Đề ôn thi TN môn Toán 2023 phát triển từ đề minh họa (có lời giải chi tiết)-Đề 2
Đề ôn thi TN môn Toán 2023 phát triển từ đề minh họa có lời giải chi tiết-Đề 2. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 27 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 2.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 2 Câu 1:
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức A. z = 2 − + .i B. z = 2 − + i C. z = 2 − + .i D. z = 2 − + .i y = x Câu 2:
Tìm đạo hàm của hàm số . x − A. 1 ' = x y x ln . B. ' = x y ln .
C. y ' = ln . D. 1 ' − = x y x . 1 - Câu 3:
Đạo hàm của hàm số y = ( x + ) 3 2 1
trên tập xác định là. 4 1 1 1 4 - - - 2 - A. - (2x + ) 3 1 . B. ( x + ) 3 2 2 1 ln(2x + ) 1 . C. ( x + ) 3 2 1 ln(2x + ) 1 . D. - (2x + ) 3 1 . 3 3 − Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 4 x 64 là A. ( 1 − ;3). B. (− ; − )
1 (3;+) . C. (− ; − ) 1 . D. (3;+) . Câu 5: Biết ba số 2
x ; 8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 2 D. x = 1 x +1 y − 2 z Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : = = 1 − 2 3 − và mặt phẳng
(P): x− y + z −3= 0 . Phương trình mặt phẳng () đi qua O, song song với và vuông góc
với mặt phẳng ( P) là
A. x + 2y + z = 0 .
B. x − 2y + z = 0 .
C. x + 2y + z − 4 = 0 . D. x − 2y + z + 4 = 0 . ax + b Câu 7: Cho hàm số y =
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị cx + d
hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau A. (0; 2 − ). B. (0; )1 − . C. ( 1 − ;0) . D. (1;0) . 2 2 2 f (x)dx = 3 g (x)dx = 2 f
(x)− g(x)dx Câu 8: Biết 1 và 1 . Khi đó 1 bằng? A. 6 . B. 1. C. 5 . D. 1 − . Câu 9:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? Trang 1 1 3 A. 3 2 y = x +
x − 2x +1 . B. 3 2
y = x − 3x +1. 2 2 1 9 1 9 C. 3 2 y = − x + 3x + x +1. D. 3 2 y = x − 3x + x +1. 2 2 2 2
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2y + 2z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 . B. 7 . C. 9 . D. 3 . x =t
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y = 1− 2t t và đường 1 ( ) z = 3 − t − + thẳng x y 1 z 1 d : = =
. Góc giữa hai đường thẳng d , d là 2 1 2 4 − 1 5 A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 90 . D. 0 60 .
Câu 12: Cho 2 số phức z = m + i và z = m + (m + 2)i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương 1 2
của tham số m để z z là một số thuần ảo? 1 2 A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B C D có AA = , a AB = 3 ,
a AC = 5a . Thể tích của khối hộp đã cho là A. 3 5a . B. 3 4a . C. 3 12a . D. 3 15a .
Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. 3 a . D. . 6 3 2
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2 − ;1; ) 3 và mặt phẳng
(P):2x− y +2z −10 = 0. Tính bán kính R của mặt cầu (S) có tâm I và cắt (P) theo một
đường tròn (T ) có chu vi bằng 10 .
A. R = 5 .
B. R = 34 .
C. R = 5 . D. R = 34 . z = 3 − + i z = 1− i z + z
Câu 16: Cho hai số phức 1 và 2
. Phần ảo của số phức 1 2 bằng A. 2. − B. 2 . i C. 2. D. 0.
Câu 17: Cho hình nón ( N ) có chiều cao bằng 3 và thể tích của khối nón được giới hạn bởi ( N ) bằng
16 . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng Trang 2 A. 12 . B. 20 . C. 24 . D. 10 . x = 1+ 2t
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y = 3 − t . Điểm nào trong các z = 3t
điểm sau đây không nằm trên d ?
A. Q(5;1;6) . B. M (3;2;− ) 3 . C. N (3;2;3) . D. P (1;3;0) .
Câu 19: Cho hàm số y = f ( )
x có bảng biến thiên như sau
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là A. (2;5) . B. (5;2) . C. (0 ) 1 ; . D. (1;0) . 4x +1
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx − không có tiệm cận đứng? 1 A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số.
Câu 21: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x +1 log 2x −1 . 1 ( ) 1 ( ) 2 2 1
A. S = (2;+) . B. S = ( 1 − ;2) . C. S = (− ; 2). D. S = ; 2 . 2
Câu 22: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh? A. 3 A . B. 8 3 . C. 3 8 . D. 3 C . 8 8 Câu 23: Nếu ( ) 3 = − 7 + 2 x F x x x
e + C ( C là hằng số) thì F ( x) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x 7x A. f ( x) 4 2 2 x = − + e . B. ( ) 2 = 3 − 7 + 2 x f x x xe . 4 2 x x C. ( ) 2 = 3 − 7 + 2 x f x x e . D. f ( x) 4 2 7 = − + 2 x e . 4 2 1 1
( 2x −2x−3f (x))dx =1 f ( x) dx Câu 24: Cho 0 . Tính 0 . 1 − 5 − 1 − 5 − A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9 Câu 25: Cho hàm số ( ) 2x f x =
+3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) −3 d = 2x f x x + C . B. ( )d = 2x f x x ln 2 + 3x + C . x x C. f (x) 2 dx = + 3 + C . D. f (x) 2 dx = + 3x + C . ln 2 ln 2
Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 3 A. (1;+ ). B. ( 1 − ;+). C. (− ; − ) 1 . D. ( ) ;1 − .
