Đề luyện thi tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán bám sát minh họa (có lời giải)-Đề 9
Đề luyện thi tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán bám sát minh họa có lời giải-Đề 9. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 23 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 9
Câu 1. Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 1− i . Môđun của số phức 2z − 3z bằng 1 2 1 2 A. 58 . B. 113 . C. 82 . D. 137
Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (2; −1; )
1 , bán kính R = 2 có phương trình là A. 2 2 2
(x + 2) + ( y −1) + (z +1) = 2 . B. 2 2 2
(x − 2) + ( y +1) + (z −1) = 2 . C. 2 2 2
(x + 2) + ( y −1) + (z +1) = 4 . D. 2 2 2
(x − 2) + ( y +1) + (z −1) = 4 . 3x + 2
Câu 3. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x − 5 A. y = 3. B. x = 3. C. y = 5 . D. x = 5 .
Câu 4. Nghiệm của phương trình log x − 2 = 2 là 2 ( ) A. x = 5. B. x = 4 . C. x = 3. D. x = 6 . 2 1 Câu 5. Nếu f
(x)dx = 5 thì f (x)dx 1 2 A. 5. B. . C. 5 − . D. − . 5 5
Câu 6. Tập xác định của hàm số y = ln ( x + 2) là A. ( 2 − ;+ ). B. 2
− ;+ ). C. (0;+ ). D. (−;+ ).
Câu 7. Cho hàm số y = f ( )
x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y 3 f(x) O 2 x 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 2). B. (2;+) . C. (0; + ). D. (−;2) .
Câu 8. Cho cấp số nhân (u với u = 2, công bội q = 3. Số hạng u của cấp số nhân bằng n ) 1 4 A. 54. B. 11. C. 12. D. 24. x − 3 y − 2 z +1
Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Điểm nào sau đây không 1 − 3 2 − thuộc d ? A. Q ( 3 − ;− 2; ) 1 . B. M (4;−1; ) 1 . C. N (2;5;− ) 3 . D. P(3;2;− ) 1 .
Câu 10. Số phức liên hợp của số phức z = i (3− 4i) là
A. z = 4 + 3i . B. z = 4 − −3i .
C. z = 4 − 3i . D. z = 4 − + 3i .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 3x − z + 2 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
A. n = 3; 0; −1 .
B. n = 3; −1; 2 . 2 ( ) 1 ( ) C. n = 3 − ;0;−1 .
D. n = 3; −1;0 . 4 ( ) 3 ( ) x −1
Câu 12. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 x − 3x + là 2 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Trang 1
Câu 13. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y = −x + 3x . B. 4 2
y = −x + x . C. 3 2
y = −x − 3x . D. 4 2
y = x + x .
Câu 14. Thể tích của khối lập phương ABC . D A B C D
có đường chéo AC = 2 6 bằng A. 24 3 . B. 48 6 . C. 6 6 . D. 16 2 .
Câu 15. Khẳng định nào sau đây sai? A. sin d
x x = − cos x + C . B. xd x
a x = a ln a + C, (a 0, a ) 1 . 1 1 C.
dx = tan x + C . D.
dx = ln x + C . 2 cos x x
Câu 16. Trên mặt phẳng Oxy , cho các điểm như hình bên. Điểm biểu diễn số phức z = 3 − + 2i là A. điểm N . B. điểm Q . C. điểm M . D. điểm P .
Câu 17. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 20 A. 20 . B. . C. 9 . D. 3 . 3
Câu 18. Với a là số thực dương tuỳ ý, 1010 log a bằng 3 1 A. 2020 log a .
B. 1010 + 2 log a . C. 1010 + log a . D. 505 log a . 3 3 3 2 3
Câu 19. Từ các số 1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một? A. 3 A . B. 5!. C. 3 C . D. 3!. 5 5
Câu 20. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(2;− 3;5) trên trục Oy có tọa độ là A. (0;− 3;0) . B. (0;0;5) . C. (2;0;0) . D. ( 3 − ;0;0) . 2
Câu 21. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn 0;2 , F(2) = 1 và F (x)dx = 5 0 2 thì ( )d xf x x bằng 0 A. 7 . B. 3 . C. −3 . D. 1 − .
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 2 − 8 là A. ( ; − 2. B. ( ;0 − ). C. ( ;0 − . D. ( ; − 2) .
Câu 23. Cho hình trụ có chiều cao h = 7 và bán kính đáy r = 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Trang 2 112 A. . B. 28 . C.112 . D. 56 . 3
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 1 . B. x = 0 . C. x = 2 . D. x = 2 − .
Câu 25. Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;− 2;0) và mặt phẳng ( ) :x + 2y − 2z + 3 = 0. Đường
thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( ) có phương trình tham số là x = 1+ t x = 1+ t x = 1− t x = 1+ t
A. y = 2 + 2t .
B. y = −2 + 2t .
C. y = −2 − 2t .
D. y = 2 − 2t . z = 2 − t z = −2t z = 2t z = −2
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên 3 như hình bên dưới. ∞ x ∞ 2 1 + ∞ y' + 0 0 + + ∞ 3 y ∞ 1
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . 2x + 5
Câu 27. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) =
trên đoạn [3;6] là x − 2 A. f (5) . B. f (4) . C. f (6) . D. f (3) .
Câu 28. Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = (i +1)z . Phần thực của số phức w = 2z − z bằng 1 2 1 1 2 A. 1. B. −5 . C. 7 . D. 1 − .
