Đề luyện thi tốt nghiệp môn Toán 2023 bám sát minh họa (có lời giải)-Đề 8
Đề luyện thi tốt nghiệp môn Toán 2023 bám sát minh họa có lời giải-Đề 8. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 19 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 8
Câu 1. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = 2 − + i .
B. z =1− 2i .
C. z = 2 + i .
D. z =1+ 2i .
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y = log 3x + 2 . 3 ( ) 1 1 3 3 A. y = ( . B. y = . C. y = . D. y = . 3x + 2) (3x + 2)ln3 (3x + 2)ln3 (3x + 2)
Câu 3. Tập xác định của hàm số
y = ( x − 2) là A. D = (− ;
2) . B. D = (2;+) . C. D = \
2 . D. D = (− ; 2. x
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 là 3 A. 0;+ ) . B. (− ;1 . C. (0;+ ) .
D. (−;0) .
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2023 , công sai d = 3. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là n ) 1
A. u = 2023 + 3n. B. u = 2019 + 3n . C. u = 2023+ 3 n − .
D. u = 2023+ 3 n + . n ( ) 1 n ( ) 1 n n
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ): 2x − y + z −1= 0 . Vectơ nào dưới đây không
là vectơ pháp tuyến của ( ) ? A. n(2;1; ) 1 . B. n = ( 2 − ;1;− )
1 . C. n = (2; 1 − ; )
1 . D. n = (4; 2 − ;2) .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên dưới đây
Số nghiệm của phương trình 3 f (x) −5 =1 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . 5 5 5
Câu 8. Cho I = f
(x)dx = 4;J = g
(x)dx = 3. Khi đó K = 4 f
(x)−3g(x)dx bằng 1 1 1 A. 2 . B. 7 . C. 8 . D. 4 .
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào? Trang 1 y O x A. 2
y = x − 3x + 2 . B. 4 2
y = x − x + 2. C. 3
y = −x − 3x + 2 . D. 3
y = x − 3x + 2 .
Câu 10. Tính bán kính R của mặt cầu (S) : 2 2 2
x + y + z − 2x + 2 y − 2z − 3 = 0 .
A. R = 6 .
B. R = 2 .
C. R = 3 .
D. R = 6 .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình là x − z − 3 = 0 . Tính góc giữa
(P) và mặt phẳng (Oxy). A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 90 .
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z −3+ i = 0 . Môđun của z bằng A. 4 . B. 10 . C. 3 . D. 10 .
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a , 3a , 5a bằng A. 2 15a . B. 3 15a .
C. 15a . D. 15 .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết AB = a AC = 2a , SA ⊥ ( ABC ) và
SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 2 4 8 4
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + ( y − )2 2 2 :
1 + z = 2 . Trong các điểm cho dưới
đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S )? A. M (1;1; ) 1 .
B. N (0;1;0). C. P(1;0; ) 1 .
D. Q(1;1;0) .
Câu 16. Trong các số phức z = 2
− i , z = 2 − i , z = 5i , z = 4 có bao nhiêu số thuần ảo? 1 2 3 4 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Câu 17. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và đường kính đáy a bằng
A. 2 al .
B. 4 al .
C. al .
D. 1 al . 2 x =1+ 3t
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y = 2
− + t (t ) . z = 3+5t
A. M (3;1;5) . B. N (1; 2 − ;3) . C. P(4; 1 − ; 2 − ) . D. Q( 2 − ; 1 − ; 2 − ) .
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ y 2 -2 1 -1 O 2 x -2
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x = 1 − .
B. x = 2 . C. x =1. D. x = 2 − . 2x +1
Câu 20. Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = là x −1 Trang 2
A. x = 2; y =1. B. x = 1 − ; y = 2 − .
C. x =1; y = 2 − .
D. x =1; y = 2 .
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log x +1 1 là 2 ( ) A. ( 1 − ;2) . B. ( ) ;1 − . C. ( 1 − ;+). D. ( 1 − ; ) 1 .
Câu 22. Trong hộp có 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Số cách chọn là A. 3 A . B. 3 C . C. 9 . D. 3 3 3
C + C + C . 15 15 4 5 6 Câu 23. Nếu f (x) 1 dx =
+ ln x + C thì x 1 1 1
A. f (x) = −
+ ln x . B. f (x) = x + ln x . C. ( ) 1 f x = − x + .
D. f ( x) = − . 2 x x 2 x x 2 2 Câu 24. Nếu f
(x)dx = 2 thì I = 3f
(x)−2dx bằng bao nhiêu? 1 1
A. I = 4 .
B. I =1.
C. I = 2 .
D. I = 3 .
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3x f x = +1 là 3x 3x A. + C . B.
+ x + C .
C. 3x + x + C .
D. 3x ln x + x + C . ln 3 ln 3
Câu 26. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; ) 1 .