Câu 27: Cho hàm số y = f ( )
x có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như sau x -∞ -1 3 +∞
f'(x) + 0 - 0 + +∞
f(x) 4 -2 -∞
Giá trị cực đại của hàm số là A. 2 − . B. 4 . C. 3 . D. 1 − .
Câu 28: Với a là số thực dương tùy ý, log 8a bằng 2 ( ) 1
A. + log a .
B. 3log a .
C. (log a . D. 3 + log a . 2 )3 2 3 2 2
Câu 29: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y = x và 2 y = 2x là: 1 3 256 32 A. . B. . C. . D. . 3 2 35 15
Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số
đo góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C ') và ( ABC)? A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 26 33' .
Câu 31: Cho đồ thị của hàm số y = f ( x) như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình
f ( x) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt. Trang 4 A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
y = f ( x)
f ( x) = ( x − )( x − )( x + )2 1 2 4 .
y = f ( x + ) 1
Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số đồng
biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 5 − ; ) 1 . B. (0;+). C. ( ;0 − ). D. (0 ) ;1 .
Câu 33: Cho một đa giác đều có 36 đinh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập các tam
giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân. 7 3 52 48 A. . B. . C. . D. . 85 35 595 595
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 2 2
log x − m log x + 2 − m = 0 có 3 9 nghiệm x 1; 9 . A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 5z = (4 + 3i) z − 25 là đường thẳng có phương trình:
A. 8x − 6y − 25 = 0 .
B. 8x − 6y + 25 = 0.
C. 8x + 6y + 25 = 0. D. 8x − 6y = 0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho A(0;0;2 ), B(2;1;0),C (1;2; − )
1 và D(2;0;− 2) . Đường thẳng
d đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình là x = 3 x = 3 + 3t x = 3t x = 3 + 3t A. y = 2 .
B. y = 2 + 2t .
C. y = 2t .
D. y = −2 + 2t . z = 1 − + 2t z = 1− t z = 2 + t z = 1− t x =1− 2t
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;3; )
3 và đường thẳng : y = t . Điểm M đối 1 z = 3 − t
xứng với M qua đường thẳng có tọa độ là: 1 5 A. M 1 − ; 2 − ;2 . B. M 0; ; .
C. M 1;1;2 . D. M 1 − ;1;2 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2
Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( 0
ABC ); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của
cạnh AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC) . a a 39
A. d = a 3 .
B. d = a . C. d = . D. d = . 2 13 Trang 5 Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình
(2−log (2x +1)−log (4x +2))log ( 2x +8) 2
− log x + x −9x + 6 0 2 3 3 3 ? A. 8 . B. Vô số. C. 7 . D. 9 . 1 f ( x) 1 − ; 1 3 Câu 40: Cho hàm số liên tục trên
thoả f ( x) + 2 =
(x +t) f (t)dt, x − 1;1 . Tính 2 1 − 1 I = f
(x)dx? 1 −
A. I = 4 .
B. I = 3 .
C. I = 2 . D. I =1.
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số 2 2
y = −x − mx + m + 4 − 3mx +19 có 3 điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 1. D. 2.
Câu 42: Giả sử z ; z − − 1
2 là hai trong số các số phức z thoả mãn ( z
6)(8 .iz) là một số thực. Biết rằng
z − z = 6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z + 3z bằng 1 2 1 2 A. − + − 5 − 21 . B. 20 − 4 21 . C. 5 73 . D. 20 2 73 .
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B C D
có đáy là hình vuông cạnh a . Khoảng cách từ A đến 2a 5 mặt phẳng ( A B C D) bằng
. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho. 5 3 2a 3 a 3 A. 3
V = 2a . . B. V = . . C. V = . D. 3 V = 2a 3 . 3 2
Câu 44: Cho f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d (a 0) là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn 2; 3 có đồ
thị f ( x) như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số ( ) 2
g x = xf ( x) ; ( ) 2
h x = −x f ( x) f ( x) và các đường thẳng x = 2; x = 3 bằng 72 . Tính f ( ) 1 . − A. f ( ) 1 = 2 . B. f ( ) 1 = 1 − . C. f ( ) 1 = 1. D. f ( ) 62 1 = . 5
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt
z , z thỏa mãn z + 3 = z + 3 . 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . x −1 y z − 2
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : = = . Gọi ( P) là 2 1 2
mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O đến ( P) bằng Trang 6 3 11 2 1 A. 2 . B. . C. . D. . 6 6 2
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log ( x + 2y) = log ( 2 2 x + y ? 3 2 ) A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số.
Câu 48: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng ( P) đi qua đỉnh S
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2a . Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến
(P), biết thể tích khối nón là 3 V = a 3 . a 6 a 30 a 5 A. . B. a 5 . C. . D. . 5 5 6
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 3 − ) và B( 2 − ;3; )
1 . Xét hai điểm M , N thay đổi
thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho MN = 2. Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng. A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 7 .
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 5 4 2
y = x + 2x − mx + 3x − 20 nghịch biến trên (− ; 2 − )? A. 4 . B. 6 . C. 7 . D. 9 .
---------- HẾT ---------- Trang 7 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 12.D 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.B 19.C 20.C 21.D 22.D 23.C 24.D 25.D 26.A 27.B 28.D 29.C 30.C 31.D 32.C 33.A 34.B 35.A 36.B 37.A 38.D 39.A 40.C 41.C 42.D 43.A 44.A 45.B 46.D 47.B 48.C 49.A 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức A. z = 2 − + .i B. z = 2 − + i C. z = 2 − + .i D. z = 2 − + .i Lời giải
Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức: z = 2 − + i . y = x Câu 2:
Tìm đạo hàm của hàm số . x − A. 1 ' = x y x ln . B. ' = x y ln .