Câu 29. Cho hàm số a , b là các số thực dương thỏa mãn log a = log ( 3
a b . Mệnh đề nào dưới đây là 27 3 ) đúng? A. 2 a + b =1. B. 2 a + b =1. C. 2 ab = 1. D. 2 a b =1.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 4; )
1 , B (0; − 2; ) 1 và mặt phẳng
(P) : x + 2y + z − 4 = 0 . Đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm ,
A B có phương trình là x = 4 − 3t x = 4 + 3t x =1+ 3t x =1− t
A. y = t .
B. y = t .
C. y = 1+ t .
D. y = 1+ 3t . z = t z = t z =1+ t z =1+ 3t
Câu 31. Cho hàm số f ( x) , biết f ( x) có đồ thị như hình bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số f ( x) là Trang 3 A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , SA = a 5 , tứ giác ABCD
là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng A. 45. B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 33. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Tọa độ điểm biểu 0
diễn số phức w = (1+ i) z là 0 A. (5; ) 1 . B. ( 1 − ;− 5). C. (1;5) . D. ( 5 − ;− ) 1 .
Câu 34. Cho hàm số f ( x) xác định trên R \
1 thỏa mãn f ( x) 1 =
, f (0) = 2022 , f (2) = 2023. x −1
Tính S = ( f ( ) 3 − 202 ) 3 ( f (− ) 1 − 2022) . A. 2 S = ln 2 −1. B. 2 S = ln 2 . C. S = ln 2 . D. 2 S =1+ ln 2 .
Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình 2
ln x + 2ln x −3 0 là 1 1 A. ( 3 e ; e ) . B. (e;+ ) . C. −; e;+ .D. ; e . 3 ( ) e 3 e
Câu 36. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất để 2 học sinh nào
ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. 16 1 1 923 A. . B. . C. . D. . 231 924 332640 924
Câu 37. Cho lăng trụ tam giác AB . C A B C
có thể tích V = 96. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao
cho AB = 2AM . Gọi K là giao điểm của B M
và AA , E là trung điểm của cạnh AC , ME cắt
BC tại D . Thể tích khối đa diện AKEBB D là: 140 100 A. . B. 32 . C. . D. 28 . 3 3
Câu 38. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên.
Số nghiệm của phương trình 2 f ( x) − 6 = 0 là A. 3. B. 0. C. 4. D. 2.
Câu 39. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn
x − x + y
log ( x + 4y + x) + log ( x + 4y ) 2 2 8 4 2 2 2 2 + log x + log ( 2 2
x + 4 y + 24x 3 2 3 2 ) x A. 24 . B. 25 . C. 22 . D. 48 . Trang 4
Câu 40. Gọi S là tập hợp các số thực m để phương trình z2 + z + m2 3 − m
2 = 0 có một nghiệm phức z 0
với z = 2 . Tổng tất cả các phần tử trong S là 0 A. 0 . B. −6 . C. −5 . D. 4 .
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y − z +1 = 0 . Viết phương trình
mặt cầu (S ) có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1;1;3) . 2 2 2 2
A. ( x + ) + ( y + ) 2 4 4 + z = 27 .
B. ( x + ) + ( y + ) 2 2 2 + z = 27 . 2 2 2 2
C. ( x − ) + ( y + ) 2 4 2 + z = 27 .
D. ( x − ) + ( y − ) 2 4 4 + z = 27 .
Câu 42. Cho hàm số y = log x + 1 và y = log
x + 4 có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của tam giác ABC 2 ( ) 2 bằng: 7 21 21 A. 21. B. . C. . D. . 4 2 4
Câu 43. Xét hai số phức z, w thỏa mãn z −1− 2i = z − 2 + i và w − 2 + 3i = w − 4 − i . Giá trị nhỏ nhất 2
của z + 3 − i + w + 3− i + z − w bằng abc với , a ,
b c là các số nguyên tố. Tính giá trị của 5
a + b + c . A. 24 . B. 25 . C. 26 . D. 22 . ax − 5
Câu 44. Cho hàm số f ( x) = (a, ,bc ) bx +
có bảng biến thiên như sau: c
Trong các số a,b và c có bao nhiêu số âm? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 9 f ( x )
Câu 45. Cho hàm số y = f ( )
x liên tục, có đạo hàm trên
thỏa mãn f (1) = 0 , dx = 5 và x 1 1 2 3 xf ( x) 1 dx =
. Khi đó f (x)dx bằng 2 0 0 1 9 A. 7 . B. . C. 3 . D. . 2 2 Trang 5
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng − ;
. Biết f (0) =1 và f (x)cos x + f (x)sinx =1 2 2 , x − ;
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( ) x , y = 2 và trục Oy ( 2 2 trong miền x − ; ) bằng 2 2 2 − 4 2 −1 A. . B. . C. 2 − . D. 2 − . 4 4 4
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) , BC = 3, BAC = 120 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB và SC . Biết góc giữa mặt phẳng ( AHK ) và mặt phẳng ( ABC) bằng
60 , tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 16 . B. 8 . C. 12 . D. 21 .
Câu 48. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị của hàm số y = f (5− 2x) như hình vẽ sau.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc khoảng ( 9
− ;9) thỏa mãn 2m và hàm số y = 2 f ( 1 3 4x + ) 1 + m − có 5 điểm cực trị ? 2 A. 26. B. 25. C. 27. D. 24.
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;0;0) và B(8;0;6) . Xét các điểm M thay đổi sao cho
khoảng cách từ A đến đường thẳng OM bằng 2 và diện tích tam giác OAM không lớn hơn 6 .
Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây? 13 13 7 A. ;5 . B. 4; . C. ; 4 . D. (5;7) . 3 3 2 Câu 50. Cho hàm số
y = f ( x) xác định và liên tục trên \ 0 và thỏa mãn 2 2 2
x f ( x) + (2x − )
1 f ( x) = xf ( x) −1 với mọi x \ 0 và f ( ) 1 = 2
− . Tính f ( x)dx . 1 ln 2 1 3 3 ln 2 A. 1 − − . B. − − ln 2 . C − − ln 2 . D. − − . 2 2 2 2 2 Trang 6 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 1− i . Môđun của số phức 2z − 3z bằng 1 2 1 2 A. 58 . B. 113 . C. 82 . D. 137 Lời giải
Ta có: 2z − 3z = 2(2 + 3i) − 3(1− i) = 4 + 6i − 3 + 3i = 1+ 9i 1 2 Suy ra 2 2
2z − 3z = 1 + 9 = 82 1 2 Câu 2.
Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (2; −1; )
1 , bán kính R = 2 có phương trình là A. 2 2 2
(x + 2) + ( y −1) + (z +1) = 2 . B. 2 2 2
(x − 2) + ( y +1) + (z −1) = 2 . C. 2 2 2
(x + 2) + ( y −1) + (z +1) = 4 . D. 2 2 2
(x − 2) + ( y +1) + (z −1) = 4 . Lời giải
Phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2 2
(x − a) + ( y − b) + (z − c) = R . Trong đó I ( ; a ;
b c) là tọa độ tâm mặt cầu, R là bán kính của mặt cầu.
Áp dụng mặt cầu có tâm I (2; −1;1) và bán kính R = 2 . Có phương trình là 2 2 2
(x − 2) + ( y +1) + (z −1) = 4 . 3x + 2 Câu 3.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x − 5 A. y = 3. B. x = 3. C. y = 5 . D. x = 5 . Lời giải 3x + 2 3x + 2 3x + 2 lim = + ; lim
= − nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x = 5 . + − x 5 → x − 5 x 5 → x − 5 x − 5 Câu 4.
Nghiệm của phương trình log x − 2 = 2 là 2 ( ) A. x = 5. B. x = 4 . C. x = 3. D. x = 6 . Lời giải Ta có log
x − 2 = 2 x − 2 = 4 x = 6 . 2 ( )
Vậy nghiệm của phương trình log
x − 2 = 2 là x = 6 . 2 ( ) Trang 7 2 1 Câu 5. Nếu f
(x)dx = 5 thì f (x)dx 1 2 A. 5. B. . C. 5 − . D. − . 5 5 Lời giải 1 2 Ta có f (x)dx = − f (x)dx = − .5 = 5 − . 2 1
Câu 6. Tập xác định của hàm số y = ln ( x + 2) là A. ( 2 − ;+ ). B. 2
− ;+ ). C. (0;+ ). D.(−;+ ). Lời giải
Hàm số y = ln ( x + 2) xác định khi x + 2 0 x 2 −
Vậy tập xác định của hàm số y = ln ( x + 2) là ( 2; − +). = Câu 7. Cho hàm số y f ( )
x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y 3 f(x) O 2 x 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 2). B. (2;+) . C. (0; + ). D. (−;2) . Lời giải
Từ đồ thị hàm số, ta thấy trên khoảng (2;+) đồ thị hàm số đi lên theo hướng từ trái sang phải.
Do đó hàm số đã cho đồng biên trên khoảng (2;+) . Câu 8.
Cho cấp số nhân (u với u = 2, công bội q = 3. Số hạng u của cấp số nhân bằng n ) 1 4 A. 54. B. 11. C. 12. D. 24. Lời giải
Nếu cấp số nhân (u có số hạng đầu tiên u và công bội q thì số hạng tổng quát u được tính n ) 1 n − theo công thức: n 1 u = u .q , n 2. n 1 Do đó 3 3
u = u .q = 2.3 = 54 . 4 1 x − 3 y − 2 z +1 Câu 9.
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Điểm nào sau đây không 1 − 3 2 − thuộc d ? A. Q ( 3 − ;− 2; ) 1 . B. M (4;−1; ) 1 . C. N (2;5;− ) 3 . D. P(3;2;− ) 1 . Lời giải 3 − −3 2 − − 2 1+1
Thay tọa độ của Q ( 3 − ;− 2; ) 1 vào d ta có = = vô lý. 1 − 3 2 − Vậy điểm Q ( 3 − ;− 2; ) 1 không thuộc d .
Câu 10. Số phức liên hợp của số phức z = i (3− 4i) là
A. z = 4 + 3i . B. z = 4 − −3i .
C. z = 4 − 3i . D. z = 4 − + 3i .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 3x − z + 2 = 0 có một vectơ pháp tuyến là Trang 8
A. n = 3;0; −1 .
B. n = 3; −1; 2 . C. n = 3 − ;0;−1 .
D. n = 3; −1;0 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Lời giải
Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2
a + b + c 0) thì có một vectơ pháp tuyến là
n = (a;b;c) . Vậy mặt phẳng (P) : 3x − z + 2 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n = 3;0; −1 . 1 ( ) x −1
Câu 12. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là 2 x − 3x + 2 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 13. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y = −x + 3x . B. 4 2
y = −x + x . C. 3 2
y = −x − 3x . D. 4 2
y = x + x . Lời giải
Dễ thấy hình dạng của đồ thị là hàm số bậc 3 nên ta loại hai phương án B, D.
Mặt khác, đồ thị hàm số có điểm cực đại là O, nên ta loại phương án A. Vậy C là đáp án đúng.
Câu 14. Thể tích của khối lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có đường chéo AC ' = 2 6 bằng A. 24 3 . B. 48 6 . C. 6 6 . D. 16 2 . Lời giải
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng a .