B. (−;0) . C. (1;+ ) . D. ( 1 − ;0) .
Câu 27. Cho hàm số y = f ( )
x liên tục trên đoạn 1 − ;
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 1
− . B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x = 0 , x = 3.
C. Hàm số có hai điểm cực đại là x = 1 − , x = 2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 2 .
Câu 28. Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a a ln a
A. ln = ln b − ln a . B. ln = .
C. ln(ab) = ln . a ln b .
D. ln(ab) = ln a + lnb . b b ln b
Câu 29. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x +1, y = 0, x = 0 , x = 1 quay xung quanh trục Ox . Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành là 79 5 23 A. . B. . C. . D. 9 . 63 4 14
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a . Góc giữa
hai mặt phẳng (ABC ) D và (SC ) D bằng Trang 3 A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 45 .
Câu 31. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình sau: y 1 -2 2 O x -3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f (x) + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt?
A. 7 . B. 6 .
C. 8 . D. 5 .
Câu 32. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (− ; +) x − A. 4 2
y = x + 2x + 2 . B. 1 y = . C. 3
y = x + x − 5 . D. y = x + tan x . 2x +1
Câu 33. Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Xác
suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh là A. 10 . B. 25 . C. 5 . D. 5 . 11 42 42 14 Câu 34. Gọi +
x , x là hai nghiệm của phương trình x x 1 4.4 −9.2
+8 = 0 . Khi đó, tích x .x bằng 1 2 1 2 A. 2. − B. 1. C. 2. . D. 1. −
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức z thõa mãn z − 4 + i = 3 là
đường tròn có phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 4) + ( y + ) 1
= 9 . B. (x − 4) + ( y − ) 1
= 3. C. (x − 4) + ( y + ) 1 = 3.
D. ( x − 4) + ( y − ) 1 = 9.
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;2; 2 − ), B( 2 − ;3; ) 1 ,C ( 1
− ;1;2) . Đường thẳng đi qua C và song
song với đường thẳng AB có phương trình chính tắc là − + + − + + + − − + − − A. x 1 y 1 z 2 = = . B. x 3 y 1 z 3 = = . C. x 1 y 1 z 2 = = . x y z D. 3 1 3 = = . 3 − 1 3 1 − 1 2 3 − 1 3 1 − 1 2
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua trục Ox có tọa độ là
A. (1; − 2; −3). B. (1; 0 0) . C. (0; 2; ) 3 . D. ( 1 − ; − 2; −3).
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a 3 và ABC
vuông tại B có cạnh
BC = a , AC = a 5 . Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) . a a a a A. 2 21 . B. 21 . C. 2 5 D. 15 . 7 7 5 3
Câu 39. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 3 2x + 2log x 4 là 3 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 40. Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi F (x),G(x) là hai nguyên hàm của f (x) trên thỏa mãn 2023 x F ( ) 1 + G ( )
1 = 5 và F (0) + G(0) =1. Khi đó f dx bằng 2023 0 A. 2023. B. 2 . C. 4046 . D. 4 . 2023 2023
Câu 41. Cho hàm số f (x) 5 3
= x − mx + 5x + 2m + 3 ( m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f (x) có
4 điểm cực trị và tổng các giá trị cực trị nhỏ hơn 2023? A. 251. B. 250 . C. 248 . D. 247 Trang 4 +
Câu 42. Hai số phức 2023z 2023i
z , w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức (1+ i) 2 z − 2iz −1 = + 2 − 2i . Giá w
trị lớn nhất của w là A. 2019 2 . B. 2019 2 . C. 2019 . D. Đáp án khác. 4 2
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A . AC = a , ACB = 60 . Đường
thẳng BC tạo với mặt phẳng ( ACC A
) một góc 30. Thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C bằng 3 a 3 3 a 6 A. 3 a 3 . B. 3 a 6 . C. . D. . 3 3 3 x 4 + f x
Câu 44. Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên 0;
2 , thỏa f ( x) ( ) =
với mọi x 0;2 và 2 f ( x)
f (0) = 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 3 y = 4 + f (x) và 11 y = 4 A. 1. B. 2 . C. 21 . D. 2 .
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 z − (m − ) 2 2
1 z + m − 3 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z thỏa mãn z − z = 2 5 . Tính tổng các phần tử của tập 1 2 1 2 S . A. 5 . B. 4 . C. 9 . D. 1 − . 2 2 − + − − − +
Câu 46. Trong không gian x 1 y 2 z 1 x 1 y 1 z 2
Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và d : = = . Mặt 1 1 1 2 2 2 1 1
phẳng (P): x + ay +bz + c = 0, c 0 song song với d , d và khoảng cách từ d đến (P) gấp đôi khoảng cách từ 1 2 1
d đến ( P) . Giá trị của a + b + c bằng 2 A. 14. B. 6 . C. 4 − . D. −6 . Câu 47. Có bao nhiêu bộ ( ;x y) với , x y nguyên và 1 , x y 2023 thỏa mãn ( +
xy + x + y + ) 2 y 2x 1 2 4 8 log
2x + 3y − xy − 6 log ? 3 ( ) 2 y + 2 x − 3 A. 2022 . B. 2023. C. 4040 . D. 20222023 .