C. y ' = ln . D. 1 ' − = x y x . Lời giải
Áp dụng ( x )' = x a
a .ln a (a 0, a ) 1 . 1 - Câu 3:
Đạo hàm của hàm số y = ( x + ) 3 2 1
trên tập xác định là. 4 1 1 - - A. - (2x + ) 3 1 . B. ( x + ) 3 2 2 1 ln (2x + ) 1 . 3 1 4 - 2 - C. ( x + ) 3 2 1 ln (2x + ) 1 . D. - (2x + ) 3 1 . 3 Lời giải 1 1 4 − 1 − − − 1 − 2 −
Ta có: y = (2x + ) 3 1 =
(2x + )1 (2x + ) 3 1 = (2x + ) 3 1 . 3 3 − Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 4 x 64 là A. ( 1 − ;3). B. (− ; − ) 1 (3;+) . C. (− ; − ) 1 . D. (3;+) . Lời giải 2 2 − − Ta có: x 2x x 2 x 3 2 2 4 64 4
4 x − 2x 3 x − 2x −3 0 1 − x 3 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 1 − ; ) 3 . Câu 5: Biết ba số 2
x ; 8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 2 D. x = 1 Lời giải Do ba số 2
x ; 8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên theo tính chất cấp số nhân ta được Trang 8 2 3
x .x = 8 Û x = 8 Û x = 2 . x +1 y − 2 z Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : = = và mặt phẳng 1 − 2 3 −
(P): x− y + z −3 = 0 . Phương trình mặt phẳng () đi qua O, song song với và vuông góc
với mặt phẳng ( P) là
A. x + 2y + z = 0 .
B. x − 2y + z = 0 .
C. x + 2y + z − 4 = 0 . D. x − 2y + z + 4 = 0 . Lời giải có VTCP u = ( 1 − ;2; 3
− ) và (P) có VTPT là n = (1; 1 − ) ;1 .
() qua O và nhận n = −u;n = (1;2; ) 1
Suy ra ( ) : x + 2y + z = 0 . ax + b Câu 7: Cho hàm số y =
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị cx + d
hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau A. (0; 2 − ). B. (0; )1 − . C. ( 1 − ;0) . D. (1;0) . Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( 1 − ;0) . 2 2 2 f (x)dx = 3 g (x)dx = 2 f
(x)− g(x)dx Câu 8: Biết 1 và 1 . Khi đó 1 bằng? A. 6 . B. 1. C. 5 . D. 1 − . Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có: f
(x)− g(x)dx = f
(x)dx− g
(x)dx = 3−2 =1. 1 1 1 Câu 9:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? Trang 9 1 3 A. 3 2 y = x +
x − 2x +1 . B. 3 2
y = x − 3x +1. 2 2 1 9 1 9 C. 3 2 y = − x + 3x + x +1. D. 3 2 y = x − 3x + x +1. 2 2 2 2 Lời giải
Dựa vào dạng đồ thị ta có a 0 . 1 3 3 2 y = x +
x − 2x +1 y ( ) 1 = 1 loại. 2 2 3 2
y = x − 3x +1 y ( ) 1 = 1 − loại. 1 9 3 9 Xét hàm 3 2 y = x − 3x + x +1, 2 y = x − 6x + 2 2 2 2 x =1 y = 3 y = 0
x = 3 y =1. 1 9
Vậy đồ thị là của hàm số 3 2 y = x − 3x + x +1. 2 2
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2y + 2z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 . B. 7 . C. 9 . D. 3 . Lời giải 2 Ta có 2 R = 1 + (− ) 1 − ( 7 − ) = 3 . x =t
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y = 1− 2t t và đường 1 ( ) z = 3 − t − + thẳng x y 1 z 1 d : = =
. Góc giữa hai đường thẳng d , d là 2 1 2 4 − 1 5 A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 90 . D. 0 60 . Lời giải u = 1;−2;−3 1 d ( ) Ta có . u = − d ( 4;1;5) 2 ( u .u − − − d d 4 2 15 3 cos d ; d = = = . 1 2 ) 1 2 u . u 1+ 4 + 9. 16 +1+ 25 2 1 d d2 Trang 10 Suy ra (d ;d ) 0 = 30 1 2
Câu 12: Cho 2 số phức z = m + i và z = m + (m + 2)i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương 1 2
của tham số m để z z là một số thuần ảo? 1 2 A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải
z z = (m + i)(m + (m + 2)i) 2
= m − m− 2+ (2m+ 2)i . 1 2 m = 2
z z là một số thuần ảo 2
m − m − 2 = 0 . 1 2 m = 1 −
Vậy có 1 giá trị dương của tham số m để z z là một số thuần ảo. 1 2
Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B C D có AA = , a AB = 3 ,
a AC = 5a . Thể tích của khối hộp đã cho là A. 3 5a . B. 3 4a . C. 3 12a . D. 3 15a . Lời giải 2 2 2 2 Xét ABC
vuông tại B , ta có: BC =
AC − AB = (5a) − (3a) = 4a . 2 S
= AB.BC = 3a.4a =12a ABCD 2 3 V = = = S . AA
12a .a 12a ABCD.A B C D ABCD .
Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. 3 a . D. . 6 3 2 Lời giải S A B H D C
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là S.ABCD . Khi đó ABCD là hình vuông cạnh a và
SA = SB = SC = SD = a .
