Câu 1:
a. Theo định nghĩa của đạo hàm 𝑓(0 + ℎ, 0) − 𝑓(0,0) 0 − 0 𝑓𝑥(0,0) = lim = lim = 0 h→0 ℎ h→0 ℎ
Do vai trò của 𝑥, 𝑦 trong 𝑓(𝑥, 𝑦) là như nhau nên 𝑓𝑦(0,0) = 𝑓𝑥(0,0) = 0
b. Khi cho điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) chạy trên đường thẳng 𝑥 = 𝑦 thì 𝑥2 1
𝑓(𝑀) = 𝑓(𝑥, 𝑥) = → = 𝐿 2𝑥2 2 1 khi 𝑀 → (0,0)
Khi cho điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) chạy trên đường thẳng 𝑥 = −𝑦 thì −𝑥2 1
𝑓(𝑀) = 𝑓(𝑥, −𝑥) = → − = 𝐿 2𝑥2 2 2 khi 𝑀 → (0,0)
Vì 𝐿1 ≠ 𝐿2 nên không tồn tại giới hạn lim
𝑓(𝑥, 𝑦) và vì vậy 𝑓 không liên tục tại (0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0)
Từ đó suy ra 𝑓 cũng không khả vi tại (0,0) Câu 2: 𝑦 𝑃 = − 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 𝑄 = 𝑥2 + 𝑦2 a. 𝜕𝑃
−1 (𝑥2 + 𝑦2) − (−𝑦) ∗ 2𝑦 −𝑥2 + 𝑦2 = = 𝜕𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2 (𝑥2 + 𝑦2)2 𝜕𝑄
1(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑥(2𝑥) −𝑥2 + 𝑦2 = = 𝜕𝑥 (𝑥2 + 𝑦2)2 (𝑥2 + 𝑦2)2 𝜕𝑃 𝜕𝑄 Vậy = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 b.
Xét đường cong (𝐶1) là nửa trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 1 và (𝐶2) là nửa đường tròn nằm dưới:
Tham số hóa đường cong (𝐶1) 𝑥 = cos 𝑡 {𝑦 = sin 𝑡 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
Xét tích phân đường của (𝐶1) trên 𝐹 𝜋 𝜋 sin 𝑡 cos 𝑡 𝜋
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝑃 𝑥′ + 𝑄 𝑦′𝑑𝑡 = ∫ sin 𝑡 +
cos 𝑡 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡|𝜋0 = 𝜋 𝐶 cos2 𝑡 + sin2 𝑡 cos2 𝑡 + sin2 𝑡 1 0 0 0
Tham số hóa đường cong (𝐶2) 𝑥 = cos 𝑡 {𝑦 = − sin 𝑡 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
Xét tích phân đường của (𝐶2) trên 𝐹 𝜋 𝜋 sin 𝑡 cos 𝑡 𝜋
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝑃 𝑥′ + 𝑄 𝑦′𝑑𝑡 = ∫ (−sin 𝑡) −
cos 𝑡 𝑑𝑥 = ∫ −1𝑑𝑡 𝐶 cos2 𝑡 + sin2 𝑡 cos2 𝑡 + sin2 𝑡 2 0 0 0 = −𝑡|𝜋0 = −𝜋
Ta thấy đường cong (𝐶1) và (𝐶2) có cùng điểm đầu là (1,0) và cùng điểm cuối là (−1,0) nhưng tích
phân đường lại có kết quả khác nhau nên ∫ 𝐹 𝑑𝑟 không độc lập với lộ trình 𝐶 //Chú ý 𝜕𝑃 𝜕𝑄 Mặc dù =
nhưng do miền xác định của 𝐹 là ℝ2 ∖ {(0,0)} không phải miền đơn liên nên ta không 𝜕𝑦 𝜕𝑥
kết luận được 𝐹 là trường bảo toàn. Câu 3: Cách 1:
Ta biểu diễn 𝑅 lồi theo Oy
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ [0,5], 0 ≤ 𝑦 ≤ √25 − 𝑥2} Khi đó 5 √25−𝑥2 √25−𝑥2 5 𝑦2 1 5
∬ 𝑦𝑒𝑥 𝑑𝐴 = ∫ ∫
𝑦𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥|
𝑑𝑥 = ∫ (25 − 𝑥2)𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑅 0 0 2 0 2 0 0 25 5 1 5 25 5 1 5 25 25 1 =