Câu 48. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3R . Hai điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao
cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng 30 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. R A. ( R d AB, d ) = .
B. d ( A , B d ) = R .
C. d ( A ,
B d ) = R 3 . D. d ( AB d ) 3 , = . 2 2 Câu 49. 2 2 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y − ) 1 + (z − ) 1 = 4 và điểm M (2;2; )
1 . Một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (S ) tại hai điểm ,
A B . Khi biểu thức
T = MA + 4MB đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng AB có giá trị bằng A. 4 3 . B. 2 3 . C. 5 3 . D. 4 . 2 Câu 50. 1 1 2 Cho hàm số 3 2
f (x) = − x +
(2m + 3)x − ( 2
m + 3m) x + . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 3 2 3 thuộc [ 9
− ;9] để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) ? A. 3. B. 2. C. 16. D. 9.
…………………..Hết…………………… Trang 5 ĐÁP ÁN 1 - A 2 - C 3 - B 4 - D 5 - C 6 - A 7 - C 8 - B 9 - D 10 - A 11 - C 12 - D 13 - B 14 - A 15 - C 16 - D 17 - C 18 - B 19 - A 20 - D 21 - D 22 - B 23 - D 24 - A 25 - B 26 - A 27 - D 28 - D 29 - C 30 - D 31 - A 32 - C 33 - B 34 - A 35 - A 36 - C 37 - A 38 - C 39 - D 40 - C 41 - C 42 - A 43 - B 44 - A 45 - B 46 - A 47 - C 48 - D 49 - D 50 - B LỜI GIẢI
Câu 1. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = 2 − + i .
B. z =1− 2i .
C. z = 2 + i .
D. z =1+ 2i . Lời giải Chọn A Điểm M( 2
− ;1) là điểm biểu diễn của số phức z = 2 − + i
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y = log 3x + 2 . 3 ( ) 1 1 3 3 A. y = ( . B. y = . C. y = . D. y = . 3x + 2) (3x + 2)ln3 (3x + 2)ln3 (3x + 2) Lời giải Chọn C Ta có 3 y = ( 3x + 2) ln 3
Câu 3. Tập xác định của hàm số
y = ( x − 2) là A. D = (− ;
2) . B. D = (2;+) . C. D = \
2 . D. D = (− ; 2. Lời giải Chọn B
Điều kiện xác định x − 2 0 x 2 x
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 là 3 A. 0;+ ) . B. (− ;1 . C. (0;+ ) . D. (−;0) . Lời giải Chọn D x Ta có 1 1 x 0 3
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2023 , công sai d = 3. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là n ) 1
A. u = 2023 + 3n. B. u = 2019 + 3n . C. u = 2023+ 3 n − .
D. u = 2023+ 3 n + . n ( ) 1 n ( ) 1 n n Lời giải Chọn C
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có u = u + (n −1)d = 2023+ 3 n −1 n 1 ( ) Trang 6
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ): 2x − y + z −1= 0. Vectơ nào dưới đây không
là vectơ pháp tuyến của ( ) ? A. n(2;1; ) 1 . B. n = ( 2 − ;1;− )
1 . C. n = (2; 1 − ; )
1 . D. n = (4; 2 − ;2) . Lời giải Chọn A
() có một véc tơ pháp tuyến là n = (2; 1 − ; )
1 k(2;1;1), k .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên dưới đây
Số nghiệm của phương trình 3 f (x) −5 =1 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B
Ta có 3 f (x) −5 =1 f (x) = 2. Dựa vào bảng biến thiên thấy đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số đã cho tại một
điểm duy nhất hay phương trình có hai nghiệm. 5 5 5
Câu 8. Cho I = f
(x)dx = 4;J = g
(x)dx = 3. Khi đó K = 4 f
(x)−3g(x)dx bằng 1 1 1 A. 2 . B. 7 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn B 5 5 5
Ta có K = 4 f
(x)−3g(x)dx = 4 f (x)dx−3 g(x)dx = 4.4−3.3 = 7 1 1 1
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào? y O x A. 2
y = x − 3x + 2 . B. 4 2
y = x − x + 2. C. 3
y = −x − 3x + 2 . D. 3
y = x − 3x + 2 . Lời giải Chọn D
Ta thấy đây là đồ thị đường cong bậc 3 có hệ số bậc ba dương.
Câu 10. Tính bán kính R của mặt cầu (S) : 2 2 2
x + y + z − 2x + 2 y − 2z − 3 = 0 .
