 + 3i = MF + FC = M F
¢ + FC đạt giá trị nhỏ nhất khi I ,¢M ,¢F,C thẳng hàng.
Khi đó F là giao điểm của d và I C ¢ với I C
¢ : x = 3. Suy ra F (3;- 2).
Tương ứng ta có M là giao điểm của đường thẳng IF và đường tròn (C ), M nằm giữa I,F . Suy ra M (- 1;- 2).
Do đó z - w + w - 3 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất khi z = - 1- 2 ,iw = 3 - 2i .
Suy ra z + 2w = 5 - 6i Þ z + 2w = 61 . · °
Câu 43: Cho hình lăng trụ A BCA B ¢ C
¢ ¢, có đáy là tam giác ABC cân tại A , BA C = 120 , các cạnh
bên hợp với đáy góc 45o . Hình chiếu của A ¢ lên mặt phẳng (A BC ), trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác A BC . Tính thể tích của khối lặng trụ A BCA B ¢ C
¢ ¢, biết khoảng cách từ B 21
đến mặt phẳng (A A C ¢ C ¢ ) bằng . 7 3 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Lời giải Chọn A
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC , dễ thấy tứ giác ABOC là hình thoi cạnh a
Gọi I là trung điểm của cạnh A C , vẽ OH ^ A C ¢ tại H 21
Ta có: d (B (A A C ¢ C ¢ )) 21 ; = suy ra OH = 7 7
Vì góc giữa A A ¢ và (A BC ) bằng 45o nên tam giác A O
¢ A vuông cân tại O Suy ra A O ¢ = AO = a a 3
Vì tam giác AOC đều cạnh a nên OI = 2 1 1 1 Ta có = + Þ a = 1 2 2 2 OH OA ¢ OI Trang 20 3 3
Vậy thể tích của khối lặng trụ A BCA B ¢ C ¢ ¢ là: V = A O ¢ .S = 1. = A BCA B ¢ C ¢ ¢ D A BC 4 4 9 5
Câu 44: Cho đồ thị hàm số f (
¢ x ) như hình vẽ. Diện tích 2 hình tạo bởi f (
¢ x ) và trục hoành là , . 8 4 4 Biết f ( )
1 = 3 , giá trị của tích phân f
ò (¢x)f (x)dx bằng - 1 3 12 29 15 A. . B. . C. - . D. . 7 5 128 29 Lời giải Chọn C 4 f (x )2 f (4)2 - f (- )2 4 4 1 Ta đặt f (
¢ x )f (x)dx =
f (x )df (x ) = = ò ò ( ) 1 2 2 - 1 - 1 - 1 1 ìïï ìï ì ï f ò (x) 9 dx ï ¢ = ïï f ï ( ) f ( ) 9 ï ï - - = ï f (- ) 15 1 1 1 8 = ï ï ï Từ đồ thị suy ra - 1 8 8 í Þ í Þ í 4 ï ï 5 ï 7 ïïï ò (¢ ) 5 ï = - ï f (4) f ( ) 1 ï - = - ï f f x dx (4)= ï ï î 4 ï ï ïî 4 4 ïî 1 f ( )2 - f (- )2 4 1 29 Thay vào (1) ta được = - 2 128
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình 2 2 z +
3z + a - 2a = 0 có
nghiệm phức z thỏa z = 3 ? 0 0 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Phương trình 2 2 z +
3z + a - 2a = 0 có 2
D = - 4a + 8a + 3 . Xét 2 trường hợp: 2 - 7 2 + 7 TH1. 2
D ³ 0 Û - 4a + 8a + 3 ³ 0 Û £ a £ . 2 2
Khi đó, phương trình có nghiệm z thì z Î ¡ . 0 0 éz = 3 ê Theo đề bài: 0 z = 3 Û ê . 0 z ê = - 3 0 ë Trang 21 a é = 0 * z = -
3 , thay vào phương trình ta được 2 a 2a ê - Û . 0 a ê = 2 ê ë * z =
3 , thay vào phương trình ta được 2
a - 2a + 6 = 0 . 0
Kết hợp điều kiện a > 0 và điều kiện suy ra a = 2. é 2 - 7 êa < ê TH2. 2 2
D < 0 Û - 4a + 8a + 3 < 0 Û êê . 2 + 7 a ê > êë 2
Khi đó, phương trình có nghiệm phức z thì z 0 cũng là một nghiệm của phương trình. 0 é 2 a = - 1 Ta có 2 2 2 z .z ê 0 = a - 2a Û z
= a - 2a Û a - 2a - 3 = 0 Û . 0 0 a ê = 3 êë
Kết hợp điều kiện a > 0 và điều kiện suy ra a = 3 .
