Đề thi học kì 2 môn Toán 10 năm 2022 - 2023 sách Chân trời sáng tạo | Đề 4

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
SỞ GD&ĐT …….. NĂM HỌC 2022-2023
TRƯỜNG THPT……………..
Môn: Toán 10 Chân trời sáng tạo
(Đề thi gồm có 03 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2 2 2x + 5 = x − x +11 ; b)
5x +10 = 8 − x .
Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f ( x) 2
= mx − 2x + m luôn âm với mọi x  . Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho tập hợp A = 0; 1; 2; 3; 4; 
5 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn
có bốn chữ số khác nhau?
b) Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d có 10 điểm 1 2 1
phân biệt, trên d có n điểm phân biệt (n  )
2 . Biết rằng có 2800 tam 2
giác mà đỉnh của chúng là các điểm nói trên. Tìm . n Câu 4. 3 3
(1,0 điểm) Xét biểu thức ( x + 2 y) + (2x − y) . Viết khai triển biểu thức trên
bằng nhị thức Newton và tìm tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y.
Câu 5. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6.
b) Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương. Câu 6. (1,5 điểm)
a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d , d biết rằng: d : 2x − y −10 = 0 và 1 2 1
d : x − 3y + 9 = 0 . 2
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với  : x + 4 y − 2 = 0 và cách điểm A( 2
− ; 3) một khoảng bằng 3. Câu 7. x y
(1,5 điểm) Cho elip có phương trình chính tắc ( E) 2 2 : + =1. 8 4
a) Tìm tọa độ các tiêu điểm F , F và tiêu cự, tâm sai của elip. 1 2
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho MF − MF = 2 . 1 2
Câu 8. (1,0 điểm) Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình
vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn CE 5
đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài
= . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét? BD 3
HƯỚNG ĐẪN ĐÁP ÁN
Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2 2 2x + 5 = x − x +11 ; b)
5x +10 = 8 − x . Hướng dẫn giải:
a) Bình phương hai vế phương trình, ta được: 2 2 2
2x + 5 = x − x +11  x + x − 6 = 0  x = 2  x = 3 − .
Thay các giá trị x = 2 , x = 3
− vào phương trình, ta thấy chúng đều thỏa mãn.
Vậy, tập nghiệm phương trình là S = 2; −  3 .
b) Bình phương hai vế phương trình, ta được: x = 3 2 2
5x +10 = 64 −16x + x  x − 21x + 54 = 0   . x =18
Thay cả hai giá trị x = 3 , x = 18 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm phương trình: S =   3 .
Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f ( x) 2
= mx − 2x + m luôn âm với mọi x  . Hướng dẫn giải: Ta có: a = , m b = 2
− , c = m . Theo giả thiết: 2
mx − 2x + m  0, x   (*) .
Trường hợp 1: a = m = 0 . Thay vào (*): 2 − x  0, x
   x  0, x  
(sai). Suy ra m = 0 không thỏa.
Trường hợp 2: a = m  0 . Khi đó:   m  0 a 0  (*)       0 (  2 −  )2 − 4 . m m  0 m  0 m  0  m  0        m  1 − . 2 m 1  m 1  m  1 −  m 1 Vậy với m  1
− thì f (x) luôn âm với mọi x . Câu 3. (1,5 điểm)
c) Cho tập hợp A = 0; 1; 2; 3; 4; 
5 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn
có bốn chữ số khác nhau?
d) Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d có 10 điểm 1 2 1
phân biệt, trên d có n điểm phân biệt (n  )
2 . Biết rằng có 2800 tam 2
giác mà đỉnh của chúng là các điểm nói trên. Tìm . n Hướng dẫn giải:
a) Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là abcd với a, b, c, d lấy từ tập A.
Trường hợp 1: d = 0 .
Chọn d: có 1 cách. Chọn a (a  0) : có 5 cách.
Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là 15 43 = 60 .
Trường hợp 2: d 2;  4 .
Chọn d: có 2 cách. Chọn a (a  0, a  d ) : có 4 cách.
Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là 2 4 43 = 96 .