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒𝑥| − ∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒5 − − 𝐼 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 Với 5
𝐼 = ∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 0
Đặt 𝑢 = 𝑥2, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑒𝑥, tích phân từng phần ta được 5 5
𝐼 = 𝑥2𝑒𝑥|50 − 2 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 25𝑒5 − 2 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 0 0
Đặt 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑒𝑥, tích phân từng phần ta đươc 5
𝐼 = 25𝑒5 − 2 (𝑥𝑒𝑥|5 5
0 − ∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥) = 25𝑒5 − 10𝑒5 + 2𝑒 𝑥|0 = 15𝑒5 + 2𝑒5 − 2 = 17𝑒5 − 2 0 Vậy 25 25 1 23 ∬ 𝑦𝑒𝑥 𝑑𝐴 = 𝑒5 −
− (17𝑒5 − 2) = 4𝑒5 − 𝑅 2 2 2 2 Cách 2:
Chuyển sang tọa độ cực: 𝜋
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} = {(𝑟, 𝜃)|0 ≤ 𝑟 ≤ 5,0 ≤ 𝜃 ≤ } 2 Có: 𝜋 5 2
𝐼 = ∬ 𝑦𝑒𝑥 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑟 cos 𝜃 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 𝑅 0 0 𝜋
Đặt 𝑡 = 𝑟 cos 𝜃 ⇒ 𝑑𝑡 = −𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜃. Khi 𝜃 = 0 thì 𝑡 = 𝑟, khi 𝜃 = thì 𝑡 = 0. 2 5 0 5 𝑡 = 𝑟 5
𝐼 = ∫ ∫ −𝑟𝑒𝑡𝑑𝑡𝑑𝑟 = ∫ 𝑟𝑒𝑡 |
𝑑𝑟 = ∫ (𝑟𝑒𝑟 − 𝑟)𝑑𝑟 𝑡 = 0 0 𝑟 0 0 5 5 5 5
= ∫ 𝑟𝑒𝑟𝑑𝑟 − ∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑟𝑑(𝑒𝑟) − ∫ 𝑟𝑑𝑟 0 0 0 0 5 5 5 𝑟2 5 23
= (𝑟𝑒𝑟 | − ∫ 𝑒𝑟𝑑𝑟) − ∫ 𝑟𝑑𝑟 = (𝑟𝑒𝑟 − 𝑒𝑟 − ) | = 4𝑒5 − 0 0 0 0 2 2 Câu 4: Tạm xét 𝑥 ≠ 0: Cách 1:
𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 sin 𝑥 𝑦′𝑥 − 𝑦 ⇔ = sin 𝑥 𝑥2 𝑦 ′ 𝑦′𝑥−𝑦 Ta thấy ( ) = = sin 𝑥 𝑥 𝑥2
Lấy nguyên hàm theo 𝑥 ở cả 2 vế phương trình 𝑦 = −cos𝑥 + 𝐶 𝑥
Với 𝐶 ∈ ℝ là một hằng số
Vậy phương trình vi phân đề cho có nghiệm tổng quát là
𝑦 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 𝐶 Cách 2:
𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 sin 𝑥 1
⇔ 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑥 1 Đặt 𝑝(𝑥) = − 𝑥
Chọn một nguyên hàm của 𝑝(𝑥) là 𝑞(𝑥) = − ln|𝑥| 1
Nhân cả 2 vế phương trình cho 𝑒𝑞(𝑥) = |𝑥|
Khi đó phương trình trở thành ′
𝑦′𝑒𝑞(𝑥) + 𝑞′(𝑥)𝑦𝑒𝑞(𝑥) = (𝑦 𝑒𝑞(𝑥)) = 𝑥 sin 𝑥 𝑒𝑞(𝑥) = sin 𝑥
Lấy nguyên hàm cả 2 vế
𝑦 = ∫sin𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 + 𝐶 𝑥
Với 𝐶 là một hằng số, 𝐶 ∈ ℝ
Vậy phương trình vi phân đề cho có nghiệm tổng quát là
𝑦 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 𝐶 (𝑥 ≠ 0)
Thử lại ta thấy 𝑦(0) = 0 nên đây cũng là nghiệm tổng quát trên ℝ
Để tìm nghiệm riêng, thay nghiệm tổng quát vào điều kiện đầu 𝑦(𝜋) = 0, ta được
−𝜋 cos 𝜋 + 𝜋 𝐶 = 0 ⇔ 𝐶 = cos 𝜋 = −1
Vậy nghiệm cần tìm của bài toán giá trị đầu là 𝑦 = −𝑥 cos 𝑥 − 𝑥