Đề tham khảo Giải tích 2 | Trường Đại Học Nội Vụ Hà Nội

Câu 1.
(a) Cho (X, d) là một không gian metric. Với mỗi x, y ∈ X, đặt d(x, y) d1(x, y) := . 1 + d(x, y)
Hỏi d1 có phải là một metric trên X không? Tại sao?
(b) Cho φ : [0, 1] → (0, +∞) là hàm số liên tục. Ký hiệu tập hợp các
hàm số liên tục f : [0, 1] → R là C[0,1]. Với các hàm f, g ∈ C[0,1], ta đặt Z 1 d(f, g) := |f (x) − g(x)|φ(x) dx. 0
Hỏi d có phải là một metric trên C[0,1] không? Tại sao? Câu 2. Trong ( 2
R , d) với d là metric thông thường. Chứng minh rằng A = {(x, y) ∈ 2 R | x2 + 3y ≤ 1}
là tập đóng nhưng không compact. Câu 3. Cho E = C([0, π]) và Z π δ1(f, g) = |f (x) − g(x)| dx,
δ∞(f, g) = sup |f (x) − g(x)|. 0 0≤x≤π Cho fn(t) = sinn t, a(t) ≡ 0. Chứng minh: (a) fn → a trong (E, δ1).
(b) fn không hội tụ về a trong (E, δ∞).
Câu 4. Cho E = C([a, b]), F = R với các metric: Z b δ E (x, y) = sup |x(t)−y(t)|+ (x(t) − y(t)) dt , δF (f, g) = |f −g|. a≤t≤b a Xét ánh xạ Z b f (x) = sin(tx(t)) dt. a
Chứng minh rằng f liên tục trên E. 1
Câu 5. Cho dãy hàm xác định bởi √ x n fn(x) = , x ∈ [0, 1], n ∈ N. 2021 + n2x4
(a) Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n∈ hội tụ từng điểm trên [0, 1]. N
(b) Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n∈ không hội tụ đều trên [0, 1]. N 2