A. R = 6 .
B. R = 2 .
C. R = 3 . D. R = 6 . Lời giải Chọn A
Mặt cầu (S ) có bánh kính R = 1+1+1+ 3 = 6 Trang 7
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình là x − z − 3 = 0 . Tính góc giữa
(P) và mặt phẳng (Oxy). A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C
(P) có một véc tơ pháp tuyến n(1;0;−1)
(Oxy) có một véc tơ pháp tuyến n'(0;0;1) Do đó ((P) (Oxy)) (n n ) 1 cos , cos , '
((P),(Oxy)) 45 = = = 2
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z −3+ i = 0 . Môđun của z bằng A. 4 . B. 10 . C. 3 . D. 10 . Lời giải Chọn D
Ta có z − 3+ i = 0 z = 3− i z = 3+ i z = 10
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a , 3a , 5a bằng A. 2 15a . B. 3 15a .
C. 15a . D. 15 . Lời giải Chọn B Ta có 3 V = . a 3 .
a 5a =15a
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết AB = a AC = 2a , SA ⊥ ( ABC ) và
SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 2 4 8 4 Lời giải Chọn A 2
Theo pitago trong tam giác vuông 1 a 3 2 2 ABC BC =
AC − BA = a 3 S = A . B BC = ABC 2 2 3 Vậy 1 a V = S .SA = . S . ABC 3 ABC 2
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + ( y − )2 2 2 :
1 + z = 2 . Trong các điểm cho dưới
đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S )? A. M (1;1; ) 1 .
B. N (0;1;0). C. P(1;0; ) 1 . D. Q(1;1;0) . Lời giải Chọn C
(S) có tâm I(0;1;0), bán kính R = 2
Ta có IM = 2 = R , IN = 0 R , IP = 3 R , IQ =1 R .
Câu 16. Trong các số phức z = 2
− i , z = 2 − i , z = 5i , z = 4 có bao nhiêu số thuần ảo? 1 2 3 4 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Trong các số phức đã cho có hai số là số thuần ảo đó là z = 2
− i và z = 5i 1 3
Câu 17. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và đường kính đáy a bằng
A. 2 al .
B. 4 al .
C. al . D. 1 al . 2 Lời giải Chọn C Trang 8
Hình trụ có độ dài đường sinh l và đường kính đáy a có diện tích xung quanh là S = 2 rl = al xq x =1+ 3t
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y = 2
− + t (t ) . z = 3+5t
A. M (3;1;5) . B. N (1; 2 − ;3) . C. P(4; 1 − ; 2 − ) . D. Q( 2 − ; 1 − ; 2 − ) . Lời giải Chọn B
Kiểm tra bằng cách thay toạ độ các điểm M, N, ,
P Q vào phương trình của d chỉ có toạ độ điểm N (1; 2 − ;3) làm
cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất t = 0 , hay điểm N thuộc d .
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ y 2 -2 1 -1 O 2 x -2
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x = 1 − .
B. x = 2 . C. x =1. D. x = 2 − . Lời giải Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 − . +
Câu 20. Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số 2x 1 y = là x −1
A. x = 2; y =1. B. 1 1 x = ; y = .
C. x =1; y = 2 − .
D. x =1; y = 2 . 2 2 Lời giải Chọn D
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng và ngang lần lượt là x =1; y = 2 .
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log x +1 1 là 2 ( ) A. ( 1 − ;2) . B. ( ) ;1 − . C. ( 1 − ;+). D. ( 1 − ; ) 1 . Lời giải Chọn D
Điều kiện x +1 0 x 1 −
Khi đó log x +1 1 x +1 2 x 1 2 ( )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( 1 − ; ) 1
Câu 22. Trong hộp có 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Số cách chọn là A. 3 A . B. 3 C . C. 9 . D. 3 3 3
C + C + C . 15 15 4 5 6 Lời giải Chọn B
Số cách lấy ra ba viên bi từ hộp chứa 15 viên bi là 3 C . 15 Câu 23. Nếu f (x) 1 dx =
+ ln x + C thì x Trang 9 1
A. f (x) = − + ln x .
B. f (x) = x + ln x . 2 x 1 1 C. ( ) 1 f x = − x + .
D. f ( x) = − . x 2 x x Lời giải Chọn D Ta có f x = ( f (x) x) ' ' 1 1 1 ( ) d = + ln x + C = − + 2 x x x 2 2 Câu 24. Nếu f
(x)dx = 2 thì I = 3f
(x)−2dx bằng bao nhiêu? 1 1
A. I = 4 .
B. I =1.
C. I = 2 . D. I = 3 . Lời giải Chọn A 2 2 2
Ta có I = 3 f
(x)−2dx = 3 f (x)dx−2 dx= 3.2−2 = 4 1 1 1
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3x f x = +1 là 3x 3x A. + C . B.
+ x + C .
C. 3x + x + C .
D. 3x ln x + x + C . ln 3 ln 3 Lời giải Chọn B x Ta có ( ) = ( x f x dx + ) 3 3 1 dx = + x + C . ln 3
Câu 26. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; ) 1 .
