ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ
ĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN ————- NĂM HỌC 2020-2021 ——oOo——-
Môn thi: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mã học phần: MAT1090 Số tín chỉ: 3
Đề số: 1 Dành cho sinh viên khoá: K65 Ngành học:
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề).
(Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Bài làm chỉ ghi kết quả mà không có giải thích sẽ không được tính
điểm. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề gồm 4 câu.) Câu 1. (2,5 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính:
x1 + x2 + ax3 = 1 x1 + ax2 + x3 = 2
ax1 + x2 + x3 = 3.
Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó.
Câu 2. (2,5 điểm) Cho B
là hai cơ sở của R3, trong đó u1 = (1,2,1), u2 = (1, −1,2), u3 = (1,1,2), u , u .
(1) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′.
(2) Cho v ∈ R3 có tọa độ trong cơ sở B′ là (1,3, −2). Tìm v và tọa độ của nó trong cơ sở B.
Câu 3. (2,5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3 xác định bởi
T(x1, x2, x3) = (x1 − 3x2 + x3, 2x1 − 6x2 + 2x3, 3x1 − 9x2 + 3x3).
(1) Tìm ma trận của T trong cơ sở chính tắc B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
(2) Tìm một cơ sở và số chiều của Ker(T). Tìm số chiều của Im(T).
Câu 4. (2,5 điểm) Cho ma trận A .
(1) Tìm tất cả các giá trị riêng và các véctơ riêng của A.
(2) Tìm một ma trận trực giao P sao cho P−1AP có dạng đường chéo. Tìm dạng đường chéo đó.
(3) Cho C là đường cong trong mặt phẳng gồm các điểm có cặp tọa độ đề các (x1, x2) thỏa mãn x1 x2
Hãy nhận dạng đường cong C.
ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
ĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN ———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2020-2021
Môn thi: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mã môn học: MAT1090 Số tín chỉ: 3
Đề số: 1 Dành cho sinh viên khoá: K65 Ngành học: Câu 5. (2,5 điểm)
• (0,5 điểm) Ma trận hệ số của hệ phương trình: A .
• (0,25 điểm) Hệ có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu det A 6= 0.
• (1,0 điểm) Ta có det A = −(a − 1)2(a + 2). Vậy a 6= 1, −2.
• (0,75 điểm) Nghiệm duy nhất của hệ là: ) )2 ) x , x , x . Câu 6. (2,5 điểm)
• (0,25 điểm) Ma trận chuyển cơ sở P là nghiệm của phương trình: .
• (1,25 điểm) Giải tìm P:
C1: AP = B dẫn đến P = A−1B (A khả nghịch).
C2: Giải hệ pttt, dùng khử Gauss, đưa [A|B] về dạng [I|P]. P .
• (0,5 điểm) Ta có v .
• (0,5 điểm) Tọa độ của v trong cơ sở B: .
Câu 7. (2,5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3 xác định bởi
T(x1, x2, x3) = (x1 − 3x2 + x3,2x1 − 6x2 + 2x3,3x1 − 9x2 + 3x3).
(1) (1,0 điểm) Tìm ma trận của T trong cơ sở chính tắc: A .
(2) (1,5 điểm= 1,0+0,5) •
ker(T) = {x2(3,1,0) + x3(−1,0,1) | x2, x3 ∈ R}. •
Một cơ sở: (3,1,0), (−1,0,1). • dimker(T) = 2. •
(0,5 điểm) dimIm(T) = dimR3 − dimker(T) = 1. (Hoặc dimIm(T) =
rank(A) = 1.) Câu 8. (2,5 điểm)
(1) (1,0 điểm) Tìm tất cả các véctơ riêng và các giá trị riêng của A.
• Đa thức đặc trưng của A là PA(λ) = |A − λI| = (λ − 3)(λ + 2).
Vậy A có 2 giá trị riêng là: λ = 3 và λ = −2.
• Với λ = −2, ta có A
− . Các véctơ riêng tương ứng là
v1 = (x1,2x1)t với x1 6= 0. Chọn x1 = 1, v1 = (1,2)t.
• Với λ = 3, ta có A − − . Các véctơ riêng tương ứng là v2 =
(−2x2, x2) với x2 6= 0. Chon x2 = 1, v2 = (−2,1)t.
(2) (1,0 điểm) Tìm một ma trận P trực giao sao cho P−1AP có dạng đường chéo. Tìm dạng đường chéo đó.
• Trực giao hóa, rồi chuẩn hóa v1, v2 thu được hệ trực chuẩn u .
Chú ý < v1, v2 >= 0. • Lấy P
!. Ta có PtP = I do đó P trực giao và P .
(3) (0,5 điểm) Hãy nhận dạng đường cong C thỏa mãn x1 x2 .
• Trong cơ sở trực chuẩn {u1, u2}, tọa độ của x ∈ R2: . • Phương trình của
. Đó là một hypecbol (vẽ hình).
Hà Nội, ngày 20 tháng 1 năm 2021 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN (ký và ghi rõ họ tên) lOMoAR cPSD| 49669324