Ta có AC ' = a 3 a 3 = 2 6 a = 2 2 .
Khi đó thể tích của khối lập phương: V = a = ( )3 3 2 2 =16 2 .
Câu 15. Khẳng định nào sau đây sai? A. sin d
x x = − cos x + C . B. xd x
a x = a ln a + C, (a 0, a ) 1 . 1 1 C.
dx = tan x + C . D.
dx = ln x + C . 2 cos x x Lời giải
Theo bảng các công thức nguyên hàm x a Ta có: x a dx = + C (0 a ) 1 . ln a Trang 9
Câu 16. Trên mặt phẳng Oxy , cho các điểm như hình bên. Điểm biểu diễn số phức z = 3 − + 2i là A. điểm N . B. điểm Q . C. điểm M . D. điểm P . Lời giải
Số phức z = x + iy ( ,
x y ) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng là A( ; x y) . Vậy z = 3
− + 2i có điểm biểu diễn là điểm Q( 3 − ;2) .
Câu 17. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 20 A. 20 . B. . C. 9 . D. 3 . 3 Lời giải
Thể tích khối lăng trụ đã cho là V = . B h = 20.
Câu 18. Với a là số thực dương tuỳ ý, 1010 log a bằng 3 1 A. 2020 log a .
B. 1010 + 2 log a . C. 1010 + log a . D. 505 log a . 3 3 3 2 3 Lời giải
Với a là số thực dương tuỳ ý ta có 1010 log a
=1010log a = 2020log a . 1 3 3 2 3
Câu 19. Từ các số 1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một? A. 3 A . B. 5!. C. 3 C . D. 3!. 5 5 Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập ra từ tập gồm 5 phần tử 1, 2,3, 4,5 là số các
chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: 3 A . Vậy có 3 A số. 5 5
Câu 20. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(2;− 3;5) trên trục Oy có tọa độ là A. (0;− 3;0) . B. (0;0;5) . C. (2;0;0) . D. ( 3 − ;0;0) . Lời giải
Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (a; b; c) lên trục Oy là điểm
M (0;b;0) . Nên hình chiếu vuông góc của A(2;− 3;5) lên trục Oy là (0;− 3;0) . 2
Câu 21. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn 0;2 , F(2) = 1 và F (x)dx = 5 0 2 thì ( )d xf x x bằng 0 A. 7 . B. 3 . C. −3 . D. 1 − . Lời giải 2 2 2 2 xf (x)dx = d x F
(x) = .xF (x) − F (x)dx 0 0 0 0
2.F (2) −0.F (0)−5 = 2.1−5 = 3 −
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 2 − 8 là A. ( ; − 2. B. ( ;0 − ). C. ( ;0 − . D. ( ; − 2) . Trang 10 Lời giải 2x 1 − 2x 1 − 3 2 8 2
2 2x −1 3 x 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ; − 2) .
Câu 23. Cho hình trụ có chiều cao h = 7 và bán kính đáy r = 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng 112 A. . B. 28 . C.112 . D. 56 . 3 Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là S
= 2 rl = 2.4.7 = 56 . xq
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 1 . B. x = 0 . C. x = 2 . D. x = 2 − . Lời giải
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Câu 25. Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;− 2;0) và mặt phẳng ( ) :x + 2y − 2z + 3 = 0. Đường
thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( ) có phương trình tham số là x = 1+ t x = 1+ t x = 1− t x = 1+ t
A. y = 2 + 2t .
B. y = −2 + 2t .
C. y = −2 − 2t .
D. y = 2 − 2t . z = 2 − t z = −2t z = 2t z = −2 Lời giải
Mặt phẳng ( ) có véc tơ pháp tuyến là n = (1;2;− 2) . x = 1+ t
Đường thẳng qua M (1;− 2;0)và vuông góc với ( ) có phương trình là y = −2 + 2t . z = −2t
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên 3 như hình bên dưới. ∞ x ∞ 2 1 + ∞ y' + 0 0 + + ∞ 3 y ∞ 1
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành là 1 điểm. 2x + 5
Câu 27. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) =
trên đoạn [3;6] là x − 2 A. f (5) . B. f (4) . C. f (6) . D. f (3) . Lời giải Trang 11 Tập xác định: D = \{2}. −9 Ta có f '(x) =
0 , xD suy ra hàm số luôn nghịch biến trên 3; 6 D . 2 (x − 2) 17
mà f (3) =11; f (6) = . 4
Vậy Max f (x) = f (3) . [3;6]
Câu 28. Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = (i +1)z . Phần thực của số phức w = 2z − z bằng 1 2 1 1 2 A. 1. B. −5 . C. 7 . D. 1 − . Lời giải
Ta có: z = 3 − 2i ; z = (i +1)z = (i +1)(3 − 2i) = 5 + i . 1 2 1
Suy ra w = 2z − z = 2(3 − 2i) − (5 + i) = 1− 5i . 1 2
Vậy phần thực của số phức w là 1.