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH ⊥ ( ABCD) nên SH là chiều cao của khối chóp
S.ABCD . Tính SH :
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: 2 2 AC = AB + BC 2 2
= a + a = a 2 . Trang 11 AC a Nhận thấy 2 2 2
AC = SA + SC nên tam giác SAC vuông tại S . Suy ra SH = = . 2 2
Diện tích đáy của khối chóp S.ABCD là 2 S = a . ABCD 1 1 a 3 a 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = .S .SH 2 = .a . = . 3 ABCD 3 2 6
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2 − ;1; ) 3 và mặt phẳng
(P):2x− y +2z −10 = 0. Tính bán kính R của mặt cầu (S) có tâm I và cắt (P) theo một
đường tròn (T ) có chu vi bằng 10 .
A. R = 5 .
B. R = 34 .
C. R = 5 . D. R = 34 . Lời giải
Gọi H là hình chiếu của I lên ( P) .
Khi đó IH = d (I,(P)) = 3 . 10
Đường tròn (T ) có chu vi là 10 nên có bán kính là r = = 5. 2
(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T ) nên 2 2
R = r + IH = 34 . z = 3 − + i z = 1− i z + z
Câu 16: Cho hai số phức 1 và 2
. Phần ảo của số phức 1 2 bằng A. 2. − B. 2 . i C. 2. D. 0. Lời giải
Ta có: z = 1+ i . Do đó z + z = 3 − +i + 1+i = 2 − + 2 .i 1 2 ( ) ( ) 2
Vậy phần ảo của số phức z + z bằng 2. 1 2
Câu 17: Cho hình nón ( N ) có chiều cao bằng 3 và thể tích của khối nón được giới hạn bởi ( N ) bằng
16 . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng A. 12 . B. 20 . C. 24 . D. 10 . Lời giải 1 Ta có V = .
B h trong đó h là chiều cao hình nón và B là diện tích đáy hình nón. 3 3V 3.16 B = = =16 . h 3 Bán kính đáy hình nón: B r = = 4 = + = + =
và độ dài đường sinh là 2 2 2 2 l h r 3 4 5 . Trang 12
Diện tích xung quanh của hình nón ( N ) là S = rl = 20 . xq x = 1+ 2t
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y = 3 − t . Điểm nào trong các z = 3t
điểm sau đây không nằm trên d ?
A. Q(5;1;6) . B. M (3;2;− ) 3 . C. N (3;2;3) . D. P (1;3;0) . Lời giải
Thay tọa độ điểm M (3;2;− )
3 vào phương trình của d ta được hệ: 3 = 1+ 2t t = 1 2 = 3 − t . t = 1 − −3 = 3t
Vậy điểm M (3;2;− )
3 không nằm trên d .
Câu 19: Cho hàm số y = f ( )
x có bảng biến thiên như sau
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là A. (2;5) . B. (5;2) . C. (0 ) 1 ; . D. (1;0) . Lời giải
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là (0 ) 1 ; 4x +1
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx − không có tiệm cận đứng? 1 A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. Lời giải m 0 m = 4 −
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi 4. (− ) 1 −1.m = 0 . m = 0 m = 0
Câu 21: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x +1 log 2x −1 . 1 ( ) 1 ( ) 2 2 1
A. S = (2;+) . B. S = ( 1 − ;2) . C. S = (− ; 2). D. S = ; 2 . 2 Lời giải x + x − 1 Ta có log x +1 log 2x − 1 2 1 1 x 2 . 1 ( ) 1 ( ) 2x−10 2 2 2
Câu 22: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh? A. 3 A . B. 8 3 . C. 3 8 . D. 3 C . 8 8 Lời giải. Chọn D
Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có 3
C cách chọn. 8 Trang 13 Câu 23: Nếu ( ) 3 = − 7 + 2 x F x x x
e + C ( C là hằng số) thì F ( x) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x 7x A. f ( x) 4 2 2 x = − + e . B. ( ) 2 = 3 − 7 + 2 x f x x xe . 4 2 x x C. ( ) 2 = 3 − 7 + 2 x f x x e . D. f ( x) 4 2 7 = − + 2 x e . 4 2 Lời giải
F ( x) là họ nguyên hàm của hàm số f ( x) nên ( ) = ( ) 2 = 3 − 7 + 2 x f x F x x x e . 1 1
( 2x −2x−3f (x))dx =1 f ( x) dx Câu 24: Cho 0 . Tính 0 . 1 − 5 − 1 − 5 − A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9 Lời giải 1 1 3 1 1 x 2 − Ta có ( 2
x − 2x − 3 f ( x)) 2 dx = 1 − x − 3 f
(x)dx =1 −3 f (x)dx =1 3 3 0 0 0 0 1 − f (x) 5 dx = . 9 0 Câu 25: Cho hàm số ( ) 2x f x =
+3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) −3 d = 2x f x x + C . B. ( )d = 2x f x x ln 2 + 3x + C . x x C. f (x) 2 dx = + 3 + C . D. f (x) 2 dx = + 3x + C . ln 2 ln 2 Lời giải x
Ta có: ( ) = ( x f x x + ) 2 d 2 3 dx = + 3x + C . ln 2
Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ). B. ( 1 − ;+). C. (− ; − ) 1 . D. ( ) ;1 − . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1 − ;0) và (1;+).
Câu 27: Cho hàm số y = f ( )
x có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như sau Trang 14 x -∞ -1 3 +∞
f'(x) + 0 - 0 + +∞
f(x) 4 -2 -∞
Giá trị cực đại của hàm số là A. 2 − . B. 4 . C. 3 . D. 1 − . Lời giải
Giá trị cực đại của hàm số là 4 .