B. (−;0) . C. (1;+ ) . D. ( 1 − ;0) . Lời giải Chọn A
Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (− ; − ) 1 và (0 ) ;1
Câu 27. Cho hàm số y = f ( )
x liên tục trên đoạn 1 − ;
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 1
− . B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x = 0 , x = 3.
C. Hàm số có hai điểm cực đại là x = 1 − , x = 2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 2 . Trang 10 Lời giải Chọn D
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 2 .
Câu 28. Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a a a
A. ln = ln b − ln a . B. ln ln = .
C. ln(ab) = ln . a ln b .
D. ln(ab) = ln a + lnb . b b ln b Lời giải Chọn D
Theo quy tắc logarit của một tích ta có ln(ab) = ln a + lnb .
Câu 29. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x +1, y = 0, x = 0 , x = 1 quay xung quanh trục Ox . Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành là A. 79 . B. 5 . C. 23 . D. 9 . 63 4 14 Lời giải Chọn C 1
Ta có V = (x + )2 23 3 1 dx = 14 0
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a . Góc giữa
hai mặt phẳng (ABC ) D và (SC ) D bằng A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 45 . Lời giải S Chọn D AD ⊥ CD Có
((SAD),( ABCD)) = SDA CD ⊥ SD A D
Tam giác SAD là tam giác vuông cân suy ra ((SAD),( ABCD)) = SDA = 45
Câu 31. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình sau: B C y 1 -2 2 O x -3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f (x) + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt?
A. 7 . B. 6 . C. 8 . D. 5 . Lời giải y Chọn A m 1
Ta có 2 f (x) + m = 0 f (x) = − 2 -2 2 m O x Vẽ đường thẳng y = − 2 m y = − 2 -3
Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng m y = − 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( ) x
tại bốn điểm phân biệt. Quan sát đồ thị ta thấy m 3 − − 1 6
− −m 2 2 − m 6 2 Trang 11
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số thoả mãn bài toán.
Câu 32. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (− ; +) x − A. 4 2
y = x + 2x + 2 . B. 1 y = . C. 3
y = x + x − 5 . D. y = x + tan x . 2x +1 Lời giải Chọn C
Hàm số đồng biến trên (− ;
+) khi hàm được xác định trên (− ; +), suy ra loại B, D Xét hàm 4 2
y = x + 2x + 2 không đồng biến trên (− ; +) Xét hàm số 3
y = x + x − 5 có tập xác định (− ; +), 2
y ' = 3x +1 0, x (− ; ) Vậy chọn C
Câu 33. Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Xác
suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh là A. 10 . B. 25 . C. 5 . D. 5 . 11 42 42 14 Lời giải Chọn B
Chọn 3 viên bi từ 9 viên bi suy ra n() 3 = C 9
Biến cố A chọn được ít nhất 2 viên bi màu xanh nên 2 1 3 n( )
A = C C + C 5 4 5 2 1 3 C C + C Vậy 25 5 4 5 P( ) A = = 3 C 42 9 Câu 34. Gọi +
x , x là hai nghiệm của phương trình x x 1 4.4 −9.2
+8 = 0 . Khi đó, tích x .x bằng 1 2 1 2 A. 2. − B. 1. C. 2. . D. 1. − Lời giải Chọn A t = 4 Đặt = 2x t
,t 0 , phương trình đã cho trở thành 2
4t −18t + 8 = 0 1 t = 2 Với = 4 2x t = 4 x = 2 1 Với 1 x 1 t = 2 = x = 1 − 2 2 2 Vậy x .x = 2 − 1 2
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức z thõa mãn z − 4 + i = 3 là