Câu 29. Cho hàm số a , b là các số thực dương thỏa mãn log a = log ( 3
a b . Mệnh đề nào dưới đây là 27 3 ) đúng? A. 2 a + b =1. B. 2 a + b =1. C. 2 ab = 1. D. 2 a b =1. Lời giải Ta có: log a = log ( 3 a b ) 1 1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3
log a = log ab a = ab 1= a b 1= a b ( Vì , a b 0 ). 27 3 3 3
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 4; )
1 , B (0; − 2; ) 1 và mặt phẳng
(P) : x + 2y + z − 4 = 0 . Đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm ,
A B có phương trình là x = 4 − 3t x = 4 + 3t x =1+ 3t x =1− t
A. y = t .
B. y = t .
C. y = 1+ t .
D. y = 1+ 3t . z = t z = t z =1+ t z =1+ 3t Lời giải
Do mọi điểm của d cách đều 2 điểm ,
A B d là đường trung trực của AB .
d ⊥ AB và d đi qua trung điểm I (1;1; ) 1 của AB .
n = n = 1;2;1 1d ( ) (P) u = − − = − − . d (6; 2; 2) 2( 3;1 ) ;1 n = AB = 2 − ;− 6;0 2d ( ) x =1− 3t
Vậy d : y = 1+ t , t . z =1+ t
Câu 31. Cho hàm số f ( x) , biết f ( x) có đồ thị như hình bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số f ( x) là A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải Trang 12
Từ đồ thị của f ( x) ta thấy f ( x) đổi dấu 2 lần qua -3 và -1 nên hàm số f ( x) có hai điểm cực
trị. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại x = 1
− và cực tiểu tại x = 3 − .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , SA = a 5 , tứ giác ABCD
là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng A. 45. B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải
Vì SA ⊥ ( ABCD) (SC,( ABCD)) = (SC, AC) = SCA . Ta có 2 2 2 2 2
AC = AB + BC AC = a + 4a = a 5 . Suy ra S
AC vuông cân tại A SCA = 45 .
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 45.
Câu 33. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Tọa độ điểm biểu 0
diễn số phức w = (1+ i) z là 0 A. (5; ) 1 . B. ( 1 − ;− 5). C. (1;5) . D. ( 5 − ;− ) 1 . Lời giải z = 3 − − 2i Ta có: 2
z + 6z +13 = 0
. Vì z có phần ảo dương nên z = 3 − + 2i . z = 3 − + 2i 0 0
Lại có: w = (1+ i) z = 1+ i 3 − + 2i = 5 − −i . 0 ( )( )
Vậy tọa độ điểm biểu diễn số phức w là ( 5 − ;− ) 1 .
Câu 34. Cho hàm số f ( x) xác định trên R \
1 thỏa mãn f ( x) 1 =
f 0 = 2022 , f (2) = 2023. x − , ( ) 1
Tính S = ( f ( ) 3 − 202 ) 3 ( f (− ) 1 − 2022) . A. 2 S = ln 2 −1. B. 2 S = ln 2 . C. S = ln 2 . D. 2 S =1+ ln 2 . Lời giải ln ( x − )
1 + C khi x 1 1 Ta có f ( x) 1 = dx
= ln x −1 +C = . x −1 ln
(1− x) + C khi x 1 2
Lại có f (0) = 2022 ln (1− 0) + C = 2022 C = 2022 . 2 2
f (2) = 2023 ln (2 − )
1 + C = 2023 C = 2023 . 1 1 Do đó S = ln (3− ) 1 + 2023 − 2023 ln (1−(− ) 1 ) + 2022 − 2022 2 = ln 2 .
Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình 2
ln x + 2ln x −3 0 là Trang 13 1 1 A. ( 3 e ; e ) . B. (e;+ ) . C. −; e;+ . D. ; e . 3 ( ) e 3 e Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là x 0 . Ta có: 2
ln x + 2ln x − 3 0 (ln x − ) 1 (ln x + 3) 0 3 − ln x 1 3 − 1
e x e 1 x e . 3 e 1
Kết hợp với điều kiện x 0 , ta được x e . 3 e 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ; e . 3 e
Câu 36. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất để 2 học sinh nào
ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. 16 1 1 923 A. . B. . C. . D. . 231 924 332640 924 Lời giải Ta có: n() =12!.
Gọi A là biến cố để 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. n( A) 6 = 6!.6!.2 . Nên P ( A) 6 6!.2 .6! 16 = = . 12! 231
Câu 37. Cho lăng trụ tam giác AB . C A B C
có thể tích V = 96. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho
AB = 2AM . Gọi K là giao điểm của B M
và AA , E là trung điểm của cạnh AC , ME cắt
BC tại D . Thể tích khối đa diện AKEBB D là: 140 100 A. . B. 32 . C. . D. 28 . 3 3 Lời giải A' C' B' K M E A C D B AK MA 1 Ta có = = AA MB 3 MA DB EC 1 DB
Xét tam giác ABC và cát tuyến MED ta có . . =1 .
.1 = 1 DB = 3.DC MB DC EA 3 DC
Gọi S là diện tích tam giác ABC và h là chiều cao của lăng trụ AB . C A B C . Trang 14 1 1 3 3 9 Ta có S = M . B d D MB = AB d C AB = S MBD ( , ) . . . . ( , ) . 2 2 2 4 8 1 1 9 3 V = . . h S = . . h .S = .V = 36 . B '.MBD 3 MBD 3 8 8 1 S = MA d E MA = AB d C AB = S MAE ( ) 1 1 1 1 . , . . . . ( , ) . 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 96 8 V
= .d K, MAE .S = . . h .S = .V = = K .MAE ( ( )) 3 MAE 3 3 4 36 36 3 8 100 Vậy V =V −V = 36 − = . AKEBB ' D B '.MBD K .MAE 3 3
Câu 38. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên.
Số nghiệm của phương trình 2 f ( x) − 6 = 0 là A. 3. B. 0. C. 4. D. 2. Lời giải
Xét phương trình : 2 f (x) −6 = 0 f (x) = 3 ( ) 1
Dựa vào bảng biến thiên trên thì số nghiệm của phương trình ( )
1 chính là số giao điểm của đồ thị
hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = 3.
Kẻ đường thẳng y = 3 thấy có 2 giao điểm.
