Đại học Quốc Gia Hà Nội
ĐỀ THI HỌC KỲ I , NĂM HỌC 2020-21
Môn thi: Đại số Tuyến tính Đề thi Chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Thí sinh không được dùng bất kỳ loại máy tính nào.
Câu 1. Định nghĩa các khái niệm:
(a) Véctơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu,
(b) Không gian con riêng của một tự đồng cấu,
(c) Tự đồng cấu chéo hoá được,
(d) Phép biến đổi trực giao, (e) Ma trận trực giao,
(f) Hạt nhân (hay hạch) của một dạng song tuyến tính đối xứng
Câu 2. Tự đồng cấu f của không gian véctơ thực 3 chiều V có ma trận là 0 1 02 2 A=@ 2 2 3A 3 5 6
đối với cơ sở (e1; e2; e3). Hãy xét xem f có chéo hoá được không?
Câu 3. Cho phép biến đổi tuyến tính ’ xác định đối với cơ sở chính tắc của R3 bởi ma trận sau 0 3 2 2 1 2 0 4 3 A = @ 2 4 0 A :
Không gian R được trang bị tích vô hướng chính tắc.
(a) Tìm các giá trị riêng của ’.
(b) Với mỗi giá trị riêng của ’, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con riêng tương ứng.
(c) Tìm một ma trận trực giao Q sao cho Q 1AQ là một ma trận chéo; Tìm ma trận chéo đó.
Câu 4. Dùng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương sau đây trên
trường số thực về dạng chuẩn tắc x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1:
Tìm hạng, chỉ số quán tính dương, và chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương đó. 1