Câu 28: Với a là số thực dương tùy ý, log 8a bằng 2 ( ) 1
A. + log a .
B. 3log a .
C. (log a . D. 3 + log a . 2 )3 2 3 2 2 Lời giải
Ta có log 8a = log 8 + log a = 3 + log a . 2 ( ) 2 2 2
Câu 29: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y = x và 2 y = 2x là: 1 3 256 32 A. . B. . C. . D. . 3 2 35 15 Lời giải
Hoành độ giao điểm của đường 3 y = x với 2
y = 2x là x = 0; x = 2 . Vậy thể tích của khối tròn 2 2 2 2 256
xoay cần tính là: V = ( 2
2x ) dx − ( 3 x ) dx = . 35 0 0
Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số
đo góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C ') và ( ABC)? Trang 15 A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 26 33' . Lời giải
Gọi H là trung điểm của B 'C ' , do các tam giác A
'B'C', A
B'C' lần lượt cân đỉnh A' và
A nên AH ⊥ B 'C ' , A' H ' ⊥ B 'C ' nên
((AB'C'),(ABC)) =((AB'C'),(A'B'C')) =(AH, A'H) = AHA' AA ' 1
Xét tam giác AHA' có 0
A' = 90 , A' H = a 3 và tan AHA' = = 0 AHA' = 30 A ' H 3
Câu 31: Cho đồ thị của hàm số y = f ( x) như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình
f ( x) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt. A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Trang 16
Ta có phương trình f (x) = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x)
và đường thẳng nằm ngang y = m.
Để phương trình f (x) = m có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng và đường cong cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. m = 1 Từ đồ thị suy ra . m = 3
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
y = f ( x)
f ( x) = ( x − )( x − )( x + )2 1 2 4 .
y = f ( x + ) 1
Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số đồng
biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 5 − ; ) 1 . B. (0;+). C. ( ;0 − ). D. (0 ) ;1 . Lời giải x =1
Ta có f ( x) = 0 ( x − )
1 ( x − 2)( x + 4)2 = 0 x = 2 x = 4 − x +1 =1 x = 0
y = f ( x + )
1 = 0 x +1 = 2 x = 1 x +1 = 4 − x = 5 − Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; − 0).
Câu 33: Cho một đa giác đều có 36 đinh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập các tam
giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân. 7 3 52 48 A. . B. . C. . D. . 85 35 595 595 Lời giải
Số tam giác được tạo thành từ 36 đỉnh là 3 C . 36 Trang 17 n() 3 = C . 36
Gọi biến cố A: “Chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân”.
Ta tính số tam giác cân và không là tam giác đều được tạo thành từ tập X .
Giả sử tam giác cân và không là tam giác đều được tạo thành là tam giác ABC cân tại đỉnh A . Chọn đỉnh A có 1 C cách chọn. 36 Chọn đỉnh B có 1 C cách chọn. 16
Khi đó đỉnh C là điểm đối đối xứng với B qua đường kính AO .
Do đó đỉnh C có 1 cách chọn.
Suy ra số tam giác cân và không đều được tạo thành là 1 1 C .C tam giá C. 36 16
Số tam giác đều được tạo thành là 1 C . 12 Khi đó n(A) 1 1 1 = C .C + C . 36 16 12 1 1 1 n A C .C + C 7
Vậy xác suất cần tìm là P (A) ( ) 36 16 12 = = = . n() 3 C 85 36
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 2 2
log x − m log x + 2 − m = 0 có 3 9 nghiệm x 1; 9 . A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải
Điều kiện: x 0 2 2
log x − m log x + 2 − m = 0 2
log x − m log x + 2 − m = 0 3 9 3 3
Đặt log x = t 3
Khi đó phương trình trở thành: t +
t − mt + 2 − m = 0 t + 2 = m (t + ) 2 2 2 2 1 = m t + 1 t +
Xét hàm số g (t ) 2 2 = t 0; 2 t + trên 1 + − g (t ) 2 t 2t 2 ' = (t+ )21 2 + − t = 1 − + 3 (t / 2 2 m t t ) g '(t ) = 0 = (t + ) 0 2 1 t = 1 − − 3 (l) Bảng biến thiên Vậy 2 − + 2 3 m 2. Trang 18 Mà m
nên có 1 giá trị thỏa mãn.
Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 5z = (4 + 3i) z − 25 là đường thẳng có phương trình:
A. 8x − 6y − 25 = 0 .
B. 8x − 6y + 25 = 0.
C. 8x + 6y + 25 = 0. D. 8x − 6y = 0 . Lời giải
Ta có 5z = (4 + 3i) z − 25 5z = (4 + 3i)( z − 4 + 3i) 5z = 4 + 3i z − 4 + 3i
z = z − 4 + 3i . 2 2
Gọi z = x + yi thay vào biến đổi ta được 2 2
x + y = ( x − 4) + ( y + 3) 8x − 6 y − 25 = 0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho A(0;0;2 ), B(2;1;0),C (1;2; − )
1 và D(2;0;− 2) . Đường thẳng
d đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình là x = 3 x = 3 + 3t x = 3t x = 3 + 3t A. y = 2 .
B. y = 2 + 2t .
C. y = 2t .
D. y = −2 + 2t . z = 1 − + 2t z = 1− t z = 2 + t z = 1− t Lời giải Ta có: BC = ( 1 − ;1;− )
1 , BD = (0; −1;− 2) .
VTPT của mặt phẳng ( BCD) là BC , BD = ( 3 − ;− 2; ) 1 .