Nên phương trình 2 f ( x) − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Câu 39. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn
x − x + y
log ( x + 4y + x) + log ( x + 4y ) 2 2 8 4 2 2 2 2 + log x + log ( 2 2
x + 4 y + 24x 3 2 3 2 ) x A. 24 . B. 25 . C. 22 . D. 48 . Lời giải
Điều kiện: x 0 . 2 2
x − 8x + 4 y Ta có: log ( 2 2
x + 4 y + x) + log ( 2 2 x + 4 y ) + log x + log ( 2 2
x + 4 y + 24x 3 2 3 2 ) x Trang 15 x + y
log (x + 4y + x) 2 2 4 2 2 − log x + log ( 2 2
x + 4 y + 24x) − log ( 2 2 x + 4 y + 8 3 3 2 2 ) x 2 2 2 2 2 2
x + 4y + x x + 4y
x + 4y + 24x log + log + 8 3 2 2 2 x x x + 4 y 2 2 2 2 x + 4 y x + 4 y 24x log 1+ + log 1+ + 8 3 2 2 2 x x x + 4 y 2 2 2 2 x + 4y 24x x + 4y log +1 −log 1+ + 8. 3 2 2 2 x x + 4 y x 2 2 + Đặ x 4 y 24 t: t =
(t 0) , bất phương trình trở thành: log (1+ t) − log 1+ + t 8 (1). x 3 2 t 24 Xét hàm số
f (t) = t + log (1+ t) − log 1+ có 3 2 t 1 24 f ( t) =1+ + t . (1+ t) ln 3 ( 0, 0 2 t + 24t )ln 2
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) + . 24
Ta có f (8) = 8 + log (1+ 8) − log 1+ = 8 3 2 8 2 2 x + 4 y Từ đó suy ra: 2 2
(1) f (t) f (8) t 8
8 (x − 4) + 4y 16 . x
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( ; x y) Ta có: 2 4 y 16 2 − y 2
Với y = 2, y = 2
− x = 4 nên có 2 cặp.
Với y =1, y = 1
− x ={1;2;3;4;5;6;7} nên có 14 cặp.
Với y = 0 x ={1;2;3;....;8} nên có 8 cặp.
Vậy có 24 cặp giá trị nguyên ( ;
x y) thỏa mãn đề bài.
Câu 40. Gọi S là tập hợp các số thực m để phương trình z2 + z + m2 3 − m
2 = 0 có một nghiệm phức z 0
với z = 2 . Tổng tất cả các phần tử trong S là 0 A. 0 . B. −6 . C. −5 . D. 4 . Lời giải Cách 1
TH1: z là số thực 0 z = 2
m2 − 2m +10 = 0(VN ) z = 2 0 0 z = − 2 2 0
m − 2m − 2 = 0 m = 1 3 9
TH2: z không phải là số thực = 9 − 4 (m2 − 2m) 0 m2 − 2m ( ) 1 0 4
Vì phương trình z2 + z + m2 3 − 2m = 0 ( )
* có các hệ số thực và z là nghiệm của ( ) * nên z 0 0 cũng là nghiệm của ( ) * . 2
Theo Viet ta có z .z = m2 − 2m 4 = z
= m2 − 2m (thỏa (1)) 0 0 0
m2 − 2m − 4 = 0 m = 1 5
Vậy tổng các phần tử của S bằng 4. Cách 2
Gọi z = a + bi ( , a b ¡ 0 )
z = 2 a2 + b2 = 4 (1) 0 Trang 16 2
z là nghiệm của phương trình z2 + z + m2 3 − m
2 = 0 (a + bi) + (a + bi) + m2 3 − 2m = 0 0
a2 −b2 + 3a + m2 − 2m = 0 (2)
a2 − b2 + 3a + m2 − 2m + (2ab + b 3 )i = 0 2ab + b 3 = 0 (3) b = 0 Ta có (3) 3 a = − 2
+ Với b = 0 . Từ ( ) a2 1
= 4 a = 2 . Khi b = ,
0 a = 2, lúc đó: ( ) m2 2
− 2m+10 = 0 (vô nghiệm) Khi b = ,
0 a = −2 , lúc đó:( ) m2 2
− 2m − 2 = 0 m = 1 3 7
+ Với a = − 3 , lúc đó : ( ) 1 b2 = . 2 4 Do đó: ( ) m2 2
− 2m − 4 = 0 m = 1 5
Vậy tổng các phần tử của S bằng 4 .
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y − z +1 = 0 . Viết phương trình
mặt cầu (S ) có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1;1;3) . 2 2 2 2
A. ( x + ) + ( y + ) 2 4 4 + z = 27 .
B. ( x + ) + ( y + ) 2 2 2 + z = 27 . 2 2 2 2
C. ( x − ) + ( y + ) 2 4 2 + z = 27 .
D. ( x − ) + ( y − ) 2 4 4 + z = 27 . Lời giải
Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;1;3) và vuông góc với ( P) . Khi đó đường thẳng d có phương x =1+ t
trình tham số: y = 1+ t . z = 3−t
Gọi I là tâm mặt cầu (S ) thì I = d (Oxy) , suy ra I (4;4;0) .
Bán kính mặt cầu (S ) là R = IA = 27 . 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S ) là: ( x − ) + ( y − ) 2 4 4 + z = 27 .