Vậy có 2 giá trị a dương thỏa mãn là a = 2; a = 3 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;2; ) 1 , B (3;4; ) 0 , mặt phẳng
(P ): ax + by + cz + 46 = 0. Biết rằng khoảng cách từ A,B đến mặt phẳng (P ) lần lượt bằng
6 và 3 . Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng A. - 3 . B. - 6 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng (P ).
Khi đó theo giả thiết ta có: AB = 3, AH = 6 , BK = 3.
Do đó A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P )
Lại có: A B + BK ³ A K ³ A H Þ H º K .
Suy ra A, B, H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của A H nên tọa độ H (5;6;- ) 1 . uuur
Vậy mặt phẳng (P ) đi qua H (5;6;- )
1 và nhận A B = (2;2;- )
1 là VTPT có nên phương trình 2(x - )
5 + 2(y - 6)- 1(z + )
1 = 0 Û 2x + 2y - z - 23 = 0 .
Theo bài ra thì (P ):- 4x - 4y + 2z + 46 = 0 , nên a = - 4,b = - 4,c = 2.
Vậy T = a + b + c = - 6 .
Câu 47: Xét các số a,b là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022. Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có
ít nhất 1000 giá trị của a thỏa mãn ( a+b+2 2 - 2b- a ) lo × g
b > 4b - 1 . Số giá trị b là a + 1 A. 1019 . B. 1020 . C. 1021. D. 1022 . Lời giải
Đặt c = a + 1,c ³ 2, khi đó ( a+b+2 2 - 2b- a ) lo × g
b > 4b - 1 Û 2c - 2- c lo
× g b > 2b - 2- b (1) . a + 1 ( ) c
+) b = 1, không thỏa mãn. Trang 22 2c - 2- c 15 +) b = 2 Þ > . log c 4 2
•) c = 2, không thỏa mãn. c - c c - c - c •) " 2 - 2 2 ( .
c ln 2. ln c - 1) + .
c 2 . ln 2. ln c + 2
c ³ 3 , hàm f (c) = , f (c ¢ ) = > 0 . log c . c ln 2( 2 2 log c 2 ) 15
Suy ra f (c) ³ f (3) >
, " c ³ 3 Þ 2 £ a £ 2021 . Do đó b = 2 thỏa mãn. 4 2c - 2- c 2b - 2- b +) b ³ 3,(1) Û > (3) . ln c ln b 2t - 2- t
Hàm số f (t ) =
đồng biến với mọi t ³ 3 và c = 2 không thỏa mãn nên c ³ 3 . log t 2 ìïb ³ 3 Do đó ï (3) Û c > ,
b (b ³ 3) Þ 3 £ b £ a £ 2021 Þ í Þ 3 £ b £ 1022. ï 2021 - b + 1 ³ 1000 ïî Vậy 2 £ b £ 1022 .