Đường thẳng d đi qua A(0;0;2 ) và có VTCP là u = (3;2;− ) 1 . x = 3s x = 3 + 3t
Phương trình đường thẳng d là y = 2s hay y = 2 + 2t . z = 2 − s z = 1− t x =1− 2t
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;3; )
3 và đường thẳng : y = t . Điểm M đối 1 z = 3 − t
xứng với M qua đường thẳng có tọa độ là: 1 5 A. M 1 − ; 2 − ;2 . B. M 0; ; .
C. M 1;1;2 . D. M 1 − ;1;2 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 Lời giải
Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là u = ( 2 − ;1;− )
1 . Gọi H là hình chiếu của điểm M
lên đường thẳng , khi đó H (1− 2t;t;3−t) MH = ( 2
− t;t −3; t
− ) . Hơn nữa 1 1 5
MH.u = 0 4t + t − 3 + t = 0 t = H 0; ; 2 2 2
Gọi M x ; y ; z là điểm đối xứng của M qua đường thẳng khi đó điểm H là trung điểm 1 ( 1 1 1 ) x = 0 −1 1
x = 2x − x x = 1 − 1 H M 1 1
của MM , suy ra y = 2y − y y = 2. − 3 y = 2 − . 1 1 H M 1 1 2
z = 2z − z z = 2 1 H M 1 5 z = 2. − 3 1 2 Trang 19
Vậy tọa độ điểm M 1 − ; 2 − ;2 . 1 ( )
Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( 0
ABC ); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của
cạnh AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC) . a a 39
A. d = a 3 .
B. d = a . C. d = . D. d = . 2 13 Lời giải S K A M B C Xác định 0 60 = S ,
B ( ABC) = S ,
B AB = SBA và SA = . AB tan SBA = . a 3 = a 3 .
Do M là trung điểm của cạnh AB nên d B,(SMC ) = d , A (SMC ) .
Kẻ AK ⊥ SM . Khi đó d , A
(SMC ) = AK. S . A AM a 39
Tam giác vuông SAM , có AK = = . 2 2 + 13 SA AM a Vậy d B (SMC) 39 , = AK = . 13 Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình
(2−log (2x +1)−log (4x +2))log ( 2x +8) 2
− log x + x −9x + 6 0 2 3 3 3 ? A. 8 . B. Vô số. C. 7 . D. 9 . Lời giải
Điều kiện: x 0 . log (2x +1) 1 Do x 0 nên 2
log (2x +1) + log (4x + 2) 2 2 3 log (4x + 2) 1 3 2 log (2x 1) log (4x − + − + 2) 0 . 2 3
Khi đó, (2 −log (2x +1) −log (4x + 2))log ( 2x +8) 2
− log x + x −9x + 6 0 2 3 3 3 log ( 2 x + 8) 2
− log x + x − 9x + 6 0 3 3 log ( 2 x + 8) 2
+ x + 8 − log x − 9x − 2 0 3 3 log ( 2 x + 8) 2
+ x + 8 log 9x + 9x * 3 3 ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t liên tục trên D = (0; + ) . 3 Trang 20 Ta có f (t ) 1 = +1 0, t
D hàm số f (t) đồng biến trên D . t ln 3 Suy ra ( ) f ( 2
x + ) f ( x) 2 * 8 9
x + 8 9x 1 x 8 . 1 f ( x) 1 − ; 1 3 Câu 40: Cho hàm số liên tục trên
thoả f ( x) + 2 =
(x +t) f (t)dt, x − 1;1 . Tính 2 1 − 1 I = f
(x)dx? 1 −
A. I = 4 .
B. I = 3 .
C. I = 2 . D. I =1. Lời giải 1 1 3 3 1 1 Ta có f ( x) = x f
(t)dt + t.f
(t)dt −2 ,(*) . Đặt A = f
(t)dt , B = t.f (t)dt . 2 2 1 − 1 − 1 − 1 − ( ) f (x) 3 3 * = . x A + B − 2, ( ) 1 2 2 xf (x) 3 3 2
= Ax + Bx − 2x,(2). 2 2 Lấy tích phân từ 1 − đến 1 của ( ) 1 và (2) ta được 1 1 1 2 f (x) 3 3 3Ax 3Bx dx = . x A + B − 2 dx A = +
− 2x = 3B − 4 2 2 4 2 1 − 1 − 1 − A = B = 2 1 1 1 . x f (x) 3 2 3 3 2 Ax 3Bx 2 dx = Ax +
Bx − 2x dx B = + − x = A 2 2 1 − 1 − 2 4 1− 1 Vậy I = A = f (x)dx = 2. 1 −
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số 2 2
y = −x − mx + m + 4 − 3mx +19 có 3 điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. Lời giải Cách 1: Ta thấy phương trình 2 2
−x −mx + m + 4 = 0 luôn có hai nghiệm x , x . 1 2 2 2
x − 2mx − m +15 khi x (− ;
x x ;+ 1 ) ( 2 ) Khi đó y = 2 2
−x − 4mx + m + 23 khi x (x ;x 1 2 )
Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì điểm cực đại x = 2 − m của hàm số CD 2 2
y = −x − 4mx + m + 23 thuộc khoảng ( x ; x hay x 2 − m x . 1 2 ) 1 2
(x + 2m)(x + 2m) 0 x x + 2m(x + x ) 2 + 4m 0 1 2 1 2 1 2 . −( 2 m + 4) + 2 . m (−m) 2 2
+ 4m 0 m − 4 0 2 − m 2
+ Mà m nguyên dương nên m = 1. Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1. Cách 2:
+ Đặt g (x) 2 2
= x + mx − m − 4 .
+ Điều kiện để y có ba điểm cực trị là g (− m) 2 2
0 m − 4 0 2 − m 2.