Câu 42. Cho hàm số y = log x + 1 và y = log
x + 4 có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của tam giác ABC 2 ( ) 2 bằng: 7 21 21 A. 21. B. . C. . D. . 4 2 4
Lời giải Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = log x + 4 và trục Ox : 2 ( ) log
x + 4 = 0 x + 4 = 1 x = 3 − 2 ( ) A( 3 − ; ) 0
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = log x +1 và trục Ox : 2 Trang 17 1
log x +1 = 0 log x = 1 − x = 2 2 2 1 B ;0 2
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = log x +1 và y = log x + 4 : 2 ( ) 2 log x + 1 = log x + 4 log
x + 4 − log x = 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x + 4 x + 4 log = 1 = 2 x = 4 2 x x C(4; ) 3 1 1 1 21
Dựa vào đồ thị ta có S =
x − x .y = 3 − − .3 = ABC 2 A B C 2 2 4
Câu 43. Xét hai số phức z, w thỏa mãn z −1− 2i = z − 2 + i và w − 2 + 3i = w − 4 − i . Giá trị nhỏ nhất của 2
z + 3 − i + w + 3− i + z − w bằng abc với , a ,
b c là các số nguyên tố. Tính giá trị của 5
a + b + c . A. 24 . B. 25 . C. 26 . D. 22 . Lời giải
Giả sử z = x + yi và w = a + bi ( , x , y , a b ) . Ta có
z − − i = z − + i ( x − )2 + ( y − )2 = ( x − )2 + ( y + )2 1 2 2 1 2 2 1
x − 3y = 0 . 2 2 2 2
và w − 2 + 3i = w − 4 − i (a − 2) + (b + 3) = (a − 4) + (b − ) 1
a + 2b −1 = 0 .
Do đó, tập hợp các điểm biểu diễn z, w trong mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai đường thẳng
: x − 3y = 0 và : x + 2y −1= 0 . 1 2
Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của z, w và A( 3 − ; ) 1 . Khi đó,
P = z + 3 − i + w + 3 − i + z − w = AM + AN + MN = A M + A N + MN A A (với A , A lần lượt 1 2 1 2 1 2
đối xứng A qua , ). 1 2
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng A A khi M = A A ; N = A A 1 2 1 1 2 2 1 2
Đường thẳng AA đi qua A( 3 − ; )
1 và vuông góc với có phương trình là: 3x + y + 8 = 0 1 1 x − 3y = 0 12 4 9 13
H = AA nên là nghiệm của hệ H − ; − A − ;− 1 1 3
x + y + 8 = 0 5 5 1 5 5
Đường thẳng AA đi qua A( 3 − ; )
1 và vuông góc với có phương trình là: 2x − y + 7 = 0 2 2 Trang 18
x + 2y −1 = 0 13 9 11 13
K = AA nên là nghiệm của hệ K − ; A − ; 2 2
2x − y + 7 = 0 5 5 2 5 5 2 2 11 9 13 13 2 2 Ta có A A = − + + + = 170 = 2.5.17 1 2 5 5 5 5 5 5
Suy ra a + b + c = 2 + 5 +17 = 24. ax − 5
Câu 44. Cho hàm số f ( x) =
(a, ,bc ) có bảng biến thiên như sau: bx + c
Trong các số a,b và c có bao nhiêu số âm? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y = f ( x) nhận + −
+ Tiệm cận đứng là x = 2 − khi x → ( 2 − ) và x → ( 2 − ) ;
+ Tiệm cận ngang là y = 2 − khi x → . Nên b 0 và a
lim f ( x) = lim f ( x) = = 2 − = − x→+ x→− b a 2b − (1). c = = c 2b 2 − b ac + 5b c − Ta có y = ( . bx + c) 0, x 2 b −c
ac + 5b 0, x (2). b
Thay a, c của (1) vào bất phương trình (2) ta được. ( 2
− b)(2b) +5b 0 2 4
− b +5b 0 b(4b −5) 5 0 0 b . 4
Như vậy b dương. Do a = 2
− b a âm, c = 2b c dương.
Kết luận trong các số a, b, c có một số âm. 9 f ( x )
Câu 45. Cho hàm số y = f ( )
x liên tục, có đạo hàm trên
thỏa mãn f (1) = 0 , dx = 5 và x 1 1 2 3 xf ( x) 1 dx =
. Khi đó f (x)dx bằng 2 0 0 1 9 A. 7 . B. . C. 3 . D. . 2 2 Lời giải 9 f ( x ) 9 3 5 Xét I = dx = 2 f
( x)d( x) = 5 f (t)d(t) = . 1 x 2 1 1 1 Trang 19 1 2 1 1 1
Xét I = xf 2x dx =
. Đặt t = 2x dt = 2dx I =
tf t dt . 2 ( ) 2 ( ) 2 4 0 0 u = t du = dt Đặt dv = f
(t)dt v = f (t)dt 1 1 Do đó: 1 I = tf (t) 1 1 − f t dt
= f (t)dt = 2 − . 2 0 ( ) 4 2 0 0 3 1 3 Vậy 5 1 f (x)dx = f (x)dx +
f (x)dx = 2 − + = . 2 2 0 0 1
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng − ;
. Biết f (0) =1 và f (x)cos x + f (x)sinx =1, 2 2 x − ;
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( ) x , y = 2 và trục Oy ( 2 2 trong miền x − ; ) bằng 2 2 2 − 4 2 −1 A. . B. . C. 2 − . D. 2 − . 4 4 4 Lời giải Với mọi x − ; , ta có: 2 2
f ( x)cos x + f ( x)sinx =1
f ( x)cos x − f ( x)(cos x) 1 = 2 2 cos x cos x f ( x) 1 = . 2 cos x cos x f ( x) = tan x + C . cos x
Mà f (0) = 1nên C = 1. Suy ra: f ( x) = sinx + cos x .