đường tròn có phương trình: 2 2 2 2
A. ( x − 4) + ( y + ) 1 = 9 .
B. ( x − 4) + ( y − ) 1 = 3. 2 2 2 2
C. ( x − 4) + ( y + ) 1 = 3.
D. ( x − 4) + ( y − ) 1 = 9. Lời giải Chọn A Gọi 2 2
z = x + yi , khi đó z − 4 + i = 3 ( x − 4) + ( y + ) 1 = 9
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;2; 2 − ), B( 2 − ;3; ) 1 ,C ( 1
− ;1;2) . Đường thẳng đi qua C và song
song với đường thẳng AB có phương trình chính tắc là x −1 y +1 z + 2 x − 3 y +1 z + 3 x +1 y −1 z − 2 x + 3 y −1 z − 3 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 3 − 1 3 1 − 1 2 3 − 1 3 1 − 1 2 Lời giải Chọn C
Đường thẳng được xác định đi qua C ( 1
− ;1;2) và có véc tơ chỉ phương là u = AB = (−3;1;3) Trang 12 + − −
Vậy đường thẳng có phương trình chính tắc là x 1 y 1 z 2 = = 3 − 1 3
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua trục Ox có tọa độ là
A. (1; − 2; −3). B. (1; 0 0) . C. (0; 2; ) 3 . D. ( 1 − ; − 2; −3). Lời giải Chọn A
Hình chiếu của M (1; 2; 3) trên trục Ox là H(1;0;0)
M ' là điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua trục Ox khi chỉ khi H là trung điểm đoạn MM '
Vậy M '(1; − 2; − ) 3
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a 3 và ABC
vuông tại B có cạnh
BC = a , AC = a 5 . Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) . a a a a A. 2 21 . B. 21 . C. 2 5 D. 15 . 7 7 5 3 Lời giải Chọn A S
Kẻ BH ⊥ AC tại H
Do SA ⊥ (ABC) SA ⊥ BH BH ⊥ (SAC) d( ,
B (SAC)) = BH
Theo pitago trong tam giác vuông ABC có 2 2 AB =
AC − BC = 2a
Trong tam giác vuông ABC tại B có BH là đường cao suy ra B . A BC 2 . a a 2 5a BH = = = H AC a 5 5 A C
Câu 39. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 3 2x + 2log x 4 là 3 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . B Lời giải
Điều kiện: x 0 Xét hàm số 3 ( ) = 2x f x
+ 2log x , xác định trên (0; ) + 3 x 3 Có đạo hàm 2 ln 2 2 f '(x) = + 0, x
0 , suy ra hàm số đồng biến trên (0; ) + 3 x ln 3
Mà f (3) = 4. Do đó bất phương trình có tập nghiệm (0;
3 . Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên dương.
Câu 40. Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi F (x),G(x) là hai nguyên hàm của f (x) trên thỏa mãn 2023 x F ( ) 1 + G ( )
1 = 5 và F (0) + G(0) =1. Khi đó f dx bằng 2023 0 A. 2023. B. 2 . C. 4046 . D. 4 . 2023 2023 Lời giải
Ta có: G(x) = F (x) +C F ( ) 1 + G ( ) 1 = 5 2F ( ) 1 + C = 5 Theo giả thiết: F ( ) 1 − F (0) = . F ( ) + G ( ) = F ( ) 2 0 0 1 2 0 + C = 1 Đặt x 1 t = dt =
dx dx = 2023dt 2023 2023
+ x = 0 t = 0
+ x = 2023 t =1 Trang 13 2023 1 1 Khi đó x f dx = 2023 f
(t)dt = 2023 f
(x)dx = 2023F ( ) 1 − F (0) = 4046 . 2023 0 0 0
Câu 41. Cho hàm số f (x) 5 3
= x − mx + 5x + 2m + 3 ( m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f (x) có
4 điểm cực trị và tổng các giá trị cực trị nhỏ hơn 2023? A. 251. B. 250 . C. 248 . D. 247 Lời giải
Xét hàm số f (x) 5 3
= x − mx + 5x + 2m + 3, có tập xác định , 4 2
f '(x) = 5x − 3mx + 5
Để hàm số đã cho có 4 điểm cực trị khi và chỉ khi 4 2
f '(x) = 5x − 3mx + 5 = 0 có 4 nghiệm phân biệt, hay 10 m 3
Nhận thấy trong 4 nghiệm phân biệt x , x , x , x của phương trình f '( )
x = 0 thì ta có x = −x , x = −x 1 2 3 4 1 2 3 4
Do đó f (x ) + f (x ) + f (x ) + f x = 4 2m + 3 . Nên ta có 2011
8m +12 2023 m 1 2 3 ( 4) ( ) 8 Vậy 10 2011 m
, hay có 248 số nguyên thoả mãn bài toán. 3 8
Câu 42. Hai số phức z , w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức ( z + i 1+ i) 2023 2023 2 z − 2iz −1 =
+ 2 − 2i . Giá trị lớn nhất của w là w A. 2019 2 . B. 2019 2 . C. 2019 . D. Đáp án khác. 4 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có: 2
z − i = z + i nên 2
z − 2iz −1 = z − i = z + i . Như vậy: + 2 2023 2023 + 2023 z i z i 2 ( )
(1+i) z −2iz −1 =
+ 2 − 2i (1+ i) z + i = + 2 − 2i w w + + 2 2023(z i) ( z i 1+ i) 2
z + i + 2i − 2 =
z + i − 2 + ( 2 z + i + 2) 2023( ) i = . w w
Điều kiện: w 0 suy ra z + i 0 hay z + i 0 . 2023 z + i
Đặt t = z + i ,t 0ta có 2 t − 2 + ( 2 t + 2) ( ) i =
. Lấy môđun hai vế ta được: w ( z + i t t − 2) 2023 2 + (t + 2)2 =
(t − 2)2 + (t + 2)2 2023 2 2 2 2 = w w 2023t 2023t w = w = .