+ Mà m nguyên dương nên m = 1. Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1. Trang 21
Câu 42: Giả sử z ; z − − 1
2 là hai trong số các số phức z thoả mãn ( z
6)(8 .iz) là một số thực. Biết rằng
z − z = 6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z + 3z bằng 1 2 1 2 A. − + − 5 − 21 . B. 20 − 4 21 . C. 5 73 . D. 20 2 73 . Lời giải Gọi ,
A B là các điểm biểu diễn cho z ; z 2 1
Đặt z = a + bi (z − 6)(8− .iz) = (
a − 6) + bi. (
8 − b) − ai
Do ( z − 6)(8 − .iz) là một số thực nên a
− (a − )+b( −b) 2 2 . 6 8
= 0 a +b −6a −8b = 0 Suy ra ,
A B thuộc đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = 5
Gọi M điểm thoả mãn 3MA + MB = 0 .
Gọi H là trung điểm của AB 2 3 73 2 2 2 Ta có 2 2 2 2
IH = IA − AH = 5 − 3 = 4 ; IM = IH + MH = 4 + = 2 . 2 73
Khi đó M thuộc đường tròm tâm I , bán kính R = . 2
Xét biểu thức z + 3z = 3OA + OB = 4OM + 3MA + MB = 4OM . 1 2 73 Ta có z + 3z OM
= OI − R = 5− . 1 2 min min 2 Vậy 73 z + 3z = 45 − = 20 − 2 73 . 1 2 min 2
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B C D
có đáy là hình vuông cạnh a . Khoảng cách từ A đến 2a 5 mặt phẳng ( A B C D) bằng
. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho. 5 3 2a 3 a 3 A. 3
V = 2a . . B. V = . . C. V = . D. 3 V = 2a 3 . 3 2 Lời giải Trang 22 Kẻ AH ⊥ A D tại H . CD ⊥ AD Ta có
CD ⊥ ( ADD A
) CD ⊥ AH CD ⊥ DD AH ⊥ CD Ta có AH ⊥ ( A B C D) AH ⊥ tại H . AD
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A B C D) là AH . Tam giác A A
D vuông tại A có AH là đường cao. 1 1 1 1 1 1 5 1 1 Suy ra = + = − = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AA AD AA AH AD 4a a 4a
Vậy AA = 2a . Suy ra 2 3
V = AA .S = 2 . a a = 2a . . ABCD
Câu 44: Cho f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d (a 0) là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn 2; 3 có đồ
thị f ( x) như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số ( ) 2
g x = xf ( x) ; ( ) 2
h x = −x f ( x) f ( x) và các đường thẳng x = 2; x = 3 bằng 72 . Tính f ( ) 1 . − A. f ( ) 1 = 2 . B. f ( ) 1 = 1 − . C. f ( ) 1 = 1. D. f ( ) 62 1 = . 5 Lời giải
Từ hình vẽ ta có được f ( x) = x( x − ) 2
= x − x f (x) 3 2 3 2 3 6
= x −3x +C .
Diện tích hình phẳng là: 3 3 S = g
(x)−h(x) 2 dx = xf (x) 2
+ x f (x) f (x) dx 2 2 3 Do 2 xf ( x) 2
+ x f (x) f (x) 0, x 2; 3 nên 2 S = xf (x) 2
+ x f (x) f (x) dx 2 Trang 23 3 3 1 1 9 9 2 Ta có: 2 2 S = x f (x) 2 2 dx = x f ( x) 2 = f (3) 2 − 2 f (2) 2
= C − 2(C − 4) 2 2 2 2 2 2 C = 4 9 Mà S = 72
C − 2(C − 4)2 2 = 72 52 − . 2 C = 5 Do f ( x) x
f (x) 3 2 0, 2;3
= x −3x + 4 f ( ) 1 = 2 .
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt
z , z thỏa mãn z + 3 = z + 3 . 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Với 2
= m −1 0, phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm phức liên hợp
z = a + bi, z = a − bi . Khi đó hiển nhiên z + 3 = a + 3 + b = z + 3 . 1 ( )2 2 1 2 2 Với 2
= m −1 0, phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt z , z . Đẳng thức 1 2
z + 3 = z + 3 tương đương với z + z + 6 = 0 , điều này nghĩa là 2
− m + 6 = 0 tức m = 3 . 1 2 1 2
Tóm lại các số nguyên m cần tìm là m = 0, m = 3 . x −1 y z − 2
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : = = . Gọi ( P) là 2 1 2
mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O đến ( P) bằng 3 11 2 1 A. 2 . B. . C. . D. . 6 6 2 Lời giải Gọi n = ( ; a ;
b c) là một vectơ pháp tuyến của ( P) , với 2 2 2
a + b + c 0 .
Điểm M (1;0;2)d M (P) .
Phương trình của (P): ax +by + cz −(a + 2c) = 0 .