Phương trình hoành độ giao điểm của y = f ( ) x , y =
2 ( trong miền x − ; ) là: 2 2
s inx + cos x = 2 x = . 4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( ) x , y =
2 và trục Oy ( trong miền x − ; ) bằng 2 2 Trang 20 4 2 − 4 S =
sin x + cos x − 2 dx = . 4 0
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) , BC = 3, BAC = 120 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB và SC . Biết góc giữa mặt phẳng ( AHK ) và mặt phẳng ( ABC) bằng
60 , tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 16 . B. 8 . C. 12 . D. 21 . Lời giải S I H K C A D B
- Dựng đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . BD ⊥ AB - Ta có:
BD ⊥ (SAB) BD ⊥ AH AH ⊥ (SBD) AH ⊥ SD . BD ⊥ SA
Tương tự: AK ⊥ SD SD ⊥ ( AHK ) . Do đó: (( AHK );( ABC)) = (S ; D SA) = DSA . BC 3
- Lại có: AD = 2.R = =
= 2 3 SA = A . D cot 60 = 2 sin BAC 3 2 2 2 2
SD = SA + AD =16.
Gọi I là trung điểm của SD , dễ thấy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . SD
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp đó là: R = = 2 . C 2
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng: S = 16 . C
Câu 48. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị của hàm số y = f (5− 2x) như hình vẽ sau.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc khoảng ( 9
− ;9) thỏa mãn 2m và hàm số y = 2 f ( 1 3 4x + ) 1 + m − có 5 điểm cực trị ? 2 A. 26. B. 25. C. 27. D. 24. Lời giải Trang 21 − Đặ 5 t
t t = 5 − 2x x =
. Bảng biến thiên của hàm số f (t ) : 2 t f '(t) +∞ +∞ f(t)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (t) có 3 điểm cực trị. Đặt : 3
g(x) = f (4x +1) 2 3
g (x) =12x f (4x +1) x = 0 g ( x) = 0
( x = 0 là nghiệm kép và (*) có 3 nghiệm đơn ) 3
f (4x +1) = 0 (*)
hàm số y = f ( 3 4x + ) 1 có 3 điểm cực trị. 1 y m 1
Hàm số y = 2 f ( 3 4x + ) 1 + m −
có 5 điểm cực trị Hàm số = f ( 3 4x + ) 1 + − có 5 điểm cực 2 2 2 4 m 1
trị Phương trình f ( 3 4x + ) 1 + − = 0 ( )
1 có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ. 2 4 Đặt 3 2
t = 4x +1 t =12x . Suy ra t là hàm số đồng biến trên
. Ứng với mỗi giá trị của t ta có một giá
trị của x. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình
f (t ) m 1 + − = 0 . 2 4 m
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f (t ) 1
+ − = 0 có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ 2 4 1 m 9 − m 4 − 2m 8 4 2 4 − khi 1 17 . 1 m m 1 2m 17 4 − − 0 2 2 4 2
Kết hợp yêu cầu m thuộc khoảng ( 9
− ;9) và 2m ta có 26 giá trị thực của m thỏa mãn đề bài.
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;0;0) và B(8;0;6) . Xét các điểm M thay đổi sao cho
khoảng cách từ A đến đường thẳng OM bằng 2 và diện tích tam giác OAM không lớn hơn 6 .
Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây? 13 13 7 A. ;5 . B. 4; . C. ; 4 . D. (5;7) . 3 3 2 Lời giải B (N) M 6 3 2 300 x O A K H 6 Trang 22 d ( , A OM ) 1 Ta có o sin MOA = = MOA = 30 . OA 2 1 Lại có S
= .OM.d A OM OM . MOA ( , ) 6 6 2
Suy ra quỹ tích điểm M là mặt xung quanh của hai hình nón có đỉnh O , trục OA , góc ở đỉnh hình nón là o o
2.30 = 60 và đường sinh bằng 6 .
Để MB nhỏ nhất thì điểm M phải nằm vị trí như trên hình vẽ. Gọi hình chiếu của ,
B M trên trục Ox lần lượt là H, K . Ta có o o
OK = OM .cos 30 = 6.cos 30 = 3 3 , o o
MK = OM.sin30 = 6.sin30 = 3 2 2
Mặt khác H (8;0;0) nên OH = 8, BH = 6 . Suy ra MB = 8−3 3 + 6 −3 4,1 . min ( ) ( ) Câu 50. Cho hàm số
y = f ( x) xác định và liên tục trên \ 0 và thỏa mãn 2 2 2
x f ( x) + (2x − )
1 f ( x) = xf ( x) −1 với mọi x \ 0 và f ( ) 1 = 2
− . Tính f ( x)dx . 1 ln 2 1 3 3 ln 2 A. 1 − − . B. − − ln 2 . C − − ln 2 . D. − − . 2 2 2 2 2 Lời giải Ta có: 2 2
x f ( x) + ( x − ) f ( x) = xf ( x) 2 2 2 1
−1 x f (x) + 2xf (x)+1= f (x)+ xf (x) ( ( ) + ) + 2 f x xf x xf x 1
= f (x) + xf (x) ( ) ( ) = ( xf ( x) + ) 1 2 1
f ( x) + xf ( x) d ( xf ( x) + ) 1 1 = = − = + ( ( ) + ) dx dx dx x C 2 ( ( )+ )2 xf ( x xf x xf x )+1 1 1 1 Mặt khác f ( ) 1 = 2 − − = + = f ( ) 1 C C 0 1 + . 1 1 1 1 Do đó: − = = − − xf ( x) x f ( x) . 2 + 1 x x 2 2 2 1 1 1 1 Vậy f
(x)dx = − − dx = −ln x+ = − − ln 2. 2 x x x 2 1 1 1 Trang 23