Đề tham khảo Giải tích 2A | Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Câu 1. Cho (R, d) là không gian metric. Xét hàm d1 : R × R → R,
d1(x, y) = |x − y| + d(x, y), x, y ∈ R.
Chứng minh rằng (R, d1) là không gian metric. Câu 2.
(a) Cho hai không gian metric ( 2 R , d2) và (R, d1) với d 2 2 2 : R × R → R,
d2((x, y), (a, b)) = max{|x − a|, |y − b|}, d1 : R × R → R, d1(x, y) = |x − y|.
Cho hàm số f từ không gian metric ( 2
R , d2) vào không gian metric
(R, d1) được xác định bởi  2xy2  , (x, y) ̸= (0, 0), f (x, y) = x2 + y4 0, (x, y) = (0, 0).
Dùng định nghĩa chứng minh hàm số f liên tục tại điểm (0, 0).
(b) Cho A = [0, 1] × [2, 3] ⊂ 2
R và cho hàm số g liên tục từ không gian metric ( 2
R , d2) vào không gian metric (R, d1). Chứng minh
g(A) là tập đóng và bị chặn.
Câu 3. Cho E = R và các metric √ √ δ1(x, y) = | x − y|, x, y ≥ 0,
δ2(x, y) = | ln(1 + x) − ln(1 + y)|. Với 1 xn = 1 + , a = 1, n chứng minh:
(a) xn ̸→ a theo metric δ1.
(b) xn ̸→ a theo metric δ2.
(Gợi ý: dưới căn và log làm “độ chênh lệch” không triệt tiêu.)
Câu 4. Cho dãy hàm xác định bởi nx fn(x) = , x ∈ [0, 1], n ∈ N. 2020 + n2x2
(a) Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n∈ hội tụ từng điểm. N
(b) Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n∈ không hội tụ đều. N 1