(t − )2 +(t + )2 4 2 2 2t + 8 2 2 2023t 2023 2 w w . 2 2t 4 Trang 14 Vậy 2023 2 max w = khi 4 4
2t = 8 t = 4 t = 2 z − i = 2 . 4
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A . AC = a , ACB = 60 . Đường
thẳng BC tạo với mặt phẳng ( ACC A
) một góc 30. Thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C bằng 3 a 3 3 a 6 A. 3 a 3 . B. 3 a 6 . C. . D. . 3 3 Lời giải 2 a 3 A' C'
Tính được BC = 2a , AB = a 3 S = ABC 2 Đặt 2 2
AA' = x AC ' = a + x
Ta có BC tạo với mặt phẳng (BC ( ACC A )) 0 ', = AC ' B = 30
Trong tam giác vuông ABC ' có B' AB a 3 3 0 3 tan 30 = =
x = 2 2a V = a 6 . ' ' ' 2 2 AC ' + 3 ABC A B C a x A C B 3 +
Câu 44. Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên 0; 2 , thỏa f ( x) x 4 f ( x) = với 2 f ( x)
mọi x 0;2 và f (0) = 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 3 y = 4 + f (x) và 11 y = 4 A. 1. B. 2 . C. 21 . D. 2 . Lời giải 3 2 x 4 + f x
f ( x). f ( x) 2
f ( x). f ( x) 2 Ta có ( ) ( ) x f x = = x dx = + C 2 f ( x) 3 + f (x) 3 + f (x) 2 4 4 2
f ( x). f ( x) Đặt 3 2 3 2 2 tdt 2 2 t =
4 + f (x) t = 4 + f (x) 2tdt = 3 f (x) f '(x)dx 3 dx = = t = 4 + f (x) 3 + f (x) 3 t 3 3 4 Do đó ta có 2 x 3 4 + f ( x) 2 3 =
+ C , thay x = 0 ta được 4 C = suy ra 3 4 + f ( x) 2 = x + 2 3 2 3 4 Xét phương trình 11 3 11 3 4 + f ( x) 2 = x + 2 = x = 1 4 4 4 1 3 3
Vậy diện tích cần tìm là 2 S = − x dx = 1 4 4 1 −
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 z − (m − ) 2 2
1 z + m − 3 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z thỏa mãn z − z = 2 5 . Tính tổng các phần tử của tập 1 2 1 2 S . 9 1 A. 5 . B. 4 . C. . D. − . 2 2 Lời giải Có = (m − )2 2 ' 1 − m + 3 = 2 − m + 4 Trang 15 TH1: 1
' 0 m 2 thì phương trình có hai nghiệm thực, khi đó z − z = 2 5 2 2
− m + 4 = 2 5 m = − 1 2 2
TH2: ' = 0 z − z = 0 loại 1 2
TH3: ' 0 m 2khi đó phương trình có hai nghiệm phức z = m −1 i 2m − 4 z − z = 2 2m − 4 1,2 1 2 YCBT 9
2 2m − 4 = 2 5 m = 2
Vậy ta có tổng các phần tử của S là 4 − + − − − +
Câu 46. Trong không gian x 1 y 2 z 1 x 1 y 1 z 2
Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và d : = = . Mặt 1 1 1 2 2 2 1 1
phẳng (P): x + ay +bz + c = 0, c 0 song song với d , d và khoảng cách từ d đến (P) gấp đôi khoảng cách từ 1 2 1
d đến ( P) . Giá trị của a + b + c bằng 2 A. 14. B. 6 . C. 4 − . D. −6 . Lời giải
Do mặt phẳng (P): x + ay +bz + c = 0, c 0 song song với d , d , suy ra n = u ;u = 1; 3 − ;1 1 2 ( ) 1 2 Suy ra ( )
P : x −3y + z + m = 0 Lấy ( A 1; 2
− ;1)d , B(1;1; 2 − )d 1 2 m =
YCBT d ( A P ) = d (B P ) 0 , ( ) 2
, ( ) m + 8 = 2 m − 4 m =16
Do c 0 m =16 ( )
P : x −3y + z +16 = 0 . Vậy a + b + c = 14 Câu 47. Có bao nhiêu bộ ( ;x y) với , x y nguyên và 1 , x y 2023 thỏa mãn ( +
xy + x + y + ) 2 y 2x 1 2 4 8 log
2x + 3y − xy − 6 log ? 3 ( ) 2 y + 2 x − 3 A. 2022 . B. 2023. C. 4040 . D. 20222023 . Lời giải * x, y : x, y 2023 * x, y : x, y 2023
+ Điều kiện 2x +1 2 y . 0, 0
x 3, y 0 x − 3 y + 2 + −
BPT cho có dạng ( x − )( y − ) x 4 y 2 3 2 log
+1 + x + 4 y + 2 log +1 0 . 2 ( )( ) 3 x − 3 y + 2 x + 4 2
+ Xét y =1 thì thành −(x −3)log +1 + 3 x + 4 log
0, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với 2 ( ) 3 x −3 3 mọi x 3 vì ( + − x − ) x 4 2 3 0;log
+1 log 0 +1 = 0;3 x + 4 0 ;log 0 . 2 2 ( ) ( ) 3 x −3 3
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2020 bộ ( ; x y) = ( , x )
1 với 4 x 2023, x .