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 60 + 96 = 156 . b)
Nhận xét: Một tam giác được tạo thành cần 2 điểm thuộc d ; 1 điểm thuộc d 1 2
và ngược lại. Vì vậy số tam giác có được là: 2 1 1 2 C C + C C . 10 n 10 n Ta có: 2 1 1 2
C C + C C = 2800  45n + 5n n −1 − 2800 = 0  n = 20. 10 n 10 n ( ) Câu 4. 3 3
(1,0 điểm) Xét biểu thức ( x + 2 y) + (2x − y) . Viết khai triển biểu thức trên
bằng nhị thức Newton và tìm tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y. Hướng dẫn giải:
a) Ta có: ( x + 2y)3 + (2x − y)3 = C x + C x (2y) + C x (2y)2 + C (2y)3 0 3 1 2 2 3 3 3 3 3
+C (2x)3 + C (2x)2 (−y) + C (2x)(−y)2 + C (−y)3 0 1 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
= x + 6x y +12xy +8y +8x −12x y + 6xy − y = 9x −6x y +18xy + 7y .
b) Có hai số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 3 2 9x , − 6x y .
Tổng hệ số của chúng: 9 + ( 6 − ) = 3.
Câu 5. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6.
b) Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương. Hướng dẫn giải:
Số phần tử không gian mẫu là n() = 66 = 36.
a) Gọi biến cố A: “Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6”. Ta có: A = (
 1; 5), (2; 4), (3; 3), (5; )1, (4; 2) n(A) =5 . n A Do vậy P ( A) ( ) 5 = = . n () 36
b) Gọi biến cố C : “Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương” Ta có : C = (
 1; )1, (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 4), (4; )1 n(C) =8. n C Vậy P (C) ( ) 8 2 = = = . n () 36 9 Câu 6. (1,5 điểm)
a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d , d biết rằng: d : 2x − y −10 = 0 và 1 2 1
d : x − 3y + 9 = 0 . 2
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với  : x + 4 y − 2 = 0 và cách điểm A( 2
− ; 3) một khoảng bằng 3. Hướng dẫn giải:
a) Hai đường d , d có cặp vectơ pháp tuyến n = 2;−1 , n = 1;− 3 . 2 ( ) 1 ( ) 1 2 n n + cos (d , d ) . 2.1 3.1 5 2 1 2 = = = =  (d , d = 45 . 1 2 ) 1 2 n . n 4 +1. 1+ 9 5 2 2 1 2
b) Ta có: d // : x + 4 y − 2 = 0  Phương trình d có dạng: x + 4 y + c = 0 (c  2 − ) . − + + c
Mặt khác: d ( A d ) 2 4.3 , = 3  = 3  10 + c = 3 17 1+16 c = 3 17 −10
d : x + 4y + 3 17 −10 = 0 1     . c = 3 − 17 −10
d : x + 4y − 3 17 −10 = 0  2
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + 4y + 3 17 −10 = 0; x + 4y − 3 17 −10 = 0 . Câu 7. x y
(1,5 điểm) Cho elip có phương trình chính tắc ( E) 2 2 : + =1. 8 4
a) Tìm tọa độ các tiêu điểm F , F và tiêu cự, tâm sai của elip. 1 2
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho MF − MF = 2 . 1 2 Hướng dẫn giải: a) Ta có 2
a = 8  a = 2 2 ; 2
b = 4  b = 2 ; 2 2 2
c = a − b = 4  c = 2 .
Do đó elip có các tiêu điểm F 2
− ;0 , F 2;0 , tiêu cự F F = 2c = 4, tâm sai 1 ( ) 2 ( ) 1 2 c 2 e = = . a 2 b) Gọi c 1 1
M ( x; y) ( E)  MF = a + x = 2 2 + , x M F = 2 2 − x ; 1 2 a 2 2 1  1 
MF − MF = 2  2 2 + x − 2 2 −
x = 2  x = 2 . 1 2   2  2  2 Thay vào ( 2 y E ) : 2 +
=1  y = 3  y =  3 . 8 4
Vậy M ( 2 ;− 3) hoặc M ( 2 ; 3) thỏa mãn đề bài.
Câu 8. (1,0 điểm) Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình
vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn CE 5
đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài
= . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét? BD 3 Hướng dẫn giải:
Đặt AB = x  0 . Xét tam giác ABC vuông tại B có: 2 AC = x +16 . 2 +
Theo tính chất định lí Ta AC CE x 16 5 -lét, ta có: =  = AB BD x 3 5  x  0  x  0 2
 3 x +16 = 5x      x = . 9  ( 3 2 x +16) 2 2 = 25x 16  x =144
Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.