Câu 48: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° . Diện tích của thiết diện này bằng 2 a 2 2 a 2 2 a 2 A. . B. . C. 2 2a . D. . 3 2 4 Lời giải Chọn A
Giả sử hình nón có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O . Thiết diện qua trục là DSA B , thiết diện
qua đỉnh là DSCD ; gọi I là trung điểm của CD . a 2
Theo giả thiết ta có DSA B vuông cân tại S , cạnh huyền A B = a 2 Þ r = OA = 2 2 2a a 2
SA = SB = l = a 2 2 2
Þ h = SO = SA - OA = a - = . 4 2 Trang 23 a 2 · SO SO a 6 Ta lại có 2
SIO = 60° Þ sin 60° = Þ SI = = = ; SI sin 60° 3 3 2 2 6a a 3 2a 3 2 2 2 ID = SD - SI = a - = Þ CD = . 9 3 3 2 1 1 2a 3 a 6 a 2
Diện tích thiết diện cần tìm là S = .CD.SI = . . = . D SCD 2 2 3 3 3
Câu 49: Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi (P ) là mặt phẳng cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại
A (a;0;0), B (0; ; b )
0 , C (0;0;c) sao cho 2 2 2
a + b + c = 12 và diện tích tam giác A BC lớn
nhất. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm nào sau đây? A. S (1;0; ) 1 . B. M (2;0;2). C. N (3;0; ) 3 . D. Q (2;2; ) 0 . Lời giải Chọn A
Vì mặt phẳng (P ) cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A (a;0;0), B (0; ; b ) 0 , C (0;0;c). Nên ta có , a , b c > 0 . x y z
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn(P ): + + = 1 . a b c uuur uuur 2 2 2 1 é ù 1
Ta có diện tích tam giác A BC là S = A ê B, A C ú =
(ab) + (bc) + (ca) 2 ë û 2 1 Û S = (ab)2 2 + c ( 2 2 a + b ). 2 Ta có: 2 2 2
12 - c = a + b và 2 12 - c ³ 2ab . 2 2 1 12 æ c ö - ç ÷ 1 3 1 3 2 S £ ç ÷ + c ç ÷ ( 2 12 - c ) 2 4 = 36 + 6c - c Û S £ 48 - (c - 4)2 2 £ 2 3 . 2 ç è 2 ÷ ø 2 4 2 4 ì 2 ïïc = 4 ìïa = 2 ï ï ï ï ï
Diện tích tam giác A BC lớn nhất khi S = 2 3 Û í a = b Û íb = 2 ï ï . ï 2 2 2 ï
ï a + b + c = 12 ï c = 2 ïî ïî Khi đó mặ x y z t phẳng (P ): + +
= 1 đi qua điểm S (1;0; ) 1 . 2 2 2
Câu 50: Cho hai hàm số y = (x + ) 1 (2x + ) 1 (3x + ) 1 (m + 2 x ); 4 3 2
y = - 12x - 22x - x + 10x + 3
có đồ thị lần lượt là (C , (C . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2 ) 1 ) é 2023;2023ù - êë
úû để (C cắt (C tại 3 điểm phân biệt? 2 ) 1 ) A. 4044 . B. 2022 . C. 2024 . D. 4042 . Lời giải Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C và (C : 2 ) 1 ) Trang 24
(x + )( x + )( x + )(m + x ) 4 3 2 1 2 1 3 1 2
= - 12x - 22x - x + 10x + 3 (1)
Để đồ thị (C cắt (C tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 2 ) 1 ) ìï 1 1ü ï ï ï Với x Î í - 1;- ;-
ý : Không là nghiệm của phương trình (1). ï 2 3ï ïî ïþ ìï 1 1ü ï ï ï Với x Ï í - 1;- ;- ý ta có: ï 2 3ï ïî ïþ 4 3 2 ( )
- 12x - 22x - x + 10x + 3 1 1 1 1 Û m =
- 2 x Û m = - 2x - 2 x + + + (x + ) 1 (2x + ) 1 (3x + ) 1 x + 1 2x + 1 3x + 1 . ìï 1 1ü ï ï ï
Xét hàm số f (x ) 1 1 1 = - 2x - 2 x + + + , " x Î ¡ \ í - 1;- ;- ý . x + 1 2x + 1 3x + 1 ï 2 3ï ïî ïþ 2x 1 2 3 Suy ra: f ( ¢ x )= - 2 - - - - . x (x + )2 1 (2x + )2 1 (3x + )2 2 1 ìï 1 2 3 ïï - 4 - - - khi x Î 0;+ ¥ 2 2 2 ( ) ïï (x + ) 1 (2x + ) 1 (3x + ï ) 1 Ta có: f ( ¢ x )= í và f ( ¢ x ) ï 1 2 3 ìï 1 1ü ï ï ï ï ï - - -
khi x - ¥ ; 0 \ í - 1;- ;- ý 2 2 2 ( ) ï ( ï ï ï x + ) ( x + ) ( x + ï ) 2 3 1 2 1 3 1 ïî ïþ ïî
không xác định tại x = 0 . Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì m ³ 0 . Do đó
có 2024 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 25