+ Xét y = 2 thì thành 4(x + 4)log 1 0 , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2023, x . 3
Trường hợp này cho ta 2020 cặp ( ; x y) nữa.
+ Với y 2, x 3 thì VT ( ) * 0 nên không xảy ra.
Vậy có đúng 4040 bộ số ( ;
x y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3R . Hai điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao
cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng 30 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. R R
A. d ( AB,d ) = .
B. d ( A , B d ) = R .
C. d ( A ,
B d ) = R 3 . D. d ( AB d ) 3 , = . 2 2 Trang 16 Lời giải A H C J 300 R 3 B R I
Gọi I , J là tâm của hai đáy (hình vẽ).
Từ B kẻ đường thẳng song song với trục d của hình trụ, cắt đường tròn đáy kia tại C . Khi đó, ( A , B d ) = (A ,
B BC) = ABC . Suy ra ABC = 30.
Xét tam giác ABC vuông tại C , ta có: AC tan ABC = AC = C .
B tan ABC = R 3.tan 30 = 1 R 3. = R . CB 3
Lại có d// ( ABC) và ( ABC) AB nên d (d, AB) = d (d,( ABC)) = d (J,( ABC)).
Kẻ JH ⊥ AC , H AC . Vì BC ⊥ JH nên JH ⊥ ( ABC) . Suy ra d (J,( ABC)) = JH .
Xét tam giác JAC ta thấy JA = JC = AC = R nên JAC là tam giác đều cạnh R . Khi đó chiều cao là R 3 R JH = . Vậy d (d AB) 3 , = . 2 2 Câu 49. 2 2 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y − ) 1 + (z − ) 1 = 4 và điểm M (2;2; )
1 . Một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (S ) tại hai điểm ,
A B . Khi biểu thức
T = MA + 4MB đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng AB có giá trị bằng A. 4 3 . B. 2 3 . C. 5 3 . D. 4 . 2 Lời giải Chọn D
(S) có tâm I (2;1; ) 1 , bán kính R = 2 .
Ta có IM =1 R điểm M nằm trong mặt cầu (S ) và M nằm trên mặt cầu (S) tâm I , bán kính R = 1.
Gọi H là hình chiếu của I lên AB và đặt IH = x , vì IH IM =1 0 x 1.
TH1: MA MB. Trang 17
T = MA + 4MB = AH − MH + 4(MH + HB) = 3MH + 5AH 2 2
= 3 1− x + 5 4 − x .
Xét hàm số f (x) 2 2
= 3 1− x + 5 4 − x trên đoạn 0; 1 . − Ta có f (x) 3 5 = x − = 0 x = 0 . 2 2 1− x 4 − x Suy ra T
= 13 khi d đi qua I AB = 2R = 4. min
TH2: MA MB.
T = MA + 4MB = AH + MH + 4(BH − MH ) = 5AH − 3MH 2 2
= 5 4 − x − 3 1− x .
Xét hàm số f (x) 2 2
= 5 4 − x − 3 1− x trên đoạn 0; 1 . − Ta có f (x) 5 3 = x +
= 0 x = 0 0; 1 . 2 2 1− x 4 − x
Tìm được min f (x) = f (0) = 7 , khi d đi qua I AB = 2R = 4. 0; 1
● So sánh cả hai trường hợp thì ta có T
= 7 , khi d đi qua I AB = 2R = 4 . min Câu 50. 1 1 2 Cho hàm số 3 2
f (x) = − x +
(2m + 3)x − ( 2
m + 3m) x + . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 3 2 3 thuộc [ 9
− ;9] để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) ? A. 3. B. 2. C. 16. D. 9. Lời giải Xét hàm số 1 1 2 3 2
g(x) = − x +
(2m + 3)x − ( 2
m + 3m) x + 3 2 3 2
g x = −x + m + x − ( 2 ( ) (2 3) m + 3m)
Để f (x) nghịch biến trên khoảng (1;2) ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: g( )
x nghịch biến và không âm trên khoảng (1;2) . Trang 18 2
−x + (2m + 3)x −( 2
m + 3m) 0, x (1;2)
g (x) 0, x (1;2) Tức là: 1 1 2 3 2 g(2) 0
− .2 + .(2m + 3).2 − ( 2
m + 3m).2 + 0 3 2 3
x m + 3, x (1;2) m 2 − x , m x
(1;2) m 2 m = 2 − . 2 2
− m − 2m + 4 0 2 − m 1
Trường hợp 2: g( )
x đồng biến và không dương trên khoảng (1;2) . 2
−x + (2m + 3)x −( 2
m + 3m) 0, x (1;2)
g (x) 0, x (1;2) Tức là: 1 1 2 3 2 g(2) 0
− .2 + .(2m + 3).2 − ( 2
m + 3m).2 + 0 3 2 3 1 − m 1
m x m + 3, x (1;2) m 1 m =1. 2 2
− m − 2m + 4 0 m 2 − Trang 19