Một vectơ chỉ phương của d là u = (2;1;2) n ⊥ u .
n u = 0 2a + b + 2c = 0 . + + +
b = −( a + c) d ( A (P)) | a 5b c | 9 | a c | 2 2 , = = . 2 2 2 a + b + c
a + c + 4 (a + c)2 2 2 a + c
Ta có (a + c) (a + c ) ( )2 2 2 2 2 2 2
a + c với , a c . 2 2 + 2 a c 2 9 2 Suy ra: 2 2
a + c + 4 (a + c) ( )
+ 4(a + c) = (a + c) . 2 2 + + +
Do đó d ( A (P)) 9 | a c | 9 | a c | 9 | a c | 2 , = = = 3 2. +
a + c + (a + c)2 2 2 9 4 (a +c)2 3 | a c | 2 ( a = c Max d ,
A ( P)) = 3 2
. Chọn a = c = 1 b = 4 − . b = 4 − a
Phương trình (P) x − y + z − = d (O (P)) 1 : 4 3 0 , = . 2 Trang 24
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log ( x + 2y) = log ( 2 2 x + y ? 3 2 ) A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số. Lời giải Chọn B
x + 2y = 3t
Đặt log ( x + 2y) = log ( 2 2 x + y = t 3 2 ) 2 2
x + y = 2t t
Hệ có nghiệm đường thẳng : + 2 − 3t x y
= 0 và đường tròn (C) x + y = ( )2 2 2 : 2 có 0 + 0 − 3t t điể t t t 9 m chung d ( , O ) R 2 3 5. 2 5 t log 5 . 9 2 2 + 2 1 2 2 log 5 9 2 t Do 2 2 + = 2t x y
nên y 2 y 2 1,448967...
Vì y nên y 1 − ;0; 1 . Thử lại: x −1= 3t - Với y = 1 − , hệ trở thành + + = + − + = t (3t )2 1 1 2t 9t 2.3t 2t 2 0 2 x +1= 2
Nếu t 0 thì 2 2t 0 9t 2.3t 2t − + − + 2 0 . Nếu 0 9t 2t 0 9t 2.3t 2t t − + − + 2 0 . Vậy vô nghiệm. x = 3t t t t 9
- Với y = 0 thì hệ trở thành 9 = 2
=1 t = 0 x =1 . 2 x = 2t 2 x +1= 3t 2
- Với y =1 thì hệ trở thành
3t −1 = 2t −1 *** . 2 t ( ) ( ) x +1= 2
Dễ thấy luôn có ít nhất một nghiệm t = 0 x = 0 .
Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y = 0, y =1.
Câu 48: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng ( P) đi qua đỉnh S
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2a . Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến
(P), biết thể tích khối nón là 3 V = a 3 . a 6 a 30 a 5 A. . B. a 5 . C. . D. . 5 5 6 Lời giải Trang 25 1 Ta có: 2 3 3 V = R
h 3a 3 = R R = a 3 (cm) . 3
R = h = a 3 .
Gọi I là trung điểm AB . Kẻ OH ⊥ SI . Khi đó:
SI ⊥AB AB⊥(SIO) OI ⊥ AB OH ⊥ AB OH ⊥ AB Mặt khác: OH ⊥ (SAB) OH ⊥ SI d ( ;
O (P)) = OH . 2 Xét A
OI vuông tại I ta có: 2 2
OI = OA − IA = (a ) 2 3
− a = a 2 (cm) Xét S
IO vuông tại O có đường cao OH , ta có: 2 S . O OI a 3.a 2 a 6 a 30 OH = = = = (cm) 2 2 SO + OI ( a a 3 )2 + (a 2)2 5 5
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 3 − ) và B( 2 − ;3; )
1 . Xét hai điểm M , N thay đổi
thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho MN = 2. Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng. A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 7 . Lời giải B A M K H (Oxz) N A' Ta có H (1;0; 3 − ), K ( 2 − ;0; )
1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A(1;1; 3 − ) và B( 2 − ;3; ) 1
xuống mặt phẳng (Oxz) .
Nhận xét: A , B nằm về cùng một phía với mặt phẳng (Oxz) .
Gọi A đối xứng với A qua (Oxz) , suy ra H là trung điểm đoạn AA nên AM = A M . Mà A H
= AH =1;BK = 3;HK = 5. Do đó 2 2 2 2
AM + BN = A M
+ BN = HA + HM + BK + KN
(HA + BK )2 + (HM + KN )2 = + (HM + KN )2 16
Lại có HM + MN + NK HK HM + NK HK − MN = 5 − 2 = 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H, M, N, K thẳng hàng và theo thứ tự đó. 2 2
Suy ra AM + BN 16 + ( HM + KN ) 16 + (3) = 5 . Trang 26
Vậy giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng 5 .
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 5 4 2
y = x + 2x − mx + 3x − 20 nghịch biến trên (− ; 2 − )? A. 4 . B. 6 . C. 7 . D. 9 . Lời giải
Xét hàm số f ( x) 5 4 2
= x + 2x − mx + 3x − 20 f ( x) 4 3
= 5x + 8x − 2mx + 3
Ta thấy lim f ( x) = − nên hàm số y = f ( x) nghịch biến trên (− ; 2
− ) khi và chỉ khi hàm số x→−
y = f ( x) đồng biến trên (− ; 2
− ) và hàm số không dương trên miền (− ; 2 − ) f ( x) 0 x ( ; − 2 − ) 4 3 5
x + 8x − 2mx + 3 0 x ( ; − 2 − ) f ( 2 − ) 0 4 − m − 26 0 3 3 2 5x + 8x + 2m x ( ; − 2 − ) x 13 m − 2 3
Xét hàm số g ( x) 3 2
= 5x + 8x + trên (− ; 2 − ) x g( x) 3 =15x +16x − = (2x + 4)2 3 2 2 +11x −16 − 2 2 x x 3 3 Ta có (2x + 4)2 2 0, 11x 44, 16 + 16 x (− ; 2 − ) 2 x 4 3
Suy ra g( x) 0 + 44 −16 > 0 x (− ; 2 − ) 4
Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x) trên (− ; 2 − ) 3 19 19
Dựa vào bảng biến thiên ta có 3 2 5x + 8x + 2m x (− ; 2 − ) −
2m m − . x 2 4 13 19
Kết hợp với m − ta có m −
. Do đó có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn đề bài. 2 4
---------- HẾT ---------- Trang 27